Cálculo Infinitesimal 2008/09 Ed-1 Control 2

Cálculo Infinitesimal: grupo Ed-1

Curso 2008/09 1 de diciembre

1. Dada 2 3 2

4

x xf x

x

,

a. Determinar el dominio de f .

2dom : 3 2 0 y 4 0 , 4 4, 2 1,f x x x x

b. Estudiar la existencia de asíntotas verticales y horizontales.

4x es una asíntota vertical,2

4

3 2lím

4x

x x

x

y

2

4

3 2lím

4x

x x

x

.

2 3 2lím 1

4x

x x

x

, 1y es una asíntota horizontal.

2 3 2lím 1

4x

x x

x

, 1y es una asíntota horizontal.

c. La afirmación: “La función f toma el valor 1 para algún 3, 2x ” ¿es cierta?

Razonar la respuesta.

La función f es continua en el intervalo 3, 2 , 3 2 1f y

2 0 1f . El teorema de los valores intermedios asegura que existe

3, 2c tal que 1f c .

d. La afirmación: “Como 5 0f y 3 0f , el teorema de Bolzano asegura que

existe al menos un 5, 3c tal que 0f c ” ¿es cierta? Razonar la respuesta.

No, ya que la función no es continua en el intervalo dado.

2. Calcular los siguientes límites:

a.1

0

5 coslím

3 tg

x

x

x

x

No existe.

Calculamos los límites laterales:1

0

5 coslím

3 tg

x

x

x

x

y

1

0

5 cos 1lím

3 tg 3

x

x

x

x

b.

2 222

24 4 4 4 4

cos 1 tg 2 tg 1 tg1 tg 2 2lím lím cos lím lím lím 2 tg 2

1ln tg ln tg 2 21 tgtg

x x x x x

x x x xxx x

x x xx

3. Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la siguiente función:

Cálculo Infinitesimal 2008/09 Ed-1 Control 2

2

si 1

arctg si 1

x xe xf x

x x

Continuidad:

Para 1x , arctgf x x , que es una función continua. Para 1x , 2x x

f x e

es

una composición de funciones continuas.

En 2

1 1 1 11, lím lím arctg lím lím 1

4

x x

x x x xx f x x f x e

, por tanto, f no es

continua y tampoco es derivable en este punto.

Derivabilidad:Escribimos la función sin los valores absolutos:

2

2

si 0

si 0 1

arctg si 1

x x

x x

e x

f x e x

x x

Entonces,

2

2

2

2 1 si 0

1 2 si 0 1

1si 1

1

x x

x x

x e x

f x x e x

xx

f no es derivable en 0x , puesto que:

2 2

0 0 0 0lím lím 1 2 1 lím lím 2 1 1x x x x

x x x xf x x e f x x e

f no es derivable en 1x por no ser continua en dicho punto.

4. Determinar los extremos absolutos de 2

2 4

xf x

x

en el intervalo 2, 2 .

Calculamos los posibles puntos de extremo relativo:

2

2 22 2

2 4 2 2 80 0 2, 2

4 4

x x x x xf x x

x x

0 00 es punto de mínimo

1 2y 2 son puntos de máximo2 2 (nótese que es una función par)2

fx

x xf f f