2��

��

Metodos numericos para ecuaciones diferenciales

de orden 1

1. Dado el problema de valor inicial

y′ = x2 − y, y(0) = 1

a. Calcula la solucion exacta.

b. Utiliza el metodo de Euler para aproximar la solucion en el intervalo (0, 2) tomando,

h = 0.1 y h = 0.05 .

c. Calcula los errores globales para los distintos pasos y su maximo. ¿Se comporta el error

global maximo como se espera cuando h se divide entre dos?

d. Dibuja las aproximaciones y la solucion exacta en una misma grafica.

2. Dado el problema de valor inicial

y′ = −10y, y(0) = 1

a. Calcula la solucion exacta.

b. Utiliza el metodo de Euler para aproximar la solucion en el intervalo (0, 2) tomando,

h = 0.2 y h = 0.1 .

c. Dibuja las aproximaciones y la solucion exacta en una misma grafica.

d. Calcula los errores globales para los distintos pasos. ¿Que ocurre?

3. Un paracaidista salta desde un avion. Hasta el momento en que abre el paracaıdas, la re-

sistencia del aire es proporcional a v3/2 (v representa la velocidad). Supongamos que el

intervalo temporal es [0, 6] y que la ecuacion diferencial para la velocidad de descenso es

v′ = 10− 0.01v3/2, t ∈ [0, 6] con v(0) = 0

Utiliza el metodo de Euler con h = 0.05 para estimar v(6).

4. Programa el metodo de Heun y el de Euler modificado en dos archivos de Maxima.

5. Dado el problema de valor inicial

y′ = x2 − y, y(0) = 1

a. Calcula la solucion exacta.

b. Utiliza el metodo de Heun para aproximar la solucion en el intervalo (0, 2) tomando,

h = 0.1 y h = 0.05 .

c. Calcula los errores globales para los distintos pasos y su maximo. ¿Se comporta el error

global maximo como se espera cuando h se divide entre dos?

d. Dibuja las aproximaciones y la solucion exacta en una misma grafica.

6. Repite el ejercicio anterior utilizando el metodo de Euler modificado.

7. En este ejercicio describimos un modelo matematico para la extension de una epidemia.

Supongamos que tenemos una comunidad de L personas que contiene inicialmente P per-

sonas contagiadas y Q sin contagiar. Sea y(t) el numero de personas contagiadas en un

instante t. Si la enfermedad no es muy grave, como el resfriado comun, todo el mundo

continua en activo y la epidemia se extiende. Puesto que hay PQ posibles contactos entre

personas de uno y otro grupo, la velocidad de cambio de y(t) es proporcional a PQ, ası que

el problema puede modelarse mediante el problema de valor inicial

y′ = ky(L− y), y(0) = y0

Tomando L = 25000, k = 0.00003, h = 0.2 y la condicion inicial y(0) = 250, usa los metodos

de Heun y de Euler modificado para aproximar la solucion en [0, 60].