CtosCap1

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Capítulo 1EL CONCEPTO DE CIRCUITO

1.1 OBJETIVO

Partiendo de una descripción cualitativa de los fenómenos físicos asociados al

movimiento de cargas eléctricas en un aparato, introducir el concepto de circuitocomo modelo matemático aproximado que predice resultados que están satisfac-toriamente de acuerdo con la observación experimental y que, bajo ciertassuposiciones que son claramente establecidas, permite describir completamenteel comportamiento del aparato mediante ecuaciones que relacionan cantidadesescalares que varían con el tiempo únicamente, haciendo innecesario la soluciónde las ecuaciones de Maxwell (indispensable cuando se desea un análisis exacto),cuyas variables son vectores que dependen de la posición y cambian con eltiempo.

1.2 PROBLEMA FUNDAMENTAL DE LA TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA.

1.2.1 CONCEPTO DE CAMPO.

Para ilustrar el significado de los términos usados en electricidad y magnetismose usarán ejemplos tomados de la mecánica. Los conceptos de fuerza y masaestán estrechamente relacionados entre sí (recuérdese la ley de la gravitación).Si se considera, por ejemplo, la fuerza mutua de atracción entre la tierra y uncuerpo cualquiera se puede asociar a cada punto una cantidad vectorial iguala la fuerza que actuaría sobre éste. A través de un proceso de abstracción se

puede pensar en esta fuerza como en una cualidad del espacio sin hacerreferencia explícita a la causa que la produce. Se define, pues, un campo defuerza como una región del espacio donde una fuerza se asocia con cada puntoy la intensidad de campo en un punto del mismo como la fuerza ejercida sobreuna cantidad unitaria colocada en ese punto.

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2 EL CONCEPTO DE CIRCUITO

u x y z

W

V

V

( , , ) l i m

= →∆

∆

∆0

(1-1)

En su forma más general, en Física un CAMPO se define como una región delespacio en la que a cada punto se asocia una cantidad que, por lo tanto, esfunción de la posición y que, puede ser escalar (como por ejemplo, presión, tempe-ratura, potencial, etc.) o vectorial (casi siempre una fuerza).

1.2.2 ENERGÍA ALMACENADA EN EL ESPACIO.

Considérese el movimiento de una masa M en el campo gravitacional de la tierra.Supóngase que la masa, que estaba en reposo en el punto A, a una altura h 1,cae libremente a un punto B de altura h2. En el punto B la masa ha ganado unaenergía cinética que no poseía en el punto A. ¿De dónde ha salido esta energía?.Esta pregunta se responde introduciendo el concepto de energía potencial. Laenergía potencial del punto A con respecto al punto B es M.g.(h1 - h2), donde

g es la "constante" de la gravedad. Así, cuando cae desde el punto A hasta elpunto B la masa ha perdido M.g.(h1 - h2) de su energía potencial que se haconvertido en energía cinética. Este argumento es muy común. Sin embargo,en el punto A la masa tenía cierta energía potencial. ¿Dónde estaba localizadaésta?. En la teoría de campo se supone que la energía está almacenada en elespacio donde la fuerza gravitacional existe. Cuando una masa cae librementeen este campo (se mueve bajo la acción de éste) extrae energía de él. Para elevaruna masa en un campo gravitacional se debe vencer la fuerza ejercida por elcampo sobre ella y hacer un trabajo. La energía gastada para hacer éste, quedaalmacenada en el campo. Análogamente, se puede pensar que si existen otroscampos de fuerza, diferentes al gravitacional, en las regiones donde es su asiento,

se almacena energía.

1.2.3 DENSIDAD DE ENERGÍA.

Es lógico suponer que la energía almacenada en un volumen infinitesimal∆W

depende del vector intensidad de campo (se supone que éste no varía∆V

apreciablemente de un punto a otro en el elemento diferencial de volumen). Porlo tanto, la cantidad de energía por unidad de volumen (densidad de energíau) depende de la posición y se define por la ecuación:

Se define un campo estático o dinámico según la intensidad de campo varíe ono con el tiempo.

1.2.4 CAMPO ELECTROMAGNÉTICO.

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EL CONCEPTO DE CIRCUITO 3

(1-2)

(1-3)

(1-4)

(1-5)

Los conceptos de carga y de campo eléctrico y magnético asociados a ella seintroducen en Física para explicar ciertos fenómenos observados en la naturaleza.La carga eléctrica es una cantidad fundamental y se describe por sus propiedadescomo sigue:

1. Está siempre asociada con una masa.

2. Existe bajo dos formas (positiva y negativa).

3. Dos campos vectoriales se asocian con una carga móvil: el eléctrico E

y el magnético B. Sus intensidades en un punto del espacio dependende la magnitud de la carga, su velocidad, su aceleración, la distancia entreel punto considerado y aquél donde está localizada la carga y de trescualidades del medio , y llamadas su permitividad eléctrica,ε µ ρ

permeabilidad magnética y resistividad, respectivamente.

La teoría electromagnética relaciona E y B entre sí con respecto a la distribucióny movimiento de las cargas en el espacio mediante las ecuaciones de Maxwell:

Ley de Gauss de la electricidad:

Ley de Gauss del magnetismo:

Ley de Ampère:

Ley de inducción de Faraday:

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(1-6)

(1-7)

que se formulan conjuntamente con las siguientes suposiciones:

1. La densidad de energía en un punto de un campo eléctrico en el cual su

magnitud es E es

2. La densidad de energía en un punto de un campo magnético en el cualsu magnitud es B es:

donde y se denomina intensidad de campo magnético.B = µ H

H

3. En un punto en el que la magnitud de la intensidad de campo eléctrico

es E la energía eléctrica se transforma en calor con una rapidez E

2

/ ρ

por unidad de volumen por segundo.

Un portador de carga moviéndose en un campo electromagnético intercambiaenergía con él: si es acelerado por el campo absorbe energía de éste y aumenta

su energía cinética, si es decelerado la energía cinética que pierde el portadorse almacena en el campo. Si el medio tiene resistividad finita, energía electromag-nética se convierte en calor.

El problema fundamental de la teoría electromagnética es la determinación deE y H en función de la posición y del tiempo y de la distribución de energía y sutransformación en el espacio cuando se conocen la distribución de cargas y susvelocidades y aceleraciones iniciales.

1.3 APROXIMACIONES QUE SE HACEN EN LA TEORÍ A DE CIRCUITOS

Y SU PROBLEMA BÁSICO

Cualquier dispositivo eléctrico en funcionamiento está vinculado al movimientode cargas generalmente con velocidades no uniformes. Por lo tanto, un campoelectromagnético se establece en todo el espacio: la energía se transfiere deuna región a otra (radiación), se transforma en calor y se almacena. Un análisisexacto del comportamiento de tales aparatos se debe hacer mediante el uso de

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FIGURA 1-1 Red de puertas que puede representar (ser el circuito equivalen-

te de) un aparato.

la teoría de campo, pero esto resultaría difícil e impracticable. Es necesarioentonces desarrollar un método aproximado, pero suficientemente preciso, queconduzca a soluciones que estén satisfactoriamente de acuerdo con laobservación experimental, llamado TEORÍA DE CIRCUITOS que se basa en lassiguientes suposiciones:

1. Se desprecia la radiación a lugares distantes, es decir, la energía sealmacena en el aparato y su inmediata vecindad. La teoríaelectromagnética demuestra que esto se cumple siempre y cuando elproducto entre la mayor dimensión de éste y el máximo valor de laaceleración de las cargas sea mucho menor que el cuadrado de lavelocidad de la luz, lo cual es casi siempre el caso.

2. Cualquier dispositivo eléctrico se representa mediante una interconexiónde regiones accesibles únicamente a través de dos terminales llamadaspuertas (red o circuito equivalente) que pueden o no representar partesfísicas del aparato y en las que se localizan (concentran) separadamenteel almacenamiento de energía en el campo eléctrico, y/o magnético, y/ola disipación de energía electromagnética en calor y/o la transformaciónde otras formas de energía (mecánica, térmica, nuclear, solar o lumínica)para obligar a los portadores de carga a moverse a través de losconductores (ver Figura 1.1)

En vez de hallar E y H en todos los puntos del aparato en cada instante, la teoríade circuitos asocia a cada puerta dos funciones del tiempo de las cuales determinael almacenamiento, distribución y transformación de energía en cada una de ellasen función del tiempo únicamente (problema básico).

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1 independientemente de la naturaleza delmovimiento y del tipo de cargas.

(1-8)

(1-9)

1.4 LAS DOS VARIABLES PRINCIPALES EN LA TEORÍ A DE CIRCUITOS

1.4.1 CORRIENTE.

Debido a que se ha supuesto que hay cargas eléctricas moviéndose dentro delaparato, ellas deben confinar su movimiento a través de trayectorias cerradas,razón por la cual se supone que las cargas que entran por un terminal de unapuerta salen por el otro. El fenómeno de transferencia de carga de un punto aotro del circuito se describe mediante la función corriente eléctrica i(t) que sedefine como la rapidez con que se produce flujo neto de carga positiva a travésde la sección transversal de una puerta cualquiera1. Matemáticamente se puedeexpresar por la ecuación

Ya que cargas de signos opuestos se mueven en direcciones contrarias en uncampo dado y una carga positiva que se mueva en una dirección es equivalente,para casi todos los efectos externos, a una carga negativa moviéndose endirección opuesta, es necesario adoptar una convención para estableceruniformidad algebraica: actualmente es costumbre universal suponer que todoslos portadores de carga son positivos y dibujar una flecha en uno cualquiera delos sentidos para describir el flujo neto de carga positiva aunque no se tengainformación sobre el movimiento exacto de las cargas por dentro, lo cual permitedarle una interpretación a los valores positivos y negativos de i(t) (ver Figura

1.2 ).

Nótese que una puerta se caracteriza por la igualdad entre la corriente instantáneaque fluye hacia uno de los terminales y la que sale por el otro.

Nótese que:

En lo sucesivo las cantidades variables con el tiempo se designarán por letras

minúsculas y las constantes por mayúsculas.

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FIGURA 1.2 Puerta y convenciones para las variables asociadas a ella.

V V

W

q

a b

b a

− =

0

(1-10)

1.4.2 VOLTAJE.

El trabajo realizado para vencer la fuerza que el campo eléctrico ejerce sobre

una carga positiva unitaria cuando ésta se trae desde el infinito hasta un puntoP, es, por definición, el potencial de éste VP. Así mismo, el significado físico dela diferencia de potencial entre dos puntos (voltaje o tensión entre ellos), a y b,es el trabajo necesario para transportar una carga positiva unitaria desde un puntoal otro. Algebraicamente,

donde Wba es el trabajo externo necesario para vencer la fuerza ejercida por el

campo eléctrico sobre una carga de prueba q0 mayor que cero, cuando ésta selleva desde el punto b hasta el a. Nótese que si Va > Vb, entonces Wba > 0.

En general, el voltaje entre dos puntos a y b se describe mediante una funcióndel tiempo t, vab(t). Sin embargo, puesto que el valor de éste puede ser positivoo negativo según el instante (valor particular de t) en que se evalúe, es necesario

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(1-11)

(1-12)

(1-13)

darle una interpretación a sus valores positivos. Con este propósito haycostumbres ampliamente difundidas en la literatura (ver Figura 1.2 ):

a. Indicar una polaridad, por medio de signos más y menos (+ y -) colocadosen los terminales de la puerta.

b. Dibujar un segmento de línea dirigido en el que la flecha apunta al terminalde polaridad positiva cuando la función es mayor que cero.

c. Dando al orden de los subíndices el significado que se ilustra en la Figura1.2.

Nótese que

De la ecuación (1-10) se observa que para llevar un diferencial de carga * q(mayor que cero) desde un punto b a otro de mayor potencial a, a través de unadiferencia de potencial vab, se requiere hacer (generar) un trabajo externo,

Similarmente se puede concluir que la energía "ABSORBIDA" por unidad detiempo (potencia pABS) por una puerta viene dada por la expresión:

1.5 ELEMENTOS DE CIRCUITO IDEALIZADOS DE PARÁMETROS CON

CENTRADOS.

Los factores , y son propiedades físicas del medio y se llaman parámetrosε µ ρ

distribuidos puesto que su valor puede cambiar continuamente de un punto aotro. En la teoría de circuitos se deben encontrar parámetros análogos que co-

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(1-14)

(1-15)

(1-16)

rrespondan a la permitividad, permeabilidad y resistividad del medio pero queestén asociados a una puerta.

Para representar el proceso de almacenamiento y conversión de energía de unaparato eléctrico la teoría de circuitos recurre a cinco símbolos a saber:

1.5.1 INDUCTANCIA.

Se designa por la letra L y por el símbolo mostrado en la Figura 1.3a. Es unapuerta en la que se supone concentrada la energía del campo magnético WM

asociada a alguna parte física del aparato. Teniendo en cuenta que H esproporcional a la corriente y la expresión (1-7), se puede definir, por analogía,mediante la ecuación:

1.5.2 CAPACITANCIA.

Se designa por la letra C y por el símbolo mostrado en la Figura 1.3b. Es unapuerta en la que se supone concentrada la energía del campo eléctrico WE

asociada a alguna parte física del aparato. Teniendo en cuenta que la diferenciade potencial y el campo eléctrico son mutuamente proporcionales y la expresión

(1-6), se puede definir, por analogía, mediante la ecuación:

1.5.3 RESISTENCIA.

Se designa por la letra R y por el símbolo mostrado en la Figura 1.3c. Es unapuerta en la que se supone concentrada la disipación de energía en calor(calentamiento) asociada a una parte física del aparato. Por analogía con laexpresión para la rapidez con la cual la energía electromagnética se transformaen calor por unidad de volumen se puede definir mediante la ecuación:

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FIGURA 1.3 Sí mbolos y designación de los elementos de circuito idealizados

de parámetros concentrados.

1.5.4 FUENTES

Para producir movimiento de cargas en un aparato eléctrico es necesariotransformar otras formas de energía en electromagnética lo cual se representa

i por una puerta que mantiene un voltaje entre sus terminales -constante ovariable con el tiempo- que es independiente de la corriente a través deella y por lo tanto de la red que se conecte entre sus terminales, llamadafuente ideal de voltaje cuyo símbolo se ilustra en la Figura 1.3d.

ii por una puerta que mantiene una corriente a través de ella -constante ovariable con el tiempo- que es independiente del voltaje y por tanto de la

red que se conecte entre sus terminales, que se denomina fuente ideal

de corriente, cuyo símbolo se ilustra en la Figura 1.3e.

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(1-17)

FIGURA 1.4 E s p i r a q u eabraza instan-táneamente unflujo magnéticoexterno n (t)

Nótese que tanto la corriente a través de una fuente ideal de voltaje como elvoltaje a través de una fuente ideal de corriente dependen de la red que seconecte entre sus terminales y que, por lo tanto, puede liberar energía sin límitealguno.

Se dice que una fuente de voltaje o de corriente es dependiente según su voltajeo su corriente, respectivamente, dependan o no de alguna variable (corrienteo voltaje) asociada a una puerta (o de su derivada temporal) de la red que seconecta entre sus terminales. (Ver Figuras 1.3g y 1.3h).

1.5.5 INDUCTANCIA MUTUA.

De la ecuación (1-5) se puede ver que un campo magnético variable con el tiempoproduce un campo eléctrico en todo punto del espacio cuya integral curvilínea

a lo largo de una trayectoria cerrada cualquiera (que se conoce con el nombrede "secundario"), que no necesariamente debe contener algún medio materialy podría ser imaginaria, es diferente de cero. Por lo tanto, si existe un hiloconductor formando una trayectoria cerrada (espira) la corriente fluirá a travésde él como si fuera producida por una fuente de voltaje. Se habla entonces deuna fuerza electromotriz (f.e.m.) inducida e(t) que tendería a enviar corriente através de una espira hipotética en un sentido que se opondría a la VARIACIÓNdel campo magnético externo B (ley de Lenz) y viene dada por la expresión: (leyde inducción de Faraday)

donde S es una superficie cualquiera nonecesariamente plana cuyo perímetroes una trayectoria cerrada (conductorao no).

La ecuación (1-17) que es fundamentalen el estudio de todos los aparatos

electromagnéticos se debe comprendercon toda claridad y por su importanciamerece una discusión especial.

La Figura 1.4 muestra una espiraconductora que en el instante t abraza

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2 Los dedos se doblan en el sentido de la co-rriente y el pulgar indica el del flujomagnético. El pulgar se hace coincidir con elsentido de la corriente y los demás dedos sedoblan en el sentido del flujo magnético. Elsentido de la corriente positiva es el derotación de un tornillo directo que avanza enel sentido del flujo positivo.

líneas de flujo magnético externo cuyo sentido de referencia (interpretaciónφ ( )

t

para los valores positivos) se ha escogido (arbitrariamente) entrando en el planodel papel.

Si

i se tiene en cuenta la naturaleza algebraica de [hay instantes en losφ ( )t

que entra en el plano del papel y otros en los que sale del mismo ( esφ

mayor y menor que cero, respectivamente)];

ii se define como positiva la corriente inducida que circula en el sentidocontrario al de las agujas del reloj, y viceversa, y

iii*

(.)*

denota el valor absoluto de (.)

entonces la tabla 1.1 resume los únicos cuatro casos que se pueden considerar.

Nótese que, aunque la corriente inducida crea un flujo magnético cuyo sentido,determinado mediante la regla de la mano derecha2, puede o no coincidir con

el del flujo magnético externo , en cualquier caso el signo de la corriente inducidaφ

es el mismo que el de . En todo caso el sentido de referencia del campod d tφ /

magnético determinado mediante la regla de la mano derecha y una corrienteinducida positiva (en su sentido de referencia) se opone al sentido de referencia

del campo magnético externo.

En conclusión, si se escoge el sentido de referencia de la corriente inducida detal manera que ésta produzca un flujo magnético (determinado mediante la regla

de la mano derecha) opuesto a (el flujo magnético externo), como en el ejemploφ

anterior, la espira se comporta como si en ella hubiera una fuente de voltaje e(t)dada por la ecuación (1-17) cuya polaridad es tal que la corriente, definida enla forma descrita anteriormente, circula a través de la fuente en el sentido de

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la subida de potencial (Ver Figura 1.5a). Nótese que el sentido de referenciade la corriente a través de la trayectoria cerrada es en el de la caída de potencial.

La Figura 1.5b ilustra una generalización de este resultado al caso de unarrollamiento de N espiras cada una de las cuales concatena el mismo flujo

magnético externo . Siéste varía con el tiempo se genera en el devanado unaφ

fuerza electromotriz igual a la rapidez de variación con el tiempo de dicho flujo

( ) la cual tiende a enviar corriente a través de él en un sentido que sed d tφ /

oponga a la variación del flujo magnético externo.

Similarmente, si se hace circular una corriente i a través de una bobina y, conel sentido de referencia arbitrariamente escogido paraésta, se determina el del

flujo magnético concatenado mediante la regla de la mano derecha, seφ

autoinduce en ella una f.e.m. e(t) dada por la ecuación (1-17), cuyo sentido dereferencia es el que se ilustra en la Figura 1.5c. Cuando se desprecia el efectoresistivo (o de calentamiento) esta f.e.m. e(t) autoinducida es igual al voltaje queaparece entre los terminales de la bobina.

CASO

φ

algebraicad

d t

φ d

d t

φ Sentido de lacorriente in-ducida

I positivo positivo positivo positivo

II positivo negativo negativo negativo

III negativo negativo positivo negativo

IV negativo positivo negativo positivo

TABLA 1.1 Sentido de la corriente inducida

El fenómeno de transferencia de energía de una parte de un aparato a otramediante la variación de un campo magnético se representa por una red de dospuertas y con marcas como se muestra en la Figura 1.3f. Recuérdese que L1

(L2) es una propiedad de una trayectoria conductora cerrada aunque en el circuitoequivalente de ésta se simbolice mediante una puerta. Las marcas significanque las dos trayectorias conductoras cerradas están mutuamente acopladas porinducción, es decir, que una corriente a través de una de ellas produce líneasde fuerza de campo magnético (flujo) que son abrazadas por la otra y viceversa.

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FIGURA 1.5 Relación entre el sentido de referencia de la fuerza electromo-

triz inducida y el del flujo magnético para una espira (a) y una

bobina (b). Auto-inducción en una bobina

1.5.6 ELEMENTOS DE CIRCUITO Y COMPONENTES FÍ SICOS.

Es importante percibir el significado de los conceptos anteriores en un sentidopuramente descriptivo. Aunque en los cursos elementales de Física la resistenciase define en términos de un alambre metálico, la inductancia se asocia a unabobina y la capacidad se relaciona con placas metálicas paralelas, muchas partesde un aparato eléctrico cuya construcción real no contiene estos componentesfísicos, se puede representar mediante combinaciones de R, L, C y/o M. Así, porejemplo, la Figura 1.6 es la representación circuital de una antena o de un cristal

(usado en muchos dispositivos electrónicos, tales como los tocadiscos).

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FIGURA 1.6 Circuito Equivalente de un cristal o de una antena

Sin embargo, en la práctica se diseñan y construyen componentes que poseenuna cualidad principal. Así, por ejemplo, una resistencia transforma energía

eléctrica en calor cuando se hace circular corriente a través de ella. La energíaalmacenada en el campo magnético asociado es tan pequeña que se puededespreciar en casi todos los análisis. Similarmente, la característica más notablede un inductor físico (generalmente un arrollamiento de alambre metálicoalrededor de un núcleo de material ferro-magnético) además del campo magnéticoque produce cuando la corriente circula a través de él, es el calentamiento, razónpor la cual se acostumbra incluir una resistencia en el modelo que sirve paraanalizarlo. Los ingenieros deben usar su experiencia y sentido común paraescoger componentes físicos estableciendo un compromiso entre costos y calidadde los mismos.

Por lo tanto, se debe comprender que de la misma manera en que la F ísicaintroduce conceptos tales como el de partícula aunque todo cuerpo móvil tienedimensiones, o el de cuerpo rígido aunque todos ellos tienen propiedadeselásticas, la teoría de circuitos recurre a las representaciones idealizadas quese han descrito que son modelos conceptuales en términos de los cuales sepredice el comportamiento de aparatos reales, se interpretan resultadosexperimentales y se diseñan dispositivos prácticos.

La teoría de circuitos es, pues, una herramienta básica empleada en el estudiode las diversas especializaciones de la Ingeniería Eléctrica tales comocomunicaciones, máquinas eléctricas, sistemas de transmisión y distribución de

energía, controles automáticos, instrumentación y mediciones, instalacionesindustriales y residenciales, etc.

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(1-18)

(1-19)

(1-20)

1.6 RELACIONES ENTRE VOLTAJE Y CORRIENTE.

1.6.1 PARA ELEMENTOS DE CIRCUITO R, L Y C.

Combinando las ecuaciones (1-14), (1-15) y (1-16) con (1-13), respectivamente,se pueden obtener las relaciones entre el voltaje y la corriente a través de loselementos de circuito L, C y R, que algunos autores consideran como definicionescuantitativas de éstos.

Vale la pena destacar que las ecuaciones anteriores se cumplen sí y solo sí lascorrientes se definen en el sentido de la caída de potencial y los parámetros L,C y R son constantes mayores que cero.

1.6.2 INDUCTORES MUTUAMENTE ACOPLADOS POR INDUCCIÓN.

Sean vk(t) e ik(t) el voltaje y la corriente, respectivamente, a través del k-ésimoinductor, definida ésta en el sentido de la caída de potencial a través de él.

Sea el número total de líneas de flujo magnético abrazado por la k-ésimaφ k

t( )

trayectoria conductora cerrada resultante de la acción simultánea de todas lascorrientes y su sentido de referencia se determina con el de la corriente a travésde ella, ik(t), mediante la regla de la mano derecha. Es decir, el sentido dereferencia de la corriente es el de rotación de un tornillo directo que avanza enel sentido de referencia del flujo magnético.

Sea el flujo magnético concatenado por la k-ésima trayectoria conductoraφ

k j

cerrada cuando i j … 0 e ip = 0

œ (léase "para todo") p

… j, definido en el sentido

de referencia idéntico al de .ϕ k

Si la permeabilidad magnética del medio es constante y los inductorespermanecen fijos en el espacio,

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(1-21)

(1-22)

(1-23)

En la teoría electromagnética la ecuación (1-21) se utiliza para definir y calcularel coeficiente de inductancia propia Mkk (autoinductancia) y el de inductanciamutua Mkj (k … j).

Nótese que:

a. El orden de los subíndices es el de efecto-causa.

b. Mkj depende de las propiedades magnéticas del medio, de la geometríade las trayectorias y de la localización (espacial) relativa entre ellas.

c. Mkk es siempre positivo.

d. Mkj (k … j) puede ser o no negativo.

Por lo tanto,

De la ecuación (1-17) y (1-22) se sigue que:

Es costumbre casi universal suponer que todos los coeficientes de acoplamientomutuo son positivos y colocar las marcas entre dos inductores mutuamenteacoplados de tal manera que corrientes entrando a los inductores por losterminales marcados producen flujos magnéticos del mismo sentido. Lo anteriorsugiere un método para determinar la localización de las marcas entre dos

bobinas mutuamente acopladas cuyos sentidos de arrollamiento se conocen.Lógicamente corrientes saliendo de los inductores por los terminales marcadostambién producen flujos magnéticos del mismo sentido. Es decir, en la Figura1.7, por ejemplo, marcas en los terminales b y c son equivalentes a tenerlas ena y d y significan que icd crearía un flujo magnético cuyo sentido es idénticoφ

2 1

al debido a iba.φ 2 2

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FIGURA 1.7 Interpretación de las marcas entre

dos inductores mutuamente

acoplados

(1-24)

Nótese que cuando lasmarcas se colocan deacuerdo con el criteriod e s c r i t o e l f a c t o rdeterminante en el signo deMkj es la elección (arbitraria)de los sentidos de referenciapara las corrientes a travésde los dos inductores.

Por lo tanto, suponiendotodos los Mkj mayores quecero, se deben afectar los

correspondientes términosMkj (di j /dt) en la ecuación(1-23) del signo apropiado,de la siguiente manera:

positivo si los sentidos de referencia tanto de ik como de i j se definen (através de las bobinas) de los terminales marcados a los no marcados oambas corrientes fluyendo de los terminales no marcados a los marcados;es decir, ambas corrientes entran por o ambas corrientes salen de los

terminales marcados;

negativo cuando una de las corrientes se define entrando por el terminalmarcado y la otra saliendo de éste.

Por lo tanto, la ecuación (1-23) se puede reescribir así:

Se puede concluir, entonces, que el voltaje inducido en un inductor m, con sentidode referencia positivo en el terminal marcado, debido a la variación de corrientea través de otro p, es igual al coeficiente de acoplamiento mutuo Mmp (mayor quecero) multiplicado por la derivada temporal de la función del tiempo cuyos valorespositivos se interpretan como corriente en el otro inductor p fluyendo del terminalmarcado al no marcado.

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(1-25)

FIGURA 1.8 Conjunto de inductores mu-

tuamente acoplados por in-

ducción.

Generalizando e introduciendo notación compacta:

Fácilmente se puede verificar que la matriz de los coeficientes en (1-25), quefrecuentemente se denota por [L], y que se denomina matriz inductancia, essimétrica y todos los elementos de la diagonal son positivos siempre y cuandolas corrientes se definan en el sentido de la caída de potencial.

1.6.2.1 EJEMPLO 1.1:

Las relaciones entre voltajes y corrientes totales a través de los cuatro inductoresmutuamente acoplados de la Figura 1.8 pueden expresarse en forma matricialde la siguiente manera:

Nótese que en este ejemplo laspuertas inductivas mutuamenteacopladas se identifican mediantelos cuatro primeros números, asaber: 1, 2, 3 y 4. Sin embargo, enuna red particular de la que haganparte pueden no designarse connúmeros consecutivos. En cual-quier caso, (1-25) se cumpleindependientemente del circuito

que los contenga y de la ubicaciónde ellos en la red, razón por la cual se le conoce con el nombre de ecuación

primitiva.

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(1-26)

(1-27)

(1-28)

1.7 GENERALIZACIÓN Y CLASIFICACIÓN DE LOS ELEMENTOS DE

CIRCUITO

Para darle una interpretación física a los parámetros R, L y C se puedengeneralizar sus definiciones anteriores de la siguiente manera:

Una puerta es una RESISTENCIA si en cualquier instante t el voltaje entre susterminales vab(t) y la corriente a través de ella iab(t) satisfacen una relación definidapor una curva en el plano v-i, que se conoce con el nombre de característica dela resistencia en el instante t y que especifica el conjunto de todos los valoresposibles que en dicho instante pueden tomar v(t) e i(t). Matemáticamente la resis-tencia se puede definir, en cada instante y para cada par de valores posiblesde v e i, por la ecuación

Similarmente, reemplazando la ecuación (1-8) en (1-19) se obtiene:

de donde se concluye que una curva en el plano q-v define la característica deun CONDENSADOR en un instante t.

De la misma manera, recordando que la inductancia es una propiedad de unatrayectoria conductora cerrada, se dice que una puerta es un INDUCTOR si encualquier instante el número de líneas de flujo de campo magnético abrazadas,

, y la corriente a través de ella, i(t), satisfacen una relación definida por unaφ ( )

t

curva en el plano -i, que se conoce con el nombre de característica del inductorφ

en el instante t y especifica el conjunto de todos los valores posibles que en dicho

instante pueden tomar e i(t). Combinando las ecuaciones (1-17) y (1-18)φ ( )t

se obtiene la expresión que define la inductancia:

Un elemento de circuito es INVARIANTE si su característica no cambia con eltiempo.

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(1-29)

Los elementos de circuitos L, C y R son LINEALES si en cada instante sucaracterística es una línea recta a través del origen.

Se dice que un elemento de circuito, cuyos terminales se designan por las letrasa y b, es BILATERAL si la relación entre vab e iab es la misma que entre vba e iba.

Un elemento de circuito es PASIVO si la energía absorbida por él nunca esnegativa

œ t. Matemáticamente esta condición se puede expresar de la manera

siguiente:

para todas las combinaciones posibles de i(t) y v(t).

Se dice que un elemento de circuito es ACTIVO cuando no es pasivo.

De las ecuaciones (1-18), (1-19), (1-20) y (1-29) fácilmente se puede demostrarque los elementos de circuito lineales e invariantes L, C y R son pasivos sí y sólosí L $ 0, C $ 0 y R $ 0, respectivamente.

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FIGURA P 1.6 Bobinas acopladas del ejercicio 1.6

1.8 EJERCICIOS

1.1 Cuando un cuerpo cae libremente bajo la acción que sobre él ejerce el

campo gravitacional de la tierra se supone que su movimiento esuniformemente acelerado. Justificar la aproximación de aceleración"constante".

1.2 ¿Cómo se definen las "líneas de flujo" de un campo vectorial?. ¿Puedencruzarse dos de ellas?. ¿Por qué?.

1.3 Demostrar que para un condensador de placas paralelas con cargasiguales y opuestas se cumple la ecuación (1-6) en todo punto de su regióninterior, en la que se supone un campo eléctrico E uniforme. Despreciar

el efecto de dispersión en los bordes.

1.4 Demostrar que para un solenoide perfecto a través del cual circula unacorriente I, se cumple la ecuación (1-7) en todo punto de su región interioren la que se supone un campo magnético B uniforme.

1.5 Demostrar que en un conductor cilíndrico de resistividad D en el que seestablezca un campo eléctrico E longitudinal, la energía se transforma

en calor con una rapidez por unidad de volumen por segundo. E

2

/ ρ

1.6 Establecer la localización de las marcas para cada par de bobinasarrolladas alrededor del núcleo conductor del flujo magnético de la FiguraP 1.6, usando marcas de formas geométricas diferentes.

1.7 Demostrar las ecuaciones (1-18), (1-19) y (1-20).

7/17/2019 CtosCap1



1.8 Demostrar que los elementos de circuito idealizados de parámetrosconcentrados R, L y C, lineales e invariantes, son pasivos.

1.9 Demostrar que la relación entre voltaje y corriente para capacitores einductores lineales variables con el tiempo se puede expresar de lasiguiente manera:

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