correccion Álgebra 2do III

IEP LOS PEREGRINOS ÁLGEBRA 2° Año

8. ECUACIONES FRACCIONARIAS

8.1 CONCEPTOEcuación fraccionaria cuando algunos de sus términos o todos tienen denomina-dores como.

x2=3 x−3

4

Para suprimir denominadores en una ecuación:

1) se halla el m.c.m de los denominadores

2) se divide este m.c.m entre cada denominador y cada cociente se multiplica por el número respectivo.

8.2 EJERCICIOS

NIVEL I

1 .. .2 X−5 X−64

+13

( X−5 )=−5 X

2 .. . 4−10 X+16

=4 X−16 X+34

3 .. .12

(X−1)−(X−3 )=13

(X+3 )+16

04 . . .6 X+13

−11X−29

−14

(5 X−2 )=56

(6 X+1)

05 . ..4 X+13

=13

(4 X−1 )−13+2 X6

−12

(X−3)

06 . ..25

(5 X−1)+310

(10 X−3 )=−12

( X−2 )−65

07 . ..3 X−12

−5 X+43

−X+28

=2 X−35

−110

08 . ..7 X−13

−5−2 X2 X

=4 X−34

+1+4 X2

3 X

09 . ..2 X+73

−2(X2−4 )5 X

−4 X2−615 X

=7 X2+6

3 X2

10 .. .23 ( X+1

5 )=34 ( X−6

3 )11. ..

35 ( 2 X−1

6 )−43 ( 3 X+2

4 )−15 ( X−2

3 )+ 15=0

12 .. .10−3 X+56

=31112

−

X24

13 .. . 9 X−2−7 X (1X −12 )=

1+X2

2+2

34

72


14 . . .3X8

−710

−12X−516

−2X−320

+4 X+94

+780

=0

15.. .5X4

−317

|(X−20 )−(2X−1)|=X+2434

16. ..5+X4

=13 (2−X

2 )−23

+14 (10−5X

3 )

17. ..5(X+2)12

+49

−22−X36

=3 X−20−8−X12

−20−3 X18

18.. .(3−X2 )−(1−X

3 )=7−(X−X2 )

19.. . (X+3 ) (X−3)−X2−54

=(X−X5 )−(3 X−3

4 )20 .. . 2 X−(2X−3 X−1

8)=2

3 (X+26 )−1

4

NIVEL II

A.- Resolver las siguientes ecuaciones:

01 .. .a−1a

+12=

3a−2x

02 .. .a−xa

−b−xb

=2(a−b )ab

03 . ..x−3aa2

−2a−xab

=−1a

04 . . .x+mm

−x+nn

=m2+n2

mn−2

05 . ..x−ba

=2−x−ab

06 . ..4 x2a+b

−3=−32

07 . ..2a+3 xx+a

=2(6 x−a )4 x+a

08 . ..2( x−c )4 x−b

=2 x+c4 ( x−b )

09 . ..1n

−mx

=1mn

−1x

10 .. .( x−2b )(2x+a )( x−a )(a−2b+x )

=2

11. ..x+mx−n

=n+xm+x

12 .. .x (2 x+3b)( x+b )x+3b

=2 x2−bx+b2

13 .. .34 (xb +x

a )=13 ( xb −x

a )+5 a+13b12a

14 . ..x+a3

=( x−b)2

3 x−a+

3ab−3b2

9 x−3a

15 .. .5x+a3x+b

=5 x−b3 x−a

73


16 . ..x+ax−a

−x−ax+a

=a(2x+ab)x2−a2

17 . ..2x−3ax+4a

−2=11ax2−16 a2

18 .. .1x+a

+x2

a2+ax=x+aa

19 .. .2(a+x )b

−3(b+x )a

=6 (a2−2b2 )ab

20 .. .m(n−x )−(m−n)(m+n )=n2−1n

(2mn2−3m2n)

B.- Resolver la siguientes ecuaciones.

01 .. .35

+32 x−1

=0

02 .. .24 x−1

=34 x+1

03 . ..5

x2−1=

1x−1

04 . . .3x+1

−1

x2−1=0

05 . ..5 x+83 x+4

=5 x+23 x−4

06 . ..10 x2−5 x+8

5 x2+9 x−19=2

07 . ..13 x−3

+14 x+4

=112 x−12

08 . ..x4

−x2−8 x4 x−5

=74

09 . ..2x−910

+2 x−32 x−1

=x5

10 .. .(3x−1 )2

x−1=

18x−12

11. ..2x+75 x+2

−2 x−15 x−4

−¿0

12 .. .(5 x−2 )(7 x+3 )7 x (5 x−1)

−1=0

13 .. .3x−1

x2+7 x+12=

12 x+6

+76 x+24

14 . ..1

( x−1 )2−3

2 x−2=−3

2x+2

15 .. .5x+1315

−4 x+55 x−15

= x3

16 . ..2x−12x+1

−x−43 x−2

=23

17 . ..4 x+32x−5

−3 x+83 x−7

=1

18 .. .10x−715x+3

=3 x+812

−5 x2−420 x+4

19 .. .4 x−15

+x−22x−7

=8 x−310

−1310

20 .. .1x−1

−2x−2

=32 x−2

−2

13

2x−4

NIVEL III

1. Hallar El número que diminuido en sus 3/8 equivale a su duplo disminuido en 11.

2. Hallar el número que aumentado en sus 5/6 equivale a su triplo disminuido en 14.

3. ¿Qué número hay que restar de 22 para que la diferencia equivalga a la mitad de 22 aumentada en lo 6/5 del número que se resta?.

4. ¿cuál es el número que tiene 30 de diferencia entre sus 5/4 y sus 7/8?

5. el exceso de un numero sobre 17 equivale a la diferencia entre los 3/5 y 1/6 del numero. Hallar el numero.

6. Hallar dos numeros consecutivos tales que los 7/8 del menor

74


excedan en 17 a los 3/5 del mayor.

7. Hallar dos numeros consecutivos tales que el menor exceda en 81 a la diferencia entre los ¾ del menor y los 2/5 del mayor.

8. Se tienen dos números consecutivos tales que la suma de 1/5 del mayor con 1/33 del menor excede en 8 a los 3/20 del mayor. Hallar los números.

9. La diferencia de los cuadrados de dos números pares consecutivos es 324. Hallar los números.

10.A tienes $1 mas que B. Si B gastara $8, tendría $4 menos que los 4/5 de lo que tiene A. ¿cuánto tiene cada uno?.

11.La diferencia de dos números es 44 y si el mayor se divide por el menor el cociente es 3 y el residuo 2. Hallar los números.

12.Un numero exceda otro en 56, si el mayor se divide por el menor, el cociente es 3 y el residuo 8 Hallar los números.

13.Dividir 260 en dos pares tales que el duplo de la mayor dividido entre el triplo de la menor de 2 de cociente y 40 de residuo.

14.Repartir 196 soles entre A y B de modo que si los 3/8 de la parte de A se dividen entre el quinto de la B se obtiene 1 de cociente y 16 de residuo.

15.B tiene 2/3 de lo que tiene A y C 3/5 de lo que tiene B. Si entre los tres tienen 248 sucres, ¿Cuánto cada uno?.

16.La edad de B es los 3/5 de la edad de A y la de C los 3/8 de la edad de B. Si las tres edades

suman 73 años, hallar las edades respectivas.

17.en 4 dias un hombre recorrió 120 km. Si cada dia recorrió 1/3 de lo que recorrió el dia anterior ¿cuántos Km recorrió en cada dia?

18.En cuatro semanas un avión recorrio 4641 Km. Si. Cada semana recorrio los 11/10 de lo que recorrió la semana anterior, ¿cuántos Km. Recorrio cada semana?

19.La edad de A hace 5 años era los 9/11 de la edad que tendrá dentro de 5 años. Hallar la edad actual de A

20.Hace 6 años la edad de A era la mitad de la edad que tendrá dentro de 24 años. Hallar la edad actual de A

9. SISTEMA DE ECUACIONES DE 1er. GRADO

9.1 Concepto:

75


Son aquellos sistemas cuyas ecuaciones que la conforman son de 1er grado. Pueden ser de 2,3, 4 o mas incógnitas.Los sistemas a estudiar son los sistemas compatibles, es decir aquellos donde le numero de incógnitas es igual al numero de ecuaciones.

9.2 Sistemas De Ecuaciones de 1er Grado con Dos Incógnitas

Forma general:

ax+by=cdx+dy=fdonde.a, b, c, d, e, f : coeficienteX e y : incógnitas

9.3 Métodos de Soluciones de un Sistema de Ecuaciones:

Todo sistema de ecuaciones, se resuelve con los siguientes métodos:

1. Método de reducción2. Método de sustitución3. Método de igualación4. Método de determinantes5. Método de los gráficos

Nota: En la practica los métodos que mas se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones es: Método de reducción y Método por determinantes.

A) METODO DE REDUCCIÓN(Eliminación, Suma, Resta)

El objeto de este método es eliminar una incógnita que tengan los mismos coeficientes, es decir, igual valor pero de signos contrarios: si no lo tuvieran, se tendrá que multiplicar a cada ecuación por el coeficiente que tenga la incógnita en la otra, para luego sumar o restar según convenga.

Ejemplo:

Resolver.4x +5y = 2 (1)6x + 7y = 4 (2)

solución:

si deseamos eliminar “x”, tendremos que multiplicar la ecuación (1) por (-6) y la ecuación (2) por 4, así:

-24x – 30y = -12 24x + 28y = 16 - 2y = 4

Sumando:

Y =

4−2

→ y=−2

Para calcular “x” se reemplaza el valor de y en la ecuación (1).

4x +5(-2) = 24x – 10 = 2

4x = 12 x = 3

x = 3 ; y = -2

EJERCICIOS

Resuelve por sumas o restas los siguientes sistemas:

01 .. .¿ {x+5 y=15 ¿ ¿¿

76


02 .. .¿ {2x− y=7 ¿¿¿¿

¿11. ..¿ {3 x−4 y=12¿ ¿¿¿

¿14 . ..¿ {−5( x+1)+9=3 y ¿¿¿

15 .. .¿ {2( y+15 )+6=3 x ¿ ¿¿

16 . ..¿ {5 ( y+x2 )−6=8 x ¿ ¿¿

17 . ..¿ {3( x+ y )−( x− y )=6 ¿ ¿¿¿

¿B) MÉTODO DE SUSTITUCIÓNConsiste en despejar el valor de una de las variables en una de la ecuaciones dadas y reemplazando en la otra ecuación.

Ejemplo:

a. Resolver el sistema:

2 x+ y=7 .. . .. .. . ..( i)x− y=2 . .. .. . .. .. . .(ii )

de ii despejo x x – y = 2

x = 2 + y

el valor de x despejado se sustituye en la ecuación (i). 2x + y = 7

2(2 + y)+y = 7 4 + 2y +y = 7 3y = 3

y = 1el valor de y lo reemplazo en (ii)

x – y = 2x – 1 = 2 x = 3

∴ C.S. = {3;1}

77


EJERCICIOS

Resuelve por sustitución los siguientes sistemas de ecuaciones. Despeja en cada caso, la incógnita que creas conveniente.

01 .. .¿ {x−3 y=−3 ¿ ¿¿¿

¿

03 . ..¿ {3 x+ y−1=0 ¿ ¿¿¿

¿08 . ..¿ {x− y=8¿ ¿¿¿

¿

16 . ..¿ {x5 + y3

=9 ¿ ¿¿

¿¿

78


19 .. .¿ {3 x− y4

+2 y−x3

=−34

¿¿¿

¿¿

C) MÉTODO DE IGUALACIONConsiste en despejar a cada una de la ecuaciones dadas una mínima variable y luego igualar dichos valores, para obtener una ecuación de primer grado con una variable.Ejemplo:

a). Resolver el sistema

{2 x+ y=7 .. . .. .. . .. .1 ¿ ¿¿¿de 1 despejar x

x =

7− y2

de 2 despejar xx = 2 + y

igualaremos los segundos miembros ya que los primeros son iguales.

7− y2

=2+ y

7− y=4+2 y− y−2 y=4−7−3 y=−3y=1

reemplazando el valor de y en la ecuación 2

x− y=2x−1=2x=3

CS = {3,1}

EJERCICIOS

Resuelve por Igualación los siguientes sistemas de ecuaciones. Despeja la incógnita que te parezcan convenientes.

01 .. .¿ {x+6=−1 ¿¿¿¿

¿08 . ..¿ {x−9 y=0¿ ¿¿¿

¿11. ..¿ {2 y+x+10=0 ¿¿¿¿

¿

79


13 .. .¿ {2x+3 y=−2 ¿ ¿¿¿

¿

16 . ..¿ {4 x6+5 y

4=7 ¿ ¿¿

¿¿

D) MÉTODO GRÁFICOSe sugiere emplearlo específica-mente para sistemas que presentan dos ecuaciones con dos incógnitas.Este procedimiento consiste en graficar las rectas representativas de las funciones de primer grado en un sistema de ejes cartesianos. Donde las coordenadas del punto de intersección de las rectas constituyen la solución del sistema.

Ejemplo: Resuelve gráficamente el sistema:

x+2 y=43 x−2 y=−12solución:

en la primera ecuación:

y= 4−x2

TabulandoX 4 0 -2y 0 2 3

En la siguiente ecuación:

y= 4 x+122

Tabulando:X -4 -2 0y 0 3 6

Graficando:

EJERCICIOSResolver Gráficamente:

80


01 .. .¿ {X+Y=5 ¿ ¿¿¿

¿ 11. ..¿ {5 X−3Y=0 ¿¿¿¿

¿81


9.4 PROBLEMAS:

NIVEL I

1. Resolver el sistema:

8m+ n =5

2m-2n=

12

a)m=

12 ;n=0 b)m=2;n=1

c)m=

12 ;n=1 d)m=

12 ;n=1

e)N.A.

2. Resolver: 6x-5y=-9 4x+ 3y=13

y dar como respuestas el valor de “x”

a)8 b)-3 c)1d)0 e)N.A.

3. Hallar yx si: 2x+ 3y = 8 3y-y = 1

a)2 b)1 c)4

d)

12 e)N.A.

4. Dar el valor de “y” que satisface el sistema

5x+3y=13 5x-3y=13

a)

135 b)1

c)El sistema es incompatibled)El sistema de indeterminadoe)N.A.

5. Hallar el valor de x si:

5 ( x+1 )−2 y=4 ( y+1 ) 3+2( x+4 )=5 ( y+1 )−4

a)2

1923 b)

523 c)

27

13

d)5

513 e)N.A.

6. -

1x+ 1y=5

4

1x− 1y= 1

24⋅Hallar

y-x

a)6 b)4 c)2d)-2 e)N.A.

7.-Resolver: √ x+√ y=7√xy

√ x−√ y=√ xyy dar como respuesta el valor de “y”.

a)

14 b)

12 c)

116

d)2 e)N.A.

8. Si: (a−b ) x+(a+b ) y=2a (a2−b2)

x-y=4ab.Hallar x1

2

a)√a+b b)√a−b c)a+b d)a-b e)N.A.

9.-Determinar (m+n ) si el binomio x5m+2n z3m+5 n

es de grado 25 y respecto de x de grado 18.

a)1 b)4 c)5d)-2 e)3

82


10. Hallar el valor de “xy” sabiendo

que

x+ y2

−√xy=8 ;√x+√ y=8

a)136 b)84 c)72d)96 e)144

11. Si x-y=2

y-z=-3 Hallar

( y−x )x− z+( z− y )y−x

a)

13 b)-2 c)

− 718

d)−1

3 e)

512

12. Hallar x si:

x+y=7 y+z=13 z+x=18.Hallar x

a)8 b)2 c)5 d)-1 e)N.A.

13. Dado:( xy ) ( x+ y )=12

( yx ) ( x+ y )=3 .Hallar xy.

a)2 b)4 c)6 d)8 e)18

14. Si: y = a +

bx, con

a y b constantes, cual debe ser el valor de “m” en:

x -1 -4 -2

a)2 b)4 c)3,5d)3 e)2,5

15.-Resolver el sistema:

x−4 x+19

=2 y−53

y−3 y+27

=x+106

y dar como resultado el valor de “y”

a)3 b)-3 c)-2 d)2 e)N.A.

16. Calcular “a” sabiendo que el sistema 2x+7y=a

3x+10y=25, acepta la solucion x=145.

a)5 b)2 c)1d)6 e)3

17. Dado el sistema 3x+2y=a+2

2x+3y=2-1determinar el valor de “a” para que x valga el doble de y.

a)3 b)

12 c)

25

d)-1 e)

23

18. Dado: mx+ n

y=1

nx+m

y=1 .Hallar

y

a)

mnm+n b)m+n c)m-n

d)

1m−n e)N.A.

19. Dado:

83

x -1 -4 -2y 2 5 m


x+3y+z=63x+y+z=4

x+y+3z=5,Hallar

y⋅zx

a)

13 b)

32 c)3

d)

12 e)1

20.Si: P ( x )=(a+b+c+3 ) x2+(a−b+c−2 ) x+(c−a+b+1 )es un polinomio idénticamente

nulo; calcular (a+b+c ) . a)-4 b)3 c)4d)-2 e)2

NIVEL II

1.-Dar como respuesta x-y si: 7x-4y=-5 9x-13=4y

a)-7 b)-3 c)-8d)7 c)1

2.-Resolver: x+2y=10 2x+4y=5

a) x>yb)El sistema es incompatiblec)El sistema es indeterminadod)x<ye)x=y

3.-Resolver:12−3 x−2 y

6=3 y+2

5 y−3 x

3=x− y

dar como respuesta el valor de x.

a)4 b)3 c)5d)1 e)2

4.-Al resolver: x−4 x+1

9=2 y−5

3

y−3 y+2

7= x−18

2 obtenemos para “y” el valor de :

a)276 b)-276 c)-334 d)334 e)-376

5.- Dado: mx+ny=m2+n2

my+nx=m2-n2.

Calcular x+y

a)

2m2

m+n b)− 2n2

m+n c)2

84


d)m+n e)

m+n2

6. Hallar:

xy

Si:√ x+1−√ y+3=0

1x− 1

8 y=0

a)4 b)7 c)8

d)1 e)

18

7.-Si: 2x+3y=a+b 3x+2y=a-b,

Entonces x+y vale:

a)

2a5 b)

2b5 c)

−2a5

d)

−2b5 e)

a5

8.-Resolver:

x2= x+ y+1

3= y

3y dar como respuesta x+y.

a)1 b)2 c)3d)4 e)5

9.-Hallar x/y si: 2x+ 3y=7

1y−1x=4

a)3 b)-3 c)

13

d) e)

32

10.Si y = ax + b; y,

x y2 7 hallar a+b.3 9

a)3 b)4 c)6d)2 e)5

11. La suma de la edades de los hermanos es 33 y la diferencia es 7.Hallar las edades.

a)18 y 15 b)20 y 13 c)19 y 14d)17 y 16 e)N.A.

12. Cuales son los numeros que sumados dan 15.5 y su diferencia es 0.3

a)7,94 y 7,61 b)8,94 y 6,61c)9,94 y 5,61 d)6,94 y 8,61e)N.A.

13.-Hallar la diferencia entre el largo y ancho de u rectángulo es de 3cm . Calcular sus medidas sabiendo que el

perímetro del rectángulo es 42cm.

a)11 y 8 b)10 y 9 c)12 y 9d)13 y 8 e)N.A.

14.-El camino a la casa de Juan y el camino a la casa de Pablo se

diferencia en

18 de kilometro.

Calcular distancias de cada camino, sabiendo que el

doble que la primera es los

34

de la segunda mas 9km.

a)9 y 7 b)8 y 11 c)10 y 7

d)4 y 15 e)

578 y 7

85


15.-La diferencia entre los digitos de las cifras de un numero es 6 ,si el de las decenas es el triple que el de las unidades.Hallar el numero.

a)83 b)73 c)63d)93 e)33

16.-Hace 8 años la edad de Pedro

era

35 de la edad de Juan pero actualmente la diferencia entre

67 de la edad de Juan y

45 de la

edad de pedro es 8 años.¡Cual es la edad actual de cada uno?

a)18 y 30 b)20 y 28 c)18 y 28d)14 y 34 e)N.A.

17.-La edad de Jose es los

95 de la

edad de Rosa y dentro de 4

años l a edad de ella sera los

35 de

la de el. Hallar las edades.

a)26 y 30 b)16 y 40 c)20 y 26d)36 y 20 e)N.A.

18.-Compre 34 litros de S/.30 y S/.70 y gaste S/.1740.¿Cuántos compre de cada precio?

a)11 y 23 b)12 y 24 c)13 y 25d)15 y 17 e)16 y 18

19.-Una persona compro primero:Cinco kilos de

azucar,tres de café,cuatro defrijoles en S/.400 luego cuatro de azucar , cinco de café y tres de frijoles que costaron

S/.468 y por ultimo dos kilos de azucar uno de café y dos de frijoles en S/.164.Calcular el precio de cada articulo.

a)12;28;40 b)13;27;30c)10;25;41 d)12;27;40e)N.A.

20.-Un granjero tiene 110 aves entre

gallinas , patos y pavos;

18 de gallina

mas

19 de patos mas

15 de pavos

equivalen a 15 animales y la suma de pavos con el de gallinas es 65.¿Cuántos patos tiene?

a)15 b)25 c)35d)45 e)55

NIVEL III

1.-La diferencia de dos números es

1/3. El triple del mayor menos el

duplo del menor es igual a 1.

¿Cuál son los números?

86


a)

32y

43 b)

53y

43 c)

16y

23

d)

34y

56 e)N.A.

2.-Un cuarto de la suma de dos números es 4 y un octavo de sus diferencia es ½. Hallar los números.

a)7 y 9 b)8 y 10 c)9 y 5d)10 y 6 e) N.A.

3.-La edad de Juan mas el duplo de la edad de Pedro suman 65 años. El duplo de la edad de Juan menos la edad de Pedro da 30 años.¿Qué edad tiene cada uno?

a)15 y 30 b)25 y 20 c)35 y 10d)17 y 28 e)N.A.

4.-El doble de la edad de Ana excede en 50 años a la edad de Betty es 35 años menos que la de Ana. Calcular las edades.

a)20 y 30 b)25 y 30 c)35 y 40d)45 y 40 e)N.A.

5.-Si el numerador de una fracción se l e suma 6 y al denominador se le disminuye 3,el valor de la

fracción es 4

12 y si se le

disminuye 2 al numerador y denominador el valor de la fracción es 2.

a)

109 b)

118 c)

127

d)

136 e)N.A.

6.-La tercera parte de u numero mas la mitad de otro es 13.Si se divide el primero entre el segundo , el cociente es 2 y el resto 4.Hallar los números.

a)10 y 30 b)40 y 50 c)20 y 10d)12 y 15 e)16 y 11

7.-La relación de dos costales de harina es 5/6,si se le disminuye 10kg,a cada costal la relación será de 4/5.

a)60 Kg – 30 Kg b)10Kg – 12Kgc)20 Kg – 40Kg d)50Kg – 60Kge)25Kg – 35Kg

8.-En una granja 2/3 del numero de gallinas blancas es igual a 5/7 del numero de gallinas pintadas ;2/5 del numero

de gallinas blancas mas 10 gallinas , es igual a la mitad del numero de gallinas pintadas .¿Cuántas gallinas hay de cada clase .

a)b=151;p=141 b)b=160;p=140c)b=140;p=150 d)b=150;p=140e)b=131:p=121

9.-Si se suma 4 al numerador y denominador de una fracción resultante es reductible a ½ Si se resta 2 al numerador y al denominador la fracción resultante es equivalente a 3/8. ¿Cuál es la fraccion original?

a)

1230 b)

1324

c)

2611 d)

1126

87


e)N.A.

10.-Tomas y Pedro juegan entre si . Al comenzar el juego la tercera parte del dinero de Pedro excede en S/.4 a la cuarta parte del dinero de Tomas . Al terminar el juegoTomas ha perdido S/.30 y entonces el duplo de lo que le queda a Tomas mas S/.2 es lo que tiene Pedro .¿Cuánto tenia cada uno al principio?a)S/.80 u 70 b)S/.80 u 71c)S/.80 u 72 d)S/.80 u 73e)N.A.

11.-En una batalla del norte de Africa habia 4 tanques

italianos para cada 3 tanques ingleses. Durante las batalla, los italianos perdieron 20 tanques y los ingleses 10 tanques y quedaron entonces 5 tanques italianos por cada 4 tanques ingleses .¿Cuántos tanques italianos y cuantos ingleses habían al comienzo?

a)121 y 90 b)90 y 120 c)122 y 92d)120 y 90 e)N.A

12.-La tercera parte de lo que tiene Juan mas la cuarta parte de que tiene Ramon es igual a S/.16.Si Juan le diese 4 a ramon entoncew la quinta parte de

lo de juan mas la sexta parte de la de ramon serian S/.10.¿Cuánto tiene cada uno al principio?

a)S/.25 y 33 b)S/.23 y 31c)S/.32 y 24 d)S/.24 y 32e)S/.20 y 30

13.-En un numero de 2 cifras , el triple de la sdecenas mas el duplo de las unidades es 16.Si el numero se divide entre la suma de los valores

absolutos de sus cifras el cociente es 3 y el residuo es 4.¿Cuál es el numero?

a)22 b)23 c)24d)25 e)26

14.-La suma de dos cifras de un numero es 9;Si las cifras de las decenas se aumentan en 1 las cifras se ivierten .Hallar el numero.

a)43 b)44 c)45d)46 e)N.A.

15.-Hallar las edades de beto y coco. Si hace 5 años Coco tenia el quíntuplo de la edad que tenia beto , y dentro de 10 años Coco tendra el doble de la edad que tenga beto .

a)10, 30 b)10,20 c)15 , 20 d)15 y 30 e)N.A.

16.-La diferencia de dos numeros es 14 y ¼ de su suma es 13.Hallar el N°menor.

a)15 b)19 c)12 d)21 e)N.A.

17.-Si a los dos términos de una fracción se añade 3, el valor de la fracción es ½ y si a los dos términos se resta 1, el valor de la fracción es 1/3 .Hallar la fracción.

a)

1213

88


b)

415

c)

−513

d)

53

e)N.A.

18.-Manuel tiene 8 animales entre pollos y conejos .Si cuenta en total 22 patas .¿Cuántos animales hay de cada especies?

a)5 y 3 b)6 y 2 c)1 y 7 d)4 y 4 e)N.A.

19.-La suma de u numero , mas el triple de otro es igual a 17;si del triple del primero , se resta el duplo del segundo se obtiene 7.¿Cuáles son los números?

a)3 y 8 b)5 y 4 c)6 y 5 d)9 y 10 e)8 y 7

20.-Dos ejercitos al presentar batalla sumaban 16000 hombres . Sufriendo el primero 885 bajas y el segunado 1385,quedan al final con igual cantidad de hombres .¿Cuántos hombres habian en cada ejercito?

a) 7750 y 8250 b) 7740 y 8240c) 7570 y 8520 d) 7050 y 8050e) N.A.

E. MÉTODO POR DETERMINANTES

Para aplicar este método previamente tenemos que conocer algunos conceptos tales como:

1. Matriz.- Es un arreglo rectangular de elementos numéricos que se distribuyen en filas y columnas.

Ejemplo:

a). [1 32 4 ]

b). [ 0

2−7]

c). [ x13

−124 ]

Las filas se leen en forma horizontal y las columnas en forma vertical.

Asi por ejemplo:

[ x13−124 ]

Columna 1 columna 2

2. Matriz cuadrada

Caracterizada porque su numero de filas es igual al numero de columnas.

[2 3a b ]

es de 2do orden

89

Fila 1

Fila 2

Fila3


[1 2 14 3 71 5 0 ]

es de 3er orden

3. Determinante.- es el polinomio o valor obtenido al desarrollar una matriz cuadrada.Para representarlos se encierra a la representación de la matriz entre barras. Sea la matriz A su determinante se expresa por |A|, ∆A o del (A).

Ejemplo: sea la matriz

A = [2 −53 4 ]

su determinante expresara por |A|, ∆A o del (A)

DESARROLLO DE UN DETERMINANTE DE SEGUNDO ORDEN

Se determina multiplicando los elementos de la diagonal principal y dicho resultado se le resta el producto de los elementos de la diagonal secundaria. Diagonal

A=[a1 b2

a2 b1] Secundaria –

(D.S) Diagonal Principal +(D.P.)

Así: |A| =a1 b2 –a2 b1;

Ejemplo:

Hallar el valor del determinante de:

A=[2 −43 −5 ]

Solución: diagonal principal 2(-5) =-10 diagonal secundaria 3(-4)=-12

Entonces:

|A| = -10-(-12) = 2

DESARROLLO DE UN DETERMINANTE DE TERCER ORDEN

Para este caso puede utilizar la siguiente regla:

REGLA DE SARRUS POR COLUMNAS

Después de la ultima columna se repite las dos primeras columnas (o las dos primeras filas).

Luego se traza la diagonal principal y las paralelas a ella que tengan tres elementos, se efectúa el producto respectivo y a estos no se le cambia el signo

Análogamente se procede para la diagonal secundaria y sus paralelas pero a estas al ser efectuada se le cambia el signo.

Asi en:

(-)(-)(-)

A=[ a b cd e fm n p ]→ [ A ]=[ a b c a b

d e f d em n p m n ]

(+) (+) (+)

= aep+bfm+cdn-mec-nfa-pdbEjemplo: Sea:

E=[ 3 −2 6−5 0 44 −2 −1 ]→

90


|E|=|3 −2 6 3 −2

−5 0 4 −5 04 −2 −1 4 −2

|

|E|= (3)(0)(-1) + (-2)(4)(4)+(6)(-5)(-2)-(4)(0)(6)-(-2)(4)(3)-(-1)(-5)(-2)

|E|= 0-32+30-0-24+10=62

REGLA DE CRAMERRemite a través del caso de determinantes verificar a cada una de las incógnitas para la resolución de un sistema de ecuaciones lineales.Si el sistema:a1x+b1 y=c1

a2 x+b2 y=c2

donde

Δx=[c1 b1

c2 b2 ]Δy=[a1 c1

a2 c2]

ΔS= determinante del sistema.

[a1 b1

a2 b2]

se demuestra que:

x=ΔxΔS

→x=

|c1 b1

c2 b2

|

|a1 b1

a2 b2

|

y=ΔyΔs

→ y=

|a1 c1

a2 c2

|

|.a1 b1

a2 b2

|

Ejemplo:Resolver el sistema:

3 x−4 y=138 x−5 y=−5

Solución:

X=ΔxΔS

→|13 4−5 −5

|

|3 −48 −5

|

=(13)(−5 )−(−5 )(−4 )(3)(−5 )−(8 )(−4 )

=−8517

=−5

y=ΔyΔs

→|3 138 −5

|

|3 −48 −5

|=

=(3)(−5 )−(8 )(13 )(3)(−5 )−(8 )(−4 )

=−11917

=−7

EJERCICIOS

NIVEL I

A. Hallar el determinante de la siguientes matrices cuadradas:

91


01 .. . A=[a 52a 6 ]

02 .. .C=[ x 5 x−4 3 ]

03 . .. E=[a+2 a+4a+1 a+3 ]

04 . . .N=[0 −65 7 ]

05 . ..Q=[5 2 34 −1 −21 2 0 ]

06 . .. S=[1 2 32 0 20 3 −1 ]

07 . .. B=[−5 −4−2 −1 ]

08 . ..D=[a2 a4

a a3 ]09 . ..M=[3 0

−2 −4 ]10 .. .P=[15a 6

13a 4 ]11. .. R=[−2 −3 −1

−1 −2 −1−3 0 −3 ]

12 .. .T=[3a 5b c2a 4 b 2ca 3b 5c ]

13 .. .[ x 1x2 2 ]

14 . .. [x−2 1x x+3 ]

15 .. .[−a (a2−2a+4 )(a+2 ) −a2 ]

16 . ..[2 x−√2 −7√2√27

2x+√2 ]17 . ..[1 2 1

3 1 4−1 5 1 ]

18 .. .[0 −3 21 0 −12 7 1 ]

19 .. .[−√5 2 −13 √5 −4−2 3 −1 ]

20 .. .[1/2 2 15 4 x −32 −5 −1 ]

92


NIVEL II

Resolver las siguientes sistemas de ecuaciones aplicando la regla de CRAMER

01 .. .¿ {2x+3Y=28 ¿ ¿¿¿

¿ 09 . ..¿ {10x+4 y=3 ¿ ¿¿¿

¿93


19 .. .¿ {x5 + y3

=9 ¿¿¿

¿¿

9.5 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON 3 INCÓGNITAS.

Concepto:

Un sistema de ecuaciones con tres incógnitas es de la forma:

a1x+b1 y+c1 z=d1

a2 x+b2 y+c2 z=d2

a3 x+b3 y+c3 z +=d3

Donde:a1, a2, y a3 son coeficientes de x

b1, b2, y b3 son coeficientes de y

c1, c2, y c3 son coeficientes de z

d1, d2, y d3 son los términos independientes

Método de determinantes: Para

resolver un sistema de ecuaciones

con tres incógnitas , utilizaremos

únicamente el método de

determinantes o de Cramer.

Procedimiento:

Se halla el determinante del sistema y de cada uno de las incógnitas por el método de SARRUS.

Nota: El método de SARRUS consiste en repetirlas 2 primeras filas o columnas a continuación de la tercera fila o columna .Luego se toman los productos de 3 en 3 tanto para el diagonal principal y sus paralelas y la diagonal secundaria y sus paralelas.

Ejemplo.- Resolver el sistema .

2x+y+z=1→ (1)

3x+2y+2z=1→ (2) x-2y-z=0→ (3)

Solución.-1)Determinante del sistema(s)

21 1 s= 3 2 2 1 -2 -1

Calculamos su valor por el método Sarrus.

2 1 1 3 2 2 1 -2 -1 =-4-6+2-2+8+3=1 2 1 1 3 2 2

∴s=1

2)Determinante de la incógnita x(x)

1 1 1 x= 1 2 2 0 –2 -1

Hallamos su valor por el metodo Sarrus.

1 1 1 1 2 2

94


0 -2 -1 =-2-2+0-0+4+1=1 1 1 1 1 2 2

∴x=1

3)Determinante de la incógnita y(y)

2 1 1 y= 3 1 2 1 0 -1

Calculamos su valor por el metodo SARRUS.

2 1 1 3 1 1 1 0 -1 =-2+0+2-1-0+3=2 2 1 1 3 1 1

∴y=2

4) Determinante de la incógnita (z)

2 1 1 z= 3 2 1 1 -2 0

Calculando su valor por el método de SARRUS.

2 1 1 3 2 1 1 -2 0 =0-6+1-2+4-0=-3 2 1 1 2 2 1

∴z=-3

A continuación, hallamos los valores de cada incógnita por el método de Cramer.

x=ΔxΔs

=11

=1

y=ΔyΔs

=21=2

z=ΔzΔs

=−31

=−3

∴C.S.={1 ;2;−3 }

PROBLEMAS CON TRES INCÓGNITAS:

1)En una familia de artesanos, el padre,la madre y la hija ,ganan juntos 450 soles diarios. Hallese el jornal de cada uno sabiendo que por 6 jornales del padre ,4 de la madre y 6 de la hija han cobrado 2430soles,mientrs que por 5 salarios del padre ,2de la madre y 2 de la hija han cobrado 1530 soles.

Solucion:

Salario del padre :x

Sala rio de la madre :y

Salario de la hija :z

Según el enunciado tendremos las ecuaciones siguientes.

x+y+z=450

6x+4y+6z=2430

5x+2y+2z=1530

Solución:

1) Determinante del sistema:

95

=6120+5400+12150-9000-4860-9180 = 23670-23040 =630


|1 1 1 ¿||6 4 6 ¿||5 2 2 ¿||1 1 1 ¿|¿¿

¿¿

2) Determinante de x :

=3600+ 4860-9180– 6120- 5400-4860 =1260

3)Determinante de y:

1 450 1 6 2430 6 5 1530 2 =4860+9180+13500 1 450 1 -12150-9180-5400 6 2430 6 =18360-17550=810

4)Determinante de z:

Valores de las incógnitas:

Δx= ΔxΔs

=12606

=210

y= ΔyΔs

=8106

=135

z= ΔzΔs

=6306

=105

Rpta: ∴El padre gana 210 soles, la madre gana 135 soles y la hija gana 105 soles.

PROBLEMAS:

NIVEL I

Resuelve cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones empleando el Método de Determinantes.

1) {5 x+ y+ z=18 ¿ {x+2 y+3 z=17 ¿¿¿¿

2) {a−5b+3c=0¿ {2a+3b−c=5 ¿ ¿¿¿

3){x+ y−z=2 ¿ {2x− y+z=7 ¿¿¿¿

4){x=3 ¿ {2x+ y+z=9 ¿ ¿¿¿

5){x− y−z=6 ¿ {7 x+ y+z=34 ¿¿¿¿

6){x+ y+z=6 ¿ {x− y+2 z=5¿ ¿¿¿

96

Δx=¿|450 1 1 ¿||2430 4 6 ¿||1530 2 2¿||450 1 1¿|¿¿

¿¿

Δz=¿|1 1 450 ¿||6 4 2430 ¿||5 2 1530 ¿||1 1 450 ¿|¿¿

¿¿


7){x+ y+z=12 ¿ {2 x− y+z=7 ¿ ¿¿¿

8){x− y+z=2 ¿ {x+ y+z=4 ¿ ¿¿¿

9){2 x+ y−3 z=−1 ¿ {x−3 y−2 z=−12¿ ¿¿¿

10){2 x+3 y+z=1 ¿ {6 x−2 y−z=−14 ¿ ¿¿¿

11){5 x−2 y+z=24 ¿ {2x+5 y−2 z=−14 ¿ ¿¿¿

12){4 x+2 y+3 z=8 ¿ {3 x+4 y+2 z=−1 ¿¿¿¿

13){6 x+3 y+2 z=12¿ {9 x− y+4 z=37 ¿¿¿¿

14){2 x+4 y+3 z=3 ¿ {10x−8 y−9 z=0 ¿ ¿¿¿

15){3 x+ y+ z=1¿ {x+2 y−z=1 ¿¿¿¿

16)

17){4 x− y+5 z=−6 ¿ {3x+3 y−4 z=30 ¿ ¿¿¿

18){x+2 y=−1 ¿ {2 y+z=0 ¿ ¿¿¿

19){ y+z=−8¿ {2 x+z=9¿ ¿¿¿

20){3 x−2 y=0 ¿ {3 y−4 z=25 ¿¿¿¿

NIVEL II

1)

{1X +1Y

=5 ¿ {1X +1Z

=6 ¿¿¿¿

2)

{3X +2Y

=2 ¿ {2Y +2Z

=32

¿ ¿¿¿

3)

{1X +4Y

+2Z

=−6 ¿ {3X +2Y

+4Z

=3 ¿¿¿¿

97


4)

{X2 +Y2

−Z3

=3 ¿ {X3 +Y6

−Z3

=3 ¿ ¿¿¿

5)

{X3 +Y4

+Z3

=21¿ {X5 +Y6

−Z3

=0 ¿¿¿¿

6)

{X−Y +Z3

=4 ¿ {Y−X+Z8

=10 ¿ ¿¿¿

7)

{A2 +B−C3

=1¿ {2 A+2B−C=3¿ ¿¿¿

8){3 X−5Y +Z=−8¿ {X+2Y−Z=16 /3¿ ¿¿¿

9){ A+2 B+C=−1¿ {3 A−B+2C=7 ¿ ¿¿¿

10){3m−n−p=24 ¿ {m+2n+3 p=−4 ¿ ¿¿¿

11){x+2 y+3 z=−1¿ {2x−3= y−z ¿ ¿¿¿

12){2a=c+15−5b ¿ {a=3b−c−15/2¿ ¿¿¿

13)

{A+3B3

=6−3C ¿ {2 A−9=9−5C ¿ ¿¿¿

14){x−z+3=−(5+7 y ) ¿ {5 x=20+ y−z ¿ ¿¿¿

15){5m=4+n+2 p ¿ {(m−n )+( p−1 )=6n+38 ¿ ¿¿¿

16)

{x−205

=z− y ¿ {x−193

=3 y−2 z ¿ ¿¿¿

98


17)

{3R−T−9=−S4

¿ {R2 +24=3S−T ¿ ¿¿¿

18)

{X3 +Y4

+Z6

=1¿ {X4 −Y3

+Z2

=512

¿ ¿¿¿

19)

{2 ( x− y )+ z3=4 ¿ {3 ( y−z )+x

4=3 ¿¿¿¿

20)

{2x+ yz+1=11

2¿ {3 y+zx+2

=47

¿ ¿¿¿

21)

{x+6 y2

=28−4 z ¿ {2 (2 y−19 )=3 (z−53x) ¿ ¿¿¿

g

NIVEL III

1) Resolver .

5x-4y+6z=28

2x+5y-7z=34

3x-2y+5z=30

a)cs={8 ,12 ,6 } b)cs={8 ,12 ,5 }

c)cs={7 ,12 ,6 } d){8 ,12 ,5 }

e)N.A.

2) Resolver e indicar el mayor:

x+2y+z=

2x+2y+z=9

3x+3y+5z=24

a)1 b)2 c)3 d)4 e)N.A.

3.-Resolver:

x+y+2z=15

x+2y+z=16

2x+y+z=17

a)cs{5,4,6 } b)cs{5,4,3 }

c)cs{5,6,3 } d)cs{5,4,3 }

e)ca{5,3,3 }

4.-Resolver e indicar el menor.

X+y+z=5

3x+2y+z=8

2x+3y+3z=14

a)-3 b)-2 c)-1

99


d)1 e)2

5.-Resolver:x-y+3z=8

2x+4y-z=0

3x+y-2z=-2

a){5

19;3

19;2

19} b)

{2 19:3

19;

4019}

c){17

19;4

19;

4519} d)

{1719;3

19;46

19}

e){15

19;1

19;2

19}6.-Resolver e indicar el mayor.

2x+2y+3z=232x+3y+2z=20

4x+3y+2z=24

a)1/3 b)1/4 c)1/2 d)3/5 e)N.A.

7.-Resolver:

2x+3y-z=2

x-2y+2z=10

3x+y-2z=-3

a){2,1,5 } b){3,1,5 }

c){2,1,4 } d){3,1,5 }

e){4,1,5 }

8.-Resolver e indicar el mayor.

2x+2y+3z=24

4x+5y+2z=35

3x+2y+z=19

a)1 b)2 c)3 d)4 e)5

9.-Resolver:

3x+y+z=8

x+3y+z=10

x+y+3z=12

a){2,3,4 } b){1,2,3 }

c){3,4,5 } d){1,2,4 }

e){1,2,5 }

10.-Resolver y señalar el menor.

x6+ y

3− z

4=1

x3+ y

4− z

2=−3

x2+ y

2− z

3=7

a)8 b)9 c)16 d)12 e)14

11.-Resolver.

4x+2y-3z=17

x+y-2z=9

2x-y+z=-3

a){1 ,−2 ,−3 } b){−1 ,−2 ,−3 }

c){1,2 ,−3 } d){1 ,−2 ,−3 }

100


e)N.A.

12.-Resolver e indicar el mayor:7x+10y+4z=-25x-2y+6z=38

3x-y-z=21

a)6 b)7 c)8 d)9 e)1013.-La suma de tres numeros es 32

la suma de los dos primeros es igual al tercero, y la semi diferencia del tercero con el primero es igual al segundo disminuido en 1.¿Cuál es el menor?

a)3 b)2 c)4 d)5 e)6

14.-La suma de tres numeros es 37.El menor disminuido en 1 equivale a 1/3 de la suma del mayor y el mediano ;la diferencia entre el mediano y el menor equivale al mayor disminuido en 13. Hallar el numero mayor.

a)11 b)12 c)13 d)14 e)15

15.-La suma de las edades de una señora ,su esposo y su hija es de 84 años.La quinta parte de la edad de la hija es igual a la diferencia entre la edades del padre y de la madre .La suma de las edades de la madre y la hija es igual a 4/3 de edad del padre .¿Cuál es la edad de cada persona?

a)Señora:33 años Esposo:36 años

Hija :15años

b)Señora:30 años Esposo:36 años Hija :15 años

c)Señora:33 años Esposo:34 años Hija :15 años

d)Señora:33 años Esposo:36 años Hija :14 años

e) N.A.

16.-La suma de las tres cifras de un numero es 16.La suma de la cifra de las centenas y las cifras de las decenas es el triple de la cifra de las unidades ,y is al numero se le resta 99,la cifras se intervienen. Hallar el numero.

a) 574 b) 475 c) 541d) 632 e) N.A.

17.-La suma de las edades de tres personas es 101 años; la mitad de la edad de la 1ra mas la cuarta parte de la edad de la 2da mas la tercera parte de la 3ra suman 35 años y ¼ de la edad de la 1ra mas ½ de la 2da,mas 1/5 de la 3ra dan 31 años .¿Cuál es la edad de cada una?

a)24,31,45 años b)24,32,45 años c)24,32,44 años

d)24,30,44 añose)N.A.

101


18.-La suma de tres números es 60:el primero excede en 1 al segundo y la suma de los dos primeros es el triple del tercero. Hallar los números.

a)15;12;13 b)10;11;12c)20;21;23 d)23;22;15e)N.A.

19.-La suma de tres números es de 160.Un cuarto de la suma del mayor y el mediano equivale al menor disminuido en 20.y si a ½ de la diferencia entre el mayor y el menor se suma el numero del medio , el resultado es 57.Hallar los números.

a)x=62;y=50;z=48

b)x=62;y=49;z=48

c)x=62;y=50;z=47

d)x=62;y=50;z=46

e)N.A.

20.-La suma de tres números es 127.Si a la mitad del numero menor se le añade la tercera parte del mediano y la novena parte del mayor se obtiene 39 y el mayor excede en 4 a la mitad de la suma del mediano y el menor. ¿Cuál es el mayor?

a)45 b)42 c)40 d)48 e)43

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correccion Álgebra 2do III

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