Cuadratura Gaussiana

Metodos adaptativos de cuadratura

Diego F. Chavez Henao

[email protected]

9 de diciembre de 2014

Metodos adaptativosMetodo de cuadratura basado en la regla compuesta de SimpsonProgramacion y ejemplos del metodo adaptativo de cuadratura

Bibliografıa

Formulas de integracion compuestas¿Porque son necesarios los metodos adaptativos?

Contenidos

1 Metodos adaptativosFormulas de integracion compuestas¿Porque son necesarios los metodos adaptativos?

2 Metodo de cuadratura basado en la regla compuesta de SimpsonMetodo de cuadratura basado en la regla compuesta de SimpsonDescripcion del proceso de integracion adaptativa

3 Programacion y ejemplos del metodo adaptativo de cuadraturaCodigo Matlab del metodo metodo adaptativo de cuadraturaEjemplo de aplicacion del metodo adaptativo de cuadratura

4 Bibliografıa

D. Chavez, [email protected] Metodos adaptativos de cuadratura slide 2/31

Bibliografıa

Formulas de integracion compuestas

Una forma de mejorar la precision de reglas de integracion simples(como Trapecio y Simpson, por ejemplo) consiste en dividir elintervalo de integracion [a, b] en varios segmentos, y aplicar elmetodo a cada una de ellos, obteniendose varias integrales (areas)que se suman despues para obtener la integral en todo el intervalo.

Las ecuaciones resultantes usando esta metodologıa se llamanformulas de integracion de aplicacion multiple o formulas deintegracion compuestas.

Bibliografıa

Una forma de mejorar la precision de reglas de integracion simples(como Trapecio y Simpson, por ejemplo) consiste en dividir elintervalo de integracion [a, b] en varios segmentos, y aplicar elmetodo a cada una de ellos, obteniendose varias integrales (areas)que se suman despues para obtener la integral en todo el intervalo.

Las ecuaciones resultantes usando esta metodologıa se llamanformulas de integracion de aplicacion multiple o formulas deintegracion compuestas.

Bibliografıa

En las formulas compuestas se requiere el uso de nodos equidistantes.Esto no es adecuado cuando se integra una funcion en un intervaloque contiene regiones con variacion funcional grande y pequena.

Figura 1: Ejemplo de una situacion donde la integracion compuesta puedeser inapropiada. Un metodo de bajo-orden puede ser usado en [2, 4], pero

un metodo de alto-orden puede ser necesario en [0, 2].

Bibliografıa

En las formulas compuestas se requiere el uso de nodos equidistantes.Esto no es adecuado cuando se integra una funcion en un intervaloque contiene regiones con variacion funcional grande y pequena.

Figura 1: Ejemplo de una situacion donde la integracion compuesta puedeser inapropiada. Un metodo de bajo-orden puede ser usado en [2, 4], pero

un metodo de alto-orden puede ser necesario en [0, 2].

Bibliografıa

¿Porque son necesarios los metodos adaptativos?

¿Como podemos determinar que tecnica puede ser aplicada en variasporciones del intervalo de integracion, y cuan precisa podemos esperarque sea la aproximacion final?

Si el error de distribucion va a estar distribuido uniformemente, serequiere un paso de menor tamano en las regiones de gran variacionfuncional que en las de menor variacion funcional.

Los metodos adaptativos de cuadratura predicen el grado devariacion funcional y adaptan el tamano del paso a las diversasnecesidades.

Los metodos adaptativos son particularmente populares para incluirseen paquetes de software profesional porque, ademas de ser eficientes,ellos generalmente proveen aproximaciones que estan dentro de unatolerancia especificada.

Bibliografıa

Metodo de cuadratura basado en la regla compuesta de SimpsonDescripcion del proceso de integracion adaptativa

Contenidos

4 Bibliografıa

Bibliografıa

Metodo de cuadratura basado en la regla compuesta deSimpson

El metodo de integracion adaptativa o cuadratura adaptativa basadoen la regla compuesta de Simpson consta de varias etapas:

i) Regla de Simpson:

Suponga que se desea aproximar la integral∫ ba f(x) dx con una

tolerancia especificada ε > 0. El primer paso es aplicar la regla deSimpson con un paso h = (b− a)/2:∫ b

af(x) dx = S(a, b)− h5

90f (4)(ξ) , para algun ξ ∈ (a, b) (1)

donde denotamos la regla de aproximacion de Simpson en [a, b] por

S(a, b) =h

3[f(a) + 4f(a+ h) + f(b)] . (2)

Bibliografıa

Figura 2: Representacion del metodo compuesto de Simpson. (Notese que se esta

trabajando con dos subintervalos en [a, b]: [a, a+ h] y [a+ h, b]).

Bibliografıa

ii) Refinamiento:El segundo paso es determinar la exactitud de una aproximacion queno requiera f (4)(ξ). Para hacer esto aplicamos la regla compuesta deSimpson con n = 4 y tamano de paso h/2 = (b− a)/4:∫ b

af(x) dx =

[f(a) + 4f

)+ 2f(a+ h)

)+ f(b)

]−(h

)4 (b− a)180

f (4)(ξ) , (3)

para algun ξ ∈ (a, b).

Bibliografıa

Para simplificar la notacion, sea

(a,a+ b

[f(a) + 4f

)+ f(a+ h)

[f(a+ h) + 4f

)+ f(b)

]. (5)

La ecuacion (3) puede ser reescrita como∫ b

af(x) dx = S

(a,a+ b

)− 1

)f (4)(ξ) . (6)

Bibliografıa

Para simplificar la notacion, sea

(a,a+ b

[f(a) + 4f

)+ f(a+ h)

[f(a+ h) + 4f

)+ f(b)

]. (5)

La ecuacion (3) puede ser reescrita como∫ b

af(x) dx = S

(a,a+ b

)− 1

)f (4)(ξ) . (6)

Bibliografıa

Figura 3: Regla compuesta de Simpson con n = 4 y tamano de paso

h/2 = (b− a)/4

Bibliografıa

iii) Estimacion del error:El error de estimacion es derivado al asumir que ξ ≈ ξ o, masprecisamente, que f (4)(xi) ≈ f (4)(ξ), y el exito de la tecnica dependede la exactitud de esta suposicion.

Si es exacta, al igualar las integrales en las ecuaciones (1) y (6) seobtiene

(a,a+ b

)− 1

)f (4)(ξ) = S(a, b)−h

90f (4)(ξ) ,

de modo que

90f (4)(ξ) =

[S(a, b)− S

(a,a+ b

)− S

)]. (7)

Bibliografıa

iii) Estimacion del error:El error de estimacion es derivado al asumir que ξ ≈ ξ o, masprecisamente, que f (4)(xi) ≈ f (4)(ξ), y el exito de la tecnica dependede la exactitud de esta suposicion.

Si es exacta, al igualar las integrales en las ecuaciones (1) y (6) seobtiene

(a,a+ b

)− 1

)f (4)(ξ) = S(a, b)−h

90f (4)(ξ) ,

de modo que

90f (4)(ξ) =

[S(a, b)− S

(a,a+ b

)− S

)]. (7)

Bibliografıa

Al utilizar (7) en la ecuacion (6) obtenemos la estimacion del error:∣∣∣∣∫ b

af(x) dx− S

(a,a+ b

)− S

)∣∣∣∣ ≈ 1

90f (4)(ξ)

∣∣∣∣S(a, b)− S (a, a+ b

)− S

)∣∣∣∣ . (8)

Esto implica que S(a, (a+ b)/2) + S((a+ b)/2, b) aproxima∫ ba f(x) dx unas 15 veces mejor de lo que concuerda el valor calculadoS(a, b).

Bibliografıa

Al utilizar (7) en la ecuacion (6) obtenemos la estimacion del error:∣∣∣∣∫ b

af(x) dx− S

(a,a+ b

)− S

)∣∣∣∣ ≈ 1

90f (4)(ξ)

∣∣∣∣S(a, b)− S (a, a+ b

)− S

)∣∣∣∣ . (8)

Esto implica que S(a, (a+ b)/2) + S((a+ b)/2, b) aproxima∫ ba f(x) dx unas 15 veces mejor de lo que concuerda el valor calculadoS(a, b).

Bibliografıa

iv) Criterio de exactitud:Supongamos que especificamos una tolerancia ε > 0 para laaproximacion a la integral en el intervalo [a, b]. Si∣∣∣∣S(a, b)− S (a, a+ b

)− S

)∣∣∣∣ < 15ε , (9)

por (8) esperamos tener∣∣∣∣∫ b

af(x) dx− S

(a,a+ b

)− S

)∣∣∣∣ < ε . (10)

Ası,S

(a,a+ b

)es asumido ser una aproximacion suficientemente exacta a

∫ ba f(x) dx.

Bibliografıa

iv) Criterio de exactitud:Supongamos que especificamos una tolerancia ε > 0 para laaproximacion a la integral en el intervalo [a, b]. Si∣∣∣∣S(a, b)− S (a, a+ b

)− S

)∣∣∣∣ < 15ε , (9)

por (8) esperamos tener∣∣∣∣∫ b

af(x) dx− S

(a,a+ b

)− S

)∣∣∣∣ < ε . (10)

Ası,S

(a,a+ b

)es asumido ser una aproximacion suficientemente exacta a

∫ ba f(x) dx.

Bibliografıa

Descripcion del proceso de integracion adaptativa

El proceso de integracion adaptativa se construye aplicando la reglade Simpson de la siguiente manera:

Partimos de {[a0, b0], ε0}, donde ε0 es la tolerancia para lacuadratura numerica en [a0, b0].

Este intervalo se divide en sus dos mitades, que etiquetamos como[a01, b01] y [a02, b02].

Si el criterio de exactitud (9) se verifica, entonces la formula decuadratura (3) se aplica en el intervalo [a0, b0] y hemos terminado.

Por el contrario, si el criterio de exactitud (9) no se verifica, entoncesambos subintervalos se vuelven a etiquetar como [a1, b1] y [a2, b2], enlos que usamos como tolerancia ε1 =

12ε0 y ε2 =

12ε0, respectivamente.

Bibliografıa

12ε0 y ε2 =

Bibliografıa

12ε0 y ε2 =

Bibliografıa

12ε0 y ε2 =

Bibliografıa

12ε0 y ε2 =

Bibliografıa

En el segundo paso consideramos {[a1, b1], ε1}, en primer lugar:dividimos el intervalo [a1, b1] en [a11, b11] y [a12, b12] y aplicamos elcriterio de exactitud (9).

Si el criterio se verifica con la tolerancia ε1, entonces aplicamos laformula de cuadratura (3) en el intervalo [a1, b1] y aceptamos quesobre este intervalo hemos alcanzado la precision deseada.

Si el criterio de exactitud (9) no se verifica con la tolerancia ε1,entonces hay que dividir y aplicar el criterio de exactitud a cadasubintervalo [a11, b11] y [a12, b12], en un tercer paso con toleranciareducida 1

Bibliografıa

Pero en este segundo paso tambien hay que considerar {[a2, b2], ε2}:dividimos el intervalo [a2, b2] en [a21, b21] y [a22, b22] y aplicamos elcriterio de exactitud (9).

Bibliografıa

En resumen, el segundo paso produce dos, tres o cuatro intervalos:

Produce dos si tanto [a1, b1] como [a2, b2] pasan el criterio, y en estecaso el proceso ha terminado.Produce tres si uno de los dos intervalos de partida pasa el criterio peroel otro no, y entonces los volvemos a etiquetar como {[a1, b1], ε1},{[a2, b2], ε2} y {[a3, b3], ε3}, donde ε1 + ε2 + ε3 = ε0 y continuamos elproceso de integracion adaptativa en un tercer paso con los dosintervalos de menor tamano.Y produce cuatro si ninguno de los dos intervalos de partida pasa elcriterio, y entonces los volvemos a etiquetar como {[a1, b1], ε1},{[a2, b2], ε2}, {[a3, b3], ε3} y {[a4, b4], ε3}, dondeε1 + ε2 + ε3 + ε4 = ε0 y continuamos el proceso de integracionadaptativa en un tercer paso con los cuatro intervalos.

Bibliografıa

El termino de error mostrado en (6) muestra que conforme hacemosrefinamientos, el error se reduce en un factor de 1

16 , por tanto elproceso debe terminar en un numero finito de pasos.

Bibliografıa

Codigo Matlab del metodo metodo adaptativo de cuadraturaEjemplo de aplicacion del metodo adaptativo de cuadratura

Contenidos

4 Bibliografıa

Bibliografıa

Codigo Matlab (basado en el libro de Mathews y Fink [MF])

Figura 4: Subprograma en que se lleva a cabo la regla de Simpson en cada uno

de los subintervalos generados por el proceso de integracion adaptativa.

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Figura 5: Subprograma definido para el proceso de integracion adaptativa.

Bibliografıa

Enunciado

Usar el metodo de integracion adaptativa para aproximarnumericamente el valor de la integral definida∫ 40 13(x− x2) exp(−3x/2) dx, con una tolerancia inicial deε0 = 1× 10−5.

Figura 6: Los intervalos de [0, 4] usados en la cuadratura adaptativa.

Bibliografıa

Enunciado

Usar el metodo de integracion adaptativa para aproximarnumericamente el valor de la integral definida∫ 40 13(x− x2) exp(−3x/2) dx, con una tolerancia inicial deε0 = 1× 10−5.

Figura 6: Los intervalos de [0, 4] usados en la cuadratura adaptativa.

Bibliografıa

Codigo Matlab usado para correr la funcion adapt.m

Figura 7: Codigo Matlab usado en la cuadratura adaptativa.

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Consola de Matlab con resultados

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Consola de Matlab con resultados

Figura 8: Salidas de Matlab mostradas en consonla.

Bibliografıa

Resultados organizados

Figura 9: Resultados organizados en forma tabular.

Bibliografıa

Contenidos

4 Bibliografıa

Bibliografıa

Burden, R.L. and Faires, J.D., Numerical Analysis, 9th Ed.,CENGAGE Learning, Boston, 2011.

Chapra, S.C. y Canale, R.P., Metodos numericos para ingenieros, 5taEd., McGraw-Hill, Mexico, 2007.

Mathews, J.H. and Fink, K.D., Numerical Methods Using MATLAB,3th Ed., Prentice Hall, New Jersey, 1999.

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