Cuantica Mom Angular Jx Jy
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Exercises 6
1.
Calcular las representaciones matriciales de
Jz , Jx , Jz
para
j = 1 respecto 2j + 1 por lo m sern
a la base de vectores propios de Para
J2
y
Jz .
j = 1
el mximo nmero de estados esta dado por
tanto habrn 3 estados. Para
3
estados, los valores permitidos para
j, j + 1, ..., j 1, j , por eigenestado de jz se tiene;
lo tanto se tendra
m = 1, 0, 1.
Adems para un
jz | j, m = m | j, mPor lo tanto los elementos de matriz estarn dados por;
(1)
j , m | jz | j, m = j , m | m | j, mUsando la ortogonalidad de los estados base se tiene;
(2)
j , m | jz | j, m = m m,m j,jPara
(3)
j=1
y variando
m
se tienen los siguientes elementos de matriz;
1, 1 | jz | 1, 1 . j , m | jz | j, m = 1, 0 | jz | 1, 1 1, 1 | jz | 1, 1
1, 1 | jz | 1, 0 1, 0 | jz | 1, 0 1, 1 | jz | 1, 0
1, 1 | jz | 1, 1 1, 0 | jz | 1, 1 1, 1 | jz | 1, 1
Sacando los egienvalores correspondientes, la representacin matricial queda;
1 . 0 j , m | jz | j, m = 0
0 0 0 0 0 1
(4)
1
Para obtener los elementos de matriz de jx y jy se puede determinar primeramente los elementos de matriz de los operadores de escalera j , cuyos elementos de matriz estn dados por1
j , m | j | j, m =Y los operadores
(j
m)(j m + 1) j ,j m ,m1
(5)
jx
y
jy
estn relacionados con los operadores de escalera
mediante la siguiente expresin;
j = jx ijyPor lo tanto, los elementos de matriz para jx son;
(6)
1 . 1 j , m | jx | j, m = j , m | j+ | j, m + j , m | j+ | j, m 2 2Mientras que para jy son;
(7)
i i . j , m | jy | j, m = j , m | j+ | j, m + j , m | j+ | j, m 2 2dadas por;
(8)
Donde las representaciones matriciales de los operadores de escalera estan
0 . j , m | j | j, m = 2 0
0 0 0 0 2 0
Finalmente para j+ se tiene la representacin matricial;
0 . j , m | j+ | j, m = 0 0
2 0 0
0 2 0
Sustituyendo, en la Ec. (7), se tiene la representacin matricial para jx ;
0 . 1 j , m | jx | j, m = 0 2 01 Sakuraip.p. 192.
2 0 0
0 0 1 2 2 + 2 0 0
0 0 0 0 2 0
J.J. Modern Quantum Mechanics Revised Edition, Addison-Welsley, (1992),
2
. j , m | jx | j, m =
0 2 1 2 0
1 0 1
0 1 0
(9)
Finalmente la representacin matricial para jy es;
0 i . j , m | jy | j, m = 0 2 0
2 0 0
0 0 i 2 2 + 2 0 0 1 0 1 0 1 0
0 0 0 0 2 0
(10)
0 . i 2 1 j , m | jy | j, m = 2 0
(11)
3
