Sobre los cuadrados inscritos

en un tringulo rectngulo

Francisco Javier Garca Capitn

20 de noviembre de 2011

Resumen

Justificamos algunas relaciones existentes entre los cuadrados inscritos

en un tringulo rectngulo, algunas de ellas propuestas por Juan Bosco

Romero Mrquez.

1. Partimos de un tringulo ABC con C = 90 y a = BC , b =CA, c = AB .

Sea E el pie de la bisectriz del ngulo C yD,F las proyecciones ortogonales

de E sobre las rectas AC y BC , respectivamente. Entonces tenemos el cuadrado

CDEF de lado = ab/(a+b).

ka

kb

ka

ka/b

ka

C A

B

E

F

D

En efecto, usando los tringulos semejantes de la figura,

a = ka+ka2

b= ka

(1+

a

b

)= ka

a+b

b= ka =

ab

a+b.

1

2. Ahora consideramos el cuadrado inscritoGHI J , conGH sobre la hipotenusa

BC .

mb

mc

ma

mc/b

mc

C A

B

J

I

G

H

El lado de este cuadrado es = abc/(ab+c2).

En efecto, usando los tringulos JCI yBGJ , ambos semejantes aBCA, tneemos

B J = kc2/b. Entonces tenemos

a =B J + JC =mc2

b+mam =

ab

ab+c2.

3. Pongamos juntos los dos cuadrados CDEF y GHI J , y aadamos el punto

medio L de AB , y los puntos de interseccinM = EF GJ y N =DE HI .

C A

B

L

E

F

D

PJ

I

G

HM

N

Las rectas BI , AJ y CL concurren en un punto P , ya que al I J es paralela

a AB , las rectas BI y AJ se cortan sobre la mediana CL (podemos aplicar el

teorema de Ceva).

4. Razonemos ahora que el puntoM est sobre la reectaBI . Para ello, llamem-

osM1 =BIFE yM2 = BIGJ , y razonemos que ambos puntos coinciden con

M .

2

GE = BE BG =kac

b

mac

b=

ac

b(km)=

acb2

(a+b)(ab+c2)

M2E =abc2

(a+b)(ab+c2).

Por otro lado,

FM1

BF=

CI

BC FM1 =

ka2

b

mb

a= kma =

a2b2

(a+b)(ab+c2).

Sumando, resulta

FM1+M2E =ab(ab+c2)

(a+b)(ab+c2)=

ab

a+b=,

por lo queM1 yM2 coinciden, y ambos deben ser el puntoM .

5. Razonemos ahora que el punto P tambin est sobre la diagonal DF del

cuadradoCDEF .

C A

B

L

E

F

D

PJ

I

G

HM

N

Asignamos coordenadas de manera queC = (0,0), A = (b,0), B = (0,a). Ten-

emos que comprobar que son concurrentes las rectas

AJ :x

b+

y

ma= 1, BI :

x

mb+y

a= 1, FD : x+ y = ,

lo cual es cierto, ya que las tres rectas tienen en comn el punto

P =

(bm

m+1,am

m+1

)=

(ab2

(a+b)2,

a2b

(a+b)2

).

3

6. En el apartado 4. hemos calculado la distancia

EM =abc2

(a+b)(ab+c2).

Observando que esta expresin es simtrica respecto de a y b, deducimos que

la distancia EN tendr el mismo valor.

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