Cuadernillo Probabilidad Enero 2015

8/18/2019 Cuadernillo Probabilidad Enero 2015

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INDICETEMA 1 FUNDAMENTOS DE PROBABILIDAD 3

TEMA 2 VARIABLES ALEATORIAS 11

TEMA 3 ALGUNAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 20

TEMA 4 DISTRIBUCIONES MULIVARIADAS 31

TEMA 5. DISTRIBUCIÓN NORMAL MULTIVARIADA 40


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Tema 1: Fundamentos de probabilidad1.- Construya el espacio muestral para cada uno de los siguientes experimentos.

a) Se pregunta a una persona si la primera letra de su apellido es vocal o consonante b) Se pregunta a una persona si el día del mes en que nació es non o par.c) Se observa el comportamiento de 10 acciones de la Bolsa Mexicana de Valores yse registra el número de éstas que finalizaron el día a la baja.d) Se pregunta a una pareja el número de años cumplidos de escuela primariacursados por cada uno.

2.- Demostrar la verdad o falsedad de cada una de las siguientes afirmaciones.

a) Si

, entonces

∩

b) Si

, entonces

∅

c) Si 0,entonces ∅ d) Si 0,entonces ∩0 3.- Una urna contiene tres pelotas rojas, dos blancas y una azul. Una segunda urna contieneuna pelota roja, dos blancas y tres azules.

a) Una pelota es seleccionada al azar de cada urna.

a.1) Describe el espacio muestral para este experimento.a.2) Encuentre la probabilidad de que ambas pelotas sean del mismo color.a.3) ¿La probabilidad de que ambas pelotas sean rojas es mayor que la

probabilidad de que ambas pelotas sean blancas? b) Se selecciona aleatoriamente una urna y se extraen dos pelotas.

b.1) Describa el espacio muestral para este experimento. b.2) Encuentre la probabilidad de que ambas pelotas sean del mismo color. b.3) ¿La probabilidad de que ambas pelotas sean rojas es mayor que la de

que ambas sean blancas?

4.- Dado que

0 1 y

0 1, probar la veracidad o falsedad de cada una de

las siguientes afirmaciones.

a) Si | ≥ , entonces | ≥ . b) Si | | , entoncesA y son independientes.c) Si y b, entonces | ≥ + −.d) Si ,entonces | | .e) Si | | ,entonces .


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5.- Un dado es lanzado tantas veces como sea necesario hasta obtener un seis. ¿Cuál es la probabilidad de que se necesiten más de cuatro lanzamientos para obtener un seis, dadoque no se obtuvo un seis en el primer lanzamiento?

6.- a) Si | | ∩ , encontrar ∩ ∩.

b) Demuestre que si , y son tres eventos tales que ∩ y| ∩| , entonces | ∩ |.7.- a) Sean , ,…, eventos mutuamente excluyentes y ⋃=. Supongamosque ()>0 y que () para 1,2,…,. Demostrar que | .

b) Sean y dos eventos mutuamente excluyentes tales que >0 y >0 Demuestre que

y

no pueden ser independientes.

8.- SeanA yB dos eventos independientes en un espacio de probabilidadΩ , ,. a) Demostrar la independencia entre y y entre y y finalmente entre y. b) Si , encontrar ∩∪ ∩.

9.- Supóngase que un punto es escogido al azar en el cuadrado unitario. Sea el evento: el punto esté en el triángulo delimitado por las líneas0, 1

y , y sea el evento:

el punto esté en el rectángulo con vértices0,0,1,0, 1,, 0 ,. Calcule ∪ y

∩. 10.- Suponga que los coches tienen la misma probabilidad de ser fabricados en lunes,martes, miércoles, jueves o viernes. Los coches hechos en lunes tienen una probabilidad de4% de ser amarillos; los coches hechos en martes, miércoles o jueves tienen una probabilidad de 1 % de ser amarillos, y los coches hechos en viernes tienen una probabilidad de 2% de ser amarillos. Si se compra un coche y resulta ser amarillo ¿Cuál esla probabilidad de que haya sido fabricado el lunes?

11.- Suponga que hay una prueba para detectar cáncer con la propiedad de que el 90% deaquellas personas con cáncer reaccionan positivamente y el 5% de aquellas sin cáncerreaccionan positivamente. Si el 1% de los pacientes en un hospital tienen cáncer, ¿cuál es la probabilidad de que un paciente seleccionado al azar reaccione en forma positiva a la prueba?


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12.- Una máquina tiene 4 componentes que funcionan en paralelo, de tal forma que lamáquina falla si por lo menos tres componentes fallan. Suponga que las fallas en loscomponentes son independientes entre sí. Si los componentes tienen probabilidades de 0.1,0.2, 0.3 y 0.4 de fallar respectivamente cuando la máquina se pone a funcionar, ¿cuál es la probabilidad de que la máquina funcione correctamente cuando empiece a funcionar?

13.- Un portafolio de inversión está formado por 10 acciones de las cuales 6 finalizaron a laalza y 4 a la baja el día de hoy.

a) Se escogen aleatoriamente 3 acciones del portafolio, pero no se sabe si estuvierona la alza o a la baja el día de hoy. Encuentre la probabilidad de que una cuartaacción seleccionada aleatoriamente del portafolio haya finalizado a la baja. b) ¿Cuál es la probabilidad de que las primeras tres acciones hayan finalizado a laalza si la cuarta acción seleccionada finalizó a la baja?c) ¿Cuál es la probabilidad de que las tres acciones escogidas hayan finalizado a laalza si se sabe que al menos una de ellas terminó a la alza?

14.- Un punto es seleccionado aleatoriamente en el cuadrado unitario y se sabe que está enel triángulo delimitado por 0, 0,. Encuentre la probabilidad de que el punto también se encuentre en el triángulo delimitado por 1, 0 y . 15.- La experiencia indica que el 20% de las personas que reservan una mesa en algúnrestaurante nunca asisten. Si un restaurante tiene 50 mesas y acepta 52 reservaciones, ¿cuáles la probabilidad de que se pueda acomodar a todas las personas que lleguen?

16.- Un autobús empieza su recorrido con 6 personas y realiza 10 paradas en diferenteslugares. Suponga que todos los pasajeros tienen la misma probabilidad de bajarse encualquier parada. Encuentre la probabilidad de que no bajen dos o más pasajeros en lamisma parada.

17.- Sean y dos eventos tales que : , | | . i) Demuestra que ∩>0.ii) Demuestre que

no es subconjunto de

.

iii) Calcule | .iv) Calcule | | . v) Calcule | | .


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18.- Sean y dos eventos independientes tales que 0.3,0.2. Encuentre:a) ∩. b) ∪

.

c) |.

19.- A 100 estudiantes del ITAM se les pregunta el tipo de transporte que utilizan parallegar al ITAM. Los resultados de las entrevistas han sido clasificadas en la siguiente tablade contingencia:

Carro propio

Otro

Hombre 40 22Mujer 29 9

¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar:

a) Sea mujer? b) Sea hombre y utilice carro propio?c) Sea mujer o use carro propio?d) Dado que es mujer no utilice carro propio?e) Dado que no utilice carro propio no sea mujer?f) Que no sea hombre ni utilice carro propio?

20.- En cierto banco se sabe que 1 de cada 10 personas tarda más de 1 hora en realizartodos sus trámites. Cuatro personas llegan a este banco simultáneamente y el tiempo que se

va a tardar cada una es independiente del que se van a tardar las otras personas. ¿Cuál es la probabilidad de que:

a) Todas salgan en menos de una hora? b) Todas salgan en más de una hora?c) Dos de las cuatro personas salgan después de una hora?

21.- ¿Cuáles de los siguientes eventos son independientes? Use el sentido común.a) A-Persona que es jugador profesional de básquetbol B-persona cuya estatura es

mayor de 1.83m. b) A- Persona con una estatura de más de 1.83m B-Persona cuyo padre mide más de

1.83m.c) A-color de cabello B-sabor de helado favorito.d) A- edad del individuo B-tipo de música favorita.


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22.- A partir de experiencias previas, una casa de bolsa considera que bajo las condicionesactuales, un cliente invertirá en instrumentos de renta fija con una probabilidad de 0.6, eninstrumentos de renta variable con una probabilidad de 0.3 y en instrumentos de renta fija ovariable, o en ambos, con una probabilidad de 0.8. ¿Cuál es la probabilidad de que uncliente escogido al azar invierta:

a) En ambos instrumentos? b) En ninguno de estos instrumentos?

23.- En un salón de 28 alumnos, 7 miden al menos 1.80 metros. Se va a formar un equipode basquetbol (5 integrantes), pero como todos tienen muchas ganas de jugar, el equipo nose escogerá de acuerdo a las estaturas, sino al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que almenos tres miembros del equipo midan 1.80 metros o más?

24.- Tres eventos

A,B y

C se definen en un espacio muestral. Los 3 conjuntos

correspondientes a estos 3 eventos no se intersectan y la unión de los 3 es el espaciomuestral. El eventoB es dos veces más probable que ocurra que el evento A, y el eventoC es dos veces más probable que ocurra que el eventoB. Determine la probabilidad de cadauno de estos eventos.25.- Verifique la validez de las siguientes proposiciones. Si la respuesta es falsa, explique larazón de que así sea.

a) Si 0.1,0.3 y ∩ ∅, entonces ∪0.06. b) Si ∩ ∅

y

0.2, entonces

| 0.

c) Si 0.05, | 0.80 y | 0.5, entonces | 0.07 d) Si 0.8 y 0.7, entonces ∩≥0.5.e) ¿Es posible que 0.7,0.4 y ∩ ∅?

26.- Una compañía maneja 3 fondos de inversión diferentes. Sea el evento de que el i-ésimo fondo de inversión incremente su valor cierto día. Algunas probabilidadesrelacionadas con los fondos de inversión son:

0.55

0.6

0.45

∪ 0

∪ 0.7525 ∪ 0.78 ∩⋮0.2 a) ¿Son y independientes? b) ¿Son y independientes?c) ¿Son , y eventos independientes?d) ¿Cuál es la probabilidad de que los fondos 1 y 2 aumenten su valor?


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e) ¿Cuál es la probabilidad de que los fondos 1, 2 y 3 aumenten su valor?f) ¿Cuál es la probabilidad de que los fondos 1 y 2 aumenten su valor dado que elfondo 3 incrementó su valor?g) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de los tres fondos deinversión incremente su valor?

27.- Mr. Bandit, un conocido ranchero, pero no conocido ladrón de ganado; tiene 20cabezas listas para vender. Dieciséis de estas cabezas son suyas y consecuentemente llevansu propia marca. Las otras cuatro llevan marcas ajenas. Mr. Bandit sabe que el inspector demarcas revisa el 20% del ganado de cualquier cargamento. Él tiene dos camiones, uno puede cargar a las 20 cabezas a la vez, el otro puede cargar sólo 10. Mr. Bandit considera 4estrategias en su intento de llevar el ganado al mercado para venderlo sin que seadescubierto:

1) Enviar en un sólo cargamento las 20 cabezas.2) Enviar dos cargamentos de 10 cabezas cada uno, en donde las cuatro cabezasrobadas se encuentran en uno de los viajes.

3) Se envían dos cargamentos de 10, uno con 3 cabezas robadas y el otro con una.4) Se envían dos cargamentos de 10, cada uno con dos cabezas robadas.

¿Qué estrategia minimiza la probabilidad de que Mr. Bandit sea descubierto?

28.- Considere una urna que contiene 10 pelotas de las cuales 5 son negras. Primero seescoge al azar un númeron en 1,2,3,4,5,6, y después se selecciona una muestra den pelotas sin reemplazo de la urna.

a) Descubra el espacio muestral asociado al número de pelotas negras en la muestra. b) Encuentre la probabilidad de que todas las pelotas en la muestra sean negras.c) Si se realizara un juego con este experimento en el cual tendrían que pagar $100y por cada pelota negra obtenida se recibieran $50.

i) Describa el espacio muestral del dinero que se puede ganar en este juego.ii) ¿Cuál es la probabilidad de que se ganen más de $100 en el juego?iii) ¿Cuál es la probabilidad de ganar $500?

29.- Un jugador tira un par de dados dos veces. Él gana si los dos totales obtenidos nodifieren en más de dos, con las siguientes excepciones: si obtiene un 3 en el primer tiro,debe obtener un 4 en el segundo tiro; si obtiene un 11 en el primer tiro, debe obtener un 10en el segundo ¿Cuál es la probabilidad de que gane?


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30.- Usted es dueño de un pequeño negocio y ha contratado la entrega de su producto a un precio fijo de $20 por unidad. A usted le gusta la seguridad que proporciona un contratogarantizado pero está preocupado por dos posibles catástrofes: a) que la Reserva Federaldeclare una disminución en los créditos, el cual limitará el financiamiento que necesita parala compra de materia prima y a la fabricación de su producto, o b) que la reserva federal permita cierta inflación y aumente los costos de la materia prima y mano de obra lo queimpide a usted obtener utilidades al precio de $20 por unidad. En su opinión, la probabilidad de disminución en los créditos es 0.2 y la probabilidad de inflación es 0.1. Siestos dos sucesos son mutuamente excluyentes, ¿cuál es la probabilidad de que ocurra unoo el otro?

31.- En Wall Street la tradición dice que si un equipo de la NFC gana el súper tazón, los precios de las acciones serán más altos un año después y si gana un equipo de la AGC elmercado se desplomará. Un artículo de USA Today muestra que lo primero sólo haocurrido 22 de 25 veces y lo segundo 9 de 14 veces. Suponga que la probabilidad de queganen los Vaqueros de Dallas de la NFC es de 0.75. Obtenga la probabilidad de los preciosde las acciones aumenten el siguiente año.

32.- Una compañía famosa de botanas en México lanzo una promoción en el año de 1999en la cual en sus productos aparecía una tarjeta con 6 círculos para rascar. En cada círculo podía aparecer una estrella o la palabra “PIERDE”. Los premios dependí an del número deestrellas que se encontraran sin tener un solo “pierde”, y eran:

No. De

estrellas

Premio

2 Participaba en la rifa de$100000

3 Una bosa de botana de 40g4 Una computadora5 Un coche nuevo

Una tarjeta podía contener 3,4 o 5 estrellas cubiertas, si la probabilidad de que la tarjetatuviera 3 estrellas era 0.99, de que tuviese 4 era 0.009 y de que tuviese 5, 0.001:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren 2 estrellas al rascar 2 círculos?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren 4 estrellas al rascar 4 círculos?c) Si una persona encontró 4 círculos, ¿Cuál es la probabilidad de que hubieraencontrado la 5ª estrella?


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33.- Una persona tiene la siguiente estrategia de juego en las vegas. Apuesta $100 a que laruleta caerá en el rojo y si gana, se retira. Si pierde, entonces hace la misma apuesta perocon $200 e independientemente del resultado se retira. Suponiendo que tiene una probabilidad de ½ de ganar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que gane con esta estrategia? b) ¿Cuál es la probabilidad de que gane más de $100?c) ¿Por qué no todas las personas usan esta estrategia?

34.- En un casino se juega de la siguiente manera:Se lanzan 2 dados honestos de 6 caras, de los números impares obtenidos se gana la sumaen cientos de pesos y de los números pares se pierde el 75% de la suma en cientos de pesos.Por ejemplo, si se obtiene (1,2) de gana (1 X 100) y se pierde -75(2) (100), es decir,finalmente se pierden $50

a) ¿Cuál es el espacio muestral de lo que se gana en este juego? b) ¿Cuál es la probabilidad de ganar $600?c) ¿Cuál es la probabilidad de perder $600?d) ¿Cuál es la probabilidad de ganar en este juego?e) ¿Cuál es la probabilidad de perder en este juego?


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0 03 0 1216 1 73 1 ≥73 a) Calcule:

i) .ii) 1 . iii)

1 .

b) Encuentre y grafíquela.c) Obtenga el valor esperado, la mediana y la varianza.d) Obtenga la función generadora de momentos.

5.- Pruebe la verdad o falsedad de la siguiente afirmación: si y son funciones dedensidad y si los valores y son tales que 1; ,≥0 , entonces es también una función de densidad.6.- El individuo

Atiene dos monedas y el individuo

Btiene una. Ellos juegan volados hasta

que uno de los dos tiene las 3 monedas. Sea el número de volados requerido para que el juego se acabe.a) ¿Cuál es la función de probabilidad de ? b) Obtenga la función generadora de momentos de X.c) Obtenga los coeficientes de simetría y curtosis. Utilice la función generadora demomentos.

7.- El número de solicitudes de apertura de crédito que se reciben diariamente en un bancoes una variable aleatoria

con la siguiente función de distribución.

0, 00.1, 0 10.3, 1 20.7, 2 41, 4


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a) Encuentre la probabilidad de que se reciban dos o más solicitudes en un día. b) Si en la mañana de un día ya se recibió una solicitud, ¿cuál es la probabilidad deque al final del día se hayan recibido tres o más solicitudes?c) Encuentre la función de densidad de

.

8.- Suponga que la duración en minutos de cada llamada que se realiza en una empresa, esuna variable aleatoria cuya función de densidad de probabilidad está dada por: 14− , >00, . . . Obtenga:

a) La función de distribución de y grafíquela. b) La función generadora de momentos.c) El promedio de la duración de las llamadas.

d) La varianza y el coeficiente de variación de la duración de las llamadas.e) el coeficiente de asimetría y curtosis. Interprete.f) Obtenga los cuantiles .25, .5 y .75.g) >4| >2. h) En un grupo de llamadas de tamaño ¿Indique cuál es la probabilidad de que de ellas duren menos que el promedio?

9.- La proporción de declaraciones anuales del I.S.R. que se presentan correctamente a laS.H.C.P., es una variable aleatoriaW que tiene la siguiente función de densidad.

32 , 0 1

El costo (cientos de millones de $) del seguimiento que realiza la S.H.C.P. De lasdeclaraciones está dado por: 5 0.5 0.1. a) Encuentre el valor esperado y la desviación estándar del costo.

b) ¿Qué relación debe darse entre y . Justifique su respuesta.10.- Considere la variable aleatoria que representa el ingreso de las personas en ciertalocalidad. Una posible forma de estudiar el comportamiento de es proponer que sudistribución es:

∝+, ≥ En dondeα,β son parámetros. Esta distribución se conoce con el nombre de distribución dePareto.


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14.- Sea la proporción de un año que una persona se encuentra desempleada. La funciónde densidad de está dad a por:

121 ,0 1

a) Obtenga la función de distribución. Grafíquela. b) Obtenga el valor esperado y la varianza.

Una transformación (logit) para pasar del intervalo 0,1 a los reales, y que es de muchautilidad en los modelos estadísticos lineales es:1 c) Obtenga la función de distribución de w.d) Obtenga la función de densidad de

w.

e) Obtenga el valor esperado y la varianza dew. 15.- Un inversionista piensa asignar cierto monto en cada una de 2 inversiones y cuenta conun total de $200000 para invertir:El primer instrumento de inversión tiene un rendimiento del 10%, mientras que el segundotiene un rendimiento esperado del 18% y una desviación estándar del 6%. Esta persona nosabe qué monto de su dinero destinará a cada instrumento.

a) Cuál es el rendimiento total esperado y la desviación estándar si:

i) Todo lo destina al primer instrumento.ii) Todo lo destina al segundo instrumento.iii) Invierte la mitad en cada uno.iv) Invierte $50000 en el primero y el resto en el segundo.

b) Proponga uno (o más) criterio(s) para decidir el monto a invertir en cadainstrumento. De acuerdo a estos criterios ¿cuánto le conviene invertir en cadainstrumento?

16.- Sea un númeroN entero positivo, y sea la función definida por: 2 1, 1,2,…, Demuestre que es una función de densidad y encuentre su valor esperado.


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17.- La distribución dada por:

1 − , Es llamada la distribución Raleigh. Demuestre que la media y la varianza existen yencuéntrelos.

18.- La variable aleatoria tiene función de densidad dada por:

, 0 a) Calcule los valores de c y d tales que el valor esperado de la variablesea igual a4/3. b) Obtenga el valor esperado y la varianza de si 7 2 .

19.- Sea una variable aleatoria con la siguiente función de densidad. 122√ 1/− + /, ∈ℝ, en donde k es el parámetro y · la función analítica Gamma dada por:∫ −−

Esta distribución de probabilidad se conoce como distribución t de Student.Los momentos centrales de esta variable son:

0, >1, 1 12,212,2 , >2, 2,4 a) Construya la gráfica de la función de densidad para k=1, 5,10. b) ¿Cuál es el valor esperado de esta variable aleatoria?c) Obtenga el valor de los primeros cuatro momentos centrales, el coeficiente deasimetría y curtosis.d) ¿Qué sucede con los coeficientes obtenidos si →∞?

20.- SeaX una variable aleatoria con función de densidad:


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/222− /1 /+ /, ∈ℝ,

en donde

, 1,2,…son los parámetros de la distribución.

Los momentos con respecto al origen están dados por:

´ 2 22 2 , 2 Esta distribución de probabilidad se conoce como distribución F .

a) Construya la gráfica de la función de densidad param=1, n=2 . b) Obtenga la media y la varianza de la variable aleatoria.c) ¿Qué signo debe tener el coeficiente de asimetría de la función F ?

21.-a) Con relación al ejercicio 26 del tema“Fundamentos de probabilidad”. Considere queal apostar a color en la ruleta el pago es uno a uno. Se define la variable aleatoriaGcomo laganancia neta obtenida con esta estrategia.

1) Obtenga la distribución de probabilidad de .2) Obtenga el valor esperado y la varianza para la ganancia neta de esta persona.3) ¿Conviene jugar con esta estrategia?

b) Para el ejercicio 34 del tema“Fundamentos de probabilidad” sea la variable aleatoriaque indica la ganancia neta en el juego.i) Obtenga la función de densidad deX y grafíquela.ii) Obtenga la esperanza y la varianza deX .iii) ¿Conviene jugar este juego?

c) En el ejercicio 28 del tema“Fundamentos de probabilidad” si es la ganancia netaobtenida.

i) Obtenga la función de densidad de y grafíquela.ii) Obtenga la esperanza y la varianza de. iii) ¿Conviene jugar este juego?

22.- La cantidad diaria de agua demandada por la población de una ciudad grande del nortedel país durante los meses de verano es el resultado de una variable aleatoriaX medida enmillones de litros y que tiene la siguiente función generadora de momentos.

1 0.5−, 2 a) Obtenga la esperanza y la varianza.


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b) Construya el intervalo a 2.5 desviaciones estándar de la media e indique qué puede asegurarse de dicho intervalo.c) ¿Es la función de densidad de la variable aleatoria simétrica? Justifique.

23.- Los primeros tres momentos con respecto al origen de la variable aleatoria son:

′ 0.5,′ 0.5, ′ 0.75 a) Obtenga los tres primeros momentos con respecto a la media. b) ¿Es sesgada la densidad de ?

24.- Sea una variable aleatoria con función generadora de momentos Demuestreque:a) + . b)

.

c) / .d) Utilice estas propiedades y obtenga la media y la varianza de:i) .ii) .iii) +. expresadas en términos de la media y varianza de .

25.- El gerente de una pastelería está considerando cuántos pasteles de chocolate se debenhacer cierto día. Él sabe que el número de pasteles de chocolate que son demandados porlos clientes en ese día es una variable aleatoria con función de probabilidad dada por:

115, , ,715, La pastelería tiene una ganancia de $15 en cada pastel de chocolate que se vende. Si el pastel no se vende en ese día, se tira (porque no está fresco) y la pastelería pierde $10. Si elgerente desea maximizar la ganancia diaria esperada por la venta de pasteles de chocolate,¿cuántos pasteles se deben hacer? , ¿cuál es la varianza de la ganancia diaria?

26.- Una clase de economía tiene un total de 20 estudiantes con la siguiente distribución deedad.


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Edad No.de estudiantes19 1020 421 4

24 129 1

El profesor seleccionará aleatoriamente y sin reemplazo a 2 estudiantes de la clase paraque realicen un reporte del estado de la economía del país.

a) Obtenga el espacio muestral de las edades de los estudiantes seleccionados. b) Calcule las probabilidades de cada edad.c) Defina una variable aleatoria que represente el promedio de edad de los dosestudiantes seleccionados. Obtenga la distribución de probabilidad de esta variable yrepreséntela en una gráfica.d) ¿Cuál es el valor esperado, la varianza, el coeficiente de asimetría y de curtosisesta variable aleatoria?, ¿qué indican estas medidas?


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Tema3: Algunas distribuciones de probabilidad1.- Si

se distribuye como Binomial, obtenga las siguientes probabilidades:

a) 2. b) >5.c) 2 5. d) >5| ≥2. i) con 8 0.2. ii) con 8 0.5.iii) con 10 0.2. 2.- Si se distribuye Poisson, obtenga las siguientes probabilidades:

a)

4.

b) ≥6.c) 2 6.d) 6| ≥3.i) con 0.6. ii) con 15.3.- Si se distribuye como una normal con parámetros 3,25 Obtenga lassiguientes probabilidades:

a)

>0.

b) 1. c) .5 3.9.d) || 4.e) 0.93. f) | 3|> 0.12. 4.- Si se distribuye como una normal con varianza igual a 36 y se sabe que

>2.85 encuentre el valor de la media.5.-

se distribuye como

, calcule las siguientes probabilidades:

a) . b) ≥.c) . d) 3 3. e) 1.96 1.9.


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6.- Si se distribuye Normal con valor esperado 10 y una desviación estándar 10compruebe si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:a)

2P10 X 12P(210 212).

b) 2 P10 X 12P(2 102 12). 7.- Encuentre el área bajo la curva de la normal estándar entre los siguientes puntos:a) 1.2,0.5. b) 1.43,1.96.c) 1.5,∞. d) ∞, 1.96. 8.- a) Sea ~,.25encuentre la constantec tal que || .9. b) Sea v.a. 2,1 encuentre | 2| 1. c) Sea

v.a . con distribución Poisson para la cual

0 1 ¿cuál es el

valor de ?d) ¿Cuándo puede asegurarse que la distribución de es la misma que la de–?9.- Sea el número tal que () ,0 1, ( es la función de distribuciónacumulada de una 0,1)

a) Si es una v.a. con distribución , , demuestre que:( ) , 0 1, b) Encuentre − para 0.1,0.2,…,0 y use estos valores para graficar paraX~N μ,σ

10.- Sea una v.a. que se distribuye .a) EncuentreFx y construya la gráfica de esta función para distintos valores deθ. b) Demuestre que >| > > para todax,t>0. Esta propiedad se denomina pérdida de memoria, y caracteriza a la distribución

exponencial.

11.- Encuentre el valor tal que

, 1,2,3,4 en donde

tiene una

distribución:

a) ,. b) , .c) .


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12.- Existe un conjunto de funciones que se denomina familia exponencial. Los elementosde esta familia son aquellas densidades · ;,…, que pueden ser expresadas como:

· ;,…,⋯ =,…,

Para cualesquiera funciones·,·, · ,·. Demuestre que las distribuciones Normaly Poisson pertenecen a la familia exponencial.13.-a) SiX se distribuye Binomial con parámetros , cuál es la distribución de. b) Una persona que ha ingerido mucho alcohol realiza una“caminata aleatoria” moviéndose a las posiciones

0,±1,±2,… de la siguiente manera: comienza en la posición

0, después se mueve sucesivamente con pasos de una unidad a la derecha con probabilidad y a la izquierda con probabilidad1 Cada movimiento es independiente de los demás.Sea su posición después de n pasos, Encuentre la distribución de+.

c) Sean , v.a . con distribución Binomial con parámetros ,, , respectivamente. Si demuestre que ≥ (Este resultadomuestra que entre más pequeño el valor esperado, más sesgada es la distribución Binomial).14.- Dos dados se lanzan n veces. Sea

el número de lanzamientos en los cuales el número

del primer dado es mayor al número del segundo dado.a) ¿Cuál es la distribución de ? b) ¿Cuál es el número esperado de lanzamientos en los cuales el primer dado es

mayor al segundo?

15.- Suponga que el número de accidentes fatales de automóvil, en cierta zona de la ciudad,obedece una distribución Poisson con un promedio de un accidente por día.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de 10 accidentes en una semana? b) ¿Cuál es la probabilidad de que transcurran más de 2 días entre 2 accidentes?

16.- Un distribuidor de semillas de frijol ha determinado, después de varios estudios, que el5% de las semillas no germinan. Si esta persona vende paquetes de 200 semillas y garantizauna germinación del 90% ¿Cuál es la probabilidad de que el paquete viole esta garantía?


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b) Obtenga los coeficientes de asimetría y curtosis.c) Indique de qué parámetro dependen los coeficientes del inciso anterior. Analice elcomportamiento de estos coeficientes con respecto los parámetros.

23.- Sea una v.a. tal que ~.

a) Obtenga la función de densidad de / . b) ¿Cómo es con respecto a ?c) ¿Cuál es el valor esperado y a varianza de ?24.- La función generadora de momentos de ~ 0,1 es:

a) Si ~,, entonces , aplicando las propiedades de la funcióngeneradora de momentos del ejercicio 23 del tema 2, obtenga la función generadorade momentos de X. b) Obtenga los primeros cuatro momentos con respecto al origen.c) Encuentre los coeficientes de variación, asimetría y curtosis.

25.- Si ~,. Obtenga la función de densidad de:a) −. b)

.

c) −.d) Indique cómo se relaciona con considerando cada una de lasfunciones anteriores es decir , ,.26.- Un vendedor ha encontrado que el número de artículos de la marca que puedevender en un día es una variable aleatoria 4.

a) Construya una gráfica de la función de densidad correspondiente. b) ¿Cuántos artículos de la marca debe tener el vendedor para estar 95% seguro deque tiene los suficientes artículos para que le duren 5 días? Suponga independencia.

27.- Encuentre la moda para función de densidad de las siguientes distribuciones.

a) , b) ,


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28.- En un día dado 45% de las acciones en la Bolsa Mexicana de Valores aumentan suvalor.

a) Si se selecciona aleatoriamente cinco acciones ¿Cuál es la probabilidad de queexactamente cuatro de ellas aumenten su valor? b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos tres lo aumenten?

29.- Una tienda de discos ha aplicado encuestas que indican que el 25% de la gente queentra a la tienda hace una compra. Una muestra obtenida de las cintas de las cajasregistradoras indica que el promedio de ingresos de una venta es de $55.00. Para elsiguiente año se espera que entren 100000 personas a la tienda.

a) ¿Cuál es el número esperado de personas que harán una compra? b) ¿Cuáles son los ingresos esperados para el año?

30.- Un inversionista piensa que el precio de un stock aumentará mañana, y el aumento(denotado con ) será algún valor entre $0 y $3. Además el cambio en precio estáuniformemente distribuido. Encuentre lo siguiente.

a) 0.5 1 . b) 1.2 . c) 0.25 0.75| >0.1.d) La media y la varianza de .31.- Un modelo para llegar a un pronóstico económico es por medio del consenso. El

pronóstico es obtenido de cada uno de los integrantes de un gran número de analistas; el promedio de estos pronósticos individuales es el pronóstico del consenso. Suponga que los pronósticos individuales de la tasa de interés para enero se puede aproximar a una normalcon media 17% y desviación estándar 2.6%. Si se selecciona aleatoriamente a un analistadel grupo ¿cuál es la probabilidad de que el pronóstico del analista:

a) exceda 21%? b) sea menor del 19%?c) sea menor que 21% si se sabe que es mayor que 19%?

32.- El operador de un abastecedor de agua ha observado que la demanda de ésta antes delmedio día tiene aproximadamente una distribución exponencial con media 100 pies cúbicos por segundo (p.c.s).

a) Encuentre la probabilidad de que exceda 200 p.c.s antes del mediodía en un díacualquiera.


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b) ¿Qué capacidad de agua debe mantener el abastecedor para que la probabilidadde que la demanda sea mayor en un día cualquiera sea solo de 0.01?

33.- Sully Blotnick notó que la mayoría de los inversionistas conservan sus acciones

perdedoras y esperan lograr a la larga una ganancia. Específicamente, dice que por cadainversionista que ha recuperado una pérdida y después vende, otros 6 mantienen susacciones. Suponga que se selecciona aleatoriamente una muestra de 4 inversionistas y seaX el número de inversionistas que venden sus acciones perdedoras una vez que hanrecuperado.

a) ¿Cuál es la probabilidad de queXsea exactamente igual a 4? b) ¿Cuál es la probabilidad de queXsea mayor o igual que 1?c) ¿Cuál es la probabilidad de queXsea exactamente igual a 1?34.- SeaYuna variaba aleatoria continua con función de densidad: − + , Demuestre que tiene una distribución exponencial con parámetro .35.- Una máquina de refrescos se puede ajustar para que sirva un promedio deμonzas porvaso. Si las onzas de llenado se distribuyen de manera normal con desviación estándar 0.3onzas, obtengaμal cual debe estar la máquina para que el refresco en vasos de 8 onzas sederrame sólo 1% de las veces por sobrellenado.36.- En cierta localidad donde habitan 500 personas adultas se seleccionó al azar unamuestra de tamaño 100. Al preguntarle a cada persona seleccionada cuál era su opinión conrespecto a un proyecto municipal, resultó que 60% lo apoyaron y 40% se opusieron a él. Sise supone que en toda la localidad la mitad de personas está a favor del proyecto y la otramitad está en contra, ¿cuál es la probabilidad de obtener una mayoría de 60% o más a favordel proyecto en una muestra de tamaño 100?

37.- El gerente de una tienda de vinos garantiza que ninguna de sus cajas (de 12 botellas) deChampagne contiene más de una botella en mal estado. En caso contrario el cliente recibe

otra caja y a demás se queda con la primera. La probabilidad de que una botella en particular esté en mal estado es de 0.05.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el gerente tenga que reponer la caja? b) ¿Si el costo por caja es de $6500.00 y el precio de venta por caja es de$10000.00, cuál es la ganancia esperada?


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38.- Muchas compañías de luz han comenzado a promover la conservación de energía yofrecen tasas de descuento a clientes que mantienen su consumo debajo de ciertosestándares establecidos. Un reporte de la EPA hace notar que el 70% de los residentes dePuerto Rico han reducido su uso de electricidad lo suficiente para tener derecho a la tasa dedescuento. Suponga que 5 clientes son seleccionados aleatoriamente. Encuentre lassiguientes probabilidades.

a) Que los 5 tengan derecho a la tasa de descuento. b) Que por lo menos 4 tengan derecho a la tasa de descuento.

39.- Un criminólogo ha desarrollado un cuestionario para predecir si un adolescente seráun delincuente. Las puntuaciones en el cuestionario pueden tomar valores desde 0 hasta100. Los valores altos reflejan una mayor tendencia a la delincuencia. Como regla, elcriminólogo decide clasificar a un adolescente como delincuente potencial si su puntaciónexcede de 75. Se sabe que entre adolescentes no delincuentes las puntuaciones sedistribuyen normalmente con media 60 y desviación estándar 10, y para los adolescentesdelincuentes se distribuye normal con media 85 y varianza 25.

a) ¿Qué proporción de las veces el criminólogo clasificará erróneamente a undelincuente como no delincuente? b) ¿Qué puntuación necesita tomar como referencia para clasificar erróneamente aun no delincuente como delincuente sólo en un 5% de las veces?c) Si se aplica el cuestionario a 10 delincuentes elegidos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sean clasificados erróneamente más de 8 delincuentes?

40.- En la sala de espera de un aeropuerto hay una máquina que vende café. Porexperiencias se puede afirmar que la cantidad de café vendida por día es una variablealeatoria que sigue una distribución uniforme en el intervalo 7,10(en litros).a) Si se sabe que al medio día ya se han vendido 8 litros, ¿cuál es la probabilidad de

que al final del día se vendan más de 9? b) Cada vaso de café de 200 ml. se vende a $5. ¿Cuál es el ingreso esperado por lasventas en un día, cuál es la varianza?

41.- Un Estado del gobierno de E.U. estudia las llamadas telefónicas hechas por sus

empleados y sugiere que 1 de cada 3 llamadas es personal. Suponga que usted es unempleado del gobierno estadounidense y que 3 de cada 10 llamadas que hace son personales. El gobierno hizo una muestra al azar de 10 números que marcó.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más una llamada fue personal? b) ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más 5 llamadas fueron personales?c) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 3 llamadas fueron personales?


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42.- Un empleado recibe un sueldo mensual de $2000. Seala variable aleatoria quedenota el monto total (en $) que esta persona obtiene al mes por concepto de propinas. Si

sigue una distribución uniforme en el intervalo 0,500.a) Obtenga la función de distribución acumulada de la variable aleatoria que denotael ingreso total mensual de este empleado. b) ¿Cuál es la probabilidad de que el ingreso total al mes rebase los $2300 si ya sesabe que es mayor a $2150?c) Encuentre el intervalo 1.3 , 1.3¿Con qué probabilidad el ingresomensual caerá en este intervalo? Compare con el teorema de Tchebyshev.

43.- Cinco estudiantes realizarán un examen independiente unos de otros. El número deminutos que cualquier estudiante necesita para terminar el examen tiene una distribuciónexponencial con media 80. El examen empieza alas 9:00.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los estudiantes termine elexamen antes de las 9:40? b) El primer estudiante que terminó el examen lo hizo a las 9:25. ¿Cuál es la probabilidad de que otro estudiante termine antes de las 10:00?

44.- El tiempo hasta la descompostura de una copiadora después de su último servicio demantenimiento tiene una distribución exponencial con media 30 días.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la copiadora se descomponga antes de 30 díasdespués de un servicio? b) ¿Cuándo se le debe dar servicio a la copiadora para que la probabilidad dedescompostura antes del siguiente servicio sea 0.2 si hoy se le dio mantenimiento?

45.- Usted quiere encontrar a alguien con el mismo día de cumpleaños que el suyo. ¿Cuáles el menor número de personas a las que tiene que preguntar para tener una probabilidadde 50% de tener éxito?

46.- Se dice que una variable aleatoriaYtiene una distribución Lognormal si tiene una distribución Normal. La forma de la función de densidad Lognormal es: 1√ 2 − −⁄ ,

~ ,

Puesto que es una función monótona de

En donde ~ , . Entonces se pueden obtener las probabilidades de una distribuciónLognormal utilizando la distribución Normal.


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.2 Defina una variable aleatoria que se pueda usar para representar la ganancia diariasobre el costo de venta.c) ¿Cuál es la probabilidad de que se tenga una ganancia positiva sobre el costovariable en un día dado si:

i) el precio es de $4?ii) el precio es de $3?

d) Si el precio es de $6 ¿cuál es la probabilidad de que la cantidad demandada seade 4000 litros?


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Tema4: Distribuciones multivariadas

1.- Demuestre que|| 1⇔∃ , ∈ℝ,, tales que .2.- Demuestre que, , , para cualquier par de constantes ,.3.- Dé un ejemplo para mostrar que covarianza cero no implica independencia.4.- Si y son dos variables aleatorias discretas en donde: 2, 4, 1,6, , 1/2 Obtenga el valor esperado y la varianza de las siguientes variables:

a)

b) c) 3 2 2 5.- Sean ,…, variables aleatorias. Demuestre lo siguiente:

= 2


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d) Si las tortas de jamón cuestan $6.00 y las de milanesa $9.00, ¿cuál es la funciónde densidad, el valor esperado y la varianza del ingreso de Don Chucho por cadaalumno del ITAM?

8.- Suponga que el 15% de las familias en cierta comunidad no tienen hijos, 20% tienenuno, 35% tienen dos y 30% tienen tres o más. Además, suponga que cada familia esigualmente probable el que un hijo sea niño o niña. Si una familia se elige aleatoriamentede la comunidad yX es el número de niños y es el número de niñas de dicha familia,¿cuál es la distribución conjunta de y ?9.- Considere un círculo de radio y suponga que un punto es elegido al azar dentro delcírculo de tal forma que todas las regiones del círculo con la misma área tienen la misma probabilidad de contener al punto. Si el centro del círculo es el origen y las variablesaleatorias

y son las coordenadas del punto elegido,

a) Determine la función de densidad conjunta de y . b) Obtenga las densidades marginales.c) Calcule la probabilidad de que la distancia del origen al punto seleccionado nosea mayor que un nivel .d) Obtenga la función de densidad de : la distancia del origen al puntoseleccionado.

10.- En la siguiente tabla se presenta las distribuciones conjuntas y marginales de lasvariables

y donde,

X= número de años de estudio concluidos por el jefe de familia.Y= estrato de ingreso del jefe de familia (según el # de salarios mínimos)Y

1 2 3 4 50 .199 .124 .122 .005 0 .450

X 3 .177 .035 .009 .003 0 .2236 .008 .025 .040 .049 .065 .1879 .002 .005 .022 .041 .071 .141

.386 .188 .193 .098 .136

a) ¿Son independientes las variables y ? b) Calcule:i) 3.ii) ≥4. iii) 6.


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iv) 5| 6).c) 3| 1. d) Calcule

y

.

e) Calcule y

.

11.- El administrador de un restaurante de comida rápida está interesado en elcomportamiento conjunto de las variables,el tiempo total entre la llegada del cliente y lasalida del producto de la ventana de servicio; y , el tiempo que tardan en atenderlo. Como incluye el tiempo que tarda en la fila, tenemos que≥. La distribución de lafrecuencia relativa de los valores observados y puede ser modelados por la siguientefunción de densidad:

, − ≤≤<Con tiempo medido en minutos.

a) Encuentre 2,>1. b) Encuentre ≥2.c) Encuentre ≥1.Note que denota el tiempo que tarda en laventana de servicio.d) Si el tiempo transcurrido entre la llegada del cliente y su partida de la ventana deservicio es de dos minutos encuentre la probabilidad de que espere en la fila menosde un minuto antes de llegar a la ventanilla.e) Obtenga el valor esperado y la varianza de , y .

12.- Sean y dos variables aleatorias no correlacionadas. Obtenga la covarianza y lacorrelación entre y en términos de las varianzas de y .13.- Un supermercado tiene dos clientes esperando a pagar sus compras con el cajero I y atres con el cajero II. Sean y el número de clientes que gastan más de $500 en suscompras en los cajeros I y II respectivamente. Suponga que y son variables aleatoriasBinomiales independientes, la probabilidad de que un cliente gaste más de $500 con elcajero I es 0.2 y la probabilidad de que un cliente gaste más de $500 con el cajero II es 0.3.

a) Encuentre la función de densidad conjunta de y . b) Encuentre la probabilidad de que no más de uno de los dos clientes gaste más de$500 en los dos cajeros.c) Si , es decir, es el total de clientes que gastaron más de $500.Obtenga la función de densidad, el valor esperado y la varianza de .d) ¿Qué puede decir de la distribución de ?e) Obtenga el valor esperado, la media y la varianza condicionales de para cadavalor fijo de . Realice una gráfica para cada medida. Comente.


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14.- Se eligen aleatoriamente algunas familias de un área dada. Sea el número de autos enla familia y el número de conductores con licencia en una familia. Las distribucionesmarginales de y son: X 1 2 0.6 0.4

1 2 3 4 0.1 0.5 0.3 0.1Además se sabe que:i) La probabilidad condicional de que haya un auto en la familia dado que hay tresconductores con licencia es de 0.4.ii) La probabilidad condicional de que haya dos conductores con licencia en unafamilia dado que hay dos autos es de 0.3.iii) La probabilidad conjunta de que en una familia haya un automóvil y cuatroconductores con licencia es 0.03.

a) Encuentre la distribución conjunta de y . b) Obtenga el coeficiente de correlación entre y e interprete.c) ¿Son y independientes?d) Obtenga el valor esperado y la varianza de , el número de conductoressin auto.e) Calcule el coeficiente de correlación entre

y .

15.- Cada semana un cliente compra indistintamente en una tienda bebidas ligeras en botella o en lata. El vendedor registra el tipo de bebida que el cliente compra en cuatrosemanas consecutivas. Se dice que existe un cambio si el cliente compra un tipo diferentede bebida que la semana anterior, es decir, si en una semana compró una bebida en lata y lasiguiente compró una en botella. Sea el número de cambios y el número de compras de bebida en botella.

a) Obtenga el espacio muestral. b) Encuentre la distribución de la probabilidad conjunta de

y

.c) Encuentre la distribución marginal de y .d) ¿Cuántos cambios de tipo de bebida se esperan? y ¿cuál es la varianza de loscambios?e) Obtenga la varianza condicional de los cambios para cada número de compras de bebida embotellada.f) ¿Existe relación entre y ? Justifique.


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16.- Sean y dos variables aleatorias tales que toma valores 1, 2 y 3, y los valores de son 2, 3 y 4. La función de probabilidad conjunta está dada por: , , ,, ,

a) Obtenga el valor de c. b) CalculePX 2,Y 3,PX 2|Y 3,PX≥2|Y 3. c) Obtenga la distribución marginal de , y . d) Obtenga la covarianza y el coeficiente de correlación.e) ¿Son independientesX y ?

17.- De un grupo de nueve estudiantes: cuatro mexicanos, dos españoles y tres franceses sevan a elegir tres estudiantes para otorgarle una beca. Sea el número de estudiantesmexicanos elegidos y el número de estudiantes españoles.

a) Construya la tabla de probabilidad conjunta de y

. b) Encuentre las distribuciones marginales de y .c) Calcule el valor esperado y la varianza de y .d) Obtenga el coeficiente de correlación entre y .e) SiZ es el número de estudiantes franceses a los que se lo otorgó la beca. Obtengael valor esperado y la varianza de . Note que 3. f) Obtenga la función de distribución deZ.g) ¿Cuál es la probabilidad de que se las otorgue beca a 2 o más estudiantesfranceses?h) Obtenga el valor esperado, la media y la varianza condicionales del número deestudiantes elegidos por cada número de estudiantes españoles elegidos.

18.- Se seleccionan al azar 2 tabletas de un frasco que contiene 3 aspirinas, 2 sedantes y 4laxantes. SeaX el número de aspirinas seleccionadas yY el número de sedantesseleccionados.

a) Determine todas las posibles parejas de pastillasX, Y que se pueden seleccionardel frasco. b) Construya la función de probabilidad conjunta para y .c) Calcule las siguientes probabilidades:

i) 0, 2. ii) 2| 1.Iii 1 .

d) Construya la distribución condicional de X dado que 1.e) Si es el número de laxantes seleccionados, exprese a en términos de y yobtenga su valor esperado y su varianza.


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19.- Sean y variables aleatorias con función de densidad conjunta dada por: , <


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i) Menos de 0.4 en ambas pruebas?ii) Más de 0.8 en la prueba de ciencias y menos de 0.5 en la de humanidades?

b) Obtenga las funciones de densidad marginales para

y

.

c) Calcule ≥, ≥ d) ¿Son independientes las variables aleatorias del problema?

e) Obtenga la media y la varianza condicionales de | f) Si un alumno se inscribe a una licenciatura en el área de humanidades, sucalificación final en el examen de admisión está dado por 30Calculela función de densidad, el valor esperado, la desviación estándar, el coeficiente deasimetría y el coeficiente de curtosis de la calificación.

24.- La función de densidad conjunta del tiempo en el que se realiza un tipo de transacciónen dos bancos diferentes está dada por:

,18 − +, , a) ¿Cuál es la probabilidad de que ? b) ¿La eficiencia relativa de los dos bancos al realizar el tipo de transacción de midecon /. Obtenga la función de densidad de .

25.- El precio promedio de temporadaP($ por libra) y la cantidad totalQ vendida entemporada (millones de libras) de cerezas en una región son variables aleatorias confunción de densidad conjunta dada por:

, 0.5− . +, , a) Encuentre la función de densidad de . b) Obtenga el valor esperado y la varianza condicionales de para .26.- Una persona quiere invertir $1000000 y está analizando dos posibles fondos deinversión. El rendimiento neto por peso invertido se puede representar como dos variablesaleatorias

, para las cuales:

[ ] [0.150.07], , 0.04 .00.001 0.00 a) Si la persona invierte $500000 en cada fondo. ¿Cuál es su rendimiento total netoesperado y la varianza?


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b) Si esta persona desea invertir su dinero de manera que su utilidad esperada semaximice, y

0.01

∝ ∝ ,; ∝,∝≥0; ∝∝1000000 c) ¿Cuánto dinero debe invertir en cada fondo?27.- Si , ,…, son variables aleatorias independientes de una distribución uniformeen el intervalo 3,7. Obtenga la función generadora de momentos de:

̅∑ =

28.- Si , ,…, son variables aleatorias independientes de una distribución Gammacon parámetrosα,β, obtenga la función generadora de momentos de:=

29.- Al solicitar un crédito para auto en un banco, el departamento de crédito realiza lainvestigación de la persona, parte de la cual es un buró de crédito. El tiempo de lainvestigación realizada en el departamento de crédito es una variable aleatoria

con

distribución Gamma

3,1. El tiempo de la investigación en el buró de crédito

también se

distribuye 2,1 , que es independiente del tiempo que le lleve al departamento de crédito.

Sean , el tiempo total en el que se realiza la investigación del crédito y

+, la proporción del tiempo total de la investigación que requiere el departamentode crédito.a) Derive la función de densidad conjunta de y . b) Obtenga las funciones de densidad marginales de y , ¿Tienen algunadistribución conocida?c) ¿Son y variables aleatorias independientes?

30.- Un juego al que llamaremos 3- bin se realiza en dos etapas. En la primera se elige alazar una de tres bolas numeradas del uno al tres. Sea la v.a. que denota el número de la bola seleccionada. En la segunda parte del juego se lanza una moneda (honesta) tantasveces como lo indica el valor observado de . Un jugador gana cierta cantidad si al lanzar


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la moneda obtiene sol. Sea la v.a. que corresponde al número de veces que un jugadorgana al participar en el juego.

a) Obtenga la distribución conjunta y las distribuciones marginales de

y

.

b) ¿Existe alguna relación lineal entre y

?c) Suponga que por $100 se puede jugar 5 veces, y que la cantidad que se gana alobtener un sol es de $20. Con estas condiciones, ¿estaría usted dispuesto a pagar los$100?31.- Las variables aleatoriasX,Y,Z tienen como función de densidad conjunta a , ,8 , , ,

a) Encuentre . b) ¿Cuáles son las funciones de densidad marginales de cada una de las tresvariables aleatorias?c) Calcule el coeficiente de correlación entre y .32.- Sea , un punto escogido aleatoriamente del cuadrado0 1,0 . Sea la variable aleatoria que asigna al punto , el valor .a) Encuentre la función de distribución de y demuestre formalmente que cumplecon todas las propiedades requeridas. b) Encuentre la función acumulada de .

33.- Sea

la v.a. que indica el porcentaje del gasto de una familia destinado a la

alimentación y seaYla variable aleatoria que indica el porcentaje del gasto de una familiadestinado a vivienda. Por consiguiente se debe cumplir que:0 1, 0 1, Suponga que todos los subconjuntos de esta región tienen la misma probabilidad deocurrir y queZ es la variable aleatoria que indica el porcentaje de gasto que una familiadedica a alimentación y vivienda.

a) Obtenga la función de distribución de y grafíquela. b) Obtenga la función de densidad de y grafíquela.


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Tema 5: Distribución Normal multivariada

1.- Sea ~ 0.1 y Demuestre que , /2/

. 2.- Si , ,…, son variables aleatorias independientes de una distribución normal con parámetros , . Obtenga la función generador a de momentos de.

a) ∑ = e indique la función de esta variable. b) ∑ = cona constantes. ¿Cómo se distribuye la variable ?c) ∑ , ¿Cuál es su distribución?3.- Un comerciante vende dos tipos de café. El tipo

tiene un promedio de ventas de

50.8kg., con una desviación estándar de 3 kg. El tipo tiene un promedio de ventas de51.12 kg., con una desviación estándar de 4.3 y el coeficiente de correlación entre ambostipos de café es -0.7. Si es la venta del café tipo y es la del tipo y se distribuyennormalmente.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que se vendan más de 50 kg del café tipo ? b) ¿Cuál es la probabilidad de que se vendan más de 50 kg del café tipo ?c) ¿Cuál es la probabilidad de que se vendan más de 50 kg del café tipo si se sabeque se vendieron 48 kg del tipo ?d) Si

Xes la venta total de los dos tipos de café, obtenga la función generadora de

momentos. ¿De que tipo de distribución se trata?e) ¿Cuál es la probabilidad de que la venta total sea mayor a 100 kg?

Hint: sea , , vector aleatorio distribuido ,, en donde:;

Entonces, ( ) 2 4.- Las variables aleatorias y tienen distribución bivariada dada por:


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, 12 1 1212 ( ) }

a) Compruebe que las distribuciones marginales son normales con parámetros, ,, respectivamente. b) Compruebe que la función de densidad condicional de dado que tieneuna función normal con parámetros:| Y

| 1

5.- El rendimiento anual por peso invertido para dos diferentes instrumentos es el resultadode dos variables aleatorias con función generadora de momentos conjunta dada por:

′ 0.5 ´ Donde: [ ], ,0.070.11

0.000225 .00.0003 .00062

a) Encuentre la media del rendimiento real anual de cada instrumento. b) Encuentre la matriz de covarianzas.c) Obtenga la matriz de correlaciones.d) ¿Cuáles son las distribuciones marginales de y ?

6.- Supón que ~ ,Σ , , , , ΣΣΣΣΣ Prueba que tanto como son distribuciones marginalmente normales y da su media yvarianza, ¿Cómo se puede generalizar este resultado para ∈ℝ?


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7.- Sea

´ , , , ~, con 5

51010,

Σ10 4 4 44 20 20 4 10 20 4 10 10

cuál es la

distribución de:

a) 5. b) 2.8.- Sean , , , variables aleatorias independientes con distribución ,σ, ¿cuáles la distribución de: , , y cuál es su distribuciónconjunta (especifica la covarianza entre cada par)?9.- Sean , ,con media nula y matriz de covarianzas:Σ2 0 00 2 10 1 1 Encuentra la distribución conjunta de y .

10.- Suponga que ~ ,Σ y queΞ satisface queΣ ΞΣ 0, con: , , , ,ΣΣΣΣΣ

Además queΣ .ΣΞΣ, y que pertenece sólo al hiperplano del soporte de ladistribución ,Σ.a) Verifica que y Ξ son no correlacionadas. b) Verifica que la densidad condicional de dado esΞ ,Σ ..c) EncuentraΞ para el caso en el queΣ es una matriz cuadrada.d) Encuentra una fórmula sencilla para el caso en el que ∈ℝ.

11.- Sea el vector aleatorio enℝ ~222 ,3 2 12 4 11 1 2 determine ladistribución de:a) ,.


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b) .c) ,.

Sean

2 1 10 1 1 y

1 1 11 1 00 1 1.

Cómo se distribuyen:

d) e)

12.- Suponga que el vector aleatorio en

ℝ, ~0,Σ con

Σ4 6 2 46 9 3 62 3 5 44 6 4 6

.

a) ¿Cuál es la distribución de3 4 ? b) ¿Cuál es la distribución de dado ?c) ¿Cuál es la distribución de , dado que 2 y 3.

Cuadernillo Probabilidad Enero 2015

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