PRÁCTICA 2: CONVERSIÓN DE COORDENADAS Y TRANSFORMACIÓN ENTRE SISTEMAS DE REFERENCIA GEODÉSICOSa).- determinar los 7 parámetros de transformación de un único conjunto de vértices con sus coordenadas dadas en dos sistemas geodésicos de referencia, utilizando el modelo de Bursa-Wolf.Para ello se calcularán los 7 parámetros de transformación para pasar del sistema ETRS89 al sistema ED50, con las coordenadas de los vértices de la red REGENTE de la hojas de MTN 1/50.000 número 911, 912, 913, 932, 934, 953, 954 y 955. Obtener la mejor transformación o conjunto de parámetros en función de los datos dados.

Transformación Bursa-Wolf

La representación gráfica de la transformación Bursa-Wolf es la siguiente:

La forma matricial es la siguiente:

Donde:- XW, YW y ZW son las coordenadas del sistema del que se sale (ETRS89). - XL , YL y ZL son las coordenadas del sistema al que se llega (ED50).- X0, Y0 y Z0 son los parámetros de traslación.- RX, RY y RZ son los parámetros de rotación.- dL es el factor de escala

A L

X

Paso de geodésicas a cartesianas

En primer lugar habrá que calcular las coordenadas cartesianas de los vértices dados, utilizando las siguientes expresiones:

Donde N es el radio de curvatura de la normal, el cuál se calcula con la siguiente expresión:

Siendo los parámetros de los elipsoides asociados al Sistema de Referencia Local ED50 (Internacional de Hayford) y ETRS89 (GRS80) los siguientes:

Elipsoide a e2

Hayford 6378388 0,00672267GRS80 6378137 0,00669438

Aplicando las fórmulas del cálculo de la curvatura y de coordenadas cartesianas obtenemos:

N Hayford GRS80

6386560,223 6386274,0016386554,847 6386268,6496386563,277 6386277,0456386513,983 6386227,9586386483,411 6386197,5196386436,801 6386151,1046386453,652 6386167,8856386443,572 6386157,8486386503,814 6386217,833

ED50 ETRS89

Número Vértice X (m) Y (m) Z (m) X (m) Y (m) Z (m)

1 91124 - Fuente Abad 5025189,678 -154317,388 3913156,156 5025045,454 -154420,742 3912985,365

2 91234 - Muela 5026892,328 -121543,720 3911706,514 5026748,573 -121647,169 3911535,958

3 91315 - Alcaina 5025722,549 -100418,188 3913684,385 5025579,073 -100521,564 3913514,136

4 93267 - Carcavalar 5034206,895 -143523,406 3902078,934 5034062,613 -143626,835 3901908,026

5 93442 - La Loma 5040809,975 -90527,628 3894450,577 5040666,283 -90631,282 3894280,028

6 95364 - Manilla 5048902,154 -142953,126 3883669,181 5048757,460 -143056,808 3883497,998

7 95457 - Cabezo Blanco 5045815,463 -118831,319 3887300,296 5045671,163 -118934,886 3887129,448

8 95545 - Jimenado 5048149,784 -90958,895 3884768,462 5048005,883 -91062,522 3884597,751

9 93345 - Loma Larga 5036560,693 -119329,752 3899491,794 5036416,741 -119433,323 3899321,014

Ajuste por MMCC

Ya con las coordenadas en ambos sistemas procedemos al ajuste por mínimos cuadrados. En el proceso omitimos las coordenadas del punto 9, ya que vamos a calcular los parámetros con los demás puntos para aplicárselos a éste.

Parámetros: X = (At ·A)-1 ·(At ·L) = N-1 ·t

ParámetrosTx -219,472 mTy 5,078 mTz -58,230 mRx -5,1028 ccRy -13,5433 ccRz 9,7930 cc

λ 0,999998877

Además se calcularán: El vector de residuos v en todos los puntos tanto en coordenadas

cartesianas, como en coordenadas locales (E, N, U).

Residuos: V = AX – L

En coordenadas cartesianas:

Matriz VdX1 -0,021 mdY1 -0,059 mdZ1 0,029 mdX2 -0,019 mdY2 -0,015 mdZ2 0,021 mdX3 0,071 mdY3 -0,110 mdZ3 -0,093 mdX4 -0,044 mdY4 -0,046 mdZ4 0,053 mdX5 0,012 mdY5 0,080 mdZ5 -0,013 mdX6 -0,030 mdY6 0,128 mdZ6 0,041 mdX7 0,028 mdY7 0,005 mdZ7 -0,040 mdX8 0,001 mdY8 0,018 mdZ8 0,001 m

En coordenadas locales (ENU):

Matriz VdX1 -44,555 mdY1 198,517 mdZ1 -37,391 mdX2 -44,518 mdY2 198,136 mdZ2 -38,098 mdX3 -44,572 mdY3 197,750 mdZ3 -38,522 mdX4 -44,701 mdY4 198,412 mdZ4 -37,742 mdX5 -44,657 mdY5 197,731 mdZ5 -38,942 mdX6 -44,792 mdY6 198,381 mdZ6 -37,959 mdX7 -44,851 mdY7 198,008 mdZ7 -38,423 mdX8 -44,860 mdY8 197,738 mdZ8 -39,038 m

La varianza a posteriori.

Desviación típica: siendo m-n=24-7=17 (grados de libertad)

Varianza: Desv. Típica 0,063

Varianza 0,004

Las desviaciones estándar de los parámetros calculados

Matriz varianza-covarianza: Las desviaciones estándar de los parámetros se obtienen calculando las raíces cuadradas de los valores de la diagonal principal de la matriz varianza-covarianza.

Desv. EstándarTx 6,970 mTy 6,217 mTz 8,045 mRx 0,5526 ccRy 0,9367 ccRz 0,5785 cc

λ 0,791542706

Discutir estos valores.

Una vez obtenido el conjunto de 7 parámetros, transformar con ellos las coordenadas ETRS89 del vértice REGENTE de la hoja del MTN 1/50.000 número 933 al sistema ED50 y comparar las coordenadas transformadas con las oficiales en el sistema ED50, explicar las diferencias encontradas.

Las coordenadas cartesianas del vértice calculadas anteriormente en los dos sistemas son a partir de las coordenadas geodésicas dadas como dato son:

ED50 ETRS89Númer

o Vértice X (m) Y (m) Z (m) X (m) Y (m) Z (m)

9 93345 - Loma Larga 5036560,693 -119329,752 3899491,794 5036416,741 -119433,323 3899321,014

Aplicando los parámetros de la transformación calculados con los otros ocho vértices las coordenadas cartesianas en el sistema ED50 son:

ED50Número Vértice X (m) Y (m) Z (m)

9 93345 - Loma Larga 5036560,751 -119329,806 3899491,722

Y los diferenciales entre las coordenadas dato y las calculadas:

ΔX (m) ΔY (m) ΔZ (m)0,058 -0,054 -0,072

Como se puede observar todos los diferenciales son del orden de los seis centímetros, como cabía esperar observando el valor de la desviación típica de la transformación calculada.

b).- Determinar también los 7 parámetros de transformación del mismo conjunto de vértices del apartado anterior utilizando el modelo de Badekas-Molodensky.

Obtener la mejor transformación o conjunto de parámetros en función de los datos dados.El proceso a seguir es similar al apartado anterior y se parte de los mismos datos.

Transformación Badekas-Molodensky

La representación gráfica de la transformación Badekas-Molodensky es la siguiente:

La forma matricial es la siguiente:

Donde:- XW, YW y ZW son las coordenadas del sistema del que se sale (ETRS89). - XL , YL y ZL son las coordenadas del sistema al que se llega (ED50).- XM,YM y ZM es el centroide del sistema de partida (ETRS-89).- X0, Y0 y Z0 son los parámetros de traslación.- RX, RY y RZ son los parámetros de rotación.- dL es el factor de escala

Cálculo de las coordenadas del centroide

Las coordenadas del centroide se calculan promediando los valores de los puntos que vamos a utilizar para calcular nuestra transformación:

X0 (m) Y0 (m) Z0 (m)Centroide 5036817,063 -120487,726 3898681,089

A

X

L

Luego las coordenadas cartesianas ETRS89 referidas al centroide y que utilizaremos en la construcción de la matriz A son las siguientes:

ETRS89Número Vértice X-Xo (m) Y-Yo (m) Z-Zo (m)

1 91124 - Fuente Abad -11771,609 -33933,016 14304,2762 91234 - Muela -10068,490 -1159,443 12854,8703 91315 - Alcaina -11237,990 19966,162 14833,0474 93267 - Carcavalar -2754,449 -23139,109 3226,9385 93442 - La Loma 3849,220 29856,444 -4401,0616 95364 - Manilla 11940,397 -22569,082 -15183,0917 95457 - Cabezo Blanco 8854,100 1552,839 -11551,6408 95545 - Jimenado 11188,820 29425,204 -14083,3389 93345 - Loma Larga -400,322 1054,403 639,925

Ajuste por MMCC

Ya con las coordenadas en ambos sistemas procedemos al ajuste por mínimos cuadrados. En el proceso omitimos las coordenadas del punto 9, ya que vamos a calcular los parámetros con los demás puntos para aplicárselos a éste.

Parámetros: X = (At ·A)-1 ·(At ·L) = N-1 ·t

ParámetrosTx -144,041 mTy -103,517 mTz -170,724 mRx -5,1028 ccRy -13,5433 ccRz 9,7930 cc

λ 0,99999888

Además se calcularán: El vector de residuos v en todos los puntos tanto en coordenadas

cartesianas, como en coordenadas locales (E, N, U).

Residuos: V = AX – L

En coordenadas cartesianas:

Matriz VdX1 -0,021 mdY1 -0,059 mdZ1 0,029 mdX2 -0,019 mdY2 -0,015 mdZ2 0,021 mdX3 0,071 mdY3 -0,110 mdZ3 -0,093 mdX4 -0,044 mdY4 -0,046 mdZ4 0,053 mdX5 0,012 mdY5 0,080 mdZ5 -0,013 mdX6 -0,030 mdY6 0,128 mdZ6 0,041 mdX7 0,028 mdY7 0,005 mdZ7 -0,040 mdX8 0,001 mdY8 0,018 mdZ8 0,001 m

En coordenadas locales (ENU):

Matriz VdX1 -32,991 mdY1 104,396 mdZ1 -169,851 mdX2 -32,954 mdY2 104,153 m

dZ2 -170,558 mdX3 -33,007 mdY3 103,767 mdZ3 -170,982 mdX4 -33,136 mdY4 104,429 mdZ4 -170,202 mdX5 -33,092 mdY5 103,748 mdZ5 -171,402 mdX6 -33,227 mdY6 104,398 mdZ6 -170,419 mdX7 -33,286 mdY7 104,025 mdZ7 -170,883 mdX8 -33,296 mdY8 103,755 mdZ8 -171,498 m

La varianza a posteriori.

Desviación típica: siendo m-n=24-7=17 (grados de libertad)

Varianza: Desv. Típica 0,063

Varianza 0,004

Las desviaciones estándar de los parámetros calculados

Matriz varianza-covarianza: Las desviaciones estándar de los parámetros se obtienen calculando las raíces cuadradas de los valores de la diagonal principal de la matriz varianza-covarianza.

Desv. EstándarTx 0,022 mTy 0,022 mTz 0,022 mRx 0,5526 ccRy 0,9367 ccRz 0,5785 cc

λ 0,791542706

Discutir estos valores.

Una vez obtenido el conjunto de 7 parámetros, transformar con ellos las coordenadas ETRS89 del vértice REGENTE de la hoja del MTN 1/50.000 número 933 al sistema ED50 con el modelo de Badekas-Molodensky ajustado. Comparar las coordenadas transformadas con las oficiales en el sistema ED50 y también con las coordenadas ED50 transformadas con el modelo Bursa-Wolf del apartado anterior. Explicar las diferencias encontradas.

Las coordenadas cartesianas del vértice calculadas anteriormente en los dos sistemas son a partir de las coordenadas geodésicas dadas como dato son:

ED50 ETRS89Númer

o Vértice X (m) Y (m) Z (m) X (m) Y (m) Z (m)

9 93345 - Loma Larga 5036560,693 -119329,752 3899491,794 5036416,741 -119433,323 3899321,014

Y las referidas al centroide son:

ETRS89Número Vértice X-Xo (m) Y-Yo (m) Z-Zo (m)

9 93345 - Loma Larga -400,322 1054,403 639,925

Aplicando los parámetros de la transformación calculados con los otros ocho vértices las coordenadas cartesianas en el sistema ED50 son:

ED50Número Vértice X (m) Y (m) Z (m)

9 93345 - Loma Larga 5036560,751 -119329,806 3899491,722

Y los diferenciales entre las coordenadas dato y las calculadas:

ΔX (m) ΔY (m) ΔZ (m)0,058 -0,054 -0,072

Como se puede observar todos los diferenciales son del orden de los seis centímetros, como cabía esperar observando el valor de la desviación típica de la transformación calculada.

Al comparar las coordenadas obtenidas a partir de los diferentes modelos de transformación se observa que las diferencias entre ellas son nulas

c).- Convertir las coordenadas cartesianas en el sistema ETRS89 a coordenadas geodésicas de los vértices utilizados en los apartados a) y b) garantizando 0.001 metros en altitudes y 0.00001 segundos en coordenadas latitud y longitud.

Para el paso de cartesianas a geodésicas necesitamos las siguientes fórmulas:

Así como la fórmula para el cálculo del radio de curvatura de la normal:

Para garantizar las unidades pedidas habrá que entrar en un cálculo iterativo utilizando las fórmulas nombradas.

Se toma h = 0, ya que su magnitud es muy pequeña con respecto al radio de la tierra, y las coordenadas cartesianas como valores iniciales.

φ0 (rad) λ0 (rad) N0 h0

0,66464493 -0,03072055 6386274,009 697,1420,66438757 -0,02419525 6386268,654 436,3110,66479101 -0,01999932 6386277,049 368,7970,66243102 -0,02852326 6386227,966 723,3180,66096575 -0,01797808 6386197,522 274,6870,65873010 -0,02832747 6386151,115 1012,2550,65953846 -0,02356730 6386167,888 305,5440,65905473 -0,01803735 6386157,850 142,1730,66194369 -0,02370950 6386217,838 491,384

Se toma como valores definitivos de λ, los obtenidos en ese cálculo, ya que no se puede seguir iterando, por lo que realmente no se puede garantizar las unidades pedidas.

Siendo φ0 en sistema sexagesimal: φ0 (deg)

137092,8567137039,7732137122,9885136636,2054136333,9726135872,8354136039,5729135939,7957136535,6869

Para la primera iteración el resultado de la altura y la latitud son los siguientes:

φ1 (deg) h1 (m)

137092,78304 700,041137039,72710 438,126137122,94951 370,331136636,12909 726,336136333,94365 275,836135872,72879 1016,503136039,54067 306,825135939,78073 142,769136535,63501 493,436

Siendo la diferencia entre el cálculo inicial y la primera iteración la siguiente:

φ(deg) h(m)

0,07366 -2,8990,04610 -1,8150,03897 -1,5330,07635 -3,0180,02897 -1,1490,10664 -4,2480,03221 -1,2810,01498 -0,5960,05186 -2,052

Así se continua iterando hasta que estás diferencias sean menores que 0,001 metros en las altitudes y menores que 0,00001 segundos sexagesimales para las latitudes. Se garantiza las unidades pedidas al llegar a la tercera iteración, siendo los valores definitivos los siguientes:

Número Vértice φ (deg) N λ (deg)E h (m)

1 91124 - Fuente Abad 38º 04º 52,78 -1º 45º 36,57 700,0532 91234 - Muela 38º 03º 59,73 -1º 23º 10,63 438,1343 91315 - Alcaina 38º 05º 22,95 -1º 08º 45,16 370,3374 93267 - Carcavalar 37º 57º 16,13 -1º 38º 03,34 726,3495 93442 - La Loma 37º 52º 13,94 -1º 01º 48,24 275,8416 95364 - Manilla 37º 44º 32,73 -1º 37º 22,96 1016,5217 95457 - Cabezo Blanco 37º 47º 19,54 -1º 21º 01,11 306,8308 95545 - Jimenado 37º 45º 39,78 -1º 02º 0,47 142,7729 93345 - Loma Larga 37º 55º 35,63 -1º 21º 30,44 493,445