DISEÑO DE UN CONTROLADOR PI PARA MOTOR DC

Diego Fernando Velasco Giraldo

diegofervel@gmail.com

Abstract: Un control automático compara el valor efectivo de la salida de una planta con el valor deseado, determina la desviación o error y produce una señal de control que reduce el error a cero o a un valor pequeño. La forma en que el control automático produce la señal de control recibe el nombre de acción de control.

Keywords: peak time, final value, initial value, gain, steady time, delay time, Tf, control PI.

1. INTRODUCCIÓN

Con este trabajo se pretende elaborar un diseño de un controlador PI para la planta de motor dc, partiendo de su función de transferencia y de la respuesta en el tiempo, para posteriormente llevar a cabo su implementación.

2. DISEÑO DE CONTROLADOR.

Sabemos prácticamente que la función de transferencia de dicho sistema de primer orden con respuesta escalón es:

G( s )= k

τS+1

Donde k=Vf

Vi

Por lo tanto utilizamos estos parámetros para obtener valores que se obtienen a partir de la siguiente grafica:

Fig. 1. Tiempo de estabilización de un motor DC.

Vf =t s = 4.9Vi = 4.2 Ts( Tiempo de muestreo) = 50 ms

k=VfVi

=4 .94 .2

≃1 .16

Identificando específicamente el conocimiento de que el valor de respuesta en el tiempo de un

sistema de primer orden a los 4 τ=98 .2 %* t s

, obtenemos el valor de τ . Debemos tener en cuenta también que 4 τ=V 0 , entonces:

4 τ=0.982∗4 . 94 τ=4 .812 V

Posteriormente sabiendo que τ , es un tiempo de respuesta, analizamos la intersección del V 0 a los 4 τ , el cual es 4.812V con la coordenada de tiempo dándonos 70s el cual lo multiplicamos por un tiempo de muestreo de 50ms:

4 τ=70∗50ms4 τ=3. 5 s

Deduciendo prácticamente queτ=0 . 875 s .

Una vez determinados los valores de τ y k , realizamos nuestra función de transferencia de primer orden del sistema:

kτs+1

= 1.160 .875 s+1

Esta función de transferencia en primer orden se identifica de la siguiente manera:

R(s)

1. 160 .875 s+1

C(s)

Comprendida la función de transferencia de nuestra sistema, podemos empezar a diseñar nuestro controlador, en esto un controlador PI, debido a que un controlador PID, elimina el error de estado estacionario, pero el efecto derivativo tiende a aumentar el ruido de la señal de error; necesitando la implementación de filtros.

Teniendo la formula de un controlador PI :

KC (T i s+1 )T i s

Se representa de la siguiente manera

Teniendoτ=0 . 875 , aplicamos el criterio del 2%

4 τ= t s

4(0.875) = t s

3.5 s = t s

Al realizar la realimentación del sistema establecemos la siguiente función:

1 .16 K c

0 . 875 T 1

(T 1 S+1 )

S2+(1 .16 ST 1 K c+T 1¿

0 . 875 T1

S+1 . 16 Kc

0. 875 T 1

¿

A continuación se divide el denominador entre

0.875T i y se obtiene la siguiente ecuación:

1 .325 K c

T 1

(T 1 S+1)

S2+(1 .325 Kc+1 .143¿S+

1 .325 K c

T 1

¿

Tenemos que la forma canónica de la función de transferencia te todo sistema de segundo orden es:

G( s )= kWn2

S2+2 ζ WnS+Wn2

Para que nuestra planta tenga un comportamiento deseado, definimos unos valores que consideramos que nuestro diseño debe satisfacer.

Como primera parte, para que tengamos un

Ess=0 definimos un t s menor a 3.5s, el

cual determinamos como 2.5s. Además

asumimos un ξ=1 como un sistema críticamente amortiguado.

Nos falta hallar ωn (Frecuencia natural no

amortiguada), la cual se halla de la siguiente forma:

t s=4

ξωn

ωn=1. 6

Con los datos obtenidos anteriormente, obtenemos la función de transferencia deseada:

G( s )=K (1 .6 )2

S2+2(1)(1 . 6) S+(1 .6 )2

2.56 K

S2+2 .32 S+2 .56

Igualando el denominador de la función de transferencia deseada con el denominador de la función de transferencia con controlador obtenemos los valores de Kc y Ti:

2 .32=1. 325 Kc+1 .143(2 .32−1.143 )/1 .325=Kc

0 .88=K c

1 .324 K c/T 1=2 .56T 1=(1.324 )(0 .88)/2 .56T 1=0. 455

A continuación se representa la grafica del sistema de la planta de motor DC sin la aplicación del controlador PI:

Fig.3. Respuesta del sistema sin controlador.

Con los valores de T i y

KC prácticamente determinamos nuestro controlador PI:

Del cual obtenemos la siguiente grafica:

Fig.2. Respuesta del sistema con el controlador diseñado analíticamente

Como bien sabemos, la ganancia del circuito

integrador es

1RiC 1 , siendo Ri y C1 las

incógnitas a encontrar de acuerdo a la siguiente expresión:

Kc

T1

= 1RC

Kc

T1

=0 .880 .45

=1.95

Suponiendo C 1=47 uF

R= 1/(1.95)(47uf) siendo R≈10 .9 K Ω

Figura 1. Integrador

Para el sumador inversor tenemos la siguiente configuración:

Para este amplificador determinamos unas R`=1kΩ .

INVERSOR.

Como bien sabemos KC=− Rg

R '=0 . 88

;

suponiendo R '=1 K , hallamos Rg de la configuración:

Rg=0. 88 (1 K )Rg≃0. 88 K Ω

AMPLIFICADOR RESTADOR.

Para este amplificador determinamos unas R=2kΩ .

3. CONCLUSIONES

Para diseñar un controlador PID o PI en nuestro caso, necesitamos haber identificado la función de transferencia de nuestra planta y conocer la respuesta en el tiempo de dicho sistema.

Elegimos un controlador PI porque el error en estado estacionario (para entrada tipo escalón), se elimina. Además logra que la respuesta del sistema sea más rápida y más oscilatoria.

REFERENCIAS

Ogata, K. Ingeniería de control moderna. Prentice-Hall, A simon & Schuster Company. Pag 150 -160.