cristina loureiro 2009_a geometria no novo programa de matemática do ensino básico

8/6/2019 cristina loureiro 2009_a geometria no novo programa de matemática do ensino básico

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Novembro | Dezembro || 2009

Este texto sobre o novo programa de Matemática assumeum carácter duplo: uma perspectiva crítica e algumas suges-tões práticas. De certa orma pretende articular um currícu-lo experimentado, que oi objecto de acompanhamento emsala de aula no âmbito do programa de ormação contínua

em Matemática para proessores do 1º e 2º ciclos, com umcurrículo proposto, as orientações do programa. É um com-promisso entre estas orientações e a necessidade de desen-volver práticas de ensino de geometria que desocultem osprocessos cognitivos que lhe estão subjacentes.

Um dos aspectos mais importantes da organização des-te programa são as capacidades transversais. É pena que avisualização e a representação não tenham sido distingui-das como tal, pois embora sendo capacidades indissociáveisda geometria não são exclusivas desta área temática. Ali-

ás, é amplamente assumido que um dos grandes valores dageometria é o seu contributo para a representação e paraa visualização, e vice-versa, como vários autores deendem(Duval, 1998; Goldin, 2002; Battista, 2007). Ao destacaras capacidades transversais como um pano de undo sem-

pre presente na planifcação curricular, a alta destas duascapacidades pode desvalorizar o seu papel no trabalho emgeometria, apesar das várias reerências metodológicas queestes dois termos têm nas várias indicações sobre o desen-volvimento do tema. Assim, o ponto de partida para o tra-balho sobre os tópicos de geometria e medida tem que partirda articulação de todas as dimensões deste programa (fnali-dades, objectivos gerais e capacidades transversais) e incluircom especial destaque a visualização e a representação.

Geometria no Novo Programa de Matemática do Ensino BásicoContributos para uma gestão curricular refexiva

Cristina Loureiro

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Educação e Matemática | número 105

actividades que lhes proporcionem o contacto com estas ecom muitas outras representações, tanto isoladas como li-gadas. Esta diversidade ilustra para uma fgura elementar, oquadrado, como é grande o número de relações possíveis deestabelecer entre o todo e as partes e entre esta e outras fgu-ras. Qualquer fgura geométrica é representada por um pro-tótipo que não pode ser rígido e que deve ir evoluindo aolongo da aprendizagem. A investigação tem mostrado queos protótipos rígidos das fguras geométricas regulam o de-senvolvimento do raciocínio geométrico da criança ao lon-go de toda a sua vida. Se os exemplos e contra-exemplos daexperiência vivida pelas crianças são rígidos e não repre-sentam toda a variedade de elementos de uma classe, assimtambém serão os seus conceitos.

Justifca-se pois a necessidade de realizar actividades degeometria sobre estruturas geométricas diversifcadas, comobjectos geométricos em representações diversas, estabele-cendo ligações entre elas. O desenvolvimento do raciocíniogeométrico tem que se servir de uma diversidade de repre-sentações e de acções adaptadas ao raciocínio a desenvolver.Assim, os materiais que permitem representar os objectosgeométricos devem ser escolhidos em unção das estruturasgeométricas que se pretendem trabalhar. Os materiais estãoao serviço das estruturas e não o contrário como tantas vezesacontece, são um meio, não um fm. A geometria dinâmica,bem como applets interactivos também têm um papel un-

damental que é preciso ligar com a utilização de estruturasgeométricas manipuláveis.

Desenhar e pintar com lápis em papéis diversos, repre-sentar no geoplano ou com fguras padrão de diversa na-tureza (tangran, blocos padrão, polydrons, …), representarcom barras articuladas, representar com quadrados ou comcubos, compor e decompor, recortar e dobrar, representarcom vistas e em perspectiva, recorrer a espelhos, miras e ou-tros modelos ísicos, planifcar e montar, são acções ineren-

Figura 1

Visualização e raciocínio visual

O desenvolvimento de capacidades de visualização consti-tui já uma preocupação de muitos proessores e é objecto deactividades realizadas pelas crianças. Para tal, tem sido umareerência indispensável o artigo de Gordo e Matos (1993)publicado na revista Educação e Matemática n.º 26. No en-tanto, é hoje deendido que a visualização em matemáticanão se resume a um conjunto de capacidades e não é ex-clusiva dos objectos geométricos. Os estudiosos do raciocí-nio visual têm evidenciado a necessidade de o ensinar e de-senvolver e destacam o seu papel de pilar na demonstração

rigorosa (Goldenberg, Cuoco e Mark, 1995; Duval, 1998;Hershkowitz, 1998). Em suma, a visualização deve ser assu-mida como uma componente undamental do raciocínio ge-ométrico e do raciocínio matemático em geral. Goldenberget al (1995, p. 6) afrmam que «ao ignorar a visualização,um currículo alha não só no envolvimento de uma partesubstancial do pensamento dos alunos ao serviço do racio-cínio matemático, como no desenvolvimento de capacida-des de visualização para explorar e argumentar visualmen-te». Além destas perdas, este investigador afrma que, paramuitos alunos, a visualização e o raciocínio visual são umaâncora para o pensamento matemático e também a primeiraoportunidade para participarem na actividade matemática.Goldenberg é um dos mentores dos hábitos de pensamento,

apresentados nas revistas Educação e Matemática n.ºs 47 e48, e que az bem revisitar de vez em quando.

Visualização e representação

Há muitas maneiras distintas de ver o quadrado como fgu-ra isolada ou ligada a outras (fgura 1). Maneiras diversasde o ver e representar servem raciocínios visuais dierentes.Assim, a imagem mental de quadrado que os alunos têmde construir ao longo da sua aprendizagem deverá partir de

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tes à representação que devem ser vividas pelas crianças aolongo de todo o ensino básico. Passar de uma representaçãopara outra e estabelecer relações entre diversas representa-ções são passos indispensáveis para a construção de imagensmentais. Que confguração está na cabeça de cada um denós quando reerimos um quadrado ou um cubo? É uma con-fguração estática ou dinâmica? Isolada ou ligada? Rígida ouexível e transormável?

Raciocínio geométrico

Há muitas ormas de encarar a geometria como conteúdode ensino. Michael Battista apresenta-a como «uma redecomplexa de interligações entre conceitos, modos de pen-sar, e sistemas de representação que são usados para concep-tualizar e analisar ambientes espaciais ísicos e imaginados»e avança ainda que «subjacente à maior parte da geometriaestá o raciocínio espacial, que é a capacidade para «ver»,analisar e reectir sobre objectos espaciais, imagens, rela-ções e transormações (Battista, 2007, p. 843).

Esta perspectiva orienta-nos para a valorização do racio-cínio geométrico que Duval (1998) destaca ao afrmar que«a geometria, mais do que as outras áreas da matemática,pode ser usada para descobrir e desenvolver dierentes mo-dos de raciocínio», deendendo que o alcance do ensino dageometria para todos é desenvolver as capacidades de repre-sentação visual e as capacidades de raciocínio, avorecendo

a sinergia entre esses dois processos. Duval alerta para o pe-rigo do ensino da geometria poder ter muitas vezes o estra-nho eeito de azer os alunos regredirem e perderem muitada sua efciência natural nesta área.

O trabalho em geometria não deve centrar-se apenasnos objectos geométricos, devendo atender muito mais àsacções que podem ser aplicadas sobre eles, sob pena dascrianças só aprenderem nomes de fguras e começarem adistingui-las apenas pelo seu aspecto ou posição. As acções

como classifcação, composição, decomposição, construçãoe transormação devem ter um destaque especial ao longo detoda a aprendizagem.

Famílias de fguras geométricas

Na primeira parte deste artigo procurei registar de uma or-ma crítica algumas ragilidades do programa, apontandoorientações simples para as ultrapassar. Desenvolvo agoraum pouco mais estes apontamentos com algumas sugestõesde tareas, enquadradas por uma ideia muito orte a que te-nho dado especial atenção, o estudo de amílias de fguras

geométricas.Ao longo da minha experiência de acompanhamentode aulas de geometria, tenho vindo a concluir que uma dasboas ideias para a abordagem da geometria é a criação de a-mílias de fguras geométricas fnitas e com um pequeno nú-mero de elementos. Os poliminós e os polidiamantes são al-guns exemplos já bastante conhecidos. Na geometria 3D ospoliedros platónicos, os arquimedianos e os deltaedros con-vexos são também bons exemplos. Um aspecto interessanteé a atracção que estas amílias exercem, pois permitem con-rontar os interlocutores com situações inesperadas e desa-fantes, quer pelas características quer pelo número de ele-mentos. O acto de haver invariantes entre as fguras oerecea possibilidade de gerar mais elementos ou de nos conron-tarmos com a necessidade de provar que já estão represen-tados todos os elementos da amília. Esta necessidade de re-presentação é também um motor importante de utilizaçãode técnicas de representação matemática. Avanço com al-guns exemplos.

1º exemploHabituámo-nos a olhar para o geoplano de 5 por 5 como ummaterial manipulável. Olhemos para ele como um plano eu-clidiano, fnito, limitado e discreto suporte de interessantes

Figura 2

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amílias de fguras. A seguinte sequência de tareas ilustrabem esse potencial:

Descobrir todos os quadrados dierentes, (amília Q).

Descobrir todos os rectângulos dierentes, (amília R).

Descobrir quadriláteros com pelo menos um ângulo recto

(amília T).

Classifcar os quadriláteros obtidos.

Esta sequência pode ser utilizada em qualquer nível de en-sino. No 1º ciclo as duas primeiras questões fcam pela des-coberta de todos os casos, sem a exigência de provar quenão há mais nenhum elemento possível para o conjunto,no 2º ciclo pode ir esboçando-se esta prova e no 3º ciclo asua exigência já é adequada. A ordem escolhida para as ta-reas é decisiva porque permite introduzir, na primeira ac-

tividade, um pequeno instrumento de cartolina, o detectorde ângulos rectos, visível na fgura 2, com o qual os alunosaprendem a decidir se um ângulo é ou não recto, sem preci-sarem do peso da ormação do conceito de ângulo nem dasua medição em graus. Este tipo de decisão é indispensávelpara identifcar quadrados e rectângulos nas «posições incli-nadas» no geoplano, isto é, aqueles cujos lados não estão so-brepostos à rede invisível de rectas paralelas e perpendicu-lares defnidas pelos seus pontos. Para alunos mais novos oumais inexperientes, a primeira actividade é também impor-

tante para aprender a representar quadrados em papel pon-teado introduzindo uma técnica útil que é marcar primeiro

os 4 vértices e só depois traçar os lados, identifcando assimelementos de uma fgura plana.

Esta sequência permite ir vivendo a discussão sobre oacto de os quadrados serem considerados também comorectângulos. Alguns alunos aceitam bem esta ideia, masoutros nem por isso. A terceira actividade permite relan-çar esta discussão ao abrir as portas para várias classifca-ções possíveis, em que uma delas aponta claramente para acriação de uma classe interessante, a classe dos rectângulosonde estão incluídos os quadrados (fgura 3).

Esta classifcação, quanto ao número de ângulos rec-tos, é pouco comum. Na perspectiva geométrica, ela não seenquadra na geometria absoluta e sim na geometria eucli-diana, atendendo a que parte da incorporação implícita do

axioma das paralelas e assim corresponde a um nível de con-ceptualização mais elementar, como deende Bongiovanni(2009). O seu grande valor didáctico é ser uma classifcaçãoque arruma naturalmente a classe dos rectângulos, onde seincluem os quadrados, como a classe dos quadriláteros com4 ângulos rectos. O destaque de uma classe de quadriláterosobtida desta orma ajuda a construir o conceito de rectângu-lo no sentido lato que o programa preconiza (p. 22).

Nestas tareas o raciocínio geométrico está presente naidentifcação de invariantes entre os elementos de uma a-

Figura 3

nenhum ângulo recto

1 ângulo recto

2 ângulos rectos

4 ângulos rectos

consecutivos

alternados

Figura 4

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mília, na classifcação aberta, na construção de fguras querespeitem uma conjunção de condições. Com os alunos mais

velhos surge o raciocínio de demonstração para garantir quese obtiveram todos os elementos da amília. É possível con-tinuar a aprendizagem e portanto avançar mais no raciocí-nio geométrico. Por exemplo: obter um processo geométricopara identifcar ângulos rectos em quadriláteros no geopla-no, e demonstrar a validade do processo; igualmente para aidentifcação de lados paralelos em quadriláteros; descobrirtodos os quadriláteros, mas agora num geoplano de 3 por 3.

2º exemploUma amília de quadriláteros cíclicos criados num geoplanocircular com 24 pontos é outro exemplo rico para estudar(fgura 4). Sobre estes elementos é interessante estudar clas-sifcações, congruência de fguras, congruência de ângulos

e de lados, posições relativas de lados e simetria. Um bomexemplo de raciocínio geométrico é chegar a processos paraobter lados congruentes, lados perpendiculares e lados para-lelos nos quadriláteros desta amília.

3º exemploHabituámo-nos também a encarar os quadrados de materialmanipulável como uma unidade de medida de ácil utiliza-ção. Mas estes quadrados congruentes também são avorá-veis à construção de amílias de objectos geométricos.

Descobrir composições de 16 quadrados, 8 de uma cor e 8 deoutra, que tenham simetria de reexão. Para cada composi-

ção identifcar os eixos de simetria. Representar cada compo-sição em papel quadriculado e marcar os eixos.

Classifcar as composições existentes.

Procurar mais elementos de cada classe obtida. Demons-trar a possibilidade de encontrar ou não mais elementos para

cada classe.

A fgura 5 mostra representantes de várias classes possíveisde obter. A descoberta de invariantes entre os elementosdesta amília é de um nível de raciocínio geométrico maiselevado pois exige a capacidade de ir além do aspecto das f-guras. As composições da fgura 6 pertencem todas à mesmaclasse pois fcam invariantes para a mesma transormação

geométrica, uma reexão com eixo paralelo a dois lados doquadrado. As outras composições da fgura 5 pertencerão aoutras classes pois admitem reexões com eixos em outrasposições relativas.

Esta amília de composições permite azer uma iniciaçãoà reexão, como transormação geométrica a ensinar, comopreconiza o programa (pp. 22 e 23), preparando o caminhopara o estudo de fguras com simetria, aquelas que fcam in-variantes para determinadas transormações geométricas.Com a intenção de avançar neste estudo, podemos levar os

Figura 5

Figura 6

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alunos a criar também composições com simetria de rota-ção, (fgura 7).

As transormações geométricas, tópicos novos na Ge-ometria, e a simetria em sentido amplo (GTG, 2006), quenão é explicitamente reerida nos tópicos deste programa,combinam muito bem visualização, representação e raciocí-nio geométrico. No entanto, são uma temática crítica des-te programa sobre a qual os conceitos matemáticos deverãoser objecto de especial atenção na produção de materiais deapoio e na ormação de proessores.

Uma rede de percursos

Estes três exemplos de percursos de ensino apresentados,embora curtos e muito sumariamente discutidos, têm umpotencial de continuidade tanto para percursos de ensinosobre medida, como para outros percursos de ensino de ge-ometria no plano ou no espaço. Eles ajudam a encarar ostópicos de geometria do programa de uma orma exível,aberta e não compartimentada, que permite que sejam re-tomados ao longo dos três ciclos de escolaridade. Ilustramcomo é possível partir dos conhecimentos dos alunos, comtareas de compreensão muito simples, passíveis de propororalmente, e com uma orte natureza investigativa. Exem-plifcam também como as defnições, as propriedades e os

conceitos em geometria são um fm e não o princípio. Fun-damentalmente, mostram como visualização, representa-ção e raciocínio geométrico podem ser o oco na aprendiza-gem da geometria, integrando os tópicos do programa massem lhes dar a primazia. Para além de tudo isto, identif-

Figura 7

cam uma aprendizagem da geometria que se articula muitobem com as três capacidades transversais preconizadas noprograma, resolução de problemas, raciocínio matemáticoe comunicação.

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Cristina Loureiro

Escola Superior de Educação do Instituto Politécnico de Lisboa

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