Cuadernillo de Ejercicios.

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMONFACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍADEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

CUADERNILLO DE EJERCICIOS

1. ARITMÉTICA2. ÁLGEBRA3. GEOMETRÍA4. TRIGONOMETRÍA

Cochabamba - Bolivia

Cuadernillo de Ejercicios deAritméticaÁlgebra

GeometríaTrigonometría

Elaborado Por:Ing. M.Sc. Hernán Flores García

Lic. Gualberto CupeAuxiliar Univ: Arcenio Canaviri Calle

Gestión I/2009

Septiembre 2009

UMSS - FCyT - Departamento de Matemáticas

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UMSS - FCyT - Departamento de Matemáticas0.1. PRESENTACIÓN.-

0.1. PRESENTACIÓN.-

Las matemáticas se constituyen actualmente en el lenguaje simbólico delas ciencias y la tecnología que permiten expresar de manera apropiada tantoa los objetos de estudio como también la relaciones existentes entre dichosobjetos. Las materias correspondientes a las áreas de las matemáticas, físicay química; materias fundamentales de la mayoría de las carreras de formaciónprofesional de la Facultad de Ciencias y Tecnología; requieren un apoyo ydominio de conocimientos previos sintetizados en las asignaturas de Aritmética,älgebra, Geometría y Trigonometría; materias que se cursan en el ciclo mediode estudios pero que en general requieren una consolidación firme previo alingreso a la Universidad.

Uno de los caminos adecuados para el aprendizaje de las matemáticas con-siste en la realización de ejercicios expresados tanto en forma geométrica (visual ) como también de manera algebraica ( simbólica literal ). La formageométrica y la forma algebraica son dos maneras de ver un mismo problemay por lo tanto son visiones complementarias que se refuerzan mutuamente enel proceso de aprendizaje.

La resolución de ejercicios y problemas matemáticos requiere para su buenacomprensión inicialmente de la construcción ( visual ) de figuras y diagramasseguido de un empleo de números para cuantificar la mayoría de los elementosexplicitados como datos o información de entrada. Posteriormente correspondetraducir, a partir de la anterior información, todas relaciones existentes entrelos datos de entrada juntamente con los datos desconocidos denominados in-cógnitas. Todo este proceso culmina en la resolución de ecuaciones o determi-nación de los valores desconocidos; así como también en el análisis del problemaa partir de los valores determinados en la resolución de las ecuaciones.

El presente documento conformado por ejercicios correspondientes a la Ar-itmética, älgebra, Geometría y Trigonometría constituyen una referencia parala prueba de ingreso a la Universidad Mayor de San Simón, para las carrerasde formación profesional relativas a la Facultad de Ciencias y Tecnología.

Como primer documento elaborado con el propósito de informar acerca delnivel de las pruebas de ingreso a la Universidad, se irá corrigiendo, mejorando ycomplementando a través de su empleo en los cursos propedeúticos organizadospara los postulantes a la Universidad.

Para concluir es necesario reiterar a los lectores estudiosos que harán uso deeste documento para apropiarse; y a la vez poner a prueba, los conocimientosbásicos de las matemáticas; que todo el esfuerzo entregado al aprendizaje delas matemáticas se constituyen en una semilla que se desarrollará rápidamentey con amplias perspectivas durante los estudios universitarios y es la garantía

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de un exitoso aprovechamiento tanto en materias de matemáticas , como enlas de física y química.

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Índice general

0.1. PRESENTACIÓN.- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1. ARITMÉTICA 111.1. TEORÍA - EJEMPLOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.1. EJERCICIOS RESUELTOS: . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2. OPERACIONES FUNDAMENTALES . . . . . . . . . . . . . . 26

1.2.1. Operaciones con números enteros. Propiedades . . . . . . 261.2.2. Problemas con números enteros . . . . . . . . . . . . . . 261.2.3. EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.3. DIVISIBILIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.3.1. Teoremas básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.3.2. Criterios de divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.3.3. Números primos.Teoremas básicos . . . . . . . . . . . . . 331.3.4. Descomposición en factores primos . . . . . . . . . . . . 331.3.5. Máximo común divisor y mínimo común divisor . . . . . 331.3.6. EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.4. NÚMEROS FRACCIONARIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.4.1. Operaciones con números fraccionarios . . . . . . . . . . 381.4.2. Simplificación de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . 381.4.3. Problemas con números fraccionarios . . . . . . . . . . . 381.4.4. Numeros decimales. Operaciones con números decimales.

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.4.5. Sistema métrico decimal. Transformadas de unidades . . 381.4.6. EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.5. RAZONES Y PROPORCIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.5.1. Razón de dos números. Proporciones. Propiedades . . . . 471.5.2. Media Proporcional. Problemas sobre proporciones . . . 471.5.3. Regla de tres simple y compuesta. Problemas . . . . . . 471.5.4. Tanto por ciento. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . 471.5.5. EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . 47

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UMSS - FCyT - Departamento de MatemáticasÍNDICE GENERAL

2. ÁLGEBRATEORÍA-EJEMPLOS 572.1. introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.2. Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.2.1. Teoría de Exponentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.2.2. Propiedades de los exponentes . . . . . . . . . . . . . . . 602.2.3. Leyes de los Signos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.2.4. Ejercicios Ilustrativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.2.5. Ecuaciones Exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.2.6. Solución de una ecuación Exponencial . . . . . . . . . . 662.2.7. Ejemplos Ilustrativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.3. Expresiones Algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.3.1. Grado de una expresión Algebraica . . . . . . . . . . . . 692.3.2. Polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.3.3. Clasificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.4. Operaciones con Expresiones Algebraicas . . . . . . . . . . . . . 752.4.1. Suma y Resta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.4.2. Multiplicación de Expresiones Algebraicas . . . . . . . . 762.4.3. Multiplicación de Monomios . . . . . . . . . . . . . . . . 772.4.4. Productos Notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.5. Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.5.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.5.2. Ejercicios Ilustrativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3. PROBLEMAS DE ÁLGEBRA 853.1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.1.1. Operaciones con expresiones algebraicas . . . . . . . . . 853.1.2. Productos y cocientes notables . . . . . . . . . . . . . . . 853.1.3. Teoremas del residuo. Divisibilidad . . . . . . . . . . . . 853.1.4. Ecuaciones de primer grado con una incógnita.Problemas 853.1.5. Descomposición factorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.1.6. EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.2. FRACCIONES ALGEBRAICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.2.1. Fracción algebraica. Simplificación de fracciones . . . . . 953.2.2. Operaciones con fracciones algebraicas . . . . . . . . . . 953.2.3. Ecuaciones fraccionarias de primer grado con dos incóg-

nitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.2.4. Problemas con ecuaciones fraccionarias . . . . . . . . . . 953.2.5. EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.3. SISTEMAS DE ECUACIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

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3.3.1. Sistema de ecuaciones de primer grado con 2 incógnitas . 993.3.2. Métodos de resolución. Problemas . . . . . . . . . . . . . 993.3.3. Sistema de ecuaciones de primer grado con 3 incógnitas . 993.3.4. Métodos de resolución. Problemas . . . . . . . . . . . . . 993.3.5. EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.4. TEORÍA COMBINATORIA BÁSICA . . . . . . . . . . . . . . 1033.4.1. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033.4.2. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033.4.3. Binomio de Newton. Triángulo de Pascal . . . . . . . . . 1033.4.4. EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.5. RADICACIÓN Y EXPONENTES . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063.5.1. Raíz. Expresiones radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063.5.2. Teoría de exponentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063.5.3. Operaciones de expresiones algebraicas . . . . . . . . . . 1063.5.4. Operaciones con radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063.5.5. EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . 106

3.6. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO . . . . . . . . . . . . . 1083.6.1. La ecuación de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . 1083.6.2. Propiedades de raíces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083.6.3. Resolución. Solución gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . 1083.6.4. Problemas con ecuaciones de segundo grado . . . . . . . 1083.6.5. Teoría de las ecuaciones de segundo grado . . . . . . . . 1083.6.6. EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . 108

3.7. PROGRESIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103.7.1. Progresiones aritméticas. Progresiones geométricas . . . . 1103.7.2. Término enésimo. Suma de una progresión . . . . . . . . 1103.7.3. Problemas con progresiones . . . . . . . . . . . . . . . . 1103.7.4. EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . 110

4. GEOMETRÍA 1154.1. NOCIONES PRELIMINARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.1.1. Axiomas ,postulados,teoremas . . . . . . . . . . . . . . . 1164.2. TEORÍA - EJEMPLOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.2.1. Reseña histórica: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164.3. EJERCICIOS RESUELTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1404.4. SEGMENTOS Y ÁNGULOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

4.4.1. Segmentos. Operaciones con segmentos . . . . . . . . . . 1594.4.2. Poligonales. Teoremas sobre poligonales . . . . . . . . . . 1594.4.3. Ángulos. Medida de ángulos. . . . . . . . . . . . . . . . . 1594.4.4. Tipos de ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

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4.4.5. EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . 1594.5. PERPENDICULARIDAD Y PARALELISMO . . . . . . . . . . 163

4.5.1. Definición de perpendicularidad. Postulados . . . . . . . 1634.5.2. Teoremas sobre perpendicularidad . . . . . . . . . . . . . 1634.5.3. Definición de paralelismo. Postulados . . . . . . . . . . . 1634.5.4. Teoremas sobre paralelismo . . . . . . . . . . . . . . . . 1634.5.5. Ángulos formados por rectas cortadas por una secante.

Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1634.5.6. Ángulos con lados paralelos y perpendiculares . . . . . . 1634.5.7. EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . 163

4.6. TRIÁNGULOS Y POLÍGONOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1674.6.1. Clasificación. Rectas y puntos notables. . . . . . . . . . . 1674.6.2. Igualdad de triángulos. Casos de igualdad . . . . . . . . 1674.6.3. Polígonos. Teoremas sobre polígonos . . . . . . . . . . . 1674.6.4. Cuadriláteros. Clasificación. Teoremas . . . . . . . . . . 1674.6.5. EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . 167

4.7. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA . . . . . . . . . . . . 1684.7.1. Segmentos proporcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . 1684.7.2. Division de un segmento en razón . . . . . . . . . . . . . 1684.7.3. Teoremas de Tales. Corolarios . . . . . . . . . . . . . . . 1684.7.4. División de un segmento en partes proporcionales a var-

ios números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1684.7.5. Semejanza de triángulos. Casos de semejanza . . . . . . . 1684.7.6. Semejanza de triángulos rectángulos . . . . . . . . . . . 168

4.8. RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS . . . . . . 1714.8.1. Proyecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1714.8.2. Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1714.8.3. Teorema de Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1714.8.4. Cálculo de proyecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1714.8.5. EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . 171

4.9. CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO . . . . . . . . . . . . . . . . 1734.9.1. Definiciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1734.9.2. Ángulos en una circunferencia. Teoremas sobre cuerdas

y ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1734.9.3. Ángulo central, ángulo inscrito, semiinscrito, exterior.

Teoremas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1734.9.4. Relaciones métricas en la circunferencia . . . . . . . . . . 1734.9.5. EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . 173

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5. TRIGONOMETRÍA 1755.1. TEORÍA - EJEMPLOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1765.2. ÁNGULOS Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS . . . . . . 183

5.2.1. Ángulos positivos y negativos . . . . . . . . . . . . . . . 1835.2.2. Ángulos en sistema de coordenadas cartesianas . . . . . . 1835.2.3. Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 1835.2.4. Variaciones de las funciones trigonométricas . . . . . . . 1835.2.5. EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . 183

5.3. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE DIFERENTES ÁN-GULOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1875.3.1. Círculo y líneas trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . 1875.3.2. Reducción al primer cuadrante . . . . . . . . . . . . . . . 1875.3.3. Funciones trigonométricas de ángulos complementarios,

suplementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1875.3.4. EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . 187

5.4. IDENTIDADES Y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS . . . 1925.4.1. Expresión de una función en términos de las restantes . . 1925.4.2. Funciones trigonométricas de la suma y diferencia . . . . 1925.4.3. Funciones trigonométricas de los múltiplos de un ángulo 1925.4.4. Ecuaciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 1925.4.5. Resolución de triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1925.4.6. EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . 192

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Capítulo 1

ARITMÉTICA

Un admirable y grandioso logro de la humanidad ha sido la construcción deun sistema de numeración para designar cantidades y/o medidas de de difer-entes clases de objetos, como también crear símbolos para definir relacionescuantitativas entre ellos.

Los objetos propios de la Aritmética son símbolos denominados númerosque se utilizan para caracterizar ciertas propiedades específicas de objetos dela realidad; por ejemplo el largo, ancho y área de un piso rectangular. Por otraparte, en la Aritmética se estudia las operaciones de suma y multiplicación quecaracterizan o traducen simbólicamente los conceptos de reunir objetos ( suma) y de reunir repetidamente grupos idénticos ( multiplicación ). Existen impor-tantes relaciones entre los números expresadas en términos de las operacionesde suma y multiplicación denominadas operaciones fundamentales.

Las partes centrales de la Aritmética requeridas en la formación universi-taria corespondiente al área de las ciencias y la tecnología se refiere sobre todoa:

1.- la comprensión de problemas referidos a números enteros, su planteamien-to en símbolos numéricos, su resolución empleando razonamientos o argumen-tos lógicos y acabando con una discusión de los resultados obtenidos.

2.- descomponer los números naturales en una determinada cantidad departes iguales ( divisores ) y reconocer cuándo no es posible hacerlo ( númerosprimos ).

3.- un manejo no solamente operacional, sino considerando el significadocontextual, de los números fraccionario y/o decimales; culminando con la com-prensión, traducción simbólica, resolución y análisis de problemas referidos aesta clase de números.

4.- manejar correctamente las relaciones de proporción ( directas, inver-

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UMSS - FCyT - Departamento de MatemáticasCAPÍTULO 1. ARITMÉTICA

sas) que se dan entre magnitudes y utilizar esas relaciones en la resolución dediferentes problemas referidos a reglas de tres, razones y porcentajes.

Si bien un estudiante que está preparándose para ingresar a la Universi-dad ya conoce el álgebra y por tanto es propenso a utilizarlo en la resoluciónde problemas de aritmética; el empleo del lenguaje algebraico no está per-mitido en una primera vez. Lo anterior ocasiona en general ( al no disponerde herramientas algebraicas ), que un problema aritmético sea de más difícilresolución que un problema algebraico.

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UMSS - FCyT - Departamento de Matemáticas1.1. TEORÍA - EJEMPLOS

1.1. TEORÍA - EJEMPLOS

1. ADICIÓN: La adición es la operación que a cada par ordenado denúmeros llamados sumandos, le hace corresponder un tercer número al cual sele da el nombre de suma.

A+B=S

1.1 LEYES FORMALES

1.1.1 CLAUSURA: La suma de dos o más números enteros resulta unnúmero entero

1.1.2 CONMUTATIVA: En la adición el orden de los sumandos no alterala suma total

1.1.3 ASOCIATIVA: En la adición, la suma de varios sumandos no variasi se asocian dos o más sumandos en uno solo.

1.1.3 MODULATIVA: Existe un único número llamado cero (elementoneutro), tal que todo número sumado con cero resulte el mismo número.

2. SUSTRACCIÓN: La sustracción de número naturales es la operaciónque hace corresponder a cada par de números naturales llamados minuendo(M) y sustraendo (S). Un tercer numero natural llamado diferencia(D)

D=M-S

2.1 LEYES FORMALES:

2.1.1 CLAUSURA: La diferencia de dos números enteros es otro númeroentero

2.1.2 LEY DEL INVERSO ADITIVO: Para todo número existe unoy solo un número llamado inverso aditivo.

2.2 PROPIEDADES DE LA SUSTRACCIÓN.

En toda sustracción la suma de lo tres elementos de ella es igual al dobledel minuendo

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3. MULTIPLICACIÓN: Es la operación donde a cada par ordenado denúmeros llamados factores le hace corresponder un tercer número denominadoproducto

A×B = C

3.1 LEYES FORMALES:

3.1.1 CLAUSURA: El producto de dos números enteros resulta un númeroentero.

3.1.2 CONMUTATIVA: El orden de los factores no altera el producto.

3.1.3 MODULATIVA: Existe uno y solo un número que es el elementoneutro multiplicativo que se denota por "1"

4 DIVISIÓN: Es la operación que hace corresponder a un par ordenadode números naturales un tercer numero natural llamado cociente

SIMBOLOGÍAD: Dividendo.d: Divisor.q: Cociente por defecto.q + 1: Cociente por exceso.r: Residuo por defectore : Residuo por exceso

4.1 CLASES DE DIVISIÓN

4.1.1 DIVISIÓN EXACTA: Aquella en la cual el dividendo contiene aldivisor un número entero "q"de veces en forma exacta

D = q × d

4.1.2 DIVISIÓN INEXACTA O EUCLIDIANA:División por defectocuando el dividendo contiene al divisor "q"veces, sobrando “r” unidades donder >0.

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D = q × d + r

4.1.3 DIVISIÓN POR EXCESO: Es cuando el dividendo contiene aldivisor una vez más que lo normal y aparece un residuo por exceso

D = (q + 1)× d− re

5 DIVISIBILIDAD: Se llama divisibilidad a la parte de la teoría de losnúmeros que estudia las condiciones que debe reunir un número para que seadivisible por otro.

5,1,1 MÚLTIPLO: Un numero “A” es múltiplo de otro “B” cuando “A”contiene a “B” cierto numero entero y exacto de veces

A = kB

5.1.2 DIVISOR: Se dice que un número “B” es divisor o divide a “A”cuando esta contenido un número entero de veces.

6 CRITERIOS DE LA DIVISIBILIDAD

• Un número es divisible por dos cuando termina en 0 o en cifra par.

Ejemplo 1.1 n = 436 = 2× 218

• Un número es divisible por tres cuando la suma de sus cifras es múlti-plo de 3.

Ejemplo 1.2 p = 936 = 9 + 3 + 6 = m3. (m3: indica que p=936 es múltiplode tres)

• Un número es divisible por 4 cuando termina en 00 o las dos últimascifras son múltiplos de 4.

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Ejemplo 1.3 p = 232, 32 = m4 (m4: indica que 32 es múltiplo de 4)

• Un número es divisible por 6 cuando cumplen simultáneamente elcriterio de divisibilidad por 2 y 3.

Ejemplo 1.4 p = 264. Termina en 4 y 2 + 6 + 4 = m3 (m3 indica que p=264es múltiplo de 3)

7 NÚMEROS PRIMOS

7.1.1 NÚMEROS PRIMOS ABSOLUTOS: Son aquellos que tienen solodos divisores, el mismo número y la unidad

Ejemplos de numeros primos absolutos 2, 3, 5, 7,

7.1.2 NÚMEROS COMPUESTOS: Son aquellos números que tienenmás de dos divisores

Ejemplos 4, 9, 15, 27,

7.1.3 NUMEROS PRIMOS RELATIVOS ENTRE SI(PESI): Lla-mados también primos relativos; se denomina así al conjunto de números quetiene como único divisor común la unidad.

Ejemplo 1.5 Los siguientes conjuntos son de números primos relativos entresi.

A = 2, 4, 7, 15Los divisores de 2 son 1 y 2.Los divisores de 4 son 1, 2 y 4.Los divisores de 7 son 1 y 7.Los divisores de 15 son 1, 3, 5 y 15.

7.1.3.1 REGLA PARA DETERMINAR SI UN NÚMERO PRI-MO ES ABSOLUTOEjemplo: Determinar 45 es numero primo.

PASO 1: Se extrae la raíz cuadrada del número√

45 = 6.708

PASO2: Se divide el número entre todos los números primos menores oiguales a la raíz entera.

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45/6 = 7,545/5 = 9

PASO3: Si todas las divisiones enteras son inexactas, entonces el númeroen cuestión es primo absoluto. Pero si alguna división hubiera sido exacta.

45 no es número primo.

OBSERVACIÓN: A partir del segundo paso se pude aplicar los criteriosde divisibilidad.

DETERMINACIÓN DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO.• Se descompone el número en sus factores primos.

Ejemplo 1.6 : N = 45 = 32 × 5

• Se selecciona los factores de mayor potencia, si hay varios se elige el demenor valor.• Seleccionamos 32 y escribimos este factor en fila desde la potencia cero.

3o 31 32

1 3 9

• Los demás factores se los escribe en columna desde la potencia uno. Yse procede a multiplicar cada uno de estos factores por los que están en fila,hasta obtener el valor numérico.

1 3 95 5 15 45©©©*

³³³³1?

El número de divisores de un número está dado por el producto de losexponentes de los factores aumentados en una unidad.N = 45 = 32 × 5Divisores: (2 + 1)(1 + 1) = 6

- 17


8 MÁXIMO COMÚN DIVISOR

El MCD de varios números naturales es otro natural que cumple dos condi-ciones:

1.- Es divisor común de los números dados2.- Es el mayor posibleEjemplo: Hallar el MCD de 24 y 40.

Números Divisores24 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 2440 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40

1.- Sus divisores comunes son:1, 2, 4, 8.2.- E1 mayor es 8.El MCD(24, 40) es 8.

8.1 MÉTODOS DE DETERMINACIÓN DEL MCD.

El MCD se puede determinar por los siguientes métodos:

MÉTODO 1: FACTORIZACIÓN INDIVIDUAL Luego de de-scomponer a los números en sus factores primos, se toman únicamentelos factores comunes afectados de sus menores exponentes.

MÉTODO 2: POR FACTORIZACIÓN SIMULTÁNEA.

Se escriben los números en fila, luego se dividen simultáneamente delmenor al mayor factor primo común a dichos números, hasta que loscocientes sean números primos relativos entre si.

MÉTODO 3: ALGORITMO DE EUCLIDES O DIVISIONESSUCESIVAS

Ejemplo 1.7 : Hallar el MCD de 24 y 40Método 1:24 = 23 × 340 = 23 × 5 El factor común con su menor exponente es23 = 8Método 2:

- 18


24 40 212 20 26 10 23 5

40 24(16) 1

24 16(8) 1

16 8(0) 2

Estos valores pueden ser anotados en una tabla.

Cocientes 1 1 2Divisores 40 24 16 8Residuos 16 8 0

El divisor que produce residuo cero es 8, entonces el MCD de 24 y 40 es 8.8.1.1 PROPIEDADES DEL MCD

Sean dos números A y B primos relativos entre si, entonces el MCD es1

Si A es múltiplo de B, entonces el MCD de A y B es B.

Si se multiplican varios números por una misma cantidad, su MCD quemultiplicado por dicha cantidad

9 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO: El MCM de varios números naturaleses aquel numero natural que cumple dos condiciones:

1. Es un múltiplo común de todos

2. Es el menor posible.

Ejemplo 1.8 Hallar el MCM de 4, 6

- 19


.

Números Múltiplos4 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 42, 466 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60

Es un múltiplo común de todos 12, 24, 36El menor múltiplo común de todos es 12Se determina el MCM por descomposición simultáneamente y esta formadopor los factores comunes y no comunes con su mayor exponente.9.1 PROPIEDADES DEL MCM

Sean dos números A y B primos relativos entre si, entonces el MCM essu producto

Si A es múltiplo de B entonces el MCM es el mayor, en este caso A.

Los cocientes de dividir el MCM de un conjunto de dos o mas númerosenteros positivos entre cada uno de ellos, son siempre números primosrelativos entre si.

4 = 22

6 = 2× 3 Entonces el MCM de 6 y 4 será: 22 × 3 = 12.

1.1.1. EJERCICIOS RESUELTOS:

Ejercicio 1.1 La suma del minuendo, el sustraendo y la diferencia es 64.Además el producto del sustraendo por la diferencia es el séxtuplo del minuen-do. Indicar la resta del sustraendo y la diferencia.

Solución:M − S = D ⇒ M = S + DM + S + D = 64 ⇒ M = 32S ×D = 6×M = 192S × (M − S) = 192S2 − 32S + 182 = 0S = 8 : S = 24D = M − S = 32− 8 = 8S −D = 24− 8 = 16

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Ejercicio 1.2 Si el campeonato de la liga de fútbol zonal se realiza con 24equipos. ¿Cuántos partidos se jugaran en el torneo si todos juegan contra todosen una sola ronda? ¿Cuál es la duración del torneo, si se juegan 12 partidospor semana?

Solución: Cada equipo con lo s23 equipos restantes una sola vez, como en totalson 24 equipos

Se realizaran:23× 24

2= 276 partidos en:

276

12= 23 Semanas.

Ejercicio 1.3 Demostrar que el divisor de la división es igual a la suma delos residuos por defecto y por exceso (d = rd + re).

Solución:D = dq + rD = d(q + 1)− r′

d(q + 1)− r′ = dq + rd = r + r′

Ejercicio 1.4 Aumentando en nueve a los dos factores de un producto, elproducto aumenta en 549. Hallar uno de los factores si la diferencia entreellos es 18.

Solución:(a + 9)(b + 9) = ab + 9a + 9b + 81Aumento: 9a + 9b + 81 = 549

9a + 9b = 468{a + b = 52a− b = 18

→ a = 35, b = 17

Ejercicio 1.5 Se compró un objeto que posteriormente se vendió, por 457 bo-livianos, y se obtuvo una ganancia igual al doble del precio de compra más 37bolivianos. ¿Cuánto costó el objeto?

Solución:x + (2x + 37) = 4573x = 420 : x = 140Costó 140 bolivianos.TEORÍA DE LA DIVISIBILIDAD

- 21


Ejercicio 1.6 Determinar los divisores de 336. Dar como respuesta la sumade ellos.336 = 24 × 3× 7 Tiene (4 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 20 divisores

Solución:

1 2 4 8 163 3 6 12 24 487 7 14 28 56 112

21 42 84 168 336∑32 64 128 256 512 = 992

Suma = 992FRACCIONES

Es cualquier par ordenado de números de la forma f =A

Bcon una lectura “A

sobre B” donde A es un numero entero llamado numerador y B es un númeroentero diferente de cero llamado denominadorCLASIFICACIÓN DE LAS FRACCIONES

POR LA COMPARACIÓN DE SUS TÉRMINOSUna fracción propia, es aquella cuyo valor es menor que uno.Ejemplos:

f =3

5< 1

Una fracción impropia, es aquella cuyo valor es mayor que uno.Ejemplos:

f =6

5> 1

POR SU DENOMINADORFracción ordinaria o común, es aquella cuyo denominador es diferente de unapotencia de 10.

Ejemplo 1.9 : f =2

3

Fracción decimal, es aquella cuyo denominador es una potencia de 10.

- 22


Ejemplo 1.10 f =3

10

POR LA COMPARACIÓN DE DIFERENTES FRACCIONES

Varias fracciones son Homogénea, cuando tienen el mismo denominador.

Ejemplo: f =1

3, f =

2

3, f =

5

3Varias fracciones son Heterogénea, cuando tienen diferentes denominadores.

Ejemplo 1.11 f =1

3, f =

2

7, f =

5

8

OTROS CONCEPTOS

FRACCIÓN EQUIVALENTE: Es cuando tienen el mismo valor perosus términos son diferentes.

Ejemplo 1.121

4,

8

32

FRACCIÓN IRREDUCIBLE: Son aquellas fracciones cuyos términosson numero primos entre si.

Ejemplo:3

5,

5

7,2

3FRACCIÓN DE FRACCIONES O FRACCIÓN COMPLEJA: Estaformado por que en su denominador o en su numerador, o en ambos, existefracciones.

Ejemplos:

1

23

,

1

52

7

,25

7OPERACIÓN CON FRACCIONES1 Hallar la fracción generatriz del número 0,432.

fgeneratriz =432− 4

990=

428

990= 0, 4323232 . . .

a) 214/495 b) 212/495 c) 214/491 d) 408/495 e) 212/491

2. Al simplificar el producto:(

1− 1

3

)(1− 1

4

)(1− 1

5

)(1− 1

6

). . .

(1− 1

n

)

se obtiene.

- 23


(2

3

)(3

4

)(4

5

)(5

6

). . .

(y

n− 1

)(n− 1

n

)=

2

nRAZONES Se llama razón al resultado de comparar dos cantidades.

Razón Aritmética: a−b = r Donde “a” es el antecedente, “b” el consecuentey “ r” la Razón Aritmética.

Razón Geométrica:a

b= k Donde “a” es el antecedente,“b” el consecuente y

“k” la Razón Geométrica.

Esta comparación se puede hacer de dos modos:

Determinando en cuanto es mayor la primera que la segunda, para lo cualse hará un resta.

Ejemplo 1.13 6− 4 = 2

O calculando cuantas veces la primera contiene a la segunda.

f =1

4

PROPORCIONESDadas 4 cantidades, si el valor de la razón de las dos primeras es igual al

valor de la razón de las dos restantes, entonces las 4 cantidades forman unaproporción.

Los Números 8, 6 y 4, 2 forman una proporción.

8− 6 = 2 Donde 8 y 2 términos extremos.4− 2 = 2 Donde 6 y 4 términos medios.8 y 4 Son los antecedentes.6 y 2 Son los consecuentes.

Los Números 8, 4 y 6, 3 forman una proporción.4

8=

1

2

3

6=

1

2

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Regla de tres

Regla de tres simple, resulta de comparar dos magnitudes que son directa-mente proporcionales.

Ejemplo 1.14 : Un móvil recorre 500m. en diez minutos, con velocidad con-stante. ¿Qué tiempo empleara en recorrer los siguientes 200 m. manteniendosu velocidad.?

Planteo:

PPPPPq

500 m 10minutos

200 m ³³³³³1

xminutos

x =10× 200

500= 4minutos

Regla de tres inversas, resulta de comparar dos magnitudes que son inver-samente proporcionales

Regla de tres compuesta, resulta de comparar más de dos magnitudes.

Una regla de tres es compuesta cuando se da una serie de n valores corre-spondientes a n magnitudes y una segunda serie de n − 1, valores correspon-dientes a las magnitudes ya mencionadas.El objeto de la regla de tres compuesta es determinar el valor desconocido dela segunda serie.

Método de la rayas.Las magnitudes que intervienen son clasificadas en tres clases.Primero: Causa: realizadores de la obra o acción, y condiciones que tienen pararealizarla.Ejemplos: obreros, maquina, animales, habilidad, esfuerzo, rendimiento, etc.

Segunda: Circunstancia: Condiciones en el tiempo para realizar la obra

Ejemplo 1.15 : Días, horas diarias, raciones diarias, costo de vida, etc

Tercera: Efecto: Es la obra en si, lo realizado y los inconvenientes o condicionesque pone le medio para realizar el trabajo.

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Ejemplos:medidas de la obra, dificultades, resistencia del medio, gasto, etc.

Ejemplo 1.16 Si 6 leñadores pueden tallar 8 árboles en 8 días. ¿En cuántos

días 16 leñadores talarán 16 árboles con1

4de rendimiento menor que el caso

original ?

Causa Circunstancia EfectoLeñadores Rendimiento días N o árboles

6 1 8 816 .75 x 16

-

-»»»»»»:XXXXXXz

x =6× 1× 8× 16

16× .75× 8= 8

REGLA DEL TANTO POR CIENTO:Se llama porcentaje al tanto por ciento a una determinada cantidad con relacióna 100 unidades, esta regla es una aplicación de la regla de tres simple directa.

1.2. OPERACIONES FUNDAMENTALES

1.2.1. Operaciones con números enteros. Propiedades

1.2.2. Problemas con números enteros

1.2.3. EJERCICIOS PROPUESTOS

1. ¿ Cuándo la suma es igual a un sumando?Respuesta: Cuando todos los sumandos menos uno son 0.

2. La suma 2+3+5+6 se puede escribir de varios modos distintos aplicandola ley asociativa. Escribirla de 12 modos distintos.

3. Transformar la suma 9+7 en una suma equivalente de 4 sumandos. ¿Queley se aplica?.Respuesta: 5 + 4 + 6 + 1 la ley asociativa.

4. ¿Que alteración sufre una suma si un sumando aumenta 6 unidades yotro aumenta 8?Respuesta: Aumenta 14 unidades

- 26

UMSS - FCyT - Departamento de Matemáticas1.2. OPERACIONES FUNDAMENTALES

5. x + a = 59. ¿ Cuál será la suma si x aumenta 8 y a disminuye 8?Respuesta: 59.

6. Un sumando aumenta 56 unidades y hay tres sumandos que disminuyen6 cada uno ¿ Qué le sucede a la suma?Respuesta: Aumenta 38 unidades.

7. ¿Cuanto costó lo que al venderse en 12517 Bs. deja una perdida de1318 Bs.

8. Después de vender una casa perdiendo 3184 $, presté 2006 $ y me quedécon 15184 $. ¿Cuánto me habia costado la casa? 20374 $.

9. Para trasladarse de una ciudad a otra una persona ha recorrido: 38 kmen auto; a caballo 34 km. más que en auto; en ferrocarril 316 km mas queen auto y a caballo; y en avión 312 km. Si todavía le faltan 516 km parallegar a su destino, ¿Cuál es la distancia entre las dos ciudades?.Respuesta: 1364 km.

10. Un hombre que nació en 1911 se casó a los 25 años; 3 años después naciósu primer hijo y murió cuando el hijo tenía 27 años.¿En que año murió?Respuesta: 1966.

11. En reparar un auto se gastaron 86 $; en ponerle gomas 62 $; en pintura19 $ y al venderlo en 136 $ menos que el costo, se recibieron 854 $ ¿Cuántoha costado en total el auto?Respuesta: 1157 $.

12. Si el minuendo es 342 y el resto 156, ¿Cuál es el sustraendo?Respuesta: 186.

13. La suma de dos números es 518 y el mayor es 312. Hallar el menor.Respuesta: 206

14. El triplo de la suma de dos números es 63 y el duplo del menor, 20. Hallarel mayor.Respuesta: 11.

15. La diferencia de dos números es 8 y el mayor excede a la diferencia en12. Hallar el mayor.Respuesta: 20.

- 27


16. El menor de dos números es 36 y el doble del exceso del mayor sobre elmenor es 84. Hallar el mayor.Respuesta: 78.

17. A nació en 1941, B en 1963 y C en 1923. ¿ En cuánto excedía en 1966 laedad de C a la diferencia de las edades de A y B’Respuesta: 21 años

18. Un hombre deja 9500 $. para repartir entre sus tres hijos y su esposa. Elmayor debe recibir 2300; el segundo 500 menos que el mayor; el tercerotanto como los dos primeros y la esposa lo restante. ¿Cuánto recibió ésta?Respuesta: 1300 $

19. Un comerciante pide 300 kgs. de mercancías. Primero le mandan 854 kgs.,más tarde 123 kgs. menos que la primera vez y después 156 kgs. más quela primera vez. ¿Cuánto falta por enviarle?Respuesta: 405 kgs.

20. A 6 cts. cada lápiz, ¿Cuánto importarán 7 docenas?

21. Se compran 8 libros a 2$ uno 5 lapiceros a 1 $ uno y a 4 plumas fuentesa 3$ cada una. Si se vende todo en 18 $, ¿Cuánto se pierde?Respuesta: 15 $

22. Un auto sale de Ciudad México hacia Monterrey a 60 km. por hora yotro sale de Ciudad Mexico hacia Acapulco a 70 km. por hora. Si salena las 10 de la mañana, ¿a que distancia se hallarán a la 1 de la tarde?Respuesta: 390 km.

23. Compré 14 trajes a 30 $ ; 22 sombreros a 2 $ y 8 bastones a 5 $. Vendiendolos trajes por 560 $, Cada sombrero a 1 $ y cada bastón a 3 $. ¿gano opierdo y cuánto?Respuesta: 102 $

24. Un ganadero compró 80 cabezas de ganado a 40 $ una. Vendió 30 a 45 $ y25 a 48 $. ¿Cuánto debe obtener de las que quedan para que la gananciatotal sea de 400 $?Respuesta: 1050 $.

25. Se repartió cierto número de manzanas entre 19 personas y después de dar6 manzanas a cada persona sobraron 8 manzanas. ¿Cuántas manzanashabía?Respuesta: 122.

- 28


26. ¿Cual es el menor número que debe restarse del dividendo, en una di-visión inexacta, para que se haga exacta?Respuesta: r

27. ¿Cuál es el menor número que debe añadirse al dividendo, en una divisióninexacta, par que se haga exacta?Respuesta: r′

28. Si en una división el dividendo se aumenta en un número igual al divisor,¿que variación sufre el cociente? ¿Y el residuo’Respuesta: Aumenta 1; no varía.

29. Si en una división se disminuye el dividendo en un número igual al divisor.¿que le sucede al cociente? ¿Y al residuo?Respuesta: Disminuye en 1; no varía.

30. Una pecera con sus peces vale 260 bolivianos, y la pecera vale 20 boli-vianos más que los peces.¿Cuánto vale la pecera y cuánto los peces?.Respuesta: pecera 140 bolivianos; peces 120 bolivianos.

31. 8534 excede en 1400 a la suma de dos números y en 8532 a su diferencia.Hallar los dos números.Respuesta: 3568 y 3566.

32. La suma de dos números es 3768 y su cociente 11. Hallar los números.Respuesta: 3454 y 314.

33. Entre A y B tienen 12816 $, y B tiene la tercera parte de lo que tiene A.¿Cuánto tiene cada uno?Respuesta: A 9612 $; B 3204 $

34. Dos autos salen de dos ciudades A y B distantes entre si 840 km. y vanal encuentro. El de A va a 50 km./h.. y el de B a 70 km./h. . Si salierona las6 a.m., ¿a que hora se encontrarán y a que distancia de A y de B?Respuesta: A la 1 p.m.; a 350 km. de A y 490 km. de B.

35. 4. A las 6 a.m. sale un auto de A a 60 km./h. y va al encuentro de otroque sale de B a 80 km./h., a la misma hora. Sabiendo que se encuentrana las 11 a.m., ¿cuál es la distancia entre A y B?Respuesta: 700 km.

- 29


36. Dos móviles parten de M y N distantes entre si 99 km. y van al encuentro.El de M sale a las 6 a.m. a 6 km./h. y el de N a las 9 a.m. a 3 km./h. ,sabiendo que el de M descansa de 12 a 3 p.m. y a las 3 emprende de nuevosu marcha a la misma velocidad anterior, ¿a qué hora se encontrará conel de N que no varió su velocidad desde que salió y a que distancia de My N ?Respuesta: A las 8 p.m.; a 66 km. de M y 33 km. de N ventaja es de 6 m.por seg., y la del otro 8 m. por seg. ¿en cuánto tiempo alcanzará éste alprimero?Respuesta: 5 seg.

37. Un auto sale de A hacia la derecha a 90 km./h. a las 12 del día y en elmismo instante otro sale de B hacia la derecha a 75 km./h. (B está a laderecha de A). El de A alcanza al de B a las 7 p.m. ¿Cuál es la distanciaentre A y B?Respuesta: 105 km.

38. En un colegio hay 3 aulas. La 1ra y la 2da juntas tienen 85 alumnos; la2da y la 3ra, 75 alumnos; la 1ra y la 3ra, 80 alumnos. ¿Cuántos alumnoshay en cada clase?Respuesta: 1ra, 45; 2da, 40; 3ra, 35.

39. ¿Cuál es el número que sumado con 14, multiplicando está suma por 11dividiendo el producto que resulta entre 44 y restando 31 de este cociente,se obtiene 1474?Respuesta: 6006.

40. Tenía cierta cantidad de dinero. Pagué una deuda de 86 bolivianos; en-tonces recibí una cantidad igual a la que me quedaba y después presté20 bolivianos a un amigo. Si ahora tengo 232 bolivianos, ¿Cuánto teníaal principio?Respuesta: 212 bolivianos.

41. Un estanque cuya capacidad es de 300 litros está vació y cerrado sudesagüe. ¿En cuánto tiempo se llenará si abrimos al mismo tiempo tresllaves que vierten, la 1ra, 36 litros en 3 minutos; la 2da, 48 litros en 6minutos y la 3ra, 15 litros en 3 minutos?Respuesta: 12 min.

42. Un estanque se puede llenar por dos llaves, una de las cuales vierte 200litros en 5 minutos y la otra 150 litros en 6 minutos. El estanque tieneun desagüe por el que salen 8 litros en 4 minutos. ¿En cuánto tiempo se

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llenará el estanque, si estando vació, se abren al mismo tiempo las dosllaves y el desagüe, sabiendo que su capacidad es de 441 litros?Respuesta: 7 min.

43. Un depósito tiene tres llaves que vierten; la 1ra, 68 ls. en 4 minutos; la2da, 108 ls en 6 minutos y la 3ra, 248 ls. en 8 minutos y un desagüe por elque salen 55 ls. en 5 minutos. Si el desagüe está cerrado y se abren las tresllaves al mismo tiempo, el depósito se llena en 53 minutos. ¿En cuántotiempo puede vaciarlo el desagüe estando lleno y cerradas las llaves?Respuesta: 5 h. 18 min.

44. Si en un estanque que está vació y cuya capacidad es de 3600 litros, seabrieran al mismo tiempo tres llaves y un desagüe, el estanque se llenaríaen 15 minutos. Por el desagüe salen 240 litros en 4 minutos. Si el estanquetiene 600 litros de agua y está cerrado el desagüe, ¿ En cuánto tiempo loacabarán de llenar las tres llaves?Respuesta: 10 min.

45. Compré 80 libros por 5600 bolivianos. Vendí una parte por 5400, a 90cada uno. ¿Cuántos libros me quedan y cuánto gané en cada uno de losque vendí ?Respuesta: Quedan 20; gané 20 bolivianos.

46. Vendí 60 sacos de azúcar por 480 bolivianos, ganando 3 en cada uno.¿Por cuántos sacos estaba integrado un pedido que hice al mismo precioy por el cual pagué 400?Respuesta: 80 sacos.

47. Compre 90 libros. Vendí 35 de ellos por 280 $, perdiendo 3 $ en cada uno,y 30 ganando 1 $ en cada uno. ¿A como vendí los que me quedaban si endefinitiva no gané ni perdí?Respuesta: 14 $

48. Un capataz contrata un obrero ofreciendo 70 bolivianos por cada día quetrabaje y 40 por cada día que, sin culpa suya , no pueda trabajar. Al cabode 35 días el obrero ha recibido 2000. ¿Cuántos días trabajo y cuántosno?Respuesta: Trabajo 20 días, no trabajo 15 días.

49. En un Omnibus iban 40 excursionistas. Los hombres pagaban 40 cts. ylas damas 25 cts.. Los pasajes costaron en total 13.45 $ ¿Cuántos excur-sionistas eran hombres y cuántas damas?Respuesta: 23 hombres y 17 damas.

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50. Un padre le pone 9 problemas a su hijo, ofreciéndole 5 cts. por cada prob-lema que resuelva, pero por cada problema que no resuelva el muchachoperderá 2 cts. Después de trabajar en los 9 problemas el muchacho recibe31 cts. ¿Cuántos problemas resolvió y cuántos no resolvió?Respuesta: resolvió 7, no resolvió 2.

51. Un capataz contrata un obrero, ofreciéndole 12 $ por cada día que trabajepero con la condición de que, por cada día que el obrero, por su voluntad,deje de ir al trabajo, tendrá que pagarle al capataz 4 $. Al cabo de 18 díasel obrero le debe al capataz 24 $. ¿Cuántos días ha trabajado y cuántosdías ha dejado el obrero de ir al trabajo?Respuesta:Trabajo 3 días, dejo de ir 15 días.

52. Un reloj que adelanta 4 minutos en cada hora señala las 4 y 20. Si haestado andando 8 horas, ¿Cuál es la hora exacta?Respuesta: 3 y 48 min.

53. Cuál es la distancia recorrida por un atleta en una carrera de obstáculossi ha vencido 15 obstáculos que distan 6 metros uno de otro, y si la líneade arrancada dista 4 metros del primer obstáculo y la meta del último 8metros?Respuesta: 96 m.

54. Un empleado que gana 65 $ semanales ahorra cada semana cierta suma.Cuando tiene ahorrados 98 $ ha ganado 455 $ ¿Cuaťnto ahorra a la sem-anaRespueta: 14 $

55. Un viajero, asomado a la ventanilla de un tren que va a 36 km. por hora,observa que un tren estacionado en una vía adyacente pasa ante él en 12segundos. ¿Cuál será la longitud de ese tren?Respuesta: 120 m.

56. Un importador no quiere vender 6 automóviles cuando le ofrecen 37000bolivianos por cada uno. Varios meses después vende los 6 por 216000.Si en este tiempo ha gastado 6840 por concepto de alquiler del local yotros gastos, ¿cuál es su pérdida en cada máquina?Respuesta: 2140 bolivianos.

57. Con el dinero que tenía compré cierto número de entradas a 13 cts. cadauna y me sobraron 8 cts.. Si cada entrada me hubiera costado 19 cts.me hubieran faltado 16 cts. ¿ Cuántas entradas compré y cuánto dinero

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UMSS - FCyT - Departamento de Matemáticas1.3. DIVISIBILIDAD

tenía.?Respuesta: 4, 0.60 $.

58. ¿A como tengo que vender los libros que he comprado a 6 $ para ganaren 15 libros el precio de compra de 5 libros?.Respuesta: A 8 $

59. 11 personas iban a comprar una finca que vale 214500 bolivianos, con-tribuyendo por partes iguales. Se suman otros amigos y deciden formarparte de la sociedad, con lo cual cada uno aporta 3000 menos que antes.¿Cuántos fueron los que se sumaron a los primeros.?Respuesta: 2

60. Se compran en un teatro 5 entradas de hombre y 6 de mujer por 27 $,y más tarde se compran 8 de hombre y 6 de mujer por 36 $. ¿ Cuántocuesta cada entrada de hombre y cuánto cada una de mujer?Respuesta: De hombre 3 $ de mujer 2 $.

1.3. DIVISIBILIDAD

1.3.1. Teoremas básicos

1.3.2. Criterios de divisibilidad

1.3.3. Números primos.Teoremas básicos

1.3.4. Descomposición en factores primos

1.3.5. Máximo común divisor y mínimo común divisor


1. Hallar el más pequeño número que tenga15 divisores.Respuesta: 144

2. Hallar dos números enteros sabiendo que susuma es 220 y su m.c.d.es 20.Respuesta: 200 y 20; 160 y 60; 120 y 50; 180 y 40; 140 y 80

3. Hallar el número de 3 cifras consecutivas crecientes quees divisible por7. Su cifra de decenas es:

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

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4. La suma de las cifras de un números es 75. Si este es lomenor posiblesiempre será un múltiplo de.

A) 17 B) 23 C) 7 D) 9 E) 25

5. Cuántos divisores primos como máximo puede tener:3551× a (a < 10)

A) 4 B) 32 C) 16 D) 9 E) 18

6. Cuántos pares de números existen tales que su producto sea4050

A) 18 B) 25 C) 12 D) 15 E) 16

7. Se aplica el algoritmo de Euclídes para obtener el M.C.D. de dos númerosobteniéndose como cocientes sucesivos 1; 2; 2; 3; 2. si el M.C.D. ES 30¿Cuál es la diferencia de los dos números ?A) 280 B) 560 C) 420 D) 480 E) 240

8. Al calcular el M.C.D. de los números 5529 y 6441 por divisores sucesivos. ¿Cuál fue la suma de los cocientes?

A) 15 B) 18 C) 21 D) 22 E) 23

9. Dados 4 números A; B; C y D se observa que:M.C.D.(A; B; C) = 84M.C.D.(B; C; D) = 396¿Cual es el M.C.D.(A; B; C; D)?

A) 6 B) 18 C) 12 D) 24 E) 36

10. El M.C.D. de 3 númreros es 36; si se suman 4 unidades acada uno deellos, en ese caso su M.C.D. puede ser:

A) 4 B) 6 C) 8 D) 5 E) N.A.

11. Hallar la suma de las cifras del M.CM. de dos números cuya suma es793 y cuyo producto es 121680

A) 20 B) 15 C) 18 D) 17 E) 13

12. Un libro tiene 256 páginas, otro tiene 160 páginas, suponiendo que losdos están formados por cuadernillos del mismo número de páginas es

- 34


que este es número menor que 30 pero mayor que 10. Dígase cuántoscuadernillos tiene en total los 2 libros.A) 13 B) 18 C) 36 D) 15 E) 26

13. Para hallar el mayor múltiplo de 11 contenido en 2738, ¿ en cuánto sedebe disminuir ese número?

14. ¿Cuál es la diferencia entre 781 y el mayor múltiplo de 9 contenido enél?

15. Escribir tres números, cuatro números primos entre si dos a dos.

16. De los números 24, 31, 27, 36, 42, 53 y 14 formar: Un grupo de cuatronúmeros que no sean primos entre sí; un grupo de cuatro que sean primosentre sí; un grupo de cuatro que sean primos dos a dos.

17. Las edades de Alex, Carlos y Roberto que son tres números enteros con-secutivos, suman 87 años. Si Roberto es el menor y Alex el mayor, ¿Cuáles la edad de cada uno ?

18. Averiguar si son o no primos los números siguientes de los incisos a), b),c), d), e), f), g):a) 139. b) 289. c) 751. d) 881. e) 997., f) 601. g) 529.

19. Hallar todos los divisores simples y compuestos de 315, hallando primeroel número de divisores:Respuesta: 12 fact.: 1, 3, 9, 5, 15, 45, 7, 21, 63, 35, 105, 315.

20. Hallar todos los divisores simples y compuestos de 1521, hallando primeroel número de divisores:Respuesta: 9 fact.: 1, 3, 9, 13, 39, 117, 169, 507, 1521.

21. Hallar todos los divisores simples y compuestos de 1080, hallando primeroel número de divisores:Respuesta: 32 fact. 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12, 24, 9, 18, 36, 72, 27, 54, 108, 216,5, 10, 20, 40, 15, 30, 60, 120, 45, 90, 180, 360, 135, 270, 540, 1080.

22. Hallar todos los divisores simples y compuestos de 4459, hallando primeroel número de divisores:Respuesta: 8 fact.: 1, 7, 49, 343, 13, 91, 637, 4459.

23. Hallar todos los divisores simples y compuestos de 6006, hallando primeroel número de divisores:Respuesta: 32 fact.: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42, 11, 22, 33, 66, 77, 154, 231,

- 35


462, 13, 26, 39, 78, 91, 182, 273, 546, 143, 286, 429, 858, 1001, 2002,303, 6006.

24. Hallar todos los divisores simples y compuestos de 14161, hallando primeroel número de divisores:Respuesta: 9 fact.: 1, 7, 49, 17, 119, 833, 289, 2023, 14161.

25. Hallar por divisiones sucesivas el m.c.d. de 78, 130 y 143.Respuesta: 13.

26. Hallar por divisiones sucesivas el m.c.d. de 168, 252, 280 y 917.Respuesta: 7.

27. Hallar por divisiones sucesivas el m.c.d. de 31740, 47610, 95220 y 126960.Respuesta: 15870.

28. Cite 3 divisores comunes de los números 12, 24 y 48.

29. Diga por inspección, cuál es el m.c.d. de 7 y 11; de 8, 9 y 10; de 25, 27 y36.

30. ¿Puedes ser 4 y 6 los cocientes de dividir dos números por su m.c.d.?

31. Hallar por descomposición en factores primos (puede usarse el métodoabreviado) el m.c.d. de los incisos a), b), c) y d):a) 345 y 850. b) 54, 76, 114 y 234. c) 840, 960, 7260 y 9135.d) 2645, 4232, 4761 y 5819.Respuestas: a) 5. b) 2. c) 15. d) 529.

32. ¿Se podrán dividir 3 varillas de 20 cm., 24 cm. y 30 cm. en pedazos de4 cm. de longitud sin que sobre ni falte nada entre cada varilla?

33. Dos cintas de 36 metros y 48 metros de longitud se quieren dividir enpedazos iguales y de la mayor longitud posible. ¿ Cuál será la longitudde cada pedazo?Respuesta 12 m.

34. ¿Cuál será la mayor longitud de una medida con la que se puedan medirexactamente tres dimensiones de 140 metros, 560 metros y 800 metros?Respuesta: 20 m.

35. Se tienen tres cajas que contienen 1600 libras, 2000 libras y 3392 librasde jabón respectivamente. El jabón de cada caja está dividido en bloquesdel mismo peso y el mayor posible .¿Cuánto pesa cada bloque y cuántos

- 36


bloques hay en cada caja?Respuesta: 16 lbs.; en la 1ra, 100; en la 2da, 125; en la 3ra, 212.

36. Se quieren envasar 161 kilos, 253 kilos y 207 kilos de plomo en tres cajas,de modo que los bloques de plomo de cada caja tengan el mismo peso yel mayor posible. ¿Cuánto pesa cada pedazo de plomo y cuántos cabenen cada caja?Respuesta: 23 kilos; en la 1ra, 7; en la 2da, 11; en la 3ra, 9

37. Se tienen tres extensiones de 3675, 1575 y 2275 metros cuadrados desuperficie respectivamente y quieren dividir en parcelas iguales. ¿Cuálha de ser la superficie de cada parcela para que el número de parcelas decada una sea el menor posible?Respuesta: 175 m2.

38. Hallar por medio del m.c.d. el m.c.m. de 125 y 360.Respuesta: 9000.



41. Hallar por medio del m.c.d. el m.c.m. de 56, 72, 124 y 360.Respuesta: 78120.

42. Hallar por medio del m.c.d. el m.c.m. de 58, 85, 121, 145 y 154.Respuesta: 4175710.

43. ¿Con qué cantidad, menor que 40 cts., podré comprar un número exactode manzanas de a 4 cts., 6 cts. y 9 cts. cada una?

44. ¿Cuál es la menor suma de dinero que se puede tener en billetes de a 2 $,de a 5 $ o de a 20 $ y cuántos billetes de cada denominación harían faltaen cada caso?

45. ¿Cuál es la menor capacidad de un estanque que se puede llenar en unnúmero exacto de minutos por cualquiera de tres llaves que vierten; la1ra, 12 litros por minuto; la 2da, 18 litros por minuto y la 3ra, 20 litrospor minuto?Respuesta: 180 litros.

- 37


46. ¿Cuál será la menor longitud de una varilla que se puede dividir enpedazos de 8 cm., 9 cm. o 15 cm. de longitud sin que sobre ni falte naday cuántos pedazos de cada longitud se podrían sacar de esa varilla?Respuesta: 360 cm.; 45 de 8, 40 de 9 y 24 de 15.

47. Hallar el menor número de bombones necesario para repartir entre tresclases de 20 alumnos, 25 alumnos o 30 alumnos, de modo que cada alum-no reciba un número exacto de bombones y cuántos bombones recibirácada alumno de la 1ra, de la 2da o de la 3ra clase.Respuesta: 300 bomb.; de la 1ra, 15; de la 2da, 12; de la 3ra, 10

48. Tres galgos arrancan juntos en una carrera en que la pista es circular. Siel primero tarda 10 segundos en dar una vuelta a la pista, el segundo 11segundos y el tercero 12 segundos, ¿al cabo de cuántos segundos pasaránjuntos por la línea de salida y cuántas vueltas habrá dado cada uno enese tiempo?Respuesta: 660 seg. u 11 min.; el 1ro, 66; el 2do, 60; el 3ro, 55.

49. Tres aviones salen de una misma ciudad, el 1ro cada 8 días, el 2do cada10 días y el 3ro cada 20 días. Si salen juntos de ese aeropuerto el día 2de enero, ¿cuáles serán las dos fechas más próximas en que volverán ensalir juntos? (el año no bisiesto).Respuesta: 11 de febrero y 23 de marzo.

1.4. NÚMEROS FRACCIONARIOS

1.4.1. Operaciones con números fraccionarios

1.4.2. Simplificación de fracciones

1.4.3. Problemas con números fraccionarios

1.4.4. Numeros decimales. Operaciones con números dec-imales. Problemas

1.4.5. Sistema métrico decimal. Transformadas de unidades


1. Cuántas fracciones cuyo numerador es la unidad dan un decimal exactocon 9 cifras decimales.A) 12 B) 15 C) 19 D) 23 E) Ninguno

- 38

UMSS - FCyT - Departamento de Matemáticas1.4. NÚMEROS FRACCIONARIOS

2. ¿Cuántas fracciones periódicas puras de dos cifras de periodo existen

entre1

3,

1

5?

A) 10 B) 12 C) 13 D) 14 E) 17

3. Si se quiere que la fracción ND

esté comprendida entre1

2y

2

3cuando

N = 12. ¿Cuátos valores enteros puede tomar D?A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 8

4. Un grifo puede llenar un estanque en 6 horas y un desagüe puede vaciarlo

en 8 horas. ¿En que tiempo llenaría los3

4del estanque, si cuando se abre

el grifo y el desagüe,1

3del estanque ya está lleno de agua?

A) 6 horas B) 8 horas C) 12 horas D) 10 horasE) ninguno.

5. Un depósito puede ser llenado por los conductos A y B en 70 minutosy por los conductos B y C en 140 minutos. ¿Cuál de los tres conductosmencionados es el más lento?A) A B) C C) B D) A ó B E) A ó C

6. Un grifo puede llenar un estanque en 8 horas y otro en 12 horas, mientrasel tubo de desagüe lo vacía en 5 horas. Cuando el estanque está lleno

hasta1

3de altura se abren los grifos y el tubo de desagüe durante una

hora. ¿Qué fracción de depósito quedara al fin por llenar?

A)3

4B)

5

7C)

8

11D)

21

40E) ninguno

7. La mitad de lo que me queda de gaseosa en la botella es igual a la terceraparte lo que ya me tome. Si tomo la cuarta parte de lo que me queda. ¿Qué fracción de toda mi gaseosa me habré tomado?

A)1

2B)

7

13C)

7

10D)

11

19E) ninguno

8. Una vagoneta llena de cal pesa 3720 kg; cuando contiene los5

8de su

capacidad pesa95

124del peso anterior . Hallar el peso de la vagoneta

vacía.A) 7000 kg B) 1000 kg C) 1400 kg D) 2100 kgE) 2400 kg

- 39


9. El costo de almacenaje diario en una aduana es1

10del valor de la mer-

cadería. Un comerciante comienza a retirar, al final de cada día,1

5de la

mercadería almacenada.¿ cuál debe ser el valor total de almacenaje?

A)3

10B)

4

21C)

5

46D)

3

20E)

1

20

10. ¿Cuántos novenos hay en una unidad, en 4 unidades, en 7 unidades?

11. ¿Cuántos treceavos hay en 2 unidades, en 5 unidades?

12. ¿Cuantos medios hay en la mitad de una unidad; Cuántos tercios en latercera parte de una unidad; cuántos octavos en la octava parte de unaunidad?

13. Si una manzana la divido en 5 partes iguales y a un muchacho le doytres de esas partes y a otro el resto, ¿cómo se llaman las partes que hedado a cada uno?

14. Diga en cuánto aumenta cada uno de los quebrados2

3,

4

5,

7

8al añadir 3

al numerador.

15. 17. Diga en cuánto disminuye cada uno de los quebrados7

8,

10

9,

17

35al

restar 6 al numerador.

16. ¿Aumenta o disminuye8

13si se suma 5 a sus do términos; si se resta 3?

17. ¿Disminuye o aumenta16

11si se suman 6 a sus dos términos; si se resta

5?

18. ¿Cuál es mayor17

12o

14

9;

6

5u

9

8?

19. ¿Es7

51mayor o menor que

7

17y cuántas veces?

20. Reducir11

76a quebrado equivalente de denominador 684.

Respuesta:99

684.

- 40


21. Reducir7


Respuesta:63

729.

22. Reducir7


Respuesta:756

1296.

23. Reducir5


Respuesta:1000

3600.

24. Reducir480


Respuesta:60

103.

25. Reducir729


Respuesta:243

465.

26. Reducir320


Respuesta:2

17.

27. Reducir a su más simple expresión343

539

Respuesta:7

11


286

Respuesta:10

11


1859

Respuesta:2

13


1786

Respuesta:17

19

- 41



20280

Respuesta:1

8

32. Simplificar 41

31+ 1

1

62+ 1

3

93+ 4

1

4.

Respuesta: 10119

372.

33. Simplificar 11

10+ 1

1

100+ 1

1

1000+ 1

1

10000.

Respuesta: 41111

10000.

34. Simplificar 31

100+ 2

1

45+ 4

7

60+ 1

1

800.

Respuesta: 10527

3600.

35. Simplificar(

1

5+

1

3+

1

6+

1

30

)+

(1

10+

3

25+

4

50

)

Respuesta: 11

30

36. Simplificar(

51

16+ 2

1

9+ 3

1

12

)+

(3

5+

7

3+

2

15

)

Respuesta: 1377

180. Respuesta: 498

3

20.

37. Simplificar1

5+

(4

1

15− 1

60+

3

80

)

38. Simplificar(

20− 1

10

)−

(8− 1

25

).

Respuesta: 1147

50.

39. Simplificar(

7

30− 1

60+

1

4

)+

(5

3+

7

5− 1

20.

)

Respuesta: 329

60.

40. Un hombre gana mensualmente 200 $. Gasta 503

9$ en alimentación de su

familia; 60 $ en alquier y 185

8$ en otros gastos. ¿Cuánto puede ahorrar

- 42


mensualmente?

41. La cuarta parte del día la emplea un niño en estudiar; la sexta parte enhacer ejercicios y la novena en divertirse, ¿Qué parte del día le quedalibre?Respuesta:

17

36.

42. Un hombre vende1

3de su finca, alquila

1

8del resto y lo restante lo cultiva.

¿Qué porción de la finca cultiva?

Respuesta:7

12.

43. Tres obreros tienen que tejer 200 m. de tela. Uno teje 532

7m. y otro

15

34m.

¿Cuánto tiene que tejer el tercero?

Respuesta; 14665

238m.

44. Simplificar:(

72

5+ 5

1

6

)×

(28

1

4+ 1

3

4.

)

Respuesta: 377.

45. Simplificar:(

1

3− 1

5

)×

(1

60+

10

25

)× 5

4

15.

Respuesta:79

270.

46. Simplificar:(

31

2+

1

8

)×

(6− 2

3

)×

(51

4+

1

12

).

Respuesta: 1031

9.

47. ¿Cuántos litros hay que sacar de un tonel de 560 litros para que queden

en el los6

7del contenido?

Respuesta: 80 l.

48. En un colegio hay 324 alumnos y el número de alumnas es los7

18del

total. ¿Cuántos varones hay?Respuesta: 198.

49. De una finca de 20 hectáreas, se venden los2

5y se alquilan los

3

4del

resto. ¿Cuánto queda?Respuesta: 3 hectáreas.

- 43


50. La distancia entre dos ciudades es de 140 km. ¿Cuántas horas debe andar

un hombre que recorre los3

14de dicha distancia en una hora, para ir de

una ciudad a otra?Respuesta: 4

2

3h.

51. Si una llave vierte 81

4litros de agua por minuto, ¿Cuánto tiempo em-

pleará en llenar un depósito de 903

4litros de capacidad?

Respuesta: 11 min.

52. Si un kilogramo de frijoles cuesta los3

4de uno de manteca. ¿con cuántos

kilogramos de frijoles podré comprar 15 de manteca?Respuesta: con 20.

53. Simplificar

(5

7

36− 4

1

18+ 1

1

72

)× 36

78− 1

2

.

Respuesta: 1

54. Simplificar

(9÷ 1

13

× 4

5

)× 5

12

6÷ 112

respuesta:1

3

55. Una tubería vierte en un estanque 200 litros de agua en3

4de hora y otra

300 litros en el mismo tiempo ¿Cuánto vierten las dos juntas en 2 horas?

respuesta: 13331

3ls.

56. He recibido 50 $ después de haber gastado2

3de lo que tenía al principio

y tengo ahora 4 $ más que al principio. ¿Cuánto tenía?Respuesta: 69 $

57. Una hacienda pertenece a tres propietarios. Al primero corresponden5

12;

al segundo1

3, y al tercero

1

4, Si se vende en 75000 bolivianos, ¿cuánto

- 44


corresponde a cada uno?Respuesta: 1ro, 31250; 2do, 2500 y 3ro, 18750 bolivianos.

58. Si se mueren3

5de las palomas de un corral y se compran 2674 palomas,

el número de las que habia al principio queda aumentado en1

3de las que

había al principio. ¿Cuántas palomas había al principio?Respuesta: 2865.

59. Roberto es dueño de los2

7de una hacienda, Carlos de

1

9y Hernan del

resto. Si la hacienda se vende por 12600 $. ¿cuánto recibe cada uno?Respuesta: R. 3600 $; C. 1400 $; H. 7600 $

60. Reparto cierta cantidad entre mis tres hermanos. Al mayor le doy1

7; al

mediano1

8y al menor el resto. Si al menor le he dado 34 $ más que al

mediano, ¿ cual fue la cantidad repartida y cuánto recibió cada uno?Respuesta: 56 $; may., 8 $; med., 7 $; menor., 41 $

61. He gastado los5

6de mi dinero. Si en lugar de gastar los

5

6hubiera gastado

los3

4de mi dinero, tendría ahora 18 $ más de lo que tengo. ¿Cuánto gaste?

Respuesta: 180 $

62. Se adquiere un libro por 4.50 $; un par de zapatos por 2 $ menos que ellibro; una pluma fuente por la mitad de lo que costaron el libro y loszapatos. ¿Cuánto sobrará al comprador después de hacer estos pagos, sitenía 15.83 $?Respuesta: 5.33 $

63. El agua contenida en cuatro depósitos pesa 879.002 kgs. el primer de-pósito contiene 18.132 kgs. menos que el segundo; 43.016 kgs. más que eltercero, y el tercero 78.15 kgs. más que el cuarto. Hallar el peso del aguacontenida en cada deposito.Respuesta: 1ro, 247.197; 2do, 265.329; 3ro, 222.313; 4to, 144.163 kgs.

64. El vino de un tonel pesa 1962 kgs. Si cada litro de vino pesa 0.981 kgs.,¿cuántos litros contiene el tonel?Respuesta: 2000 l.

65. Roberto adquiere cierto número de libros por 46.68 $ si hubiera comprado4 más le habrian costado 77.80 $. ¿Cuántos libros ha comprado y cuánto

- 45


ganará si cada libro lo vende por 9.63 $ ?Respuesta: Compró 6; ganará 11.10 $.

66. La suma de los cuadrados de los dos números es 1186 y el número menores 15. Hallar el número mayor.Respuesta: 31.

67. Un terreno tiene 500 m. de largo y 45 de ancho. Si se le diera formacuadrada, ¿cuáles serían las dimensiones de este cuadrado?Respuesta: 150 m. de lado

68. Un comerciante compró cierto número de trajes y el precio que pagó porcada traje era la cuarta parte del número de trajes que compró. Si gastó30976 bolivianos, ¿cuántos trajes compró y cuánto pago por cada uno?Respuesta: 352 trajes; 88 bs.

69. ¿Cuáles son las dimensiones de un terreno rectangular de 122 m2 si sulongitud es el doble del ancho?Respuesta: 38 m.×19 m.

70. Reducir 19 m.3 a mm.3 Respuesta: 19000000000 mm.3

71. Reducir 76895.7345 cm.3 a km.3

Respuesta: 0,0000000000768957345, km.3

72. Reducir 123456.008 m.3 a Mm.3

Respuesta: 0.000000123456008,Mm.3

73. ¿Cuánto costará pavimentar un cuarto cuadrado de 4 m. por 4 m. conlosas de 20 cm. por 20 cm. que se compran a 50 $ el millar?Respuesta: 20 $ .

74. A 500 bolivianos el millar de baldosa, Cuánto costará pavimentar unacalle rectangular de 50 m.de largo y 8.50 m. de ancho si cada baldosacubre una superficie de 80 cm.2?Respuesta: 26562.50 bolivianos

75. Se empapelan las cuatro paredes de una sala rectangular de 15 m. delargo, 8 m. de ancho y 4 m. de altura con piezas de papel de 368 cm.2

cada una. ¿Cuántas piezas se necesitarán y cuánto importará la obra sicada pieza de papel vale 0.25 $?Respuesta: 5000; 1250 $.

- 46

UMSS - FCyT - Departamento de Matemáticas1.5. RAZONES Y PROPORCIONES

76. Una sala rectangular tiene 15 m. de largo, 6 m. de ancho y 5 m. de altura.La sala tiene cuatro ventanas de 1.50 m. por 2 m. ¿cuál es la superficietotal de las cuatro paredes y cuántas piezas de papel de 44 cm. por 18 cm.harán falta para cubrir las paredes?Respuesta: 198 m2; 2500 piezas

1.5. RAZONES Y PROPORCIONES

1.5.1. Razón de dos números. Proporciones. Propiedades

1.5.2. Media Proporcional. Problemas sobre proporciones

1.5.3. Regla de tres simple y compuesta. Problemas

1.5.4. Tanto por ciento. Problemas


1. Un trabajo puede ser hecho por 13 personas en 28 días a razón de 6horas diarias . Si 5 de ellas aumentaron su rendimiento en 20%. ¿Cuántotiempo tardaran si trabajan 8 horas diarias?

A) 20 días B) 19 días 4 h. C) 19 días 12 h. D)18 días 3 h. E) 17 días 5 h.Respuesta: C)

2. Un inspector Municipal llega a visitar 60 establecimientos en una semanainvirtiendo 8 horas cada día. ¿Cuántos establecimientos podrán visitar 3inspectores en 2 semanas si se emplean 6 horas al día’

A) 135 B) 270 C) 540 D) 405 E) 315

Respuesta: D)

3. Doce hombres se comprometen a hacer una obra en 8 días. Luego detrabajar 3 días juntos se retiran 3 hombres. ¿Cuántos días de retrasotermina la obra terminan la obra ?

A) 11

4días B) 1

2

3días C) 2

1

3días D) 1 día

E) 2 díasRespuesta: B)

- 47


4. Una cabra sujeta a una estaca por medio de una cuerda de 3 metrosdemora media hora en comer el pasto que está a su alcance. ¿Cuántodemoraría si la cuerda fuese de 5 metros?A) 50 min. B) 18 min. C) 1 hora D) 1 h.23min.20seg E) 1 h.25min.30 segRespuesta: B)

5. Se sabe que 30 albañiles, trabajando 9 horas diarias, durante 18 díaspueden construir 3 casas. ¿Cuántos albañiles podrán construir 4 casas,trabajando a un ritmo de 8 horas diarias durante 15 días? A) 24 B)42 C) 40 D) 54 E) 72Respuesta: B)

6. En una construcción, 35 obreros cavan 4 zanjas en 72 horas. ¿En cuántashoras menos cavarán 3 zanjas, 45 obreros?.

A) 42 B) 50 C) 52 D) 16 E) Ninguno

Respuesta: A)

7. ¿Qué tanto por ciento de un número tiene por 18 % al 3 por 5 de 30 esel 50 % de otro número, tiene por 66,6 % al 15 por 6 del 4 por 7 de 56?.

% A)25 % B) 20 % C) 30 % D) 30 % E)40%

8. Al ser tostado, el café pierde el 20% de su peso. Un tendero vende cafetostado aS/. 11,5 el kg ganado el 15%. Calcule a que precio se ha com-prado el kg de cafe sin tostar.

A)S/. B) S/,10 C) S/,8 D) S/,7 E)S/,12G× R

9. un comerciante compro una partida de un género y vendió la mitad gana-do el 15 % sobre el precio de compra; después vendió una cuarta partedel resto perdiendo el 10 % sobre el precio de venta. Estas dos ventas lehan dado una ganancia de 3475 soles menos soles menos que el costo delgénero sobrante. ¿ Cuánto pago el comerciante por el género?Respuesta: $ 11 160, 59

- 48


10. A un contratista le cuesta 48 soles el metro cubico de piedra en bruto, laque después de ser triturada, se reduce a un tercio del volumen. Para quela trituren paga 60 soles por metro cúbico de piedra . Si ha ganado un30 % en el contrato,¿Cuánto recibió por metro cúbico de piedra triturada?Respuesta: 171, 60 soles

11. Habiendo comprado un comerciante una pieza de tela, vende al por menor

los5

8de la misma con un beneficio de 60 soles por metro y el resto 40soles

de beneficio. La la ganancia total es de 6300 soles , que representa el 15 %del precio. ¿Cuál es la longitud de la pieza y el precio de compra?

Respuesta: L = 120 m costo = 42000 soles

12. Un ingeniero recarga el precio de una casa el 25 % de su valor; si alvenderla descuenta el 12 % a un comprador. Digase cuál ha sido el tantopor ciento de utilidad.Respuesta: 10 %

13. se vendió un radio en 12,60 soles, ganando el 14 % del precio de compramás 5 % del precio de venta. ¿Cuáto costó el radio?Respuesta: $ 10, 50

14. Si:3a2 − b2

8a2 − 2b2=

3

14. Hallar

a + b

5a− 3b

A) 8 B) 9 C) 3 D) 4 E) 5

15. Si:3a2 − b2

a4 − b4=

1

3026. Sabiendo que la media proporcional de a y b es 35.

Hallar a + b.

A) 74 B) 75 C) 76 D) 77 E) 78

16. Ena

b=

c

d. Se cumple que: a3 + d3 = 65 y ad(a + c) = 20. Hallar bc

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

17. La suma y el producto de los 4 términos de una proporción continua sonrespectivamente 192 y 194, 481. Calcular la diferencia de los extremos.

- 49


A) 75 B) 150 C) 104 D) 80 E) 144

18. Calcular la media proporcional entre “a” “b” sabiendo que “a” es la cuarta

proporcional de5

6,1

4y

2

3y “b” es la tercia proporcional de

1

56.

A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 7

19. Al quitar 18 a cada uno de los números la razón entre los mismos seríacomo 5 es a 7. Si la razón inicial de los mismos era como 7 es a 9.Hallar el número mayor. A) 63 B) 72 C) 81 D)90 E) 108

20. Sia

80=

80

c. Hallar c si:

a

80=

70

c− 5

A) 20 B) 30 C) 40 D) 80 E) 60

21. La suma de dos números es a su diferencia como 6 es a 1. Si el productode los dos números es 5040. Indicar la diferencia de los mismos.

A) 20 B) 16 C) 24 D) 12 E) 8

22. La razón de 2 números se eleva al cuadrado. Si a sus términos se le dis-minuye en tres unidades calcule la diferencia de dichos números.

A)4 B) 8 C) 12 D) 9 E) 7

23. Calcule en qué relación se encuentran dos cantidades sabiendo que larazón geométrica de tal raíz cuadrada del producto de dichas cantidadesy la semisuma de dichas cantidades es como 7 a 25.

A)3 es 4 B) 7es A 1 C)13 es a 26 D) 49 es a1 E) 25 es a 9

24. Para 4 números a, b, c y d, además:a

b=

c

dy

a

b+

c

d=

40

bccalcule (d− a)min

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 12

- 50


25. De una serie de 3 tres razones geométricas equivalente la suma de loscuadrados de los anteriores y la suma de los cuadrados de los conse-cuentes esta en la relación como 81 es a 121. Si el producto de los dosúltimos antecedente es 162,calcule la menor diferencia entre el menor delos consecuentes sabiendo que el primer consecuente tiene 3 divisores.

A) 90 B) 70 C) 120 D) 130 E) 110

26. Dada la proporción ab

= cd, ¿que afirmación son verdaderas?

I.(a− b)4

(c− d)4=

a4 + b4

c4 + d4

II.ab

cd=

(a + b)

(c + d)4

an + bn

an − bn=

cn + dn

cn − dn

27. Sia

b=

b

c=

c

d=

d

ey la diferencia entre el último consecuente y el primer

antecedente es 480 y la suma de las 4 razones es4

3. Hallar b + c + d.

A) 396 B) 156 C) 224 D) 386 E) 234

Respuesta: E)

28. En:A

a=

a

b=

b

A= k. Hallar: E =

2A3 + 3b3

4a3

A)7

6B)

6

5C)

5

4D)

4

3E)

3

2Respuesta: C)

29. Los cuadrados de1

2,1

4y

1

8son proporcionales a otros 3 números que

suman147

576. Uno de los números será:

A)5

44B)

7

144C)

8

21D)

7

176E)

7

12

Respuesta: B)

30. S tiene la siguiente serie:72

a=

b

6=

c

7=

84

d. Se sabe que: a+b+c+d091.

Hallar c− d

- 51


A) 4 B) 7 C) 3 D) 6 E) 8Respuesta: C)

31. En una serie de razones geométricas iguales de razón 3, los antecedentesson 3 números consecutivos. Hallar la suma de los consecuentes, sabiendoque su producto es 18,960.

A) 15 B) 80 C) 7,5 D) 46 E) Ninguno

Respuesta: B)

32. La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la mismarelación que los números 5, 3 y 40. Hallar el mayor.

A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 100Respuesta: A)

33. La relación entre dos números es de 5 a 2. Hallar los números sabiendoque su suma es 49.Respuesta: 35 y 14.

34. La razón de dos números es8

3y su diferencia 55. Hallar los números.

Respuesta: 88 y 33.

35.5

c=

4

d=

6

e. Sabiendo que c + d + e = 120, hallar c, d y e.

Respuesta: c = 40, d = 32, e = 48.

36. Tres números cuya suma es 240 guardan entre si la relación de losnúmeros 2, 3 y 5. Hallar los números.Respuesta: 48, 72, y 120.

37. Una torre de 25.05 da una sombra de 33.40 m. ¿Cuál será ,a la mismahora, la sombra de una persona cuya estatura es 1.80 m.?Respuesta: 2.40 m.

38. Una cuadrilla de obreros emplea 14 días, trabajando 8 horas diarias, enrealizar cierta obra. Si hubiera trabajado una hora menos al día, ¿encuántos días habrían terminado la obra?Respuesta: 16 días.

- 52


39. A la velocidad de 30 km. por hora un automóvil emplea 81

4horas en ir

de una ciudad a otra. ¿ Cuánto tiempo menos se hubiera tardado si lavelocidad hubiera sido triple?

Respuesta: 51

2h. menos.

40. Dos piezas de paño de la misma calidad cuestan, una 450 bs. y otra 300 bs.Si la primera tiene 15 m. más que la segunda, ¿cuál es la longitud de cadapieza?Respuesta: 45 m.; 30 m.

41. Una guarnición de 1300 hombres tiene víveres par cuatro meses. Si sequiere que los víveres duren 10 días más; ¿cuántos hombres habrá querebajar de la guarnición?Respuesta: 100 hombres.

42. Una guarnición de 500 hombres tiene víveres para 20 días a razón de3 raciones diarias. ¿Cuántas raciones diarias tomará cada hombre si sequiere que los víveres duren 5 días más?

Respuesta: 22

5raciones diarias.

43. Una calle de 50 m. de largo y 8 m. de ancho se halla pavimentada con20000 baldosas ¿Cuántos baldosas serán necesarios para pavimentar otra

calle de doble largo y cuyo ancho es los3

4del ancho anterior?

Respuesta: 30000 baldosas

44. Una cuadrilla de 15 hombres se compromete a terminar en 14 días cierta

obra. Al cabo de 9 días sólo han hecho los3

7de la obra. ¿Con cuántos

hombres tendrán que ser reforzados para terminar la obra en el tiempofijado?

45. Una pared de 5 m. de largo. 1 m. de alto y 0.07 m.de espesor ha costado25 $. ¿Cuál será el espesor de otra pared de 14 m. de largo y 0.70 m. dealto, por la cual se pagan 490 $?Respuesta: 0.7 m.

46. 30 hombres se comprometen a hacer una obra en 15 días. Al cabo de 9

días solo han hecho los3

11de la obra. Si el capataz refuerza la cuadrilla

con 42 hombres, ¿podrán terminar la obra en el tiempo fijado o no, y si

- 53


no es posible, cuántos días más necesitarán?

47. 10 hombres se comprometieron a realizar en 24 días cierta obra. Traba-jaron 6 días a razón de 8 horas diarias. Entonces se pidió que acabaranla obra 8 días antes del plazo que se les dio al principio. Se colocaronmás obreros, trabajaron todos 12 horas diarias y terminaron la obra enel plazo pedido.¿Cuántos obreros se aumentaron?Respuesta: 2 obreros.

48. Un capataz contrata una obra que debe comenzarla el día 1 de junio yterminarla el 5 de julio. El día 1 de junio pone a trabajar 20 hombres,los cuales trabajan hasta el día 14 inclusive a razón de 6 horas diarias.Ese día el propietario le dice que necesita la obra terminada el día 24de junio. Entonces, a partir del día 15, coloca más obreros, se trabajan9 horas diarias en vez de 6 y logra complacer al propietario. ¿Cuántosobreros aumentó el capataz a partir del día 15?Respuesta: 8 obreros.

49. Si me rebajan el sueldo en un 20 % quedo ganando 1040 bolivianos men-suales. ¿ Cuánto gano ahora?Respuesta: 1300 bolivianos.

50. ¿Qué número aumento en su 32 % equivale a 792?Respuesta: 600.

51. 16. ¿A cómo hay que vender lo que ha costado 2.10 $ para ganar el 30 %del cosó?Respuesta: 2.73 $.

52. Un comerciante compra artículos con un descuento del 25 % del preciode lista y los vende a un 25 % más que el precio de lista. ¿Cuál es su %de ganancia sobre el costo?

Respuesta: 662

3%

53. Se compran artículos a un 10 % menos que el precio de catálogo y sevenden un 10 % más que el precio de catálogo. ¿Qué % del costo segana?

Respuesta: 222

9%.

54. No quise vender una casita cuando me ofrecían por ella 3840 $, con locual hubiera ganado el 28 % del costo y algún tiempo después tuve que

- 54


venderla por 3750 $. ¿Qué % del costo gané al hacer la venta?Respuesta: 25 %.

55. Dividir 225 en dos partes que sean entre si como 7 es a 8.Respuesta: 105 y 120.

56. Dividir 60 en 3 partes tales que la 1ra sea a la 2da como 2 es a 3 y la 2da

a la 3ra como 1 es a 5.Respuesta: 1ra, 6; 2da, 9; 3ra, 45.

57. Un campesino tiene 275 aves entre gallos, gallinas y palomas. El númerode gallinas es al de gallos como 7 es a 3 y el número de palomas es al degallinas como 5 es a 2. ¿Cuántas aves de cada especie tiene?Respuesta: 70 gallinas; 30 gallos; 175 palomas.

58. Dividir 56 en cuatro partes tales que la 1ra sea a la 2da como 2 es a 3; la2da a la 3ra como 3 es a 4 y la 3ra a la 4ta como 4 es a 5.Respuesta: 1ra, 8; 2da, 12; 3ra, 16; 4ta, 20.

59. Si tengo alcohol de 40o, 35o, 30o y 25o, ¿qué cantidad de cada graduaciónnecesitaré para preparar 5 litros de 33o?de 40o para que la mezcla resulte de 30o

Respuesta: 1 l.

60. Con alcohol de 40o, 30o y 20o se quieren obtener 60 litros de alcohol de25o. Si en la mezcla han de entrar 10 litros de 40o, ¿cuántos litros habráque poner de los otros ingredientes?Respuesta: 40 ls. de 20o y 10 ls. de 30o.

61. ¿A cómo debo vender el litro de una mezcla de 30 ls. de vino de 60 bs. y20 ls. de agua para ganar 8 bs. por litro?

62. Para obtener alcohol de 60o, ¿qué cantidades serán necesarias de alcoholde 70o y 30o?Respuesta: 30 ls. de 70o y 10 ls. de 30o para 40 ls. de la mezcla.

- 55


- 56

Capítulo 2

ÁLGEBRATEORÍA-EJEMPLOS

2.1. introducción

El álgebra esencialmente es una generalización de la Aritmètica en el sen-tido que los objetos que se manejan ( denominados expresiones algebraicas )representan no a números concretos y específicos, sino a un conjunto ampliode números; por ejemplo (a + b)2 representa al conjunto de números que seobtienen sumando dos números cualesquiera y multiplicando dicha suma porsí misma.

El álgebra ha recorrido en su evolución desde la denominación de los objetos( con los que trabaja ) empleando el lenguaje cotidiano usual, pasando por unasimbología resultante de la simplificación de vocablos cotidianos hasta lograrel uso de símbolos apropiados y eficientes que aparecen en su forma actual.

El problema central del álgebra es la búsqueda de cantidades que tengan ocumplan determinadas condiciones; este problema se conoce como resoluciónde ecuaciones. El álgebra permite la representación mediante símbolos de lascantidades buscadas y permite la traducción simbólica de las condiciones orelaciones cuantitativas que deben cumplir dichas cantidades. El resultado esla construcción de un sistema de ecuaciones. Por otra parte, el álgebra hadesarrollado un conjunto de resultados que se conocen como identidades; lasque permiten expresar las expresiones algebraicas de diferentes maneras. Yes el empleo apropiado de dichas identidades o igualdades que permiten laresolución de las ecuaciones.

Un primer objetivo del álgebra es manejar las diferentes identidades alge-braicas, donde este dominio requiere de un buen manejo aritmético; por lo quees importante considerar importante que la base de un buen aprendizaje en

57

UMSS - FCyT - Departamento de Matemáticas CAPÍTULO 2. ÁLGEBRATEORÍA-EJEMPLOS

álgebra está basado en un buen aprendizaje de la Aritmética.El segundo objetivo, el principal, del ágebra es la traducción en términos de

ecuaciones de las relaciones existentes entre diferentes cantidades establecidascom información o conjunto de datos del problema que son las que determinanla solución o determinación de valores desconocidos conocidos como incógnitas.

Finalmente, el ágebra provee diferentes procedimientos o algoritmos de res-olución de las ecuaciones y contiene resultados relativos a la existencia y can-tidad de soluciones a un problema.

- 58

UMSS - FCyT - Departamento de Matemáticas2.2. ALGEBRA

2.2. AlgebraExpresión Algebraica.- Es el conjunto de números y letras unidas entresi por los signos de operación, como la suma, la resta, la multiplicación, ladivisión, la potenciación y la radicación.

4x3 − 3y2 + 7z2,5x5 + 8

√x2 − 7xy4 + 6z

3x2y − 3xy

no son expresiones algebraicas; cos x, tan x, etc.

Término Algebraico.- Es la expresión algebraica cuyas partes no estánseparadas ni por el signo más ni por el signo menos, solo contiene productos ycocientes de números y de letras. Otra definición es un monomio separado deotro por el signo más o por el signo menos.

Ejemplo 2.15x2, 7y3z4, −4x4y5z9

Partes de un Término Algebraico.- Todo término algebraico presentalas siguientes partes: Coeficientes, parte literal, exponente.

(−5)x7

(-5) es el coeficiente; x es parte literal y 4 el exponente.

2.2.1. Teoría de Exponentes

La teoría de exponentes tiene el objeto estudiar todas las clases de expo-nentes que existen y las relaciones que se dan entre ellos.La operación que permite la presencia del exponente es la potenciación, la cualse define así:Potenciación Es la operación que consiste en repetir un número llamadobase tantas veces como factor, como lo indica otro llamado exponente, al re-sultado de esta operación se le denomina potencia, esto es:

Potencia = (base)exponente

Ejemplo 2.236 = 3× 3× 3× 3× 3× 3 = 729

Ejemplo 2.345 = 4× 4× 4× 4× 4 = 1024

- 59


De forma general se tiene

an = a× a× . . .× a× a︸︷︷︸n veces a

2.2.2. Propiedades de los exponentes

Multiplicación de Potencias de Bases Iguales.- Para esto se escribe lamisma base, y como exponente se escribe la suma de los exponentes, esto es:

am · an = am+n

Ejemplo 2.4

x6 · x9 = x6+9 = x15 , x3 · x5 · x−3 · x12 = x3+5−3+12 = x17

División de Potencias de Bases Iguales:- En este caso se escribe lamisma base, y como exponente se escribe la diferencia de los exponentes. Estoes:

am

an= am−n

Ejemplo 2.5

27

24= 27−4 = 23 = 8,

x9

x12= x9−12 = x−3,

xm+1

xm−3= x(m+1)−(m−3) = x4

Exponente Cero.- Toda cantidad diferente de cero, con exponente cero, esigual a la unidad. Esto es:

a0 = 1, a 6= 0

Exponente NegativoToda cantidad diferente de cero, elevada a un exponente negativo, es igual

a una fracción cuyo numerador es 1 y cuyo denominador es igual a la mismaexpresión pero con exponente hecho positivo. Esto es:

a−n =1

an, a 6= 0

Ejemplo 2.6

5−2 =1

52, x−8 =

1

x8,

a3

b5= a3b−5

- 60


Potencia de un productoPara efectuar se eleva cada factor a dicha potencia. Esto es

(a · b)n = an · bn

Observación : En lugar de escribir (a · b)n = an · bn se escribe de formaabreviada así (a · b)n = (ab)n y an · bn = anbn

Ejemplo 2.7

(a · b)7 = a7 · b7 , x9y9 = (xy)9 ,5x · 7x

35x=

(5 · 7)x

35x= 1

Potencia de un CocientePara efectuar se eleva tanto el numerador como el denominador a dicha

potencia. Esto es: (a

b

)n

=an

bn

Ejemplo 2.8(

x

y

)7

=x7

y7

12m

4m=

(12

4

)m

= 3m

Potencia negativa de un CocientePara efectuar, se invierte el cociente y la potencia se transforma en positiva

y se procede como en el caso anterior. Esto es.(a

b

)−n

=

(b

a

)n

=bn

an

Ejemplo 2.9 (7

2

)−3

=

(2

7

)3

=23

73

Potencia de PotenciaPara realizar está operación se escribe la misma base y se eleva a un expo-

nente igual al producto de los exponentes. Esto es.

(am)n = amn

Ejemplo 2.10

(x5)4 = x(5)(4) = x20 9x = (32)x = 32x

- 61


Raíz de una PotenciaPara extraer la raíz de una potencia se escribe la misma base y como expo-

nente, la división del exponente de la potencia entre el índice del radical. Estoes.

n√

ap = apn

Ejemplo 2.11 Extraer√

x8 = x82 = x4

Ejemplo 2.12 Extraer 5√

x15 = x155 = x3

Ejemplo 2.13 Extraer 3√

4√

x24 =3√

x244 =

3√

x6 = x63 = x3

Exponente FraccionarioToda cantidad elevada a un exponente fraccionario es igual a una raíz cuyo

índice es igual al denominador del exponente fraccionario y cuya cantidadsubradical es la misma cantidad elevada a un exponente igual al numeradordel exponente fraccionario. Esto es.

apn = n

√ap

Ejemplo 2.14

512

2

3 =3√

5122 = (3√

512 )2 = 82 = 64

Exponente Fraccionario NegativoToda cantidad elevada a un exponente fraccionario negativo es igual a una

fracción cuyo numerador es igual a la unidad, y cuyo denominador es igual alexponente fraccionario pero hecho positivo

a−pn =

1

apn

Ejemplo 2.15 Efectuar 9−32 =

1

932

=1

( 2√

9)3=

1

33=

1

27

Raíz de un ProductoPara efectuar se escribe la raíz de cada factor. Así

n√

ab = n√

an√

b , donde a ≥ 0 b ≥ 0

Ejemplo 2.16 4√

(28)(34) =4√

28 4√

34 = (22)(3) = 127√

x21y14 =7√

x21 7√

y14 = x217 y

147 = x3y2

- 62


2.2.3. Leyes de los Signos

Multiplicación

Producto de dos términos de signos iguales es positivo y de signos diferenteses negativo. Esto es

(+)(+) = (+), (−)(−) = (+), (−)(+) = (−), (+)(−) = (−)

División

Dos términos de signos iguales, divididos dan por resultado un término consigno positivo y en el caso de signos diferentes, dan por resultado un términode signo negativo, esto es

a)(+)

(+)= (+) b)

(−)

(−)= (+) c)

(−)

(+)= (−) d)

(+)

(−)= (−)

Potenciación

Potencias positivas de índice par o impar dan siempre resultado positivo.Potencias negativas de índice par dan resultado positivo y de índice impar danresultado negativo. Así(+)par = (+) , (+)impar = (+) , (−)par = (+) , (+)impar = (−)

RadicaciónRaíces de índice par de cantidades: a) Positivas o b) negativas tiene igual signoque su cantidad subradical raíces de índice par de cantidades: c) positivastienen doble signo, positivo y negativo. Raíces de índice par de cantidadesnegativas no existen en el campo real son cantidades imaginariasimpar

√(+) = (+), impar

√(−) = (−), par

√(+) = (+), par

√(−) = (imaginario)

2.2.4. Ejercicios Ilustrativos

Ejemplo 2.17 Efectuar E = (2x2)(3x3y2)(x2y)2

SoluciónEn la solución, de este ejercicio, se utiliza la propiedad:

aman = am+n

En efecto, se tiene;

E = 6(x2x3x(2)(2)y2y2) = 6(x2+3+4y2+2) = 6(x9y4)

- 63


Ejemplo 2.18 Efectuar

E =(3m+n)(3m−n)(3m+4)

(32m+1)(3m−2)

Solución Utilizamos la propiedad:

aman = am+n

E =3(m+n)+(m−n)+(m+4)

3(2m+1)+(m−2)=

3m+n+m−n+m+4

32m+1+m−2=

33m+4

33m−1

= 3(3m+4)−(3m−1) = 35 = 243

Ejemplo 2.19 Calcular el valor de la expresión

E =(2m+3)(72m+1)− (2m+1)(72m)

(2m+5)(72m)− (2m+1)(72m+1)

a) 1 b) 2m c) 7m d) 2 e) 3

Solución: En la solución, de este ejercicio, utilizamos una de las propiedades:

aman = am+n

En efecto, se tiene:

E =(2m23)(72m71)− (22m21)(72m)

(2m25)(72m)− (22m21)(72m71)

Extrayendo factor común en el denominador.

E =(2m)(72m)[(23)(71)− 21]

(2m)(72m)[25 − (2)(7)]

Simplificando y efectuando operaciones

E =56− 2

32− 14= 3 ∴ E = 3 Respuesta e)

Ejemplo 2.20 Determinar el valor de la expresión

E =

{a−2 − b−2

a−1 + b−1

}−1 {a−1 − b−1

a−2b−2

}

- 64


a) a2 b) b2 c) a2b2 d) 1 e) ab

Solución: En este ejercicio, se utilizara las propiedades:

a−n =1

an;

(a

b

)−n

=

(b

a

)n

Utilizando lo anterior;

E =

b2 − a2

a2b2

b + a

ab

−1

b + a

ab1

a2b2

Simplificando las fracciones

E =

{ab(b2 − a2)

a2b2(b + a)

}−1 {a2b2(b− a)

ab

}

Efectuando operaciones:

E =

{(b + a)(b− a)

ab(b + a)

}−1

{ab(b− a)}

Utilizando la otra propiedad

E =

{ab

(b− a)

}{ab(b− a)}

Efectuando se obtiene

E = a2b2 Respuesta E=a2b2

Ejemplo 2.21 Calcular el valor de: E =216 ∗ 353 ∗ 803

154 ∗ 149 ∗ 302

a) 3 b) 5 c) −3 d) 2 e) 1

Solución: Descomponiendo en factores primos, para aplicar potencia de po-tencia (ab)n = anbn

E =(3 ∗ 7)6 ∗ (7 ∗ 5)3 ∗ (24 ∗ 5)3

(3 ∗ 5)4 ∗ (2 ∗ 7)9 ∗ (2 ∗ 3 ∗ 5)2

aplicando potencia de potencia

36 ∗ 76 ∗ 73 ∗ 53 ∗ 212 ∗ 53

34 ∗ 54 ∗ 29 ∗ 79 ∗ 22 ∗ 32 ∗ 52

aplicando propiedad, para luego simplificar:

E =36 ∗ 79 ∗ 56 ∗ 212

36 ∗ 56 ∗ 211 ∗ 79= 21 = 2 Respuesta: 2

- 65


Ejemplo 2.22 Calcular el valor de

E =2x+4 + 36(2x−2)

2x+5 − 2(2x+3)− 4(2x+1)− 6(2x−1)

a) 5 b) − 3 c) −1 d) 2 e) −5

Solución: Por la teoría de los exponentes: am+n = aman, am−n =am

an

E =2x24 + 36(2x2−2)

2x25 − 2(2x23)− 4(2x21)− 6(2x2−1)

=

(16)(2x) + 36

(2x

22

)

(32)(2x)− (16)(2x)− (8)(2x)− 6

(2x

21

)

=(16)(2x) + (9)(2x)

(32)(2x)− (16)(2x)− (8)(2x)− (3)(2x)

=(25)(2x)

(5)(2x)= 5 Respuesta: 5

2.2.5. Ecuaciones Exponenciales

Son igualdades relativas cuyas incógnitas aparecen como exponentes. Seentiende por igualdad relativa a aquella que se verifica para algunos valoresque se le asigne a sus incógnitasEjemplos

a) 2x = 100 b) 238x

= 512 c) [A4x]2−x = B1645

2.2.6. Solución de una ecuación Exponencial

Es el valor o valores que verifican la igualdad relativa.

3x = 81, x = 4, 34 = 81

2x = 32, x = 5, 25 = 32

para obtener la solución se debe tener en cuenta:Primer caso

1. Las bases de las potencias deben ser iguales.

- 66


2. Para que haya igualdad los exponentes de las potencias, como consecuen-cia, deben ser iguales, esto es:

Si Am = An entonces m = n

Segundo caso

1. Los exponentes de las potencias deben ser iguales.

2. Para que haya igualdad las bases de las potencias, como consecuencia,deben ser iguales, esto es:

Si Am = Bm entonces A = B

Ejemplo 2.23 Resolver la ecuación exponencial

2793−x

=3√

3

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 5

Solución: Igualando las bases de las potencias, para lo cual se escoge la base3

(33)93−x

= 313

Efectuando operaciones, se tendrá

3(3)(93−x) = 313

Igualando los exponentes

3 ∗ 93−x =1

3Igualando a la base común 3

3 ∗ (32)3−x = 3−1

Efectuando31 ∗ 36−2x = 3−1

31+6−2x = 3−1

Igualando bases

7− 2x = −1

7 + 1 = 2x

8 = 2x

4 = x Respuesta: x = 4

Observación : 3 · 93−x = 3 ∗ 93−x = (3)(93−x)

- 67


2.2.7. Ejemplos Ilustrativos

Ejemplo 2.24 Resolver 53x−5= 1259x+4 es :

a) −14 b) 14 c) −13 d) 4 e) − 4

Solución: Expresando en base 5

Potencia de potencia 53x−5

= 5(3)(9x+4)

Bases iguales 3x−5 = (3)(9x+4)

Expresando como potencia de 3 3x−5 = (3)(32)x+4

Potencia de potencia: 3x−5 = (3)(32x+8)

3x−5 = 32x+9

bases iguales x− 5 = 2x + 9

x = −14

Respuesta: x = −14

Ejemplo 2.25 Resolver la ecuación exponencial.

4x+ 12 − 3x− 1

2 = 3x+ 12

a) 1 b) − 1 c)1

2d) 2 e) ninguno

Solución : Aplicando multiplicación de potencias de bases iguales

4x412 − 3x3−

12 = 3x3

12

efectuando, exponente negativo

4x√

4− 3x 1√3

= 3x√

3

4x2− 3x 1√3

= 3x√

3

- 68

UMSS - FCyT - Departamento de Matemáticas2.3. EXPRESIONES ALGEBRAICAS

común denominador

4x2√

3− 3x = 3x√

3√

3

4x2√

3− 3x = 3x3

4x2√

3 = (4)(3x)4x

3x=

2√3

4x

3x=

√4√3(

4

3

)x

=

(4

3

) 12

bases iguales

x =1

2

Respuesta : x =1

2

2.3. Expresiones Algebraicas

2.3.1. Grado de una expresión Algebraica

Grado de una expresión algebraica es una característica relacionada conel exponente de sus letras, el cual debe ser un número entero y positivo ypermite determinar el número de sus soluciones de una ecuación. Puede ser dedos tipos, relativo y absoluto.Grado Relativo.- Se refiere a una sola letra.Grado Absoluto.- Se refiere a todas las letras

Grados de un monomio

Monomio.- Es la mínima expresión algebraica que posee tiene un solotérmino algebraico

Ejemplo 2.26

5xy4,−3xyz2,8x

y

Binomio.- Es una expresión algebraica de dos términos

Ejemplo 2.275x + 6y, 7x5 − 7xyz3

- 69


Trinomio.- Es una expresión algebraica de tres términos

Ejemplo 2.28

−5x + 5x + 6y, 8x− 7x5 − 7xyz3, x4 − 12xy +xy

2z2

Grados de un Monomio

Grado absoluto (G.A.).- El grado absoluto de un monomio está dado porla suma de los exponentes de todas sus letras.Grado Relativo.- Está dado por el exponente de la letra referida a dichomonomio.

Ejemplo 2.29 Dado E = 59x3y4w7 entonces

(a) G.A.M.=3+4+7=14

(b) G.R.M. =

G.R.(x) = 3 con respecto a xG.R.(y) = 4 con respecto a yG.R.(w) = 7 con respecto a w

2.3.2. Polinomio

Es una expresión algebraica que tiene dos o mas términos algebraicos, recibeel nombre de binomio cuando tiene dos términos; trinomio cuando tiene 3términos. Un polinomio en la variable x se representa de la siguiente manera

P (x) = anxn + an−1xn−1 + an−2x

n−2 + . . . + a2x2 + a1x

1 + a0

donde a0, a1, a2, . . . , an

Grados de un Polinomio

Se llama grado de una expresión algebraica racional entera, a una carac-terística relacionada con los exponentes se sus letras.Grado absoluto de un polinomioG.A.P. : Está dado por él término que tiene mayor grado absoluto.Grado Relativo de un polinomioG.R.P. : Está dado por el término de mayor exponente de la letra del polinomio.

Ejemplo 2.30 Determinar los grados del polinomio.

P (x) = 6x3y5z3 + 8x2y5z + 7x6yz9

- 70


Solución.-

1. Se tiene

a) Grado absoluto de 6x3y5z3 . . . es 11

b) Grado absoluto de 8x2y5z . . . es 8

c) Grado absoluto de 7x6yz9 . . . es 16

Luego el grado absoluto del polinomio es el mayor, esto es: 16.

1. Grado Relativo G.R.(x) = 6

2. Grado Relativo G.R.(y) = 5

3. Grado Relativo G.R.(z) = 9

Notación.- La representación de un polinomio es mediante sus variables yconstantes.

P (x, y, z) = a3 + by6 + cz9

donde.P : nombre genéricox, y, z: Variablesa, b, c: Constantes

2.3.3. Clasificación

Los polinomios se clasifican en:

Polinomio ordenado

Son aquellos polinomios dispuestos en forma descendente o ascendente, estoes por que los valores de los exponentes de la letra considerada es ascendenteo descendente

Ejemplo 2.31 Dado el polinomio

P (x, y) = x4y9 − 6x7y8 + 9x10y5

El polinomio es creciente respecto a x, es decreciente respecto de y

- 71


Polinomio completo

Se caracteriza por que los exponentes de la letra considerada existen desdeel mayor hasta el cero inclusive, denominado este último término independientedel polinomio con respecto a esta letra.

Ejemplo 2.32 Sea el polinomio

P (x, y) = 7x3 + 6x2y + 7xy2 + 9y3

Es polinomio completo con respecto a x, y su término independiente con re-specto a está letra es 9y3

Propiedades de un polinomio completo

Propiedad 1: El número de términos de un polinomio es igual al grado depolinomios más uno.Propiedad 2: La diferencia de grados relativos de dos términos consecutivoses igual a la unidad

G.R.(tx+1)−G.R(tx) = 1

Polinomio Homogéneo

Se caracteriza por que todos sus términos tienen igual grado absoluto

Ejemplo 2.33 Sea el polinomio P (x, y) = 5x3y6 + 8x2y7 − 4xy8

Polinomio Heterogéneo

Son aquellos polinomios cuyos términos no todos tienen igual grado abso-luto

Ejemplo 2.34 Sea el polinomio P (x, y) = 9x7y − 6x3y + 8x5y6

Polinomio Idénticos

Se caracteriza por que sus términos semejantes tienen iguales coeficientes

Polinomio idénticamente Nulo

Si sus coeficientes son iguales a cero.

Ejemplo 2.35 Sea el polinomio:

P (x) = a4x4 + a3x

3 + a2x2 + a1x

1 + a0

es idénticamente nulo quiere decir a4 = a3 = a2 = a1 = a0 = 0

- 72


Polinomio Entero en x

Es aquel que se caracteriza porque todos sus exponentes son enteros y suúnica variable es “x” .Un polinomio P (x) se representa así:

De primer grado: P (x) = ax + b

De segundo grado P (x) = ax2 + bx + c

De tercer grado: P (x) = ax3 + bx2 + cx + d, y así sucesivamente.

Valor Numérico de un Polinomio

Es el valor que toma dicho polinomio, cuando se reemplaza en el valoresasignados a sus variables.

Ejemplo 2.36 Sea el polinomio: P (x, y) = x2 + y3 − 9, hallar P (3,−2)

Solución : Se reemplaza los valores de x, y , esto es

P (3,−2) = (3)2 + (−2)3 − 9 = 9− 8− 9 = −8

Ejemplos Ilustrativos

Ejemplo 2.37 En el siguiente monomio:

xnymz5n

x1−myn−3zm−2

el grado relativo respecto a x es 12, el grado relativo respecto a y es 10, Hallarel grado relativo respecto a z.

Solución : Para hallar el grado respecto a z se debe calcular los valores de my n.Datos: Por dato (1) la diferencia de los exponentes de x es 12.

GRx : n− (1−m) = 12

n− 1 + m = 12

n + m = 13 ♣Por dato (2), la diferencia de exponentes de y es 10.

GRx : m− (n− 3) = 10

m− n + 3 = 10

m− n = 7 ♠

- 73


sumando ♣ y ♠:2m = 20; m = 10

reemplazando en ♣n + 10 = 13; n = 3

Luego

GRz = 5n− (m− 2) = 5n−m + 2

sustituyendo los valores de m y n:

GRz = 5(3)− 10 + 2 = 7

Respuesta: GRz = 7

Ejemplo 2.38 Hallar el valor de “ m” para que la siguiente expresión sea desegundo grado.

M =

3

√(a−2b

m5 )

−12

4

√a3√

a0b−m5

−3

Solución : Trabajando con el numerador:

3

√(a−2b

m5 )

−12 = a

(−2)(−12 )

3 b( m

5 )(−12 )

3 = a13 b

−m30

trabajando con el denominador

4

√a3

√a0b

−m5 = a

34 b

−m40

Reemplazando los equivalentes en la proposición:

M =

[a−13 b

−m30

a34 b

−m40

]−3

=[a

13− 3

4 b−m30

+ m40

]

M =[a−512 b

−m120

]−3

=[a−512 b

−m120

]−3

= a54 b

m40

Por el dato G.A.M.

5

4+

m

40= 2 :

50 + m

40= 2 ∴ m = 30

Respuesta. : m = 30

- 74

UMSS - FCyT - Departamento de Matemáticas2.4. OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Ejemplo 2.39 Si anbn = kn donde k es una constante, calcular el G.A. de

M =

√kn + b2n

a−2nkn + 1+

√kn + a2n

b−2nkn + 1

Solución : Trabajando con cada expresión:

M1 =

√kn + b2n

a−2nkn + 1=

√anbn + b2n

a−2nanbn + 1

=

√√√√bn(an + bn)

bn

an+ 1

=

√anbn(an + bn)

bn + an

=√

anbn = an2 b

n2

M2 =

√kn + a2n

b−2nkn + 1=

√anbn + a2n

b−2nanbn + 1

=

√√√√an(bn + an)an

bn+ 1

=

√anbn(bn + an)

an + bn

=√

anbn = an2 b

n2

G.A.M1 =n

2+

n

2=

2n

2= n

G.A.M2 =n

2+

n

2=

2n

2= n

Por lo tanto G.A de M es nRespuesta: mGAM = n

2.4. Operaciones con Expresiones Algebraicas

2.4.1. Suma y Resta

Para sumar o restar expresiones algebraicas, se suman o se restan términossemejantes, se denomina términos semejantes a aquellos que tienen la mismaparte literal afectada por los mismos exponentes, los coeficientes pueden seriguales o diferentes.

- 75


Supresión de signos

Es la operación que permite eliminar los signos de agrupación, se opera así:

1. Cuando el signo de colección está precedido del signo más, se elimina sinproducir ningún cambio:

a + (b− c) = a + b− c

2. Cuando el signo de colección está precedido del signo menos, se eliminacambiando de signo a todos los términos que se encuentran dentro de el,así:

a− (b− c) = a− b + c

Introducción de Signos de Colección

Es la operación que permite agrupar dos o más términos en uno, estáoperación se realiza así:

1. Cuando va ir precedido del signo más, se escribe el signo de colecciónrespectivo, sin realizar ningún cambio de signo a los términos que quedandentro de el, así

a + b− c = a + (b− c)

Cuando va ir precedido del signo menos, se escribe el signo de colecciónrespectivo, cambiando de signo de colección respectivo, cambiando designo a todos los términos que se introducen. Así:

a− b + c = a− (b− c)

2.4.2. Multiplicación de Expresiones Algebraicas

Definición 2.4.1 La multiplicación es una operación que consiste en obten-er una tercera expresión llamada producto, conociendo otras dos expresionesllamadas multiplicando y multiplicador

El multiplicador y el multiplicando son llamados factores del producto

Propiedades

1. Conmutatividad : ab = bael orden de los factores no altera el producto

- 76

UMSS - FCyT - Departamento de Matemáticas2.4. OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

2. Asociatividad: abcd = (ab) ∗ (cd) = (abc) ∗ dLos factores de un producto pueden agruparse de cualquier modo.

1. El término independiente del producto es igual al producto de los térmi-nos independientes de los factores

2. El grado de producto de dos polinomios es igual a la suma de los gradosde los factores

2.4.3. Multiplicación de Monomios

Cuando son dos Monomios

Se multiplican los signos, luego los coeficientes y por último las partesliterales utilizando la teoría de los exponentes

Multiplicación de Polinomios

1. Se ordenan los polinomios con respecto a una letra preferentemente enforma descendente, completando con ceros en cada término que falla yse escribe uno debajo del otro.

2. Se multiplican separadamente cada término del multiplicador, por cadauno de los términos del multiplicando.

3. Los productos parciales que se escriben en forma ordenada uno debajodel otro de tal manera que constituyen términos semejantes.

4. Se suman los productos parciales, obteniéndose el producto total

Ejemplo 2.40 Multiplicar 4x3 + 5x2y + 7xy2 − 2y3 por 2x2 − 5xy + 3y2

Solución :

4x3 + 5x2y + 7xy2 − 2y3

+2x2 − 5xy + 3y2

8x5 + 10x4y + 14x3y2 − 4x2y3

−20x4y3 − 25x3y2 − 35x2y3 + 10xy4

+12x3y2 + 15x2y3 + 21xy4 − 6y5

8x5 − 10x4y + x3y2 − 24x2y3 + 31xy4 − 6y5

- 77


2.4.4. Productos Notables

Definición 2.4.2 Denominados también identidades algebraicas. Se llamanproductos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultadopuede ser escrito por simple inspección, es decir sin verificar la multiplicación:

1. Cuadrado de una suma y una diferencia de dos cantidades

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a− b)2 = a2 − 2ab + b2

2. Producto de una suma por su diferencia de dos cantidades

(a + b)(a− b) = a2 − b2

da diferencia de cuadrados

3. Cuadrado de un trinomio

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

4. Cubo de una Suma o de una Diferencia

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a− b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3

5. Producto de dos Binomios que tienen un término común

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

6. Producto de tres Binomios que tienen un término común

(x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc)x + abc

7. Producto de un binomio por un trinomio que da una suma o diferenciade cubos

(a + b)(a2 − ab + b2) = a3 + b3

(a− b)(a2 + ab + b2) = a3 − b3

8. Identidades de Legendre:

(a + b)2 + (a− b)2 = 2(a2 + b2)

(a + b)2 − (a− b)2 = 4ab

9. Identidades de Lagrange.

(ax + by)2 + (bx− ay)2 = (x2 + y2)(a2 + b2)

(ax+by+cz)2+(bx−ay)2+(cx−az)2+(cy−bz)2 = (a2+b2+c2)(x2+y2+z2)

- 78

UMSS - FCyT - Departamento de Matemáticas2.5. LOGARITMOS

2.5. LogaritmosDefinición 2.5.1 El logaritmo de un número positivo N , en base b, positivay distinta de la unidad, es el exponente x a que debe elevarse otro númerollamado base para obtener dicho número.

Definición 2.5.2 Se llama logaritmo de un número N , en una base dada b,positiva y distinta de la unidad, al exponente x a que debe elevarse otro númerollamado base para obtener el número dado. Esto es:

logb N = x ⇔ bx = NNotación logarítmica notación exponencial

DondeN =Número positivob = Número positivo y diferente de 1 base, b > 0, b 6= 0x = exponente de la base.

De la definición deducimos que

N = blogb N

Identidad que es útil algunas veces

Ejemplo 2.41 Hallar el logaritmo de 81 en base 3

Solución: Por definición de logaritmoslog3 81 = x ⇔ 3x = 81

⇔ 3x = 34

bases iguales ⇒ x = 4

Ejemplo 2.42 Hallar el logaritmo de 8 3√

4 en base 5√

2

Solución: Sea x el logaritmo buscado. Por definición:

log 5√2 8 3√

4 = x ⇔ ( 5√

2)x = 8 3√

4

⇔ 2x5 = 23(22)

13

⇔ 2x5 = 23+ 2

3

⇔ 2x5 = 2

113

igualando expx

5=

11

3

de donde x =55

3Por lo tanto

log 5√2 83√

4 =55

3

- 79


2.5.1. Propiedades

1. P1. La base de un sistema de logaritmos no puede ser negativa

2. P2. En todo sistema de logaritmos, el logaritmo de la base es igual a launidad: logb b = 1

3. P3. En todo sistema, el logaritmo de 1 es cero, logb 1 = 0

4. P4. Logaritmo de un producto: logb(M ·N) = logb M + logb N

5. P5 El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos delos factores

6. P6. Logaritmo de un cociente: logb

M

N= logb M − logb N

7. P7. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menosel logaritmo del divisor.

8. P8. Logaritmo de una potencia: logb Mn = n logb N

9. P9. El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado porel logaritmo de la base (del mismo)

10. P10. Logaritmo de una Raíz: logbn√

M =logb M

n

11. P11. El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad sub-radical dividido entre el índice de la raíz.

12. P12 En todo sistema de logaritmos, si se eleva a la base y al númeroa una potencia “n”,o a una raíz “n”, el resultado es igual al logaritmodado, no varia.

logb N = logbn Nn = log n√b

n√

N

Cambio de un sistema a otro

logb N =loga N

loga b

Cologaritmo.- Se llama cologaritmo de un número, al logaritmo delrecíproco de un número

cologb = logb

(1

N

)= − logb N

- 80


2.5.2. Ejercicios Ilustrativos

Ejemplo 2.43 Hallar log8 0,125

Solución:

log8 0.125 ⇔ log8 0.125 = x

⇔ 8x = 0.125 =1

8= 8−1 ⇒ x = −1

∴ log8 0.125 = −1

Ejemplo 2.44 Hallar log9√

3 0.1

Solución:log9

√3 0.1 ⇔ (9

√3)x = 0.1

sea a = 0.1 = 0.1111111 . . . (2.1)

multiplicando por 10 ambos miembros en ecuación (2.1)

10a = 1.1111111 . . . (2.2)

(2.2) - (2.1) : 9a = 1 ⇒ a =1

9=

1

32= 3−2 ⇒ a = 3−2

Luego

(9√

3)x = 0.1

(32312 )x = 3−2

352x = 3−2 ⇒ 5

2x = −2 ⇒ x =

−4

5

∴ log9√

3 0.1 =−4

5

Ejemplo 2.45 Hallar el valor de x para que se cumpla la igualdad 5 log x −log 288 = 3 log

(x

2

)

Solución: Aplicando propiedad de logaritmo de una potencia y cociente

log x5 − log 288 = log(x

2

)3

logx5

288= log

(x

2

)3

- 81


Igualando logaritmos

x5

288=

(x

2

)3

=x3

8⇒ x3 = 0 ∨

(x2

288− 1

8

)= 0

x2 =288

8= 36 ⇒ x = 6 ∨ x = −6

Por tanto el valor que puede tomar x es 6 ∴ x = 6

Observación: x no pude tomar el valor de -6 debido a que x5 y(x

2

)3

tienenque ser positivos por definición de logaritmos

Ejemplo 2.46 Hallar el valor de y para que se cumpla la igualdad

logb(y + 1) + logb(y − 5) + logb

1

7= 0

Solución: Aplicando propiedades, producto de logaritmos y definición de log-aritmos

(y + 1)(y − 5)

7= b0 ⇔ (y + 1)(y − 5)

7= 1 ⇒ y2 − 4y − 12 = 0

(y − 6)(y + 2) = 0 ⇒ y = −2 ∨ y = 6 ∴ y = 6

Ejemplo 2.47 Hallar el valor de x para que se cumpla la igualdad(

4

9

)4x−9

=

(9

4

)9x−4

Solución:(

4

9

)4x−9

=

(9

4

)9x−4

(4

9

)4x−9

=1(

4

9

)9x−4 ⇒(

4

9

)13x−13

= 1

⇒ 13x− 13 = 0 ⇒ x = 1

Ejemplo 2.48 En la siguiente ecuación logarítmica, encontrar la soluciónpositiva de “x”

log(x+3) 6− log(3+x) 4

log(4−x) 4= 1

A) 2 B) 4 C) 3 D) 6 E) Ninguno

- 82


Solución: Aplicando cambio de base en base 10:

log 6

log(x + 3)−

log 4

log(3 + x)log 4

log(4− x)

= 1 ⇔ log 6

log(x + 3)− log(4− x)

log(3 + x)= 1

común denominador log 6− log(4− x) = log(x + 3)

Propiedad de cociente

log6

4− x= log(x + 3)

6

4− x= x + 3

x2 − x− 6 = 0

(x− 3)(x + 2) = 0

De donde se tiene x = 3

Ejemplo 2.49 Hallar el valor de x para que se cumpla la igualdad

3log x+1 − 5log x−1 = 5log x − 3log x−1

Solución: sea y = log x

reemplazando y = log x en 3log x+1 − 5log x−1 = 5log x − 3log x−1

3y+1 − 5y−1 = 5y − 3y−1 ⇒ 3y+1 + 3y−1 = 5y + 5y−1

⇒ 3(y+1)+1−1 + 3y−1 = 5y−1 + 5y+(−1+1)

⇒ 3y−132 + 3y−1 = 5y−1 + 5y−151

⇒ 3y−1(32 + 1) = 5y−1(1 + 51)

⇒ 10 · 3y−1 = 6 · 5y−1 ⇒ (2)(5) · 3y−1 = (2)(3) · 5y−1

⇒ 3−1 · 3y−1 = 5−1 · 5y−1 ⇒ 3y−2 = 5y−2

3y−2 = 5y−2 (2.3)

la ecuación (2.3) se verifica si los exponentes de 3 y 5 son cero es decir si

y − 2 = 0

de donde y = 2reemplazando y = 2 en y = log x

2 = log x ⇒ x = 100

- 83


Ejemplo 2.50 Resolver el sistema de ecuaciones{

log√2(y − x) = 43x · 2y = 576

Solución{log√2(y − x) = 43x · 2y = 576

≡{

y − x = (√

2)4

3x · 2y = 576≡

{y − x = 43x · 2y = 576

≡{

y − x = 4 (♣1)3x · 2y = 576 (♠2)

de (♣1) se tieney = x + 4 (♣1.2)

reemplazando y = x + 4 en la ecuación (♠2)

3x · 2x+4 = 576

de donde

3x · 2x · 24 = 576 ⇒ 3x · 2x =576

24= 36 ⇒ 3x · 2x = 6x = 62 ⇒ x = 2

reemplazando x = 2 en (♣1) se tiene y = 6∴ x = 2, y = 6

Nota: 3x · 2x =3x

1

2x

=3x

(1

2

)x =

3

1

2

x

= 6x

- 84

Capítulo 3

PROBLEMAS DE ÁLGEBRA

3.1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS

3.1.1. Operaciones con expresiones algebraicas

3.1.2. Productos y cocientes notables

3.1.3. Teoremas del residuo. Divisibilidad

3.1.4. Ecuaciones de primer grado con una incógnita.Problemas

3.1.5. Descomposición factorial


1. Si los polinomios:A = 3x4 − 5x2 + x− 1; B = 2x4 + x3 − 2x + 3; C = 4x3 − x2 + 7; D =3x2−4x+2; E = x4−2x3+5x; F = −x3−9x; G = −x4−3x3−x2+3x−9.Calcular: M = A− {B + C − [D − E − (F + G)]} − x3

A) 2x4 B) x3 C) x4 D) 2x3 E) 2xRespuesta: C)

2. Simplificar:

E = 2x− {−y + [2− (−x− y − 2 + (x + y)])

A) x B) 0 C) y D) 2y E) 2x Re-spuesta : C)

85

UMSS - FCyT - Departamento de MatemáticasCAPÍTULO 3. PROBLEMAS DE ÁLGEBRA

3. Una persona A, tiene a pesetas, otra persona B tiene b pesetas, las dosjuntas su dinero y gastan en tres ocasiones diferentes una suma descono-cida x. En el momento de separarse, A toma una suma c. Lo que le quedaa B es:

A) a + b + 3c− x B) a + b + x− c C) a + b− x− c D)a + b− 3x− c E) a + b + 3x− cRespuesta: B)

4. Efectuar:(

a

√b

a+ b

√a

b

)2

A) 0 B) a C) 4ab D) −4ab E) N.A.Respuesta: C) 4ab

5. Efectuar: (√

5 + 2√

6)(√

5− 2√

6)

A) 10 B) 5 C)√

10 D) 1 E)√

13

6. Efectuar: (x2 + x + 6)(x2 + x− 3)− (x2 + x + 9)(x2 + x− 6)

A) 12 B) 18 C) 15 D) 36 E) 45

7. El primero y el último término de un binomio cuadrado perfecto son 36x2

y 4y2z2. ¿Cuál de los siguientes podría ser el término central

A) 24xyz B) 2xyz C) 12x2y2z2 D) 12xyz E) 6x2yzRespuesta: A) 24xyz

8. Si x2 − 3x + 2 ≡ (x− k)2 + p ¿Cuál es el valor de p ?

A) −14

B) 2 C) 3 D) −2 E) 1

9. Hallar el valor de: (a + b)(b + c)(a + c). A partir de estas condiciones:a + b + c = 6 a3 + b3 + c3 = 24

A) 64 B) 32 C) 16 D) 8 E) 4

10. Si a + b + c = 0, hallar el valor de:a2

bc+

b2

ac+

c2

ab

A) 3 B) −3 C) 1 D) 0 E) 6

- 86


11. Si: xy = b;1

x2+

1

y2= a, entonces (x + y)2 es igual a:

A) (a + 2b)2 B) a2 + b2 C) b(ab + 2) D) ab(b + 2)E) 1

a+ 2b

12. Si: (x− y)2 + (x− z)2 + (y − z)2 = 0, calcular:

√x5 + y5 + z5

(x + y + z)5

A) 9 B) 3 C) 1 D)1

3E)

1

9

13. Si: (a + b)2 + (a− b)2 = −2ab, Hallar el valor de:a2 + b2

ab+

a3 − b3

3ab

A) 1 B) 2 C) 3 D) 0 E) −1Respuesta: E) − 1

14. Si x =3√

3√

8 +3√

3−√8, calcular: x3 − 3x + 4

A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12

15. Si x + y + z + w = 2a. Simplificar:

(a− x)2 + (a− y)2 + (a− z)2 + (a− w)2

(x + y)2 + (x− y)2 + (z + w)2 + (z − w)2

A) 1 B) 2 C)1

2D) −1

2E) Ninguno

16. Si (s +1

x)2 = 45; Hallar (x2 − 1

x2)12

A) 15625 B) 16525 C) 156250 D) 12565 E) 16552

17. Sabiendo que: a + b + c = 1; ab + bc + ac = 2; determinar el valor de:3(a4b4 + c4)− 4(a3 + b3 + c3)

A) 0 B) −1 C) 23 D) 17 E) 6

18. EfectuarE = (x2 − y2)(x2 + y2) + 2y(x3 + y3)− (x2 − y2)2 − 2x2y(x + y)

A) x3 B) y3 C) 2x2y2 D) 0 E) x4

- 87


19. Efectuar

E = 3√

(2x + 3y + z − 2t)3 − 9y(2x + z − 2t)(2x + 3y + z − 2t)− (2x + z − 2t)3

A) 3x B) 3y C) 3z D) y E) z

20. Efectuar:

E =

{(a

b+

b

a

)2

+

(a

b− b

a

)2}2

− 4

{(a

b

)2

−(

b

a

)2}2

{(a

b

)3

+

(b

a

)3}2

−{(

a

b

)3

−(

b

a

)3}2

A) 4ab B)4

abC) 16ab D)

16

abE) 4

Respuesta : E) 4

21. ¿Que lugar ocupa el término que es idéntico en los cocientes notables,x700 − y300

x7 − y3;

x560 − y480

x7 − y6con respecto al primero de ellos?

A) 21avo B) 40avo C) 41avo D) 31avo

E) 42avo

22. En el cociente notable:x5m−1 − y12m−5

xm−5 − ym−1. Calcular el grado absoluto del

término central de su desarrollo.

A) 55 B) 60 C) 66 D) 70 E)80

23. Hallar el resto de la division

(15x4 + 9x2 + 13)3 + (15x4 + x2 + 11)2 + 13

15x4 + 9x2 + 10

A) 40 B) 41 C) 42 D) 28 E)26

24. Hallar el resto de la division:

(x− 2)7 + (x− 3)6 + (x− 4)5 + 10

(x− 2)(x− 3)(x− 4)

- 88


y dar la suma de los coeficientes de dicho resto.

A) 49 B) 211 C)−214 D) 46 E)47

25. Hallar el resto en la division

(x + 1)35 + 7(x + 1)28 + 3(x + 1)7 + 3

x2 + 2x + 2

A) 6 + 4x B) 5 + 4x C) 5 − 4x D)6− 4x E) 2− 4x

26. Calcular “m” si la division

(x2 + y2 + z2) + m(x4 + y4 + z4)

x + y + z

es exacta.

A) 1 B) −1 C) 2 D) −2 E)3

27. Hallar el resto de:xn+1 − (n + 1)x + n

(x + 1)(x− 1); Para n = número par positivo.

A) nx B) x C) 0 D) nx−n E)−nx+mRespuesta : C)

28. Si el siguiente polinomio :(mx + 1)2 + (m + x)2 + mx es divisible entre (x + 1). Calcular "m".

A) n2 B) −2 C) 4 D) 5 E) 0Respuesta : A)

29. Calcular "m" si el resto de la división de:x3 −mx2 + 7x− 1 entre x− 2, es el triple del resto de dividir:x2 − (m + 2)x− 11 entre x + 2

A) −3 B) 4 C) 5 D) 3 E) −4Respuesta : D)

- 89


30. Hallar el resto de dividir:P (x) = (x− 1)6x3(2− x3), entre (x2 − 2x− 2).

A) 128 B) −128 C) −216 D) 216 E) 0Respuesta : C)

31. Al dividir un polinomio P (x) entre (x + a)4 se obtuvo como residuo:(x3 − 3a2x + 2a3). Calcular el resto de dividir P (x) entre (x + a)2.

A) x + a B) 4 C) xa2 + 4x3 D) 4a3 E) x +4aRespuesta : D)

32. Al dividir un polinomio P (x) entre (x − 3)2 deja un residuo (x − 3). ¿Cuál es el resto de dividir el cuadrado de P (x) entre (x− 3)?

A) 3 B) 9 C) 0 D) −3 E) 8Respuesta : C)

33. Hallar el residuo de.[x3(n+2)

+ 33n

]÷ [x9 + 3]

A) 3n B) 33n C) 33n−1 D) 0 E) 1−3n3

Respuesta : D)

34. Resolver la ecuación:(a + b)x

a− b+

ax

a + b− a− b

a + b=

ax

a− b+

a + b

a2 − b2

A) 2b B) 2a C) 2 D) 2a+2b E)a + b

35. Resolver la ecuación:√

4a + b− 5x+√

4b + a− 5x = 3√

a + b− 2x

A) a B) 1 C) 2a D) 3a E)2b

36. ¿ Cuántos alumnos faltaron a la clase de algebra, sabiendo que el númerode los que faltaron es menor que 15, que disminuyendo dicho número essu mitad más 8, resulta igual a 4 veces su octava parte menos 2?

- 90


A) 8 B) 4 C) 14 D) absurdo E)Indeterminado

37. En una carretera de distancia 22,5 km., un ciclista avanza a 40 km/h,pero al llegar al tramo final, cambia su velocidad a 50 km/h, haciendoun tiempo total de 33 minutos. ¿Cuál es la longitud del tramo final?

A) 2 500 m B) 1 000 m C) 500 m D)2 000 m E) 1 500 mRespuesta: 2 500 m.

38. Dividir 196 en tres partes tales que la segunda sea el duplo de la primeray la suma de las dos primeras exceda a la tercera en 20.Respuesta: 36, 72 y 88

39. Un comerciante adquiere 50 trajes y 35 pares de zapatos por 16000 bo-livianos. Cada traje costó el doble de lo que costó cada par de zapatosmas 50 bolivianos. Hallar el precio de un traje y de un par de zapatos.Respuesta: Par de zapatos, 100 bs. ; traje 250 bs.

40. 6 personas iban a comprar una casa contribuyendo por partes iguales perodos de ellas desistieron del negocio y entonces cada una de las restantestuvo que poner 2000 bolivianos más . ¿Cuál era el valor de la casa?Respuesta: 24000 bs. costo de casa

41. El largo de un buque, que es 461 pies, excede en 11 pies a 9 veces elancho. Hallar el ancho.Respuesta: 50

42. Tengo 1.85 $ en monedas de 10 y 5 centavos. Si en total tengo 22 monedas,¿cuántas son de 10 centavos y cuántas de 5 centavos?

43. Hallar 3 números enteros consecutivos, tales que el duplo del menor másel triplo del mediano más el cuadruplo del mayor equivalga a 740.

44. Un hombre ha recorrido 150 kilómetros. En auto recorrió una distanciatriple que a caballo y a pie, 20 kilómetros menos que a caballo. ¿Cuántoskilómetros recorrió de cada modo?Respuesta: En auto 102 km.; a caballo, 34 km. y a pie 14 km.

45. La diferencia de los cuadrados de dos números enteros consecutivos es31. Hallar los números.Respuesta: 15 y 16

- 91


46. 5 personas han comprado una tienda contribuyendo por partes iguales.Si hubiera habido 2 socios más, cada uno hubiera pagado 800 bolivianosmenos. ¿Cuánto costó la tienda?Respuesta: 14000 bs.

47. En cada día, de lunes a jueves, gané 6 $ más que lo que gané el díaanterior. Si el jueves gané el cuadruplo de lo que gané el lunes, ¿cuántogané cada día?Respuesta: Lunes, 6 $; martes 12 $; mierciles 18 $ y jueves 24 $

48. Una sala tiene doble largo que ancho. Si el largo se disminuye en 6 m. yel ancho se aumenta en 4 m. la superficie de la sala no varía, Hallar lasdimensiones de la sala.Respuesta: Largo 24 m. y ancho 12 m.

49. Dentro de 4 años la edad de Adrián será el triplo de la de Roberto, yhace dos años era el quintuplo. Hallar las edades actuales.Respuesta: Edad actual de Adrián 32 años; edad actual de Roberto 8años

50. Si la ecuación : (n− 2)x2 + 3x + 1 = 0, es de 1er grado en x, es necesarioque "n" sea:

A) 1 B) −2 C) −1 D) 2 E) 3

51. Resolver:2− x

3+

3− x

4+

3

4=

x− 4

5.x− 5

6

A) −4 B) 8 C) −8 D) 4 E) 12

52. Despeje x de:2x + a

b− b− x

a=

3ax + (a− b)2

ab

A) b B) a C) ab D) 2a E) 2b

- 92


53. Resolver:3

3 +3

x +3

4

=3

3 +3

x +3

5

A) 1 B) −2

3C)

1

4D) 0 E) @x

54. Si la ecuación:a

b(x− a) =

b

a(x− b); es incompatible, es correcto que:

A) 2a− b = 0 B) a− b = 0 C) a+ b = 0 D) a2−3b = 0E) a + 2b = 0

55. Resolver: √3x− 2 +

√2x− 1 =

√5x− 4 +

√4x− 3

indicando luego la naturaleza de la raíz:

A) Primo B) Par C) Irracional D) Impar E)Fracción

56. Resolver para "x" :

ax− 1

a+

bx− 1

b= (2− a− b)x

A) a + b B) ab C)1

abD) a + b− 2 E) a− b

57. ¿ Para qué valor de del parámetro "n " la ecuación en x :

8nx + 2n− 9 = nx + 2(x + n + 7);

será incompatible?

A)7

2B) −7

2C)

2

7D) −2

7E)

3

7

58. Hallar el valor de a para que el grado del siguiente polinomio sea 9:

3xa+1y − 4a+2xay − 5x2

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 5

- 93


59. El polinomio: xm+3 + xn+1y + y4 es homogéneo. Hallar: m + n.

A) 4 B) 3 C) 5 D) 6 E) no se puede deter-minar

60. hallar 2a + b, si se tiene que:(2a− b)x2 + 4bx + 2c ≡7x2 + 20x− 5

A) 21 B) 17 C) 19 D) 11 E) 13

61. Hallar el valor de n, para para que el grado de (2xn+2y)3 sea 18.

A) 1 B) 3 C) 4 D) 5 E) 7

62. Hallar n de tal forma que la expresión:3

√3xn2 ÷ (2n

√x−2,5) + nx

n2

3+1

sea de grado7

3. Luego respecto al valor de n se puede afirmar:

A) 2, 1 < n < 2, 5 B) 1, 5 < n < 2, 2 C) 4 < n < 5D) 3 < n < 4

63. los polinomios: P (x) = 2(mx + n)2 + mx2 − 2n; R(x) = 4(9x2 + 8x + p)son idénticos. Hallar P (−1), sí además se sabe que: m > 0

A) 8 B) 12 C) −4 D) 0,5 < n < 1 E) 0 E)−6

64. Si Q(x) = x + 2x2 + 3x3 + 4x4 + . . . 100x100. Halle Q(−1)

A) 100 B) 99 C) 50 D) 25 E) 199

65. Encontrar el polinomio cuadrático F (x) que verifica:

F (x +1√2) + F (x +− 1√

2) ≡ 6x2 + 8x + 5 para luego indicar la suma de

sus coeficientes:

A) 1 B) 8 C) 2 D) 9 E) 13

66. Si: P (x; y) ≡ (abc+16)x−ayb−(bc+a)xbyc+(b−c)x−ayc es un polinomioidénticamente nulo. Calcular "a + b + c."

A) 8 B) 4 C) 2 D) 1 E) 0

- 94

UMSS - FCyT - Departamento de Matemáticas3.2. FRACCIONES ALGEBRAICAS

3.2. FRACCIONES ALGEBRAICAS

3.2.1. Fracción algebraica. Simplificación de fracciones

3.2.2. Operaciones con fracciones algebraicas

3.2.3. Ecuaciones fraccionarias de primer grado con dosincógnitas

3.2.4. Problemas con ecuaciones fraccionarias


1. El equivalente de:a−1b−1 + a−2b−1

b−2 − a−2, es :

A)1

a + bB)

b(a + 1)

(a + b)(a− b)C) a− b D) a + b E) Ninguno

Respuesta B)b(a + 1)

(a + b)(a− b)

2. Efectuar :x + 4

x− 3÷ x + 1

x− 1

A)x2 − 3x + 4

x2 − 2x + 3B)

x2 + 3x + 4

x2 − 2x− 3C)

x2 + 3x− 4

x2 − 2x− 3

D)x2 − 3x− 4

x2 + 2x + 3E) ninguno

3. Para que valores de m, la expresión mostrada no está definida en elconjunto de los números reales.

1

m2 −m− 2

m2 − 4

A) {−2;−1} B) {−1; 2;−2} C) {2;−2} D) {−1; 2}E) {1;−1; 2;−2}

4. ¿ Cuál es el M.C.D. de P (x); Q(x) y R(x)?

P (x) = 6x2(x+1)3(x−1)3; Q(x) = 8x(x+1)2(x+2); R(x) = 12x2(x+1)2(x+3)2

A) x2 + x + 1 B) (x− 1)(x2 + 1) C) (x + 1)(x2 − 1)D) x(x2 − 1) E) 2x(x + 1)2

- 95


5. El producto de dos polinomios es x4 − 18x2 + 81 y el cociente de suM.C.M. y su M.C.D. es x2 − 6x + 9. Determinar es M.C.D. de dichospolinomios.

A) x2 − 9 B) x + 1 C) x − 1 D) (x + 1)(x + 3) E)x + 3

6. La expresión simplificada de : 2− 2

1− 2

2− 2

x2

; es :

A) 1 B) 2x2 C) 0 D) 2x E) x2

7. Si a + b + c = 0; donde a 6= 0; b 6= 0; c 6= 0, hallar el valor de :(

a− b

c+

b− c

a+

c− a

b

)(c

a− b+

a

b− c+

b

c− a

)

A) −1 B) 3 C) 9 D) 8 E) 0

8. Si :a

b=

c

d.

Reducir :(a + c)(b + d)

(a + b + c + d)− ab

a + b− cd

c + d

A) 1 B) −1 C) 0 D) 2 E) −2

9. ¿Cuál debe ser el valor de "n" para que la fracción :x3 − nx2 + 19x− n− 4

x3 − (n + 1)x2 + 23x− n− 7admita simplificación?

A) 7 B) 6 C) 5 D) 15 E) 8

10. Simplificar la fracción f =6x2 − 8xy − 8y2 + 26yz − xz − 15z2

12x2 − xy − 6y2 + 29yz + xz − 35z2y mar-

car la suma del denominador y denominador

A) 7x + y + 2z B) 7x − y + 2z C) 6x − y + 2zD) 6x + y + 2z E) 6x + 2z

11. Si mab = nac = pbc = 4, simplificar f =mnpabc(ab + ac + bc)(m + n + p)

(a + b + c)(mn + mp + np)A) 1 B) 4 C) 16 D) m+n+p E)a + b + c

- 96

UMSS - FCyT - Departamento de Matemáticas3.2. FRACCIONES ALGEBRAICAS

12. calcular m−n si la fracción f =(4m + n)x2 + 5xy + 3(2m− 1)y2

(m− 2n)x2 + 10xy − 7(n + 1)y2es in-

dependiente de x y y. A) 20 B) 7 C) 11 D)8 E) 6Respuesta 11

13. Simplificar f = (x3 − 7x + 6

x2 − 2x− 15)÷ (

x3 − 2x2 − x + 2

x2 − 4x− 5)

A)x + 2

x + 1B)

x− 2

x− 1C)

x− 1

x + 2D) x+1

E) 1

14. Simplificar : f =

(b

a + b+

2b2

a2 − b2

)(b2

a− b+

3b2

a + b− 2ab2

a2 − b2

)

4b

a− a + b

a− b+

a− b

a + b

A)a2 − b2

−2B) −a C)

a

bD)

a(a2 − b2)

−2E) Ninguno

Respuesta: D)a(a2 − b2)

−2

15. La diferencia de dos números es 6 y la mitad del mayor excede en 10 a

los3

8del menor. Hallar los números.

Respuesta: 62, 56.

16. Un número se aumento en 6 unidades; esta suma se dividió entre 8 ; alcociente se le sumó 5 y esta nueva suma se dividió entre dos , obteniendo4 de cociente. Hallar el número.Respuesta: 18.

17. Un hombre gasta la mitad de su sueldo mensual en el alquiler de la casa

y alimentación de su familia y3

8del sueldo en otros gastos. Al cabo de

15 meses ha ahorrado 300 $. ¿Cuál es su sueldo mensual?Respuesta: 160 $

18. ¿A qué hora, entre las 9 y 10 coinciden las agujas del reloj?

19. Adrián y Beto trabajando juntos hacen una obra en 6 días, Beto solopuede hacerla en 10 días. ¿En cuántos días puede hacerla Adrián?Respuesta: 15 días

- 97


20. Un capataz contrata un obrero ofreciéndole un sueldo anual de 3000 $ yuna sortija. Al cabo de 7 meses el obrero es despedido y recibe 1500 $ yla sortija. ¿ Cuál era el valor de la sortija?Respuesta: 600 $

21. Un padre de familia gasta los3

5de su sueldo anual en atenciones de su

casa;1

8en ropa,

1

20en paseos y ahorra 810 $ al año. Cuál es su sueldo

anual?Respuesta: 3600 $

22. Un comandante dispone sus tropas formando un cuadrado y ve que lequedan fuera 36 hombres. Entonces pone un hombre más en cada ladodel cuadrado y ve que le faltan 75 hombres para completar el cuadrado.¿Cuántos hombres había en el lado del primer cuadrado y cuántos hom-bres hay en la tropa?Respuesta: Cantidad de hombres en el lado del 1er cuadrado, 55 hombres;Hombres en la tropa, 3061

23. Un número de dos cifras excede en 18 A seis veces la suma de sus cifras.Si la cifra de las decenas excede en 5 a la cifra de las unidades, ¿cuál esel número?Respuesta: 72.

24. Un hombre compró un bastón, un sombrero y un traje. Por el bastón

pagó 15 $. ¿El sombrero y el bastón le costaron los3

4del precio del traje

y el traje y el bastón 5 $ más que el doble del sombrero. ¿Cuánto le costocada cosa?Respuesta: Bastón, 15 $; sombrero, 45 $; traje, 80 $

25. Un conejo es perseguido por un perro. El conejo lleva una ventaja inicialde 50 de sus saltos al perro. El conejo da 5 saltos mientras el perro da2, pero el perro en 3 saltos avanza tanto como el conejo en 8 saltos.¿Cuántos saltos debe dar el perro para alcanzar al conejo?Respuesta: 300 saltos

26. Una liebre lleva una ventaja inicial de 60 de sus saltos a un perro. Laliebre da 4 saltos mientras el perro da 3 , pero el perro en 5 saltos avanzatanto como la liebre en 8. ¿Cuántos saltos debe dar el perro para alcanzara la liebre?Respuesta: 225. saltos

- 98

UMSS - FCyT - Departamento de Matemáticas3.3. SISTEMAS DE ECUACIONES

27. Dos personas A y B, distantes entre si 70 km, parten en el mismo in-stante y van uno hacia el otro. A va a 9 km, por hora y B a 5 km porhora. ¿Qué distancia ha andado cada uno cuando se encuentran?

28. Un tren de carga que va a 42 km por hora es seguido 3 horas despuéspor un tren de pasajeros que va a 60 km por hora. ¿ En cuántas horasel tren de pasajeros alcanzará al de carga y a qué distancia del punto departida?

3.3. SISTEMAS DE ECUACIONES

3.3.1. Sistema de ecuaciones de primer grado con 2 in-cógnitas

3.3.2. Métodos de resolución. Problemas

3.3.3. Sistema de ecuaciones de primer grado con 3 in-cógnitas

3.3.4. Métodos de resolución. Problemas


1. Defina la condición que debe cumplir a y b, ab 6= 0 de modo que el sis-tema adjunto.

{x− y − a = 0x(x2 − b)− y(y2 − b)) = 0

presente soluciones imaginarias.A) a2 − 4b < 0 B) 2a2 − b < 0 C)

a

2

2 − 3b > 0 D)a

2

2 − b > 0

E) a2 − 2b > 0

Respuesta : D)

2. Un terreno cuadrado se vende en dos lotes. El primero es rectángulo unode cuyos lados mide 30m y el otro los 3/5 del lado del cuadrado; el se-gundo lote se vende en S/,12400 arazón de S/,2, 50 el m2. Calcule el ladodel cuadrado.

- 99


A) 80 B) 62 C) 50 D) 43 E) 92

Respuesta : A)

3. Pedro, Pablo y Juan son hermanos. Pablo tiene 11 años , Juan tiene 5años más que pedro y la suma de los anos de Juan y pedro no alcanza alos de Pablo. ¿Cuántos años tiene Pedro, si su edad es un número impar?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5Respuesta : A)

4. Calcule m de modo que el sistema{

3x− 6y = 15x + my = 2

se verifique para valores positivos de x y negativos de yA) m < −12 B) m < −10 C) m > 10 D) m > 12 E) m < 0Respuesta : A)

5. Del sistema

ax = by =1

x+

1

y+

1

zdespeje y en términos de a, b y c

A)√

a + b + c

aB)√

a + b + c

bC)

√a + b + c

cD)

a√a + b + c

E)b√

a + b + cRespuesta : B)

6. Calcular : x− y de: {10x + 9y = 88x− 15 = −1

A) 6 B)1

2C) 3 D)

1

6E)

1

3

7. ¿Qué valor de "x" satisface el sistema{

9x− 4y = 23x + 8y = 3

?

- 100

UMSS - FCyT - Departamento de Matemáticas3.3. SISTEMAS DE ECUACIONES

A) 1 B)1

2C)

1

3D)

1

4E)

1

6

8. Calcular el valor de "x + y"

5√x− 3√

y=

3

24√y− 2√

x=

1

3

A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13

9. Encontrar el valor de "x" del sistema :{

mx− 2y = 33x + y = 4

; m 6= 0

A)3m− 8

m + 6B)

3m + 8

m− 6C)

3m + 8

m2 + 6D)

3m + 8

m + 6E) Ninguno

10. Halle el valor de "x" del sistema :

x + y − 1

x− y + 1= a

x + y − 1

x− y + 1= ab

A)a + 1

ab + 1B)

a− 1

ab + 1C)

a + 1

ab− 1D)

a + 1

a + bE)

b + 1

ab + 1

11. Calcular : a− b, si el siguiente sistema :{

3x + 5y = 1ax− by = 10

admita infinitas soluciones

A) 20 B) 40 C) 30 D) 60 E) 80

12. Luego de resolver el sistema:

2x− 3y + 8z = 26x + 9y − 12z = 34z + 6y + z = 5

;

- 101


Calcular el valor de :x

yz

A) 6 B) 12 C)5

2D) 3 E) Ninguno

13. Halle el valor de "n" para que el sistema :

3x + 7y + 2z = 12x + 3y + 7z = 1nz + 2y + 3z = 0

,

se cumple que: y = z

A) −1 B) 0 C) 1 D) 2 E) Ninguno

14. El perímetro de un cuarto rectangular es 18 m y 4 veces el largo equivalea 5 veces el ancho. Hallar las dimensiones de cuarto.Respuesta: 5m× 4m

15. 5. Hallar tres números tales que la suma del 1ro y el 2do excede en 18 altercero; la suma del 1ro y el 3ro excede en 78 al segundo, y la suma del2do y el 3ro excede en 102 al 1ro.Respuesta: 48, 60, 90

16. Dos bolsas tienen 200 bolivianos. Si de la bolsa que tiene mas dinerose sacan 15 bolivianos y se ponen en la otra, ambas tendrían lo mismo.¿Cuánto tiene cada bolsa?Respuesta: 115 bs. ; 85 bs.

17. Cierto número de personas alquiló un ómnibus para una excusión. Si hu-bieran ido 10 personas más, cada uno habría pagado 5 bolivianos menos,y si hubieran ido 6 personas menos, cada una habría pagado 5 bolivianosmás. ¿Cuántas personas iban en la excursión y cuánto pago cada una ?Respuesta: N ro de personas,30; precio de pago, 20 bs.

18. Dos números están en la relación de 3 a 5. Si cada número se disminuyeen 10, la relación es de 1 a 2. Hallar los números.Respuesta: 30 y 50

- 102

UMSS - FCyT - Departamento de Matemáticas3.4. TEORÍA COMBINATORIA BÁSICA

19. En 5 horas Adrián camina 4 km. más que Roberto en 4 horas, y Adriánen 7 horas camina 2 km. más que Roberto en 6 horas. ¿Cuántos km.anda cada uno en cada hora?Respuesta: Adrián 8 km.; Roberto, 9 km.

20. El perímetro de un rectángulo es 58 m. Si el largo se aumenta en 2 m. yel ancho se disminuye en 2 m, el área se disminuye en 46m2. Hallar lasdimensiones del rectángulo.Respuesta: 25m× 4m

3.4. TEORÍA COMBINATORIA BÁSICA

3.4.1. Permutaciones

3.4.2. Problemas

3.4.3. Binomio de Newton. Triángulo de Pascal


1. ¿ De cuántas maneras pueden seleccionarse una consonante y una vocalde las letras de la palabra cautivo?Respuesta : 12.

2. Hay 8 candidatos para un concurso de Literatura, 7 para uno de matemáti-cas y 4 para uno de Ciencias naturales. ¿de cuántas maneras pueden sercalificados los concursantes?

Respuesta : 224.

3. ¿ Cuántas ordenaciones diferentes pueden formarse tomando 5 letras dela palabra cubierto?Respuesta : 6720.

4. Si el cuádruplo del número de variaciones de n objetos tomados de 3 en 3es igual al quíntuplo del número de variaciones de n−1 objetos tomadosde 3 en 3, hallar n.Respuesta : 15.

5. ¿Cuántas permutaciones pueden formarse con las letras de la palabracuaderno? ¿Cuántas comenzaran con c y terminarán con o?Respuesta : 403020., 144.

- 103


6. ¿Cuantas combinaciones diferentes pueden formarse tomando 4 de losdíjitos 3, 4, 7, 5, 8, 1? ¿ Cuátos números diferentes pueden formarse con 4de estos díjitos’?Respuesta : 15., 360.

7. ? cuántos cambios pueden hacerse con un llamador de 7, siendo siemprela nata mas aguda campanasRespuesta: 720.

8. ¿Cuántas permutaciones pueden formarse con las letras de la p alabraestudio, sin que se separen la letras t y u?Respuesta: 1440.

9. En el consejo de una ciudad hay 25 consejos y 10 oficiales. ¿ Cuántoscomites pueden formarse si deben constar de 5 consejeros y 3 oficiales?Respuesta: 6375600.

10. Hallar el número de combinaciones de 50 objetos tomados 46 a un tiempo.Respuesta: 230300.

11. ’‘De cuántas maneras pueden ordenarse las letras de la palabra vinals,si las letras ia deben ocupar solamente lugares impares?Respuesta: 144.

12. En una biblioteca hay 20 libros latinos y 6 griegos. ¿De cuántas maneraspueden colocarse en un estante los libros en grupos de 5, de los cuales 3sean latinos y 2 griegos?Respuesta: 2052000.

13. ¿De cuántas maneras pueden repartirse 12 objetos entre 4 personas?

14. En unas elecciones se necesitan para tres díjitos 10, 15 y 20 agentes re-spectivamente. Si hay 45 solicitantes ¿de cuántas maneras pueden serelegidos para los diferentes distritos?

15. ¿De cuántas maneras pueden ordenarse 10 hojas de examen si debenquedar de tal manera que la hoja mejor contestada y la peor no quedenjuntas?Respuesta: 2903040.

16. Se dispone de 3 señoritas de ojos verdes, 4 señoritas de ojos negros y 2señoritas de ojos pardos. Se desea formar un grupo de 6 señoritas, donde

- 104

UMSS - FCyT - Departamento de Matemáticas3.4. TEORÍA COMBINATORIA BÁSICA

al menos una de ellas tenga ojos verdes. ¿De cuántas maneras podemoshacerlo considerando las señoritas diferentes entre si?

A) 681 B) 168 C) 56 D) 28 E) 70Respuesta : C)

17. La suma de los números combinatorios de tres filas consecutivas del trián-gulo de Pascal es 3584. ¿Cuál es la primera fila consecutiva?

A) 7a. fila B) 8va. fila C) 9na. fila D) 10ma. filaE) 11ava. filaRespuesta: B)

18. Se coloca los elementos del triángulo de Pascal, uno a continuación deotro. ¿Qué número ocupa el lugar 155?


19. Encuentre el coeficiente del término que tenga como parte literal a2b5x5y5

en (a + b + x + y)12

A)11!

5!B)

12!

4!C)

12!

5!7!D)

11!

2× 5!E)

10!

3!4!5!Respuesta: D)

20. En el desarrollo de (1− x2)−2 existe un término tal que al sumar su co-eficiente con el exponente de x se obtiene 39. ¿ Qué lugar ocupa dichotérmino?


- 105


3.5. RADICACIÓN Y EXPONENTES

3.5.1. Raíz. Expresiones radicales

3.5.2. Teoría de exponentes

3.5.3. Operaciones de expresiones algebraicas

3.5.4. Operaciones con radicales


1. Determinar el valor de la expresión

E =

{a−2 − b−2

a−1 + b−1

}−1{a−1 − b−1

a−2b−2

}

A) a2 B) b2 C)a2b2 D) 1 E)ab

2. Simplificar la expresión:

E = (x−2 + y−2)−1(xy−1 + x−1y)

A) x B) y C)x

yD) 1 E)

xy

3. simplificar

E =3√

x2y 4√

y3z5√

xz2

313

√5√

x 4√

y 20√

z

A) x B) z35 C) z D) xyz E) Ninguno Respuesta:

B)z35

4. Calcular el valor de

E =

{1285

n√

4√

725n+3

}645n

A) 7 B) 1 C) 49 D) 343 E)2401

- 106

UMSS - FCyT - Departamento de Matemáticas3.5. RADICACIÓN Y EXPONENTES

5. Si xxx= a; xx = b; entonces se puede afirmar que:

A) bx = a B) xb = a C) b = ax D) xa = b E) ninguno

6. El valor numérico de√

x√

x cuando x =1

2, es:

A) 4√

8 B)13√

2C) 2 D)

4√

2

2E)

1

2

7. Efectuar:

[[(6561)

12 ]

12

] 12

A) 6√

3 B)√

3 C) 8√

3 D) 3 E) 8√

27

8. En la expresión reducida de :

A =(ab−3.c3

) 12 .(a7b4.c2)

13 (a−5.bc)

16 en cuándo excede el exponente de

c al exponente de a

A)2

3b) 1 C)

1

3D)

4

3E)

5

3

9. Siendo a + b = 2; reducir:

R =

√[aaa]a2

.[a−a2a]ab

A) 2 B) 4 C) 1 D) 16 E) 8

10. Simplificar

M =[

2a

√1

a2

]8a

.18

√(

8√

a2a)4a + (

8√

a4a)2a

A) 1 B) a C) a8 D) a16 E) 256

11. Simplificar:[x3+8

√2x2

+ 3x + 4xq

32x2

]x+2

A) 2 B) 12

C) 4 D) 8 E) 16

- 107


3.6. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

3.6.1. La ecuación de segundo grado

3.6.2. Propiedades de raíces

3.6.3. Resolución. Solución gráfica

3.6.4. Problemas con ecuaciones de segundo grado

3.6.5. Teoría de las ecuaciones de segundo grado


1. Formar las ecuaciones cuyas raíces son−4

5,3

7Respuesta: 35x2 + 13x− 12 = 0.

2. Formar las ecuaciones cuyas raíces sonm

n,− n

mRespuesta: mnx2 + (n2 −m2)x−mn = 0

3. Formar las ecuaciones cuyas raíces son 7± 2√

5.Respuesta: x2 − 14x + 29 = 0.

4. Hallar los valores de m para que la ecuación x2 − 15 − m(2x − 8) = 0tenga raíces igualesRespuesta: 3, 5.

5. ¿Para qué valores de m las raíces de la ecuaciónx2 − bx

ax− c=

m− 1

m + 1serán

iguales en magnitud pero de signos contrarios?

Respuesta:a− b

a + b.

6. Hallar la condición para que una de las raíces de ax2 + bx + c = 0 seaiguale n veces la otra.Respuesta: nb2 = (1 + n)2ac

7. formar la ecuación cuyas raíces sean los cuadrados de la suma y de ladiferencia de las raíces de 2x2 + 2(m + n)x + m2 + n2 = 0.Respuesta: x2 − 4mnx− (m2 − n2)2 = 0.

8. ¿Para qué valor de m la expresión y2 + +2xy + 2x + my − 3 podrádescomponerse en dos factores racionales?Respuesta: 2

- 108

UMSS - FCyT - Departamento de Matemáticas3.6. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

9. Hallar el valor de m que haga qué la expresión 2x2 + mxy + 3y2− 5y− 2sea equivalente al producto de dos factores lineales.Respuesta: 6= 7

10. La suma de dos números es 9 y la suma de sus cuadrados 53. Hallar losnúmeros.Respuesta: 7 2

11. Un número es el triplo de otro y la diferencia de sus cuadrados es 1800.Hallar los números.Respuesta: 15, 45

12. Hallar 2 números consecutivos tales que el cuadrado del mayor excedaen 57 al triplo del menor.Respuesta: 8, 9

13. La diferencia de dos números es 7 y su suma multiplicada por el númeromenor equivale a 184. Hallar los números.Respuesta: N ro mayor, 15; N ro menor, 8

14. Una persona compró cierto número de libros por 180 $. Si hubiera com-prado 6 libros menos por el mismo dinero, cada libro le habría costado1 $más. ¿Cuántos libros compró y cuánto le costó cada una?Respuesta: 36 libros y 5 $

15. Una compañia de 180 hombres está dispuesta en filas. El número desoldados de cada fila es 8 más que el número de filas que hay. ¿Cuántasfilas hay y cuántos soldados en cada una?Respuesta: 10 filas; N ro de soldados, 18

16. Entre cierto número de personas compran un auto que vale 1200 $. Elel dinero que paga cada persona excede en 194 al número de persona.¿Cuántas personas compraron el auto?Respuesta: 6

17. Un tren emplea cierto tiempo en recorrer 240 km. Si la velocidad hubierasido 20 km por hora más que la que llevaba hubiera tardado 2 horasmenos en recorrer dicha distancia. ¿En qué tiempo recorrió los 240 km?Respuesta: 6 h.

18. Un hombre compro cierto número de naranjas por 7.50 bolivianos secomió 5 naranjas y vendiendo las restantes a 20 ctvos. más de lo que lecostó cada una recupero lo que había gastado. ¿Cuántas naranjas compró

- 109


y a qué precio?

19. El producto de dos números es 352, y si el mayor se divide por el menor,el cociente es 2 y el residuo 10. Hallar los números.Respuesta: 32 y 11

20. Se han comprado 2 piezas de tela que juntas miden 20 m. El metro decada pieza costó un número de bolivianos igual al número de metros dela pieza. Si una pieza costó 9 veces lo que la otra, ¿Cuál era la longitudde cada pieza?

21. Un hombre ha ganado 84 $ trabajando cierto número de días, si su jornaldiario hubiera sido 1 $ menos, tendría que haber trabajado 2 días máspara ganar 84 $, ¿cuántos días trabajó y cuál es su jornal?Respuesta: Dias trabajado, 12; Valor del joranal, 7 $

22. Los gastos de una excursión son 90 $. si desisten de ir 3 personas, cadauna de las restantes tendría que pagar 1 $ más. ¿Cuántas personas vanen la excursión y cuánto paga cada una?Respuesta: Personas que van 18; Valor de pago, 5 $

23. La edad de Roberto hace 6 años era la raíz cuadrada de la edad quetendrá dentro de 6 años. Hallar la edad actual.Respuesta: Edad actual 10 años

3.7. PROGRESIONES

3.7.1. Progresiones aritméticas. Progresiones geométric-as

3.7.2. Término enésimo. Suma de una progresión

3.7.3. Problemas con progresiones


1. ¿Cuántos términos hay que tomar de la progresión aritmética

5;9;13;17; . . .

para que la suma valga 10.877?Respuesta: 73 Términos

- 110

UMSS - FCyT - Departamento de Matemáticas3.7. PROGRESIONES

2. Hallar una progresión aritmética sabiendo que la suma de sus cuatrotérminos es igual a 26 y el producto de sus mismos términos vale 880Respuesta: El problema tiene 4 soluciones:(1) 2; 5; 8, 11; 14; . . .(2) 11; 8; 5, 2; −1; . . .

(3)13−√1609

2;

39−√1609

6;

39 +√

1609

6,

13 +√

1609

2; . . .

(4)13 +

√1609

2;

39 +√

1609

6;

39−√1609

6,

13−√1609

2; . . .

3. Hallar la suma de todos los números naturales de dos cifras.Respuesta: 4905

4. Una progresión aritmética tiene 20 términos. La suma de los términos queocupan lugares pares vale 250 y las de los términos que ocupan lugaresimpares vale 220. Hallar los términos centrales de la progresión.Respuesta: Los términos centrales son iguales, respectivamente a 22 y 25

5. hallar una progresión aritmética en la que la suma de un número cualquierade términos sea siempre el triple del número de términos elevado alcuadrado.Respuesta: 3; 9; 15; 21; . . .

6. Hallar la suma de todos los números de dos cifras que, al dividirlos por4, den como resto la unidad.Respuesta: 1210

7. En una P.A se sabe que la suma de los “a” primeros términos, es la sumade los “b” primeros como “a” es a “b” . Dar la razón de la progresión,siendo a 6= b.

A) a B) b C) a+b D) a−b E)0

8. Hallar tres números en progresión geométrica sabiendo que la suma delprimero y el tercero es igual a 52 y que el cuadrado del segundo es 100.Respuesta: (1) 50; 10; 2 o (2) 50; −10; 2, o los mismos números en ordeninverso

9. Hallar cuatro números en progresión geométrica tales que la suma de losextremos valga 27 y el producto de los medios sea igual a 72Respuesta: 3; 6; 12; 24. o en orden inverso 24; 12; 6; 3.

- 111


10. Hallar cuatro números en progresión geométrica sabiendo que la sumade los extremos es igual a 35 y la suma de los medios es igual a 30.Respuesta: 8; 12; 18; 27.

11. Hallar el primer término y la razón de una progresión geométrica queconsta de nueve términos, tales tales que el producto de sus extremossea igual a 2.304 y la suma de los términos cuarto y sexto sea igual a 120Respuesta: (1) u1 = 3; q = 2 (2) u1 = −3, q = −2 (3) u3 =

768; q =1

2(4) u4 = −768; q = −1

2

12. Hallar an y sn en la progresión geométrica 2, 4, 8, . . . hasta 10 términos.Respuesta: 1024; 2046

13. Hallar an y sn en la progresión geométrica 1, 4, 16, . . . hasta 7 términos.Respuesta: 4096; 5461

14. Hallar an y sn en la progresión geométrica 48, 24, 12, . . . hasta 6 términos

Respuesta:3

2; 94

1

2

15. En cada uno de los ejercicios a, b y c, se dan 3 de los 5 elementos de unaproigresión geométrica. Calcular los otros dos términos

a) a1 = 1, an =−32

243, r = −2

3Respuesta: s6 =

135

243; n = 6

b) a1 = 2, a6 = 64, n = 6. Respuesta: r = 2; s6 =126

c) r = 2, s7 = 635, n = 7.Respuesta: a1 = 5; a7 = 230.

16. Interpolar 5 medios geométricos entre 18y 8.

Respuesta:1

4;1

2, 1, 2, 4

17. Hallar la media geométrica entre x2 y y2

Respuesta: xy

18. El tercer término de una progresión geométrica es 3, y el séptimo términoes 3/16. Calcular la razón y el primer término.Respuesta: r = 1

2, a1 = 12

- 112

UMSS - FCyT - Departamento de Matemáticas3.7. PROGRESIONES

19. El tercer término de una progresión geométrica es 9 y el sexto término es243 .Hallar el séptimo término y la suma de los primeros seis términos.Respuesta: a7 = 729; s6 = 364.

20. Un recipiente contiene 36 litros de alcohol puro. Se sacan seis litros y sereemplazan con agua. Si esta operación se efectúa seis veces, calcular lacantidad de alcohol puro que queda en el recipiente.Respuesta: 12 73

1273lts.

21. La media aritmética de dos números positivos diferentes es 5 y su mediageométrica es 4. Calcular los números.Respuesta: 2, 8.

- 113


- 114

Capítulo 4

GEOMETRÍA

La geometría estudia objetos denominados figuras geométricas que son sim-plificaciones de formas que aparecen en la naturaleza. A lo largo de siglos sefueron acumulando diferentes resultados acerca de las figuras geométricas lasque fueron estructurados en un conjunto de resultados denominados axiomasy teoremas; habiéndose usado como instrumento de obtención de resultados elmétodo deductivo de razonamiento. Sin embargo, la traducción de esos resul-tados aplicados a figuras concretas pueden describirse empleando instrumentoscomo la regla y el compás.

El objetivo del estudio de la geometría como preparación al ingreso pararealizar estudios universitarios, se refiere sobre todo a familiarizarse con losresultados más importantes conocidos como teoremas; y en algunos casos es-peciales es recomendable la comprensión de los fundamentos o causas que danlugar a dichos teoremas. Es recomendable emplear en la resolución de proble-mas instrumentos como la regla y el compás; apoyados en algunos puntos conrazonamientos deductivos.

Como otro objetivo del estudio de la geometría es el de resolver problemasrelativos a la determinación de figuras desconocidas ( incógnitas ) a partirde una información consistente también de figuras ( datos ) a través del usode teoremas y relaciones entre teoremas empleando para ello razonamientosdeductivos; habilidad que sustentará con mucho el aprendizaje de asignaturasespecíficas correspondientes a carreras del área de las ciencias y la tecnología.

115

UMSS - FCyT - Departamento de MatemáticasCAPÍTULO 4. GEOMETRÍA

4.1. NOCIONES PRELIMINARES

4.1.1. Axiomas ,postulados,teoremas

4.2. TEORÍA - EJEMPLOS

4.2.1. Reseña histórica:

El término Geometría deriva de dos voces GEO = TIERRA, METREIN =MEDIDA; medida de la tierra.

El origen de la geometría se debe a la necesidad del hombre de medir lastierras, específicamente en Egipto lugar donde los continuos desbordes del rioNilo provocaba la desaparición de límites en los terrenos adyacentes. Razónpor la cual, se hacia necesario un medio para restablecer estas demarcaciones,dando lugar a la que posteriormente sería una ciencia.

Entre los sabios que enriquecieron el conocimiento y desarrollo de lagemetría tenemos:Tales de Mileto (640 años A.C.)Pitágoras de Samos (569-470 A.C.)Euclides (384-275 A.C.)Platón (Siglo IV A.C.)Arquímedes de Sisacusa (287-212 A.C.)

TÉRMINOS MATEMÁTICOS:En matemáticas se emplean muchos términos matemáticos, entre los mas im-portantes se tiene:

Proposición Matemática: Se llama proposición matemática al conjunto depalabras que afirman o niegan propiedades matemáticas.

Axioma: Es una proposición evidente que no necesita ser demostrada.

Ejemplo: El todo es mayor que cualquiera de sus partes.Postulado: Es una proposición que se admite sin demostración.Ejemplo: Por dos puntos pasa una y sola una recta.

Teorema: Es una proposición que para su aceptación es necesario demostrar,consta de dos partes hipótesis y tesis.Hipótesis: Es la proposición inicial que se asume como verdadero.

- 116


Tesis: Es la proposición que se debe demostrar. Ejemplo: Si un triángulo esequilátero entonces es equiángulo.Hipótesis: triángulo equiláteroTesis: Es equiángulo

SEGMENTOSDefiniciones:

El punto: Se considera que el punto tiene posicion y carece de dimensiónalgunaLínea: Es un caso particular de un conjunto de puntos que carece de anchuray espesorLínea recta: Es aquella línea longitudinal alineada en una misma direcciónSemirrecta: Es cada una de las partes en que queda dividida una línea rectamediante un puntoPuntos Colineales: Son puntos que pertenecen a una misma rectaLínea Poligonal : Conjunto de dos o mas segmentos consecutivos trazadasen direcciones diferentesSegmento de recta: Es una porción de línea recta limitada por dos puntosSegmentos Congruentes: Son aquellos que tienen igual longitud

Propiedades:

P.1 El segmento total es igual a la suma de sus partesP.2 El segmento total es mayor que cualquiera de sus partesP.3 Toda recta que pasa por el punto medio de un segmento se dice que bisecaal segmento dado

Definiciones:

Ángulo es una porción del plano determinado por dos semirrectas que tienenun punto comúnElementos de un ángulo:

Vértice: Es el punto común de las semirrectasLados: Son las semirrectas

Clasificación de ángulos:a) Por su magnitud

Ángulo nulo: Su medida es igual a cero grados

- 117


Ángulos agudos: Son aquellos ángulos menores que 90o

Ángulos Rectos: Son aquellos cuyo ángulo es igual 90o

Ángulo Obtusos: Son aquellos ángulos mayores que 90o

Ángulos llanos: Son aquellos cuyo ángulo es igual 180o

b) Según su característica

Ángulos Complementarios: Son dos ángulos cuya suma es igual a90o

Ángulos Suplementarios: Son dos ángulos cuya suma es igual a 180o

c) Según su posición

Ángulos consecutivos o contiguos: Tienen el mismo vértice y un ladocomúnÁngulos adyacentes: Son dos ángulos consecutivos y suplementariosÁngulos opuestos por el vértice: Son los ángulos cuyos lados son semirrec-tas opuestasBisectriz de un ángulo: Es la semirrecta que divide al ángulo en dos partesigualesPropiedades de Ángulos:P.1 Los complementos de un mismo ángulo son igualesP.2 Los suplementos de un mismo ángulo son igualesP.3 Los ángulos opuestos por el vértice son iguales

Definición 4.2.1 (Rectas paralelas): Dos rectas son paralelas, cuando estandoen un mismo plano no tienen ningún punto común

Definición 4.2.2 (Recta transversal) Es una recta que intersecta a dos o masrectas en puntos diferentes

Paralelos y secantes

Teorema 4.2.3 Dos ángulos que tienen sus lados perpendiculares, son igualeso suplementarios.

Teorema 4.2.4 Dos ángulos que tienen sus lados respectivamente paralelos,son iguales o suplementarios.

- 118


123 4

56

7 8E

B

ALL

2L

1C

O

3

Figura 4.1:

Teorema 4.2.5 Los ángulos alternos internos son iguales ∠3 = ∠5, ∠4 = ∠6(véase Figura 4.1)

Teorema 4.2.6 Los ángulos correspondientes son iguales ∠2 = ∠6, ∠1 =∠5, ∠3 = ∠7, ∠4 = ∠8 (véase Figura 4.1)

Teorema 4.2.7 Los ángulos alternos externos son iguales. ∠2 = ∠8, ∠1 = ∠7(véase Figura 4.1)

Teorema 4.2.8 Los ángulos conjugados internos son suplementarios. ∠3 +∠6 = 180o, ∠4 + ∠5 = 180o (véase Figura 4.1)

Teorema 4.2.9 Los ángulos conjugados externos son suplementarios. ∠2 +∠7 = 180o, ∠1 + ∠8 = 180o (véase Figura 4.1)

TRIÁNGULOS

Definición 4.2.10 (Triángulo) Es una porción del plano limitado por tresrectas que se cortan de dos en dos.

(véase Figura 4.2 página 120)α, β, γ; Ángulos interiores A, B, C : Vérticesx, y, z: Ángulos exteriores AB; AC; CB : Lados

ClasificaciónPor sus lados:a) Triángulo equilátero: Tienen tres lados igualesb) Triángulo escaleno: Tienen tres lados desigualesc) Triángulo Isósceles: Tienen dos lados iguales y uno desigual

- 119


A

BC

x

yz

α

βγ

Figura 4.2:

Por sus ángulos:a) Triángulo Rectángulo: Tienen un ángulo rectob) Triángulo obtusángulo: Tienen un ángulo obtusoc) Triángulo acutángulo: Tienen tres ángulos agudos

Teorema 4.2.11 La suma de los ángulos interiores de un triángulos es de180o grados

Teorema 4.2.12 En todo triángulo un ángulo exterior es igual a la suma delos ángulos interiores no adyacentes

Teorema 4.2.13 La suma de los ángulos exteriores de un triángulo es iguala 360o

Teorema 4.2.14 En todo triángulo isósceles, a lados iguales se oponen ángu-los iguales.

Teorema 4.2.15 Cada ángulo de un triángulo equilátero es igual a 60o

Teorema 4.2.16 Cada ángulo agudo de un triángulo rectángulo isósceles esigual a 45o

LÍNEAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO

Definición 4.2.17 (Mediana) Es el segmento de recta trazada desde un vér-tice hasta el punto medio del lado opuesto de un triángulo.

El punto de intersección de las 3 medianas se llama Baricentro

Definición 4.2.18 (Bisectriz) Es el segmento de recta que divide en dos partesiguales el ángulo interior de todo triángulo.El punto de intersección de las bisectrices se llama Incentro.

- 120


Definición 4.2.19 (Mediatriz) Es el segmento de recta perpendicular trazadaen el punto medio de cada lado del triángulo.El punto de intersección de las mediatrices se llama Circuncentro

Definición 4.2.20 (Altura) Es el segmento de recta perpendicular trazadadesde un vértice al lado opuesto.El punto de intersección de las 3 alturas se llama Ortocentro.

Congruencia de triángulos

Definición 4.2.21 Dos o mas triángulos son congruentes cuando tienen lamisma forma y tamaño. Por lo tanto si dos triángulos son congruentes suslados y sus lados correspondientes (homólogos) son iguales.

La congruencia de triángulos se indica por: “∼=”.Por ejemplo: El triángulo ABC es congruente al triángulo A′B′C ′, se denota:4ABC ∼= M A′B′C ′ (ver Figura 4.3)

III

A B

C

A

'

B

C

' '

Figura 4.3:

Criterios de congruencia de triángulosLa congruencia de dos triángulos implica la igualdad respectiva de sus 6 ele-mentos.Criterio 1.- Dos o mas triángulos son congruentes si tienen dos lados y el án-gulo comprendido entre ellos respectivamente iguales (L.A.L.) ( véase Figura4.4 página 122)

Criterio 2.- Dos o mas triángulos son congruentes si tienen un lado igual ydos ángulos adyacentes a el, respectivamente iguales (A.L.A.) (ver Figura 4.5)

Criterio 3.- Dos o mas triángulos son congruentes si tienen los tres lados deun triángulo iguales a los correspondientes lados del otro triángulo(L.L.l.) (ver

- 121


4I ∼= 4II

ab a b

III

ϕ ϕ

Figura 4.4:

4I ∼= 4II

I II

ϕ ϕβ β

a a

Figura 4.5:

4I ∼= 4II

I II

a

b bcc

a

Figura 4.6:

- 122


Figura 4.6)

Criterio 4.- Dos triángulos rectángulos son congruentes cuándo tienen respec-tivamente iguales un ángulo agudo y un cateto (A.C.) (ver Figura 4.7 página123)

4I ∼= 4II

a aI II

θ θ

Figura 4.7:

Criterio 5.- Dos triángulos rectángulos son congruentes cuándo tienen respec-tivamente iguales los dos catetos (C.C.) (ver Figura 4.8 página 123)

4I ∼= 4II

I IIa

b b

a

Figura 4.8:

Criterio 6.- Dos triángulos rectángulos son congruentes cuándo tienen respec-tivamente iguales la hipotenusa y un ángulo agudo (H.A.) (ver Figura 4.9)

4I ∼= 4II

I II

θ θ

c c

Figura 4.9:

- 123


Criterio 7.- Dos triángulos rectángulos son congruentes cuándo tienen respec-tivamente iguales la hipotenusa y un cateto (H.C.) (ver Figura 4.10 página 124)

4I ∼= 4II

I II

c ca a

Figura 4.10:

Teorema 4.2.22 En todo triángulo isósceles, se traza la altura relativa al ladodesigual, el triángulo quedara dividido en dos triángulos rectángulos parcialescongruentes entre si:

Teorema 4.2.23 En todo triángulo isósceles a lados iguales se oponen ángulosiguales entre sí:

Teorema 4.2.24 todo triángulo equilátero es equiángulo

Propiedades de la bisectriz

Teorema 4.2.25 Todo punto situado sobre la bisectriz de un ángulo equidistade sus lados.

Propiedades de la mediatriz

Teorema 4.2.26 Todo punto situado sobre la mediatriz de un segmento equidistade los extremos del segmento.

Paralela media en un triángulo

Teorema 4.2.27 Si desde el punto medio de un lado de un triángulo se trazauna paralela a otro lado , está paralela pasa por el punto medio del segundolado y es igual a la mitad del tercer lado.

Teorema 4.2.28 El ángulo formado por la mediana y la altura trazada desdeel vértice del ángulo recto de un triángulo rectángulo, es igual a la diferenciade los ángulos agudos

- 124


AC

B

D

E

F

Figura 4.11:

Polígonos

Definición 4.2.29 (Línea quebrada) Es un conjunto de segmentos de rectasque siguen direcciones distintas. (ver Figura 4.11 página 125)

- 125


Definición 4.2.30 (Lineal poligonal) Es una línea quebrada que se cierra so-bre si misma

Definición 4.2.31 Polígono es la porción del plano limitada por una líneapoligonal cerrada (figura formada por tres o mas segmentos que se cortan dedos en dos).

A

B

C D

E

β

β

α

α

α

2

3

1

1β

2

3

Figura 4.12:

Elementos del polígono(véase Figura 4.12)Lados: AB, BC, CD; DEVértices: A,B, C, D, etc.

Ángulos interiores: Son los ángulos formados por dos lados consecutivos.

Ejemplo 4.1 . α1, α2, α3, α4, ...etc. (véase Figura 4.12)

Ángulos exteriores: Son los ángulos formados por un lado y la prolon-gación del lado consecutivo sobre los vertices. Ejem. β1, β2, β3, etc.

Diagonales: Son líneas rectas que unen dos vértices no consecutivos. EjemAD,AC

Perímetro de un polígono.- Es la longitud total de su contorno o sumade sus lados

ObservaciónEl número de lados es igual al número de vertices.El número de triángulos formados a partir de un vértice es igual a (n− 2)

donde n: número de lados

- 126


Clasificación

Por el número de sus lados:

De acuerdo al número de lados, los polígonos pueden ser:Triángulos de tres lados, cuadriláteros de cuatro lados, Pentágonos de cinco

lados, Hexágonos de seis lados, Heptágonos de siete lados, Octágonos de ocholados, Nonágonos de nueve lados, Decágonos de diez lados, Pentadecágonos,Dodecágonos.

Por la forma de su entorno

a) Polígono Convexos: Cuando al atravesarlos una recta lo corta en dospuntos.

b) Polígono Cóncavos: Cuando una recta al atravesarlos lo corta en masde dos puntos.

c) Polígono plano: Cuando todas sus partes se hallan en un mismo plano.

d) Polígono equilátero: Cuando todos sus lados son iguales entre si

e) Polígono equiángulo: Cuando tienen todos sus ángulos iguales

f) Polígono regular: Los polígonos son regulares cuando todos sus ladosy sus ángulos son iguales.

g) Polígono irregular: Son polígonos Irregulares si sus lados y sus ángu-los son diferentes.

Propiedades de los polígonos

Teorema 4.2.32 La suma Si de los ángulos interiores de un polígono cóncavoó convexo de n lados es igual a (n− 2) ángulos llanos.

Teorema 4.2.33 El valor de un solo ángulo interior de un polígono convexoregular de n lados es:

α =180o (n− 2)

n

- 127


Teorema 4.2.34 La suma de los ángulos exteriores de un polígono convexoes igual a 4 ángulos rectos.

Sβ = 360o

Teorema 4.2.35 El valor de un solo ángulo exterior de un polígono regularconvexo de n lados es:

β =360◦

n

Teorema 4.2.36 La suma de los ángulos centrales de un polígono regular esigual a cuatro angulos rectos

Sθ = 360o

Teorema 4.2.37 El valor de un solo ángulo central de un poligono regular den lados es:

θ =360◦

n

Teorema 4.2.38 El número de diagonales que pueden trazarse desde un vér-tice en un polígono es igual al número de lados menos tres

d = n− 3

Teorema 4.2.39 El número total de diagonales de un polígono de n lados es:

DT =n (n− 3)

2

CuadriláterosLos cuadriláteros son polígonos de cuatro lados (ver Figura 4.13 página 129)

Elementos del cuadrilátero(Véase Figura 4.13 página 129)A, B, C, D : Vertices AD, DC, CB, BA : Ladosα : Ángulo interno β Ángulo externo.

Los cuadriláteros son polígonos convexos de cuatro lados, se clasifican enparalelogramos, trapecios y trapezoides.

- 128


A B

D

C

αβ

Figura 4.13:

Paralelogramos: Son cuadriláteros que tienen sus lados opuestos paralelos.Se clasifican en:

Romboide: Es un paralelogramo que tiene sus ángulos y sus lados opuestosiguales dos a dos. Llamado comúnmente paralelogramoRombo : Es un paralelogramo que tiene sus 4 lados iguales y sus ángulosopuestos iguales dos a dos. Las diagonales de un rombo son bisectrices de losángulos y perpendiculares entre si; una se llama diagonal mayor y la otra di-agonal menor.Rectángulo : Es un paralelogramo que tiene sus 4 ángulos iguales y rectosy sus lados opuestos iguales dos a dos. Las diagonales de un rectángulo soniguales.Paralelogramo cuadrado.- Es un paralelogramo que tiene sus 4 ángulosiguales y rectos y sus 4 lados iguales. Las diagonales del cuadrado son perpen-diculares entre si y bisecan a los ángulos del cuadrado.

Propiedades de los paralelogramos

Propiedad 1: En todo paralelogramo los ángulos opuestos son iguales.Propiedad 2: En todo paralelogramo los ángulos adyacentes a un mismo ladoson suplementarios.Propiedad 3: En todo paralelogramo los lados opuestos son iguales.Propiedad 4: En todo paralelogramo las diagonales se cortan mútuamente en partes iguales.Propiedad 5: Las diagonales de un rectángulo son iguales.Propiedad 6: Las diagonales de un rombo son perpendiculares entre si y bi-sectrices de sus ángulos.Propiedad 7: Las diagonales de un cuadrado son iguales, perpendiculares ybisectrices de sus ángulos.Propiedad 8: En todo cuadrilátero la suma de sus ángulos interiores es iguala 360o

- 129


Definición 4.2.40 (Trapecio) Son cuadriláteros que tienen dos lados opuestosparalelos llamados bases del trapecio y dos lados no paralelos.( ver Figura 4.14página 130)

Α

Β

Ε

H

D

C

F

Figura 4.14:

Así en el trapecio ABCD : AD, BC son bases (Ver Figura 4.14)Mediana de un trapecio: Es el segmento de recta EF (Ver Figura 4.14página 130) que une los puntos medios de los lados no paralelos del trapecioABCD.Altura de un trapecio: Es la distancia AH (Ver Figura 4.14) que existeentre las dos bases del trapecio ABCD.Los trapecios se clasifican en.a) Trapecio escaleno.- Es aquel que tiene sus lados no paralelos desiguales.b) Trapecio Isósceles.- Es aquel que tiene sus lados no paralelos iguales.c) Trapecio rectángular.- Es aquel que tiene dos ángulo rectos

Propiedades de los trapecios

Paralela media de un trapecioEs el segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos.Propiedad 1.- La mediana de un trapecio es igual a la semisuma de susbases.Propiedad 2.- En todo trapecio el segmento de recta que une los puntosmedios de las diagonales es igual a la semidiferencia de las bases.Propiedad 3: Los ángulos adyacentes a una misma base de un trapecio isósce-les son iguales y los ángulos opuestos son suplementarios.Propiedad 4.- Las diagonales de un trapecio isósceles son iguales.

- 130


ProporcionalidadRazón de dos segmentosLa razón entre dos segmentos es la comparación por cociente entre las medidasde dichos segmentos expresados en la misma unidad. Así : (ver Figura 4.15página 131)

AB

CD=

8

2= 4,

CD

AB=

2

8=

1

4

C D

A B

Figura 4.15:

Segmentos proporcionalesDos segmentos rectilíneos son proporcionales a otros dos cuando lo son susvalores numéricos. Así, si tenemos los segmentos: AB = 4u y CD = 5u,MN = 8u y RS = 10u, tenemos la proporción:

AB

CD=

MN

RS

En general, si AB = a y CD = b, MN = c y RS = d, se tiene la proporcióngeométrica a/b = c/d

clases

directaa

b=

c

d, b 6= c b 6= 0, d 6= 0

continuaa

b=

b

d, b = c

inversaa

b=

d

cc 6= 0

reciprocaa

c=

d

b

Cuarto, tercero y medio proporcionalidad.

Se llama “cuarto proporcional” respecto de tres segmentos a, b y c a unsegmento “x” que cumple con la condición:

a

b=

c

x

- 131


Se llama ”tercero proporcional” respecto de dos segmentos a, b a un segmento“x” que cumple la condición:

a

b=

b

x

Se llama ”medio proporcional” respecto de dos segmentos a, b a un segmento“x” que cumple la condición:

a

x=

x

b

de donde: x2 = ab ⇒ x =√

abProporcionalidad de segmentos

Teorema 4.2.41 Si varias paralelas determinan segmentos iguales en una dedos transversales cualquiera, determinarán también segmentos iguales entre síen la otra transversal.

Teorema 4.2.42 (Teorema de Thales) Si varias paralelas son cortadas por2 transversales o secantes, entonces determinan en ellas segmentos propor-cionales.

Teorema 4.2.43 Toda paralela a un lado de un triángulo divide a los otrosdos en segmentos proporcionales.

Semejanza de triángulos

Definición 4.2.44 Dos triángulos cualesquiera son semejantes cuando tienensus ángulos respectivamente iguales y sus lados homólogos proporcionales.

Ángulos homólogos.- Son los ángulos respectivamente iguales.Lados homólogos.- Son los lados opuestos a ángulos iguales de dos triángulossemejantes.Razón de semejanza.- Es la relación de dos lados homólogos cualesquiera.El signo de semejanza es “∼” y se lee “semejante a”.La semejanza de los triángulos 4ABC y 4MNP se denota:

4ABC ∼ 4MNP

Se lee: “triángulo ABC es semejante al triángulo MNP :Teorema fundamental de la semejanza de triángulos

- 132


Teorema 4.2.45 Toda paralela a un lado de un triángulo forma, con los otrosdos lados, un triángulo parcial semejante al total.

Criterios de semejanza de triángulosPara que dos triángulos sean semejantes se debe cumplir uno de los siguientescasos:

Criterio 1: Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos ángulos re-spectivamente iguales. (ver Figura 4.16 página 133)

HipótesisSean ∆ABC, y ∆DEF]BAC = ]EDF]BCA = ]EFD

Tesis∆ABC ∼ ∆DEF

A

B

C

D

E

F

Figura 4.16:

Criterio 2: Dos triángulos son semejantes cuando tienen un ángulo igual ylos lados que lo forman proporcionales. (ver Figura 4.17)

HipótesisSean ∆ABC, y ∆DEF]ABC = ]DEFAB

DE=

BC

EF


- 133


A

B

C

D

E

F

Figura 4.17:

Criterio 3: Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus tres lados pro-porcionales. (ver Figura 4.18 página 134)

HipótesisSean ∆ABC, y ∆DEFAB

ED=

AC

DF=

BC

EF


A

B

C

D

E

F

Figura 4.18:

Criterios particularesa) Dos triángulos rectángulos son semejantes cuando tienen un ángulo agudoigual. (ver Figura 4.19)

∆ABC ∼ ∆DEF⇔]ACB = ]DFE

- 134


A

B

C

E

FD

Figura 4.19:

b) Dos triángulos rectángulos son semejantes si sus catetos son propor-cionales. ( ver Figura 4.20 página 135)

∆ABC ∼ ∆DEF⇔AB

DE=

AC

DF=

BC

EF

A

B

C

E

FD

Figura 4.20:

c) Dos triángulos isósceles son semejantes cuando tienen el ángulo del vérticeigual, ó uno de los de la bases iguales.d) Todos los triángulos equiláteros son semejantes.e) Dos triángulos son semejantes si tienen sus lados respectivamente paraleloso perpendiculares.

Teorema 4.2.46 En todo triángulo, la bisectriz de un ángulo interior divideal lado opuesto en dos segmentos proporcionales a los lados contiguos del trián-gulo.

Teorema 4.2.47 En todo triángulo la bisectriz de un ángulo exterior divide ala prolongación del lado opuesto en dos segmentos proporcionales con respectoa los lados contiguos del triángulo.

- 135


Relaciones métricas en un triángulo rectángulo

Si en un triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza la altura BH desdeel ángulo recto, se tiene que el segmento m es proyección del cateto c y elsegmento n es proyección del cateto b.Elementos del triángulo rectángulo: (ver figura4.21)

A

B

C

m

bc

n

h

a

H

Figura 4.21:

AB = c, BC = b : catetosAC = a : hipotenusaBH = h : Altura relativa a la hipotenusa.AH = m : Proyección de c sobre la hipotenusa.HC = n : Proyección de b sobre la hipotenusa.

Teorema 4.2.48 En un triángulo rectángulo si se traza la altura correspon-diente a la hipotenusa, se forman 2 triángulos semejantes entre si y cada unosemejante al triángulo dado.

Teorema 4.2.49 En todo triángulo rectángulo la altura correspondiente a lahipotenusa es media proporcional entre las proyecciones de los catetos sobre lahipotenusa.

Teorema 4.2.50 En todo triángulo rectángulo el producto de los catetos esigual al producto de la hipotenusa por la altura correspondiente a ella.

Teorema 4.2.51 En todo triángulo rectángulo cada cateto es media propor-cional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.

- 136


Teorema de Pitágoras

Teorema 4.2.52 En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrado delos catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

Relaciones en triángulos rectángulos notables

Si los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son de 30 y 60, . entonces

El cateto opuesto al ángulo de 60◦ vale la mitad de la hipotenusa por laraíz cuadrada de tres .

El cateto opuesto al ángulo de 30o es igual a la mitad de la hipotenusa.

CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULODefiniciones

Circunferencia.- Es el conjunto de puntos que están en un mismo planoy que equidistan de otro punto del mismo plano llamado centro.Círculo.- Es la porción interior del plano limitado por una circunferencia.Elementos de la circunferenciaSe tiene:( ver Figura 4.22 página 137 )

A

B C

D E

QR

HT

I

G

F O

N

M

Figura 4.22:

OA : Radio HI: Tangente BC, QR: CuerdasFG: Secante O: Centro DE : DiámetroAE: Arco

- 137


Propiedades de la circunferencia

Propiedad 1: En toda circunferencia, a arcos iguales corresponden cuer-das iguales.Propiedad 2: En toda circunferencia las cuerdas iguales equidistan del cen-tro.Propiedad 3: Todo diámetro perpendicular a una cuerda, divide a la cuerday al arco que subtiende en dos partes iguales.Propiedad 4: Los arcos de una circunferencia comprendidos entre dos cuerdasparalelas son iguales.

Propiedades de las tangentes a una circunferencia

Definición 4.2.53 Tangente de una circunferencia es la perpendicular al ra-dio en el punto de tangencia. (ver Figura 4.23 página 138)

A

T T'

O

Figura 4.23:

Propiedad 1: La tangentes trazadas desde un punto exterior a un circunfer-encia son iguales.Propiedad 2: Las tangentes interiores comunes a dos circunferencias soniguales.Propiedad 3: La tangentes exteriores comunes a dos circunferencias soniguales.Cuadrilátero inscrito en una circunferencia

Cuadrilátero inscrito en una circunferencia es aquel cuadrilátero que tienesus vértices en la circunferencia. Por ejemplo, el cuadrilátero ABCD es inscritoa la circunferencia.

Ángulos y medidas en la circunferenciaÁngulo central.-

- 138


Es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y como ladosdos radios de la misma.

Ángulo inscrito.- Es el ángulo que tiene su vértice sobre la circunferenciay sus lados son dos cuerdas.Su Medida, es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados. (verFigura 4.24 página 139)

Hipotesis: ]ABCSea x el ángulo inscrito yAC el arco que subtienden

sus lados]ABC =AC

2

Tesis

x =AC

2

A

B

C

O D

α

α

β 2β

2α

β

x

Figura 4.24:

Ángulo semi-inscrito.- Es el ángulo que tiene su vértice sobre la circunfer-encia y sus lados son una cuerda y una tangente.Su medida es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados.

Ángulo interior.- Es el ángulo que tiene su vértice dentro de la circun-ferencia y sus lados son dos cuerdas que se cortan.Ángulo exterior.- Es el ángulo que tiene su vértice fuera de la circunferenciay sus lados son dos secantes y/o dos tangentes o una secante y una tangente.Ángulo Ex-inscrito.- Es el ángulo que tiene su vértice sobre la circunferenciay sus lados son una cuerda y una secante. Su medida es la semisuma de losarcos determinados por la cuerda y la secante.

- 139


Relaciones métricas en un circulo

Teorema 4.2.54 Cuando dos cuerdas de una circunferencia se cortan el pro-ducto de los segmentos de una de ellas es igual al producto de los segmentosdeterminados sobre la otra.

Teorema 4.2.55 Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazandos secantes; el producto de una secante por su segmento externo, es igual alproducto de la otra secante por su segmento exterior.

Teorema 4.2.56 Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazanuna tangente y una secante, la tangente es media proporcional entre la secantey su parte exterior

Teorema 4.2.57 El producto de dos lados de un triángulo es igual al productode la altura correspondiente al tercer lado por el diámetro de la circunferenciacircunscrita al triángulo.

4.3. EJERCICIOS RESUELTOS

Ejercicio 4.1 Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C, D, E.si: AC + BD + CE = 44 m; AE = 25 m; DE = 2AB; Hallar la longitud delsegmento AB.

Solución:

A B C D E

25m

Figura 4.25: Ejercicio 4.1

AC + BD + CE = 44 AB + BD + DE = 25AC + CE = AE AB + 19 + 2AB = 25AE + BD = 44 ∴ AB = 2 m25 + BD = 44BD = 19 m

- 140

UMSS - FCyT - Departamento de Matemáticas4.3. EJERCICIOS RESUELTOS

Ejercicio 4.2 Sobre una recta se consideran los puntos consecutivos A, B yC. Si: M es el punto medio de AB; AB ·MC = AC · BC; AB = 8 m.Hallarel segmento BC.

Solución:

A B C

4 x4

M


AB ·MC = AC ·BC8(4 + x) = (8 + x)x32 + 8x = 8x + x2

x2 = 32∴ x = BC = 4

√2 m

Ejercicio 4.3 Sobre una recta se consideran los puntos consecutivos A, B, Cy D. Si: CD = 3AB; AD +3BC = 60 m. Hallar la longitud del segmento AC.

Solución:

A B C Dx y 3x


AD + 3BC = 60 4(x + y) = 604x + y + 3y = 60 ∴ x + y = AC = 15 m

4x + 4y = 60

Ejercicio 4.4 Los puntos colineales consecutivos A, B, C y D son tales que:AD = 18 m; BD = 13 m; AC = 12 m. Hallar el segmento BC.

- 141


A B C D


Solución.-AD = AB + BD AC = AB + BC18 = AB + 13 12 = 5 + BCAB = 5 m ∴ BC = 7 m

Ejercicio 4.5 Sobre una línea recta se tienen los puntos consecutivos P, Q, R;si: PQ = 2QR + 1; PR = 31 m. Hallar el segmento QR.

Solución.-

P Q R

31− x x

Figura 4.29: Ejercicio 4.5PQ = 2QR + 131− x = 2x + 1∴ x = QR = 10 m

Ejercicio 4.6 A, B, C son puntos colineales y consecutivos si: 7AB = 8BC; AC =45 m. Hallar el segmento BC.

Solución.-

A B C

45− x x


7AB = 8BC 315− 7x = 8x7(45− x) = 8x ∴ x = BC = 21 m

- 142


Ejercicio 4.7 Hallar la medida de un ángulo, sabiendo que su complementoy su suplemento forman 208 grados.

Solución.- x : medida del ánguloComplemento: (90− x)Suplemento: (180− x)(90− x) + (180− x) = 208∴ x = 31 grados

Ejercicio 4.8 El doble del complemento de un ángulo mas el triple del suple-mento del mismo ángulo es igual a 500 grados. Hallar la medida del ángulo.

Solución.-x : ángulo2(90− x) + 3(180− x) = 500180− 2x + 540− 3x = 500∴ x = 44 grados

Ejercicio 4.9 El doble de la medida de un ángulo es igual al triple de la medidade su complemento. Hallar la medida del ángulo.

Solución.-x : ángulo2x = 3(90− x)∴ x = 54 grados

Ejercicio 4.10 La suma de los complementos y suplementos de las medidasde dos ángulos es igual a 230 grados si la diferencia de las medidas de ambosángulos es 15 grados. Calcular los ángulos ángulo.

Solución.- sean α; β : ángulos(90− α) + (180− β) = 230α + β = 40

{α + β = 40α− β = 15

(♦)

Resolviendo el sistema (♦) se obtiene los valores de α y β

∴ α =55

2grados; β =

25

2grados

Ejercicio 4.11 Si al suplemento de un ángulo se lo disminuye el el sextup-lo de su complemento, resulta la mitad del ángulo. Hallar la medida del ángulo.

- 143


Solución.-x : ángulo(180− x)− 6(90− x) =

x

2360 = 5x− x

2180− x− 540 + 6x =

x

2∴ x = 80 grados

Ejercicio 4.12 Si a un ángulo le aumentamos el cuadrado de su complementose tiene un ángulo llano. Calcular el ángulo.

Solución.-x : ángulo (x− 99)(x− 80) = 0x + (90− x)2 = 180 ∴ x1 = 80 grados, x2 = 80 gradosx2 − 179x + 7920=0

Ejercicio 4.13 Calcular el menor ángulo que forman las bisectrices de los dosángulos agudos de un triángulo rectángulo.

Solución.-

B

A C

β β

αα

θ

γO


CO; BO : Bisectrices θ = 1352β + 2α = 90o γ + θ = 180o

β + α = 45o γ = 180− 135β + α + θ = 180o γ = 45o

θ = 180o − (β + α) ∴ el ángulo menor es γ = 45o

Ejercicio 4.14 La diferencia de los ángulos formados por las bisectrices delos ángulos adyacentes y el lado común mide 8 grados. Hallar el complementodel menor de los ángulos adyacentes.

- 144


Ο

ααβ

β

B

C A

X

Y


Solución.-OX; OY : Bisectrices 2β = 82o

α− β = 8o Complemento 2β = 90− 82β + α = 90o ∴ C(2β) = 8o

2α = 98o

Ejercicio 4.15 En el gráfico de abajo (Figura 4.33) si L1‖L2 Hallar β

Solución.-

L

L

1

2

50 βο5

ο

α+30ο

+2α


5 + 2α + 50 + β = 180 α = 252α + β = 125 ∴ β = 75o

5 + 2α = α + 30

Ejercicio 4.16 En la Figura 4.16: L1 ‖ L2. Hallar: “x”

- 145


x

30

o

o

20

α

β

L

L

L

1

2


Solución.-Línea auxiliar L ‖ L1 ‖ L2 x = α + βα = 30 ∴ x = 50o

β = 20

Ejercicio 4.17 En la Figura 4.17: AB ‖ CF ; AC ‖ DE. Hallar α, β

Solución.-

130o

A

B

D

E

Fα

β

C


AB ‖ CF : α + 130 = 180 α = β : Lados ‖sα = 50o ∴ β = 50o

Ejercicio 4.18 En la Figura 4.36 (véase 4.36 página 147) L1 ‖ L2 ‖ L3;α + θ = 70o. Hallar α; β

- 146


Solución: (ver figura 4.36 página 147)α = 30o 30o + θ = 70o

L

L

L1

2

3

ο

α

θ

30

β


β = θ θ = 40o

α + θ = 70o ∴ α = 30o; β = 40o

Ejercicio 4.19 En la Figura 4.37 (véase 4.37 página 147) L1 ‖ L2. Hallarα; β

2α−β

α+β

120ο

L

L

1

2


Solución: (ver figura 4.37 página 147)α + β = 120 3α = 2402α− β = 120 ∴ α = 80o; β = 40o

Ejercicio 4.20 Dado un triángulo ABC (Figura 4.38) DE ‖ BC. Demostrarque el 4ABC es semejante con 4ADE.

Demostración.-^ACB = ^AED ángulos correspondientes

- 147


A

B C

D E


ÂBC = ÂDE ángulos correspondientesÂ = Â ángulo común∴ 4ABC ∼ 4ADE

Ejercicio 4.21 Demostrar que la altura en un triángulo isósceles divide altriángulo en dos triángulos iguales (congruentes)

Demostración:

I II

A

B CH


1. AB = AC por ser isósceles

2. AH : Altura

3. ^B = ^C por 1.

4. BH = HC AH = altura=mediatriz∴ 4ABH ∼= 4AHC

Ejercicio 4.22 Demostrar que todo punto de la bisectriz equidista de sus la-dos.

- 148


O

Q

A

C

BR

Pα

α


Demostración:OC: Bisectriz

1. ^AOC = ^BOC

2. OP = OP : Lado común a 4OPQ y 4ORP

3. 4PQO ∼= 4PRO:

4. PQ = PR

Ejercicio 4.23 Demostrar que la diagonal de un paralelogramo divide en dostriángulos iguales.

Demostración:

Α

B

E

C


BC ‖ AE^CAE = ^BCA^BAC = ^ACEAC = ACE Lado común∴ 4ABC ∼= 4AEC

- 149


Ejercicio 4.24 Demostrar que todo punto situado sobre la mediatriz de unsegmento equidista de los extremos del segmento.

Demostración:

AM

Q

B


AQ = BQQM : Mediatriz.MQ = MQ Lado comúnAM = BM Poi ser QM⇒ 4AQM ∼= 4BQM

∴ AQ = BQ Lados homólogos

Ejercicio 4.25 La suma de los ángulos interiores de un polígono es 720o.Calcular el número de lados.

Solución:S = 180(n− 2) Suma de ángulos interiores 720 = 180(n− 2)

S = 720 Dato ∴ n = 6 lados

Ejercicio 4.26 El ángulo interior de un polígono regular es igual a 120o gra-dos. Hallar el número de lados

Solución:α =

180(n− 2)

n: ángulo interior

α = 120o Dato120o =

180(n− 2)

n120 n = 180 n− 360∴ n = 6 lados

- 150


Ejercicio 4.27 En que polígono, el número de diagonales, es igual al númerode lados.

Solución:

n(n− 3)

2: Número de diagonales n2 − 3n = 2n

n: Número de lados n2 − 5n = 0n(n− 3)

2= n n(n− 5) = 0 ∴ n = 5

Ejercicio 4.28 Cuantos lads tiene el polígono convexo donde la suma de lasmedidas de los ángulos interiores es 5 veces la suma de las medidas de losángulos exteriores

Solución:

Si = 5Se Se = 360o

Si = 180(n− 2) 180(n− 2) = 5 · 360 ⇒ n = 12 lados

Ejercicio 4.29 Cuanto mide cada uno de los ángulos interiores de un polígonoregular de 18 lados.

Solución:

180(n− 2): Suma de ángulos interiores

i =180(n− 2)

n: Ángulo interior

i =180(18− 2)

18: Sustituyendo valores

∴ i = 160o

Ejercicio 4.30 La suma de las medidas de los ángulos interiores de ciertopolígono regular excede a la suma de los ángulos exteriores en 900 grados.Cuantos lados tiene el polígono

Solución:

Si = Se + 900o 180n− 360 = 360 + 900180(n− 2) = 360 + 900 ∴ n = 9 lados

- 151


γφ

β

ψθ

α

B

C

AE


Ejercicio 4.31 Demostrar que en todo Cuadrilátero la suma de sus ángulosinteriores es 360 grados

Solución:AC: Línea auxiliar (θ + α) + (γ + φ) + β + ψ = 360

4ABC : α + β + φ = 180 ∴ A + C + B + E = 360o

4ACE : θ + γ + ψ = 180

Ejercicio 4.32 En todo paralelogramo las diagonales se interceptan en su pun-to medio.

Solución:

Α

B

E

C

P

θ

β α

γ


BC ‖ AE BC = AEγ = α 4BPC ∼= 4APE

β = θ ∴ AP = CP lados homólogos

- 152


Ejercicio 4.33 En un cuadrilátero se tiene : B =2

3A; B =

4

5D; C =

3

4B.

Hallar el ángulo A

Solución:

A + B + C + D = 360o

3

2B + B +

3

4B +

5

4B = 360o

B = 80o

A =3

2B

∴ A = 120

Ejercicio 4.34 En un cuadrilátero se tiene:

A =3x

4B =

2x

3+ 55o D = 3x− 20o C = x

Solución:

A + B + C + D = 360o Suma de ángulos3x

4+

2x

3+ 55o + x + 3x− 20 = 360o Sustituyendo valores

65x

12= 325 x = 60o

A =3x

4= 45o C = x = 60o

B =2x

3+ 55 = 95o D = 3x− 20 = 160o

Ejercicio 4.35 En un triángulo ABC; AB = 12 m; BC = 8 m se inscribe uncuadrado con uno de sus vértices en B y el opuesto sobre la hipotenusa. Hallarel lado del cuadrado.

- 153


Solución:

Α

α

α

β

BC

E Fx

x

8

12


4AEF ∼ 4ABCx

8=

12− x

12

EF

CB=

AF

ABLados homólogos ∴ x =

24

5m

Ejercicio 4.36 Demostrar que : 4AOB ∼ 4DOC

Solución:

AB

CD

α

θ

β

γ

Ο


α = γ AOB = DOC opuesto por el vérticeβ = θ ∴ 4AOB ∼ 4DOC

Ejercicio 4.37 Calcular el lado del cuadrado de la Figura 4.47

- 154


A

B

C

D E

FG


4 AGD v 4DBE x2 = DB × EC lados homólogosx2 = AD ×BE Lados homólogos x2 × x2 = AD ×BE ×DB × EC

4DBE ∼ 4EFC x4 = 16 x = 2 m

. Si AD ×DB ×BE × EC = 16 m4

Ejercicio 4.38 En todo triángulo la bisectriz interior divide al triángulo endos triángulos semejantes.

Solución:BE : Bisectriz BE = BE lado común

A

B

CE


ABE = EBE ∴ 4ABE ∼ 4EBC

Ejercicio 4.39 En el gráfico de abajo (Figura 4.49) Hallar a, b h c = 90o endos triángulos semejantes.

- 155


Solución:

AB

C

9 16

25

h

b


a2 = 25× 9 =⇒ a=15 h2 = 9× 16 =⇒ h=12b2 = 16× 25 =⇒ b=20

a

Ejercicio 4.40 Las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa de un trián-gulo rectángulo (A = 90o) son dos veces consecutivos y la altura relativa a lahipotenusa es

√56. Calcular la hipotenusa

Solución:

B

h

A

cb

C


a

x+1 x

h2 = x(x + 1) (x + 8)(x− 7) = 0(√

56)2 = x2 + x x = 7, x + 1 = 8x2 + x− 56 = 0 ∴ a=15

- 156


Ejercicio 4.41 La relación de las proyecciones de los catetos B y c sobre la

hipotenusa es9

16. El producto de laos catetos bc = 8. Calcular la hipotenusa

del triángulo rectángulo .

Solución:

h

b

B C

A

c

m n


a

b2 = an; c2 = am a2 = b2 + c2 por teorema de Pitágorasb2

c2=

n

m=

9

16a2 =

32

3+

64× 3

32

b

c=

3

4, bc = 8 ∴ a = 2

√3

c =

√32

3,

8√

3√32

- 157


Ejercicio 4.42 Demostrar el teorema de Pitágoras

Demostración:

hb

B

C

A


c

a

m n

a2 = c× n a2 + b2 = c(n + m)b2 = c×m c× ca2 + b2 = c× n + c×m ∴ a2 + b2 = c2

- 158

UMSS - FCyT - Departamento de Matemáticas4.4. SEGMENTOS Y ÁNGULOS

4.4. SEGMENTOS Y ÁNGULOS

4.4.1. Segmentos. Operaciones con segmentos

4.4.2. Poligonales. Teoremas sobre poligonales

4.4.3. Ángulos. Medida de ángulos.

4.4.4. Tipos de ángulos


1. En una recta se ubica los puntos consecutivos A,B, C, D y E de modo

queAC

2=

BD

3=

CE

5, además la suma de las longitudes del segmento

que une los puntos medios de AC; BC con el segmento que une los pun-

tos medios de CE y CD es k. Calculek

AE

A)3

7B)

2

3C)

2

5D)

3

5E)

2

7Respuesta: E)

2. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, tal que m^AOD =80o. Calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices OM yON de los ángulos AOC y BOD respectivamente, sabiendo que M y Npertenecen a la región interior del ángulo BOC y m^BOM+m^CON =20o

A) 40o B) 30o C) 25o D) 20o E) 10o

Respuesta: D)

3. Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A,B, C, D;de modo que: AB.BD + AC.CD = AD.BC y AB.CD = 8 m2. Calcularla longitud del segmento BC.

A) 1 m B) 2 m C) 3 m D) 4 m E) 5 m

4. Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A,B,C ;luego se toma el punto medio M de BC. Hallar AM . Si: AB+AC = 14 m

A) 3 m B) 4 m C) 5 m D) 7 m E) 9 m

- 159


5. Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A,B,C y D;con la siguiente condición:

AB

AC+

CD

BC= 1

calcular x Si:x3

n=

BC

AC+

BC

BD; n > 0

A)√

n B) n C) 2n D) 3√

n E)n

2

6. Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C, D yE con la siguiente condición:

AD = DE AB = BD

AC + BD + CE + AE = 72

Calcular la longitud del segmento BC. Si1

BC+

2

AE= 1

A)16

15µ B)

15

16µ C)

7

8µ D)

8

7µ E) 1 µ

7. Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A,B, C, D, Ey F con la siguiente condición:

AB = EF =BE

3.

Calcular la longitud del segmento BE Si:

AC + BD + CE + DF = 24

A) 6 µ B) 7.5 µ C) 8, µ D) 9 µ E) 12 µ

8. Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A,B,C y Dcon la siguiente condición

AD(CD −BC) = BD.CD2.AD −BD

AD.AB=

3x− 1

10.

Calcular el valor de x Si : AC = 4

A) 1 B) 2 C) 2,5 D) 0,5 E) 3

- 160

UMSS - FCyT - Departamento de Matemáticas4.4. SEGMENTOS Y ÁNGULOS

9. En una línea recta se consideran los puntos consecutivos A,B, C, D y E

tal que AC =AD

2; 3.DE = AE y 4.AB = BC.

Hallar BD. Si: CD = 5

A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 13

10. Sobre una línea recta se consideran los puntos M, N, P, Q consecutivos.“A” punto medio de MP ; “B” punto medio de NQ.Si: MN = 5 µ, PQ = 11 µ. Hallar: AB

A) 4 µ B) 6 µ C) 8µ D) 10 µ E) 12 µ

11. Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A,B, C y D;se sabe que AC =

√m y se cumple las siguientes condiciones:

AB.AD = BC.CD BC2 − AB2 = AB.CD.

Hallar: (CD)2

A) m2 B)√

m C)√√

m D) m E)m2

2

12. La suma de los complementos y su suplementos de las medidas de dosángulos es igual a 230o. Si se sabe que la diferencia de las medidas deambos ángulos es 15o. Calcular el complemento de la medida del mayorángulo.

A) 5o B) 10o C) 15o D) 62o30′ E) 60o

13. En la figura mostrada, calcular : α. Si AB = CDA) 10o B) 15o C) 18o30′ D) 20o E)

Α

Β

C2α

α

D

Figura 4.53: 13

- 161


22o30′

Respuesta: E)

14. En la figura mostrada, calcular : xo. Si QC = 2.BP

A) 10o B) 15o C) 20o D) 30o E) 45o

Respuesta: D)

Α C

B

P

Q

xo

Figura 4.54: 14

15. En la figura mostrada MC = a; AC = MB = b; AB = a+b; m^MAC = 30o

y m^ MCA = 40o. Calcular: m^ MBC.A) 35o B) 20o C) 25o D) 20o E) 10o

Respuesta: C) A) 35o B) 20o C) 25o D) 20o

x o

B

A C

M

Figura 4.55: 15

E) 10o

16. En la figura mostrada, calcular: θ.A) 8o B) 10o C) 15o D) 12o E) 5o

Respuesta: B)

- 162

UMSS - FCyT - Departamento de Matemáticas4.5. PERPENDICULARIDAD Y PARALELISMO

2θ

4θ

4θ 2θ

Figura 4.56: 16

4.5. PERPENDICULARIDAD Y PARALELIS-MO

4.5.1. Definición de perpendicularidad. Postulados

4.5.2. Teoremas sobre perpendicularidad

4.5.3. Definición de paralelismo. Postulados

4.5.4. Teoremas sobre paralelismo

4.5.5. Ángulos formados por rectas cortadas por una se-cante. Teoremas

4.5.6. Ángulos con lados paralelos y perpendiculares


1. En el gráfico Figura 4.57 (véase Figura 4.57 página 164 )L1//L2 y elángulo ABC es agudo, calcule el mínimo valor de x.A) 20o B) 21o C) 22o D) 18o E) 19o

Respuesta: E)

- 163


A

BC

2β

3β

3θ

2θ

Figura 4.57: 1

2. Determinar el número de grados en los ángulos requeridos Figura (véaseFigura 4.58 página 164 )Hipótesis:

−→AB ‖ −−→CD;

m∠BAE = 50;m∠DCE = 40.

Hallar: m∠α + m∠β =(Nota: El símbolo m∠α indica la medida del ángulo α)Respuesta : 90

A

E

B

DΧ

α

β

40

50ο

ο

Figura 4.58: 2

3. Determinar el número de grados en los ángulos requeridosHipótesis: AC ∼= BC;

AC⊥BC.Hallar: m∠A = (m: indica la medida del ángulo)Respuesta: 45

- 164

UMSS - FCyT - Departamento de Matemáticas4.5. PERPENDICULARIDAD Y PARALELISMO

Α

C

B

Figura 4.59: 3

4. Hallar m∠α :, L‖m; r‖sRespuesta: 55

125ο

α

s

r

L

m

Figura 4.60: 4

5. Hallar m∠α :, L‖mRespuesta: 18

58o

40

m

L

α

o

Figura 4.61: 5

- 165


6. Hallar m∠α :Respuesta: 50

α

40o

Figura 4.62: 6

7. La suma de las medidas de los ángulos de cualquier triángulo es ............

8. Una recta que corta dos o mas rectas se llama ...........

9. Dos rectas paralelas a la misma recta son ............ entre si.

10. Si dos triángulos isósceles tienen una base común, la recta que une susvértices es ......... a la base. Respuesta: Perpendicular

11. Un triángulos es .......... si dos de sus alturas son congruentes.

12. Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son ...........

13. Si las sumas de las medidas de dos de los ángulos de un triángulo es iguala la medida del tercer ángulo, el triángulo es

14. Ningún triángulo rectángulo puede tener un ángulo ..........

15. Los dos ángulos externos en cualquiera de los vértices de un triánguloson ángulos .........y, por lo tanto, son ángulos .........

- 166

UMSS - FCyT - Departamento de Matemáticas4.6. TRIÁNGULOS Y POLÍGONOS

4.6. TRIÁNGULOS Y POLÍGONOS

4.6.1. Clasificación. Rectas y puntos notables.

4.6.2. Igualdad de triángulos. Casos de igualdad

4.6.3. Polígonos. Teoremas sobre polígonos

4.6.4. Cuadriláteros. Clasificación. Teoremas


1. ¿ Cuántos lados tiene el polígono regular cuya medida de un ángulo

externo es igual a los2

13de la medida de un ángulo interno.?

A) 12 lados B) 8 lados C) 15 lados D) 14 ladosE) 16 ladosRespuesta: C)

2. ¿Cuantos lados tiene un polígono cuya suma de las medidas de sus án-gulos internos y externos es 3960o?

A) 21 lados B) 20 lados C) 22 lados D) 18 la-dos E) 16 ladosRespuesta: C)

3. Un Polígono regular tiene dos lados más que otro, pero su ángulo centralmide 30o menos que la medida del otro , luego el polígono es :

A) Pentágono B) heptágono C) exágono D) oc-tágono E) triáguloRespuesta: C)

4. Se tienen dos polígonos regulares cuyos números de diagonales se diferen-cian en 342 y cuyas medidas de sus ángulos centrales están en la relacióncomo 2 es a 3. Hallar la diferencia de las medidas de sus ángulos centrales.

A) 5o B) 6o C) 12o D) 8o E) N.A.Respuesta: A)

5. El ángulo formado por las bisectrices interiores de los ángulos B y C deun triángulo ABC es el doble de ángulo A. Hallar los ángulos interioresdel triángulo si: B − C = 20o.

- 167


6. En un triángulo acutángulo ABC : B+C = 140o. Hallar el menor ánguloformado por las alturas trazadas desde los vértices B y C.

7. En un triángulo rectángulo ABC recto en A, uno de los ángulos agudoses 15 grados más que el cuadruplo del otro. Hallar el ángulo que formanla mediana y la altura trazadas desde el vértice del ángulo recto.

8. Se da un triángulo4ABC;. A = 80o, Sobre el lado AB se ubica un puntoD de tal modo que BD = DC, y DA = AC. Hallar el ángulo BCA.Respuesta 75o

9. En un triángulo isósceles MPQ se trazan las alturas relativas a los ladosiguales, el ángulo del vértice P mide 46o. Calcular la medida de los án-gulos formados al cortarse las alturas.Respuesta: x = 134o

4.7. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA

4.7.1. Segmentos proporcionales

4.7.2. Division de un segmento en razón

4.7.3. Teoremas de Tales. Corolarios

4.7.4. División de un segmento en partes proporcionalesa varios números

4.7.5. Semejanza de triángulos. Casos de semejanza

4.7.6. Semejanza de triángulos rectángulos

1. En un triángulo ABC, obtuso en B, se traza la bisectriz interior BM ylas alturas AN y CQ respectivamente. Si AN = a y CQ = b, calcule lalongitud de la altura trazada desde M en el triángulo MBC

A) ab B)a

bC)

√ab D)

ab

a + bE)

a + b

abRespuesta: D)

2. Según el gráfico PQRS es un cuadrado de centro O. Si AP = 4 ySC = 9, calcule PT. A) 5, 4 B) 1, 8 C) 1, 2 D)2, 4 E) 3, 6Respuesta: E)

- 168

UMSS - FCyT - Departamento de Matemáticas4.7. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA

O

T

B

SA C

P

RQ

Figura 4.63: 2

3. En la figura mostrada P y T son puntos de tangencia, O es centro de lasemicircunferencia . Calcule OH, si se sabe que PH = 15, HT = 8 y elradio de la circunferencia mide 13.A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

P

C

T

BHO

A

Figura 4.64: 3

Respuesta: C)

4. En un triángulo ABC se trazan las bisectrices interiores AQ y CP . Hal-lar QC, si: AP = 2 m, PB = 3 m y BQ = 4 m.

A) 5 m B) 1,6 m C) 4, 57 m D) 3, 43 m E)6 mRespuesta: C)

5. En la figura mostrada: PQ//AC. Si: + AB = 20 m y BC = 15 m. Hallar:PQ.

A)15

2m B)

25

6m C)

16

3m D)

30

7m E)

40

9m

Respuesta: B)

- 169


PQ

B

CA

Figura 4.65: 5

6. En la figura mostrada: MNPQ es un cuadrado. Si FM = 2 m y

QT = 6 m. Hallar : BE.

A)3

5

√10 m B)

3

5

√15 m C)

2

3

√7 m D) 3, 5 m

OT

B

A C

P

Q

E

M

N

Figura 4.66: 6

E) 2 mRespuesta: A)

7. En un triángulo ABC, AB = 20, BC = 10 y AC = 21, se trazan lasbisectrices, interior BD y exterior BE. Hallar DE.Respuesta 28

8. Sea M = 2, 8 cm, N = 4,1 cm. Hallar una tercera proporcional entre My N si N es media proporcional.

9. Dado un triángulo ABC, si trazamos un segmento MN paralelo a BC,escribir todas las proporciones que resulten.

10. Dos segmentos a y b son proporcionales a c y d. Si: a = 6 m; b = 8 m;c + d = 21 m. Hallar c y d.

11. Si la razón de semejantes de dos triángulos es 6/5 y el perímetro delmayor es 72 m. cual es el perímetro del menor.

- 170

UMSS - FCyT - Departamento de Matemáticas4.8. RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS

Respuesta: a) 70 m. b) 60 m, c) 50 m, d) 55 m. e) 45 m.

4.8. RELACIONESMÉTRICAS EN LOS TRIÁN-GULOS

4.8.1. Proyecciones

4.8.2. Teoremas

4.8.3. Teorema de Pitágoras

4.8.4. Cálculo de proyecciones


1. Calcule el radio de la circunferencia inscrita en el cuadrado ABCD; siEC = 2 m y DF = 3 m.A) 2 m B) 3 m C) 4 m D) 6 m E) 9 m

BE C

D

A F

Figura 4.67: 1

Respuesta: D)

2. En un triángulo acutángulo ABC; si: AB = 7 m; AC = 12 m la alturarelativa a AC mide 6 m. Hallar la longitud del tercer lado.Respuesta: 10,3 m

3. Dado un triángulo rectángulo, uno de los catetos mide 12m y su proyec-ción sobre la hipotenusa mide 6m. Determinar la longitud del otro cateto.Respuesta:

√412 m

- 171


4. Si del punto medio de un cateto de un triángulo rectángulo se baja unaperpendicular sobre la hipotenusa, la diferencia de los cuadrados de lossegmentos formados sobre la hipotenusa es igual al cuadrado del otrocateto.

5. En un triángulo acutángulo ABC, el lado AB = 15 m ; BC = 14m y laproyección del lado AC sobre BC mide 5 m. Hallar el lado AC.Respuesta: 13 m

6. Los tres lados de un triángulo ABC son: a = 25 m; b = 39 m y c = 56 m.Calcular la altura respecto al lado C.

7. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 15 cm y la altura respectoa ella mide 6 cm Hallar la longitud del cateto menor.

a) 2√

5, b) 3√

5 c) 4√

5 d) 5√

3 e) 4√

3

8. En un trapecio la base mayor AB mide 8 m, y la diagonal BD mide6 m. Hallar la base menor, si las diagonales son perpendiculares y que^CAB = 30o.

a) 2 m b) 3 m. c) 4.2 m d) 2.4 m, e) 4 m

9. Las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa de un triángulo rec-tángulo son 2 números enteros consecutivos y la altura relativa a lahipotenusa mide

√42. Calcular la medida de la hipotenusa.

Respuesta: 13.

- 172

UMSS - FCyT - Departamento de Matemáticas4.9. CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

4.9. CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

4.9.1. Definiciones básicas

4.9.2. Ángulos en una circunferencia. Teoremas sobre cuer-das y ángulos

4.9.3. Ángulo central, ángulo inscrito, semiinscrito, exte-rior. Teoremas.

4.9.4. Relaciones métricas en la circunferencia


1. Desde un punto P exterior a una circunferencia se traza las tangentesPA, PB (A y B puntos de tangencia) y la secante PCD de modo quela m^APB = mCBD = 90o; calcule la mAC.A) 30o B) 53o C) 50o D) 75o E) 74o

Respuesta: D)

2. Desde un punto P exterior a una circunferencia se traza las tangentesPA y PB (A y Bpuntos de tangencia). Luego se traza la cuerda AC demodo que la distancia de P a AC es igual a la longitud de AC. Calculela m^APB.

A) 30o B) 83o C) 106o D) 74o E) 53o

Respuesta: E)

3. En una circunferencia de 15m. de radio, dos cuerdas se cortan y dan porproducto de sus segmentos respectivos 200 m2. Hallar la distancia delcentro de la circunferencia al punto de intersección de las cuerdas.

4. En un triángulo ABC, por los vertices A y C pasa una circunferenciaque corta a AB en M y BC en N . La tangente trazada por C, es paralelaa AB. Si AC = 12 y BC = 16, hallar NC.Respuesta: 9

- 173


5. Se da una circunferencia de centro O y de diámetro AB. Se traza lacuerda RS que corta en P. Hallar el radio de la circunferencia si AP =2 m, PS = 8 m y RB = 3AS m.Respuesta: 13 m. m.

- 174

Capítulo 5

TRIGONOMETRÍA

La trigonometría estudia sobre todo relaciones o razones que se dan en untriángulo rectángulo. Estas relaciones conocidas como funciones trigonométri-cas, por una parte permiten determinar elementos de un triángulo a partir deotros elementos del triángulo y por otra parte permiten describir adecuada-mente fenómenos naturales periódicos.

La trigonometría permite expresar en forma algebraica algunos resultadosimportantes de la geometría, lo referido específicamente a triángulos; y es-encialmente permite generalizar estos resultados en términos del concepto defunción. Las así llamadas funciones trigonométricas juegan un papel impor-tante en la física y materias afines que se cursan en carreras de la Facultadde Ciencias y Tecnología pues permiten describir modelos matemáticos defenómenos conocidos como periódicos y también son útiles para definir deter-minadas magnitudes físicas.

Un objetivo importante en el aprendizaje de la trigonometría es el de com-prender claramente las variaciones que sufren los valores trigonométricos amedida que varía el ángulo correspondiente. Por otra parte, también se es-tudian las relaciones existentes entre las diferentes funciones trigonométricasconocidas como indentidades trigonométricas; y éstas últimas se emplean enla resolución de las igualdades conocidas como ecuaciones trigonométricas.

Cabe reiterar que las funciones trigonométricas son de importancia porquese emplean a lo largo de la formación universitaria en ciencias y tecnología enel transcurso de varias asignaturas y durante casi toda la carrera de formaciónprofesional.

175

UMSS - FCyT - Departamento de MatemáticasCAPÍTULO 5. TRIGONOMETRÍA

5.1. TEORÍA - EJEMPLOSMedidas de ángulos y arcos. Para medir un ángulo o un arco se toma

como unidad de medida un arco un ángulo pequeño.Para medir un ángulo o un arco existen dos sistemas importantes: el sistemasexagesimal y el sistema circular.

a) Sistema sexagesimal.- Considera la unidad de medida la 360 ava partede la circunferencia o circulo. Cada parte se llama“grado sexagesimal”.Cada grado dividido en 60 partes llamadas “minuto” y cada minuto divididoen 60 partes llamadas "segundos". Un arco de 20 grados, 25 minutos y 30segundos, Por ejemplos se escribe así: 20O25′30′′

b) Sistema circular o radial.- La unidad de medida fundamental esel radian"(rad). En geometría, la circunferencia se mide así C = 2πr pero encomo en trigonometría el radio es unitario entonces la circunferencia valdráC = 2π radios pero se dice C = 2π radianes radianes.

Equivalencia.- Equivalencia entre el sistema circular y el sistema sexa-gesimal 2π rad = 360o

Longitud de un arco.- S es la magnitud del arco expresada en unidadeslineales que pueden ser centímetros, pulgadas, pies, metros, etc. Se calculamultiplicando el ángulo central en radianes por su radio. ( ver Figura 5.1)

S=αr

r

S

α

Figura 5.1:

Sistema de coordenadas rectangulares.- Es un conjunto de dos rectas,en lo general un eje horizontal (eje de abscisas) y otra vertical (eje de lasordenadas), el punto de intersección de las 2 rectas se llama origen de las co-ordenadas, Las abscisas que están a la derecha del eje de las ordenadas sonpositivas, y las que están a la izquierda son negativas. Las ordenadas que estánpor encima del eje de las abscisas son positivas, y las que están por debajo sonnegativas. Los ejes dividen al plano en cuatro partes iguales llamados cuad-rantes I, II, III, IV

- 176


Definición 5.1.1 (Función trigonométrica) Es aquella donde la variable in-dependiente es un ángulo, Existen 6 funciones trigonométricas que reciben losnombres de seno, coseno, tangente, cotangente secante y cosecante.

Definición de las funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo.-Tomando en cuenta los 2 catetos y la hipotenusa de un triángulo, las funcionestrigonométricas de un ángulo agudo se define de la siguiente manera.Para las funciones trigonométricas se considera el triángulo rectángulo de laFigura 5.2

senA =Cateto OpuestoHipotenusa

=a

b, cot A =

cateto adyacentecateto opuesto

=c

a

cos A =Cateto Adyacente

Hipotenusa=

c

b, sec A =

hipotenusacateto adyacente

=b

c

tan A =Cateto opuesto

Cateto Adyacente=

a

c, csc A =

hipotenusacateto opuesto

=b

a

AB

C

b

c

a

Figura 5.2:

Cuadro 5.1: Signo algebraicos de las funciones

SEN COS TAN COT SEC CSCI C + + + + + +II C + - - - - +III C - - + + - -IV C - + - - + -

Los signos algebraicos de las funciones trigonométricas son muy importantespara no cometer errores.a) Ángulos negativos.- Las funciones trigonométricas de ángulos negativosson iguales a las funciones trigonométricas del mismo nombre del ángulo pos-itivo, todas de signo contrario excepto el coseno y la secante que tienen signo

- 177


Cuadro 5.2:

0o 30o 45o 60o 90o 120o 135o 150o 180o 270o 360o

sen 0 12

√2

2

√3

21

√3

2

√2

212

0 −1 0

cos 1√

32

√2

212

0 −12

√2

2−√

32

−1 0 1

tan 0√

33

1√

3 @ −√3 −1 −√

33

0 @ 0

cot @√

3 1√

33

0 −√

33

−1 −√3 @ 0 @sec 1 2√

32√2

2 @ −2 − 2√2

− 2√3

-1 @ 0

csc @ 2 2√2

2√3

1 2√3

2√2

2 @ −1 @

positivo.sen(−α) = − sen α cot(−α) = − cot αcos(−α) = cos α sec(−α) = sec αtan(−α) = − tan α cot(−α) = − csc α

Ejemplo 5.1 Ubicar en que cuadrante se encuentra el ángulo de 780o

Solución:

780 360

60 2

60o180o

Figura 5.3: Ejemplo 5.1

780o se encuentra en el primer cuadrante y ha dado dos vueltas completas

Ejemplo 5.2 Simplificar y calcular y =sen(−135) + cos 180√

2 + 2

2

- 178


Solución:

y =sen(−135) + cos 180√

2 + 2

2

=− sen 135 + cos 180√

2 + 2

2

Reemplazando lo valores de sen 135o y cos 180o (ver Cuadro 5.2 página 178)

y =

−√2

2− 1

√2 + 2

2

=

−√2− 2

2√2 + 2

2

=−(√

2 + 2)√2 + 2

= −1

∴ y = −1

Ejemplo 5.3 Por que factor debe multiplicarse sec 45o para ser igual a csc 45o

Solución: x sec 45o = csc 45o

x =csc 45o

sec 45o=

1

sen 45o

1

cos 45o

=cos 45o

sen 45o=

1√2

21√2

2

= 1

Ejemplo 5.4 Calcular el cos 75o

Solución:

cos 75o = cos(45o + 30o) = cos 45o cos 30o − sen 45o sen 30o

=

√2

2·√

3

2−√

2

2· 1

2=

√2 · √3

4−√

2

4=

√2

4(√

3− 1)

- 179


FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS A DIFERENTES ÁNGU-LOS Ángulos confinarles Ángulos cofinales.- Se llaman ángulos cofinales atodos aquellos ángulos que tiene los mismos lados se expresan de la siguienteforma α + 2πk o α + 360ok siendo k un número entero positivo, negativo ocero.Las funciones trigonométricas del mismo nombre de ángulos cofinales soniguales:

sen(α + 2πk) = sen α

cos(α + 2πk) = cos α

tan(α + 2πk) = tan α

cot(α + 2πk) = cot α

sec(α + 2πk) = sec α

csc(α + 2πk) = csc α

REDUCCIÓNGENERAL DE REDUCCIÓN.- Toda función trigonométri-ca de un ángulo de la forma (n · 90o ± β) ó (n · π

2± β) donde es un ángulo

agudo positivo cualquiera es igual:a) Si n es par es igual a la misma función trigonométrica del ángulob) Si n es impar es igual a la cofunción de la función trigonométrica. del ánguloEn ambos casos el signo algebraico es el signo de la función dada de acuerdoal cuadrante donde pertenece

Ejemplo 5.5

sen(270− β) = sen(3 · 90− β) = −cosβ

Ejemplo 5.6

cos(180 + β) = cos(2 · 90 + β) = − cos β

Ejemplo 5.7 csc(−300)

Solución:csc(−300) = − csc 300 = − csc(3 · 90 + 30) = sec 30 =

2

3

√3

- 180


IDENTIDADES Y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICASExpresión de una función en términos de las otras funciones.-

sen2 β + cos2 β = 1; tan β =sen β

cos β; cot β =

cos β

sen β;

sec β =1

cos β; csc β =

1

sen β; cot β =

1

tan

1 + tan2 β = sec2 β; 1 + cot2 β = csc2 β

funciones trigonométricas de la suma de ángulos

sen(α + β) = senα cos β + sen β cos α

cos(α + β) = cos α cos β − senα sen β

tan(α + β) =tan α + tan β

1− tan α tan β

funciones trigonométricas de la diferencia de ángulos

sen(α− β) = senα cos β − sen β cos α

cos(α− β) = cos α cos β + senα sen β

tan(α− β) =tan α− tan β

1 + tan α tan β

Funciones trigonométricas para el ángulo doble

sen 2α = 2 senα cos α

cos 2α = cos2 α− sen2 α = 2 cos2 α− 1 = 1− 2 sen2 α

tan 2α =2 tan α

1− tan2 α

cot 2α =cot2 α− 1

2 cot α

Funciones trigonométricas de ángulo mitad

senα

2=

√1− cos α

2(3)

cosα

2=

√1 + cos α

2(4)

tanα

2=

√1− cos α

1 + cos α(5.1)

- 181


Suma y Diferencia de Senos y Cosenos

senα + sen β = 2 sen(

α + β

2

)cos

(α− β

2

)

senα− sen β = 2 cos

(α + β

2

)sen

(α− β

2

)

cos α + cos β = 2 cos

(α + β

2

)cos

(α− β

2

)

cos α− cos β = −2 sen(

α + β

2

)sen

(α− β

2

)

Ejemplo 5.8 Simplificar: y = sen(β + 45) + sen(β − 45).

Solución: Sabiendo que:

sen(α + β) = senα cos β + sen β cos α (5.2)cos(α− β) = cos α cos β + senα sen β (5.3)

y = cos(β + 45) + sen(β − 45) Por dato= cos β cos 45− sen β sen 45 + sen β cos 45− cos β cos 45 Por 5.2 y 5.3

= cos β

√2

2− sen β

√2

2+ sen β

√2

2− cos β

√2

2Por el Cuadro5.2 página 178

= 0

Ejemplo 5.9 Demostrar: tan α− tan β =sen(α− β)

cos α cos β

Solución: Sea y = tan α− tan β

y =sen(α− β)

cos α cos β

=senα cos β − sen β cos α

cos α cos β

=senα cos β

cos α cos β− sen β cos α

cos α cos β

= tan α− tan β

∴ tan α− tan β =sen(α− β)

cos α cos β

- 182

UMSS - FCyT - Departamento de Matemáticas5.2. ÁNGULOS Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Ejemplo 5.10 Resolver la ecuación trigonométrica 5 sen x = 6 cos2 x

Solución:5 sen x = 6(1− sen2 x)

6 sen2 x + 5 sen x− 6 = 0

Resolviendo la ecuación de segundo grado

sen x =2

3x1 = 41o; x2 = 138o

sen x = −3

2

5.2. ÁNGULOS Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRI-CAS

5.2.1. Ángulos positivos y negativos

5.2.2. Ángulos en sistema de coordenadas cartesianas

5.2.3. Funciones trigonométricas

5.2.4. Variaciones de las funciones trigonométricas


1. En qué cuadrante está el ángulo 225o

Respuesta. III.


Respuesta. IV.

3. En qué cuadrante está el ángulo −315o

Respuesta. I.


Respuesta: II.


Respuesta. I.

- 183



Respuesta: Entre II y III.





En los ejercicios 11, 12, 13, 14, 15, 16 y 17, dar un ángulo positivo yuno negativo que tengan cada uno el mismo lado inicial y el mismo ladoterminal que cada uno de los siguientes ángulos.

11. 45o

Respuesta: 405o, −315o

12. −30o

13. 120o Respuesta: 480o, −240o

14. −200o

15. −390o

Respuesta: 330o, −30o

16. 340o

17. 330o

En los ejercicios 18, 19, 20, 21 y 22, hallar las funciones del ángulo XOPpara las siguientes posiciones de P (siendo OX el lado inicial en cadacaso ). Expresar las soluciones como fracciones comunes en la forma mássimple. Las soluciones están dadas en el orden seno, coseno, tangente.

18. (−4, 3). Respuesta:3

5, −4

5,−3

4, etc.

19. (−1,−2). Respuesta: −2√

5

5, −

√5

5, 2, etc.

20. (−15, 8).

21. (−1,−1). Respuesta: −√

2

2, −

√2

2, 1, etc.

- 184

UMSS - FCyT - Departamento de Matemáticas5.2. ÁNGULOS Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

22. (−6, 8). Respuesta:4

5, −3

5, −4

3, etc.

23. ¿Que ángulo positivo menor que 360o tiene el mismo lado terminal que−30o? ¿Cuáles son los valores de las funciones de −30o ?

Respuesta: 330o; −1

2,

√3

2, −

√3

3, etc.

En los ejercicios 24, 25 Hallar los valores de las funciones de los sigu-ientes ángulos. Dibujar en cada caso una figura indicando sobre ella poruna flecha la magnitud y dirección del ángulo, y por números los valoresde x, y, r.

24. −60o Respuesta: −√

3

2,

1

2, −√3, etc

25. −390o Respuesta: −1

2,

√3

2, −3

3, etc.

26. Calcular las Funciones trigonométricas del ángulo α, sabiendo que: sen α =4

5

27. Calcular las funciones trigonométricas de α, sabiendo que: csc α =5

2

Respuesta: sen α =2

5; cos α =

√21

5; tan α =

2√

21

21; sec α =

5√

21

21;

cot α =

√21

2.

28. sec α =6

5

Respuesta: sen α =

√11

6; cos α =

5

6; tan α =

√11

5; csc α =

6√

11

11; cot α =

5√

11

11.

29. cot α =1

3Respuesta: sen α =

3√

10

10; cos α =

√10

10; tan α = 3; csc α =√

10

3; sec α =

√10

En los ejercicios 30, 31, 32, 33, 34, verificar las identidades:

30. 1 + sen α tan α =sen α + cot α

cot α

- 185


31. (sen α + cos α)2 + (cos α− sen α)2 = 2

32.tan α + 1

1− tan α=

1 + cot α

cot α− 1

33.tan

(π

2− α

)

tan(π

2− α

)− tan

(π

2− β

) = 1− tan α

tan α− tan β

34.tan α + tan β

tan(π

2− α

)+ tan

(π

2− β

) = tan α · tan β .

35. hallar el valor de las expresiones siguientes:

a)2 sen 30o

tan 60o+

1

cos 180o− tan 30o Respuesta: −1

b)tan 45o + sec 45o

sen 90o − sen 45o+

1

cos 360o + cos 65o− tan 30o

Respuesta: 6 + 2√

2

c)tan 45o cos 60o

sec 180o + 2+

sen 30o − cot 60o

tan 360o + 1Respuesta:

3−√3

3

36. Estudiar las variaciones del seno y tangente en el primer cuadrante; delcoseno y de la cotangente en el segundo y de la secante y cosecante en eltercero.

37. Si a = 30o; b = 180o; c = 90o; d = 270o. Hallar el valor de las expresiones:

a)√

cos2a + 2 sen a

sen c + cot dRespuesta :

√2

2

b)√

cos2 0o − 3 tan a cos b

1 + 3 cot 60oRespuesta:1

c)

cos2 60o

sen a− cos b tan 45o

1 + 3 sec2 b

2− cot 60o + 3 sec2 60o

1− csc2 45o

Respuesta:3

43

- 186

UMSS - FCyT - Departamento de Matemáticas5.3. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE DIFERENTES ÁNGULOS

5.3. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DEDIFERENTES ÁNGULOS

5.3.1. Círculo y líneas trigonométricas

5.3.2. Reducción al primer cuadrante

5.3.3. Funciones trigonométricas de ángulos complemen-tarios, suplementarios


1. Expresar las funciones trigonométricas de los siguientes ángulos por lasde un ángulo menor de 45o

a) 74o b) 85o. c)140o d) 166o

2. Hallar los valores de las funciones trigonométricas de 135o y 150o

3. Reducir a un ángulo menor de 45o, las funciones trigonométricas de lossiguientes ángulos:a) 118o b) 172o c) 102o 51′

4. Expresar las siguientes funciones trigonométricas por las de un ánguloagudo: a) sen 99o b) tan 136o c) cos 147o

5. Hallar los valores de las siguientes funciones:

a) sen 210o Respuesta:−1

2b) tan 225o

Respuesta: 1 c) sec 240o Respuesta:−2

6. Reducir al primer cuadrante las funciones trigonométricas de los sigu-ientes ángulosa) 285o b) 310o c) 209o

d) 306o

7. Expresar las funciones trigonométricas de los siguientes ángulos como lasde un ángulo de menor de 45o

a) 289o b) 297o c) 352o

- 187


8. Reducir las funciones trigonométricas de los siguientes ángulos las de unángulo positivo menor de 45o

a) −82o b) −132o c) −234o d) −356

9. Hallar los valores de las siguientes funciones:a) sen(−30o) b) cot(−120o) c) sen(−300o)d) sec(−315o) e) sen(−225o)

10. Reducir las funciones trigonométricas de los siguientes ángulos a las deun ángulo positivo menor de 45o :a) 748o b) 249o c) 3889o d) 12096o e) 6120o

11. hallar los valores de las siguientes funciones trigonométricas:a) sen(−330o) b) sen 2820o c) cos(−420o) d) cot 675o

12. Simplificar las expresiones:

a)cos(−x)

cos(180o − x)− sen(360o + x)

sen(−x)) Respuesta: 0

b)sen(90o + a)

cos(−a)+

cos(90o − a)

sen aRespuesta: 2

13. Calcular las funciones trigonométricas del ángulo α = 120o

14. Calcular las funciones trigonométricas del ángulo: α = 212o

15. Calcular las funciones trigonométricas del ángulo α = 315o

En los ejercicios 16,17, . . ., 29, expresar las funciones trigonométricas delos siguientes ángulos, mediante las funciones trigonométricas de un án-gulo del primer cuadrante.

16. 112o40′

Respuesta:sen 112o40′ = sen 77o20′

cos 112o40′ = − cos 77o20′

tan 112o40′ = − tan 77o20′

- 188


csc 112o40′ = csc 77o20′

sec 112o40′ = − sec 77o20′

cot 112o40′ = − cot 77o20′

17. 164o

18. 205o15′28′′

Respuesta:sen 205o15′28′′ = − sen 25o15′28′′

cos 205o15′28′′ = − cos 25o15′28′′

tan 205o15′28′′ = tan 25o15′28′′

csc 205o15′28′′ = − csc 25o15′28′′

sec 205o15′28′′ = − sec 25o15′28′′

cot 205o15′28′′ = cot 25o15′28′′

19. 249o

20. 221o50′53′′

21. 309o27′16′′

Respuesta:sen 309o27′16′′ = − sen 50o32′44′′

cos 309o27′16′′ = cos 50o32′44′′

tan 309o27′16′′ = − tan 50o32′44′′

csc 309o27′16′′ = − csc 50o32′44′′

sec 309o27′16′′ = sec 50o32′44′′

cot 309o27′16′′ = − cot 50o32′44′′

22. 285o

23. 346o13′58′′

24. 331o45′19′′

25. −110o49′20′′

Respuesta:sen(−110o49′20′′) = − sen 69o10′40′′

cos(−110o49′20′′) = − cos 69o10′40′′

tan(−110o49′20′′) = tan 69o10′40′′

csc(−110o49′20′′) = − csc 69o10′40′′

- 189


sec(−110o49′20′′) = − sec 69o10′40′′

cot(−110o49′20′′) = cot 69o10′40′′

26. −66o5′8′′

27. −857o

28. −315o45′23′′

29. −638o15′57′′

30. Calcular el valor de la expresión:sen(180o − α) cos(90o − α) + sen(90o + α) cos(180o − α)Respuesta: −1.

31. Calcular el valor de la expresión:sen(π − α) cos(π + α)

tan(2π + α)Respuesta: − cos2 α

32. Calcular el valor de la expresióntan2(2π + α) sen2

(π

2− α

)− cos(π − α) sen(−α)

Respuesta: 0.

33. En un triángulo rectángulo ABC, b=24, c=10. Calcular las funcionestrigonométricas de C.

34. Dado sen(B) =4

5, b = 540. Hallar la hipotenusa del triángulo

Respuesta: 50.

35. Hallar la hipotenusa de un triángulo rectángulo sabiendo que cos C =4

5y b = 16Respuesta: 20

36. En un triángulo rectángulo ABC, sen B =5

16, hallar las funciones

restantes de B.

- 190


37. En el triángulo rectángulo ABC, c = 48 cm. y sec C =13

5Respuesta: a = 52 : b = 20

38. Dado cos(B) =3

4construir el ángulo B y hallar las demás funciones de

este ángulo.

39. Si sec(B) = 4,25 construir B y calcular todas las funciones.

40. sen 30o cos(45o)

Respuesta:√

2

4

41.30o

cos(45o)+

sec 45o

tan 45oRespuesta:

3√

2

2

42. Hallar x en la ecuación: 2x sen 45o cot 30o = cos 60o

Respuesta:√

6

12

43. Probar la siguiente identidad:sen 30o

cos 45o− cos 60o tan 30o =

√2− 1

2

44. Hallar el valor númerico de la expresión: tan 60o − cot2 45o cos 30o

Respuesta:√

3

2

45. Hallar el valor númerico de la expresiónsen 45o

tan 45o− cos2 60o

sen 30o

Respuesta:√

6− 3

6

46. Probar la identidad:4 tan2 30o sec2 45o

1− cot2 60o= 3

- 191


47. Probar la identidad:3 sen 45o sen2 30o

csc2 30o − 14cot2 45o

− 2 sec 60o cos 45o

1− cot2 30o= −79

√2

10

48. Probar la identidad:4 cos2 30o sen2 45o tan 60o

3 csc2 30o − 2 cos2 45o+

cos2 60o

16 sec2 60o=

1 + 9√

3

48

49. Calcular las funciones trigonométricas de x sabiendo que: sen x =3

5

50. Calcular las funciones trigonométricas de x sabiendo que: sec x = −12

3

51. Calcular las funciones trigonométricas de x sabiendo que: cos x = −20

29

52. Calcular las funciones trigonométricas de x sabiendo que: sen x = −2

7

53. Calcular las funciones trigonométricas de x sabiendo que: tan x = 225

5.4. IDENTIDADES Y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

5.4.1. Expresión de una función en términos de las restantes

5.4.2. Funciones trigonométricas de la suma y diferencia

5.4.3. Funciones trigonométricas de los múltiplos de unángulo

5.4.4. Ecuaciones trigonométricas

5.4.5. Resolución de triángulos


1. Si cos a =8

17, csc b = 5

5

4, hallar sen(a + b) y tan(a− b)

Respuesta:77

85;13

85.

- 192

UMSS - FCyT - Departamento de Matemáticas5.4. IDENTIDADES Y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

2. Si tan x =2

11, tan y =

24

7,hallar tan(x− y) y cot(x + y)

Respuesta: −2;29

278

3. Si sen x =1

2, cos y = −

√3

2, hallar cos(x + y) y tan(x− y). Sabiendo que

x es un ángulo del segundo cuadrante e y del tercer cuadrante.Respuesta: −1;−√3

4. Probar que:

a)cos(x− y)

cos x sen y= tan x + cot y.

b)tan(x− y) + tan y

1− tan(x− y) tan y= tan x.

5. Hallar sen 75o, usando sen(x+y) = sen x cos y+cos x sen y y las funcionesde 45o , 30o.

6. Si tan x =3

4y tan y =

7

24, hallar sen(x + y) y cos(x + y) cuándo x y y

son ángulos agudos

Respuesta: sen(x + y) =4

5, cos(x + y) =

3

5.

7. Hallar cos(210o+A) si sec A = −√3 y A termina en el segundo cuadrante.Demostrar que:

8. sen(45o + x) =cos x + sen x√

2

9. sen(y + 135o) =cos y − sen y√

2.

10. Hallar el sen 15o, usando las funciones de de 45o y 30o.

Respuesta:√

6−√2

4.

11. Hallar sen(x − y) y cos(x − y), sabiendo que tan x =4

3y tan y =

3

4, y

que x termina en el tercer cuadrante e y en el primero.

Respuesta: sen(x− y) = − 7

25, cos(x− y) = −24

25.

- 193


12. cos(x− 315o) =cos x− sen y√

2

13. cos(30o + y)− cos(30o − y) = − sen y.

14. sen(x + y) sen(x− y) = sen2 x− sen2 y.

15. Hallar tan 75o conocidas las funciones de 45o y 30o.Respuesta: 2 +

√3.

16. Hallar tan(x+y) y tan(x−y), teniendo como datos tan x =1

2y tan y =

1

4.

Respuesta:6

7,

2

9.

Demostrar que:

17. tan(A− 60o) =tan A−√3

1 +√

3 tan A.

18. tan x + tan y =sen(x + y)

cos x cos y.

19. tan(x + 45o) + cot(x− 45o) = 0.

20. Calcular las funciones trigonométricas del ángulo de 75o considerando adicho ángulo como la suma: 30o + 45o .

Respuesta: sen 75o =

√2(1 +

√3)

4, cos 75o =

√2(√

3− 1)

4, tan 75o =

2 +√

3, csc 75o =√

2(√

3 − 1), sec 75o =√

2(√

3 + 1), cot 75o =2−√3

21. Calcular las funciones trigonométricas del ángulo de 15o considerando adicho ángulo como la diferencia : 60o − 45o

Respuesta: sen 15o =

√2(√

3− 1)

4, cos 15o =

√2(1 +

√3)

4, tan 15o =

2 − √3, csc 15o =

√2(√

3 + 1), sec 15o =√

2(√

3 − 1), cot 15o =2 +

√3

22. Sabiendo que: sen α =2√

2

3y cos β =

√15

4calcular: sen(α+β) y cos(α−

β)

Respuesta: sen(α + β) =2√

30 + 1

12; sen(α− β) =

2√

30− 1

12

- 194


23. Sabiendo que: cos α =4

5y cos β =

7

25calcular: cos(α + β) y cos(α− β)

Respuesta: cos(α + β) = − 44

125; cos(α− β) =

4

5

24. Determinar el ángulo x del 2do cuadrante que verifica la siguiente ecuación:

sen(x− 30o)

tan(x + 180o)=√

3 cos x

Respuesta: x = 150o

Verificar las siguientes identidades:

25.sen(π − α)

cos(π + α)−

cos(π

4− α

)

sen(π

4+ α

) = tan α− 1

26.1

1 + tan2 α= cos2 α

27. Si sen a =12

13, hallar las funciones de 2a

28. Dado cos x =1

2, hallar sen x y tan x.

Respuesta:√

3

2;√

3.

29. Dado tan a = −113, Hallar cos(2a) y cot(2a) siendo a del cuarto cuad-

rante.Respuesta: − 7

25;

7

24.

30. Dado sen x = −3

5, siendo x del tercer cuadrante, hallar tan(3x).

Respuesta: −229

44

31. Sabiendo que tan x = 2 y que x está en el tercer cuadrante, hallarsen 2x, cos 2x, tan 2x.

Respuesta: sen 2x =4

5, cos 2x = −3

5, tan 2x = −4

3

32. Si A está en el tercer cuadrante y sen A = −3

5, hallar

- 195


a) cos(90o + A). Respuesta:3

5.

b) cot(180o − 2A). Respuesta: − 7

24.

c) sec(270o − 2A). Respuesta: −25

24.

Resolver las siguientes ecuaciones para ángulos positivos menores de 360o

33. 3 sen x = 2− 2 sen2(x) 30o, 150o

34. cos2 x−1

2= sen2 x Respuesta: 30o, 150o, 210o, 330o.

35. cos x =2 tan x

1 + tan2 xRespuesta: 30o, 180o

36. sec(2x) =1

sen xRespuesta: 30o, 150o, 270o.

Resolver las siguientes ecuaciones para valores de x comprendidos entre0o y 360o :

37. sen2 x =1

4Respuesta: 30o, 150o, 210o, 330o.

38. tan2 x− 3 = 0. Respuesta: 60o, 120o, 240o, 300o.

39. sen2 2x− 1 = 0. Respuesta: 45o, 135o, 225o, 315o.

40. cot2 x

2= 3. Respuesta: 60o, 300o.

Hallar, en radianes, todos los ángulos comprendidos entre 0 y 2π quesatisfacen a las siguientes ecuaciones:

41. (tan x + 1)(√

3 cot x− 1) = 0. Respuesta:π

3,

3π

4,

4π

3,

7π

4

42. 2 cot θ sen θ + cot θ = 0.

Resolver las siguientes ecuaciones para valores del ángulo comprendidoentre 0o y 360o.

43. 4 sec2 y − 7 tan2 y = 3. Respuesta: 30o, 150o, 210o, 330o.

- 196


44. sen x + cos x = 1.

45. cot2 θ − 3 csc θ + 3 = 0. Respuesta: 30o, 90o, 150o.

46. tan2 x + cot2 x− 2 = 0.

47. cos 2x + cos x = −1. Respuesta: 90o, 120o, 240o, 270o.

48. sen(30o + x)− cos(60o + x) = −√

3

2Respuesta: 210o, 330o.

49. sen x senx

2= 1− cos x. Respuesta: 0o, 360o.

50. senx

2+ cos x = 1.

51. cos2 x + 2 sen x = 0. Respuesta: 204o28′, 335o32′.

52. sec2 x− 4 tan x = 0.

53. sen x + sen 2x + sen 3x = 0.Respuesta: 0o, 90o, 120o, 180o, 240o, 270o, 360o.

54. tan x + tan 2x + tan 3x = 0.

55. sen 4x− cos 3x = sen 2x.Respuesta: 30o, 90o, 150o, 210o, 270o, 330o.

56. El extremo de un poste que partió dista 8,45 m. de la base del poste yforma con el suelo un ángulo de 40o28′. Hallar la altura original del poste.Respuesta: 18,31 m.

57. En un triángulo ABC, A = 60o, a = 8 m., b = 6 m. . Calcular c usando laley de los cosenos.Respuesta: 9,08 m.

58. Calcular qué longitud debe tener una escalera, para que, apoyada en lapared alcance una altura de 2,85 m. al formar con el plano de la base unángulo de 58o1′

Respuesta: 3,36 m.

- 197


59. Una de las diagonales de un rombo es de 30 cm. y forma con uno de loslados del mismo un ángulo de 25o42′11′′. Calcular la otra diagonal y elperímetro del rombo.Respuesta:

diagonal: 14, 44 cm.perímetro: 66, 588 cm.

60. La altura correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo,determina sobre ella dos segmentos de 2, 5 cm y 4, 9 cm respectivamente.Calcular cada uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo dado.Respuesta: 54o27′44′′ y 35o32′16′′.

61. Hallar el área de un triángulo isóseles de 48.54m. de altura, siendo elángulo del vértice 26o48′.Respuesta: 561,12 m2.

62. El lado de un triángulo equilátero mide 384.06m. Hallar su áreaRespuesta: 63870 m2.

- 198

Bibliografía

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[2] Aurelio Baldor, ÁLGEBRA. PUBLICACIONES CULTURAL.

[3] H.S.Hall, S.R. Knighht, ÁGEBRA SUPERIOR. EDITORIAL UTEHA

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199

Cuadernillo de Ejercicios.

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