Sobre los cuadrados inscritos
en un tringulo rectngulo
Francisco Javier Garca Capitn
20 de noviembre de 2011
Resumen
Justificamos algunas relaciones existentes entre los cuadrados inscritos
en un tringulo rectngulo, algunas de ellas propuestas por Juan Bosco
Romero Mrquez.
1. Partimos de un tringulo ABC con C = 90 y a = BC , b =CA, c = AB .
Sea E el pie de la bisectriz del ngulo C yD,F las proyecciones ortogonales
de E sobre las rectas AC y BC , respectivamente. Entonces tenemos el cuadrado
CDEF de lado = ab/(a+b).
ka
kb
ka
ka/b
ka
C A
B
E
F
D
En efecto, usando los tringulos semejantes de la figura,
a = ka+ka2
b= ka
(1+
a
b
)= ka
a+b
b= ka =
ab
a+b.
1
2. Ahora consideramos el cuadrado inscritoGHI J , conGH sobre la hipotenusa
BC .
mb
mc
ma
mc/b
mc
C A
B
J
I
G
H
El lado de este cuadrado es = abc/(ab+c2).
En efecto, usando los tringulos JCI yBGJ , ambos semejantes aBCA, tneemos
B J = kc2/b. Entonces tenemos
a =B J + JC =mc2
b+mam =
ab
ab+c2.
3. Pongamos juntos los dos cuadrados CDEF y GHI J , y aadamos el punto
medio L de AB , y los puntos de interseccinM = EF GJ y N =DE HI .
C A
B
L
E
F
D
PJ
I
G
HM
N
Las rectas BI , AJ y CL concurren en un punto P , ya que al I J es paralela
a AB , las rectas BI y AJ se cortan sobre la mediana CL (podemos aplicar el
teorema de Ceva).
4. Razonemos ahora que el puntoM est sobre la reectaBI . Para ello, llamem-
osM1 =BIFE yM2 = BIGJ , y razonemos que ambos puntos coinciden con
M .
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GE = BE BG =kac
b
mac
b=
ac
b(km)=
acb2
(a+b)(ab+c2)
M2E =abc2
(a+b)(ab+c2).
Por otro lado,
FM1
BF=
CI
BC FM1 =
ka2
b
mb
a= kma =
a2b2
(a+b)(ab+c2).
Sumando, resulta
FM1+M2E =ab(ab+c2)
(a+b)(ab+c2)=
ab
a+b=,
por lo queM1 yM2 coinciden, y ambos deben ser el puntoM .
5. Razonemos ahora que el punto P tambin est sobre la diagonal DF del
cuadradoCDEF .
C A
B
L
E
F
D
PJ
I
G
HM
N
Asignamos coordenadas de manera queC = (0,0), A = (b,0), B = (0,a). Ten-
emos que comprobar que son concurrentes las rectas
AJ :x
b+
y
ma= 1, BI :
x
mb+y
a= 1, FD : x+ y = ,
lo cual es cierto, ya que las tres rectas tienen en comn el punto
P =
(bm
m+1,am
m+1
)=
(ab2
(a+b)2,
a2b
(a+b)2
).
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6. En el apartado 4. hemos calculado la distancia
EM =abc2
(a+b)(ab+c2).
Observando que esta expresin es simtrica respecto de a y b, deducimos que
la distancia EN tendr el mismo valor.
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