Control Robusto y T´ecnicas de Dise no˜ H1 en el analisis y s´ ´ıntesis utilizando metodos...

Control Robusto y Tecnicas de DisenoH∞

Control Robusto y Tecnicas de Diseno H∞

Jorge Sofrony

19 de agosto de 2012

Tecnicas de Control

Control Robusto y Tecnicas de DisenoH∞ Introduccion

IntroduccionMuchas de las tecnicas de control desarrolladas en la decada de 1950 aun cuentan con unagran acogida en la industria, donde mas del 90 % de los problemas de control se resuelvencon tecnicas de PID

Esta preferencia continua a pesar de los desarrollos que se han realizado en cuanto amecanismos y electronica los cuales permiten implementar facilmente tecnicas complejasde controlRetos del diseno de controladores “modernos”:

garantizar que el sistema sea insensible a perturbaciones e incertidumbredisenar directamente para sistemas multivariables altamente complejosdisenar para sistemas no lineales

El control clasico no suple estas necesidades completamente, por lo que es necesariorecurrir a tecnicas modernas de control

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Introduccion - Control ClasicoEl control clasico se basa en cerrar lazos de forma sucesiva

para sistemas multivariables (MIMO) se escogen pares de entrada/salida (I/O) a controlarposteriormente se utilizan tecnicas como el RL, Bode o Nyquist de manera secuencial

Las principales ventajas de este esquema de control sonla posibilidad de utilizar la experiencia como factor para escoger los pares de I/Ola trasabilidad del sistema, facilitando la verificacion del buen funcionamiento del mismo (estotambien aplica para casos de funcionamiento con fallas)

Los sistemas de control clasico se fundamenta en la teorıa lineal de senales y sistemas, ypor lo tanto su diseno se realiza alrededor de un punto de operacion preestablecido (plantalinealizada).

Se puede lograr que el sistema tenga un mayor rango de operacion utilizando tecnicas decompensacion (e.g. Anti-Windup) o de tabulacion de ganancia.

La mayorıa de tecnicas de diseno clasico son metodos desarrolladas en el dominio de lafrecuencia que ofrecen un alto nivel de transparencia e intuicion, facilitando el trabajo paraingenieros no expertos

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Introduccion - Control RobustoEl control robusto tiene una filosofıa de diseno similar a la del control clasico, el cual sefundamenta en el analisis y sıntesis utilizando metodos frecuenciales

Lo novedoso de las tecnicas de control robusto es proponer metodos de diseno quepermitan la sıntesis de controladores realmente multivaribles, tomando en cuenta laincertidumbre de senal y de modelamiento

Una de las desventajas de dichas tecnicas es la alta complejidad matematica, tanto endiseno como en implementacion, lo cual las hace poco atractivas para la industria.

Hoy en dıa existen herramientas que facilitan la implementacion de controladores robustosen aplicaciones industriales de alta complejidad, aumentando el numero de aplicacionesexitosas documentadas en las ultimas dos decadas

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Introduccion - EjemploConsidere el sistema Masa-Resorte-Amortiguador (con saturacion) que se muestra en lafigura

K G

saturacion

r e u sat(u) y

Figura: Sistema Masa Resorte Amortiguador con saturacion

Asuma que el sistema tiene una representacion donde las matrices (A,B,C,D) esten dadaspor

A =

[0 1−10 −10

]B =

[01

]C =

[1 0

]D = 0

La saturacion es un bloque no lineal que se define como

sat(u) =

{u× sign(u) |u| > u

u |u| ≤ u

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Introduccion - EjemploInicialmente podemos considerar el sistema lineal, es decir, consideramos que el sistemano presenta saturacion de su senal de control (sat(u) = u, ∀u).

Considere un controlador PID tal que el sistema en lazo cerrado tenga error de estadoestable menor al 10 %, un factor de amortiguamiento mayor a ζ > 0,707 y un tiempo deestablecimiento Ts < 1seg

0 5 10 15 20 25 30!15

!10

!5

0

5

10

15

TIME [s]

X [m

]

0 5 10 15 20 25 30

!10

!8

!6

!4

!2

0

2

4

6

8

10

TIME [s]

X [m

]

Sistema sin saturacion Sistema con Saturacion

Sin embargo, si consideramos que la fuerza de actuacion esta limitada tal que−u ≤ u ≤ u, donde u = 10, podemos observar como el sistema pierde su capacidad deseguimiento de la senal de referencia, con grandes retardos de tiempo y bloqueo ensaturacion

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Introduccion - EjemploEl sistema con saturacion de entrada puede ser visto como uno de incertidumbremutiplicativa de entrada, donde podemos disenar un controlador robusto utilizando latecnica de sensibilidad mixta S/KS

0 5 10 15 20 25 30

!10

!8

!6

!4

!2

0

2

4

6

8

10

TIME [s]

X [m

]

0 5 10 15 20 25 30

!10

!8

!6

!4

!2

0

2

4

6

8

10

Sistema sin saturacion Sistema con Saturacion

Como se puede observar en las figuras, el sistema se mantiene en fase con respecto a lasenal de referencia aun ante la presencia del bloque de saturacion

Podemos observar que el sistema saturado tiene un gran error de estado estable que esfısicamente imposible de suprimir puesto nuestra senal de referencia no es viable enamplitud

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Fundamentos y Notacion - Senales y SistemasSenal: Algunas definiciones y caracterısticas

Algo que transporta algun tipo de informacionSe presentan debido a una repuesta a cierto evento, o son la causa de cierto eventoEn principio, siempre pueden ser medidas y corresponden, por lo general, a alguna cantidad fısicaPor lo general pueden ser graficadas

La nocion general de senal es que esta es algo que es funcion de una variable indepen-diente; esta senal se denota x(t). Tal senal generalmente (pero no siempre) varia con eltiempo.

Funcion: Es una tripla (f ,D,R), donde f (.) es la funcion, D es el dominio yR es elrango.

Se dice que la funcion f (.) es un mapeo del dominio al rango, i.e. f : D → REn ingenierıa se asume que el dominio es el tiempo, el cual es el espacio uni-dimensional de losreales, y que el rango es el espacio n-dimensional de los reales (por lo general se asume quen = 1). Por tal motivo definimos una funcion de la siguiente manera

f (t) : R1 7→ Rn

Sistema: Algunas definiciones y caracterısticasAlgo que procesa, de alguna manera, una senalAlgo que produce una reaccion en respuesta a un estimulo externoAlgo que produce una salida a partir de una entrada.

Nuestra nocion general de un sistema es que este es un operador que produce una saliday(t) en respuesta a una senal de entrada u(t).

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Fundamentos y Notacion - Senales y SistemasNorma Euclidiana: Sea x un vector columna enRn. La norma euclidiana se define como

‖x‖ =√

xT x

donde xT denota la transpuesta de una matrizNorma L2 : Podemos medir el tamano de una senal x(t) a traves de su norma L2 , la cualesta definida como

‖x‖2 =

√∫ ∞−∞|x(t)|2dt

El espacio de senales con norma ‖.‖2 finita se conoce como el espacio L2 y se definecomo

L2= {x ∈ Rn

: ‖x‖2 <∞}Teorema de Parseval:Asuma que x(jω) es la transformada de Fourier de la senal x(t) yasuma que x?(jω) denota la traspuesta compleja conjugada. La norma L2 , en el dominiode la frecuencia se define como

‖x‖2 =1

2π

{∫ ∞−∞

x?(jω)x(jω)dω} 1

2

El Teorema de Parseval dice que la norma L2 en el dominio de la frecuencia y en eldominio del tiempo son exactamente iguales

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Fundamentos y Notacion - Senales y SistemasNorma L2 Inducida: Cuando tratamos con sistemas, i.e G(s), hablamos de la normaL2 inducida, definida como el factor de ganancia que existe entre la entrada y salida de unsistema para una entrada u(ω) dada. Asumiendo ‖u(ω)‖2 = 1.

y(ω)

u(ω)=‖G(jω)u(ω)‖2

‖u(ω)‖2= ‖G(jω)u(ω)‖2 ≤ ‖G(jω)‖2

NormaH∞ : La normaH∞ se define utilizando la definicion de valores singulares(norma L2 inducida) de un sistema y escogiendo el pico como funcion de la frecuencia

‖G(s)‖∞ = maxωσ(G(jω))

Noma de Henkel: La norma de Henkel de un sistema estable se obtiene cuando se aplicauna senal de entrada u(t) hasta t = 0 (u(t) = 0∀t > 0), y se trata de maximizar la relacionde las normas L2 de las senales de entrada y salida

‖G‖H = maxu(t)

√∫∞0 ‖z(τ)‖2

2dτ√∫ 0−∞ ‖u(τ)‖2

2dτ

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Fundamentos y Notacion - Senales y SistemasValores Singulares: Los sistemas MIMO poseen grados de libertad adicionales, haciendoque los valores propios del sistema no sean una buena medida de su ganancia. Podemosdefinir los valores propios del sistema como

σi(G) =‖Gui‖2

‖ui‖2= ‖Gui‖2

donde ui es una base normal definiendo la direccion de las senales de salida, i.e. todos losvectores son linealmente independientes y ‖ui‖2 = 1.De esta manera podemos definir el maximo y el minino valor singular como

σ = maxu 6=0

‖Gu‖2

‖u‖2σ = mın

u6=0

‖Gu‖2

‖u‖2

Porque?: Considere el sistema multivariable G(s) ∈ R2×2 definido como una matriz de

funciones de transferencia tal que su valor en estado estable esta dado por G(0) =

[5 43 2

]Ahora considere entradas de magnitud unitaria de la siguiente manera

u1 =

[10

]u2 =

[01

]u3 =

[0,7070,707

]Las respectivas salidas son

y1 =

[53

]y2 =

[42

]y3 =

[6,363,54

]donde

‖y1‖2 = 5,83 ‖y2‖2 = 4,47 ‖y3‖2 = 7,30Como se puede observar, los valores propios no son una buena medida de la ganancia del sistemaya que estos no tienen en cuenta la direccion de la entrada

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Fundamentos y Notacion - Teorema de la Pequena Ganancia

TheoremConsidere el sistema retroalimentado mostrado en la figura

‖M‖∞ ≤ γ1 ‖∆‖∞ ≤ γ2

γ1 y γ2 siendo la maxima norma inducida L2 de M y ∆ respectivamente. La interconexion“M −∆” es estable si

γ1γ2 < 1

r2 = 0 e2

M

r1 = 0e1

y1

y2!

Figura: Interconexion M −∆

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Fundamentos y Notacion - Estabilidad segun LyapunovConsidere un sistema general de la forma x = f (x), donde x son los estados del sistema, ydonde podemos hacer las siguientes definiciones

Punto de Equilibrio: Asuma que el sistema tiene condiciones iniciales x0 = xe y que no existenperturbaciones externas. Se dice que xe es un punto de equilibrio si y solo si x = xe para todoinstante de tiempo t > t0. Un punto de equilibrio puede definirse como el lugar donde lasderivadas del sistema se desvanecen, es decir

xe = f (xe) = 0

Primer Metodo de Lyapunov: Se dice que el punto de equilibrio de un sistema es estable si paracualquier escalar β existe otro escalar δ(β) tal que

‖x0 − xe‖ < δ(β)⇒ ‖x(t)− xe‖ < β ∀t ≥ 0

Se dice que el sistema es asintoticamente estable si adicionalmente

‖x0 − xe‖ < δ(β)⇒ lımt→∞

x(t)→ 0

x(0)

!

"

x1

x2

x(0)

!

"

x1

x2

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Sistemas Retroalimentados - Estabilidad segun Lyapunov

TheoremConsidere el sistema LTI x = f (x, u) y asuma que el punto x = 0 es un punto de equilibriocontenido en X ⊂ Rn (i.e. X se denomina la region de atraccion)

Asuma que existe una funcion V(x) continuamente diferenciable tal queV(x) > 0 ∀x 6= 0V(0) = 0lımx→∞ V(x)→∞

Entonces si,V(x) ≤ 0 ∀x ∈ X , el sistema es localmente estable con region de atraccion XV(x) < 0 ∀x ∈ X , el sistema es localmente estable con region de atraccion X

Si X = Rn en los argumentos anteriores, estos siguen siendo validos pero de forma global

x(0)

!

"

x1

x2

x(0)

!

"

x1

x2

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Sistemas RetroalimentadosConsidere el sistema retroalimentado mostrado en la siguiente figura

K Gr e u y

do

Podemos definir un grupo de cuatro funciones de transferencia que describen, en sutotalidad, el comportamiento del sistema en lazo cerrado

1 La funcion de sensibilidad esta definida como la funcion de transferenciaS0 =

e(s)d0(s) = (I + GK)−1

2 La funcion de sensibilidad complementaria esta definida como la funcion de transferenciaT0 =

y(s)r(s) = (I + GK)−1GK

3 La funcion de que define la relacion entre la referencia r(s) y la senal de control u(s) esta dadapor KS0

4 La funcion de Lazo Abierto se define como L = GK

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Sistemas Retroalimentados - Problema de Planta GeneralizadaConsidere el sistema retroalimentado mostrado en la siguiente figura, y note que este esequivalente a la figura anterior, con la adicion de una salida que representa el error delsistema

K

G

r e

u y

do

P

Este sistema puede ser simplificado a ala representacion mostrada en la figura, dondeP se denomina la planta generalizadaw = [dT

0 rT ]T son las senales exogenas (en estas incluimos perturbaciones, referencias, etc)z = [yT eT ]T es la senal objetivov es la senal de salida retroalimentada (en este caso la senal de error e)u es la senal de control.

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Sistemas Retroalimentados - Problema de Planta GeneralizadaPara este problema especifico planteado, nuestra planta generalizada esta dada por P, donde

K

w

P

z

v

z = y− r = d0 − r + Guv = e = −d0 + r − Gu[zv

]=

[I −I G−I I −G

]︸︷︷︸

P

[wu

]

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Sistemas Retroalimentados - Problema de Planta GeneralizadaEste sistema se pude implementar en Matalab de la siguiente manera:

K

w

P

z

v

s=zpk(’s’);

G=(1)/(s2+10*s+10);

W1=1*(s+100)/(1*s+1); W2=[]; W3=15;

P=augw(G,W1,W2,W3);

[K,CL,GAM]=hinfsyn(P);

sigma(CL,ss(GAM));

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Sistemas Retroalimentados - IncertidumbreAunque existen varios tipos de incertidumbre, clasificadas segun su arquitectura yestructura interna, solo mencionaremos tres tipo de arquitectura puesto son los mascomunes

Incertidumbre Multiplicativa de Entrada: G = G0(I + ∆i)Incertidumbre Multiplicativa de Salida: (I + ∆0)G = G0Incertidumbre Aditiva: G = G0 + ∆a

G0

!a

G0

!i

G0

!o

G0

!a

G0

!i

G0

!o

Incertidumbre Inversa Multiplicativa de Entrada: G = G0(I −∆i)−1

Incertidumbre Inversa Multiplicativa de Salida: G = (I −∆0)−1G0

Incertidumbre Inversa Aditiva: G = (I − G0∆a)−1G0

Es posible analizar la estabilidad de sistemas inciertos retroalimentados utilizando el SGT

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Control Robusto y Tecnicas de DisenoH∞ Especificaciones de Diseno

Control Robusto - ObjetivosDesempeno Nominal: el controlador LTI debe garantizar que el sistema cuente con unbuen nivel de atenuacion de perturbaciones de entrada y/o salida (actuadores y sensores),una adecuada atenuacion de ruido de medicion, un buen nivel de desempeno en elseguimiento y desacople de las senales de referencia

Estabilidad Robusta: el controlador LTI debe garantizar que el sistema sea estable,incluyendo casos donde se cuente con la presencia de incertidumbre (aditiva, multiplicativade entrada o de salida) no estructurada, segun ciertas especificaciones de robustez

Desempeno Robusto: el controlador LTI debe garantizar que el sistema cuente con unbuen nivel de atenuacion de perturbaciones de entrada y/o salida (actuadores y sensores),una adecuada atenuacion de ruido de medida, un buen nivel de desempeno en elseguimiento y desacople de las senales de referencia, para todos los posibles modelos LTIde la planta definidos por cierta incertidumbre (por lo general estructurada)

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Control Robusto - Sistema en Lazo CerradoConsideremos la siguiente figura

K Gr e u y

dodi

n

Las senales de salida y entrada, u y y respectivamente esten dadas por

y = T0r + S0Gdi + S0d0 − T0η

u = KS0r − KS0d0 + Sidi − KS0η

donde

S0 = (1 + GK)−1

Si = (1 + KG)−1T0 = (1 + GK)−1GKTi = KG(1 + KG)−1

T0 + S0 = ITi + Si = I

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Control Robusto - Especificaciones de Diseno Utilizando T y SLos objetivos generales del diseno de controladores se puede encapsular en las siguientesespecificaciones dadas en terminos de T y S

1 Atenuacion de perturbaciones de salida (d0) en la salida (y)→ σ(S0) pequeno2 Atenuacion de perturbaciones de salida (d0) en la salida (u)→ σ(KS0) pequeno3 Atenuacion de perturbaciones de entrada (di) en la salida (u)→ σ(Si) pequeno4 Atenuacion de perturbaciones de entrada (di) en la salida (y)→ σ(S0) pequeno5 Atenuacion de ruido de medicion (η) en la salida (y)→ σ(T0) pequeno6 Atenuacion de ruido de medicion (η) en la salida (u)→ σ(KS0) pequeno7 Para tener buen seguimiento de referencia→ σ(T0) y σ(T0) ≈ 18 Para limitar la accion de control→ σ(KS0)

Adicionalmente los objetivos de robustez pueden ser expresados de la siguiente manera1 Estabilidad robusta con incertidumbre multiplicativa de entrada→ σ(Ti) pequeno2 Estabilidad robusta con incertidumbre multiplicativa de salida→ σ(T0) pequeno3 Estabilidad robusta con incertidumbre aditiva→ σ(KS0) pequeno

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Control Robusto - Especificaciones utilizando T y S

Porque las tres especificaciones de robustez?Realizaremos un ejemplo a forma de prueba puesto que el procedimiento se puede extender aotras arquitecturas. Tomaremos como ejemplo el caso de un sistema con incertidumbre aditiva,lo cual nos permite verificar facilmente los otros dos casos ya que ∆ai = G0∆i y ∆a0 = ∆0G0Observe la siguiente figura donde podemos hallar M como la funcion de transferencia que va dela senal que sale de la incertidumbre ∆ a la senal de entrada a la misma. Despues de reducir elsistema obtenemos M = KS0 Concluimos la prueba haciendo uso del SGT donde paragarantizar que el sistema sea estable, debemos asegurar que la desigualdad ‖∆‖2‖KS0‖2 < 1se cumpla. De aquı es evidente que un de nuestros objetivos de robustez es logra que laganancia de KS0 sea lo mas pequena posible

K Gr e u y

!

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Control Robusto - Especificaciones utilizando T y SDebido a que existen ciertas restricciones (T0 + S0 = I y Ti + Si = I)

No podemos cumplir todas las especificaciones y debemos lograr estos objetivos a distintasfrecuenciasRequerimos que el sistema atenue ruido de medicion y sea robusto a incertidumbres a altasfrecuenciasRequerimos que el sistema atenue perturbaciones y tenga buenas propiedades de seguimiento dereferencias a bajas frecuenciasPueden existir ciertas restricciones de desempeno debidas a ceros de fase no mınima y saturacionentre otros

S(s) 1/W1

Frecuencia [rad/s]

Magnit

ud [

dB

]

10010-2 10110-1

0dB

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Control Robusto y Tecnicas de DisenoH∞ Diseno de controladoresH∞ de Sensibilidad Mixta

Tecnicas de Diseno H∞ - Definicion del ProblemaConsideremos la siguiente figura

K Gr e u y

dodi

n K

w

P

z

v

Senales de Interes Senales de Interes

r : senal de referenciad0 : senal de perturbacion a la entrada de laplantaη : senal de ruido de mediciony : senal de de salidae : senal de error de seguimiento dereferenciau : senal de control

w : senales exogenasy : senales de salidas medidasz : senales de interesu : senal de control

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Tecnicas de Diseno H∞ - Definicion del ProblemaParticipando P acorde a las dimensiones de de las senales de entrada/salida[

zy

]=

[P11 P12P21 P22

] [wu

]donde

u = Ky

Despues de un redaccion algebraica podemos encontrar que

z = (P11 + P12(1− P22)−1P21)w = Fl(P,K)w

Fl(P,K) se denomina el mapa lineal fraccional y es una transformacion lineal fraccional(LFT) inferior

Nuestro principal objetivo es encontrar un controlador K(s) tal que

ınfK‖Fl(P,K)‖∞ = ınf

Kmaxωσ(Fl(P,K)(jω)) = ınf

Kmaxw6=0

‖z‖2

‖w‖2

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Tecnicas de Diseno H∞ - Definicion ProblemaNo es necesario obtener el controlador optimo, y podemos considerar el problema deencontrar un controlador suboptimo tal que

‖Fl(P,K)‖∞ < γ

donde γ > γmin, γmin siendo el valor optimo

Este problema se puede resolver de forma eficiente utilizando el algoritmo de Doyle,donde se realiza una iteracion en gamma hasta encontrar un valor cercano al optimo.

Hasta el momento el planteamiento del problema se ha realizado de forma muy generalDebido a que debemos encapsular nuestros objetivos dentro del esquema de controlH∞ ,surgen algunas preguntas

Que senales debemos escoger como exogenas (w) y de interes (z) tal que nuestros objetivos sevean reflejados en ellas?Como conformamos nuestra matriz aumentada P?

Respuesta: Esta es una tarea que depende de la naturaleza del problema, por lo que seestudiaran casos tıpicos

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Diseno de Controladores H∞ de Sensibilidad MixtaConsidere el sistema retroalimentado con perturbacion de salida como se muestra en lafiguraDeseamos un sistema con las siguiente caracterısticas

Atenuacion a baja frecuencia de perturbaciones d0 en la salida yEl ancho de banda de la senal de control es limitadoRobustez a incertidumbres aditivas de alta frecuencia

Esto se traduce en tratar de obtener un valor singular σ(S0) pequeno a altas frecuencias yun valor singular σ(KS0) pequeno a bajas frecuencias

K Gr e u y

do

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Diseno de Controladores H∞ de Sensibilidad MixtaDebido a que nuestros objetivos se alcanzan a distintas frecuencias, debemos incluirfiltros, o pesos, W1 y W2

El problema de diseno S/KS tiene como objetivo encontrar un K(s) tal que la gananciaH∞ de los sistemas de interes S/KS se lo menor posible

ınfK

∥∥∥∥ W1S0W2KS0

∥∥∥∥∞

K

G

r=0 e

u

do

Pu

v

z2W2

W1

z1

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Diseno de Controladores H∞ de Sensibilidad Mixta-Planta Generalizada S/KSConsidere el sistema de la figura donde tenemos z1

z1v

=

[P11 P12P21 P22

] [wu

]=

W1S0W2KS0

y

Observando que z1 = P11w + P12u = W1(w + Gu) y que z2 = W2u, podemos concluirque

P =

W1 W1G0 W2−1 −G

K

w

P

z

v

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Diseno de Controladores H∞ de Sensibilidad Mixta - Funciones de PesoConsidere el objetivo W1S0 ≤ 1, donde W1 es un filtro pasabajas dado por

W1 =s/M + ωB

s + ωBA

Cabe observar que lo requerimientos de diseno a distintas frecuencias debe serencapsulado en 1/W1 ya que S0 ≤ 1/W1

Para valores de A = 0,1, M = 10 y ωB = 3× 10−1

Escoger pesos no es una ciencia exacta y por lo tanto se debe iterar hasta conseguir losresultados deseados

1/W1

Frecuencia [rad/s]

Ma

gn

itu

d

10010-2 10110-1

1M

A

!b

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Diseno de Controladores H∞ de Sensibilidad Mixta - Solucion del ProblemaConsidere la planta generalizada P, la cual incluye pesos W1, W2, y W3

P =

A B1 B2C1 D11 D12C2 D21 D22

Problema:

K

Ge

u

do

Pu

v

z2W2

W1

z1r

z3W3

y

Encontrar un controlador K(s) que garantice estabilidad robusta del sistema P(s) bajo lascondiciones de disenoEncontrar el menor valor posible del indice de desempeno γ tal que

ınfK‖Fl(P,K)‖∞ =

∥∥∥∥∥∥W1SW2KSW3T

∥∥∥∥∥∥∞

= γ > γmin

Existen varios metodos para resolver este problema de optimizacionH∞ /H2, perodebido a que debemos iterar en γ, estos son por lo general computacionalmente costosos

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Diseno de Controladores H∞ de Sensibilidad Mixta - Solucion del ProblemaAlgoritmo General[Doyle/Glover]: Existe un controlador K(s) ta; que ‖Fl(P,K)‖∞ < γ si

1 X∞ ≥ 0 es la solucion de la ecuacion de Ricatti

AT X∞ + X∞A + CT1 C1 + X∞(γ−2B1BT

1 − B2BT2 )X∞ = 0

tal que Reλi(A− B2BT2 X∞) + γ−2B1BT

1 X∞) < 0, ∀i2 Y∞ ≥ 0 es la solucion de la ecuacion de Ricatti

AY∞ + Y∞AT + BT1 B1 + X∞(γ−2CT

1 C1 − CT2 B2)X∞ = 0

tal que Reλi(A− CT2 C2Y∞) + γ−2Y∞CT

1 C1) < 0, ∀i3 ρ(X∞Y∞) < γ

4 El controlador central esta dada por la siguiente representacion de estado

K(s) =

[A∞ Z∞L∞F∞ 0

]donde

A∞ = A + B2F∞) + γ−2B1BT1 X∞ + Z∞L∞C2

F∞ = −BT2 X∞ L∞ = −Y∞CT

2 Z∞ = (I − γ−2X∞Y∞)−1

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Diseno de Controladores H∞ de Sensibilidad Mixta - Solucion del ProblemaEl controlador central K(s) tiene un numero de estados igual a la suma de los estados de laplanta y los estados de los pesos (en el caso del problema S/KS, W1 y W2)

Cabe anotar que la solucion presentada anteriormente hace uso de varios supuestos; tal vezlos de resaltar son D11 = 0, D22 = 0, D12DT

12 = I y DT12D12 = I

Para un obtener un valor suboptimo pero apropiado de γ, podemos realizar una busquedapor biseccion hasta alcanzar un nivel de tolerancia aceptable, i.e. |γmin − γ| < Tol

Este algoritmo ya hace parte de la caja de herramientas de control robusto de Matlab yhace uso de la funcion hinfsyn

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Control Robusto y Tecnicas de DisenoH∞ Conformado de LazoH∞

Conformado de Lazo H∞ - Definicion del ProblemaLa tecnica de conformado de lazoH∞ surge como alternativa al problema de sensibilidadmixta

Resumiendo, esta tecnica pretende garantizar estabilidad robusta y desempeno moldeandola funcion de lazo abierto y no las funciones S, KS y T

Al asumir incertidumbre coprima, esta tecnica de diseno tiende a garantizar mayoresmargenes de robustez

Uno de los inconvenientes es que no podemos garantizar estabilidad del sistema en lazocerrado a partir de sus propiedades de lazo abierto, esto se acentua al tratar con sistemasmutlivariables

Debido a que nuestras especificaciones de diseno esten dadas en terminos de S, KS y T , lascuales son funciones de lazo cerrado, debemos hacer una “traduccion” para expresarlas enterminos de nuestra funcion de lazo abierto

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Conformado de Lazo H∞ - Definicion del ProblemaPara realizar esta re-interpretacion, necesitaremos las siguientes identidades

σi(A)− σ(B) ≤ σi(A + B) ≤ σi(A) + σ(B)⇒ σ(A)− 1 ≤ σ(A + 1) ≤ σ(A) + 1σ(A−1) = 1

σ(A)

Utilizando estas identidades y asumiendo que σ(KG) > σ(KG) > 1 podemos deducir lasiguiente desigualdad

1σ(KG) + 1

≤ σ(Si) ≤1

σ(KG)− 1

1σ(GK) + 1

≤ σ(S0) ≤1

σ(GK)− 1

Con estas propiedades de los valores singulares podemos encapsular las especificaciones ediseno utilizando las funcion de lazo abierto L(s)De esta manera podemos hacer las siguientes aproximaciones entre funciones de lazocerrado y lazo abierto

Si σ(KG) << 1 para un cierto rango de frecuencia, entonces σ(Ti) ≈ σ(KG)Si σ(GK) << 1 para un cierto rango de frecuencia, entonces σ(T0) ≈ σ(KG)Si σ(GK) << 1 para un cierto rango de frecuencia, entonces σ(S0G) ≈ 1

σ(K)y

σ(KS0) ≈ 1σ(G)

Ya estamos listos para re-escribir nuestros objetivos de diseno

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Conformado de Lazo H∞ - Especificaciones de Diseno Utilizando L y K1 Atenuacion de perturbaciones de salida (d0) en la salida (y)

σ(GK) debe ser grande dentro del rango de frecuencias donde σ(GK) >> 12 Atenuacion de perturbaciones de salida (d0) en la entrad (u)

σ(K) debe ser pequeno dentro del rango de frecuencias donde σ(GK) << 13 Atenuacion de perturbaciones de salida (d0) en la salida (u)

1σ(G)

debe ser pequeno dentro del rango de frecuencias donde σ(GK) >> 1

4 Atenuacion de perturbaciones de salida (di) en la salida (y)σ(K) debe ser grande dentro del rango de frecuencias donde σ(GK) >> 1

5 Atenuacion de perturbaciones de salida (di) en la entrada (u)σ(KG) debe ser grande dentro del rango de frecuencias donde σ(KG) >> 1

6 Atenuacion de ruido de medicion (η) en la salida (y)σ(GK) debe ser pequeno dentro del rango de frecuencias donde σ(GK) << 1

7 Atenuacion de ruido de medicion (η) en la entrada (u)σ(K) debe ser pequeno dentro del rango de frecuencias donde σ(GK) << 1

8 Atenuacion de ruido de medicion (η) en la entrada (u)1

σ(GK)debe ser grande dentro del rango de frecuencias donde σ(GK) >> 1

9 Para obtener buen seguimiento del a senal de referencia (r)σ(KG) debe ser grande dentro del rango de frecuencias donde σ(GK) >> 1

10 Para limitar los niveles y ancho de banda de la senal de control (u)σ(K) debe ser pequeno dentro del rango de frecuencias donde σ(GK) << 1

11 Para limitar los niveles y ancho de banda de la senal de control (u)1

σ(G)debe ser pequeno dentro del rango de frecuencias donde σ(GK) >> 1

Tecnicas de Control


Conformado de Lazo H∞ - Especificaciones de Diseno Utilizando L y K1 Para obtener estabilidad robusta ante incertidumbre multiplicativa de entrada

σ(KG) debe ser pequeno dentro del rango de frecuencias donde σ(KG) << 12 Para obtener estabilidad robusta ante incertidumbre multiplicativa de salida

σ(GK) debe ser pequeno dentro del rango de frecuencias donde σ(GK) << 13 Para obtener estabilidad robusta ante incertidumbre aditiva

σ(K) debe ser pequeno dentro del rango de frecuencias donde σ(GK) << 14 Para obtener estabilidad robusta ante incertidumbre aditiva

1σ(G)

debe ser grande dentro del rango de frecuencias donde σ(GK) >> 1

Tecnicas de Control


Conformado de Lazo H∞ - Metodologıa de DisenoEn general,

Se desea atenuar perturbaciones y obtener buen seguimiento de referencia a bajasfrecuencias

Se desea atenuar ruido de medicion y sea robustamente estable ante incertidumbre queocurren a altas frecuencia

Se desea una senal de control de amplitud moderad y que tenga un ancho de banda conpocas componentes de alta frecuencia.

En la siguiente figura se muestra graficamente las especificaciones de diseno y comolograrlas

!(GK)

Frecuencia [rad/s]

Magnit

ud [

dB

]

Frontera de

desempeæo

Frontera de estabilidad

robusta, atenuacion de

ruido de medicion y

reduccion de la energia de

control

!(GK)

"l

"h

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Conformado de Lazo H∞ - Metodologıa de DisenoEncontrar un controlador K(s) tal que se cumplan las especificaciones de diseno (losvalores singulares de la funcion de lazo L = GK tienen la forma deseada) es relativamentesencillo

Encontrar un controlador K(s) tal que simultaneamente se garantice estabilidad en lazocerrado es un problema no trivial

Para sistemas SISO la relacion entre estabilidad en lazo cerrado y el margen de ganancia yfase de la funcion de lazo abierto es relativamente sencilla, aunque existen ciertaslimitaciones

Debido a que estamos tratando con sistemas multivariables, y adicionalmente estamosutilizando los valores singulares del sistema, garantizar estabilidad de lazo cerradobasandose en las propiedades de la funcion de lazo es mas complicadoLa metodologıa de conformado de lazoH∞ consta de dos parte

1 Se moldea el lazo para que se cumplan las especificaciones de diseno2 Se encuentra un controlador K(s) que estabiliza el sistema y el cual optimiza, en el sentidoH∞ ,

los margenes de robustez del sistema

Tecnicas de Control


Conformado de Lazo H∞ - Metodologıa de DisenoConsidere la arquitectura que se muestra en la siguiente figura

El filtro W1(s) se utiliza para moldear el lazo, garantizando caracterısticas deseadas, e.g.accion integral y velocidades de descenso

W2 es una matriz escalar diagonal y se utiliza para dar peso relativo a las distintas salidasdel sistema

Una vez se realice una seleccion apropiada de los pesos W1 y W2, se procede a disenar elcontrolador K(s) tal que se garantice estabilidad robusta ante la presencia deincertidumbre coprima de la planta, i.e. G∆ = (M + ∆M)−1(N + ∆N)

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Conformado de Lazo H∞ - Metodologıa de DisenoConsidere que contamos con el sistema moldeado G = W2G0W1 (G0 es la plantanominal), y que este tiene un factorizacion coprima de la forma G = M−1NProblema:

Nl Ml-1

u y

K

!N !M+

+

Encontrar un controlador K(S) tal que se garantice la estabilidad robusta de la planta inciertaG∆ = {(M + ∆M)−1(N + ∆N) : ‖δN ∆M‖∞ < ε}Encontrar el mayor margen de estabilidad donde

γmin = ınfK‖[

KI

](1− GK)

−1M−1‖∞ ≤1εmax

εmax es la maxima ganancia de perturbacion permitida, i.e. ‖∆‖∞ ≤ εmax

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Conformado de Lazo H∞ - Metodologıa de DisenoEl sistema G(s) es robustamente estable ante la presencia de incertidumbre coprima si existe uncontrolador K(s) que garantice γmin ≤ 1

εmax, donde γmin es el margen de estabilidad (segun la

definicion dada anteriormente) y εmax es un escalar que acota la ganancia de la incertidumbre

Demostracion.La prueba puede realizarse utilizando el teorema de la pequena ganancia (SGT), por lo quecomenzamos esta prueba reorganizando el sistema bajo el esquema “M −∆” como semuestra en la figura

Nl Ml-1

u y

K

!N !M+

+

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Conformado de Lazo H∞ - Metodologıa de Diseno

Despues de reducir el sistema podemos concluir que

u = (1− KG)−1KM−1φ = K(1− GK)−1M−1φ

y = (1− GK)−1M−1φ

Reorganizando el sistema

z =

[uy

]=

[KI

](1− GK)−1M−1φ

φ = (∆)z =[

∆N ∆M]

γmin dictamina el margen de estabilidad del sistema y es la ganancia de la funcion detransferencia que va de φ a [uT yT ]T

La prueba de basa en la aplicacion directa del teorema de la ganancia pequena dondepodemos concluir que si ‖∆‖∞ ≤ ε, el sistema es estable si γminε < 1

Cabe anotar que el subındice max que se agrega al termino ε indica nuestro deseo deencontrar estabilidad para un amplio rango de incertidumbres, i.e. el mayor ε admitido porel sistema.

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Conformado de Lazo H∞ - Solucion del problema

Algoritmo General: Existe un controlador K(s) tal que ‖[

KI

](1− GK)−1M−1‖∞ ≤ γ si

1 X ≥ 0 es la solucion de la ecuacion de Ricatti

AT X + XA− XBS−1BT X + CT R−1C = 0

2 Z es la solucion de la ecuacion de RicattiAZ + ZAT − ZCT R−1CZ + BS−1BT

= 0

dondeA = BS−1DT C S = (1 + DT D) R = (1 + DDT

)

3 El controlador K(s) que garantiza

‖[

KI

](1− GK)

−1M−1‖∞ < γ

donde γ > γmin, esta dado por

K(s) =

[Ak BkCk Dk

]Ak = A + BF + γ

2(LT

)−1ZCT

(CDF)

Bk = γ2(LT

)−1ZCT

Ck = BT X

Dk = −DT

dondeF = −S−1

(DT C + BT X) L = (1− γ2)I + XZ

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Conformado de Lazo H∞ - Solucion del problemaEl menor valor del indice de estabilidad robusta se denota γmin y esta dado por

γmin =[

1− ‖N M‖2H

] 12

= (1 + ρ(XZ))12

No hay iteracion en γ y el algoritmo de implementaciones particularmente simple.

Cabe anotar que aunque el algoritmo es simple computacionalmente,la seleccionapropiada de pesos es crucial para garantizar buen desempeno del sistema

El diseno del controlador es un procedimiento relativamente sencillo debido a que no hayseleccion de pesos y el problema no depende de la incertidumbre

La aplicabilidad de los controladores de conformado de lazo enH∞ es alta debido a sugran flexibilidad (comparado con controladores de sensibilidad mixta enH∞ ) y sencillez(comparado con controladores de sıntesis µ)

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Conformado de Lazo H∞ - Arquitectura de controlConsidere el sistema de tipo Newton-Langrange representado de la siguiente forma

M(q)q = τ − C(q, q)− g(q)

donde (.) denota el sistema real y (.) denota el sistema nominal

Utilizando la tecnica de control de dinamica inversa cancelamos las no linealidades de lasiguiente forma

τ = M(q)u + C(q, q) + g(q)

donde obtenemos el siguiente sistema

M(q)q = M(q)u + C(q, q) + g(q)− C(q, q)− g(q)

Si definimos (.) = (.)− (.) podemos re-escribir el sistema como

q = M(q)−1M(q)u + M(q)−1(C(q, q) + g(q)) = u + η(q, q)

done η(q, q) = M(q)−1(M(q) + C(q, q) + g(q))

Observe que si no existe incertidumbre de modelo, η(q, q) = 0, y por lo tanto nuestrosistema se reduce a un doble integrador, i.e. q = u

Sin embrago, si nuestro modelo real difiere del nominal, tendremos un sistema incierto ypor lo tanto debemos tener en cuenta estas perturbaciones del modelo

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Conformado de Lazo H∞ - Arquitectura de controlEl sistema se pude modelar como un doble integrador con incertidumbre multiplicativa deentrada e inversa aditiva

Definiendo ∆i = M(q)−1M(q, q), y utilizando las propiedades de simetrıa de la matrizM(q), podemos modela la incertidumbre multiplicativa de entrada como una matrizdiagonal ∆i = diag{δ1, . . . , δn}La incertidumbre aditiva inversa esta dada por ∆a = M(q)−1(C(q, q) + g(q)) y se puedemodelar como una conexion en serie entre una matriz escalar y un filtro (el cual capturalos efectos frecuenciales de esta incertidumbre)

Ası, nuestro esquema de control es el que muestra en la figura

K 1/s2

!a!i

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