Análisis Numérico para Ingeniería · fórmulas Gauss-Legendre, o de Cuadratura Gaussiana. Otra...

Análisis Numérico para Ingeniería

Clase Nro. 13

Mg. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2017 2

Aproximación de Funciones

Temas a tratar:

Métodos de Newton-Cotes.

Método de los Trapecios.

Método de 1/3 de Simpson.

Método de 3/8 de Simpson.

Método de Romberg.


Problema a resolver

Cuando la función a integrar no tiene anti-derivada explícita.

La función antiderivada es muy complicada de calcular.

La función está expresada en forma discreta.

Se desea calcular numéricamente:

I f =∫a

b

f x ⋅dx


Método de Resolución

El método básico utilizado para obtener el valor de una Integral definida, se denomina cuadratura numérica y está basado en la siguiente fórmula:

I f =∫a

b

f x ⋅dx =∑i=0

n

H i⋅f xiError

∑i=0

n

H i⋅f x i

Entonces tendremos:


Formas de Resolución

Si se conocen los valores de las abscisas x i

con

i=0,1,...,n y éstos son equiespaciados, se utilizarán las fórmulas de Newton Cotes para hallar los valores de H

i

Otras forma de calcular los H i se logran utilizando las

fórmulas Gauss-Legendre, o de Cuadratura Gaussiana.

Otra forma consiste en hallar la Serie de Taylor e integrar el polinomio resultante al truncar la misma.


Métodos de Newton-Cotes

La estrategia consiste en aproximar los puntos de la función f(x) y luego integrar el polinomio resultante:

I f =∫a

b

f x ⋅dx ≈∫a

b

pn x ⋅dx

Y considerando el error de interpolación, tendremos:

I f =∫a

b

f x ⋅dx =∫a

b

pn x ⋅dx∫a

b

E x ⋅dx



Teniendo en cuenta el error de interpolación para puntos equiespaciados, obtenemos la siguiente expresión para el Error de Integración:

Error =∫b

a

E (x)⋅dx= ∫b

as⋅(s−1)⋅(s−2)⋯(s−n)

(n+1)!⋅hn+1

⋅f (n+1)(ξ)⋅dx



Esta fórmula puede utilizarse de diferentes formas, ya que el rango de ajuste del polinomio no necesariamente tiene que coincidir con el intervalo de integración.

I f =∫a

b

f x ⋅dx =∫a

b

pn x ⋅dx∫a

b

E x ⋅dx

En el caso que los extremos de integración coincidan con el intervalo de interpolación se llaman fórmulas cerradas de Newton-Cotes, de lo contrario se denominan fórmulas abiertas.



Las fórmulas de Newton-Cotes más utilizadas son aquellas que poseen mejor ajuste y menor error de redondeo, es decir, aquellas que utilizan un polinomio de interpolación de grado bajo.

NEWTON−COTESCERRADAS {

n=1 Trapecios

n=213

de Simpson

n=338

de Simpson


Método de Trapecios

Dados dos puntos es posible aproximar por un polinomio interpolante de Newton de grado 1.

p1(x)

f(x)

x0

x1

y

x


Método de Trapecios

∫x0

x1

f x ⋅dx ≈∫x0

x1

y0s⋅ y0⋅dx =

= h⋅[ y0⋅s∣0

1 y0⋅

s2

2 ∣0

1

] = h⋅[ y0 y0

2] =

= h⋅[ y0y1− y0

2] =

h2⋅[ y1 y0]

Aproximando con un polinomio de 1er. Grado, obtenemos:


Error en el Método de Trapecios

Error = ∫a

b

E x ⋅dx = ∫x0

x1

s⋅s−1

2⋅h2 f ' ' ⋅dx =

(por TVM) = h3⋅f ' ' 1∫0

1s⋅s−1

2⋅ds =

= h3⋅f ' ' 1⋅s3

6−

s2

4∣

0

1

=−h3

12⋅f ' ' 1

Por lo tanto, el error cometido en la integración es:

Donde x0 ≤ ξ

1 ≤ x

1


Teorema del Valor Medio para IntegralesSi f es una función contínua en el intervalo [a, b] , entonces existe un número z en [a, b] tal que:

∫a

b

f x ⋅dx = f z⋅b−a

Veamos una interpretación geométrica del teorema:

Supongamos que f(x) ≥ 0 para todo x que pertenece a [a, b] , en este caso, la integral de f(x) se toma como el área de la región encerrada bajo la curva f(x) y las rectas x=a y x=b, entonces se demuestra que existe al menos un valor z que pertenece a [a, b] , que verifica que f(z)*(b-a) es igual al área antes mencionada.


Método de Trapecios Compuestos

Si subdividimos el intervalo [a, b] en sub-intervalos, equiespaciados o no, la integral aproximada, será igual a la suma de las áreas de los trapecios correspondientes a cada uno de los sub-intervalos.

Por ejemplo, para dos puntos cualesquiera dentro del intervalo [a, b] , tenemos:

∫xi

x i1

f x ⋅dx ≈h2⋅[ yi yi1]


Método de Trapecios Compuestos

Por lo tanto, si extendemos esta expresión para calcular la integral aproximada dentro del intervalo [a, b] y considerando n puntos equiespaciados, tenemos :

∫a

b

f (x)⋅dx ≈ ∑i=0

n−1h2⋅[ yi+ y i+1] =

= h2⋅[ y0+ y1+ y1+ y2+ y2+⋯+ yn−1+ yn−1+ yn] =

=h2⋅[ y0+2⋅y1+2⋅y2+⋯+2⋅yn−1+ yn]


Error en Trapecios Compuestos

El error local correspondiente a un trapecio es :

Error local =−h3

12⋅f ' ' 1

Por lo tanto, podemos calcular el error global del método, sumando todos los errores locales :

Error global =−h3

12⋅[ f ' ' (ξ1)+ f ' ' (ξ2)+⋯+ f ' ' (ξn−1)+ f ' ' (ξn)]


Error en Trapecios CompuestosLos ξ

i corresponden a cada uno de los subintervalos. Si

asumimos que f ''(x) es contínua en (a, b), entonces habrá algún valor ξ perteneciente al intervalo (a, b), para el cual:

Error global =−h3

12⋅[ f ' ' (ξ1)+ f ' ' (ξ2)+⋯+f ' ' (ξn−1)+ f ' ' (ξn)]=

=−h3

12⋅n⋅f ' ' (ξ) =

−h3

12⋅(b−a)

h⋅f ' ' (ξ)

Error global =(a−b)

12⋅h2

⋅f ' ' (ξ)

Por lo tanto, nos queda:


Ejemplo de Trapecios Compuestos


Método de los Trapecios Compuestos

FUNCTION trapecios(n, h, v)! Función que calcula la integral numérica! por el método de los TrapeciosINTEGER nREAL(8) v(n)REAL(8) trapecios, h

trapecios = h*(v(1)+2*SUM(v(2:n-1))+v(n))/2.0

END FUNCTION


Método de 1/3 de Simpson

∫x0

x2

f x ⋅dx ≈∫x0

x2

y0s⋅ y0s⋅s−1

2⋅2 y0⋅dx =

= h⋅∫0

2

y0s⋅ y0s⋅s−1

2⋅2 y0⋅ds =

=h3⋅ y04⋅y1 y2

Aproximando con un polinomio de 2do. Grado, obtenemos:


Error en 1/3 de Simpson

f (x) = F ' (x) ⇒ ∫x0

x2

f (x)⋅dx = F (x2)−F (x0)

Si denominamos :

Desarrollando la integral de f(x) en Serie de Taylor, obtenemos:

∫x0

x2

f (x )⋅dx =F ' (x0)⋅(2h)+(2h )

2

2⋅F ' ' (x0)+

(2h)3

6⋅F ' ' ' (x0) +

+(2h)4

24⋅F iv

(x0)+(2h )5

120⋅F v

(x0)+⋯



Reemplazando F'(x0) = f(x

0) = y

0 , finalmente

nos queda :

∫x0

x2

f x ⋅dx =2h⋅y02h2⋅y '086⋅h3⋅y0 ' ' +

+1624

⋅h4⋅y0 ' ' '32

120⋅h5⋅y0

iv⋯



h3⋅ y04⋅y1 y2 =

=h3⋅[ y04⋅ y0h⋅y0 '

h2

2!⋅y0 ' '

h3

3 !⋅y0 ' ' '

h4

4 !⋅y0

vi⋯+

+ y02h ⋅y0 '2h

2

2 !⋅y0 ' '

2h 3

3 !⋅y0 ' ' '

2h 4

4 !⋅y0

vi⋯=

Para estimar el error de truncamiento del método, utilizaremos el desarrollo en Serie de Taylor del valor aproximado de la integral, obtenida por 1/3 de Simpson.



=h3⋅[ 6⋅y0+6⋅h⋅y0 '+(

42

+42

)⋅h2⋅y0 ' ' +

+(46

+86

)⋅h3⋅y0 ' ' '+(424

+1624

)⋅h4⋅y0iv+⋯] =

=h3⋅[ 6⋅y0+6⋅h⋅y0 '+4⋅h2

⋅y0 ' '+2⋅h3⋅y0 ' ' '+

56⋅h4

⋅y0iv+⋯]

Realizando las simplificaciones correspondientes en la expresión anterior, tenemos:



∫x0

x2

f (x)⋅dx−h3⋅( y0+4⋅y1+ y2) =

=(2⋅h⋅y0−63⋅h⋅y0)+(2⋅h2

⋅y0 '−63⋅h2

⋅y0 ' )+

+(1624

⋅h4⋅y0 ' ' '−23⋅h4⋅y0 ' ' ' )+(

32120

⋅h5⋅y0vi−

518

⋅h5⋅y0iv)=

=−190

⋅h5⋅y0iv+⋯

Ahora, para obtener una expresión del error hacemos la diferencia entre la integral exacta y la integral aproximada.



Error deTruncamiento=−190

⋅h5⋅y0

iv+⋯

Este es el error de truncamiento de la serie.

Para estimar el error local, recordemos el término del error de interpolación para puntos equiespaciados. Al integrarlo, nos queda:

Error=∫a

b

E (x )⋅dx=hn+2⋅∫

0

n

s⋅(s−1)⋅(s−2)⋯(s−n)⋅f (n+1)

(ξ)

(n+1)!⋅ds



Uno esperaría que la integración de 1/3 de Simpson sea exacta si f(x) es un polinomio de grado menor o igual a 2, sin embargo, resulta exacta, también para un polinomio de grado 3, ya que :

Error = h4⋅f ' ' '

3 !⋅∫

0

2

s⋅s−1⋅s−2⋅ds = 0

ERROR DE INTERPOLACIÓN PARA UN POLINOMIO DE GRADO 3



Por lo tanto, si calculamos el error de interpolación para un polinomio de grado 4, obtenemos :

Error = h5⋅

f (iv )(ξ)

4 !⋅∫

0

2

s⋅(s−1)⋅(s−2)⋅(s−3)⋅ds =

= −h5⋅f (iv )

(ξ)

90

Donde x0 ≤ ξ ≤ x

2


Método de 1/3 de Simpson Compuesto

Si tenemos un número impar de puntos equiespaciados dentro de nuestro intervalo de integración, podemos aplicar la regla de 1/3 de Simpson en forma repetida, y si luego sumamos las áreas, obtenemos :

∫a

b

f (x)⋅dx =

=h3⋅( y0+4⋅y1+2⋅y2+4⋅y3+⋯+2⋅yn−2+4⋅yn−1+ yn)+

+ Error Global


Error en 1/3 de Simpson Compuesto

Sumando los errores locales de cada uno de los arcos de parábola, obtenemos una expresión para el error global.

Error Global=−h5

90⋅[ f (iv)

(ξ1)+ f (iv )(ξ2)+⋯+ f (iv)

(ξn2

)]=

=−h5

90⋅n2⋅f (iv)

(ξ)=−h5

90⋅

b−ah2

⋅f (iv )(ξ)=

=−h5

90⋅b−a2⋅h

⋅f (iv )(ξ) =

−(b−a)

180⋅h4

⋅f (iv )(ξ)


Ejemplo de 1/3 de Simpson Compuesto



FUNCTION simpson(n, h, v)! Función que calcula la integral numérica! por el método de 1/3 de SimpsonINTEGER nREAL(8) v(n)REAL(8) simpson, h

simpson = h*(v(1)+4*SUM(v(2:n-1:2))+2*SUM(v(3:n-2:2))+v(n))/3.0 END FUNCTION


Método de 3/8 de Simpson

∫x0

x3

f (x)⋅dx ≈∫x0

x3

p3(x)⋅dx=3⋅h8

⋅( y0+ 3⋅y1+ 3⋅y2+ y3)

Error Local=−380

⋅h5⋅f (v )(ξ)

Está basado en la integral de una aproximación polinomica de 3er. Grado:



∫x0

x3

f x ⋅dx ≈∫x0

x3

p3 x ⋅dx=3⋅h8

⋅( y03⋅y13⋅y2+

+2⋅y33⋅y43⋅y5⋯2⋅yn−23⋅yn−1 yn ]

Error Global=−b−a

80⋅h4⋅f v

Sumando los errores locales de cada una de las aproximaciones, obtenemos una expresión para el error global.


Comparación de Errores

Trapecios Compuestos =(a−b)

12⋅h2⋅f ' ' (ξ)

13

SimpsonCompuestos=−(b−a)

180⋅h4⋅f (iv )(ξ)

38

SimpsonCompuestos=−(b−a)

80⋅h4⋅f (v)(ξ)

Si comparamos los errores globales de los diferentes métodos, tenemos :


Método de Romberg

Aunque el método de los trapecios es muy sencillo de aplicar, carece de la exactitud requerida habitualmente. La integración de Romberg es un método que utiliza inicialmente los valores obtenidos por el método de los trapecios y posteriormente aplica el proceso conocido como ”extrapolación de Richardson” para obtener correcciones a las aproximaciones anteriores.

Error global =a−b

12⋅h2

⋅f ' ' =a−b

3

12⋅n2 ⋅f ' '

Sabemos que el error de Trapecios Compuestos es:


Método de Romberg

Sean n1 y n2 dos cantidades de trapecios distintas. Y sea I* el verdadero valor de la integral y I

n el valor

de la integral aproximada por n trapecios.

I * = I n1En1 = I n2En2

Entonces:


Método de Romberg

En2

En1

=

b−a3

12⋅n22 ⋅f ' ' 2

b−a3

12⋅n12 ⋅f ' ' 1

Entonces:

Donde ξ1 y ξ

2 se encuentran en (a, b)


Método de Romberg

En2= [n1

n2]2

⋅En1

Asumiendo que f ''(ξ1) = f ''(ξ

2) nos queda :

I n1En1−I n2−En2 = 0

I n1En1−I n2−[n1

n2]2

⋅En1= 0


Método de Romberg

I n1−In2

En1⋅{1−[n1

n2 ]2

} = 0

Por lo tanto :

En1=

I n2−In1

1−[n1

n2]2


Método de Romberg

Por lo tanto, si hacemos n2 = 2*n

1 :

I *=In1

In2−In1

1−[n1

n2]2

I *=

43⋅In2

−13⋅I n1

Es de esperar que I* sea mejor que In1

e In2


Método de Romberg

Sistematizando este proceso denominado Extrapolación de Richardson, obtenemos el método de integración de Romberg.

T 0,1 =b−a

1⋅

12⋅[ f af b]

Si tenemos 1 Trapecio h = (b - a), por lo tanto:


Método de Romberg

T 1,1 =b−a

2⋅{1

2⋅[ f af b]f a

b−a2

} =

=12⋅{T 0,1b−a⋅f a

b−a2

}

Si tenemos 2 Trapecios h = (b - a)/2, por lo tanto:


Método de Romberg

T N ,1 =12⋅{T N−1,1

b−a

2N−1 ⋅∑i=1

i=2

2N−1

f ab−a

2N ⋅i}

Si tenemos 2N Trapecios h = (b - a)/(2N), por lo tanto:


Método de Romberg

T N ,2 =4⋅T N1,1−T N ,1

3

Si tomamos dos valores consecutivos de estas aproximaciones, podemos aplicar la fórmula ya vista para encontrar una mejor aproximación.

Por ejemplo, si tomamos N=0, nos queda:

T 0,2 =4⋅T 1,1−T 0,1

3=

b−a

6⋅[ f a4⋅f a

b−a2

f b]


Método de Romberg

T N , j =4 j−1⋅T N1, j−1−T N , j−1

4 j−1−1

Ahora podemos generalizar el esquema visto, para j ≥ 2.

Donde j es el grado del polinomio aproximante y 2N es la cantidad de Trapecios utilizados para obtener dicha aproximación.


Método de Romberg

El método de Romberg se aplica construyendo una tabla de valores como la siguiente:

T0,1

T0,2

T1,1

T0,3

T1,2

T0,4

T2,1

T1,3

T2,2

T3,1

T N , j =4 j−1

⋅T N1, j−1−T N , j−1

4 j−1−1

Aplicando este esquema


Método de Romberg

T0,1

T0,2

T1,1

T0,3

T1,2

T0,4

T2,1

T1,3

T2,2

T3,1

VALORES CALCULADOS POR TRAPECIOS

VALORES CALCULADOS POR ROMBERG

VALORES FINAL DE LA INTEGRAL


Ejemplo de Romberg

-56.5195-50.8040

-52.2328 -11.9705-14.3976 -0.0828

-23.8564 -0.2685 -1.33069-1.1516 -1.3258 -1.42647

-6.8278 -1.3093 -1.42638 -1.42604-1.2994 -1.42598 -1.42604 -1.42603

-2.6815 -1.42416 -1.42604 -1.42603 -1.42603-1.4164 -1.42604 -1.42603 -1.42603

-1.7327 -1.42600 -1.42603 -1.42603-1.4254 -1.42603 -1.42603

-1.5022 -1.42602 -1.42603-1.4226 -1.42603

-1.4450 -1.42602-1.4260

-1.4308


Ejemplo de Romberg (II)En este caso vemos que aún tomando muchos menos puntos, 64 en lugar de los 256 de la tabla anterior, obtenemos casi el mismo resultado final.

-56.5195-50.8040

-52.2328 -11.9705-14.3976 -0.0828

-23.8564 -0.2685 -1.33069-1.1516 -1.3258 -1.42647

-6.8278 -1.3093 -1.42638 -1.42604-1.2994 -1.42598 -1.42604

-2.6815 -1.42416 -1.42604-1.4164 -1.42604

-1.7327 -1.42600-1.4254

-1.5022


Método de Romberg

Sique en la próxima página

FUNCTION romberg(n, h, v)! Función que calcula la integral numérica! por el método de RombergINTEGER n, i, j, nt, nv, stepREAL(8) h, romberg, v(n)REAL(8), ALLOCATABLE :: t(:)

step = n-1 nt = LOG(REAL(step))/LOG(2.) ALLOCATE(t(0:nt))

DO i=0, nt t(i) = trapecios(INT(2.**i)+1, step*h, v(::step)) step = step/2 ENDDO


Método de Romberg

nv = nt-1

DO j=2, nt+1 DO i=0, nv t(i) = (4**(j-1)*t(i+1) - t(i))/(4**(j-1)-1) ENDDO nv = nv - 1 ENDDO

romberg = t(0) END FUNCTION


Comparación entre métodos

TRAPECIOS

Es sencillo de aplicar.

Puede utilizarse con cualquier cantidad de puntos.

No integra con demasiada exactitud, a menos que la distancia entre puntos sea muy pequeña.

1/3 de SIMPSON

Es sencillo de aplicar.

Solo puede utilizarse con una cantidad impar de puntos.

El error de integración es muy pequeño.


Comparación entre métodos

3/8 de SIMPSON

Su fórmula es apenas un poco más complicada que la de 1/3 de Simpson.

Solo puede utilizarse con una cantidad de puntos igual a 3*n+1, siendo n el número de arcos.

Tiene un error ligeramente mayor que 1/3 de Simpson.

ROMBERG

Se inicia con valores obtenidos por Trapecios.

Solo puede utilizarse con una cantidad de puntos igual a 2N+1, siendo n el número de trapecios.

El error de integración es muy pequeño.


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