Criterios de Rotura

7/30/2019 Criterios de Rotura

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LEY DE ROTURA

DE LOS MATERIALES SLIDOS

POR: JAIME MARTINEZ.

Ingeniero de Minas y Metalurgia.

Y, al principio, todo fue curiosidad El Universo es Unvoco y Dual

Isaac Asimov, Introduccin a la Ciencia Lao Ts


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INTRODUCCION.

Durante varios siglos los investigadores en el campo de la Ingeniera han intentado saber qusucede al interior de los cuerpos slidos y por qu rompen cuando son sometidos a las fuerzasexternas que le son impuestas y para ello han propuesto formulaciones empricas o CRITERIOSque pudieran explicar los fenmenos observados.

Entre los ms conocidos y dignos de mencionar se encuentran los de H. tresca, Griffith, VonMisses, E. C. Robertson, Navier y muchos otros investigadores del tema.

Estos criteros de falla, que se han denominado Clsicos, han estado basados en las siguientesteoras:

Del Esfuerzo Principal mximo. Del Esfuerzo Mximo Cortante desarrollado. De la Deformacin Principal Mxima. De la Deformacin Mxima de Energa desarrollada.

De igual manera se han reconocido como vlidas las teora de las Deformaciones Elsticas (basadasen la Ley de Hook) y Plsticas, que son las ms utilizadas en la actualidad, acompaadas de la delos Elementos Finitos.

En el presente escrito se pretende enunciar una nueva formulacin de la Teora de Falla de losmateriales slidos tomando como base las teoras de Coulomb y Mohr y compatibilizndolas.


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CAPTULO I

I.1.- GENERALIDADES Y OBJETIVO DE LA INVESTIGACION.

Para la humanidad, la utilidadde un material se define en funcin decalidad.

Desde la ptica de la Ingeniera, la calidad de los materiales slidos se mide en trminos deresistencia a fallar por la accin de todo tipo de esfuerzos a que se vea sometido en el transcursode su uso.

El presente trabajo tiene dos objetivos:

I.1.1. Estudiar el comportamiento mecnico de los materiales slidos cuando son sometidos a

esfuerzos de cualesquiera clases, ya sean de traccin, cortante, compresin, torsin, confinamiento,trmicos, ssmicos, etc.

I.1.2. Establecer un CRITERIO DE ROTURA TERICO, que cobije todos los estados deesfuerzos a que pueda verse sometido un material slido cualquiera.

Para ello se comenzar por definir, en trminos matemticos, la nocin de resistencia de unpuntomaterial.


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I.2.- RESISTENCIA DE UN PUNTO MATERIAL.

Se puede definir laresistencia de unmaterial slido como la capacidad que un punto cualquiera deste posee de resistirse a la rotura, inducida por los esfuerzos a que es sometido, debido a suspropiedades intrnsecas, que le son exclusivas.

Para establecer tanto laresistencia como suspropiedades intrnsecas, stas sern analizadas con elapoyo de las teoras clsicas de Coulomb y Mohr.

I.3.- TEORIA DE COULOMB.

I.3.1.- MATERIALES SLIDOS CON COHESION

Se entiende porcohesin la resistencia que ofrecen las partculas ms pequeas de los materialesslidos a los intentos, por parte de los esfuerzos externos a que son sometidos, de variar lasdistancias que estn forzadas a mantener en ausencia de tales esfuerzos.

Segn Coulomb (1736-1806), en un material slido cohesivo que est en equilibrio bajo la accinde esfuerzos externos , como se muestra en la FIGURA 1, se cumple:

RN = (3.1); tantan RNF == (3.2); cFR += (3.3)

Remplazando (3.2) en (3.3), se obtiene: cRR += tan (3.4)

En donde: R es el esfuerzo cortante que se genera en elplano de falla (OR); R es el esfuerzonormal alplano de falla; es elngulo de friccin interna del material y c es sucohesin.

Estas dos ltimas son laspropiedades intrnsecas a que se hizo referencia en 2.1, de tal suerte que

N

F

cO

R

cRR += tan

C

AB

D

),( RR R

tanRR =

R c

1...FIGURA 2...FIGURA

x

y

cR =

z

C


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ellas bastarn para identificarlo.

La ecuacin (3.3) define el equilibrio del material cohesivo bajo los esfuerzos externos a que essometido

Tambin se ve en la FIGURA 1 que el plano de falla OR forma un ngulo con el plano sobre elcual acta el esfuerzo externo , que llamaremosngulo de falla y otro con el plano normal a

aqul, que es el complemento de .

I.3.2.- MATERIALES SLIDOS SIN COHESION O GRANULARES.

Se puede calificar como tales a aquellos materiales que han sido sometidos a fragmentacin porcualquier medio mecnico, trmico, ssmico o de cualquiera otra naturaleza y que por efecto delquebrantamiento hayan perdido sucohesin.

En este caso la ecuacin ( 3.4 ) se transforma en:

tanRR = , de donde:

tan=

R

R (3.5)

Ecuacin que define el equilibrio de una masa de material granular o quebrantado y slo semantiene en ese estado gracias a la accin de su coeficiente de friccin interna, que se conservainvariable para el estado cohesivo o el granular .

I.3.3- MATERIALES SIN COEFICIENTE DE FRICCIN INTERNA:

En esta categora entran los lquidos y los gases y la ecuacin ( 3.4 ) se transforma en:

cR = (3.6)

A las representaciones grficas de las ecuaciones ( 3.4 ), ( 3.5 ) y (3.6), que se ilustran en laFIGURA 2, como (x ), (y ) y (z ), se les puede denominarcurvas de resistencia, ya que expresanlaResistencia que el material opone a cualquier estado de esfuerzos a que sea sometido. Tambinse les puede llamar curvas de rotura, ya que indican el lmite a partir del cual el material falla ocurvas caractersticas,puesto que identifican y distinguen a cada material de los dems.

I.4.- DISCUSIN DE LA CURVA DE ROTURA O RESISTENCIA

Un anlisis cuidadoso de la grfica correspondiente al material con cohesin (curva x) conduce avarias conclusiones:

I.4.1.- En el punto A

FIGURA 3a

O

R

tan

cR =

0=R


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En el punto A , representado en la figura 3a , el esfuerzo cortante que se genera en el plano derotura es nulo, y el esfuerzo normal a dicho plano es de traccin directa e igual a su cohesindividida por la tangente de su ngulo de friccin interna.

I.4.2.- Entre los puntos A y B

bFIGURA 3...

Entre los puntos A y B, tal como se representa en la figura 3b, los esfuerzos que actan sobre cadauno de los puntos intermedios, paralelos y normales al plano de rotura son combinaciones decortante y traccin.

I.4.3.- En el punto B

En el punto B, representado en la figura 3c, el esfuerzo normal al plano de rotura es nulo y elcortante sobre dicho plano es igual a la cohesin del material.

Desde el punto de vista de ingeniera, se puede ahora definir la cohesin como la resistencia delmaterial cuando el esfuerzo normal al plano de falla es nulo y el esfuerzo exterior se ejerce paraleloal plano de falla, es decir que el material trabaja acortante puro, directo o simple.

I.4.4.- A partir del punto B

.

O

O

RR

cFIGURA 3...

dFIGURA 3...

cR =

O

R

RR

R

cR =0=R

R


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Tal como se observa en la figura 3d, las cargas que actan sobre cada uno de los puntosintermedios, paralelas y normales al plano de rotura son combinaciones de cortante y compresinvariables..

I.4.5.- De la ecuacin ( 3.4 ) se puede deducir:

cRR = tan (4.1)

De la ecuacin (4.1) se concluye que para cualquier combinacin de esfuerzos, expresada en sutrmino izquierdo, el resultado es constante e igual a la cohesin del material, igualdad que sedenominar Criterio I ode las combinaciones de los esfuerzos cortante y normalque actan sobreel plano de rotura e iguales a una constante que es lacohesin y que, como se ver ms adelante,corresponde a la resistencia al corte directo ( c ) del material.

Lo antes expuesto indica que en la FIGURA 2, para valores por encima de la curva de resistencia elmaterial falla y por debajo de ella es estable.

La curva (x ) tambin describe el comportamiento de un elemento estructural cualquiera, que est

conformado por una serie de puntos continuos, sometidos a esfuerzos cortantes y normales detraccin y compresin segn la posicin que ocupen en su interior, razn por la cual puedeconsiderarse como lacurva de equilibrio de tal elemento.


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I.5. TEORIA DE MOHR.

Segn MOHR (1835-1918), cuando un punto de un material es sometido a un estado planar deesfuerzos, existen en su interior dos planos ortogonales sobre los cuales los esfuerzos cortantes queactan sobre ellos son nulos y los esfuerzos normales son: un mximo, 1 , y un mnimo, 3 ,

como se muestra en la FIGURA 4a.

En funcin de tales esfuerzos mximo y mnimo, los esfuerzos normal y cortante que actan sobreun plano cualquiera del punto, poseen los siguientes valores:

2cos]2

[]2

[ 3131

++

= (5.1) y

2]2

[ 31 sen

= (5.2)

En las que es el ngulo que hace un plano cualquiera con el plano sobre el cual acta elesfuerzo normal mximo.

Los esfuerzos que se originan en todos los planos que pasan por el punto se pueden representar enun crculo, conocido como CIRCULO DE MOHR, en su honor, tal como aparece en la FIGURA4b, en la que:

OB es el plano principal mayor, sobre el cual acta 1 . OA es el plano principal menor, sobre el cual acta .3

2

31 +

231

2

),( C

A3 1O

1

1

3 3

0=

0=

aFIGURA 4... bFIGURA 4...

BD


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OC es un plano cualquiera sobre el cual acta un esfuerzo normal, , y un esfuerzocortante, .

I.6 COMPAGINACIN DE LAS TEORAS DE COULOMB Y MOHR

I.6.1.- MATERIALES CON COHESION.

La FIGURA 5 a representa un punto de un elemento estructural cualquiera en el momento en quellega al lmite de su resistencia bajo la accin de los esfuerzos principales mayor y menor 1 y 3 .

En ella se aprecia, adems, que sobre el plano de falla OR, que hace un ngulo de rotura con elplano principal mayor y con el plano principal menor, actan un esfuerzo normal R y otro

cortante R .

La FIGURA 5 b es la representacin de lo que sucede al interior del punto analizado, en que la rectacRR += tan corresponde a la teora de Coulomb y el crculo a la de Mohr.

Si las teoras de Coulomb y Mohr son correctas, el punto de equilibrio R ( RR , ) pertenecer tantoa lacurva de Resistencia como al Crculo de Mohr y ser el punto de tangencia de ambos y a l sellega cuando y alcanzan los valores de R y R , que son los esfuerzos de equilibrio, porencima de los cuales el material rompe y alcanza el valor de , que es el ngulo de rotura.

Al examinar las propiedades del puntoR, se deduce:

I.6.1.1- En funcin de los esfuerzos principales mayor y menor:

c

3 SO

A

231 +

231

),( RRR

2 2

a be d

B

O

R

0=1

3 3

R R

1

0= cRR += tan

d

R


1


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De la FIGURA 5 b se extrae:

]2

[ 31

=R cos (6.1) y dedbaR =+= (6.2)

En las que: 3=a ; 231

=b ;

send ]2[31

= y 231 +

=e

Remplazando en (6.2):

sensenR ]2[]

2[]

2[]

2[ 313131313

+=

+= (6.3)

Remplazando en: cRR += tan (3.4)

csen

sen +

+

=

)cos

]()2

()2

[(cos]2

[ 313131

Hechas las transformaciones trigonomtricas correspondientes se obtiene:

sen

c

sen

sen

=

+

1

cos2]

1

1[31 (6.4)

De la misma figura se deduce:

2 = 90 + (6.5), de donde: = 45 +2

(6.6)

En donde es el ngulo que el plano de rotura hace con el plano sobre el cual acta el esfuerzoprincipal mayor y permanece constante.

Su complemento2

45 = representa el ngulo que hace el plano de rotura con el esfuerzo

principal menor.

Se puede demostrar que:

22 tan)2

45(tan1

1=+=

+

sen

sen(6.7)

I.6.1.1.1.- Directamente, a partir de la FIGURA 5 b:3

tan

=

R

R (6.8)

Usando (5.3) y transformando: )1)(2

( 313

senR

= (6.9)

Remplazando (5.1) y (5.9) en (5.8) y haciendo las transformaciones, se obtiene:


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11

11

)2

45(tan1

1

)1(

)1)(1(

)1(

1

)1(

costan 2

22

2

2

22

+=

+=

+=

=

=

sen

sen

sen

sensen

sen

sen

sen

I.6.1.1.2.- Indirectamente, usando la funcin del ngulo medio:

222

]coscos

coscos[])cos(

)([)(tan

sensen

sensensen

+

=+

+

=+

Si se hace: = 45 ,2

145cos45 ==sen y

2 =

sen

sen

sen

sen

sen

sen

+=

+

=

+

=+1

1

2cos

21

2cos

221

]

22cos

22cos

[)2

45(tan 22

Por tanto, remplazando en (5.4):

sen

c

sen

sen

=

+=+=

1

cos2]

1

1[)

245(tantan 31

231

231 (6.10)

Las anteriores igualdades se denominarn Criterio III o de las Combinaciones de los EsfuerzosPrincipales mayor y menor, iguales a una constante, que como se ver ms adelante, es laresistencia del material a la compresin simple, C .

I.6.1.2.- En funcin de los esfuerzos normales RS ,( ), que actan sobre elplano de rotura (

OR ) y el normal a ste (RS ):

Tambin de la figura 5 b, se deduce :

dRS 2= (6.11) d = tanR (6.12)

Remplazando (6.12) y (3.4) en (6.11), se obtiene:

tan)tan(2tan2 cRRRS +==

Y transformando, se llega a:

tan2)tan21( 2 cRS =+ (6.13), de donde:

22 tan21

tan2]

tan21

1[

+=

+

cRS (6.14)

Siendo el factor2tan21

1

+la clave de una propiedad muy importante de los materiales slidos,

como se ver ms adelante.


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La ecuacin (6.13) se denominar Criterio II ode las combinaciones de los esfuerzos normales alplano de rotura y al plano perpendicular a ste, iguales a una constante, que es dos veces elproducto de la resistencia al corte directo (c) y la tangente del ngulo de friccin interna .

I.6.2.- MATERIALES SIN COHESIN ( granulares )

De la ecuaciones (3.4), (6.4), (6.10), y (5.13) , cuando c = 0, se obtienen:

tan=

R

R (3.5); )2

45(tantan1

1 22

3

1

+==

+=

sen

sen(6.15);

2tan21+=R

S (6.16)

Estas ecuaciones definen el equilibrio en una masa de material granular o quebrantado en el sistemade Coulomb-Mohr y que slo se mantiene en ese estado gracias a la accin de su coeficiente defriccin interna, que permanece igual para los materiales cohesivos y para los granulares.

I.6.3.- ENUNCIADO DE LA LEY DE ROTURA DE LOS MATERIALES SLIDOS.

Todas las combinaciones de los esfuerzos que actan sobre un punto material, cuando alcanzanel punto de equilibrio, son constantes.

El equilibrio se alcanza en el punto R( R , R ) del sistema MOHR-COULOMB y su formulacin seobtiene siguiendo los criterios siguientes:

Criterio I.- Si los esfuerzos son el cortante y el normal que actan sobre el plano de rotura, laconstante es lacohesin o laresistencia al corte directo ( c ) del material.

cRR = tan

Criterio II.- Si los esfuerzos son los normales que actan sobre los planos de rotura y elperpendicular a ste, laconstante, que esdos veces el producto de la resistencia al corte directo (c)y la tangente del ngulo de friccin interna ( ).

tan2)tan21( 2 cRS =+

Criterio III.- Si los esfuerzos son principales mayor y menor,la constante es la resistencia a lacompresin simple ( C )del material.

C =+ )245(tan231

Cuando los materiales carecen de cohesin, c= 0, por tanto:

IV.- Si se conocen R y R :

tan=

R

R


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V.- Si se conocen 1 y 3 :

sen

sen

+=

1

1

3

1 ,

2

3

1 tan= , )2

45(tan 21

+=

C

VI.-Si se conocen S y R : )tan21(2

+=

R

S :

Se concluye que en las ecuaciones I, II, III, IV, V y VI, cuando en un punto de un elemento (viga,columna, etc.) de una estructura real, lostrminos izquierdos, respecto a losderechos, son:

Menores, el punto se halla estable. Iguales, el punto se halla en equilibrio. Mayores, el punto materialrompe.

I.6.4.- ALGUNAS CONCLUSIONES SOBRE LALEY DE ROTURA

Una atenta revisin de la FIGURA 5 b conduce a las observaciones siguientes:

I.6.4.1.- En el punto A, donde 0= , R == 31 , por consiguiente:

El crculo de Mohr queda reducido a un punto. Los esfuerzos a que est sometido el material son negativos o de traccin e iguales en todas

las direcciones y su valor es:

tan31c

R ===

El lmite inferior de rotura estar dado por la relacin: 13

1=

El material rompe por traccin directa.I.6.4.2.- En el punto B, donde cR = , 0=R , por tanto:

El material rompe porcortante puro odirecto. A partir de este punto, el esfuerzo normal al plano de rotura pasa de traccin a compresin.

Lo cual indica que el material entre los puntos A y B (incluidos ambos) rompe por combinacionesde esfuerzos de traccin y cortantes que actan sobre el plano de rotura.

I.6.4.3.- A partir del punto B, )0( >R , el material falla por combinaciones de esfuerzos decompresin y cortantes que actan sobre el plano de rotura.


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I.6.4.4.- El nmero deRESISTENCIAS del material es infinito.

I.6.4.5.- La RESISTENCIA de cada material, cuando est intacto, slo depende de suCOHESION c, que como ya vimos es su resistencia alcortante puro, es decir, cuando el esfuerzonormal al plano de falla es nula ( )0=R y de su COEFICIENTE DE FRICCION INTERNA ,y cuando est quebrantado depende solamente de este ltimo.

I.6.4.6.- Un MATERIAL SOLIDO ser, por tanto, aquel que posea COHESION YCOEFICIENTE DE FRICCION INTERNA.

I.6.4.7.- Los esfuerzos conocidos como resistencias a: compresin simple o uniaxial, traccin,torsin, cortante puro, triaxial etc., son slo casos particulares que se enmarcan dentro delLEY DEROTURA, que dan una idea general de la RESISTENCIA del material en cuestin pero cada unapor s sola no la definen.

I.6.4.8.- Por consiguiente, para determinar la RESISTENCIA de un material es condicinsuficiente y necesaria, determinar mediante ensayos de laboratorio la COHESION y EL

COEFICIENTE DE FRICCION INTERNA.

I.6.4.9.- Conocidos estos dos parmetros, se puede establecer la CURVA CARACTERISTICA delmaterial que va a ser sometido a losESFUEZOS DE TRABAJO.

I.6.4.10.- Averiguadas los ESFUERZOS DE TRABAJO se aplicar el CRITERIO DE ROTURAcorrespondiente para saber si el material se encuentra estable, en equilibrio ofalla y en este ltimocaso calcular la magnitud y la superficie de la falla, definir los correctivos necesarios y poderloscalcular y aplicar, preferentemente demanera preventiva.


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I.7.- LEY DE HOOKE.

En la resistencia de materiales clsica, cuando se somete unmateriala esfuerzo unidireccional, seaa compresin simple o a traccin directa, ste experimenta en el primer caso una contraccin en elsentido de la aplicacin de la carga, Y , y una expansin en el sentido transversal a ella, X , y a lainversa en el segundo caso.

La deformacin unitaria que experimenta en el sentido de la aplicacin de la carga es proporcionalal esfuerzo aplicado y el factor de proporcionalidad, que se denomina Mdulo de Elasticidad,permanece constante dentro de un cierto lmite llamado lmite elstico.

A la formulacin emprica de este fenmeno se le denomin LEY DE HOOKE en honor de sudescubridor y es definida por la relacin:

=E ;

E

= ( 7.1 )

En que:= Deformacin unitaria del material

= Esfuerzo a que se somete el material

E = Mdulo de elasticidad del material


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I.8.- COEFICIENTE DE POISSON

I.8.1.- EN FUNCIN DE LAS DEFORMACIONES.

La relacin entre las deformaciones lateral y longitudinal, notada por POISSON, recibi en suhonor el nombre de Coeficiente de POISSONy se expresa por:

Y

X

= YX = ( 8.1 )

Si sometemos elmateriala esfuerzos en las tres direcciones ortogonales (x, y, z), las deformacionesen cada una de ellas sern:

)]([1

ZYXXE

+= (8.2 a)

)]([1 ZXYYE

+= (8.2 b)

)]([1

YXZZE

+= (8.2 c)

Cuando el material se halla enconfinamiento, como es el caso de las rocas de los terrenos vrgenes,al estar en estado de constreimiento que le imposibilita expandirse ( o contraerse ) lateralmente,se cumple que:

X = Y = 0

Debido al constreimiento lateral: XY = , de (8.2 a) o (8.2 b):

ZZYX K

=

==

1, de donde: K

Z

Y

Z

X=

==

1(8.3)

En caso de constreimiento absoluto (tridimensional), 0=Z y de (7.2 c):

2

1==

Z

Y

Z

X (8.4)

Igualando (8.2) y (8.3), se obtiene:

2

1

1=

De donde se deduce: 012 2 =+ , y resolviendo: 5,0=Lo que conduce a la conclusin de que todos los materiales en confinamiento absoluto secomportan como un lquido.


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I.8.2.- EN FUNCIN DEL COEFICIENTE DE FRICCIN INTERNA, .

De manera directa, analizando el material fragmentado, ya que ste conserva el mismocoeficiente de friccin interna que el intacto.

De manera indirecta, analizando el comportamiento del mismo material en confinamiento,sometido a su propio peso.

La FIGURA 6 corresponde a un cuerpo en reposo, lo suficientemente extenso en el sentidohorizontal, que no est sometido a cargas externas y por consiguiente los puntos de su interior slosoportan los esfuerzos originados por el peso de la masa que lo suprayace.

6...FIGURA

Si se examina el punto A situado en la superficie, se ve que los esfuerzos que soporta son nulos, esdecir:

0= ; 0=Z y 0== YX

El punto B situado en el interior soporta esfuerzos iguales a:

; Z y YX =

Puesto que los puntos analizados estn en equilibrio, la FIGURA 7 representa las condiciones antesenunciadas.

0=Z

Z

0=

0=X

0=Z0=

0=Z

X

Z

X

Z

Superficie

A

B


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De ella se deduce: dXZ 2= (8.5); tanRd= (8.6) y tanXR = (8.7)

Remplazando (8.6) y (8.7) en (8.5): 0)tan21( 2 =+ XZ (8.8)

De (8.8), se obtiene:

2tan21

1

+=

Z

X (8.9)

Por consiguiente, comparando (8.3) y (8.9):

2

2

2

2

2 cos2

cos

sen1

cos

21

1

1 =

+=

+=

=

tanK

Hechas las transformaciones:2

cos2 = ( 8.10)

A manera de comprobacin se obtuvieron los siguientes resultados:

Si: 0= , 5,0= ; = 15 , 47,0= ; = 30 , 38,0= ; = 45 , 25,0= ; = 60 , 13,0= ,

que concuerdan con los obtenidos en el laboratorio para los materiales correspondientes.Las demostraciones anteriores llevan a concluir:

El COEFICIENTE DE POISSON es una propiedad que depende exclusivamente delCOEFICIENTE DE FRICCION INTERNA del material, por tanto es una propiedad decada material slido.

A partir del coeficiente de Poisson obtenido en el laboratorio se puede calcular elcoeficiente de friccin interna, aplicando: 2cos 1= (7.11)

tanRR =

R

2 13

d d

X ZO

7...Figura


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Todo esfuerzo unidireccional externo aplicado a un material cualquiera genera al interior delmaterial un esfuerzo en las dos direcciones normales a la direccin de aplicacin delesfuerzo externo, cuyo valor est dado por la siguiente relacin:

ZZYZ

YZ

XZ

XZZYX K

)

cos2

cos()()()

1(

2

2

=

=

=

=== (7.12)

I.9.- PRINCIPIO DE PASCAL.

Este principio, enunciado en 1653 por el fsico francs Blas Pascal (1623-1662) que expresa que lapresin aplicada a un fluido encerrado se transmite sin disminucin a cada punto del fluido y de lasparedes del recipiente, se demuestra aplicando (7.12), as:

ZZZXY K

]

cos2

cos[]

tan21

1[

2

2

2

=+

===

Puesto que, para un lquido, =0: ZXY ==

El coeficiente de Poisson del lquido es: 5,02

cos2==

I.10.- OTRAS PROPIEDADES DE LOS SLIDOS QUE DEPENDEN DE y c

A

B

C

D

8...FIGURA

B A D C


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La FIGURA 8 muestra las curvas de rotura de varios materiales, A, B, C y D, identificados por sungulo de friccin interna y sucohesin, .

I.10.1.- FRAGILIDAD, DUCTILIDAD, MALEABILIDAD, PLASTICIDAD,LICUEFACCION, ESTALLIDO Y DUREZA.

Una detenida revisin de la FIGURA 8 permite observar que: DCBA > , de acuerdo con la ecuacin (7.10) y por tanto: >>> CZ

XB

Z

XA

Z

X )()()(

D

Z

X )(

, al aplicar la ecuacin (7.3), lo que indica que, en lo que respecta a deformacin, el material

A es muy deformable, en tanto que D lo es muy poco, y se puede afirmar que mientras A es unmaterialplstico,D serafrgil. Entre los dos extremos anteriores estarn losdctiles omaleables,siendo = 45 el lmite a partir del cual empieza la categora defrgil.

Por todo lo visto anteriormente, dependiendo del COEFICIENTE DE FRICCION INTERNA, amedida que es mayor que 45, decrece, tendiendo a cero, lo que indica que el material, cuando

se halle sometido a condiciones de COMPRESIN, a medida que su COEFICIENTE DEFRICCION INTERNA sea mayor, romper ms bruscamente, es decir aumentar su condicin deFRAGILIDAD, produciendoESTALLIDO, tal como sucede con el vidrio y las rocas cristalinas.

A medida que es menor de 45 el material tender a deformarse ms fcilmente, resistindose aromper, conservando cada vez ms la continuidad de la materia, cediendo de tal manera que cadavez se hace ms difcil la disgregacin de sus partculas, pasando por las categoras deDUCTIL,MALEABLE y PLSTICO, hasta llegar al estado de LICUEFACCION, estado en que tendr elcomportamiento de un lquido, ya que la matriz que contiene los trozos slidos posee un ngulo defriccin interna nulo.

La DUREZA, tal como se mide cualitativamente en la escala de Mohs, depende de laRESISTENCIA AL CORTE SIMPLE del material analizado y dicha escala, que en la actualidadslo produce un efecto comparativo, es posible convertirla en cuantitativa a travs de su relacindirecta con elcortante puro.

.


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21

21

CAPTULO II

APLICACIN DE LA LEY DE ROTURA A LOS ENSAYOS DE LABORATORIO

II.1- ENSAYO DE COMPRESIN SIMPLE.

II.1.1.- BREVE DESCRIPCIN DEL ENSAYO

Como se muestra en la figura ( 9a ), el espcimen o probeta, cuyas dimensiones son L y d, sesomete a un esfuerzo de compresin normal a su rea transversal, sobre una superficie que carecede esfuerzo cortante y que durante la aplicacin de la carga permanece sin friccin.

Si simultneamente se desea averiguar el coeficiente de Poisson, se medirn las deformacionestransversal y longitudinal.

Del ensayo se obtendrn los siguientes valores:

CF = Carga de compresin aplicada al espcimen hasta la rotura.

CA = rea de la seccin transversal del espcimen.

== 03 Esfuerzo principal menor.

YX = = Deformacin lateral.

Z = Deformacin longitudinal.

C =1

0=

03 =

C =1

0=

03 =

R R3

245 +=

R2 2

O

C

S

),( RRR

C

cRR += tan

d d

A

O

R

L

dz

y

x

aFigura 9... bFigura 9...


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22

II.1.2.- CALCULO DE LARESISTENCIA

A

FC =

Si la seccin transversal de la probeta fuera circular: 4

2d

A

= ; y remplazando:

2

4

d

FC

= (1.1)

II.1.3.- CLCULO DEL MDULO DE POISSON

Aplicando (8.1):Y

X

=

II.1.4.- CLCULO DEL COEFICIENTE DE FRICCIN INTERNA

Aplicando (8.10):2

cos2 = ; 2cos 1= (1.2)

II.1.5.- CLCULO DE LA RESISTENCIA EN FUNCIN c y

Aplicando (6.10):

sen

c

=+=

1

cos2)

245(tantan 231

231

Sabiendo adems que 03 = y C =1 , se obtiene:

sen

cC

=

1cos2 = (1.3)

Tambin: )2

45(tan4)1(

)1(4

)1(

)1(4

)1(

cos4 222

2

22

2

222

+=

+=

=

= c

sen

senc

sen

senc

sen

cC

De donde: ]452

[tan2 1 = c

C (1.4)

II.1.6.- CLCULO DE LA COHESINDe (1.3) se obtiene:

cos2

)1( senc C

= (1.4)

II.1.7.- CONFECCIN DE LAGRFICA MOHR-COULOMB

Con los datos obtenidos en el ensayo, la grfica MOHR-COULOMB quedar como aparecerepresentada en la Figura 9b, puesto que el dimetro del crculo es la mitad de C y adems es

tangente a recta de rotura.


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23

23

II.1.7.- CLCULO DE SRR ,,

De la misma figura 9b:

2

cos CR = (1.5); 2

)1(

senCR

= (1.6);

2

)1(

senCS

+= (1.7)

II.1.8.- DIMENSIONES DE LA PROBETA

Para que el ensayo resulte fidedigno, las dimensiones del espcimen, deben ser las deducidas de lamanera siguiente:

De las figuras 9 a y 9 b :R

R

d

L

== tan (1.8)

Remplazando (1.5) y (1.6) en (1.8):)

245tan(

1

cos

+=

=

send

L(1.9)

Tal como se aprecia en (1.9), la relacin entre las dimensiones depende exclusivamente del ngulode friccin interna del material ensayado, por consiguiente ser: para 10, 1,19; para 20, 1,43, para30, 1,73; para 45, 2,41; para 60, 3,73.


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II.2.- ENSAYO DE TRACCION DIRECTA

II.1.- BREVE DESCRIPCIN DEL ENSAYO

Como se muestra en la figura ( 10a ), el espcimen o probeta se somete a un esfuerzo de traccindirecta, TD , normal al plano de rotura O R.


TDF = Carga de traccin aplicada al espcimen hasta la rotura.

A = rea de la seccin transversal del espcimen..II.1.2.- CLCULO DE LARESISTENCIA

A

FTDRTD ==

Si la seccin transversal de la probeta fuera circular:4

2dA

= ; y remplazando

24

d

FTDRTD

==

II.1.3.- REPRESENTACIN GRFICA MOHR-COULOMB

De acuerdo con la interpretacin obtenida en I.4.1, puesto que 0=R y TDR = , surepresentacin grfica corresponder al puntoA de la recta de equilibrio, en la Fig. 10 c.

TD TD d 0=R

aFIGURA 10...

0=

0=

A

B

CD

E F

bFIGURA 10...

0=R0=

O

R


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25

El circulo de Mohr queda reducido a un punto, por consiguiente:

tan

4231

c

d

FTDR ===== (1.2)

Tal como se muestra en la Figura 10 c.

cRR += tan

c

AB

TD

cFigura 10...


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26

II.3.- ENSAYO DE CORTE O COHESIN

II.3.1.- ENSAYO DE CORTE DIRECTO O PURO.

II.3.1.1.- BREVE DESCRIPCIN DEL ENSAYO

Como se muestra en la figura (11a ), el espcimen o probeta, ABCDEG, se somete a la carga Fparalela al plano de rotura O R, mientras que el esfuerzo normal al mismo plano )( R es nulo.


F = Carga cortante aplicada al espcimen hasta la rotura.

RA = Ld = rea del plano de rotura O R del espcimen.

== 0R Esfuerzo normal al plano de rotura O R.

II.3.1.2.- CLCULO DE LARESISTENCIALd

F

A

Fc

R

==

II.1.3.3- REPRESENTACIN GRFICA MOHR-COULOMB

La representacin Mohr-Coulomb es tal como se ve en la fig.( 16b ), en la que se observa:

cR = y 0=R

II.3.2.- ENSAYO DE CORTE INDIRECTO O BRASILERO.

F

F

B C

A D

0=R

cR =3 R

2 2

),0( cR

c

cRR += tan

1S

aFigura 11...

OR

L

d

O

EG

bFigura 11...

dd


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II.3.1.1.- BREVE DESCRIPCIN DEL ENSAYO

Como se muestra en la figura (12 ), el espcimen o probeta, ABOR, de seccin circular de dimetrod, se somete a la carga F paralela al plano de rotura ABOR, mientras que el esfuerzo normal almismo plano )( R es nulo.


F = Carga cortante aplicada al espcimen hasta la rotura.

RA = Ld = rea del plano de rotura,ABOR,del espcimen.

== 0R Esfuerzo normal al plano de rotura O R.

II.3.1.2.- CLCULO DE LARESISTENCIALd

F

A

Fp

R

RI ===

II.1.3.3- REPRESENTACIN GRFICA MOHR-COULOMB

Puesto que 0=R , cpRI ==

La representacin Mohr-Coulomb es tal como se ve en la fig.( 11b ).

Lo cual lleva a concluir que lasresistencias del espcimenal Corte Directo y al Indirecto oEnsayoBrasilero son equivalentes e iguales a la cohesin c.

pp

L

pRI =

0=R0=0=

0=Rd d

pRI =

12...Figura

O

RA

B O

R


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II.4.- ENSAYO TRIAXIAL

Las figuras ( 14a y 14b) representan los ensayos llevados a cabo por vez primera por VonKarmann, llamados posteriormentetriaxiales, que nos muestran que cuando a un testigo sometidoinicialmente a compresin simple se le aplican esfuerzos laterales variables, su resistencia a larotura aumenta progresivamente.

Este fenmeno se explica as:

En el ensayo a compresin simple, crculox de la Fig. 14b: C =1 y 03 =

x

y

CL A

A

A

L L

CRR += tan

aFigura 14... bFigura 14...

0=L

1=L

2=L

A

X

13...Figura


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29

En que C es la resistencia de la probeta a compresin simple.

Si el esfuerzo lateral se cambia por 3 =L , la compresin axial para llegar a la rotura ser A y su

representacin estar dada por el crculoy en la Fig. 11b.

II.4.1.- BREVE DESCRIPCIN DEL ENSAYO

Como se muestra en la figura ( 15a ), el espcimen o probeta, se somete a un esfuerzo decompresin normal a su rea transversal y simultneamente a otro esfuerzo lateral, hasta su rotura.


F= Carga axial de compresin aplicada al espcimen hasta la rotura.

3 =L = Esfuerzo lateral aplicada al espcimen.

A = rea transversal del espcimen.

II.4.2.- CLCULO DE LARESISTENCIA

2

4

d

F

A

FA

==

II.4.3- REPRESENTACIN GRFICA MOHR-COULOMB

La representacin Mohr-Coulomb es tal como se ve en la fig.( 15b ).

c

L SO

A

2LA +

2LA

),( RRR

2 2

a be d

B

O

R

0=1 =A

3 =L 3 =L

R R 0= cRR += tan

d

R


A

d

LA =


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CLCULO DE LA RESISTENCIA EN FUNCIN DE c

Si en la expresin de equilibrio

sen

Cos

sen

sen

=

+

1

2

1

131 se hacen los correspondientes

reemplazos por los valores obtenidos en el ensayo, la expresin de equilibrio ser:

sen

c

sen

senLALALA

==+=

+

1cos2tan)

245(tan]

11[ 22

En el caso de los materiales muy blandos, como las arcillas, toda vez que la anterior ecuacin poseelas incgnitas c y , bastar realizar dos ensayos triaxiales para obtener los parmetros que definenla resistencia del material estudiado.


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II.5.- CONFECCIN DE LA CURVA DE RESISTENCIA O ROTURA DEL MATERIAL

La curva de resistencia de cualquier material slido se debe confeccionar a partir de ensayos delaboratorio sobre un espcimen seleccionado segn la norma establecida para tales ensayos.

Puesto que la curva de resistencia del material se da en funcin de y c, slo ser necesarioefectuar:

II.5.1.- Un ensayo de compresin simple, si el material es frgil, acompaado de la medicin delas deformaciones lateral y longitudinal, para obtener la resistencia a la compresin simple, C , y el

mdulo de Poisson, ,.

Con los anteriores valores se procede a calcular:

2cos 1= y

cos2

)1( senc C

=

II.5.2.- Dos ensayos cualesquiera de los descritos anteriormente. que pueden ser:

- Uno de Cortante Directo o el Ensayo Brasilero para conocer c.

- Otro que puede ser de compresin simple, triaxial o de traccin directa.

Si se escoge de corte directo (o el ensayo Brasilero) se obtiene directamente c y si se acompaa conel de traccin directa, el coeficiente de friccin interna ser:

][tan 1

TD

c

=

De igual manera se pueden combinar dos ensayos cualesquiera, dependiendo del tipo de materialque se ha de investigar.

A partir de los anteriores valores se puede calcular las restantes resistencias del materialinvestigado, de acuerdo con el siguiente ejemplo:

Al estudiar un material se le practicaron en el laboratorio los siguientes ensayos:

De corte directo:2

164cm

kc =

De compresin simple:2

814cm

kC =


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32

Con los anteriores valores se procede a calcular las restantes propiedades del material:

- Coeficiente de de Friccin Interna, aplicando la ecuacin (1.4)

=== 4645}

)164(2

814{[tan2]45

2[tan2 11

c

C

- Coeficiente de Poisson

24,02

46cos

2

cos 22=

==

- Coeficiente de Empuje lateral

32,01

=

=

K

- Resistencia a la Traccin Directa

2158

46tan

164

tan cm

kcTD =

==

- Ensayo Triaxial.

Si se le aplica un esfuerzo lateral2

10cm

kL = , el esfuerzo de compresin axial que se le debe

aplicar para llevarlo hasta la rotura ser:

222 87568tan10814)

245(tan

1

cos2)1(

cm

k

sen

csenoLC

LA =+=++=

++=

De este resultado se deduce que si al material se le aplicara un esfuerzo de compresin de 8752cm

k,

rompera bajo el efecto de la carga aplicada, sin embargo slo bastara ayudarlo con un esfuerzo

lateral de apenas 102cm

k.

Si se compara las dems resistencias con la resistencia a compresin simple, se obtienen los valoressiguientes:

Respecto al corte directo: %5,19840164

==C

c

Respecto a la traccin directa: %8,18840

158==

C

TD


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33

II.6.- GRAFICA DE LOS ESTADOS DE ESFUERZOS DE LA ROCA ANALIZADA

16...Figura

La Figura 16 representa todos los estados de esfuerzos a los que ha sido sometida el material slidocorrespondiente al ejemplo anteriormente analizado de tal forma que el punto A corresponde a laresistencia a traccin directa en que el crculo de Mohr est reducido ese punto, el crculo wcorresponde a esfuerzos de traccin normales al plano de rotura, el crculo x, corresponde aesfuerzo de corte directo; el crculo y corresponde a esfuerzo de compresin simple y el crculo zcorresponde a uno del infinito nmero de esfuerzos de confinamiento.

Por ltimo, la recta de rotura cRR += tan , corresponde a la envolvente de todos los crculosde equilibrio.

16446tan += RR

x

w

z

c

A

y


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CAPTULO III

APLICACIONES A ELEMENTOS ESTRUCTURALES REALES

Para ilustrar como se debe utilizarLEY DE ROTURAa los elementos estructurales que entran en laconstrucciones de superficie (civiles), se desarrollarn los clculos de algunos elementosestructurales de ocurrencia cotidiana..

III.1.- PROCEDIMIENTO A SEGUIR

III.1.1. CONFECCIN DE LA CURVA DE ROTURA DEL MATERIAL A UTILIZAR

En el laboratorio se someter a ensayos el material seleccionado para construir el elementoestructural, tal como fue indicado en el captulo II, para determinar los y c correspondientes ycon ellos se dibujar la curva de rotura del material.

III.1.2.- CLCULO DE LOS ESFUERZOS

Utilizando las frmulas matemticas deducidas en laResistencia de Materiales clsica se obtendrnlas solicitaciones y a partir de ellas los esfuerzos a que est sometido en su interior el elementoestructural estudiado.

III.1.3.- APLICACIN DE LA LEY DE ROTURA

Aplicando los Criterios I, II o III de laLEY DE ROTURA deducida en el captulo I, segn la formaen que acten los esfuerzos en los puntos crticos analizados del elemento estructural estudiado,

remplazando en el criterio escogido los valores encontrados y comparando el resultado obtenidocon la resistencia del material con el cual el elemento estructural ha sido fabricado.

De esta comparacin se deducir:

III.1.3.1.- Si el punto analizado se halla estable, en equilibrio o romper.

III.1.3.2.- En caso de que el punto falle, laprofundidad hasta donde alcance la falla.

III.1.3.3.- La superficie de falla .

III.1.3.4.- Lasmedidas a adoptar para evitar la rotura.


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35

35

III.2.- VIGA SIMPLEMENTE APOYADA Y UNIFORMEMENTE CARGADA

FIG. 21

III.2.1.- CONDICIONES GENERALES:

La FIG. ( 21 ) muestra de manera esquemtica la viga en cuestin, en que:

O : Centro de la viga y centro de coordenadas x yz. :ESS Superficie exterior superior de la viga. :NS Superficie interior neutra de la viga. :EIS Superficie exterior inferior de la viga. Distancia a partir del centro de coordenadas: x , en cm. Luz de la viga: L, en cm. Distancia del centro al apoyo: l = L/2, en cm. Forma de la viga: Rectangular. Espesor de la viga: e, en cm.

longdeun

kw

....=

x

lL

1R

b

e

ESS

NS EIS

2

e

e

b

z

y

xo/o

//o

0=0=

1R

1

03 =z

TD TD

1

0=

0=

03 =

0=


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36

36

Ancho de la viga: b, en cm. Carga unitaria: p, en

2cm

k

Carga por unidad de longitud: pbw = , encm

k

Momento de inercia respecto al eje neutro:12

3beI= , en 4cm

III.2.2.- SOLICITACIONES

Sobre un plano cualquiera normal al eje longitudinal de la viga, situado a una distanciax del centro O, al interior de la viga actan las siguientes solicitaciones:

III.2.1.1.- Una fuerza cortante F, en kilogramos (k).

pbxwxF == ( 14.1 )

En el centro de la viga: 0=x y F = 0, lo que indica que en la cara concordante con el eje z la

fuerza cortante es nula.III.2.1.2.- Un Momento flectorM, en cmk. ., positivo por debajo del ejex y negativo por encimadel mismo eje.

( 14.2 ) )(2

)(2

2222ll == x

pbx

wM

En los apoyos, l=x y 0=M ;en el centro, x = 0 y 2222

llpbw

M ==

III.2.3.- ESFUERZOS.

Las solicitaciones antes enumeradas y descritas, generan al interior de la viga y sobre una caracualquiera normal a su eje longitudinal dos tipos de esfuerzos, as:

III.2.2.1.- Normales, originados por el momento flector M, cuyas magnitudes son:

3

22

3

22 )(6

2

)(12

e

zxp

be

zxpb

I

Mz ll =

== ( 14.3 )

Si:2

ez = se comprueba que en las fibras externas superior e inferior, a todo lo largo de su

luz, la viga est sometidas a esfuerzos de compresin y traccin respectivamente, lo que indica que,en una viga de estas caractersticas, la porcin entre el eje neutro y la fibra externa superior trabaja acompresin, en tanto que la porcin entre el eje neutro y la fibra externa inferior lo hace a traccin,

que alcanzarn sus valores mximo y mnimo cuando 0=x ,e

p

e

p

2

3

2

3 ll=+= , respectivamente.

Si 0=z , 0= , lo que indica que a todo lo largo del eje central el esfuerzo normal es nulo.


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37

37

Si l=x , 0= , lo que indica que en los extremos de la viga el esfuerzo normal es nulo.

III.2.2.2.- Cortantes, originados por la fuerza cortante Fy cuyas magnitudes estn dadas por:

3

22

3

222

2

2

)4(3

8

)4(12)

4(

2 e

xzep

be

zepbxz

e

I

F =

== ( 14.4 )

Si2

ez = , 0= , lo que significa que a todo lo largo de las fibras superior e inferior de la viga

el esfuerzo cortante es nulo.

Si 0=z y l=x , el esfuerzo cortante alcanzar su valor mximo,2

3 lp= , en los extremos de la

viga.

Igualmente six = 0, 0= , lo que muestra que sobre cualquier punto del plano que contiene el ejezel esfuerzo cortante es nulo.

Aplicando las ecuaciones anteriores hallamos los valores resumidos en la siguientes tablas:

A.- Haciendo variar : 20ez

FIBRA z

Superior 2

e

2

22 )(3

e

xp l= 0

Neutra 0 0 e

px

2

3

Inferior 2e

2

22 )(3e

xp l= 0

B.- Haciendo variar: ll x

FIBRAS Tensiones =x 0 l=x

Fibra superior 2

23

e

pl 0

Fibra superior 0 0

Fibra inferior 2

23

e

pl

0

Fibra inferior 0 0Fibra neutra 0 0

Fibra neutra 0 e

p

2

3 l


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38

38

III.2.4.- ECUACION DE EQUILIBRIO O ROTURA DE LA VIGA.

Puesto que se conoce y , se puede aplicar la ecuacin I de laLey de Rotura:

cRR = tan

Remplazando en ella las ecuaciones ( 14.3 ) y ( 14.4 ), se obtiene:

ce

zxp

e

xzep=

tan

)(6

2

)4(33

22

3

22l

( 14.5 )

Hechas las transformaciones correspondientes se obtiene:

03

2tan44tan4

32222

=++p

cezxexzzx l (14.6)

Expresin que corresponde a la Ecuacin de Equilibrio de una viga simplemente apoyada en susextremos y uniformemente cargada, que contiene los parmetros de calidad del material en que estconstruida, representada por c y , su geometra, representada por L y e y la carga externa,representada porp.

III.2.5.- RELACION ENTRE LA LUZ DE LA VIGA Y SU ESPESOR.

Puesto que la viga tiene su punto ms dbil en el centro de la fibra externa de la superficie inferior:

Si en ( 14.6 ): x = 0, z =

2

e

tan

32

2 c

e

p=

l; de donde:

tan3

42

2

p

c

e

L= ( 14.7 )

De la anterior ecuacin se deduce que la relacin de equilibrio entre la longitud y el espesor de laviga es:

tan32

p

c

e

L= (14.8)

La anterior ecuacin contiene lageometra de la viga, representada por la luz (L ) y el espesor ( e );lacalidad del materialde que est construida, representada por lacohesin (c) y elcoeficiente defriccin interna () y lacarga externa a la que est sometida (p ).

III.2.6.- FACTOR DE SEGURIDAD.

En la ecuacin ( 14.8 ) la viga est en equilibrio y su Factor de Seguridad F.S.=1


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39

Si el el esfuerzo de traccin calculado a que est sometida la viga es inferior a la resistencia a latraccin propia del material en que est construida, el factor de seguridad ser superior a uno y laviga se encuentra estable.

Si el esfuerzo calculado es superior a la resistencia del material, el factor de seguridad ser inferiora uno y la viga se romper bajo los esfuerzos generados por la carga a que est sometida y ser

necesario calcular el refuerzo que se le debe colocar para restablecer el equilibrio, en caso de que lageometra sea inmodificable.

III.2.7.- ESTADO DE COLAPSO O DESTRUCCION TOTAL (CATACLASIS).

El colapso sobrevendr cuando la superficie de falla alcance la lnea neutra, es decir cuando0=R , lo cual se cumple cuando: 0=z y l=x

.

Si se remplaza los anteriores valores en la ecuacin (14.6), se obtiene : ce

p=

2

3 l

De la anterior ecuacin se deduce que la relacin de colapso entre la longitud y el espesor de laviga es:

p

c

e

L

3

4= (14.19)

:

Si denominamos Factor de Colapso a la expresinp

c

3

4, CF

e

L.=

III.2.8.- APLICACIN NUMERICA.

Calcular una viga de luz L = 2 m,simplemente apoyada en sus extremos, construida en concreto

convencional de resistencia a la compresin simple2

220cm

kC = y resistencia al corte directo de

c=2

35cm

k, que debe soportar una pared de altura h=1,50m, fabricada con bloques de concreto,

cuya densidad es3

3m

T= .

III.2.8.1.- CLCULO DE LA CARGA

2345,0

10

)5.1(3

10 cm

k

m

mThp ===

III.2.8.2.- GRFICA DE ROTURA DEL CONCRETO

001 7.54)4535

220(tan2 =+=

27,24

7,54tan

35

cm

kTD =

=


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40

40

Con los datos anteriores, la curva de rotura del concreto es la que aparece en la figura 22.

III-2.8.3.- FACTOR DE EQUILIBRIO:

F.E.=2tan3p

c= 2 57,8

7.54tan.)45,0(3

.352

2

=cmk

cmk

III.2.8.4.- ESPESOR

Aplicando: 57,8=e

L, se obtiene: cm

cme 4,23

57.8

200==

III.2.8.5.- FACTOR DE SEGURIDAD:

Con el espesor arriba calculado, la viga se encuentra en equilibrio y su Factor de Seguridad es 1 .

III.2.8.6.- GRFICA DE ESTABILIDAD DE LA VIGA

El esfuerzo mximo de traccin a que est sometido la viga en el centro de la fibra inferior,es:

22

2

2

2

7,24)4,23(

)100)(45,0(33

cm

k

e

p===

l , que corresponde a la resistencia a traccin

directa calculada para el concreto con el cual se fabric la viga.

357,54tan += RR

220=C

= 7,54

35=c

7,24=TD

22...Figura


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41

41

El esfuerzo mximo de compresin a que est sometida la viga en el centro de la fibrasuperior externa, donde 0= y 03 = , es un es esfuerzo principal mayor, 1 , e igual a:

2

2

2

2

1 7,244

33

cm

kpL

e

p===

l

La curva de estabilidad de la viga est representada en la Fig. 23, en la cual AD es la recta deequilibrio del concreto, AB es a la vez la resistencia del concreto a traccin directa y el esfuerzomximo a traccin directa a que est sometida la viga yx es el circulo que representa el esfuerzo decompresin a que est sometida la viga en el punto O , que es el centro de la fibra superior externa,en el cual el Factor de Seguridad es:

9,87,24

220. ==SF , lo que indica que cuando la viga est a punto de romper por traccin an est

muy lejos de hacerlo por compresin y su estado, por este concepto es ms que estable.

III.2.8.7.- ROTURA Y CLCULO DEL REFUERZO

Si, por cualquier razn, el espesor mximo de la viga debe ser de 15 cm, si las dems condicionesno cambian, el esfuerzo mximo a traccin directa a queda sometida la viga ser:

22

2

60)15(

)100)(45,0(3

cm

kTD ==

357,54tan += RR

= 7,54

35=c

7,24=TD

23...Figura

A x

D

B

7,24


42/68

42

42

Para restituirle su condicin de equilibrio, y llevarla nuevamente al punto A de la Fig. 23, ser

necesario auxiliarla con 60-24,7 = 32,62cm

ken varillas de acero, por ejemplo.

III.2.8.8.- SUPERFICIE DE ROTURA

Cuando la carga que soporta la viga sin refuerzo es superior a la de equilibrio, la superficie de

rotura se prolongar hasta donde se restablezca nuevamente el equilibrio.

Empleando la ecuacin de equilibrio (14.5), ce

zxp

e

xzep=

tan

)(6

2

)4(33

22

3

22l

, se deduce:

Cuando 0=x ,tan6 2

3

p

cez

l=

Cuando2

ez = ,

tan3

22

p

cex = l

Si, en la viga calculada, la carga se sube hasta2

3cm

k:

Cuando 0=x , cmz 3,5)7,54tan()100(6

)35()4,23(2

3

=

= ;

Cuando2

ez = , cmx 72

)7,54tan()3(3

)35()4,23(000.10

2

=

=

III.2.7.8.- ESTADO DE COLAPSO TOTAL

Si se conserva la viga con la geometra originalmente calculada, sin refuerzo y se aumenta la cargaa que es sometida, colapsar cuando, a partir de (4.16):

246,5

)200(3

)4,23)(35(4

3

4

cm

k

L

cep ===


43/68

43

43

III.3.-VIGA UNIFORMEMENTE CARGADA Y EMPOTRADA EN AMBOS EXTREMOS

24...Figura

III.3.1.- CONDICIONES GENERALES:

La FIG. ( 24 ) muestra de manera esquemtica la viga en cuestin, en que:

O : Centro de la viga y centro de coordenadas x e z. :ESS Superficie exterior superior de la viga. :NS Superficie interior neutra de la viga. :EIS Superficie exterior inferior de la viga. Distancia a partir del centro de coordenadas: x , en cm. Luz de la viga: L, en cm. Distancia del centro al empotramiento: l = L/2, en cm. Forma de la viga: Rectangular. Altura de la viga: e, en cm.

Ancho de la viga: b, en cm. Carga unitaria: p, en

2cm

k

Carga por unidad de longitud: pbw = , encm

k

Momento de inercia respecto al eje neutro:12

3beI= , en 4cm

longituduni

kw

.= x

l

L1R

o

b

e

ESS

NS EIS

l3

1

2e

z

z

1R

y

Eje neutro

b

e

NS

1M 1M

A

Ax


44/68

44

44

III.3.2.- SOLICITACIONES:

Sobre un plano cualquiera normal al eje longitudinal de la viga, situado a una distanciax del centro O, actan las siguientes solicitaciones:

Un Fuerza cortante F, en kilogramos (k).( 15.1 ) pbxwxF ==

En el centro de la viga: 0=x y F = 0

Lo que nos indica que en el punto O el esfuerzo cortante es nulo.

Un Momento flectorM, en cmk. .

( 15.2 ) )3(6)3(6

2222ll ==

x

pb

x

w

M

Cuando 0=M , en los puntosA y A : l3

1=x

Lo que indica que en estos puntos situados a esta distancia del centro son puntos de inflexin y elmomento cambia de signo y este tipo de viga tres ejes neutros, como se muestra en la FIG. 24.

En el centro de la viga: x = 0

6

2lw

M = =6

2lpb

En los empotramientos: x = l

3

2lw

M = =3

2lpb

En una viga de estas caractersticas la porcin entre el eje neutro y la fibra externa superior trabaja acompresin entre los ejes OZ y AA y a traccin entre ste y el empotramiento, en tanto que laporcin entre el eje neutro y la fibra externa inferior lo hace a traccin entre los ejes OZy AA y acompresin entre ste y el empotramiento.

III.3.3.- ESFUERZOS.

Las solicitaciones antes enumeradas y descritas, generan al interior de la viga y sobre una caracualquiera normal a su eje longitudinal dos tipos de tensiones, as:

Normales, originadas por el momento flector M, cuyas magnitudes son:


45/68

45

45

15. 3 )3

22

3

22 )3(2

6

)3(12

e

zxp

be

zxpb

I

Mz ll =

==

Cortantes, originadas por el fuerza cortante F, cuyas magnitudes estn dadas por:

( 15.4 ) 3

222

2

32

2

2

)4(3)4(2

12)4(2 e

zepxz

e

be

pbxz

e

I

F ===

Aplicando las ecuaciones anteriores hallamos los valores resumidos en la siguientes tablas:

A.- Haciendo variar :2

0e

z

FIBRA z

Superior 2e

2

223(e

xp l0

Neutra 0 0 e

px

2

3

Inferior 2

e

2

22 )3(

e

xp l 0

B.- Haciendo variar: ll x

FIBRAS Esfuerzos =x 0 l3

1=x l=x

Fibra superior 2

2

e

pl0 2

22

e

pl

Fibra superior 0 0 0

Fibra inferior 2

2

e

pl 0 2

22

e

pl

Fibra inferior 0 0 0

Fibra neutra 0 0 0Fibra neutra 0

e

p

2

3 le

p

2

3 l


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46

46

III.3.4.- ECUACIN DE EQUILIBRIO O ROTURA DE LA VIGA.

Si aplicamos laLey de Rotura correspondiente a la ecuacin de equilibrio I:

cRR = tan

Y remplazamos en ella los valores correspondientes, se obtiene:

3

22

3

22 )3(2

2

)4(3

e

zxp

e

zepx l

c=tan

03

2tan44tan4

32222

=++p

cezxexzzx l (15.5)

Ecuacin que corresponde a la Superficie de Equilibrio o de Falla de una viga uniformementecargada y empotrada en sus extremos.

III.3.5.- RELACION ENTRE LA LUZ DE LA VIGA Y SU ESPESOR.

Si se hace x = 0 y z =2

e :

tan2

2 c

e

pTD ==

l

Si se hace l=x y2

ez = :

tan

22

2 c

e

pTD ==

l

Lo cual indica que el mximo esfuerzo de traccin directa lo soporta la fibra externa superior en elpunto del empotramiento.

La relacin estable entre la luz de la viga y su espesor es:

(15.8)tan

2

p

c

e

L= =F.E=Factor de Equilibrio

III.3.6.- FACTOR DE SEGURIDAD

Cumpliendo esta relacin, la viga quedar en su punto de equilibrio, es decir con un factor deseguridad igual a uno, F.S.=1.

III.3.7.- ESTADO DE COLAPSO O DESTRUCCIN TOTAL (CATACLASIS)

El estado de colapso sobrevendr cuando la superficie de falla toque la lnea neutra en elempotramiento, es decir cuando 0=R , z = 0 y l=x .

Valores que aplicados a la ecuacin I de equilibrio: cRR = tan , dan como resultado:

l3

2ecp = , siendo este ltimo valor la carga a la cual se debe someter la viga para llevarla al colapso.


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47

47

III.3.8.- APLICACIN NUMERICA.

Si tomamos todas las condiciones del ejemplo de la viga uniformemente cargada y simplementeapoyada en la cual, construida en concreto:

L = 2m ;2

220cm

kC = ;

2

35cm

kc = ;

2

45,0cm

kp = ; = 7,54 ;

2

7,24cm

kTD =

III.3.8.1 GRFICA DE ROTURA DEL CONCRETO

Es igual a la de la Fig. 22

III.3.8.2 FACTOR DE EQUILIBRIO

5,107,54tan)45,0(2

)35(2

tan22 =

==

p

cFE

III.3.8.3.- ESPESOR

5,10200

==ee

Ly cme 1,19=

Este resultado indica que el espesor de la viga empotrada es el 81,6% de la simplemente apoyada, siambas son construidas con el mismo material, tienen la misma luz y son sometidas a la mismacarga.

III.3.8.4.- FACTOR DE SEGURIDAD

Con el espesor calculado, la viga se encuentra en equilibrio y su Factor de Seguridad es 1.

III.3.8.5.- GRFICA DE ESTABILIDAD DE LA VIGA

III.3.8.5.1.-El esfuerzo mximo de traccin directa a que est sometida la viga es:

En el centro de la fibra inferior:22

2

2

2

3,12)1,19(

)100)(45,0(

cm

k

e

pTD ===

l

En este punto la viga se encuentra estable y su factor de seguridad es: F.S = 2

En la fibra superior en el empotramiento:22

2

2

2

7,24)1,19(

)100)(45,0(22

cm

k

e

pTD ===

l

En este punto la viga se halla en equilibrio y su factor de seguridad es: F.S = 1


48/68

48

48

III.3.8.6.- ROTURA Y CLCULO DEL REFUERZO.

Si se aumenta la carga externa a2

5,1cm

kp = , conservando las dems condiciones, el esfuerzo

mximo de traccin directa a que queda sometida la viga ser:

En el punto central de la fibra externa inferior:

22

2

2

2

1,41)1,19(

)100(5,1

cm

k

e

pTD ==

l

En su fibra superior externa en el empotramiento:22

2

2

2

2,82)1,19(

)100)(5,1(22

cm

k

e

pTD ===

l

En ambos caso se comprueba que )7,24(tan2

cm

kcRR >

Para restituirle su condicin de equilibrio, ser necesario ayudarla con un refuerzo en varillas de

acero de: 41,1-24,7= 16,42cm

k, en el centro de la fibra inferior externa y 82,2-24,7=57,5

2cm

k, en la

fibra superior externa en el empotramiento.

III.3.8.7. SUPERFICIE DE ROTURA.

Cuando la carga que soporta la viga, sin refuerzo, es superior a la de equilibrio, la superficie derotura se prolongar hasta donde se restablezca nuevamente el equilibrio.

La ecuacin de la superficie de falla ser:

)7,54(tan)1,19(

])100(3)[5,1(2

)1,19(2

]4)1,19)[(5,1(33

22

3

22

+ zxxz

35=

Este estado de ruptura est representado en la FIG. 22.

III.3.8.7.1.-ROTURA POR EL PLANO CENTRAL

En el punto B de la fibra inferior externa, 0=x ; =

= 7,54tan

35

)1,19(

])100()[5,1(23

2 zR

cmz 6,87,54tan)100(2

)35()1,19(2

3

=

= ; cma 95,06,855,9 ==


49/68

49

49

FIGURA 22 a

III.3.8.7.2- ROTURA POR LAS FIBRAS SUPERIOR E INFERIOR.

En la zona:

l

3

1

0

x , puntos A, C.

0=R , 2

ez = y cmx 4,36

7,54tan)5,1(3

)35)(1,19(

3

)100(0

22

==

En la zona ll x3

1, puntos H y L.

0=

R , 2

e

z=

y cmx 7,857.54tan)5,1(3

)35()1,19(

3

)100(0

22

=+=

En los empotramientos, puntos G y M.l=x , 0=

tan

43

2 c

e

zpR ==

l, cmz 88,2

7.54tan)100)(5,1(4

)1,19(3502

3

==

y cma 67,688,255,9 ==

x

zz

a

a

L

A

B

C

R

F

R

G

L

MN

P

R

100

7,573

1=l

x

y

z

H


50/68

50

50

IV.3.8.7.3.-ROTURA POR EL EJE NEUTRO CENTRAL, puntos F y N.

l=x , 0=z y 0= 358,11)25(2

200)5,1(32


51/68

51

51

35)7,54((tan)1,19(

})100(3){46.4(2

)1,19(2

}4)1,19(2){46.4(33

22

3

22

=

zxxz

15.7.2.- ROTURA POR EL PLANO CENTRAL, puntos B y H.

0=x 0=R cmz 94,1

7,54tan)100)(46.4(2

)1,19(352

3

==

a=9.55-1.94=7,61cm

IV.8.8.- ROTURA POR LAS FIBRAS SUPERIOR E INFERIOR

En la zona l3

10 x , puntos A, C, G, K.

0=R , 2

ez = cmx 6,51

7.54tan)46.4(3

)35()1,19(

3

)100(0

22

==

En la zona l x3

1, en los empotramientos,

0=R , 2

ez = )(2205,244

)1,19(

)100)(46,4(22222

2

2

2

Ccm

k

cm

k

e

p >===

l

IV.8.9.- ROTURA POR EL EJE NEUTRO CENTRAL

En los puntos E y K.

0=z , 0= y cm93,99)46,4(3

)35)(1,19(2=l

Lo que demuestra que la viga colapsa con esta carga calculada.

Finalmente, los contornos A B C, D E F, G H I, y J K L, representan la superficie de colapso en elcaso analizado.


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52

CAPITULO IV

ESTRUCTURAS SUBTERRNEAS

IV.1.- OBJETIVO

Indicar una metodologa para el diseo y construccin de estructuras subterrneas en cualquier tipode roca, incluidos los suelos blandos y los derrumbes, a parir de la aplicacin de la LEY DEROTURA DE LOS MATERIALES SLIDOS.

Se investiga en primera instancia si la estructura, sin revestir, posee suficiente capacidad portante,expresada en funcin de su geometra y de las caractersticas geomecnicas del material dentro delcual se ha de avanzar, que le permita soportar las cargas que le impone la masa de materiales que lasuprayacen.

IV.2.- TIPOS DE ESTRUCTURAS SUBTERRNES COMUNESLas ms utilizadas son:

Tneles circulares. Tneles rectangulares Tneles en herradura. Pozos verticales.


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53

53

IV.3 TNELES CIRCULARES

IV.3.1.- ESTABILIDAD DEL TUNEL SIN REVESTIMIENTO

Tal como se observa en las FIGURA 4, en un punto cualquiera, P, al interior de la masa de roca querodea el tnel, los esfuerzos a que se halla sometido, como consecuencia del peso de los materialesque estn por encima suyo, estn regidas por las expresiones matemticas siguientes, tomadas decualquier texto de Mecnica de Rocas:

2cos)31)((2

1)1)((

2

14

4

2

2

r

app

r

app zxzxt +++= (1)

2cos)341)((

2

1)1)((

2

14

4

2

2

2

2

r

a

r

app

r

app zxzxr +++= (2)

2)321)((2

14

4

2

2

senr

a

r

app xzr += (3)

En las que:

t = Esfuerzo tangencial; r = Esfuerzo radial; r = Esfuerzo radial cortante.

zp = Esfuerzo externo vertical = 210 cm

kz(4).

Z

Xa

r

trr

oA

B

C

zp

zx Kpp =

z

erficiesup

D

P

zx KpP =

zpK2

P

23...FIGURA


54/68

54

54

En donde:

= densidad media de los materiales suprayacientes

z = profundidad a la que se halla el punto P

=xp Esfuerzo externo horizontal= zKp (5);

=1

K (6)

en donde = coeficiente de Poisson =2

cos2 (7)

a= Radio de la galera; r= Distancia radial del punto P al centro del tnel

= ngulo que hace el radio que pasa por el punto P con el radio OA.

Cuando el punto P est sobre la periferia ABCD, r = a, que remplazado en (1), da como resultado:

2cos)(2)( zxzxt pppp += (9)

0=r y 0=r

Lo que indica que en cualquier punto de la periferia del tnel, los esfuerzos cortante y radial que segeneran son nulos.

Remplazando (5) en (9), se obtiene:

]2cos)1(2)1[( += KKpzt (10)

En los puntos A y C: 0= y 1360cos0cos2cos === .Por tanto, al remplazar este valor y (5) en (9) y resolver, se obtiene:

)3(33 KpKpppp zzzxzt === (11)

En el puntos B : = 90 y 1180cos2cos == ; remplazando y resolviendo:)13(33 === KppKppp zzzzxt (12)

En el punto D: = 270 , 12cos = , zx pKp 2= y zz Kpp =)13(3 2 == KKpKppK zzzt (13)

IV.3.2.- SUPERFICIE DE ROTURA


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55

55

La curva de rotura, que define la superficie por la cual romper la roca que rodea el tnel, cuandolos esfuerzos a que est sometida superen su resistencia, se obtiene aplicando elcriterio de roturaIII, C =

231 tan , ecuacin en la cual 1 es t y 3 es r , tendr la siguiente formulacin

matemtica:

2cos)31)(()1)([(

2

14

4

2

2

r

app

r

app zxzx +++ -

24

4

2

2

2

2

tan]2cos)341)(()1)((2

1[

r

a

r

app

r

app zxzx +++ = C

22222444224224 2tan)34(3[2cos)())(( rarararpprarrarpp Czxzx =+++++

z

C

p

rarararKraK

4222244422 2]tan)34(3[2cos)1()1(2

=+++

Si se hace: dK =+ )1( ; eK = 2cos)1( ; f=2tan

0234324

2224442

=++

z

C

p

rfafrafrar

e

dr

0)33()42

()12

( 22224 =++ afafae

dr

pfr

z

C

Si se hace: gp

fz

C=

2; hfa

e

d=

242

y iafa = 22 33

024

=++ ihrgr

Si se hace: jg

h= ; l=

g

iy Xr =2 : 02 =++ ljXX

Resolviendo, se obtiene:2

42 l=

jjX

IV.3.3.- TUNEL EN ROCA NICA

Se desea construir un tnel circular de 3 m de dimetro, a una profundidad de 200 m, dentro de unalutita recubierta por una serie de estratos con formadas por areniscas y lutitas intercaladas , cuya

densidad media es de 2,83m

T, resistencia a la compresin simple de 200

2cm

ky resistencia al corte

directo de 452cm

k, averiguar su estabilidad.

IV.3.3.1.- GRFICA DE ESTABILIDAD DE LA LUTITA


56/68

56

56

Los parmetros restantes de la lutita sern:

== 5,41]45)

45

100([tan2 1 ; 28,0

2

5,41cos2=

= ; 39,0

28,01

28,0=

=K

La curva de resistencia de la lutita ser: 455,41tan += RR

IV.3.3.2.- CLCULO DE LA ESTABILIDAD DEL TNEL SIN REVESTIMIENTO

256

10

)200(8,2

10 cm

khpz ===

Los esfuerzos que se generarn en la periferia sern:

En los puntos A y C:22

2002,146)39,03(56)3(33cm

k

cm

kKpKpppp zzzxzt


57/68

57

57

Crt

=+ )2

45(tan 2 , de donde,)

245(tan 2

+

=

Ct

r

Para los puntos A y C:

212210

)500(8,2

cm

k

pz == ; 24,18.3)39,03(122 cm

kt == y 22 2975,65tan

2004,318

cm

kr =

=

Para el punto B:2

4,207]1)39,0(3[122cm

kt == ; 24,375,65tan

200207

cm

kr =

=

Para el punto D

22 2002,124)1)39,0(3)[122(39,0 cm

k

cm

kt


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58

58

IV.4.- TNELES RECTANGULARES

IV.4.1.- EN ESTRATOS HOIZONTALE

Para acercarse a la solucin al problema plantead en la Fig. 24, se ha hecho una analoga con el casode la viga uniformemente cargada y empotrada en los extremos y aplicarle los resultados al anlisisde los respaldos superiorBCe inferiorAD, tal como aparecen a continuacin:

IV4.1.1.- RELACION ENTRE EL ANCHO DEL TNEL Y EL ESPESOR DEL ESTRATO

IV.4.1.1.1.-EN EL RESPALDO SUPERIOR

tan

2

zp

c

e

L=

IV.4.1.1.2.-EN EL RESPALDO INFERIOR

tan21

zp

c

Ke

L=

IV.4.1.2.- SPERFICIE DE ROTURA

IV.4.1.2.1.-EN EL RESPALDO SUPERIOR

L

l

zp

zp

zKp

zKp

zpK2

l3

1

x

y

x

z

MM

24...FIGURA

A

B C

D

z


59/68

59

59

3

22

3

22 )3(2

2

)4(3

e

zxp

e

zexp zz l

c=tan

03

2tan44tan4

32222

=++

zp

cezxexzzx l


3

222

3

222 )3(2

2

)4(3

e

zxpK

e

zexpK zz l

c=tan

03

2tan44tan4

2

32222

=++

zpK

cezxexzzx l

Tal como se observa en la ecuacin de equilibrio, ste depende del coeficiente de Poisson de la rocaque conforma el estrato que sirve de piso en el ejemplo propuesto de tal manera que si talcoeficiente es muy prximo a 0,5, es posible que el tnel falle por el piso.

IV.4.1.3..- ESTADO DE COLAPSO O DESTRUCCIN TOTAL (CATACLASIS)IV.4.1.3.1.-EN EL RESPALDO SUPERIOR

l3

2ecpz =


l23

2

K

ecpz =


60/68

60

60

IV.4.2.- TNELES RECTANGULARES EN ESTRATOS INCLINADOS

Para averiguar la estabilidad del tnel, tal como se nuestra en la Fig. 25, se revisar el equilibrio decada uno de los estratos en su periferia, bajo los siguientes supuestos:

1.- Cada capa se comporta como una viga, en voladizo, uniformemente cargada, empotrada en elmacizo rocoso.

2.- La carga externa p que acta sobre cada estrato vara segn la posicin que ste ocupe, as,por ejemplo:

En el techo y en el hastial izquierdo: KsenpsenKppppp zzz +=+=+= (coscos21 ),tendiendo a romper por traccin directa, en tanto que en el hastial izquierdo romper porcompresin y en el piso, por los esfuerzos a que son sometidos, slo rompern los que tengan uncoeficiente de Poisson prximos a 0,5.

l

L

z

zp

zKp

zpK2

zKp

25...FIGURA


61/68

61

61

IV.5.- TNELES EN HERRADURA

Para su anlisis se les considera como una combinacin entre uno circular en su porcin superior yotro rectangular en su porcin inferior, conservando en cada porcin los resultados obtenidos en los

respectivos tneles ya analizados.

IV.6.- TNELSE EN MATERIALES BLANDOS Y DERRUMBES

En este caso particular, la masa rocosa en que se debe construir la estructura subterrnea poseecoeficiente de friccin interna y cohesin muy bajos, en el caso de las arcillas de la sabana o slocoeficiente friccin como en el caso de los derrumbes constituidos por material granular.

En ambos casos, si el tnel se construye por el mtodo de avance convencional, es necesario ponerun sostenimiento provisional que permita remover los escombros de manera segura para podercolocar a continuacin el revestimiento definitivo, a medida que se va avanzando.

IV.6.1 CLCULO DE LA CARGA SOBRE EL SOSTENIMIENTO PROVISIONAL

Para ello es necesario averiguar la carga externa que ha de soportar el sostenimiento provisional quenormalmente es una sombrilla conformada por barras de acero que se hincan dentro de la masarocosa a una distancia a partir del frente de avance que permita trabajar sin peligro, averiguacinque se hace a partir de la grfica que aparece a continuacin.

El anlisis matemtico del diferencial dzl2 , conduce a:

zSp =

p

RSK =

dz

245 +

cRR += tan

RS

l2

26...FIGURA

SS d +


62/68

62

62

02)(22 =++= dzddWF SSSV ll

Haciendo las transformaciones se obtiene:l

=

dz

d S

Puesto que la masa rocosa carece de resistencia al corte directo o es casi nulo

tantan SRR K== ,l

tanSS K

dz

d= , de donde: )]

tan(1[

l

l

Kze

KS =

IV.6.2 CLCULO DE LA SOMBRILLA

.

Si el sostenimiento definitivo consiste en la postura de arcos metlicos cada 0,50 m, una buenaproteccin provisional es una sombrilla, construida con varillas de acero de 2,54cm de dimetro y2,00m de largo, hincadas por un extremo bien aguzado, siguiendo la periferia del tnel, tal como semuestra en la FIGURA 27.

El esfuerzo a se hallar sometida la varilla de la corona en su fibra exterior :

22

2

42253

cm

k

e

pTD ==

l

a

b

a

Sh

L

l

X

p

27...FIGURA


63/68

63

63

En donde: =TD resistencia del acero a traccin directa en 2cm

k, e=2,54cm, cm50=l y

eb

abp S

= y al remplazar, se obtiene: 4225

33

2

=e

aS l , de donde:2

3

3

42250

lS

ea

=

IV.7 POZOS VERTICALES

IV.7.1 CLCULO DE LA ESTABILIDAD SIN REVESTIMIENTO

IV.7.1.1 POZO CONSTRUIDO EN UNA SOLA ROCA

En el anlisis de la estabilidad de un tnel circular se hall que en su periferia se cumple lasiguiente ecuacin:

2cos)(2)( yxyxt pppp +=

En el caso de un pozo vertical: zyx Kppp==

Por consiguiente: Czth

KKp

===10

22

La profundidad a la cual empieza a fallar ser:

Kh C

2

10=

x

y

z

x

y

z

zp

zKp

zKp

zKp

zKp

zKp

zKp

zKp

28...FIGURA


64/68

64

64

IV.7.1.2 POZO CONSTRUIDO ATRAVESANDO MLTIPLES ESTRATOS

Puesto que C y Kvaran con cada estrato, la profundidad a la cual falle depender de cada estrato

en particular, siguiendo la ecuacin anterior.

IV.8 FALLAS GEOLGICAS Y CUANTIFICACION DE SU INFLUENCIA SOBRE LASESTRUCTURAS SUBTERRRANEAS.

REPRESENTACION ISOMETRICA DEL SISTEMA FALLA-VIA SUBTERRNEA

F

/F

C

D

//B

E GH

//A

/A

A

z

x

L

y

I

JN

M

P

B

/B

29...FIGURA


65/68

65

65

IV.8.1 CONDICIONES GENERALES

La FIG. 28 contiene la representacin del sistema falla- va subterranea, que interactan, en la cual:

IBCDAJ : va subterrnea, cuya direccin de avance es N-S. AABB // : seccin transversal del frontn de la va ( normal a su direccin ). PHCMB// : plano de la falla, con direccin /FF , EN y buzamiento es S--E. ://CB traza del hastial CBI /B con el plano de la falla. ://DA traza del hastial /DAJA con el plano de la falla. EB// y GA// : lneas del buzamiento del plano de la falla. ://HB trazas del plano del frontn con el plano de la falla. : pendiente de las trazas CB// y DA// . : ngulo e la traza de la falla con la direccin de la va. : Buzamiento del plano de la falla. : pendiente de la traza del plano del frontn de la va con el plano de la falla.

IV.8.2 CALCULO DE LOS VALORES DE y .

De la representacin isomtrica y de los cortes de la FIG. 29 se obtiene:

AG

AA

BE

BB ////tan == ; y

AD

AA

BC

BB ////tan ==

tantan//// AGBEAABB === , tambin, tantan//// ADBCAABB ===

CB

//B

//... BCCORTE //... BECORTE

E D A G

//A

//AD //AG

/A

A

//... BHCORTE

//A

B

/B

//B

L

H


66/68

66

66

Igualando se obtiene: tantan BCBE = y tantan ADAG =

Por consiguiente:

tan

tan==

AD

AG

BC

BE

Por otro lado:

tan

tan===

AD

AG

BC

BEsen , de donde: tantan sen= , y:

)tan(tan 1 sen=

Por otra parte, tambin: tan// BHBB = y tan// AHAA =

Por consiguiente:tan

//BBBH= = tanBC , y

tan

//AAAH= = tanAD

De donde: tantantan////

===

AD

AA

BC

BBy

tancos

tan

tan

tan

tantan ===

sen

Por tanto: )tan(costan 1 =

IV.8.3 EFECTOS MECNICOS CUANTITATIVOS DE LA FALLA SOBRE LA VA

En el corte //BH de la figura 29 se ve que la falla, respecto a la va delimita:

En el techo, una viga trapezoidal ////// BBAA , uniformemente cargada y empotrada en susextremos

///

AA y///

BB . En el hastial izquierdo, un pilar trapezoidal LHAA/ .

IV.8.4.- CLCULO DE LOS EFECTOS MECNICOS SOBRE LA VIGA.


67/68

67

67

IV.8.4.1 ECUACIN DE EQUILIBRIO

ce

zxp

e

xzep

x

z

x

xz=

tan

)3(2

2

)4(33

22

3

22l

)(/

xLAex ++= l ; cxLA

xp

xLA

zxLApzx

=++

++

++

tantan)(

)3(2

tan)(

]4tan)[(3/

22

/

2/

l

l

l

l

//B

/A

//A

L /B

M M

x

l

l3

1

l

/o

//o

o

30...FIGURA

z

x

neutroeje...

D

C

zp

zKp

h

z2xe

xe

b


68/68

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Criterios de Rotura

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