Cuadratura de Gauss

La cuadratura Gaussiana es un método de integración numérica, muy poderoso, el cual emplea espacios de intervalos desiguales, a diferencia de los métodos trapecial y de Simpson que son de aplicación inmediata para intervalos constantes, aunque también se pueden aplicar con ciertas reservas. Debido a que la regla trapecial debe pasar a través de los puntos límites, uniendo con un segmento de recta los puntos con coordenadas [a, f(a)] y [b, f (b)]; existen casos como el de la figura 1, en donde la fórmula genera un error muy grande. Ahora, supóngase que la restricción de fijar los puntos base se elimina y se va a evaluar libremente el área bajo el segmento de línea recta que une dos puntos cualesquiera de la curva, colocando estos puntos de manera que dicha línea minimice el error en el cálculo del área (Fig. 2), por lo que, el valor de integral será más exacto. La cuadratura gaussiana usa esta estrategia. Las fórmulas particulares de cuadratura gaussiana descritas en esta sección se llaman fórmulas de Gauss- Legendre.

Figura 1. Regla trapezoidal usando un solo trapecio.

Figura 2. Segmento de recta compensando áreas.

Se observa en figura 1 que el área del trapecio es:

I=f (a )+ f (b )

2(b−a)

Que puede escribirse como:

I ≅ c1 f (x1 )+c2 f (x2 )…………(1)

En donde c1 y c2 son incógnitas. Sin embargo, en contraste a la regla trapezoidal que usa como puntos extremos a y b, los argumentos de la función x1 y x2 ahora no están a los puntos extremos a y b, sino que son incógnitas (Fig.3). Por lo tanto,

se tiene un total de cuatro incógnitas que se deben evaluar y, por consiguiente, se requieren de cuatro condiciones para determinarlos exactamente. Se pueden obtener dos de estas condiciones suponiendo que la ecuación (1) ajusta exactamente la integral de una constante ( y=1)y de una función lineal ( y= x) .Entonces, para llegar a las otras dos condiciones, se extiende este razonamiento al suponer que también se ajusta la integral a una función parabólica ( y= x2) y a una función cúbica ( y= x3) . Haciendo esto, se determinan las cuatro incógnitas conviniendo en derivar una fórmula de integración de doble punto que es exacta para cúbicas. Las cuatro ecuaciones por resolver son:

Fig. 3. Gráfica para deducir la fórmula de Gauss- Legendre.

c1 f (x1 )+c2 f ( x2 )=∫−1

1

1dx=2………………………(2)

c1 f (x1 )+c2 f ( x2 )=∫−1

1

xdx=0………………………(3)

c1 f (x1 )+c2 f ( x2 )=∫−1

1

x2dx=23……………………… (4 )

c1 f (x1 )+c2 f ( x2 )=∫−1

1

x3dx=0………………………(5)

La solución simultánea de estas ecuaciones es,

c1=c2=1

x1=−x2=−1

√3

Donde (1) queda:

I ≅ 1 f (−1

√3 )+1 f ( 1

√3 )………… (6)

Que es la ecuación de Gauss- Legendre basada en dos puntos. Como se observa se llega al resultado interesante de que la suma de la función valuada en x1 y x t2lleva a una estimación de la integral con una exactitud de tercer orden. Es interesante observar que los límites de integración de ecuaciones (2-5), van desde –1 a +1. Esto se hizo para simplificar la aritmética y hacer la formulación tan general como sea posible. Un simple cambio de la variable se puede usar para trasladar otros límites de integración en esta forma. Por ejemplo, suponiendo que la nueva variable x testá dada en función de la variable original x, en forma lineal, entonces puede escribirse que,

x=a0+a1 x t…………(7)

Puesto que cuando x = a, x t = -1 y para x = b, x t= +1, se tiene:

a0=b+a

2 y que a1=

b−a2

con lo que, ecuación ( 7 ) se transforma en:

x=b+a2

+ b−a2xt……………(8)

dx=b−a2dx t…………… (9)

En muchas ocasiones esta transformación dificulta aparentemente los cálculos, por lo que una forma más práctica para resolver una integral es aproximándola con,

I=b−a2

∑k=1

m

wk f (xk )………… (10 )

Donde los w k son los factores de peso, las xk son los m puntos con espacios desiguales y corresponde al número de puntos para los cuales la función f(x) será evaluada. La ecuación equivalente a la (8) es, en este caso,

x=b+a2

+ b−a2ξ…………(11)

Los valores de ξk con sus correspondientes pesosw k.

Ejemplos

Ejemplo 1. Resolver la integral ∫0

π /2

x2 cos ( x )dx usando la cuadratura de Gauss-

Legendre con m = 4.

k ξk w k1 0.3399810436 0.6521451549 2 -0.3399810436 0.6521451549 3 0.8611363116 0.3478548451 4 -0.8611363116 0.3478548451

x1=b+a

2+ b−a

2ξ=π

4+ π

4(0.3399810436 )=1. 052418651

x2=b+a

2+ b−a

2ξ=π

4+ π

4(−0.3399810436 )=0.5183776762

x3=b+a

2+ b−a

2ξ=π

4+ π

4(0.8611363116 )=1. 461733041

x4=b+a

2+ b−a

2ξ= π

4+ π

4(−0.8611363116 )=0. 1090632858

Los correspondientes valores de f(x) son,

f (x1 )=x12 cos (x1 )=0.5487769211

f (x2 )=x22 cos (x2 )=0.2334126957

f (x3 )=x32cos ( x3 )=0.2325698375

f (x 4 )=x42 cos (x 4 )=0.0118241273

I=b−a2

∑k=1

m

wk f (xk )=¿ I=π4∑k=1

4

wk f (xk )=¿¿¿

I=π4

[ 0.5951147936 ]=0. 467402066u2

Ejemplo 2.

Resolver la integral ∫0

0.8

( 400x5−900 x4+675 x3−200 x2+25 x+0.2 )dx

En ambos casos use m = 2, es decir, para el primer caso apóyese en ecuación.

x=0.4+0.4 x t

dx=0.4d xt

Sustituyendo en la integral por resolver, ésta queda:

∫0

0.8

( 400x5−900 x4+675 x3−200 x2+25 x+0.2 ) 0.4 d x t

x1=0.4+0.4 x t=0.4+0.4(−0.5773502692)=0.1690598923

x2=0.4+0.4 x t=0.4+0.4(0.5773502692)=0.6309401077

Por lo tanto.

f (x1 )=(1.291851362 ) (0 .4 )=0.5167404544

f (x2 )=(3.264553074 ) (0 .4 )=1.3058212300

I=0.5467405448+1.3058212300=1.822562

k ξk w k1 0.5773502692 12 - 0.5773502692 1

x1=b+a

2+ b−a

2ξ=0.4+0.4 (−0.5773502692 )=0.16900598923

x2=b+a

2+ b−a

2ξ=0.4+0.4 (0.5773502692 )=0.6309401077

Los valores correspondientes son.

f ( x )=400 x5−900 x4+675 x3−200 x2+25x+0.2

f (x1 )=1.29185136

f (x2 )=3.264593082

I=0.4 (4.556444442)=1.822577777u2

Ejemplo 3.

Utilizando la cuadratura de Gauss-Legendre (n=2), estime la siguiente integral.

I=∫1

1.5

e−t2

dt

t=(1.5−1 ) x+ (1.5+1 )

2= x+5

4

dt=dx4

∫−1

1

e−( x+5

4 )2

( 14 )dx

F ( x )=e−( x +5

4 )2

( 14 )

∫−1

1

F ( x )dx≅ c1 f (x1 )+c2 f (x2 )

I=(1 )F (−0.5773502692 )+(1 ) F (0.5773502692 )=0.1094002612

Ejemplo 4.

∫−1

1

e− xcos2 x dx≈1.6386376

Tomando Gauss-Legendre con n=2.

x0≈−0.7745967 ; x1=0 ; x2≈0.7745967

∫−1

1

e− xcos2 x dx≈∑i=0

2

e−i x icos2 x iwi

∫−1

1

e− xcos2 x dx≈89+5

9(e−√5

3 +e√ 53)cos2 √ 5

3≈1.6353975

Ejemplo 5.

∫1

2

cos √x dx=∑i=0

n

wi f ( z¿¿ i);¿

n=2

x0=−1

√3; x1=

1

√3

z0=12x0+

32≈1.2113249 ; z1=

12x1+

32≈1.7886751

I ≈12

[cos √1.2113249+cos√1.7886751 ]≈0.3421646

Algoritmo de cuadratura de Gauss.

Cuadratura de Gauss

T (1,1)=b−a2

( f (a )+ f (b))

T (1 ,2)=b−a

4 ( f (a )+2 f ( b−a2 )+f (b))

T (2 ,1)=13

(T (1 ,2 )−T (1,1))

a, b

J=3

∆ x=(b−a)/2 j−1

x=a−∆x

n=2J−2

SUM=0

i=1

x=x+2∆ x

SUM=SUM+f(x)

¿i=n?

1

1

2

2

No.

T (1 , J )=T (1,1 )2

+∑ (∆ x)

L=2

K=J+1-L

T L−K=4L−1TT−1 , K+1−T L−1 , k

4L−1−1

¿L=J?No

Programa del método.

#include <stdio.h>#include <math.h> #define N 5double Pi;double lroots[N];double weight[N];double lcoef[N + 1][N + 1] = {{0}}; void lege_coef(){

int n, i;lcoef[0][0] = lcoef[1][1] = 1;for (n = 2; n <= N; n++) {

lcoef[n][0] = -(n - 1) * lcoef[n - 2][0] / n;for (i = 1; i <= n; i++)

lcoef[n][i] = ((2 * n - 1) * lcoef[n - 1][i - 1] - (n - 1) * lcoef[n - 2][i] ) / n;

}} double lege_eval(int n, double x){

int i;double s = lcoef[n][n];for (i = n; i; i--)

s = s * x + lcoef[n][i - 1];return s;

} double lege_diff(int n, double x){

return n * (x * lege_eval(n, x) - lege_eval(n - 1, x)) / (x * x - 1);} void lege_roots()

∫a

b

f ( x )dx=T J ,1

{int i;double x, x1;for (i = 1; i <= N; i++) {

x = cos(Pi * (i - .25) / (N + .5));do {

x1 = x;x -= lege_eval(N, x) / lege_diff(N, x);

} while (x != x1);

lroots[i - 1] = x;

x1 = lege_diff(N, x);weight[i - 1] = 2 / ((1 - x * x) * x1 * x1);

}} double lege_inte(double (*f)(double), double a, double b){

double c1 = (b - a) / 2, c2 = (b + a) / 2, sum = 0;int i;for (i = 0; i < N; i++)

sum += weight[i] * f(c1 * lroots[i] + c2);return c1 * sum;

} int main(){

int i;Pi = atan2(1, 1) * 4;

lege_coef();lege_roots();

printf("Raizes: ");for (i = 0; i < N; i++)

printf(" %g", lroots[i]);

printf("\nAltura:");for (i = 0; i < N; i++)

printf(" %g", weight[i]);

printf("\nInterpretando e^(x) over [-3, 3]:\n\t%10.8f,\n""Comparando con solo la distancia entre puntos \n\t%10.8f\n",lege_inte(exp, -3, 3), exp(3) - exp(-3));

return 0;}Prueba de escritorio.

Conclusiones

El método es una combinación de distintos métodos numéricos que involucran una manera de resolver una integral para encontrar el área bajo la curva de una función, y al usar la combinación de las expresiones y haciendo el método más laborioso se obtiene un resultado mucho más cercano a la línea que describe la función.

Bibliografía

Michael Spivak/ CÁLCULO INFINITESIMAL/ Ediciones RPLA,S.A.