Cuaderno de trabajo matematicas 2 thomas weir

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Cuaderno de trabajo

Matemáticas 2

Colaboración

Humberto Hipólito García Díaz

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de MonterreyCampus Guadalajara

George Thomas

Maurice Weir

Joel Hass

David Lay

Cuaderno de trabajo

Matemáticas 2

Datos de catalogación bibliográfica

Páginas: 88

PEARSON EDUCACIÓN, México, 2012ISBN: 978-607-32-0861-1Área: Matemáticas

Formato: 20 × 25.5 cm

Cuaderno de trabajo Matemáticas 2.Primera edición

THOMAS, GEORGE et al.

Authorized translation from the English language edition, entitleds

• Thomas Calculus, Single Variable, 12th Edition, by George Thomas, Maurice Weir, Joel Hass, published by Pearson Education Inc., publishing as Addison-Wesley, Copyright © 2010. Original ISBN 978-032-16-3742-0. Translation ISBN 978-607-32-0164-3

• Thomas Calculus, Multivariable, 12th Edition, by George Thomas, Maurice Weir, Joel Hass, published by Pearson Education Inc., publishing as Addison-Wesley, Copyright © 2010. Original ISBN 978-032-16-4369-8. Translation ISBN 978-607-32-0209-1.

• Linear Algebra and its applications, 3th Edition, by David C. Lay, published by Pearson Education Inc., publishing as Addison-Wesley, Copyright © 2006. Original ISBN 978-032-12-8713-7. Translation ISBN 978-970-26-0906-3. All rights reserved.

Adaptación de la traducción autorizada de la edición en idioma inglés, titulados:

• Thomas Calculus, Single Variable, 12a Edición, por George Thomas, Maurice Weir, Joel Hass, publicada por Pearson Education Inc., publicada como Addison-Wesley, Copyright © 2010. ISBN Original 978-0321637420. ISBN Traducción 978-607-32-0164-3

• Thomas Calculus, Multivariable, 12th Edición, por George Thomas, Maurice Weir, Joel Hass, publicada por Pearson Education Inc., publicada como Addison-Wesley, Copyright © 2010. ISBN Original 978-032-16-4369-8. ISBN Traducción 978-607-32-0209-1.

• Linear Algebra and its applications, 3th Edición, por David C. Lay, publicada por Pearson Education Inc., publicada como Addison-Wesley, Copyright © 2006. ISBN Original 978-032-12-8713-7. ISBN Traducción 978-970-26-0906-3. Todos los derechos reservados.

Editor: Carlos Mario Ramírez Torres [email protected] de desarrollo: Claudia Silva MoralesSupervisor de producción: Enrique Trejo Hernández

PRIMERA EDICIÓN, 2012

D.R. © 2012 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlacomulco 500-5º piso Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Juárez, Estado de México

Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031.

Prentice Hall es una marca registrada de Pearson Educación de México, S.A. de C.V.

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóp-tico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito de los coeditores.

El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización de los coeditores o de sus representantes.

ISBN 978-607-32-0861-1 ISBN e-book 978-607-32-0862-8 ISBN e-chapter 978-607-32-0863-5 Impreso en México. Printed in Mexico.1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 – 15 14 13 12

www.pearsoneducacion.net ISBN 978-607-32-0861-1

v

Tema 1 Antiderivadaseintegraldefinida 1 Determinación de antiderivadas 1 Integrales indefinidas 1

Tema 2 Teoremafundamentaldelcálculo 7

Tema 3 Regladesustitución 11

Tema 4 Integraciónporpartes 17

Tema 5 Ecuacionesdiferenciales 21

Tema 6 Áreadebajodelacurva 25 Área debajo de la gráfica de una función no negativa 25

Tema 7 Áreaentrecurvas 27

Tema 8 Integralesimpropias 33

Tema 9 Sistemadecoordenadastridimensionales 37 Sistemas de coordenadas tridimensionales 37

Contenido

Contenidovi

Tema 10 Superficiescilíndricas 41 Superficies cuádricas 42

Tema 11 Definicióndefuncióndevariasvariables 47 Funciones de varias variables 47

Tema 12 Derivadasparciales 49

Tema 13 Valoresextremosypuntossilla 57

Tema 14 MultiplicadoresdeLagrange 61

Tema 15 Operacionesentrematrices 65

Tema 16 Solucióndesistemadeecuaciones 69

Tema 17 Autovaloresyautovectores 73

Tema 18 Sucesiones 75

Tema 19 Series 77

Tema 20 SeriesdeTayloryMaclaurin 79

1

Tema 1

Antiderivadas e integral definida

DEFINICIÓN Una función F es una antiderivada de f en un intervalo I si F′(x) = f (x) para toda x en I.

TEOREMA Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, entonces la antiderivada más general de f en I es

F(x) + Cdonde C es una constante arbitraria.

Determinación de antiderivadas

DEFINICIÓN La colección de todas las antiderivadas de f se denomina la integral indefinida de f con respecto a x, la cual se denota mediante

ƒ(x) dx.

El símbolo es un signo de integral. La función f es el integrando de la integral, y x es la variable de integración.

Integrales indefinidas

Antiderivada generalFunciónAntiderivada generalFunción

1k

tan kx + C

1k

sen kx + C

−1k

cos kx + C

1n + 1

xn+ 1 + C, n ≠ 1

sen kx

cos kx

sec 2 kx

x n

sec kx tan kx

csc kx cot kx −1k

csc kx + C

1k

sec kx + C

−1k

cot kx + Ccsc 2 kx−

Fórmulas para antiderivadas, k es una constante distinta de cero

Cuaderno de trabajo Matemáticas 22

En los siguientes ejercicios, determine la antiderivada más general o la integral indefi-nida. Compruebe sus respuestas mediante diferenciación.

• • 3t2 + t2

dt

• •1x2 − x2 − 1

3 dx

• • x + 3 x dx

• • 2x(1 − x−3) dx

TEMA 1 Antiderivadas e integral definida 3

• • 7 senθ θ 3

d

• • 4 + t

t3 dt

• • 3 cos 5θ θ d

Indique si cada fórmula es correcta o incorrecta y dé una breve justificación para cada respuesta.

a) •

•

• x sen x dx = x cos x + sen x + C

x sen x dx = x cos x + C

x sen x dx = x2

2 sen x + C

−

−


b)

•

•



x sen x dx = x2

2 sen x + C

−

−

c)

•

•



x sen x dx = x2

2 sen x + C

−

−


a)

•

• 6(2x + 1)2 dx = (2x + 1)3 + C

3(2x + 1)2 dx = (2x + 1)3 + C

• (2x + 1)2 dx =(2x + 1)3

3+ C

b) •

• 6(2x + 1)2 dx = (2x + 1)3 + C

3(2x + 1)2 dx = (2x + 1)3 + C

• (2x + 1)2 dx =(2x + 1)3

3+ C

TEMA 1 Antiderivadas e integral definida 5

c)

•

• 6(2x + 1)2 dx = (2x + 1)3 + C

3(2x + 1)2 dx = (2x + 1)3 + C

• (2x + 1)2 dx =(2x + 1)3

3+ C


a) •

•

• 2x + 1 dx = 13

2x + 1 3 + C

2x + 1 dx = x2 + x + C

2x + 1 dx = x2 + x + C

b)

•

•

• 2x + 1 dx = 13

2x + 1 3 + C

2x + 1 dx = x2 + x + C

2x + 1 dx = x2 + x + C

c)

•

•

• 2x + 1 dx = 13

2x + 1 3 + C

2x + 1 dx = x2 + x + C

2x + 1 dx = x2 + x + C

7

TEOREMA Fundamental del cálculo, parte 1 Si f es continua en [a, b], entonces F(x) =

a

x ƒ(t) dt es continua en [a, b] y derivable en (a, b) y su derivada es f (x):

F (x) = ddx

x

aƒ(t) dt = ƒ(x).

TEOREMA Cuando f y g son integrables en el intervalo [a, b], la integral definida satisface las reglas de la siguiente tabla.

Tema 2

Teorema fundamental del cálculo

1. Orden de integración: Una de�nición.

2. Intervalo con ancho cero:

3. Múltiplo constante: k cualquier constante.

4. Suma y diferencia:

5. Aditividad:

6. Desigualdad máx-mín: Si f tiene un valor máximo, máx f , y un valor mínimo,mín f , en [a, b], entonces

7. Dominación:

(Caso especial).ƒ x ≥ 0 en [a, b] b

aƒ x dx ≥ 0

ƒ x ≥ g x en [a, b] b

aƒ x dx ≥

b

ag x dx

mín ƒ b − a ≤b

aƒ x dx ≤ máx ƒ b − a

b

aƒ x dx +

c

bƒ x dx =

c

aƒ x dx

b

aƒ x ± g x dx =

b

aƒ x dx ±

b

ag x dx

b

akƒ x dx = k

b

aƒ x dx

a

aƒ x dx = 0

a

bƒ x dx =

b

aƒ x dx

Una de�nición cuando f (a) existe.

−

Reglas que satisfacen las integrales definidas

TEOREMA Fundamental del cálculo, parte 2 Si f es continua en todo punto en [a, b] y f es cualquier antiderivada de f en [a, b], entonces

b

aƒ(x) dx F(b) F(a).


Evalúe las integrales en los siguientes ejercicios.

• •0

−2(2x + 5) dx

• •2

0 x(x − 3) dx

• •4

03x − x3

4 dx

• •1

0x2 + x dx

TEMA 2 Teorema fundamental del cálculo 9

• •0

2 1 + cos 2t

2 dt

• •1

2

u7

2− 1

u5 du

• •2

1

s2 + s

s2 ds

• •1

−1 (x2 − 2x + 3) dx


• •32

1x−6 5 dx

• •0

(1 + cos x) dx

11

Tema 3

Regla de sustitución

TEOREMA Regla de sustitución Si u = g(x) es una función derivable cuyo rango es un intervalo I, y f es continua en I, entonces

ƒ g x g x dx = ƒ u du.

Evalúe las integrales indefinidas en los siguientes ejercicios; hágalo usando las susti-tuciones dadas para reducir las integrales a una forma estándar.

• sen 3x dx, u = 3x

• 12( y4 + 4y2 + 1)2( y3 + 2y) dy, u = y4 + 4y2 + 1

• dx

5x + 8



• 41 − θθθ 2 d

• 1

x (1 + x)2 dx

• r2 r3

18− 1

5

dr

• sen (2t + 1)

cos2 (2t + 1) dt

TEMA 3 Regla de sustitución 13

• 1

sen1

cos 1

d

•cos

sen2 d

• x

(x2 − 4)3dx


•−2

−3 dxx


•2y dy

y2 − 25

•0

sen t2 − cos t

dt

• 8r dr

4r2 − 5

•4

2

dxx ln x

TEMA 3 Regla de sustitución 15


• e r

rdr

• 2t e−t 2dt

•e1 x

x2 dx

•e−1 x2

x3dx


•ln 2

ln 62e cos e d

•ln

02x ex2

cos (ex2) dx

• er

1 + er dr

17

Tema 4

Integración por partesFórmula de integración por partes

Mediante integración por partes, evalúe las integrales de los siguientes ejercicios.

• x senx2

dx

• cos π θθθ d

• t2 cos t dt

u d = u − du.


•2

1x ln x dx

•e

1x3 ln x dx

• xe3x dx

• (x2 − 5x)ex dx

TEMA 4 Integración por partes 19

• 5ex dxx + 1

• 3(ln x) 2 dx

• 4 x ln x dx2

21

Tema 5Ecuaciones diferenciales

En los siguientes ejercicios, demuestre que cada función y = f (x) es una solución de la ecuación diferencial que le acompaña.

•

a) b) c) y = e−x + Ce−(3 2)xy = e−x + e−(3 2)xy = e−x

2y + 3y = e−x

•

a) b) c) y1

x + Cy

1x + 3

y1x

y y2


En los siguientes ejercicios, resuelva la ecuación diferencial.

• 2 xy dy

dx= 1, x, y > 0

•dy

dx= x2 y, y > 0

•dy

dx= 3x2 e−y

• 2xy dy

dx= 1

TEMA 5 Ecuaciones diferenciales 23

• x dy

dx= ey + x, x > 0

•dy

dx= 2x 1 − y2, −1 < y < 1

•dy

dx= e2x−y

ex+y

25

Tema 6

Área debajo de la curva

En los siguientes ejercicios, determine el área total entre la función y el eje x.

DEFINICIÓN Si y = f (x) es no negativa e integrable en un intervalo cerrado [a, b], entonces el área debajo de la curva y ∙ f (x) en [a, b] es la integral de f de a a b,

Área debajo de la gráfica de una función no negativa

A =b

aƒ(x) dx.

• y x2 − 2x, −3 ≤ x ≤ 2

• y = 3x2 − 3, −2 ≤ x ≤ 2


En siguiente ejercicio, determine el área de la región sombreada.

• y = x3 − 3x2 + 2x, 0 ≤ x ≤ 2

• y = x1 3 − x, −1 ≤ x ≤ 8

• y

x

1

656

y sen x

27

Tema 7

Área entre curvas

DEFINICIÓN Si f y g son continuas con f (x) − g(x) en todo [a, b], entonces el área de la región entre las curvas y ∙ f (x) y y ∙ g(x) de a a b es la integral de ( f − g) de a a b:

A =b

a[ƒ(x) − g (x)] dx.

En los siguientes ejercicios, determine las áreas totales de las regiones sombreadas.

•

0 2–2x

y

y x 4 x2


•

x

y

0–1

–1

–2

–3

–2–

y 3(sen x) 1 cos x

•

0 1

1

x

y

(1, 1)

x y2

x y3

28

TEMA 7 Área entre curvas 29

•

x

y

–10

2

1–1–2 2

(–2, –10)

y 2x3 x2 5x

y –x2 3x

(2, 2)

•

x

y

–1 0

–2

1

1

y x2

y –2x4


•

x

y

–1 1 2 3–2

2

–5

4

(3, –5)

(–2, 4) y 4 x2

y –x 2

En los siguientes ejercicios, determine las áreas de las regiones encerradas por las rectas y las curvas.

• y = x2 − 2 y y = 2

y = 2x − x2 y y = −3

y = x4 y y = 8x

y = x2 − 2x y y = x

y = x2 y y = −x2 + 4x

y = 7 − 2x2 y y = x2 + 4

•

y = x2 − 2 y y = 2

y = 2x − x2 y y = −3

y = x4 y y = 8x

y = x2 − 2x y y = x

y = x2 y y = −x2 + 4x

y = 7 − 2x2 y y = x2 + 4

TEMA 7 Área entre curvas 31

•

y = x2 − 2 y y = 2

y = 2x − x2 y y = −3

y = x4 y y = 8x

y = x2 − 2x y y = x

y = x2 y y = −x2 + 4x

y = 7 − 2x2 y y = x2 + 4

•

y = x2 − 2 y y = 2

y = 2x − x2 y y = −3

y = x4 y y = 8x

y = x2 − 2x y y = x

y = x2 y y = −x2 + 4x

y = 7 − 2x2 y y = x2 + 4

•

y = x2 − 2 y y = 2

y = 2x − x2 y y = −3

y = x4 y y = 8x

y = x2 − 2x y y = x

y = x2 y y = −x2 + 4x

y = 7 − 2x2 y y = x2 + 4

•

y = x2 − 2 y y = 2

y = 2x − x2 y y = −3

y = x4 y y = 8x

y = x2 − 2x y y = x

y = x2 y y = −x2 + 4x

y = 7 − 2x2 y y = x2 + 4

33

Tema 8

Integrales impropias

DEFINICIÓN Las integrales con límites de integración infinitos son integrales im-propias del tipo I.

1. Si f (x) es continua en [a, q), entonces

2. Si f (x) es continua en (–q, b], entonces

3. Si f (x) es continua en (–q, q), entonces

donde c es cualquier número real.

En cada caso, si el límite es finito, decimos que la integral impropia converge y que el lí-mite es el valor de la integral impropia. Si el límite no existe, la integral impropia diverge.

aƒ(x) dx = lím

b

b

aƒ(x) dx .

b

ƒ(x) dx = líma

b

aƒ(x) dx .

ƒ(x) dx =c

ƒ(x) dx +c

ƒ(x) dx ,

DEFINICIÓN Las integrales de funciones que se vuelven infinitas en un punto dentro del intervalo de integración son integrales impropias de tipo II.

1. Si f (x) es continua en (a, b] y es discontinua en a, entonces

2. Si f (x) es continua en [a, b) y es discontinua en b, entonces

3. Si f (x) es discontinua en c, donde a, c, b, y es continua en [a, c) ∪ (c, b], en-tonces

b

aƒ(x) dx = lím

c a+

b

cƒ(x) dx .

b

aƒ(x) dx = lím

c b

c

aƒ(x) dx .

b

aƒ(x) dx =

c

aƒ(x) dx +

b

cƒ(x) dx .


Evalúe las integrales en los siguientes ejercicios sin utilizar tablas.

•1

0

dxx

•1

−1

dx

x2 3

•2x dx

(x2 + 1)2

•1

0

+θ 12 + 2θθ

dθ

En cada caso, si el límite es finito decimos que la integral impropia converge y que el límite es el valor de la integral impropia. Si el límite no existe, la integral diverge.

TEMA 8 Integrales impropias 35

•1

dx

x1.001

•4

0

dx

4 − x

•1

0

dr

r0.999

•x dx

(x2 + 4)3 2

37

Tema 9

Sistema de coordenadas tridimensionales

z

x

(x, 0, 0)

(x, y, 0)

(x, 0, z)

(0, 0, z)

(0, y, z)

(0, y, 0)

x = constante

y = constante

z = constante

y

P(x, y, z)0

Sistemas de coordenadas tridimensionales

El sistema coordenado cartesiano sigue la convención de la mano derecha.

z

plano yz: x 0

plano xz: y 0

plano xy: z 0

y

x

(0, 0, 0)

Origen

Los planos x = 0, y = 0 y z = 0 dividen al espacio en ocho octantes.


y

z

x

(0, 0, 5) (2, 3, 5)

(0, 3, 0)(2, 0, 0)

0

Recta y 3, z 5

Recta x 2, z 5

Plano y 3

Recta x 2, y 3

Plano z 5

Plano x 2

Los planos x = 2, y = 3 y z = 5 determinan tres rectas que pasan por el punto (2, 3, 5).

En los siguientes ejercicios describa el conjunto dado con una ecuación o con un par de ecuaciones.

El plano perpendicular a

a) el eje x en (3, 0, 0)

b) el eje y en (0, − 1, 0)

c) el eje z en (0, 0, −2)

•

TEMA 9 Sistema de coordenadas tridimensionales 39

El plano que pasa por el punto (3, −1, 2) perpendicular a

a) el eje x

b) el eje y

c) el eje z

•

El plano que pasa por el punto (3, −1, 1) paralelo a

a) el plano xy

b) el plano yz

c) el plano xz

•

41

Tema 10

Superficies cilíndricas

y

z

xRectas que pasan por la curva generatriz paralelas al eje x

Curva generatriz(en el plano yz)

Cilindros

Un cilindro es una superficie que se genera por el movimiento de una línea recta pa-ralela a una recta fija dada a lo largo de una curva plana dada. La curva se llama cur-va generatriz del cilindro (ver figura). En geometría sólida, donde cilindro significa cilindro circular, las curvas generatrices son circunferencias, pero ahora permitimos curvas generatrices de cualquier tipo. El cilindro de nuestro primer ejemplo es gene-rado por una parábola.

Cilindro y curva generatriz.


Ax2 + By2 + Cz2 + Dz = E,

Superficies cuádricas

donde A, B, C, D y E son constantes. Las superficies cuádricas básicas son los elip-soides, los paraboloides, los conos elípticos y los hiperboloides. Las esferas son casos especiales de los elipsoides. Daremos unos cuantos ejemplos para ilustrar cómo dibujar una superficie cuádrica y luego presentamos una tabla de gráficas en la que se resumen los tipos básicos.

y

x

z

EL

IPS

E

c

z0

a

b y

x

z

EL

I PS

E

ELIPSE

Sección transversal elíptica en el plano z z0

La elipse 1

en el plano xy

x2

a2

y2

b2

La elipse 1

en el plano yz

y2

b2z2

c2

La elipse

en el plano xz

x2

a2z2

c2 1

x

z

y

PARÁ

BOLA

0

y x2

P0(x0, x02, 0)

Q0(x0, x02, z)

Todos los puntos del cilindro tienen coordenadas de la forma (x0, x02, z). Le llamamos

“el cilindro y = x2”.

Una superficie cuádrica es la gráfica en el espacio de una ecuación de segundo grado en x, y y z. Nos enfocaremos en la ecuación general

El elipsoide.

TEMA 10 Superficies cilíndricas 43

• x2 + y2 + 4z2 = 10

• z2 + 4y2 − 4x2 = 4

• 9y2 + z2 = 16

• y2 + z2 = x2

Formar pares de ecuaciones y superficies

En los siguientes ejercicios, forme un par con cada ecuación y la superficie que ésta define. También identifique cada superficie por su tipo (paraboloide, elipsoide, etcétera). Las superficies están listadas de la “a” a la “l”.


• x = y2 − z2

• x = y2 −− z2

• x2 + 2z2 = 8

• z2 + x2 − y2 = 1

• x = z2 − y2

TEMA 10 Superficies cilíndricas 45

• z

yx

• z

yx

• z

yx

• z

yx

• z

yx

• z

yx

• z = −4x2 − y2

• x2 + 4z2 = y2

• 9x2 + 4y2 + 2z2 = 36

a)

c)

e)

b)

d)

f )


• z

yx

• z

yx

• z

yx

• z

yx

• z

x y

• z

yx

g)

k)

i)

h)

l)

j)

47

Tema 11

Definición de función de varias variables

DEFINICIÓN Suponga que D es un conjunto de n-adas de números reales (x1, x2,…, xn). Una función de valores reales f en D es una regla que asigna un único número real (individual)

w = f (x1, x2, , xn)

a cada elemento en D. El conjunto D es el dominio de la función. El conjunto de valores w asignados por f es el rango de la función. El símbolo w es la variable de-pendiente de f, y se dice que f es una función de n variables independientes x1 a xn. También llamamos a las xj variables de entrada de la función y a w la variable de salida de la función.

Determinar los valores de las funciones dadas en los puntos indicados.

• g(x, y, z, ;) )= ex (2y z+ 3 ) g (0, −1, 2

• g(r, s, t, u ;) h(−3, 3, 5, 4)=rs

t 2 u2−

Funciones de varias variables


• 3x + 6y + 2z = 12

• y + z = 1

• z = x2 y2 +

• z 1= x2 −− y2

Esbozar las siguientes superficies dadas:

49

Tema 12

Derivadas parciales

DEFINICIÓN La derivada parcial de f (x, y) con respecto a x en el punto (x0, y0) es

si el límite existe.

f

x

(x0, y0)= lím

h 0 f (x0 + h, y0) − f (x0, y0)

h,

DEFINICIÓN La derivada parcial de f (x, y) con respecto a y en el punto (x0, y0) es

siempre que el límite exista.

f

y

(x0, y0)= d

dy f (x0, y)

y =y0

= límh 0

f (x0, y0 + h) − f (x0, y0)

h,

En los siguientes ejercicios, obtenga f/x y f/y.

• f (x, y) = 2x2 − 3y − 4

• f (x, y) = x2 − xy + y2


50

f (x, y) = (x2 − 1)( y + 2)•

f (x, y) = 5xy − 7x2 − y2 + 3x − 6y + 2•

• f (x, y) = (xy − 1)2

• f (x, y) = (2x − 3y)3

• f (x, y) = x2 + y2

TEMA 12 Derivadas parciales 51

• f (x, y) = (x3 + ( y 2))2 3

• f (x, y) = e(x+y+1)

• f (x, y) = 1 (x + y)

• f (x, y) = x (x2 + y2)

• f (x, y) = (x + y) (xy − 1)


• f (x, y) = e−x sen (x + y)

• f (x, y) = ln (x + y)

• f (x, y) = exy ln y

• f (x, y) = sen2 (x − 3y)

• f (x, y) = cos2 (3x − y2)


• f (x, y, z) = 1 + xy2 − 2z2

• f (x, y, z) = ln (x + 2y + 3z)

• f (x, y, z) = yz ln (xy)

• f (x, y, z) = e−(x2 +y2 +z2)

En los siguientes ejercicios, obtenga fx, fy y fz.


• f (x, y) = sen xy

• g (x, y) = x2y + cos y + y sen x

• w = yex2 y

• f (x, y) = x + y + xy

Encuentre todas las derivadas parciales de segundo orden de las funciones de los si-guientes ejercicios.


• w = x sen (x2y)

• w =x − y

x2 + y

57

Tema 13

Valores extremos y puntos sillaDEFINICIÓN Sea que f (x, y) esté definida en una región R que contiene el punto (a, b). Entonces,

1. f (a, b) es un valor máximo local de f si f (a, b) ≥ f (x, y) para todos los puntos (x, y) del dominio en un disco abierto con centro en (a, b).

2. f (a, b) es un valor mínimo local de f si f (a, b) ≤ f (x, y) para todos los puntos (x, y) del dominio en un disco abierto con centro en (a, b).

TEOREMA Criterio de la primera derivada para valores extremos locales.

Si f (x, y) tiene un valor máximo o mínimo local en un punto interior (a, b) de su do-minio, y si las primeras derivadas parciales existen allí, entonces f x(a, b) = 0 y f y(a, b) = 0.

DEFINICIÓN Un punto interior del dominio de una función f (x, y) donde tanto fx como fy se anulan, o donde alguna de éstas no existe, es un punto crítico de f.

DEFINICIÓN Una función derivable f (x, y) tiene un punto de silla en un punto crítico (a, b) si en cada disco abierto con centro en (a, b) existen puntos del dominio (x, y) donde f (x, y) > f (a, b), y puntos del dominio (x, y) donde f (x, y) < f (a, b). El punto correspondiente (a, b, f (a, b)) sobre la superficie z = f (x, y) se llama punto de silla de la superficie.

TEOREMA Criterio de la segunda derivada para valores extremos locales.

Suponga que f (x, y) y sus primeras y segundas derivadas parciales son continuas en un disco con centro en (a, b), y que f x (a, b) = f y(a, b) = 0. Entonces,

i) ƒ tiene un máximo local en (a, b), si f xx < 0 y f xx f yy − f xy2 > 0 en (a, b).

ii) ƒ tiene un mínimo local en (a, b), si f xx > 0 y f xx f yy − f xy2 > 0 en (a, b).

iii) ƒ tiene un punto de silla en (a, b), si f xx f yy − f xy2 < 0 en (a, b).

iv) El criterio no es concluyente en (a, b), si f xx f yy − f xy2 = 0 en (a, b). En este caso,

debemos encontrar otra manera de determinar el comportamiento de f en (a, b).


• f (x, y) = x2 + xy + y2 + 3x − 3y + 4

• f (x, y) = 2xy − 5x2 − 2y2 + 4x + 4y − 4

• f (x, y) = x2 + xy + 3x + 2y + 5

• f (x, y) = 5xy − 7x2 + 3x − 6y + 2

• f (x, y) = 2xy − x2 − 2y2 + 3x + 4

Determine todos los máximos locales, los mínimos locales y los puntos de silla de las funciones de los siguientes ejercicios.

TEMA 13 Valores extremos y puntos silla 59

• f (x, y) = x2 − 4xy + y2 + 6y + 2

• f (x, y) = x3 + 3xy2 − 15x + y3 − 15y

• f (x, y) = 1x2 + y2 − 1

• f (x, y) = e2x cos y

• f (x, y =) ex2+y2−4x

61

Tema 14

Multiplicadores de LagrangeEl método de multiplicadores de Lagrange

Suponga que f (x, y, z) y g(x, y, z) son derivables y que g ≠ 0 cuando g(x, y, z) = 0. Para determinar los valores máximos y mínimos locales de f sujeta a la restricción g(x, y, z) = 0 (si ésta existe), se obtienen los valores de x, y, z y que satisfacen en forma simultánea las ecuaciones

ƒ = g y g(x, y, z) = 0.

Para funciones de dos variables independientes, la condición es similar, pero sin la variable z.

• Extremos en una elipse Determine los puntos sobre la elipse x2 + 2y2 = 1, donde f (x, y) = xy asume valores extremos.

• Extremos en una circunferencia Obtenga los valores extremos de f (x, y) = xy sujeta a la restricción g(x, y) = x2 + y2 − 10 = 0.


62

• Máximo en una recta Determine el valor máximo de f (x, y) = 49 − x2 + y2 sobre la recta x + 3y = 10.

• Extremos sobre una recta Obtenga los valores extremos locales de f (x, y) = x2y sobre la recta x + y = 3.

• Extremos en una esfera Obtenga los puntos sobre la esfera x2 + y2 + z2 = 25, donde f (x, y, z) = x + 2y + 3z tiene sus valores máximos y mínimos.

• Maximizar un producto Determine el mayor producto que pueden tener los nú-meros positivos x, y y z, si x + y + z2 = 16.

TEMA 14 Multiplicadores de Lagrange 63

Resuelva los siguientes ejercicios.

• f (x, y) = x2 + 4y2 + 6

• 2x − 8y = 20

• f (x, y, z) = x2 + y2 + z2

• 2x + y − z = 9


• f (x, y, z) = xyz2

• x − y + z = 20 (xyz2 no cero)

65

Tema 15

Operaciones entre matricesEn los siguientes ejercicios, calcule cada suma o producto si la matriz está definida, Si alguna expresión no está definida, explique por qué. Sean

A = 2 0 −14 −5 2

, B = 7 −5 11 −4 −3

,

C = 1 2−2 1

, D = 3 5−1 4

, E = −53

• −2A, B − 2A, AC, CD

• A +2B, 3C − E, CB, EB


• Sean A = 2 −3−4 6

, B = 8 45 5

, y C = 5 −23 1

.

A =

4

1−

0

0

3

1

a) 2A + 3B

5

1

2

1

3

−

−

4

B =

b) BD

1 4

1 3−

0

8C =

1 3

5 4−D =

En los ejercicios, dadas las matrices A, B, C y D efectuar las operaciones indicadas.

Verifique que AB = AC y que sin embargo B ≠ C.

TEMA 15 Operaciones entre matrices 67

c) A − B)( t

d) 2 2D + CA

69

Tema 16

Solución de sistema de ecuacionesEn los siguientes ejercicios, encuentre los inversos de las matrices.

1.

2.

3.

•8 65 4

•3 27 4

•8 57 −− 5


• Use el inverso encontrado en el ejercicio 1 para resolver el sistema

8x1 +6x2 = 2

5x1 +4x2 = −1

8x1 + 5x2 = −9

−7x1 − 5x2 = 11

• Use el inverso encontrado en el ejercicio 3 para resolver el sistema

Use la regla de Cramer para calcular las soluciones a los sistemas de los siguientes ejercicios.

• 2x1 +x2 = 7−3x1 + x3 = −8

x2 +2x3 = −3

TEMA 16 Solución de sistema de ecuaciones 71

• 2x1 +x2 + x3 = 4−x1 + 2x3 = 23x1 +x2 +3x3 = −2

Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones por cada uno de los métodos.

a) Gauss-Jordanb) Cramerc) Inversa de Matriz

x + 2y + z = 4

x − y + z = 1

3x + z = 2 x = 1, y = 1, z = 2•


x − 6y + 3z = −2

3x + 3y − 2z = 2

2x − 3y + z = −2 x = 1, y = 3, z = 5•

73

Tema 17

Autovalores y autovectores

• ¿ = 2 es un valor propio de qué no? es un valor propio de 3 23 8

? ¿Por qué sí o por qué no?

• ¿ = −2 es un valor propio de 7 33 −1

? ¿Por qué sí o por qué no?


Encuentre los autovalores y autovectores de las siguientes matrices.

• 5 2

1 2−

• 1 4

3 −3

• 4 3

1 2

75

Tema 18

Sucesiones

DEFINICIÓN Una sucesión infinita es una función cuyo dominio son los números enteros positivos.

Encuentre la función correspondiente a la siguiente sucesión y después el vigésimo término.

• 2, 4, 6, 8, 10

• 1, 3, 5, 7, 9

• 4, 4, 4, 4, 4


• 1, 4, 9, 16, 25

• 51

2) ,

2

3,3

4,4

5,5

6

• 1, 2, 4, 8, 16, 32

77

Tema 19

Series

TEOREMA La serie geométrica a + ar + ar2 + … Con a distinta de 0.

• Converge y su suma es a∙(1-r) si ∙r ∙ < 1.• Diverge si ∙r ∙ > 1.

Dadas las siguientes series geométricas determine si éstas son convergentes o diver-gentes. En caso de convergencia calcule la suma.

• 2 ++ + +2

5

2

25

2

125…

• 7 +− −7

4

7

16

7

64…

• 1 ++++ −−1)(

5

1

5

1−

……n


• 1 5 5

e e…++ +

1−n

• 0.38 + 0038 + 000038 + …

• 3 4 1

1

∞

=∑ (n) n− −

n

• (−6)1

∞

=4 n−1n−

n∑

79

Tema 20

Series de Taylor y MaclaurinDEFINICIÓN

f x( ) = f (n)(a)(x − a)n

n!n=0

∑

f x x a( ) ( )= = sen 2 0

f x x a( ) ( )cos 2 0= =

f x e ax( ) 2 0= =−

Desarrolle las siguientes funciones alrededor de “a” ya sea como serie de Taylor o Maclaurin.

•

•

•

80 Cuaderno de trabajo Matemáticas 2

f x x a( ) ln 1= =

f x x a( ) ( )1 1 0= =−

•

•

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