Exercises 6

1.

Calcular las representaciones matriciales de

Jz , Jx , Jz

para

j = 1 respecto 2j + 1 por lo m sern

a la base de vectores propios de Para

J2

y

Jz .

j = 1

el mximo nmero de estados esta dado por

tanto habrn 3 estados. Para

3

estados, los valores permitidos para

j, j + 1, ..., j 1, j , por eigenestado de jz se tiene;

lo tanto se tendra

m = 1, 0, 1.

Adems para un

jz | j, m = m | j, mPor lo tanto los elementos de matriz estarn dados por;

(1)

j , m | jz | j, m = j , m | m | j, mUsando la ortogonalidad de los estados base se tiene;

(2)

j , m | jz | j, m = m m,m j,jPara

(3)

j=1

y variando

m

se tienen los siguientes elementos de matriz;

1, 1 | jz | 1, 1 . j , m | jz | j, m = 1, 0 | jz | 1, 1 1, 1 | jz | 1, 1

1, 1 | jz | 1, 0 1, 0 | jz | 1, 0 1, 1 | jz | 1, 0

1, 1 | jz | 1, 1 1, 0 | jz | 1, 1 1, 1 | jz | 1, 1

Sacando los egienvalores correspondientes, la representacin matricial queda;

1 . 0 j , m | jz | j, m = 0

0 0 0 0 0 1

(4)

1

Para obtener los elementos de matriz de jx y jy se puede determinar primeramente los elementos de matriz de los operadores de escalera j , cuyos elementos de matriz estn dados por1

j , m | j | j, m =Y los operadores

(j

m)(j m + 1) j ,j m ,m1

(5)

jx

y

jy

estn relacionados con los operadores de escalera

mediante la siguiente expresin;

j = jx ijyPor lo tanto, los elementos de matriz para jx son;

(6)

1 . 1 j , m | jx | j, m = j , m | j+ | j, m + j , m | j+ | j, m 2 2Mientras que para jy son;

(7)

i i . j , m | jy | j, m = j , m | j+ | j, m + j , m | j+ | j, m 2 2dadas por;

(8)

Donde las representaciones matriciales de los operadores de escalera estan

0 . j , m | j | j, m = 2 0

0 0 0 0 2 0

Finalmente para j+ se tiene la representacin matricial;

0 . j , m | j+ | j, m = 0 0

2 0 0

0 2 0

Sustituyendo, en la Ec. (7), se tiene la representacin matricial para jx ;

0 . 1 j , m | jx | j, m = 0 2 01 Sakuraip.p. 192.

2 0 0

0 0 1 2 2 + 2 0 0

0 0 0 0 2 0

J.J. Modern Quantum Mechanics Revised Edition, Addison-Welsley, (1992),

2

. j , m | jx | j, m =

0 2 1 2 0

1 0 1

0 1 0

(9)

Finalmente la representacin matricial para jy es;

0 i . j , m | jy | j, m = 0 2 0

2 0 0

0 0 i 2 2 + 2 0 0 1 0 1 0 1 0

0 0 0 0 2 0

(10)

0 . i 2 1 j , m | jy | j, m = 2 0

(11)

3