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COLEGIO SANTO DOMINGO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

CUADERNILLO DE EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE MATEMÁTICA PARA TERCERO MEDIO 2018

NOMBRE: _________________________________________

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Introducción:

Una de las formas más fáciles para estudiar matemática es repasar y aplicar los conceptos

analizados en clases a través de ejercicios y problemas; este cuadernillo pretende ser una ayuda

que debes usar tanto en su casa como en el colegio con el fin de facilitar tu aprendizaje.

Algunos de los ejercicios y problemas de las guías que forman parte del cuadernillo han

sido cuidadosamente seleccionados de los texto de estudio existentes en el mercado y otros son

creaciones de tus profesores.

Esperamos que este conjunto de guías te sirva como un apoyo para tu aprendizaje de la

matemática en el presente año.

Muchos éxitos.

Departamento de Matemática

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UNIDAD: GEOMETRÍA ANALÍTICA

I) Encontrar la distancia entre los siguientes pares de puntos 1) A(2,6); B(7,18) 2) C(0,3); D(4,6) 3) E(0,4); F(0,12)

4) (-5,4) y (7,-1) 5) (0,35;0,3) y (0,05;0)

6)

3,

3

1 y

4,

5

1

7)

3

4,

5

1 y

3

4,

5

1

II) Encontrar el punto medio de los segmentos cuyos extremos son cada uno de los siguientes los pares de puntos

1) A(3,4) ; B(7,-2)

2) C(2,5) ; D(8,2)

3) E(6,-3) ; F(4,-7)

4) P

3,

3

1 ; Q

4,

5

1

5)

3

4,

5

1 y

3

4,

5

1

III) Resolver los siguientes problemas usando las expresiones encontradas para distancia entre dos puntos y punto medio de un segmento. (Indicación: Representar la figura en el plano cartesiano es necesario en la mayoría de estos problemas) 1) Calcula el perímetro de cada uno de los polígonos determinados por las coordenadas de sus

vértices: a) Un triángulo ABC con A(-1,4); B(-3,1) y C(3,1) b) Un cuadrilátero ABCD con A(-6,2); B(-4,7); C(1,1); D(-1,-1) c) Un pentágono ABCDE con A(-5,-2); B(1,-2); C(4,2); D(4,9); E(-5,9)

2) Las coordenadas de 3 de los vértices de un rombo ABCD son A(-2,3); B(-5,1); C(-2,-1). ¿Cuáles

son las coordenadas del vértice D?

3) Tres vértices de un rectángulo son los puntos A(2,-1); B(7,-1) y C(7,3). Hallar el cuarto vértice y el área del rectángulo

4) Si la distancia entre A y B es 5 y las coordenadas de A son (3,4), ¿cuáles son las posibles

coordenadas de B? indica solo 2 5) Considera el triángulo ABC cuyos vértices son A(-10,1); B(-4,9) y C(9,1)

a) Encuentra las coordenadas de los puntos medios D de AB ; E de BC y F de CA b) Calcula el perímetro de los triángulos ABC y DEF c) ¿qué relación existe entre los perímetros de los triángulos ABC y DEF?

4

6) Si P es un punto del plano cartesiano tal que P(5; 3k + 7), determina el valor de k para que

pertenezca al eje de las abscisas 7) Uno de los puntos extremos de un segmento es A(6, 2) y su punto medio es M(14, 16).

Determina las coordenadas del otro extremo 8) Calcular el perímetro, el área y los puntos medios de los lados de un triángulo cuyos vértices

son A (-5,2) B (-1,5) C (4,1) IV) Determinar la pendiente de las rectas dadas por dos de sus puntos

1) A (3,7) ; B (2,5)

2) G(-2,-5); H (4,-5)

3) P(3,2) Q (3,-3)

4)

5

1,

3

2 y

5

2,

3

1

5)

5

1,1 y

3,

3

1

V) Encontrar la ecuación de la recta que contiene a cada uno de los siguientes pares de puntos 1) A (2,1) ; B (3,5) 2) C(-2,5) ; D(1,7) 3) E(6,1) ; F(3,-2)

4) G(-1,-2); H (2,-3) 5) M(2,-1) N (1,-1) 6) P(4,1) Q (4,3)

7) H(1,1);B(-2,-2) 8)k(1,7); M(-6,7)

VI) Determinar la ecuación principal de la recta ,y=mx+n, que cumpla con las condiciones pedidas en cada caso 1) Contenga al punto (2,-4) y corte al eje X a distancia 4 a la derecha del origen

2) Contenga al punto (3,-5) y corte el eje Y a distancia 2 hacia abajo del origen

3) Contenga al origen y al punto (8,-3)

4) Contenga al punto medio del segmento AB y al punto C siendo A (-3,-8), B (5,-2) y C(4,-1)

5) Contenga al punto (2,4) y tenga pendiente 3

6) Su pendiente sea 3

2 y contenga al punto (3,-1)

7) Su pendiente sea 5

2 y contenga al punto (2,0)

8) Contenga al origen y su pendiente sea -2

9) Contenga al punto medio del segmento PQ y su pendiente sea 2

3 , siendo P(8,-3) y Q (4,3)

5

10) Encontrar la ecuación principal de la recta que mejor se adecue a cada uno de los siguientes

gráficos

VII) Graficar las siguientes rectas dadas por sus ecuaciones

a) 13

2:1 xyL

b) 34

5:3 xyL

c) 32:4 xyL

d) 34

7:6 xyL

e) L8: 4x + y – 8 = 0

VIII) Expresar las siguientes ecuaciones, en su forma principal (y=mx+n). 1) 2x + 5y – 10 = 0

2) x – 4y + 8 = 0

3) 3x + 2y – 1 = 0

4) 4x + 8y + 9 = 0

5) –3x + 5y + 15 = 0

6) x + y – 1 = 0

X) Escribir las siguientes ecuaciones en la forma general , ax+by+c=0

1) 2x9

4y

2) 2x2y

3) 2x3

2y

4) 7x3y

5) 4

3x

5

8y 6)

4

3x

2

1y

X 6

Y

4

X

Y

8

5

(2,6) 7

5

X

Y

X

Y

(-5,4)

(3,-1)

6

IX) Verifique , si los siguientes puntos pertenecen a las rectas correspondientes 1) El punto (3,4) a la recta 5x – 3y – 3 = 0

2) El punto (-2,7) a la recta 6x + y + 5 = 0

3) El punto (1,-1) a la recta x – 2y – 4 = 0

4) El punto (-3,-1) a la recta 2x3

1y

5) El punto (4,5) a la recta 5

11x

5

4y

6) El punto (-1,-2) a la recta 4

5x

4

3y

X) Encontrar todas las condiciones de paralelismo existentes entre las siguientes rectas dadas por sus ecuaciones

1) 1x3

2y:L1

2) 2x5

2y:L2

3) 3x6

4y:L3

4) 1x2y:L4

5) 2x3y:L5

6) L6 2x – 3y + 6 = 0

7) L7 2x + y – 8 = 0

8) L8 x + 2y – 12 = 0

9) L9 5x – 2y + 5 = 0

10) L10 3x – y + 10 = 0

XI) Encontrar todas las condiciones de perpendicularidad entre las siguientes rectas dadas por sus ecuaciones

1) 1x2

3y:L1

2) 2x5

6y:L2

3) 8x3

2y:L3

4) 1x4y:L4

5) 2xy:L5

6) L6 2x – 3y + 8 = 0

7) L7 4x + y – 8 = 0

8) L8 x + y – 12 = 0

9) L9 x – y + 5 = 0

10) L10 2x – y + 10 = 0

XII) Encontrar el punto de intersección de los siguientes pares de rectas

1) 3x2y:L1 ; 1x4y:L2

2) 2

3x

4

3y:L5 ; 4x

2

1y:L6

3) L9 2x + 3y – 3 = 0 ; L10 x – 2y –5 = 0

4) L11 2x + y = 0 ; L12 3x – 5y + 26 = 0

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XIII) Resolver los siguientes problemas 1) Sean A (-2,5) B (4,3) C (-2,10) los vértices de un triángulo. Encontrar

a) Los puntos medios de sus lados b) Las ecuaciones de las rectas portadoras de las transversales de gravedad

2) Encontrar la ecuación principal de la recta que contiene al punto (3,-5) y es paralela a la recta

de ecuación 3x – y +5 = 0 3) Encontrar la ecuación principal de la recta que contiene al punto (1,-2) y es perpendicular a la

recta de ecuación x + 2y + 1 = 0 4) Determinar la ecuación general de la recta que contiene al punto T (-1,4) y es perpendicular a

la recta 4x – 7y + 7 = 0 5) Encontrar la ecuación general de la recta que contiene al punto (2,3) y es paralela a la recta de

ecuación 2x – 3y – 4 = 0 6) Encontrar la ecuación general de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas L1

de ecuación y = 2x – 3 y L2 de ecuación x – 2y + 9 = 0 y es paralela a la recta L3 de ecuación

6

1x

3

2y

7) Encontrar la ecuación general de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas L1

de ecuación y = 2x – 3 y L2 de ecuación x – 2y + 9 = 0 y es perpendicular a la recta L3 de

ecuación 14

11x

7

12y

8) ¿Qué valor numérico debe tener k en la ecuación de la recta 3x – 2y + k = 0 para que el punto (-

1,3) pertenezca a ella 9) Determinar el valor numérico de la constante k en la ecuación de la recta 7kx – 4y – 8 = 0 para

que sea paralela a la recta de ecuación 6x + 5y – 5 = 0 10) ¿Qué valor numérico debe tener k en la ecuación x + ky – 7 = 0 para que la recta sea

perpendicular a la recta de ecuación 2x – 3y + 6 = 0

8

11) Dado el siguiente gráfico, determinar las ecuaciones de las rectas M, N y T sabiendo que T es perpendicular a M y paralela a N.

12) Determinar la ecuación de la recta que corta el eje y en el punto A ( 0, -2) y es perpendicular a la bisectriz del II cuadrante.

13) Dados los puntos A ( 3,5), B ( 7, -1), C (- 4, 4) y D ( 0, -2) ¿Es AB // CD?

14) Demostrar que A (7,9), B (10,-3) y C ( 2, -5 ) son las coordenadas de los vértices de un triángulo rectángulo.

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UNIDAD NÚMEROS COMPLEJOS

I) Expresar las siguientes raíces negativas en términos de la unidad imaginaria i.

1) 16 2) 49 3) 64 4) 9 5) 8 6) 18

II) Reducir las siguientes expresiones, de raíces negativas , en términos de unidad imaginaria i.

1) 181 2) 2536 3) 9121100

4) 5032 5) 4812

III) Calcular , el valor , las siguientes potencias de i 1) i5 2) i27 3) i72 4) i86 5) i137 6) i202 7) i388 8) i-11 IV) Representar en el plano cartesiano los siguientes complejos 1) -1 + 3i 2) 4 + 3i 3) -8 – 2i 4) -5i 5) 0,5 – 7i 6) 2 – 3i V) Calcular el módulo de los siguientes complejos en el plano cartesiano: 1) 3 – 4i 2) -5 + 12i 3) -2 + 2i 4) -6 – 8i 5) 9 + 6i VI) Resolver los siguientes ejercicios de adición y sustracción de complejos 1) (-5 + 2i) + (7 – 5i) 7) (4 – 5i) + (2 – 3i) – (-4 – 7i)

2) (-3 – 7i ) – (3 – 9i) 8) (5 – 4i ) – 2i – (5 – 8i)

3) (2 – 4i) + (1 –i) 9) i82i53

4) (-9 + 7i) + (7 + 4i) 10) i3i75

5)(11 – 7i) – (3- 8i) 11) i35i52

6)(13 – i ) – (11 – 3i) 12) i53i1

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VII) Resolver las siguientes multiplicaciones:

1) (5 + 4i) (1 –i) 4) (3 – 7i) (2 – 5i)

2) (-1 – 2i ) (3 – 6i) 5) (5 + 4i ) (1 – 12i)

3) (1 – 4i) (1 + i) 6) i82i73

VIII) Resolver las siguientes divisiones :

1) (2 + 4i) (1 –i) 4) (1 – 8i) (5 – i)

2) (-1 – 2i ) (3 – 6i) 5) (1 + 4i ) (1 – 2i)

3) (1 – 6i) (3 + i) 6) i31i34

IX) Resolver los siguientes ejercicios Si Z1= (1+i), Z2 = (2-3i), Z3 = (-5 – i) y Z4= (4 + 3i) encontrar en número complejo resultante: 1) Z1 + Z2

2) Z3 – Z4

3) 4Z1 – 2Z3

4) Z3Z4

5) Z1-Z3

6) Z4 : Z1

7) Z3: Z2

8) 23 ZZ

9) 43 ZZ

10) 21 Z2Z3

X) Resolver usando las potencias y operatoria , según sea cada caso: 1) 3i-2

2) (8i)3

3) (2i3)5

4) i4+i7-3i3

5) 311

137

23

42

ii

ii

6)

3

133

106

54

2

ii

ii

7) (i22 + i30)4

8) (i5 + i – 12)2

9) (i – 3 – i – 5)– 2

10) 432

1111

iiii

11) ii 23322

12) i

i

223

232

13) 100432

1.......

1111

iiiii

14) i

i

1

)²2

2

2

2(

15) i

i

i

i

2

)²1(

)²1(

2

16) i

i

i

i

1

2

3

³225

17) i

i

i

i

1

2

3

³225

11

XI) Resuelva o demuestre según sea el caso:

1) Demuestre que Re (zw) = Re (z) Re (w) – Im (z) Im (w)

2) Demuestre que Im (zw) = Re (z) Im (w) + Im (z) Re (w)

3) Demuestre que zz

4) Determine los números complejos tales que su módulo sea 5 y la parte real de su cuadrado

sea 7.

5) Para que i

ix

1sea igual al imaginario i, ¿Cuál es el valor de x?

6) Encuentre el valor del complejo z para que se cumpla: ( – 1 , – 2 ) – z = ( 1 , – 1 )

7) Encuentre el valor del complejo z para que se cumpla: iz

z

2

1

1

a) Encuentre el valor del complejo z para que se cumpla: ( 2 – 3 i ) . z = ( 2 + 3 i ) . i

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ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO I)Verificar , en cada ecuación , si los valores que se proponen son solución o no de la ecuación

a) 01072 xx ; 5 ,3 ,2 ,0 xxxx

b) 0252 2 xx ; 3 ,2 ,2/1 ,1 xxxx

c) 2 3 5 02x x ; x x x x 1 1 2 2, , ,

d) En la ecuación x x c2 5 0 , una solución es 3. ¿Cuánto vale c?

e) En la ecuación x bx2 15 0 , una solución es 5 ¿Cuánto vale b? II) Resolver las siguientes ecuaciones despejando la incógnita y aplicando la raíz cuadrada

1) x2 – 16 = 0 2) x2 = 25 3) x2 + 2x = 9 + 2x 4) x ( x –1) = 64 – x

5) (2x+3)2 = 12x + 11 6) 2x2 = -18 7) x2 +7 = 3 – x2

8) 2

13

3

5 2 x

III) Resolver las siguientes ecuaciones factorizando en el último paso

a) x2 – 2x = 0 b) x2 + 5x + 6 = 0 c) x2 – 6x = 0 d) x2 – 6x – 16 = 0 e) x2 + 5x = 2x f) x2 – 14x + 33 = 0 g) (x – 3)2 = 9 h) x2 + 4x – 45 = 0 i) 4x2 – 5x = 3x j) x2 + 15x + 56 = 0

k) 5x2 + 9x = 2x l)

m) 7x2 = 3x n) o) x2 + 2x – 63 = 0

p) IV) Resolver las siguientes ecuaciones por medio de completación de cuadrados

a) x2 – 2x – 15 =0 b) x(x+3) = 5x +3 c) x2 + 8x – 5 = 0

d) 2x2 + 8x – 16 = 0

e) 9

1

3

22 xx =0

V) Resolver las siguientes ecuaciones usando la fórmula

a) 01582 xx

b) 0372 xx

c) 222111 xx

d) 122214 xx

e) 63213 xxx

f) 322x

g) 3

2

3

1

22 xxx

h) 0518

3

x

x

i) x2 + 4ax – 12a2 = 0 j) x2 – 5ax + 6a2 = 0

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VI) Determinar la naturaleza de las raíces de las siguientes ecuaciones mediante el análisis del discriminante

a) x2 – 17x + 60 = 0 b) x2 + 2x – 1 = 0 c) 3x2 – 6x +3 = 0 d) 2x2 – 9x + 27 = 0 e) x2 + 6x + 9 = 0 f) 3x2 + 7x – 11 = 0 g) x2 – 12x + 36 = 0 h) 4x2 – 9x + 6 = 0 i) 2x2 – 11x – 12 = 0 j) 7x2 + 12x + 5 = 0

VII) Resolver los siguientes ejercicios y problemas aplicando las propiedades de las raíces de la ecuación de segundo grado 1) Encontrar las ecuaciones de segundo grado con coeficientes enteros cuyas raíces sean: a) 2 y -3 b) 4 y 5 c) -3 y – 5

d) 2 2

1y

e) 9 3

2y

f) 7 7 y

g) 31 31 y

h) 2

53

2

53 y

2) En la ecuación x2 + 5x + 8 = 0 las raíces son x1 y x2; calcular el valor de las siguientes

expresiones

a) x1 + x2

b) x1x2

c) 21

11

xx

d) 21

22

21

xx

xx

e) 22

21 xx

f) 1222

21 xxxx

3) Determine la suma y el producto de las raíces de la ecuación:

a. x2 + 7x – 8 = 0 b. 5x2 – 5x + 7 =0 c. (x – 3) (2x + 5) = 0

d. 9

1

3

22 xx

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4) Cuál es el valor de k para que la ecuación 3x2 – kx + 3 = 0 tenga soluciones reales e iguales.

5) Determine la suma y el producto de las raíces de la ecuación: 2ax2 – bx + a2b2 = 0

6) ¿Cuál debe ser el valor de k en la ecuación x2 + 3kx + 12 = 0 para que la suma de sus raíces sea

8? 7) ¿Qué condición debe cumplir t en la ecuación tx2 + 2x + 1 = 0 para que sus raíces sean

números complejos conjugados?

8) Determinar el valor de k, de modo que la ecuación 3x2 + 4x = k – 5 tenga: a. Dos soluciones reales y distintas. b. Dos soluciones reales e iguales. c. Dos soluciones que no sean números reales

9) Una solución de la ecuación 0kx3kx2 es (-2). Determinar la otra.

10) Determinar el valor que debe tener k en la ecuación 02k3kx2x2 para que: a. Las dos soluciones de esta ecuación sean reales e iguales. b. Una solución de esta ecuación sea el doble de la otra.

VIII) Resolver las siguientes ecuaciones bicuadradas

1) x4 – 5x2 + 4 = 0 2) x4 – 13x2 + 36 = 0 3) x4 – 2x2 – 3 = 0 4) x4 + 4x2 – 45 = 0 5) x4 – 10x2 + 9 = 0

6) x4 – 14x2 + 48 = 0 7) x4 – 17x2 + 16 = 0 8) 9x4 – 10x2 + 1 = 0

IX) Resolver las siguientes ecuaciones irracionales

1) x2x

2) 032x2

3) 5x22x1

4) 5xx29x6

5) 33x4x2

6) 25x5x25x2 2

7) xx2x

2

x2x

222

8) 219xx 22

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X) Resolver los siguientes ejercicios y problemas usando la sección áurea

1) Calcular la sección áurea de los siguientes trazos con 3 cifras decimales

a) 10 cm b)12 cm c) 15 cm d)17cm

2) Demostrar que 11

3) Un sitio rectangular tiene sus lados en la razón áurea; si el más grade de ellos mide 20m Calcular el área del sitio.

4) Construir un pentágono regular en base a la sección áurea

GUÍA TEOREMA DE EUCLIDES Y APLICACIONES DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA I) Calcular la medida del segmento pedido en cada caso

II) Resuelve: 1) En la figura el triángulo ABC es rectángulo en C y h es la altura correspondiente al lado c.

a) Si p = 8 cm y a = 12cm, calcular trazoAB

b) Si q = 3cm y p = 12cm, calcular h

c) Si AB = 20cm y a = 10, calcular p y q

d) Si h= 15cm y q = 9cm , calcular p y AB

e) Si a = 16cm y b = 20cm, calcular p, q y h

f) Si AB = 13m y h = 6m, calcular p y q

g) Si a = 8 m y p = 2m ,calcular c y h

h) Si h = 5m y b = 8cm ,calcular p, q y a

Teoremas de Euclides

1) a2 = pc

2) b2 = qc

3) h2 = pq

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2) El triángulo de la figura es rectángulo. Calcular el valor numérico de : x, y, z 3) Calcular a, p y c de acuerdo a los datos que aparecen en la figura

4) Calcular p y q de acuerdo a los datos de la figura

x

y

z 18

4

17

III) Calcular la medida de los trazos pedidos en los siguientes triángulos rectángulos utilizando los teoremas de Euclides y la ecuación de segundo grado 5) 6) p=? ; q=? 7) 8) IV) Resolver los siguientes problemas

1) Encontrar 2 números pares consecutivos cuyo producto sea 4224.

2) El número de diagonales de un polígono es 54. ¿Cuántos lados tiene el polígono?

3) La diagonal de un rectángulo mide 10 cm y su área 48 cm2. ¿Cuáles son las medidas de los lados del rectángulo?

4) En un círculo, la distancia entre 2 cuerdas paralelas congruentes es de 12 cm. Si cada

cuerda mide 6 cm más que el radio, calcular la medida del radio.

5) Con un cartón cuadrado se quiere construir una caja sin tapa. Al cartón se le corta un cuadrado de 3 cm de lado en cada uno de sus vértices. Calcular la medida del lado del cartón, sabiendo que el volumen de la caja debe ser 192 cm3.

6) El área de un rectángulo equivale a la de un cuadrado de 96 cm de lado. Determinar las

dimensiones del rectángulo, sabiendo que una de ellas es 16

9 de la otra.

7) La edad de Liliana era hace 6 años la raíz cuadrada de la edad que tendría dentro de 6

años. Determinar su edad actual.

18

8) La diagonal de un rectángulo mide 10 cm. Halla sus dimensiones si un lado mide 2 cm

menos que el otro.

9) Un campo de fútbol mide 30 m más de largo que de ancho y su área es de 7000 m2 , halla sus dimensiones.

10) Tenemos un alambre de 17 cm. ¿Cómo hemos de doblarlo para que forme un ángulo

recto de modo que sus extremos queden a 13 cm?.

11) Un triángulo rectángulo tiene de perímetro 24 metros, y la longitud de un cateto es igual a ¾ del otro. Halla sus lados.

12) Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de

arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m².

13) Una piscina que tiene 20 m de largo por 8 m de ancho está orillada por un paseo de anchura uniforme. Si el área del paseo es de 288 m2, ¿cuál en su anchura (del paseo)?

14) A un cuadro de óleo de 1,50 m de largo por 90 cm de alto se le pone un marco de anchura

constante. Si el área total del cuadro y el marco es de 1,6 m2, ¿cuál es la anchura del marco?

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UNIDAD: FUNCIÓN DE SEGUNDO GRADO

I) Dadas las funciones de segundo grado f(x) = -2x2 ; g(x) = x2 – 5x + 6 y h(x) = 3x2 – 5 1) Encontrar el valor que se obtiene en : a) f(-3) b) f(3) c) f(-1) d) f(-7)

e) g(-2) f) g(2) g) g(3) h) g(1)

i) g(4) j) g(0) k) h(0) l) h(-2)

m) h(4) n) h(-4) o) h(1)

II) Completar las siguientes tablas de valores y a partir de ellas construir los gráficos de las funciones f, g y h x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

f(x) x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

g(x) x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

h(x) III) Dados los siguientes gráficos, determinar a concavidad y tipos de soluciones, según la forma del gráfico: 1. 2. y y x x 3. 4. y y x x

20

IV) Encontrar el eje de simetría, el vértice, el valor máximo o mínimo, los puntos de intersección de la curva con los ejes, dominio y recorrido y graficar cada una de las siguientes funciones. 1) y = 2x2 + 4 2) y = -x2 + 6 3) y = x2 – 6x + 8 4) y = x2 + 6x + 9

5) y = -x + 4x – 4 6) y = 2x2 -16x + 32 7) y = -3x2 – 6x – 3 8) y = x2 – 4x + 1

9) y = x2 + 2x + 3 10) y = -x2 – 4x + 1 12) y = 3x2 + 18x + 31 13) y = -2x2 + 4x – 3

14) y = 4x2 + 16x + 9 15) y = 5x2 + 30x + 49 16) y = -3x2 – 30x – 69

V) Determine la función correspondiente de acuerdo con los datos dados:

VI) Resolver los siguientes problemas 1) Calculen el o los valores de k para los cuales las siguientes funciones tenga dos intersecciones con el eje

x:

a) f(x)= x 2 +2kx+k

b) f(x) = x 2 +(k-1) x- k 2) Se lanza un proyectil hacia arriba formando un cierto ángulo con respecto a la horizontal, con una velocidad inicial de 40 m/s, desde 20 m de altura. La posición del proyectil cuando han transcurrido t segundos desde el lanzamiento esta dada por la función f(t) = -5t2 + 40t + 20 a) Calcular la altura máxima que alcanza b) Determinar el tiempo que demora en alcanzar la máxima altura.

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3) En Física se demuestra que la distancia d recorrida por un cuerpo en su caída en el vacío está dada por la

fórmula: d = v0 t + 1

2 g t2 donde v0 es la velocidad inicial del cuerpo, t es el tiempo de descenso y g es la

aceleración constante debida a la gravedad. Calcular el tiempo que necesita un cuerpo para descender 100 metros en el vacío si su velocidad inicial es 18 m/s y g es 9,8m/s2. 4) Un gallinero es atacado por una epidemia. A partir del instante en que se detectó el mal y se le empezó a atacar la mortalidad diaria se dio de acuerdo a la siguiente ley f(t) = -t2 + 30t + 99 donde t son días y f(t) muertes diarias. a) ¿Qué cantidad de animales murieron el día que se detectó el mal?. b) ¿En qué día se produjo la mortalidad máxima? ¿Cuánto fue?. c) ¿Cuánto tiempo duró la plaga desde el día que se detectó? d) Si el modelo matemático rige al tiempo pasado ¿qué día se supone que empezó la epidemia?. 5) Supongamos que el número (aproximado) de bacteria en un cultivo en un tiempo t (medido en horas) está dado por:

N(t) = 5000 + 3000 t – 2000t2. a) ¿Cuál es el número inicial de bacteria? b) ¿Cuántas bacterias hay luego de una hora? c) ¿En qué tiempo desaparece la población? d) ¿En qué tiempo la población de bacteria es máxima?

6) Se lanza una pelota hacia arriba con un determinado ángulo respecto de la horizontal, tal que su

trayectoria parabólica está dada por la función cuadrática: 2

3 + t 24 + 5t- = y 2

¿Cuál es la altura máxima (K) que alcanza y en qué instante (T1)? ¿A partir de qué instante la pelota comienza a caer? ¿Cuánto tiempo demora en caer desde que alcanza su máxima altura? ¿Cuál será la altura que alcanza la pelota a los 3 segundos de haberla lanzado? 7) Don Arturo compró 30 metros de malla para cercar una plantación de lechugas; el desea plantar las lechugas en el fondo del patio donde se intersectan perpendicularmente dos muros rectos ¿Cómo debe hacer el cercado Don Arturo para que la superficie sea la mayor posible?

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GUÍA: ELEMENTOS DE COMBINATORIA (REPASO) Resolver los siguientes problemas: 1) De la ciudad A hasta la B hay 7 caminos y de la B a la C hay 3 caminos ¿Cuántos caminos distintos se

pueden realizar para ir de A a C pasando por B? 2) Marta se inscribió en un concurso de cuentos y obtuvo el primer lugar. El premio consistió en un

viaje por una semana, usando el transporte de su preferencia y con un acompañante. Los lugares posibles eran Pucón, Tongoy y Mendoza; los medios de transporte Avión o bus y los acompañantes posibles eran su mama, su hermana o su mejor amiga ¿Cuántas opciones distintas tiene Marta para realizar su viaje?

3) Una cooperativa está en período de elecciones de la nueva mesa directiva. Hay 8 candidatos a

presidente, 4 a vicepresidente, 6 a secretario y 3 a tesorero ¿De cuantas manera se puede formar la nueva directiva?

4) ¿De cuántas maneras se puede elegir una vocal y una consonante de la palabra Quijote? 5) ¿Cuántos números de tres cifras distintas y menores que 500 pueden formarse con los dígitos

2,3,4,5 y 6? 6) Si consideramos que nuestro alfabeto tiene 26 letras ¿Cuántas patentes diferentes se pueden

formar con tres letras y tres dígitos? 7) ¿De cuántas maneras se pueden ubicar 7 personas en una fila?

8) ¿Cuántas palabras, no necesariamente pronunciables pueden escribirse con las letras de la palabra

PINCEL? 9) Siete caminos conducen a la cumbre de un cerro ¿De cuántas maneras puede un turista subir y

bajar el cerro si el ascenso y el descenso deben ser por caminos diferentes? 10) ¿De cuántas maneras distintas se pueden poner las cuerdas en un Violín? 11) Hay 5 libros de poesía,7 de cuentos y 11 novelas ¿De cuántas maneras se pueden ordenar en un

estante si deben quedar juntos los libros de cada tema? 12) ¿Cuántos números de tres cifras diferentes se pueden escribir usando los dígitos 1,2,3,4,5? 13) ¿Cuántas palabras de cuatro letras distintas pueden escribirse usando las letras de la palabra

CLAUDIO? 14) ¿De cuántas maneras distintas puede elegirse la directiva de un curso de 17 personas si ésta debe

estar formada por un presidente un secretario y un tesorero? 15) ¿De cuantas maneras distintas puede sentarse un grupo de siete personas en un asiento donde sólo

caben cuatro? 16) ¿De cuántas maneras pueden seleccionarse 9 canciones total de 23?

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17) Un examinador de la PSU dispone de 6 bancos en una fila que deben ser usados por 4 estudiantes

¿De cuantas maneras puede elegir los bancos que van a ser ocupados? 18) De un total de 15 niños y 6 niñas se desea escoger un grupo de 6 ¿De cuántas maneras puede

hacerse esta elección? 19) Resolver el ejercicio anterior si cada grupo debe constar de 3 niños y 3 niñas exactamente 20) ¿De cuántas maneras se pueden ordenar 5 hermanos en una fila si el menor debe estar en el primer

lugar? 21) En un curso hay 15 niños y 16 niñas y se desea seleccionar un grupo de 14 alumnos. De cuantas

maneras puede hacerse la elección si: a) No hay restricción b) Debe haber 7 niños y 7 niñas

22) ¿De cuantas maneras pueden alinearse 11 cadetes de modo que de 8 cadetes de la primera

compañía eligen 5; de 6 de la segunda compañía eligen 4 y finalmente de la tercera compañía que tiene 4 se elige el resto?

25) ¿Cuántos números menores o iguales que 3000 y múltiplos de 5 se pueden formar con los dígitos

0,1,2,3,4, 7 ,5? 26) En una sala hay 22 sillas ¿De cuántas maneras se pueden ubicar 15 alumnos? 27) Se forman señales colocando banderas de diferentes colores una sobre otra en un asta. Si se tienen

9 banderas diferentes, hallar el número de señales que pueden formarse: a) Con 3 de las banderas b) Con 4 de las banderas c) Con todas las banderas

28) Al tirar una moneda al aire, puede caer en cara o en sello. Encontrar el número de maneras

diferentes en que pueden caer las siguientes cantidades de monedas a) 2 monedas b) 3 monedas c) n monedas

29) ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse 5 personas en una fila de 8 sillas? 30) Hallar el número de comités de 4 miembros que se pueden formar con un conjunto de 15 personas 31) Ocho personas van a jugar 4 partidos de tenis ¿De cuántas maneras diferentes pueden escogerse

los rivales? 32) ¿De cuántas maneras pueden ordenarse n niños en una línea si tres de ellos deben estar separados?

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UNIDAD: VARIABLE ALEATORIA DISCRETA I) Identifique, cuál de las siguientes variables aleatorias que se pueden clasificar como discretas. a) El tiempo que tardó en llegar a la Universidad hoy.

b) El número de estudiantes en los cursos del colegio.

c) El número de preguntas que contestó correctamente en el primer examen de matemáticas.

d) El número de personas en una muestra de 50 que prefieren una marca determinada de cerveza.

e) La cantidad de gas que se usa al mes para calentar un hospital.

f) El número de diarios que vende “El Centro” cada mes.

g) La cantidad exacta de bebida en una lata

II) Determinar la variable aleatoria en cada uno de los siguientes casos, indicando los valores que toma esta. 1) Se escoge una carta de un naipe ingles y se observa su número (considere As=1; J=11; Q=12; K=13) 2) Se lanza una moneda al aire 4 veces y se cuenta el número de sellos 3) Se lanzan dos dados y se calcula el valor absoluto de la diferencia 4) Se lanzan dos dados y se calcula el valor del producto II) Determinar la función de probabilidad y de distribución en cada caso del ejercicio anterior III) Resuelva los siguientes problemas 1) Suponga que el número de autos que pasan por una estación de lavado un domingo asoleado entre las 4 y las 6 de la tarde tiene la siguiente distribución de probabilidades:

X 5 6 7 8 9

P(X=x) 1/12 1/12 1/4 1/4 1/6

a) Complete la distribución de probabilidades. b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 6 autos van a pasar entre las 4 y las 6 de la tarde? c) ¿Cuál es el valor esperado de autos que pasan por la estación los domingos asoleados (E(X))? d) Si Y=2X-1 representa la cantidad de dinero, en miles de pesos, que el dueño de la estación le paga a su empleado por lavar autos. ¿Cuánto es el valor esperado de dinero que va a ganar el empleado los domingos asoleados?

25

2) Sea X el número de personas de hogares en el censo 2002

X 1 2 3 4 5 6 7

P(x) 0,11 0,18 0,22 0,23 0,14 0,07

a) ¿Cuál debe ser la probabilidad de que el tamaño familiar sea de 7 y más personas para que esta sea una distribución de probabilidades discreta legítima? b) Muestre gráficamente la distribución de probabilidades. c) ¿Cuál es la probabilidad de que un hogar elegido al azar tenga un tamaño familiar de más de 5 personas? d) ¿Cuál es la probabilidad de que un hogar elegido al azar tenga un tamaño familiar de nomás de 2 personas? e) ¿Cuál es el valor de P(2 < x 4) f) Calcule el valor de la esperanza y la varianza de la variable. 3) Sea X la variable aleatoria número de aleteos por segundo de una especie de polillas grandes mientras vuelan. Si X tiene como función de probabilidad.

X 6 7 8 9 10

XP 0.05 0.1 0.6 k 0.1

a) Encontrar valor de K. b) Graficar la función c) Encontrar la función de distribución. d) Calcule el valor de la esperanza y la varianza de la variable.

4) Supóngase que una variable aleatoria X tiene una distribución probabilística discreta dada por la

siguiente función de cuantía XP :

.0

.5,4,3,2,12

CasoOtroEn

xSixC

xXP

a) Encuentre el valor de la constante C, de forma que XP sea efectivamente una función de

probabilidad para la variable aleatoria X.

b) Determine el valor de probabilidad de las siguientes expresiones:

i) 5XP ii) 2XP iii) 2XP

iv) 3XP v) 51 XP

c) Calcule el valor de la esperanza y la varianza de la variable.

26

III) Resolver los siguientes problemas distribución binomial 1) Se lanza una moneda al aire 7 veces. Calcular la probabilidad de:

a) Obtener exactamente 5 caras b) Obtener más de 4 caras c) Obtener al menos 2 sellos

2) El 2,5% de los tornillos fabricados por una máquina presentan defectos. Si tenemos un lote de 40 tornillos, a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya por lo menos 5 defectuosos? b) Determine el número de tornillos defectuosos esperado. 3) La probabilidad de que cierta secretaria cometa algún error de tipografía es 0,4 para cada página. Suponiendo que hay independencia en la elaboración de páginas distintas, se pide: a) Hallar la probabilidad de que en un informe de 5 páginas no se encuentran errores b) Hallar la probabilidad de que en dicho escrito existan al menos tres páginas con errores 4) Suponga que la probabilidad del nacimiento de un varón es 1/2. Calcule la probabilidad de que en una familia con 4 hijos haya: a) Al menos un niño b) Al menos un niño y una niña 5) La probabilidad de que un aparato de televisión, antes de revisarlo, sea defectuoso, es 0,2. Al revisar cinco aparatos: a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno sea defectuoso? b) ¿Y la de que haya alguno defectuoso? 6) Un examen tipo test consta de 10 preguntas, cada una con cuatro respuestas, de las cuales sólo una es correcta. Si un alumno contesta al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que conteste bien 4 preguntas? b) ¿Y la de que conteste correctamente más de 2 preguntas? c) Calcula la probabilidad de que conteste mal a todas las preguntas.

7) Con el objeto de verificar la exactitud de su contabilidad, la compañía utiliza auditores regularmente para verificar las anotaciones en sus cuentas. Supongamos que los empleados de la compañía hacen anotaciones erróneas el 5% de las veces. Si un auditor revisa al azar tres anotaciones. a) Encontrar la distribución de probabilidad del número de errores detectados por el auditor b) Encuentre la probabilidad de que el auditor detecte más de un error. 8) Suponga que el 30% de los estudiantes de una universidad se opone a pagar una cuota para actividades estudiantiles. Se toman 10 estudiantes y se los encuesta. Determine: a) La probabilidad de que exactamente 5 se opongan. b) Que sólo 3 estén a favor. c) Que a lo menos 8 se opongan d) Que a lo sumo 3 estén a favor.

27

9) Se sabe que de 10 divorcios, 9 son por incompatibilidad de caracteres. ¿Cuál es la probabilidad de que de 8 casos de divorcio, exactamente 4 sean por incompatibilidad?

UNIDAD: VARIABLE ALEATORIA CONTINUA Resuelva los siguientes problemas de variable aleatoria continua

1) Los trenes de una cierta línea de cercanías pasan cada 20 minutos. Cuando llegamos a la estación,

ignoramos cuándo pasó el último. La medida de la probabilidad del tiempo que tendremos que esperar a que pase el siguiente tren (TIEMPO DE ESPERA), se obtiene con la ayuda de la gráfica adjunta.

Calcule: a) Probabilidad de esperar menos de 6 minutos b) Probabilidad de esperar a lo más 12 minutos c) Probabilidad de esperar más de 15 minutos d) La probabilidad de que tengamos que esperar entre 10 y 16 minutos 2) El autobús que nos lleva al trabajo es un tanto impuntual. Debe pasar a las 8, pero puede retrasarse

hasta 20 minutos. Sin embargo, es más probable que llegue cerca de las 8 h que cerca de las 8 h y 20 min. Si llegamos a la parada a las 8 en punto, la gráfica adjunta nos ayuda a calcular el TIEMPO DE ESPERA

Calcula e interprete , en su forma matemática o lenguaje cotidiano a) La probabilidad de esperar más de 10 minutos b) La probabilidad de esperar menos de 10 minutos c) La probabilidad de esperar entre 10 y 16 minutos d) P [x ≤2] e) P [5 ≤x ≤10]

Tiempo en minutos

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f) P [x ≤10] g) P [5 ≤x ≤6] 3) Las edades de los habitantes de una población se distribuyen según la gráfica adjunta

Si elegimos al azar un habitante de esa población, Calcula las siguientes probabilidades e interpreta lo que significan:

i. La probabilidad de que tenga entre 15 y 35 años ii. La probabilidad que tenga 20 y 40 años

iii. La probabilidad que tenga menos de 60 años iv. P [x ≤15] v. P [45 ≤x ≤65]

vi. P [x ≤80] vii. P [25 ≤x ≤70]

4) Grafique y calcule las probabilidades siguientes, usando la función de densidad:

casootro

xsi

xf

0

7,16

1

)(

Grafique:

Calcule: a) P(0≤ x ≤7)=

b) P(x ≥ 3)=

c) P(2 ≤ x ≤ 5)=

d) P(4

9 ≤ x ≤ 5)=

29

5) Grafique y calcule las probabilidades siguientes, usando la función de densidad:

20

205,0

00

)(

xsi

xsix

xsi

xf

Grafique:

Calcule: a) P(0≤ x ≤2)=

b) P(x≤ 1)=

c) P(x ≤ 1.5)=

d) P(x ≥ 1.5)=

e) P(1 ≤ x ≤ 1.5)=

6) Una variable aleatoria continua X sigue la función de densidad:

casootro

xsix

xf

0

8,42

)(

Grafique:

Calcule: a) P(4≤ x ≤8)=

b) P(x≤ 8)=

c) P(x ≤ 6)=

d) P(x ≥ 6)=

e) P(5 ≤ x ≤ 7)=

30

7) Una variable aleatoria continua X sigue la función de densidad:

30

323

211

10

)(

xsi

xsix

xsix

xsi

xf

f) Grafique:

Calcule: a) P(1 ≤ x ≤ 2)=

b) P(2 ≤ x ≤ 3)=

c) P(x ≤ 3)=

d) P(x ≥ 2)=

e) P(0.5 ≤ x ≤ 2.5)=

8) Si x es una variable aleatoria continua y su función de densidad es f(x)=k; con x [0,5]. ¿Cuál es el valor

de k? 9) Si f(x) es una función de densidad y el valor de k es positivo. Indique el valor de k

valorotro

xsikx

xf

0

50

)(

31

DISTRIBUCIÓN NORMAL

1) Si z es una variable aleatoria normal, con media 0 y varianza 1, calcule las siguientes

probabilidades e interprete gráficamente. a) P(z ≤ 1,3) b) P(z ≥ 1,96) c) P(z ≤ -0.5) d) P(-2 ≤ z ≤ 1,01) e) P(-1,31 ≤ z ≤ 1,31) f) P(-1≤ z ≤ 0,25) 2) Determinar el valor de Z normal y el valor de la probabilidad a) P(x≥3) si x N(5;4) b) P(x<6) si x N(8;1,5) c) P(x>11) si x N(9;2.5) d) P(3 ≤ z ≤ 7) si x N(5;2) e) P(7,2 ≤ z ≤ 12) si x N(7;3) 3) Resuelve los siguientes problemas usando distribución Normal a) La temperatura durante setiembre está distribuida normalmente con media 18,7ºC y desviación

estándar 5ºC. Calcule la probabilidad de que la temperatura durante setiembre esté por debajo de 21ºC.

b) La media de los pesos de 5000 estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviación típica 3 kg.

Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, “hallar cuántos estudiantes” pesan menos de 60 kg.

c) La media y los que de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviación típica 3 kg.

Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan: c.1) Entre 60 kg y 75 kg. c.2) Menos de 64 kg. c.3) Cuánto debe pesar un estudiante como máximo para pertenecer al grupo del 30% con menores pesos.

d) Se supone que los resultados de un examen siguen una distribución normal con media 78 y desviación típica 36. Se pide: d.1) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificación superior a 72? d.2) Una persona se considera apta si pertenece al grupo del 35% de mayor puntaje. ¿Cuál es el puntaje mínimo que debe sacar una persona para ser considerada apta? d.3) Calcular la proporción de estudiantes que tienen puntuaciones que exceden por lo menos en cinco puntos de la puntuación que marca la frontera entre el Apto y el No-Apto (son declarados No-Aptos el 25% de los estudiantes que obtuvieron las puntuaciones más bajas).

e) Dada una variable con distribución normal de media μ = 40 y desviación estándar σ = 6 encuentre el valor de x que tiene: e.1) El 34% del área a la izquierda. e.2) El 5% del área a la derecha.

32

f) Las estaturas de 1000 estudiantes están distribuidas aproximadamente de forma normal con una media de 174,5 centímetros y una desviación estándar de 6,9 centímetros. Si se extraen 200 muestras aleatorias de tamaño 25 de esta población, determine:

i. la media y la desviación estándar de la distribución muestral del promedio muestral. ii. el número de las medias muestrales que caen entre 172,5 y 175,8 centímetros.

g) En un servicio de atención al cliente, el tiempo de espera hasta recibir atención es una variable normal de media 10 minutos y desviación típica 2 minutos. Se toman muestras aleatorias del tiempo de espera de los clientes que llegan un día concreto. Se pide:

i. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de espera de una muestra de 25 clientes no supere los 9 minutos?

ii. ¿Cuál es la distribución de la media muestral, si se toman muestras aleatorias de 64 clientes? Especificar sus parámetros.

4) Resuelve los siguientes problemas de intervalos de confianzas para medias a) Una muestra aleatoria de 9 tarrinas de he lado proporciona los siguientes pesos en gramos 88 - 90 - 90

- 86 - 87 - 88 - 91 - 92 – 89. Halla un intervalo de confianza al 95 % para la media de la población, sabiendo que el peso de las tarrinas tiene una distribución normal con una desviación típica de 1,8 gramos.

b) La duración de la batería de cierto modelo de teléfono móvil se puede aproximar por una distribución

normal con una desviación típica de 5 meses. Se toma una muestra aleatoria simple de 10 baterías y se obtienen las siguientes duraciones (en meses): 33, 34, 26, 37, 30, 39, 26, 31, 36, 19. Halla un intervalo de confianza al 95 % para la duración media de ese modelo de batería

c) En una encuesta se pregunta a 10.000 persona s cuántos libros lee al año, obteniéndose una media de

5 libros. Se sabe que la población tiene una distribución normal con desviación típica 2. c.1) Halla un intervalo de confianza al80 % para la media poblacional. c.2) Para garantizar un error de estimación de la media poblacional no superior a 0,25 con un nivel de confianza del 95 %, ¿a cuántas personas como mínimo sería necesario entrevistar? d) Se supone que la recaudación diaria de los comercios de un barrio determinado es una variable

aleatoria que se puede aproximar por una distribución normal de desviación típica 328 euros. Se ha extraído una muestra de 100 comercios de dicho barrio, obteniéndose que la recaudación diaria media asciende a 1248 euros. Calcula el intervalo de confianza para la recaudación media con un nivel de confianza del 99 %.

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5) Resuelva los siguientes problemas de distribución binomial aproximando con la distribución normal: a) Un estudio ha mostrado que, en un cierto barrio, el 60% de los hogares tienen al menos dos televisores Se elige al azar una muestra de 50 hogares en el citado barrio. Se pide: a.1) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 20 de los citados hogares tengan cuando menos dos televisores? a.2) ¿Cuál es la probabilidad de que entre 35 y 40 hogares tengan cuando menos dos televisores? a) En una ciudad una de cada tres familias posee teléfono. Si se eligen al azar 90 familias, calcular la

probabilidad de que entre ellas haya por lo menos 30 tengan teléfono h) En un examen tipo test de 200 preguntas de elección múltiple, cada pregunta tiene una respuesta

correcta y una incorrecta. Se aprueba si se contesta a más de 110 respuestas correctas. Suponiendo que se contesta al azar, calcular la probabilidad de aprobar el examen

i) El 2% de los tornillos fabricados por una máquina presentan defectos. Si tenemos un lote de 2000

tornillos, cuál es la probabilidad que haya menos de 50 defectuosos? j) Se lanza una moneda al aire 400 veces.

i. Calcule la probabilidad de obtener menos de 250 caras ii. Calcule la probabilidad de obtener más de 300 caras

iii. Calcule la probabilidad de obtener un número de caras comprendido entre 180 y 210 k) Un tirador acierta en el blanco el 70% de sus tiros. Si el tirador participa en una competición y tira 25

veces. ¿Cuál es la probabilidad que acierte más de 10 tiros?

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Guía de ejercicios de Intervalos de Confianza. 1.- Se ha tomado una muestra de los precios de un mismo producto alimenticio en 16 negocios, elegidos al azar en un barrio de una comuna de Santiago , y se han encontrado los siguientes precios: 995,108,97,112,99,16,105,100,99,98,104,110,107,111,103,110. Suponiendo que los precios de este producto se distribuyen según una normal de varianza 25 y media desconocida:

a) Cuál es la distribución de la media muestral? (R: N(104;1.25)

b) Determine el intervalo de confianza al 95% , para la media poblacional.(R:(101.55,106.45)).

2.- Deseamos valorar el grado de conocimientos en Historia de una población de varios miles de alumnos. Sabemos, por estudios anteriores, que la desviación típica poblacional es =2,3. Nos proponemos estimar pasando una prueba a 100 alumnos. La media de esta muestra de 100 alumnos ha resultado ser

6,32.Halla el intervalo de confianza de con un nivel de confianza del 90%.( R: [2.9428 ;6,6972])

3.- Se quiere obtener un intervalo de confianza para el valor de las ventas medias por hora que se producen en un kiosco . Para ello realizamos una muestra consistente en elegir al azar las ventas que se realizaron durante 1000 horas distintas ; muestra cuyos resultados fueron : ventas medias por hora 4000 pts, y varianza de dicha muestra 4000 pts al cuadrado . Obtener dicho intervalo con un nivel de confianza del 95.5 %. (R:(3996;4004))

4.- Suponga que se sabe que la desviación estándar de la vida útil de los lentes de una marca especifica de microscopios es σ = 500 horas, pero no se conoce el promedio de vida útil en términos generales, se supone que la vida útil de los lentes tiene una distribución aproximadamente normal. Para una muestra de n = 15, la vida útil promedio es de X = 8900 horas. Construya un intervalo de confianza para estimar la media de la población con el 95%.(R: ( 8647 ; 9153 )). 5.- Un ingeniero de control de calidad midió el espesor de la pared de 25 botellas de vidrio de dos litros. La media muestral es 4.05 mm, mientras que la cuasi desviación estándar muestral es de 0.08 mm. Encuentra un intervalo de confianza del 90% para la media del espesor de la pared de las botella. (R:(4.022;4.0774)).