Criterios de falla

Autor: M.I. Antonio Zepeda Sánchez

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Criterios de falla bajo carga estática Indice I. Introducción II. Falla en materiales dúctiles

• Introducción • Criterio de la energía de distorsión máxima • Criterio del esfuerzo cortante máximo • Comparación de los datos experimentales con los criterios de falla

III. Falla en materiales frágiles

• Introducción • Criterio de Coulomb-Mohr • Criterio de Mohr modificada

IV. Mecánica de la fractura

• Introducción • Criterio de la mecánica de fracturas


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I. Introducción Se considera que un material falla cuando éste se deforma o cede bajo carga estática. Es decir, σTrabajo > σMax. mat. entonces se producirá la fractura o la falla. II. Falla en materiales dúctiles Introducción Se han planteado varios criterios que intentan explicar el comportamiento de los materiales dúctiles sometidos a carga estática, como los que se nombran a continuación: • Criterio de la deformación normal máxima • Criterio de la deformación total • Criterio del esfuerzo normal máximo • Criterio de la energía de distorsión máxima (Von Mises-Hencky) • Criterio del esfuerzo cortante máximo Pero los datos experimentales sólo concuerdan con los últimos dos. De los cuales, el criterio de Von Mises es el más exacta. Por lo que, se explicará primero éste, después el del esfuerzo cortante máximo y por último el del esfuerzo normal máximo. Éste último por ser la base para los criterios de falla en materiales frágiles. Criterio de la energía de distorsión máxima (Von Mises-Hencky) El mecanismo microscópico de fluencia se entiende que se debe al deslizamiento relativo de los átomos del material dentro de su estructura de red. Este deslizamiento es causado por esfuerzos cortantes acompañados por distorsión de la forma de la pieza. La energía almacenada en la pieza por causa de esta distorsión es un indicador de la magnitud del esfuerzo cortante presente. Se pensó que la energía total de deformación almacenada en el material era la causa de la falla por fluencia, pero no ha sido comprobado experimentalmente. La energía de deformación U es el área bajo la curva esfuerzo - deformación hasta el punto del esfuerzo aplicado en ensayo de tracción, que es un estado de esfuerzo unidireccional, como se muestra en la figura 2.1.


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Figura 2.1. Curva esfuerzo-deformación para un estado de esfuerzos unidireccional. Suponiendo que la curva esfuerzo-deformación es en esencia lineal hasta el punto de fluencia, entonces podemos expresar la energía de deformación total en cualquier punto de este rango, de la siguiente forma,

U = 0.5 σε (2.1) Para un estado de esfuerzo tridimensional, tomando en cuenta los esfuerzos principales y deformaciones principales que actúan sobre los planos de cero esfuerzo cortante, se puede escribir como,

U = 0.5 ( σ1ε1 + σ2ε2 + σ3ε3 ) (2.2) La expresión anterior se puede proponer, únicamente, en función de los esfuerzos principales, tomando en cuenta la ley generalizada de Hooke descrita como,

ε1 = E-1 ( σ1 - νσ2 - νσ3 ) ε2 = E-1 ( σ2 - νσ1 - νσ3 ) (2.3)

ε1 = E-1 ( σ3 - νσ1 - νσ2 ) Entonces la energía total de deformación queda como sigue,

U = 0.5 E-1 [ σ12 + σ2

2 + σ32 - 2ν( σ1σ2 + σ2σ3 + σ1σ3 ) ] (2.4)

Ésta ecuación se puede considerar formada por dos componentes: El primero, por carga hidrostática que modifica el volumen de la pieza y, el segundo, que modifica su forma. Entonces, la ecuación anterior se puede expresar como,

U = Uh + Ud (2.5) La separación de la ecuación en dos componentes surge a partir de la realización de experimentos en los que se observó que los materiales no se fracturaban al aplicar una carga hidrostática que producía niveles de esfuerzo mayores de los que el material puede soportar, en una prueba normal de compresión. También, se observó que únicamente se reducía el volumen, por lo que se pensó que la componente de distorsión era la causante de la falla. Expresando cada uno de los esfuerzos principales en función del componente hidrostático (volumétrico) σh, que es común en cada una de las caras de un


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elemento cúbico, así como una componente de distorsión σid, que es único a cada una esas mismas caras, y el subíndice representa la dirección principal del esfuerzo 1,2, o 3.

σ1 = σh + σ1d σ2 = σh + σ2d (2.6)

σ3 = σh + σ3d Sumando estos tres esfuerzos principales resulta,

σ1 + σ2 + σ3 = σh + σ1d + σh + σ2d + σh + σ3d

3σh = σ1 + σ2 + σ3 - ( σ1d + σ2d + σ3d )

Para el caso de cambio volumétrico sin distorsión, el término entre paréntesis debe ser cero, quedando el promedio de los tres esfuerzos principales como se indica en la ecuación 2.6.

σh = (1/3)( σ1 + σ2 + σ3 ) (2.7)

Para determinar la energía de deformación asociada con el cambio volumétrico se reemplaza cada esfuerzo principal por σh en la ecuación 2.4, con lo que se obtiene, U = 0.5 E-1 [ σh

2 + σh2 + σh

2 - 2ν( σhσh + σhσh + σhσh ) ]

U = 0.5 E-1 [ 3σh2 - 2ν( 3σh

2 ) ] U = ( 3/2 ) E-1 ( 1- 2ν ) σh

2 Sustituyendo el valor de σh de la ecuación 2.7, se tiene U = ( 3/2 ) E-1 ( 1- 2ν ) ( (1/3) ( σ1 + σ2 + σ3 )2 U = ( 1/6 ) E-1 ( 1- 2ν ) [ σ1

2 + σ22 + σ3

2 + 2 ( σ1σ2 + σ2σ3 + σ1σ3 ) ]

( )[ ] ( )8.26

21313221

23

22

21 LLLσσσσσσσσσυ

+++++−

=E

U


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Para el caso de la componente de distorsión se obtiene de la ecuación 2.5, donde Ud = U - Uh Ud = 0.5 E-1 [ σ1

2 + σ22 + σ3

2 - 2ν( σ1σ2 + σ2σ3 + σ1σ3 ) ] - ( 1/6 ) E-1 ( 1- 2ν ) [ σ1

2 + σ22 + σ3

2 + 2 ( σ1σ2 + σ2σ3 + σ1σ3 ) ] Ud = ( 1/3 ) ( 1+ ν ) ( σ1

2 + σ22 + σ3

2 - σ1σ2 - σ2σ3 - σ1σ3 ) Para un ensayo de tensión, que es un estado de esfuerzo uniaxial σ1 = σy , σ2 = σ3 = 0, entonces Ud = ( 1/3 ) ( 1+ ν ) σy

2 Esta es la energía de distorsión asociada con la fluencia en la probeta de tensión. Igualando ambas ecuaciones obtenemos, σy = [ σ1

2 + σ22 + σ3

2 - σ1σ2 - σ2σ3 - σ1σ3 ]1/2 el criterio de falla aplicable al estado de esfuerzos tridimensional. Para un estado de esfuerzo plano, donde σ2 = 0 el criterio de falla es, σy = [ σ1

2 - σ1σ3 + σ32 ]1/2

donde ésta ecuación describe una elipse como la que se muestra en la figura 2.2. Figura 2.2. Para el caso de tres dimensiones se representa por un cilindro circular inclinado en los ejes σ1, σ2 y σ3 , de manera que su intersección con cualquiera de los tres planos principales resulta una elipse. Esfuerzo efectivo de Von Mises (σ´)


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El esfuerzo efectivo de Von Mises, es el esfuerzo a tensión uniaxial que generaría la misma energía de distorsión que la que se produciría por la combinación de los esfuerzos aplicados. Es aplicable para situaciones con esfuerzos combinados de tensión y cortante sobre un mismo punto. Para el caso tridimensional en función de los esfuerzos principales: σ´ = [ σ1

2 + σ22 + σ3

2 - σ1σ2 - σ2σ3 - σ1σ3 ]1/2 en función de los esfuerzos aplicados σ´ = [ 1/2 (σx - σy) + (σy - σz) + (σz - σx) + 6(τxy

2 + τyz2 + τzx

2 ]1/2 Para el caso de dos dimensiones en función de los esfuerzos principales, σ´ = [ σ1

2 - σ1σ3 + σ32 ]1/2

en función de los esfuerzos aplicados σ´ = [ σx

2 + σy2 + 3τxy

2]1/2 Para determinar el factor de seguridad aplicable al diseño y confiar en que éste no fallará bajo carga estática, se aplica la siguiente ecuación, N = σy * σ´-1

Cuando se tiene un punto sometido a esfuerzo cortante puro, entonces se tiene,

Esta relación define el límite de fluencia elástico a cortante τys de cualquier material dúctil, como una fracción de su límite de fluencia elástico a tensión σy determinado mediante un ensayo de tensión, quedando como sigue,

03

=−==

σστσ

maxyy

maxy

τσσ

σ

τσσσσσσ

===∴

==++=

577.03

33

1

221

2121

21

yys στ 577.0=


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Se ha comprobado mediante experimentos y el criterio de la distorsión que la falla dúctil en materiales dúctiles, en un ensayo a tensión, se considera debida al esfuerzo cortante. Criterio del esfuerzo cortante máximo Este criterio fue propuesto por primera vez por Coulomb (1736-1806), y posteriormente descrita por Tresca en 1864. A principios del siglo XX J. Guest llevó a cabo experimentos en Inglaterra que confirmaron el criterio. Por lo que, a veces se conoce como criterio Tresca-Guest. Establece que la falla ocurre cuando el esfuerzo cortante en la pieza excede la mitad del esfuerzo de fluencia del material.

Este es un límite mas conservador que el del criterio de Von Mises. En la figura 2.3, se muestran superpuestas las curvas de los dos criterios.

Figura 2.3. Criterio del esfuerzo cortante máximo delimitado por el hexágono. El procedimiento para aplicar este criterio es el siguiente: Determinar σ1, σ2 y σ3 (para el caso de dos dimensiones σ2 = 0). Determinar el valor de τmax mediante las relaciones,

yys στ 50.0=

2// 21

13σσ

τ−

=2

// 1221

σστ

−=

2// 23

32σσ

τ−

=


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Compare el valor de τmax con el criterio de falla. Para determinar el factor de seguridad se aplica la siguiente ecuación,

Donde τmax es el mayor resultado de los encontrados (τ13, τ21 y τ32). Criterio del esfuerzo normal máximo Establece que la falla ocurrirá cuando el esfuerzo normal en la probeta llegue a cierto límite de la resistencia normal, como puede ser el límite de fluencia elástico a tensión o la resistencia máxima a tensión del material. Para el caso de materiales dúctiles, el criterio deseado es la resistencia límite, ver figura 2.4.

Figura 2.4. Criterio del esfuerzo normal máximo delimitado por el cuadrado. Los experimentos muestran que los materiales dúctiles fallan bajo carga estática cuando sus estados de esfuerzo quedan fuera de la elipse, por lo tanto, los cuadrantes 2 y 4 es inseguro este criterio. Comparación de los datos experimentales con los criterios de falla En la figura 2.5, se muestra las curvas superpuestas de los criterios de falla de Von Mises, Tresca y el del esfuerzo normal máximo, con los datos experimentales. Se puede observar que los materiales dúctiles concuerdan con

)(2)(250.0

3131 σσσ

σσσ

τσ

ττ

−=

−=== yy

max

y

max

yN


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Von Mises, los datos de fundición (frágil) se acercan más al criterio del esfuerzo normal máximo.

Figura 2.5. Comparación de los datos experimentales con los criterios de falla. Se puede concluir que el criterio de Von Mises es exacto y el de Tresca es más conservador. Ambos son aceptables para materiales dúctiles, homogéneos o isotrópicos, donde σcomp es aproximadamente igual a σtensión. La elección de uno u otro criterio queda a la consideración del diseñador. III. Falla en materiales frágiles Introducción Los materiales uniformes se conocen porque su σcomp es aproximadamente igual a σtensión, estos materiales pueden ser del tipo forjado, para estos son aplicables los criterios mencionados arriba. Los materiales no uniformes tienen la característica de que su σcomp es mucho mayor que su σtensión, como son los materiales fundidos como la fundición de hierro gris, cuya característica general es su fragilidad. De este modo, los materiales frágiles se fracturan en vez de ceder. La fractura frágil a tensión se considera causada sólo por el esfuerzo normal a tensión y, por lo tanto, en este caso es aplicable el criterio del esfuerzo normal máximo. La fractura frágil a compresión se debe a una combinación de esfuerzo normal a compresión y de esfuerzo cortante, por lo que se requiere un criterio deferente. Para este caso, se maneja una combinación de criterios.


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Criterios de falla en materiales frágiles El criterio de Coulomb-Mohr es una adaptación del criterio del esfuerzo normal máximo. En la figura 3.1, se muestran los criterios de el esfuerzo normal máximo para materiales homogéneos y no homogéneos, el de Coulomb-Mohr y el de Mohr modificado.

Figura 3.1. Comparación de criterios de falla para materiales frágiles. En la figura 3.1, se observa que la línea punteada limita el criterio del esfuerzo normal máximo con dimensión ±σut, para materiales frágiles uniformes. El cuadro mayor denota la teoría del esfuerzo normal máximo para material no uniforme. Pero sólo es válida en el primer y en el tercer cuadrantes, ya que no toma en cuenta la interdependencia de los esfuerzos normales y cortantes, y que afectan al segundo y cuarto cuadrantes. El criterio de Coulomb-Mohr, intenta tomar en cuenta la interdependencia al conectar mediante diagonales las esquinas opuestas de los dos cuadrantes en cuestión. Se tiene una gran similitud con el criterio del esfuerzo cortante máximo para materiales dúctiles. La única diferencia es la simetría Coulomb-Mohr resultante de las propiedades no uniformes de los materiales y el uso de la resistencia máxima en lugar del límite de fluencia elástico. Para el criterio de Mohr Modificado, los datos experimentales de falla real siguen la envolvente del criterio de Mohr Modificado. Por lo que es el criterio preferido para materiales no uniformes frágiles bajo carga estática.


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Cuando los esfuerzos principales en dos dimensiones se ordenan como sigue σ1 > σ3, σ2 = 0, sólo se necesitan dibujarse el primero y el cuarto cuadrantes, según se muestra en la figura 3.2 que traza los esfuerzos normalizados en función de N/σut, donde N es el factor de seguridad. Figura 3.2. Primero y cuarto cuadrantes del diagrama de Mohr Modificado, se observan tres condiciones de esfuerzo plano (A,B y C). En la figura figura 3.2, se pueden observar tres estados de esfuerzo plano. El punto A representa cualquier estado de esfuerzo en el cual son positivos los dos esfuerzos principales distintos de cero (σ1 y σ3). Entonces la falla ocurrirá cuando la línea de carga de OA cruce la envolvente de falla en A´. Para lo cual, el factor de seguridad será,

Si los dos esfuerzos principales distintos de cero son de signo opuesto, entonces se presentan dos posibilidades para la falla (puntos B y C). 1. Cruce por encima del punto σut, - σut, para el cual el factor de seguridad se

puede determinar con la ecuación 3.1. 2. Cruce por debajo del puntoσut, - σut, cuyo factor de seguridad se puede

determinar con la expresión 3.2.

Si el estado de esfuerzo aparece en el cuarto cuadrante, deberán verificarse ambas ecuaciones y aplicar el N más pequeño.

)1.3(1

LLLLσσ utN =

)2.3()( 311

LLLLσσσσσ

σσ+−

=utuc

ucutN


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Esfuerzo efectivo de Mohr Modificado Se requiere una expresión para esfuerzo efectivo que tome en cuenta todos los esfuerzos aplicados y que permita una comparación directa con una propiedad de resistencia del material como se hizo para el criterio de Von Mises. Dowling, desarrolló lo siguiente,

El mayor valor de los seis (C1, C2, C3, σ1, σ2 y σ3), es el esfuerzo efectivo deseado. Entonces mediante la función MAX,

si todos los valores son negativos entonces 0~ =σ . Entonces, se puede comparar con la resistencia máxima a tensión del material y obtener,

( )

( )

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

++−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

++−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

++−=

13133

32322

21211

2//

21

)3.3(2

//21

2//

21

σσσ

σσσσ

σσσ

σσσσ

σσσ

σσσσ

uc

utuc

uc

utuc

uc

utuc

C

C

C

LLLL

)4.3(),,,,(~321321 LLLLσσσσ yCCCMAX=∴

)5.3(~ LLLLσσ utN =


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