SISTEMA DE COORDENADAS EN LA RECTAUn Sistema Coordenado sobre la recta queda determinado luego de asignarle a la recta real

un sentido positivo, (a la derecha de un punto fijo O denominado origen del sistema), y un segmento unidad u sobre dicho eje.

Semieje positivo O Semieje negativo

COORDENADAS DE UN PUNTO DE LA RECTALa coordenada o abcisa de un punto P sobre un Sistema Coordenado sobre la recta, que

simbolizamos P(x) es un número real tal que:

O P x = long , si P está a la derecha de O

P O x = - long , si P está a la izquierda de O

O x = 0 si P coincide con O

PROPIEDAD: La función f: P R , siendo P el conjunto de todos los puntos de la recta, que asigna a cada punto su abcisa es una aplicación biyectiva. Luego, cada punto de la recta se identifica con un número real, su coordenada o abcisa.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DE LA RECTADefinición: Dados dos puntos en la recta P1 (x1) y P2 (x2), la distancia entre P1 y P2 es el número real positivo dado por:

SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES EN EL PLANOUn Sistema Coordenado Cartesiano Rectangular (SCCR) en el plano queda determinado por

dos ejes perpendiculares y una unidad para medir longitudes en cada eje. + u

- u +

-El punto de intersección de los ejes se denomina origen del sistema, el eje horizontal abcisas

o eje x y el eje vertical ordenada o eje y, ambos ejes reciben el nombre de ejes coordenados.

COORDENADAS DE UN PUNTO EN EL PLANODado un Sistema Coordenado Cartesiano Rectangular (SCCR) y un punto P del plano, si

proyectamos perpendicularmente el punto sobre cada uno de los ejes coordenados, se obtienen los puntos Px y Py, como se muestra en siguiente figura:

P

Px

Py

u

Si x es la coordenada de Px en el eje x, e y es la coordenada Py en el eje y , entonces las coordenadas de P en el SCCR son los números x e y y se indica P(x, y).

Hay una correspondencia biunívoca entre los puntos del plano y sus coordenadas. Luego, cada punto del plano se identifica con el par ordenado de sus coordenadas.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANODefinición: Dados dos puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) en el plano, la distancia entre P1 y P2 es el número real no negativo dado por:

Se puede demostrar que:

SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES EN EL ESPACIOUn Sistema Coordenado Cartesiano Rectangular (SCCR) en el espacio queda determinado

por tres ejes concurrentes en un punto, perpendiculares dos a dos, y una unidad para medir longitudes en cada eje. z +

y +

x +

El punto de intersección de los ejes se denomina origen del sistema, el eje horizontal abcisas o eje x y el eje vertical ordenada o eje y, y el eje z eje de cotas o alturas.

A los planos determinados por los pares de ejes coordenados, se los llama planos coordenados y se los designa: xy, xz, yz.

COORDENADAS DE UN PUNTO EN EL ESPACIODado un SCCR y un punto P del espacio, si proyectamos perpendicularmente el punto sobre

cada uno de los ejes coordenados, obtenemos los puntos Px, Py y Pz.Si x es la coordenada Px sobre el eje x, y es la coordenada Py sobre el eje y, z es la

coordenada de Pz sobre el eje z, entonces se define como coordenadas de P en el SCCR a los números x, y, z y se indica P (x, y, z).

Existe una correspondencia biunívoca entre los puntos del espacio y las ternas ordenadas de números reales que son sus coordenadas, por o tanto, cada punto del espacio se identifica con la terna ordenada de sus coordenadas.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL ESPACIODefinición: Dados dos puntos P1(x1, y1, z1) y P2(x2, y2, z2) en el plano, la distancia entre P1 y P2 es el número real no negativo dado por:

Se puede demostrar que:

SEGMENTOS ORIENTADOSDefinición: Dados dos puntos A y B sobre la recta, se llama segmento orientado al segmento limitado por dicos puntos. Para indicar el segmento orientado de origen A y extremo B, escribiremos , en caso contrario escribiremos . Los segmentos orientados y se llaman opuestos.

VECTORES GEOMÉTRICOSDefinición: Se denomina vector a todo segmento orientado. El vector de origen A y extremo B se indica .

Teniendo en cuenta la definición, todo vector queda caracterizado por: 1- Módulo: Es el número real dado por la longitud del segmento y se simboliza .

= long ( )2- Dirección: Está dada por la dirección de la recta que contiene a los puntos A y B, la cual se

denomina recta de acción.3- Sentido: Está determinando por el origen y el extremo del vector, el vector tiene el

sentido de A hacia B.

De acuerdo a la definición, todos los vectores situados sobre una misma recta o sobre rectas paralelas tienen la misma dirección, y sobre cada recta hay dos sentidos, opuestos entre sí.

VECTORES PARALELOSDefinición: Diremos que los vectores y son paralelos y escribimos u // v, sii sus rectas de acción son paralelas.

VECTORES COLINEALESDefinición: Dos vectores son colineales si están contenidos en la misma recta, es decir, si sus rectas de acción coinciden.

Los vectores colineales son paralelos.

IGUALDAD DE VECTORESDefinición: Dos vectores son iguales y escribiremos = , si tienen igual módulo, dirección y sentido.

Dos vectores iguales siempre son paralelos.

VECTORES OPUESTOSDefinición: Dos vectores son opuestos y escribiremos = - , si tienen igual módulo y dirección pero sentido opuesto.

VECTORES NULODefinición: Si un vector = es tal que su origen y su extremo coinciden (es decir A = B), diremos que es el vector nulo y escribimos =Luego, para todo punto A se tiene =

Observación: El módulo del vector nulo es cero y este vector es el único con esta propiedad. Además, al vector nulo le podemos asignar cualquier dirección y cualquier sentido. Es claro entonces que = -

El vector nulo se define como paralelo a cualquier vector, por tener dirección arbitraria.

VECTOR UNITARIO O VERSORDefinición: El vector se denomina versor o vector unitario sii =1 y se simboliza .

Para cada vector no nulo es posible definir un versor que tenga su misma dirección y

sentido, de la siguiente manera: . Este procedimiento se llama normalización.

VECTORES APLICADOS EN EL ORIGEN DE UN SISTEMA DE COORDENADAS

Cuando el punto inicial (origen) de un vector no se fija, el vector se denomina vector libre. Cuando fijamos el origen, se denomina vector aplicado.

Definición: Dado un sistema de coordenadas en la recta, el plano o el espacio, se denomina vector aplicado en el origen, a todo vector con origen fijo en el origen del sistema de coordenada, cualquiera sea su extremo. Si P es el extremo de un vector aplicado en el origen, dicho vector se indica .En la recta En el plano En el espacio

Un vector de extremos arbitrarios siempre es igual algún vector aplicado al origen que tiene igual módulo, sentido y dirección que él, por lo tanto, cualquier vector puede ser representado por un vector igual a él, aplicado en el origen.

COMBINACIONES LINEALESDefinición: El vector es “combinación lineal” (CL) de los vectores si existen escaleras tales que :

Los escaleras reciben el nombre de “coeficientes” de la combinación lineal.

PROPIEDADES1) El vector nulo es CL de cualquier conjunto de vectores: 2) El vector - es CL del vector , cualquiera sea : - = -1.

VECTORES PARALELOSDefinición: Diremos que los vectores y son paralelos y escribimos u // v, sii existe R tal que: = .

El vector nulo es paralelo a cualquier vector: : = 0 . Dado , se verifica que - es paralelo a : - = -1 .

COMPONENTES DE UN VECTOREn la recta:

Consideremos un SCCR en la recta y sea = un vector tal que P (x).Consideramos además un versor en la dirección y sentido del eje:

Como es unitario, es claro que: = x. ( es CL del versor )

PO

P P

i O

Px

El número real x recibe el nombre de “componente del vector en el sistema de coordenadas considerado” y escribiremos: = x

Como = d (O,P) entonces = x: Esta es la expresión del módulo de en función de su componente.

En el plano:Dados: un SCCR en el plano, un vector tal que P (x,y) y los versores: en la dirección

y sentido del eje x, en la dirección y sentido del eje y, como se indica en el siguiente gráfico:

Gráficamente podemos observar que: (1)Además : y (2)Reemplazando (2) en (1) resulta:

( es CL de , )

Los números reales x, y se denominan “componentes del vector en el sistema de coordenadas considerado”. Las componentes del vector son las coordenadas del punto extremo P, la x se llama “primera componente” y la y “segunda componente”.

Por esto decimos que las componentes de son “el par ordenado (x,y)” y escribimos: = (x,y)

Como = d (O,P) entonces , esta es la expresión del módulo de en función de sus componentes.

EN EL ESPACIOConsideramos un SCCR en el espacio y los versores en la dirección y sentido del eje x,

en la dirección y sentido del eje y, en la dirección y sentido del eje z.Sea un vector tal que P (x, y, z), se puede demostrar que:

1) ( es CL de , , ) Los números reales x, y, z son las “componentes del vector en el sistema de

coordenadas considerado”, las componentes son las coordenadas del punto extremo.

2) La expresión del módulo de en función de sus componentes es:

OPERACIONES CON VECTORES Es posible, y por todos conocidas las operaciones entre vectores en forma gráfica, nos interesa ahora operar con vectores a partir de sus componentes.

SUMA DE VECTORES

i

P(x,y)

Px

Py

j

Las componentes de la suma de dos vectores se obtienen sumando las componentes de dichos vectores: En la recta: Si = x1 y = x2 entonces: + =x1 + x2

En el plano: Si = (x1, y1 ) y = (x2 , y2 ) entonces: + = (x1 + x2 , y1 + y2 )

En el espacio: Si = ( x1, y1, z 1) y = (x2, y2, z2 ) entonces: + = ( x1 + x2, y1+ y2 , z1 + z2 )

RESTA DE VECTORES

Las componentes de la resta de dos vectores se obtienen restando las componentes de dichos vectores: En la recta: Si = x1 y = x2 entonces: + =x1 - x2

En el plano: Si = (x1, y1 ) y = (x2 , y2 ) entonces: - = (x1 - x2 , y1 - y2 )

En el espacio: Si = ( x1, y1, z 1) y = (x2, y2, z2 ) entonces: - = ( x1 - x2, y1- y2 , z1 - z2 )

MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR UN VECTORLas componentes del producto de un escalar por un vector, son el producto del escalar por

las componentes del vector. En la recta: Si = x entonces: = x

En el plano: Si = (x, y ) entonces: = (x , y )

En el espacio: Si = ( x, y, z) entonces: = (x, y, z )

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON VECTORESPROPIEDADES DE LA SUMA1) Asociativa: + ( + ) = ( + ) + 2) Conmutativa: + = + 3) Existencia del elemento neutro: + = + = 4) Existencia del elemento opuesto: + (- ) = - + =

PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR1) Distributiva respecto de la suma de vectores: : ( + ) = . + . 2) Distributiva respecto de la suma de escalares: : ( + ). = . + .3) Asociatividad mixta: ( . ). = . ( . ) 5) Existencia del elemento neutro: 1. =

COMPONENTES DE UN VECTOR DE EXTREMOS ARBITRARIOS CONOCIDOSEn la recta:

Sea = tal que P1 (x1) y P2 (x2) como indica la figura siguiente:

O x1

P1i P2

x2

Del gráfico se observa que: = - , es decir : = + (-1). Las componentes de y son: = x1 y = x2 , resulta:

= x2 + (-1).x1 = ( x2 - x1 )

El número real: x2 - x1 recibe el nombre de “componentes del vector” en el sistema de coordenadas, y escribiremos:

= x2 - x1 Como =

En el plano:Sea = tal que P1 (x1, y1 ) y P2 (x2, y2 ) como indica la figura siguiente:

Del gráfico se observa que: = - , es decir : = + (-1). Las componentes de y son: = (x1, y1 ) y = (x2 , y2 ) resulta:

= (x2 - x1) + ( y2 - y1 ) Los números reales: x2 - x1 , y2 - y1 reciben el nombre de “componentes del vector”

en el sistema de coordenadas, y escribiremos: = (x2 - x1, y2 - y1 )

Como =

En el espacio: Sea = tal que P1 (x1, y1, z1) y P2 = (x2, y2 , z2 ) entonces =

como indica la figura siguiente:

PRODUCTO ESCALAR ENTRE DOS VECTORESDefinición: Dados dos vectores y , llamaremos producto escalar de por , al número real dado por:

. = . .cos siendo = med , 0

PRODUCTO ESCALAR EN FUNCIÓN DE LAS COMPONENTESEn el plano:Si = (u1, u2 ) y = (v1 , v2 ) entonces = y = , luego

. = ( ) . ( ) = u1 . v1 + u1 . v2 + u2 . v1 + u2 . v2 = u1 . v1 1 + u1 . v2 .0 + u2 . v1 0 + u2 . v2 1 = u1 . v1 + u2 . v2

ij

x1

y1

x2

y2

. = u1 . v1 + u2 . v2

En el espacio:Si = (u1, u2 , u3 ) y = (v1 , v2 , v3) entonces . = u1 . v1 + u2 . v2 + u3 . v3

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR1) Positividad: . 0 cualquiera sea , y . = 0 cualquiera sea =2) Simetría: . = . cualesquiera sean y 3) Homogeneidad: ( . ) = . = . cualesquiera sean , y R4) Linealidad: . ( + ) = . + . cualesquiera sean , y ( + ) . ) = . + . cualesquiera sean , y

MÓDULO DE UN VECTOR EN FUNCIÓN DEL PRODUCTO ESCALARPor definición, el producto escalar de un vector por sí mismo es:

. = . .cos 0º = . . 1 = , luego =

ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES NO NULOSSi y son vectores no nulos, el producto escalar entre ambos es:

. = . .cos , entonces , por lo tanto

ORTOGONALIDAD DE VECTORESDefinición: Dos vectores y son ortogonales o perpendiculares sii el ángulo comprendido entre ellos es 90º.

sii = 90ºEl vector nulo es ortogonal a cualquier vector y es el único vector que cumple con esta

propiedad.

CARACTERIZACIÓN DE VECTORES ORTOGONALESSi dos vectores y no nulos son ortogonales o perpendiculares entonces el producto escalar entre ellos es. . = . .cos 90º = . . 0 = 0

sii . = 0

PRODUCTO VECTORIALDefinición: Dados dos vectores y , llamaremos producto vectorial de por (en ese orden), al vector x que verifica: 1) x = . .sen siendo = med , 0 2) La dirección de x es la de la recta perpendicular al plano determinado por y .3) El sentido se elige de modo tal que al girar el vector en la dirección del vector , el vector x tenga el sentido de un tirabuzón situado en el origen común a ambos vectores. Si los vectores no tienen un origen en común, se realiza una traslación para que posean un origen común.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL1) Anticonmutativa: x = - ( x ) cualesquiera sean ,2) Homogeneidad ( x ) = x = x cualesquiera sean , y R3) Distributiva respecto de la suma de vectores: x ( + ) = x + x cualesquiera

sean , y .4) x = = = 0 x = x = -

x = 5) Dos vectores no nulos del espacio son paralelos (o colineales si tienen origen común) sii el producto vectorial entre ellos es el vector nulo.

sii . =

COMPONENTES DEL PRODUCTO VECTORIALSi = (u1, u2 , u3) y = (v1 , v2 , v3) entonces = y = ,

luego:x = ( ) x ( ) =

= u1 . v1 x + u1 . v2 x + u1 . v3 x + + u2 . v1 + u2 . v2 + u2 . v3 + + u3 . v1 x + u3 . v2 + u3 . v3 . = = u1 . v2 + u1 . v3 (- ) + u2 . v1 (- ) + u1 . v3 + u3 . v1 + u3 . v2 (- ) = = (u1 . v3 - u3 . v2 ) + ( u3 . v1 - u1 . v3 ) + ( u1 . v2 - u2 . v1 )

Por lo tanto: x = ( u1 . v3 - u3 . v2 , u3 . v1 - u1 . v3 , u1 . v2 - u2 . v1 )

REGLA PRÁCTICAEl producto vectorial x se puede expresar, simbólicamente a través del siguiente

determinante:

PRODUCTO MIXTODefinición: Dados tres vectores , y del espacio, llamaremos producto mixto entre , y (en ese orden), al número real: ( x ) .

PRODUCTO MIXTO EN FUNCIÓN DE LAS COMPONENTES

Si = (u1, u2 , u3), = (v1 , v2 , v3) y = (w1 , w2 , w3) sabemos que: x = ( u1 . v3 - u3 . v2 , u3 . v1 - u1 . v3 , u1 . v2 - u2 . v1 )

entonces: ( x ) . = ( u1 . v3 - u3 . v2 , u3 . v1 - u1 . v3 , u1 . v2 - u2 . v1 ) . (w1 , w2 , w3) = ( u1 . v2 . w3 + u2 . v3 . w1 + u3 . v1 . w2 ) – ( u1 . v3 . w2 + u2 . v1 . w3 + u3 . v2 . w1 )

REGLA PRÁCTICA PARA CALCULAR EL PRODUCTO MIXTO El producto mixto se puede obtener a través de los determinantes:

PROPIEDADTres vectores no nulos y no paralelos en el espacio están contenidos en un mismo plano o en

planos paralelos sii el producto mixto entre ellos es cero.