1 CLCULO 1 (MA 262) Clase Prctica sobre trazado de curvas - SOLUCIONARIO 1.Analice la funcinfcon regla de correspondencia xx x f e ) ( =y trace un esbozo de su grfica. Solucin:(complete los espacios en blanco dentro de los rectngulos) a. Dominio de la funcin:=fDom b. Determinacin de los puntos de corte con los ejes: Ejex : xx y e 0 0 = = , luego0 = xy el punto de corte es( ) 0 ; 0Ejey : = 0 x0 e 0 ) 0 (0= = =f y , luego y = 0 y el punto de corte es (0;0) c. Anlisis de la simetra: con el ejey : cambiandoxpor) ( ) (ee ) ( ) ( x f x fxx x f xxx = = con el origen:aprovechando lo anterior:) ( ) ( x f x f luego, la funcin no es ni PAR ni IMPAR. d. Asntotas: asntotashorizontales:siL x fx= ) ( lm oL x fx= ) ( lm entonceslarectaL y = es una asntota horizontal, analicemos: *( )xxxxxe x =elm . lm ,como = xxlm y = xxe lm entoncesestamos ante la forma indeterminada y podemos usar lHospital, luego: 0e1lmelm e lm == = xxxxxxxxy concluiremos indicando que 0 = x es una asntota horizontal. *( ) = xxx e . lm ,luego, no hayasntotahorizontal cuando la funcin tiende a (infinito positivo). asntotasverticales:larectaa x = esunaasntotaverticalsisecumplealmenos unadelasproposicionessiguientes: =+) ( lm x fa x, =) ( lm x fa x, =+) ( lm x fa xy/o =) ( lm x fa x,ennuestroejemplonotenemosningn puntodediscontinuidad(recuerdequeeldominiodelafuncinsonlos reales), por lo que no tendremos asntotas verticales. e. Anlisis partiendo de la primera y segunda derivada: *Valores crticos:0 ) ( = x fo) (x f no existe siendo( )xx x f e 1 ) ( + = 0 ) ( = x fcuando1 = x) (x f siempre va a existir (su dominio es el mismo que el def ) *Valores donde:0 ) ( = x fo) (x f no existe siendo( )xx x f e 2 ) ( + = 0 ) ( = x fcuando2 = x) (x f siempre va a existir (su dominio es el mismo que el def ) reales 2 Para analizar los intervalosy sus caractersticas podemos usar la siguiente tabla en la que hemosevaluadounvalorencadaintervalodefinidoporlospuntosdeterminadosenel anlisis anterior: x -2-1 ) (x f -0,27-0,37 ) (x f ( - ) ( + ) ( + )) (x f ( - ) Se puede observar que existe un mnimo (absoluto y relativo) cuyo valor es -0,37 y est en -1yunpuntodeinflexinen) 27 , 0 ; 2 ( ,luego,lagrficatomandoencuentatodolo anterior ser: 2.Analice la funcinfcon regla de correspondencia 12) (22=xxx f ydominio[ 2 ; 3 sabiendoque ( )2214) ( = xxx f y ( )( )32211 3 4) (+= xxx f ,lagrfica adjunta se incluye para verificar el anlisis. Solucin: a. Dominio de la funcin:{ } 1 ; 1 Dom =f b. Determinacin de los puntos de corte con los ejes: Ejex : 1 x2x0 022= = y , luego0 = xy el punto de corte es( ) 0 ; 04.0 3.0 2.0 1.01.01.0xyAsntota Horizontal Punto de Inflexin Mnimo absoluto y relativo 3.0 2.0 1.0 1.0 2.01.01.02.03.04.0xy3 Ejey : = 0 x ( )01 00 2) 0 (22== =f y , luego y = 0 y el punto de corte es (0;0) c. Anlisis de la simetra: con el ejey : cambiandoxpor ( )( )) ( ) (121x - 2) (2222x f x fxxxx f x = = = con el origen:aprovechando lo anterior:) ( ) ( x f x f luego, la funcin es PAR. d. Asntotas: asntotashorizontales:siL x fx= ) ( lm oL x fx= ) ( lm entonceslarectaL y = es unaasntotahorizontal,enesteejercicionotenemosasntotashorizontalesporel dominio que no permite tender ao asntotasverticales:larectaa x = esunaasntotaverticalsisecumplealmenos unadelasproposicionessiguientes: =+) ( lm x fa x, =) ( lm x fa x, =+) ( lm x fa x y/o =) ( lm x fa x, analicemos: candidatos: -1 y 1 * + =+== 0212lm ) ( lm221 1xxx fx x * === 0212lm ) ( lm221 1xxx fx x Luego, concluimos en que existen 2 asntotas verticales:1 = xy1 = x e. Anlisis partiendo de la primera y segunda derivada: *Valores crticos:0 ) ( = x fo) (x f no existe siendo ( )2214) ( = xxx f0 ) ( = x fcuando0 = x) (x f no existe cuando1 = xo1 = x*Valores donde:0 ) ( = x fo) (x f no existe siendo ( )( )32211 3 4) (+= xxx fNunca0 ) ( = x f) (x f no existe cuando1 = xo1 = x Para analizar los intervalosy sus caractersticas podemos usar la siguiente tabla en la que hemosevaluadounvalorencadaintervalodefinidoporlospuntosdeterminadosenel anlisis anterior: x -101 ) (x f no definido 0no definido ) (x f ) (x f Sepuedeobservarqueexisteunmnimolocalquees0yestubicadoen0,ynoexisten extremos absolutos, la grfica es la que se muestra junto con el ejercicio. 4 Enlossiguientesproblemasnohemosincluidoelprocesocompletoqueessimilaral de los problemas anteriores, todos los pasos deben estar justificados, en caso de duda revisar la solucin de los problemas 1 y 2. 3.Analice y grafique las funciones con las siguientes reglas de correspondencia: a) 1) (2+=xxx fSolucin: a. Dominio de la funcin: = ; 1 Dom f b. Determinacin de los puntos de corte con los ejes: Ejex : 10 02+= =xxy , luego0 = xy el punto de corte es( ) 0 ; 0Ejey : = 0 x ( )01 00) 0 (2=+= =f y , luego y = 0 y el punto de corte es (0;0) c. Anlisis de la simetra: ) ( ) ( ) ( ) ( x f x f x f x f la funcin no es ni par ni impar- d. Asntotas: asntotas horizontales: por su dominio, slo podemos analizar = ) ( lm x fx, luego la funcin no tiene asntota horizontal. asntotas verticales:por su dominio, slo podemos analizar cuandoxtienda a +1* + =+=+=+ + 011lm ) ( lm21 1xxx fx x Luego, concluimos en que existe una asntota vertical que es:1 = x e. Anlisis partiendo de la primera y segunda derivada: *Valores crticos:0 ) ( = x fo) (x f no existe siendo ( )231 2) 4 3 () (+ + = xx xx f0 ) ( = x f cuando0 = x (nosepuedeconsiderarel 34 = x porqueestfueradel dominio). ) (x f siempre existe dentro de su dominio. *Valores donde:0 ) ( = x fo) (x f no existe siendo ( )2521 48 8 3) (+ + += xx xx fNunca0 ) ( = x f) (x f siempre existe dentro de su dominio. x -10 ) (x f no definido 0 ) (x f ) (x f 5 Se puede observar que existe un mnimo local y absoluto que es 0 y est ubicado en 0, no hay punto de inflexin, hay un cero en 0, es decreciente en0 ; 1 y creciente en ; 0 , la funcin no es acotada pero si tiene cota inferior y tiene una asntota vertical que es1 = x , su grfica es la que se muestra a continuacin: b) xxx fsen 2cos) (+=Solucin: a. Dominio de la funcin: =fDom b. Determinacin de los puntos de corte con los ejes: Ejex : xxysen 2cos0 0+= = ,luegoZ k k x + = ,2yexisteninfinitospuntosde corte con el ejex . Ejey : = 0 x 21) 0 ( = = f y , luego, el punto de corte es||

\|21; 0 c. Anlisis de la simetra: la funcin no es ni par ni impar d. Asntotas: asntotashorizontales:noexistenasntotashorizontales(tmeseencuentaquela funcinfes peridica, es decir:Z k k x f x f + = ); 2 . ( ) ( ) asntotas verticales:no existen asntotas verticales e. Anlisis partiendo de la primera y segunda derivada: *Valores crticos:0 ) ( = x fo) (x f no existe siendo ( )22 sen1 sen 2) (++ = xxx f0 ) ( = x fcuandoZ k k x k x + = + = ; 2611267 ) (x f siempre existe 1 1 2 3123xy6 *Valores donde:0 ) ( = x fo) (x f no existe siendo ( )( )32 sencos 1 sen 2) (+ = xx xx f0 ) ( = x fcuandoZ k k x + = ;2 ) (x f siempre existe Pararealizarlatabla,partiremosdesde 2 yllegaremosaunperodo,oseahasta 23 sabiendo que la funcin es periodica. x26 2 67 23 ) (x f 0 33 0 330 ) (x f ) (x f La funcin tiene dominio realesy rango ((

33;33 tiene mximo absoluto que es 33 y unmnimoabsolutoquees 33 ,estosvaloresquetambinsonextremoslocalesse repiten en varias posiciones como se puede ver en la grfica. Existe puntos de inflexin en Z k k + ;2.LafuncincreceenZ k k k ((

+ + ; 26; 265ydecreceen Z k k k ((

+ + ; 267; 26,espositivaenZ k k k + + ; 22; 22yesnegativaen Z k k k + + ; 223; 22, la funcin es acotada. c)( )24 ln ) ( x x f = Solucin: a. Dominio de la funcin:2 ; 2 Dom =f 5/6 2/3/2 /3 /6 /6 /3 /2 2/3 5/6 7/6 4/3 3/2 5/3 11/611xy7 b. Determinacin de los puntos de corte con los ejes: Ejex :( )24 ln 0 0 x y = = ,luego3 3 = = x x ylospuntosdecorteson ( ) ( ) 0 ; 3 ; 0 ; 3 Ejey : = 0 x 3863 , 1 ) 4 ln( ) 0 ( = =f y ,luegoy=) 4 ln( yelpuntodecortees ( ) ) 4 ln( ; 0 c. Anlisis de la simetra:) ( ) ( x f x f = , luego la funcin es par d. Asntotas: asntotas horizontales: por su dominio, no hay asntotas horizontales. asntotasverticales:porsudominio,slopodemosanalizarcuandox tiendaa + 2y 2* =+ ) ( lm2x fx * =) ( lm2x fx Luego, concluimos en que existe dos asntotas verticales que son:2 = xy2 = x e. Anlisis partiendo de la primera y segunda derivada: *Valores crticos:0 ) ( = x fo) (x f no existe siendo 42) (2= xxx f0 ) ( = x fcuando) (x f siempre existe dentro de su dominio. *Valores donde:0 ) ( = x fo) (x f no existe siendo ( )( )22244 2) (+ = xxx fNunca0 ) ( = x f) (x f siempre existe dentro de su dominio. x -202 ) (x f no definido ) 4 ln( no definido ) (x f ) (x f 2 1 1 2211xy8 Lafuncintieneunmximoabsolutoylocalquees) 4 ln( en0,tieneasntotasverticales: 2 = x y2 = x escrecienteen] 0 ; 2 ydecrecienteen[ 2 ; 0 ,espositivaen3 ; 3 y negativa en3 ; 2 y en2 ; 3 , la funcin no es acotada y su rango es] ) 4 ln( ; 4.Ejercicios del libro: seccin 4.3 (pginas 279 a 282): 21; 27; 34; 36; 38; 41; 42. De estos ejercicios slo se presentar la solucin de alguno de ellos en este documento, los otros se pueden resolver de la misma forma en que se presentan los solucionados. 21.x x x x f 12 3 2 ) (2 3 =0 ) ( 12 6 6 ) (2= = x f x x x fcuando2 1 = = x x0 ) ( 6 12 ) ( = = x f x x fcuando 21= x x -11/22 ) (x f 7-13/2-20 ) (x f ) (x f a.Intervalos de crecimiento:] 1 ; ;[ ; 2Intervalo de decrecimiento:[ ] 2 ; 1 b.Hay un mximo local que es 7 y un mnimo local que es -20. c.Cncavo hacia abajo en 21; Cncavo hacia arriba en ;21 Hay un punto de inflexin en||

\|213;21 d. 12 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 12 142220181614121086422468xy9 38. xxx fe 1e) (+=a.Asntotas horizontales:1e 1elim=|||

\|+ xxx, existe una asntota horizontal que es1 = y0e 1elim=|||

\|+ xxx, existe una asntota horizontal que es0 = yAsntotas verticales: Candidatos: = + 0 e 1xnohayvaloresquehagancumpliresa ecuacin, entonces no hay asntotas verticales. b. ( )) (e 1e) (2x f x fxx += nunca ser cero ( )( )0 ) (1 e1 e e) (3= + = x f x fxx x cuando0 = x x 0 ) (x f 1/2 ) (x f ) (x f Es creciente en todo su dominio. c.No tiene extremos d.Es cncavo hacia arriba en0 ; Cncavo hacia abajo en ; 0Hay un punto de inflexin en||

\|21; 0e. 41. Si 4 5 2) 6 ( ) 3 ( ) 1 ( ) ( + = x x x x flos valores crticos son:6 ; 3 ; 1 = = = x x x , luego: -136 ) (x f La funcin es creciente en los intervalos: ; 6 ; 6 ; 32 1 1 212xy