CONTROL MODERNO_6 (1)

7/21/2019 CONTROL MODERNO_6 (1)

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Ingeniería en Control y Automatización

Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica

TEORÍA DEL CONTROL III

30 de octubre de 0!"Autor# M$ en C$ %ubén &eláz'uez Cue(as

Compensación y Observadores

)i*erencia entre el control retroalimentado por la salida y por los estados



C o m p e n s a c i ó n y O b s e r v a d o r e s | 3 0 d e o c t u b r e d e 2 0 1 5

En la figura 1 se observa que al aplicar la señal de control definida anteriormente se obtiene:

( )( ) ( )= − t t x A BK x

Figura 1. Sistema de control en lazo cerrado con ( ) ( )= −u t t Kx

De donde se sabe que la solución a la ecuación diferencial está descrita mediante la forma autónoma:

( )( ) (0)−= t t e A BKx x

En consecuencia, el algoritmo de control descrito mediante ( ) ( )= −u t t Kx funciona como regulador, debido a que

las respuestas temporales de todos los estados convergen a cero (ya que es el único punto de equilibrio para unsistema lineal) y la señal de referencia es nula ( u solo depende de los estados y no de un valor deseado en los estadoso en la salida).

DISEÑO DE COMPENSADORES POR RETROALIMENTACIÓN DE ESTADOS

De la ecuación de estados y su solución descrita mediante el algoritmo regulador, se observa que tanto la estabilidadcomo la respuesta transitoria dependerán de los valores propios de lazo cerrado µ , obtenidos a partir de la ecuación

característica de ( )−A BK . Es decir:

( ) ( )1 2 21 2 2 1

1

det α α α α α µ − −− −

=

− + = + + + + + + = −∏n

n n nn n n i

i

s s s s s s sI A BK

Comparando con los polinomios característicos del sistema de control con compensador y sin compensador:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 21 1 2 2det det α α α − −− + − − = + − + − + + −n n n

n ns s s a s a s aI A BK I A

Se observa que el compensador regulador en realidad ajusta los coeficientes del polinomio característico inicialespara obtener los valores propios de lazo cerrado arbitrarios.



3


Sin pérdida de generalidad, considérese el caso en que un sistema LTI de orden 3n = esta descrito mediante laecuación de estados en su forma canónica controlable:

1 1

2 2

3 3 2 1 3

0 1 0 0

0 0 1 0

1

x x

x x u

x a a a x

= + − − −

Donde evidentemente el polinomio característico presenta la forma:

( )( )( )3 21 2 3 1 2 3 0s a s a s a s s sλ λ λ + + + = − − − =

Supóngase además que se desea diseñar un compensador por retroalimentación de estados para ubicar los valores

propios en lazo cerrado de forma arbitraria en: { }1 2 3, , µ µ µ

Por lo tanto, se define el algoritmo de control:

[ ]

1

1 2 3 2

3

= − = −

x

u k k k x x

Kx

Sustituyendo en la ecuación de estados se obtiene ( )= −x A BK x, es decir:

[ ]1 1

2 1 2 3 2

3 3 2 1 3

0 1 0 0

0 0 1 0

1

= − − − −

x x

x k k k x

x a a a x

O bien:

( ) ( ) ( )

1 1 1

2 2 2

3 3 2 1 1 2 3 3 3 1 2 2 1 3 3

0 1 0 0 0 0 0 1 0

0 0 1 0 0 0 0 0 1

= − = − − − − + − + − +

x x x

x x x

x a a a k k k x a k a k a k x

Obteniéndose el polinomio característico deseado:

( ) ( ) ( ) ( )( )( )3 21 3 2 2 3 1 1 2 3 0 µ µ µ + + + + + + = − − − =s a k s a k s a k s s s

O bien:

( )( )( )3 21 2 3 1 2 3 0s s s s s sα α α µ µ µ + + + = − − − =

Donde: ( )1 1 3 ;α = +a k ( )2 2 2 ;α = +a k ( )3 3 1 ;α = +a k



+


Por lo tanto, la matriz de ganancias de retroalimentación de estados se calcula mediante:

[ ] ( ) ( ) ( )1 2 3 3 3 2 2 1 1α α α = = − − − k k k a a aK

Ejemplo 1.

El modelo linealizado alrededor del punto de equilibrio para un sistema barra – esfera es:

1 1

2 2

0 1 0

0 0 1

= +

x xu

x x

Diseñar un compensador por retroalimentación de estados para ubicar los valores propios de lazo cerrado en

1 1 j µ = − + ; 2 1 j µ = − − y determinar la respuesta autónoma del sistema compensado para las condiciones

iniciales:

1

2

(0) 1

(0) 0

x

x

=

Solución:

Nótese que las ecuaciones de estado están tanto en la forma canónica controlable como en la forma canónica deJordán, de donde se observa que el sistema es de estado completamente controlable. Por otro lado, el polinomiocaracterístico del sistema está dado por:

( ) 2 21 2det − = + + =s s a s a sI A

Es decir: 1 2 0= =a a

Mientras que el polinomio característico deseado es:

( )( )2 21 2 1 1 2 2α α + + = + − + + = + +s s s j s j s s

Donde: 1 2 2α α = =

Por lo tanto, el compensador por retroalimentación de estados se determina mediante ( )= −x A BK x, es decir:

[ ]1 11 2

2 2

0 1 0

0 0 1

= −

x xk k

x x

Donde la matriz de ganancias de retroalimentación de estado es:

[ ] ( ) ( ) [ ]1 2 2 2 1 1 2 2α α = = − − = k k a aK



"


Por lo tanto, el sistema de control compensado resultante es:

1 1

2 2

0 1

2 2

= − −

x x

x x

Calculando la MTE para determinar la respuesta autónoma con las condiciones iniciales establecidas:

[ ]{ } ( )( )

11 12

2 1 sin cos sin1( )

2 2 sin cos sin2 2

− −−− −

− −

+ + Φ = − + = = − − −+ +

t t

t t

s e t t e t t s

s e t e t t s sI A BKL L

Finalmente, la respuesta a las condiciones iniciales está dada por:

( )( )

( )1

2

1sin cos sin sin cos02 sin cos sin 2 sin

t t t

t t t

x e t t e t e t t

x e t e t t e t

− − −

− − −

+ + = = − − −

En la figura 1 se muestran las respuestas temporales de los estados para las condiciones iniciales establecidas.

Figura 1. Respuesta a las condiciones iniciales para el sistema del ejemplo 1

Como se observa, el diseño del sistema de control por retroalimentación de estados anterior se realizó aprovechandola forma canónica controlable. Sin embargo, en la mayoría de los casos la representación en espacio de estados en unsistema no necesariamente se encuentra en una forma canónica. Por lo tanto, si se desea aplicar la mismametodología para el diseño del compensador por retroalimentación de estados, es necesario considerar la matriz detransformación de similitud que proporciona la forma canónica controlable.

Para ello considérese un sistema representado mediante sus ecuaciones en espacio de estados en su forma canónicacontrolable:

= + uC Cz A z B

Como ya se demostró, en este caso la señal de control se define mediante la retroalimentación de estados:

=u CK z

Donde: ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1α α α α − −= − − − − n n n na a a aCK



,


Obteniéndose el sistema de control regulado:

( )= −C C Cz A B K z

Para obtener la matriz de ganancias por retroalimentación de estado para el sistema original se tiene que: 1 ;−= Cz T x

1−=C C CA T AT y 1−=C CB T B

Sustituyendo en el sistema canónico compensado se tiene:

( )1 1 1 1− − − −= −C C C C C CT x T AT T BK T x

Por lo tanto:

( ) ( ) ( )1 1 1 1− − − −= − = − = −C C C C C C C Cx T T AT T BK T x A BK T x A BK x

Donde: 1−= C CK K T

Ejemplo 2.

Calcular la matriz de ganancias de retroalimentación de estados para sistema de control por regulación descrito porlas ecuaciones de estado:

1 1

2 2

1 4 1( )

3 2 1

− = +

x xu t

x x

Si los polos de lazo cerrado deseados se localizan en 1 2 2 µ µ = = −

Solución:

Obsérvese que el sistema no está en forma canónica alguna. Por lo tanto, se debe comprobar la controlabilidadcompleta de estado antes de calcular la matriz de retro de estados:

( )1 3

rank 21 1

− = = −

Mc Mc

A continuación, se calcula la matriz de transformación de similitud para obtener la forma canónica controlable:

1 3 3 1 6 1*

1 1 1 0 4 1

− − − = =

− − CT Mc P

Por lo tanto: 1 0.5 0.5

2 3−

=

CT



-


Posteriormente, se calculan los coeficientes del polinomio característico para el sistema no compensado ycompensado respectivamente:

No compensado: ( ) 2 21 2

1 4det 3 10

3 2

− −− = = − − = + +

− −

ss s s s a s a

sI A

Compensado (con polos deseados): ( )2 2 2

1 22 4 4 α α + = + + = + +s s s s s

Por lo tanto, la matriz de retroalimentación de estados para el sistema original (que no está en forma canónicacontrolable) es:

( ) ( ) [ ] [ ] [ ]1 12 2 1 1 1 2

0.5 0.514 7 21 28

2 3α α − −

= = − − = = =

a a k k C C CK K T T

Finalmente, el sistema de control compensado resultante es:

[ ]1 1 1

2 2 2

1 4 1 22 3221 28

3 2 1 18 26

− = − =

− −

x x x

x x x

Comprobando el polinomio característico del sistema compensado:

( ) ( )( ) ( )( ) 222 32det 22 26 18 32 22 26 572 576

18 26

− −− + = = − + + = − + − +

+

ss s s s s s

sI A BK

( ) ( )22det 4 4 2− + = + + = +s s s sI A BK

Fórmula de AckermanConsidérese un sistema de estado completamente controlable compensado mediante una retroalimentación deestados:

( ) ( )= t t x Ax

Donde: ( )= −A A BK

Del teorema de Cayley – Hamilton se sabe que toda matriz cuadrada satisface su polinomio característico. Por lo

tanto, la matriz A del sistema compensado satisface el polinomio característico deseado:

( ) 11 1α α α −

−= + + + + = n nd n n p A A A A I 0



.


Sin pérdida de generalidad, considérese para el caso en que 3n = y 1r =

( ) 3 21 2 3α α α = + + + =

d p A A A A I 0

Donde:

( ) ( ) ( )2 22 2 2 2

= − = − − + = − − − = − −

A A BK A ABK BKA BK A ABK BK A BK A ABK BKA

( ) ( )( )33 2 3 2 2= − = − − − = − − − A A BK A BK A ABK BKA A A BK ABKA BKA

Sustituyendo en la ecuación característica deseada:

( ) ( ) ( )3 2 2 21 2 3α α α = − − − + − − + − + =

d p A A A BK ABKA BKA A ABK BKA A BK I 0

( ) 3 2 2 21 2 3 1 1 2α α α α α α = + + + − − − − − − =

d p A A A A I A BK ABKA BKA ABK BKA BK 0

Nótese que:

( )3 21 2 3α α α + + + = ≠ d pA A A I A 0

[ ]

21 2

2 2 21 2 1 1

α α α α α α

+ + − + + − + − = − +

KA KA K

B KA KA K AB KA K A B K B AB A B KA KK

Por lo tanto:

( ) ( )

21 2

21

α α α

+ + = − + =

d d p p

KA KA KA A B AB A B KA K 0

K

( )

21 2

21

α α α

+ + = +

d p

KA KA KA B AB A B KA K

K

( )

21 2

121

α α α

−

+ + = +

d p

KA KA KB AB A B A KA K

K



!0


Finalmente:

[ ]29.25 1 10=K

Sustituyendo en la retro de estados se obtiene ( )= −x A BK x, es decir:

[ ]1 1

2 2

3 3

1 1 0 00 1 0 1 29.25 1 10

0 0 2 1

− = − − −

x x x x

x x

1 1

2 2

3 3

1 1 0

29.25 2 10

29.25 1 12

− = − − − − − −

x x

x x

x x

Comprobando el resultado, se tiene que:

( ) 3 21 1 0

det 29.25 2 10 15 57.25 72.5

29.25 1 12

+ −− + = + = + + +

+

ss s s s s

s

I A BK

DISEÑO DE SERVO COMPENSADORES TIPO 1 (COMPENSADOR SEGUIDOR)

Considérese el sistema de control descrito mediante:

= +

=

u

y

x Ax B

Cx

Donde: { }, ;u y 0=D

El diseño de compensadores por retroalimentación de estados también se puede utilizar para resolver problemas decontrol por seguimiento. Lo anterior sucede cuando la señal de referencia es una constante que se puede ajustar adiferentes valores fijos durante distintos intervalos de tiempo; para lo cual se analizan dos casos generales:

1. Cuando el sistema es clase uno

2. Cuando el sistema es clase cero



!!


Compensador seguidor tipo 1 para sistemas clase 1

Sin pérdida de generalidad, considérese que para un sistema de orden 3=n la salida se describe mediante:

[ ] [ ]1

2

3

1 0 0 0

= +

x

y x u

x

En la figura 2 se muestra el sistema de control por seguimiento con retroalimentación de estados cuando la planta esclase uno; o bien, la variable de salida se puede asociar con un valor propio en el origen.

Figura 2. Sistema de control por seguimiento tipo 1 para una planta clase 1.

De la figura se observa que el algoritmo de control está descrito mediante:

( ) [ ]1

2 2 3 3 1 1 1 2 3 2 1

3

= − − + − = − +

x

u k x k x k r x k k k x k r

x

Es decir:

1= − +u k r Kx

Nótese que si ( )r t es una función escalón y se define ( ) ( ) ( )= − ∞t t e x x se obtiene:

( )= −e A BK e

De donde se observa que la matriz de ganancias K se calcula del mismo modo que para el caso del controladorregulador



!


Ejemplo 4.

Determinar el algoritmo de control por retroalimentación de estados para el control por seguimiento para unservomecanismo (case 1) descrito por las ecuaciones de estado:

[ ] [ ]

1 1

2 2

3 3

1

2

3

0 0 0 1

0 1 0 1

0 0 2 1

1 0 0 0

= − + −

= +

x x

x x u

x x

x

y x u

x

Si se desea ubicar los polos de lazo cerrado en: 1 2 2 ; µ = − + j 2 2 2 ; µ = − − j y 3 8 µ = −

Solución:

Claramente, de la forma canónica diagonal se observa que el sistema es de estado completamente controlable. Por

otro lado, el polinomio característico deseado es:

( )( )( ) 3 2( ) 2 2 2 2 8 12 40 64= + − + + + = + + +d p s s j s j s s s s

Por lo tanto, la matriz de ganancias de retroalimentación de estados está dada por:

[ ]

11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 1 1 1 1 0 1 0 12 0 1 0 40 0 1 0 64 0 1 0

1 2 4 0 0 8 0 0 4 0 0 2 0 0 1

− = − − + + − + − − −

K

[ ] [ ]1 2 3 32 35 12= = −

k k k K

Finalmente, el algoritmo de control tiene la forma:

[ ]1

2

3

( ) 32 35 12 32 ( )

= − − +

x

u t x r t

x



!3


Compensador seguidor tipo 1 para sistemas clase 0

Si el sistema de lazo abierto no tiene polos en el origen, para eliminar el error en estado estacionario provocado poresta situación, se combinan la retroalimentación de estados y la retroalimentación de la salida agregando unalgoritmo integral en lazo directo con el sistema retroalimentado por los estados, como se muestra en la figura 3.

Figura 3. Sistema de control por seguimiento tipo 1 para una planta clase 0

En este caso, el orden del sistema se vuelve de 1+n , definiendo el algoritmo de control mediante:

= − +

= − = − + I I

I

u k x

x r y r

KxCx

Por lo tanto, el sistema de control se puede reescribir entonces mediante las ecuaciones de estado:

0 0 1

= + + − I I

u r x x

x xA 0 B 0C

Nuevamente, considerando ( )r t como una función escalón y definiendo:

( ) ( )= − ∞e t x x x

( ) ( )= − ∞ Ie I I x x t x

( ) ( )= − ∞eu u t u

Se obtiene la ecuación de orden 1+n :

0 0

= +

−

e ee

Ie Ie

u x x

x xA 0 B

C



!"


Solución:

Obsérvese que el sistema es el mismo del ejemplo 2, pero ahora se desea obtener el sistema de control por

seguimiento tipo uno. Primeramente se redefine el sistema de ecuaciones ˆ ˆ ;= + eue Ae B donde:

1 4 0

ˆ 3 2 0 ;01 1 0

= = − −

A 0A C

1ˆ 1

00

−

= =

BB

Evaluando la controlabilidad se obtiene:

( ) 1

1 3 1 0.5 0.5 1

ˆ ˆ ˆ1 1 7 ; rank 3; 0.2 0.2 0.30 2 4 0.1 0.1 0.1

−

− − −

= − = = − −

C C CM M M

Por otro lado, el polinomio característico deseado está dado por la ubicación de los polos de lazo cerrado deseados:

( )( )( ) 3 2( ) 2 2 2 2 8 12 40 64= + − + + + = + + +d p s s j s j s s s s

Finalmente, la matriz de ganancias de retroalimentación y la ganancia integral calculadas por la fórmula deAckerman son:

[ ]49 76 0 13 12 0 1 4 0 1 0 0

ˆ 0.1 0.1 0.1 57 68 0 12 9 16 0 40 3 2 0 64 0 1 0

4 4 0 2 2 0 1 1 0 0 0 1

= − + + + − − −

K

[ ] [ ]1 2ˆ 61.4 76.4 6.4 I k k k = − = −K

Es decir:

[ ]61.4 76.4 ; 6.4= = I k K

Finalmente, en la figura 4 se muestra el esquema de control por seguimiento resultante, mientras que en la figura 5 se

muestran las respuestas para una señal de entrada escalón unitario, correspondientes al sistema antes y después decompensarlo mediante el esquema mostrado en la figura 4.



!,


Figura 4. Sistema de control por seguimiento para el ejemplo 5

Figura 5. Respuesta al escalón unitario antes y después de compensar el sistema del ejemplo 5

Nota: Las ecuaciones del sistema de control en lazo cerrado se obtienen mediante:

[ ]0 0 1

= − − + − I

I I k r x x

x xA 0 B 0KC

[ ]00

= +

I

y r x

x 0C



!-


Es decir:

1 1

2 2

62.4 80.4 6.4 0

58.4 74.4 6.4 0

1 1 0 1

− = − − + − I I

x x

x x r

x x

[ ]1

2

01 1 0 0

0

= − + I

x x y r

x

Principio de separación cuando el estado no es completamente controlable

Es fundamental no olvidarse que las ecuaciones de estado LTI suelen ser el resultado de aproximaciones linealesalrededor de algún punto o intervalo de operación. Para ello supóngase que el sistema descrito por las ecuaciones de

estado contiene ℓ estados no controlables y en consecuencia la matriz de controlabilidad CM es de rango − ℓn ;

es decir:

( )2 1rank − = − ℓn nB AB A B A B

Para el caso en que se tiene una entrada la matriz CM es cuadrada, lo que significa que es una matriz singular.

El principio de separación consiste en separar la parte controlable del sistema de la no controlable se construye una

matriz de transformación CCM tomando como base la matriz de controlabilidad y remplazando las ℓ columnas (o

filas) linealmente dependientes por otras linealmente independientes, las cuales se seleccionan de forma arbitraria. Elsistema similar resultante separa la parte controlable de la parte no controlable de la forma:

11 12 1

21 22 2

u

= +

C C

NC NC

A A Bx xA A Bx x

Donde:

11 12 11 1

21 22 2

;− −

= =

CC CC CC

A A BM AM M BA A B

Tanto el par de matrices { }11 1,A B junto con el vector Cx corresponden a la parte controlable del sistema mientras

que el par { }22 2,A B junto con el vector NCx corresponden a los estados no controlables. Por lo tanto, el diseño dela retro de estados para sistema separado está condicionado a que la parte no controlable sea estabilizable. De locontrario no tiene sentido alguno utilizar una retro de estados ya que el sistema será inestable para cualquier retro deestados propuesta.



!.


Por lo tanto, si el algoritmo de control para la parte controlable:

11 1= + uC Cx A x B

Se calcula mediante:

= −u C CK x

Entonces, la matriz de ganancias de retroalimentación del sistema transformado se define como:

[ ]

= −

u CC

NC

xK 0

x

Como se observa, las ganancias correspondientes a los estados no controlables se multiplican por cero ya que éstosno se pueden modificar en lazo cerrado.

Finalmente, tomando en cuenta que el sistema similar se obtiene de:

1

−

= = C C

CC CCNC NC

x xx M M xx x

Entonces, la matriz de ganancias por retro de estado para el sistema original (no separado) se calcula mediante:

[ ] 1−= C CCK K 0 M

Ejemplo 6.

Considérese el sistema descrito por las EE:

1 1

2 2

3 3

0 0 0 1

0 4 0 00 0 1 1

−

= − + −

x x

x x u

x x

Donde se observa que el sistema no es de estado completamente controlable con respecto al valor propio en 4− ; esdecir:

( )1 0 0

0 0 0 ; rank 2

1 1 1

− = = −

C CM M

Como se observa la segunda fila de la matriz de controlabilidad es linealmente dependiente y por lo tanto la matrizCM es singular. Obsérvese que el valor propio asociado al estado no controlable es estable. Es decir que el estado

no controlable es estabilizable. Calcular la matriz de retro de estados para la parte controlable, ubicando lo polos de

lazo cerrado en 1 22 ; 2 µ µ = − + = − − j j



!/


Solución:

De la matriz de controlabilidad se modifica la fila linealmente dependiente por otra que sea linealmenteindependiente para obtener la matriz no singular:

1

1 0 0 1 0 0

0 0 1 1 1 1

1 1 1 0 1 0

−

− − = = − − −

CC CCM M

Donde CCM es la matriz de controlabilidad modificada. Posteriormente, se utiliza CCM como matriz de

transformación de similitud:

1 1

0 0 0 1

1 1 3 ; 0

0 0 4 0

− −

= − − = −

CC CC CCM AM M B

Como se observa, la parte no controlable queda aislada en el bloque inferior derecho, por lo que se procede a calcularla matriz de retro de estados para la parte controlable. El polinomio característico de lazo cerrado es:

( )( ) 2 21 2( ) 2 2 4 5 α α = + + + − = + + = + +d p s s j s j s s s s

Por fórmula de Ackerman:

[ ] [ ]1 0 0 0 0 0 1 0

0 1 4 5 3 20 1 1 1 1 1 0 1

= + + = − −

CK

Por lo tanto, la matriz de retro de estados para el sistema original es:

[ ] [ ]1 0 0

3 2 0 1 1 1 5 2 2

0 1 0

− = − − = − −

K

Finalmente, aplicando la retro de estados se obtienen los polos de lazo cerrado (controlables y no el controlable):

( ) [ ]0 0 0 0 0 1 5 2 2

det 0 0 0 4 0 0 5 2 2 0 4 0

0 0 0 0 1 1 5 2 1

− + − − + = − − + − − = + − − −

s s

s s s

s s

I A BK

( )( ) ( )( )( )3 2 28 21 20 4 5 4 2 2 4= + + + = + + + = + − + + +s s s s s s s j s j s



0


OBSERVADORES DE ESTADO

En el método de ubicación de polos mediante la retroalimentación de estados se asume que todos los estados estánaccesibles y se pueden medir. Sin embargo, en la práctica no todos los estados suelen estar disponibles para suretroalimentación o bien su medición resulta costosa; por lo que es necesario diseñar un algoritmo dinámico quepermita estimar los estados en lugar de medirlos. El algoritmo estimador que reconstruye el estado del sistema seconoce también como observador de estados.

Para ello, considérese el sistema descrito en la figura 6(a), cuyas ecuaciones de estado son:

= +

=

u

y

x Ax BCx

Figura 6. (a) DSA de un sistema LTI y (b) DSA del algoritmo observador de estados

Como se observa en la figura 6(b), en el modelo matemático del observador se considera una copia del sistema conlos estados y la salida estimados más un factor de corrección para compensar las imprecisiones que se pudieran

presentar en las matrices de estados A y B , así como la diferencia entre las condiciones iniciales del sistema y delobservador. Las ecuaciones que describen el comportamiento del observador son:

( )= + + −

=

eu y y

y

x Ax B K

Cx

Nótese que las entradas del observador son la señal de entrada u y la salida del sistema y , mientras que las salidas

del observador son los estados estimados x



!


Comparando la ecuación de estados del sistema con la ecuación del observador se obtiene:

( ) ( )− = − − − e y yx x A x x K

Dado que ;= y Cx = y Cx y definiendo = − e x x se obtiene entonces la ecuación del error de estimación del

observador:

( )= − ee A K C e

Como se observa, la ecuación resultante es congruente con el problema de diseño de un regulador, donde se

selecciona la dinámica de estimación para que →x x; es decir 0→e

Ejemplo 7.

Diseñar el observador de estados tal que la dinámica del observador se describa mediante los polos del observador

{ }1 2 3, ,η η η si el sistema se describe mediante las ecuaciones de estado:

[ ]

1 3 1

2 2 2

3 1 3

1

2

3

0 0 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

− = − + −

=

x a x

x a x u

x a x

x

y x

x

Solución:

Para que se pueda construir el observador de estados, primero es necesario verificar la observabilidad completa delsistema mediante:

12 2

1 1

0 0 1

0 1

1

= = − −

a

a aO

CM CA

CA

De donde se observa que ( )det 1= −OM por lo que el sistema es de estado completamente observable; es decir:

( )rank 3=OM

Lo siguiente es obtener el polinomio característico deseado:

( ) ( )( ) ( ) 3 21 2 3 1 2 3det η η η γ γ γ − + = − − − = + + +es s s s s s sI A K C




Por otro lado, nótese que el sistema descrito por las ecuaciones de estado está en forma canónica observable. Por lotanto se obtiene la matriz:

( ) [ ]3 1 3 1

2 2 2 2

1 3 1 3

0 0 0 0

1 0 0 1 1 0 0

0 1 0 1 0 0

− + = − + = − + − + − +

e e

e e e

e e

s a k s a k

s s a k s a k

s a k s a k

I A K C

( )3 1

2 2

1 3

0

1

0 1

+ − + = − + − + +

e

e e

e

s a k

s s a k

s a k

I A K C

Por lo tanto:

( ) ( ) ( ) ( )3 1

3 22 2 1 3 2 2 3 1

1 3

0

det 1

0 1

+

− + = − + = + + + + + +

− + +

e

e e e e e

e

s a k

s s a k s a k s a k s a k

s a k

I A K C

Comparando los polinomios obtenidos se obtiene:

( )1 1 3 ;γ = + ea k ( )2 2 2 ;γ = + ea k ( )3 3 1γ = + ea k

Finamente, la matriz de ganancias del observador se obtiene mediante:

1 3 3

2 2 2

3 1 1

γ γ γ

− = = − −

e

e e

e

k a

k a

k a

K

Cuando el sistema no se encentra en la forma canónica observable, es posible determinar la matriz de ganancias del

observador mediante la transformación de similitud = Ox T z de modo que se obtiene el sistema en la forma

canónica observable:

= +

=

u

yO O

O

z A z BC z

Donde:

1 ;−=O O OA T AT 1 ;−=O OB T B ;=O OC CT ( ) 1

−=O OT P M

Por lo tanto, el observador del sistema en la forma canónica observable es:

( )= + + − eu y yO O Oz A z B K



3


Donde:

2 2

1 1

γ

γ γ

− = −

−

n n

e

a

a

a

OK

Por otro lado, la correspondiente ecuación del error para la forma canónica observable es:

( )= − eO O O O Oe A K C e

Finalmente, la matriz de ganancias del observador para el sistema original (que generalmente no está en la forma

canónica observable) se obtiene tomando en cuenta la transformación: ( ) ( )1 1− −− = = = − O O Oz z e T e T x x

obteniéndose:

( )1 1 1− − −= − eO O O O O OT e T AT K CT T e

Por lo tanto:

( )= − ee A K C e

Donde:

=e eO OK T K

Es decir, aunque las ecuaciones de estado no estén en la forma canónica observable la matriz eK se puede

determinar calculando la solución eOK para la forma canónica observable y posteriormente pre-multiplicando la

matriz de transformación OT

También es posible aplicar la fórmula de Ackerman considerando el problema dual; es decir, si el par { },A C es

completamente observable, entonces el par { },T T A C es completamente controlable y en consecuencia, la

transpuesta de la matriz de ganancias del observador se calcula mediante:

[ ] ( )10 0 1

− = T T T e d pO OK M A

Donde ( )d p sO es el polinomio característico deseado del observador. Finalmente:

= T T

e eK K



+


Ejemplo 8.

Diseñar el observador completo de estado para el sistema descrito por:

[ ]

1 1

2 2

3 3

1

2

3

0 1 0 0

0 1 200 0

0 5 100 10

0.21 0 1

= − + − −

= −

x x

x x u

x x

x

y x

x

Si los polos del observador se desean ubicar en 1 4 ;η = − + j 2 4 ;η = − − j 3 8η = −

Solución:

Primero se comprueba la observabilidad mediante:

2

0.21 0 00 0.21 0

0 0.21 42

− = = − −

O

CM CA

CA

Donde: ( ) ( )det 1.8522; rank 3= − =O OM M

A continuación el cálculo de la matriz eK :

1) Por el método de la matriz de transformación OT

( )

1

1

1100 101 1 0.21 0 0 0 0 4.7619

101 1 0 0 0.21 0.21 0 4.7619 480.9524

1 0 0 0 0 42 0.0238 2.3810 214.2857

−

− − − = = − = − − − −

O OT P M

1

231 21 42

21.21 0.21 0

0.21 0 0

−

− − − = − − −

OT

Por lo tanto:

1

0 0 0

1 0 1100 ;

0 1 101

−

= = − −

O O OA T AT



"


Es decir:

( ) 3 21 2 3det 101 1100 101; 1100; 0− = + + = = =s s s s a a aI A

Mientras que el polinomio característico deseado está dado por:

( ) ( )( )( ) 3 2det 4 4 8 16 81 136− + = + − + + + = + + +s s j s j s s s seI A K C

1 2 3 16; 81; 136γ γ γ = = =

Por lo tanto:

0 0 4.7619 136 404.7619

0 4.7619 480.9524 1019 36028.5715

0.0238 2.3810 214.2857 85 15784.8571

− = = − − = − − − −

e eO OK T K

2) Por el método de Ackerman

[ ] ( ) ( ) ( )3 21

0 0 1 16 81 136− = + + +

T T T T T e OK M A A A I

404.7619

36028.5715

15784.8571

= −

eK

Para visualizar la forma en que los estados estimados convergen a los estados reales, en la figura 7 se presenta lacomparación gráfica entre ambos. Para ello, se consideran condiciones iniciales nulas en el observador y para el

sistema real las condiciones iniciales siguientes: 1 2 32(0) ; (0) 0; (0) 0π = − = = x x x

Figura 7. Gráficas de los estados reales vs los estados estimados del ejemplo 8



,


Nótese que la estimación al principio difiere de manera tal que el error primero va en aumento antes de corregirse ytender hacia cero en un tiempo finito de aproximadamente de 2 segundos. El error de estimación inicial se puedemejorar seleccionando una ubicación distinta para los polos del observador. Lo anterior se concluye tras analizar losvalores propios del sistema original. Para el sistema del ejemplo 8, los valores propios del sistema a observar son

1 0;λ = 2 12.4179;λ = − 2 88.5821;λ = − es decir que con excepción del polo en el origen que está relacionado

con la posición angular, el sistema original presenta una dinámica más rápida para la velocidad y la corriente dearmadura en comparación con la dinámica propuesta para el observador. Por lo tanto, si se proponen nuevos polospara el observador con el propósito de mejorar la estimación, se deben considerar polos con dinámica similar o másrápida que la del sistema observado. Ubicando los nuevos polos del observador de forma arbitraria con la condiciónde mejorar la velocidad de respuesta con respecto al sistema original, se proponen:

1 110;η = − 2 30;η = − 3 15η = −

En la figura 8 se puede observar notablemente el cambio o mejora en la estimación de los estados.

Figura 8. Estimación de estados mejorada del ejemplo 8

Con la nueva ubicación de polos del observador se obtiene la matriz de ganancias:

257.1428

5495.2380

2511.9047

− = −

eK

En la práctica se debe tener cuidado al momento de seleccionar las ganancias del observador de estados,principalmente si se sabe que la señal de salida está contaminada de manera significativa por perturbaciones o ruidoen las mediciones; en cuyo caso una alta ganancia amplificará el ruido, por lo que utilizar directamente la señal desalida suele ser poco confiable sin un proceso de acondicionamiento o filtrado previo.



-


COMPENSADOR CON OBSERVADOR DE ESTADOS

Cuando se diseña un compensador por retro de estados, la hipótesis principal que se asume es que todos los estadosson medibles y están a disposición. Sin embargo, como ya se mencionó, en la práctica el estado de un sistema puedeno estar disponible para su medición y por lo tanto se recurre al uso de un observador de estados. En la figura 9 sepresenta el esquema de un sistema de control regulador que retroalimenta los estados obtenidos mediante unobservador de estados.

Figura 9. Sistema de control por retro de estados con observador

Cuando el sistema es de estado completamente controlable y completamente observable, la ley de control estádefinida mediante:

= − u Kx

Al aplicarlo a las ecuaciones de estado se tiene que:

( ) ( )= − = − + − = − + − x Ax BKx Ax BKx BKx BKx A BK x BK x x

Recordando que ( ),= − e x x se tiene:

( )= − +x A BK x BKe

( )= − ee A K C e



.


Por lo tanto, se obtiene la representación de estados:

− = − e

A BK BKx x0 A K Ce e

La cual describe la dinámica del sistema de control compensado – observado, cuya ecuación característica estádescrita por:

det 0 − + −

= − + − + = − + e

e

ss s

s

I A BK BKI A BK I A K C

0 I A K C

Es decir, los polos del sistema de control retroalimentado – observado son el resultado del diseño por ubicación depolos del compensador y por el diseño de ubicación de polos del observador de forma independiente, por lo queambos de diseñan por separado. No está de más decir que primero se hace el diseño del compensador yposteriormente se diseña el observador proponiendo sus polos de dos a cinco veces más alejados del eje imaginariopara que la estimación converja antes que la compensación.

Ejemplo 9.

Considérese el sistema de un péndulo simple que consta de una fuente de energía que impulsa el movimiento delpéndulo desde el extremo del mismo, como se ilustra en la figura 10.

Figura 10. Esquema de un péndulo con entrada en el extremo

Diseñar un compensador que mantenga en posición horizontal el péndulo en presencia de perturbaciones,considerando que solo se puede medir como salida la posición angular. La ecuación de equilibrio del sistema estádada por:

2

sinθ θ θ + + =

ℓ ℓ ℓm b mg f

Donde: [ ]0.25 kg ;=m 2m

;seg

9.81

=g [ ]0.5 m ;=ℓ Nm*segrad

0.15

=b



/


Solución:

Definiendo los estados y la entrada como 1 ;θ = x 2 ;θ = x =u f se obtienen las ecuaciones de estado no lineales:

( )

( )

( )

1 1 1 2 2

2 2 1 2 1 22

1 2 1

, ,

1, , sin

, ,

= =

= = − − +

= =ℓ ℓ ℓ

x f x x u x

g b x f x x u x x u

m m y g x x u x

Por otro lado, el punto de equilibrio es [ ]1 2 rad ;π =eq x [ ]2 0 rad/seg ;=eq x por lo tanto:

[ ]2.4525 N= =equ mg

De ese modo:

( )

( )

1 1 2 ,

2 1 2 ,

, , 0

, , 0

=

=

eq eq

eq eq

x u

x u

f x x u

f x x u

Por lo tanto, el modelo linealizado alrededor del punto de equilibrio descrito es de la forma: ;= + ux Ax B donde:

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

1 1 2 1 1 2 1 1 21 2

2 1 2 2 1 2 2 1 2,1 2 ,

, , , , , ,;

, , , , , ,

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ eq eqeq eq x u x u

f x x u f x x u f x x u x x u

f x x u f x x u f x x u x x u

A B

( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2,1 2 ,

, , , , ; , , ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ eq eqeq eq x u x u

g x x u g x x u g x x u x x u

C D

Finalmente, el modelo linealizado alrededor del punto de equilibrio está dado por:

[ ] [ ]1 11

2 22

0 1 0; 1 0 0

0 2.4 8

= + = + −

x x xu y u

x x x

A continuación, para diseñar el compensador y posteriormente el observador, se verifican la controlabilidad y laobservabilidad del sistema linealizado:

0 8 ;8 19.2 = −

CM 1 0 ;0 1 =

OM

Como se observa, las matrices CM y OM son no singulares



3!


(b)

Figura 11. (a) Diagrama de SIMULINK para simular la solución del ejemplo 9 (b) gráficas comparativas resultantesentre estados reales (azul) y estados estimados (rojo)

Nota: Para simular el sistema se introducen condiciones iniciales diferentes de cero en el modelo de la planta, perocercanas al punto de linealización (punto de equilibrio) y posteriormente se introduce una pequeña perturbación.

OBSERVADOR DE ORDEN MÍNIMO

Como se ha mencionado, la tarea de un observador consiste en reconstruir todo el estado a partir de la medición de lasalida. Sin embargo, en la práctica alguno de los estados suele ser medible y usualmente suele ser aquel del quedepende explícitamente la salida. De ese modo, no es necesario estimar el estado que ya es medible por lo que sediseña un observador de menor orden y no de estado completo para estimar el resto de los estados no medibles.Suponiendo que el sistema tiene n – estados y m – salidas medibles. Por lo tanto, el sistema no necesita medir las m –variables de salida que son el resultado de la combinación lineal de los n – estados por lo que solo se necesitanestimar ( n – m ) – estados. Finalmente, el observador de orden reducido ( n – m ) se conoce como observador de ordenmínimo. En la figura 12 se muestra el esquema de un sistema de control retroalimentado por estados con observadorde orden mínimo.

Figura 12. Esquema de sistema de control con observador de orden mínimo



3


Para analizar la construcción del observador de orden mínimo, considérese el sistema con 1;=m y 1;=r descrito

por las ecuaciones de estado:

= +

a aa ab a a

b ba bb b b

x A x Bu

Ax A A x B

[ ]1 =

a

b

x y 0 x

Donde a x es el estado medible y bx son los ( 1)−n estados que el observador deberá estimar. La ecuación de

estados de la parte medible se representa entonces mediante:

= + +a aa a ab b a x A x B uA x

O bien, separando los términos medibles de los no medibles, se obtiene la ecuación:

− − =a aa a a ab b x A x B u A x

La cual actúa como una ecuación de salida ya que relaciona las cantidades medibles con las no medibles. Por otrolado, la ecuación correspondiente a la parte no medible se describe mediante:

= + +b ba a bb b b x ux A A x B

De donde los términos ;ba a xA y buB son cantidades conocidas. Para construir el observador de orden mínimo se

consideran las equivalencias mostradas en la tabla 1, la cual muestra una comparación entre los elementos delobservador de orden completo y el observador de orden mínimo.

Observador de estado completo Observador de orden mínimo

x bx

A bbA

uB +ba a b x uA B

y − −a aa a a x A x B u

C abA 1×n

eK ( 1) 1− × neK

Tabla 1. Elementos sustitutos para escribir la ecuación del observador de orden mínimo

Por lo tanto, si la ecuación del observador de orden completo tiene la forma:

( )= − + + e eu yx A K C x B K



33


Al hacer las correspondientes sustituciones para el observador de orden mínimo se tiene:

( ) ( )= − + + + − − b bb e ab b ba a b e a aa a a x u x A x B ux A K A x A B K

Al pasar los términos derivativos de un solo lado de la igualdad se tiene:

( ) ( ) ( )− = − + − + − b e a bb e ab b ba e aa a b e a x A x B ux K A K A x A K B K

Definiendo: ;− = − =b e a b e x yx K x K w y por lo tanto ;− = − = b e a b e x yx K x K w se puede reescribir la

ecuación del observador de orden mínimo mediante:

( ) ( ) ( )= − + − + − + − bb e ab bb e ab e ba e aa b e a A y B uw A K A w A K A K A K B K

Finalmente, definiendo las matrices:

;= −bb e abA A K A

= + −e ba e aa AB AK A K

= −b e a BF B K

La ecuación del observador de orden mínimo se convierte en:

= + + y uw Aw B F

Nótese que para calcular la matriz de ganancias del observador de orden mínimo se debe satisfacer la observabilidad

completa con respecto al par de matrices bbA y abA ; es decir:

[ ] ( )1

2

; 0 0 1−

−

= =

ab

ab bb T T T e d bb

nab bb

pOm Om Om

AA A

M K M A

A A

Por otro lado, la salida del observador se define mediante:

[ ]1

1

−

= = = − +

a

b eb b n e

x y y y

0x x Kx x I K

Por lo tanto, definiendo1

;−

=

n

0C I

1;

=

e

D K Se obtiene la ecuación de transformación de w a x :

= + yx Cw D



3+


En la figura 13 se muestra el esquema de un sistema de control retroalimentado de estados observados, basado en unobservador de orden mínimo.

Figura 13. Sistema de control retroalimentado por estados observados,basado en un observador de orden mínimo

Ejemplo 10

Considérese el sistema de un servomotor representado mediante las ecuaciones de estado

1 1

2 2

3 3

0 1 0 0

0 1 200 00 5 100 10

= − + − −

x x

x x u x x

[ ] [ ]1

2

3

1 0 0 0

= +

x

y x u

x

Se desea diseñar el compensador regulador, basado en un observador de orden mínimo considerando que solo la

variable 1 x es medible. Los polos deseados del compensador para regular la posición mediante una respuesta

subamortiguada son 1,2 15 5 ; µ = − ± j 3 60; µ = − mientras que los polos deseados del observador de ordenmínimo se desean en 1 60;η = − 2 120η = −



3"


Solución:

1. La controlabilidad del sistema se comprueba mediante la matriz:

( )0 0 2000

0 2000 202000 ; rank 3

10 1000 90000

= − = −

C CM M

Definiendo 1;=a x x 2

3

;

= b

x

xx así como las matrices:

0 1 0

0 1 200 ;

0 5 100

= − − −

aa ab

ba bb

A AA A

0

0

10

=

a

b

B

B

2. La observabilidad de estado para el observador de orden mínimo se comprueba mediante:

( )1 0

; rank 21 200

= = = −

ab

ab bbOm Om

AM M

A A

3. Calculando la matriz de ganancias del compensador de retro de estados por el método de Ackerman se obtiene:

[ ]7.5 0.4805 1.1= −K

4. La matriz de ganancias del observador de orden mínimo es:

79

9

=

− eK

5. Finalmente, calculando las matrices para la ecuación del observador de orden mínimo, así como para latransformación se tienen:

[ ]1 200 79 80 200

1 05 100 9 4 100

− − = − = − − − −

A

[ ]80 200 79 0 79 8120

04 100 9 0 9 1216

− − = + − = − − −

B

( )0 79 0010 9 10 = − = −

F



3,


1

0 0

1 0

0 1−

= = n

0C I

11

799

= = −

eD K

En la figura 14 se muestra un esquema del sistema de control regulador con observador de orden mínimo resultante

Figura 14. Sistema de control regulador con observador de orden mínimo

Ejemplo 11

Considérese el sistema de un servomotor del ejemplo anterior. Diseñar un compensador seguidor tipo 1, basado en

un observador de orden mínimo considerando nuevamente que solo la variable 1 x es medible.



3-


Solución:

Dado que el sistema es clase uno, no es necesario aumentar el estado. Por lo tanto, si se utilizan los mismos polos

deseados del compensador en el ejemplo anterior 1,2 15 5 ; µ = − ± j 3 60; µ = − así como los polos deseados del

observador de orden mínimo 1 60;η = − 2 120;η = − las matrices de ganancias tanto del compensador como del

observador serán respectivamente:

[ ]7.5 0.4805 1.1= −K

79

9

= − eK

Sin embargo, es importante señalar que el observador de orden mínimo solo estima los estados no medibles y que elestado medible (que es la salida) se utiliza como lazo externo de manera similar como se muestra en la figura 2. Porlo tanto, el esquema seguidor tipo 1 con observador mínimo resultante es una modificación del compensador –observador de orden mínimo del ejemplo anterior. En la figura 15 se muestra la primer propuesta para la solución delsistema seguidor tipo 1.

Figura 15. Sistema de control seguidor tipo 1 basado en un observador de orden mínimo: Propuesta 1

Por otro lado, analizando las ecuaciones del observador mínimo, se tiene que:

1

22

33

0 0 179

1 0 799

0 1 9

− = = + = + + −

x x y

x y y x y

x

x Cw D



3.


Por lo tanto, si solo se desea extraer los estados estimados se considera la ecuación:

2 21

3 3

791 0 79

90 1 9−

− = + = + = + −

b n e

x y x y y

x y xx I w K

Finalmente, en la figura 16 se muestra la segunda propuesta del esquema de control de un compensador – seguidorbasado en un observador de orden mínimo.

Figura 16. Sistema de control seguidor tipo 1 basado en un observador de orden mínimo: Propuesta 2

Principio de separación cuando el estado no es completamente observableDe manera similar al cas de la controlabilidad, el problema dual de la no controlabilidad completa aparece tambiénpara el caso en que el sistema no es de estado completamente observable, en cuyo caso existen estados que no sepueden reconstruir y en consecuencia no es posible calcular el observador de estados. Sin embargo es posible diseñarun observador para los estados que son observables, siempre y cuando la parte no observable sea detectable. Para

explicarlo a detalle, supóngase que el sistema descrito por las ecuaciones de estado contiene ℓ estados no

observables y en consecuencia la matriz de observabilidad OM es de rango − ℓn ; es decir:

2

1

rank

−

= −

ℓ

n

n

CCA

CA

CA



3/


Para el caso en que se tiene una salida la matriz OM es cuadrada, lo que significa que es una matriz singular. El

principio de separación consiste en separar la parte observable del sistema de la no observable, de modo que se

construye una matriz de transformación COM tomando como base la matriz de observabilidad y remplazando las ℓ

columnas (o filas) linealmente dependientes por otras linealmente independientes, las cuales se seleccionan de formaarbitraria. El sistema similar resultante separa la parte observable de la parte no observable de la forma:

[ ]

11 12 1

21 22 2

1 2

= +

=

u

y

O O

NO NO

O

NO

A A Bx xA A Bx xx

C Cx

Donde:

[ ]11 12 11 11 2

21 22 2

; ;− −

= = =

CO CO CO CO

A A BM AM C C CM M BA A B

El par de matrices { }11 1,A C junto con el vector Ox corresponden a la parte observable del sistema mientras que el

par { }22 2,A C junto con el vector NOx corresponden a los estados no controlables. Por lo tanto, el diseño del

observador de estados para sistema separado está condicionado a que la parte no observable sea detectable (similaral problema dual, un estado detectable está asociado a un valor propio estable ). De lo contrario no tiene sentidoalguno utilizar un observador de estados ya que no se puede reconstruir el estado para posteriormenteretroalimentarlo. Asumiendo que el estado no observable es detectable, la ecuación del observador de estadosresultante es:

( )= + + −

=

eu y y

yO O O O O O

O O O

x Ax B KC x

Donde eOK es la matriz de ganancias del observador para la parte observable. Por lo tanto, la ecuación del error

para el observador correspondiente a la parte observable (considerando = − O O Oe x x ) es:

( )11 1= − eO O Oe A K C e

Finalmente, tomando en cuenta que el sistema similar se obtiene de:

1 − = =

O O

CO CONO NO

x xx M M x

x x

Entonces, la matriz de ganancias del observador de estado para el sistema original (no separado) se calcula mediante:

=

e

e

OCO

KK M 0



+0


Ejemplo 12

Considérese el sistema descrito por las EE:

[ ] [ ]

1 1

2 2

3 3

1

2

3

0 1 0 0

0 0 1 0

2 1 2 1

2 3 1 2 1 6 0

= + −

= − +

x x

x x u

x x

x

y x u

x

Al analizar la observabilidad del sistema se observa que:

( )2 3 1 2 1 6

1 3 1 2 5 6 ; rank 2

5 3 1 2 7 6

− = − = −

O OM M

Como se observa, la tercera columna de la matriz de observabilidad es linealmente dependiente y por lo tanto la

matriz OM es singular. Determinar si el estado no observable es detectable y en caso de ser cierto, calcular la matriz

ganancias para la parte observable, ubicando lo polos del observador de estados en 1 28; 10 µ µ = − = −

Solución:

Modificando la tercera columna de la matriz de observabilidad para obtener la matriz no singular:

1

2 3 1 2 0 6 7 2 5 2

1 3 1 2 5 6 6 14 3 10 3

5 3 1 2 7 6 6 3 3

−

− − = − = − − − −

CO COM M

Donde COM es la matriz de observabilidad modificada. Posteriormente, se utiliza COM como matriz de

transformación de similitud:

[ ]1

2 0 7 6

2 1 1 9 ; 0 1 2 11 18 ;

0 0 1

−

−

= = −

CO CO COM AM CM

Como se observa, la parte no observable queda aislada en el bloque inferior derecho, mientras que el par { }11 1

,A C

es completamente observable

1

1 11

0 1 2

1 1 2

=

CC A



+!


El polinomio característico deseado del observador es:

( ) ( ) 2 21 2( ) 8 10 18 80 γ γ = + + = + + = + +d p s s s s s s s

Por lo tanto, aplicando la fórmula de Ackerman se obtiene:

[ ] [ ]

1 20 1 2 2 2 2 1 0

0 1 18 80 48 341 2 1 2 0 1 0 1 0 1

− − − = + + =

T eOK

48

34

=

eOK

Por lo tanto, la matriz de ganancias del observador para el sistema original es:

2 3 1 2 0 48 49

1 3 1 2 5 6 34 1

5 3 1 2 7 6 0 97

= − = −

eK

Finalmente, la ecuación del error para el observador de estados está dada por:

1 1

2 2

3 3

98 3 47 2 49 6

2 3 1 2 7 6

188 3 95 2 85 6

− − = − − − −

e e

e e

e e

En la figura 17 se muestra la respuesta del error para condiciones iniciales diferentes de cero:

Figura 17. Respuesta de la señal de error para el observador de estado del ejemplo 12




Problemas propuestos

Considérese el sistema del péndulo invertido de la figura 15

Figura 15. Esquema de un péndulo invertido

Donde las ecuaciones de movimiento linealizadas alrededor del punto de equilibrio inestable 0θ =eq son:

( )θ θ = + −ℓc c pm m m g u

θ = −c c pm x u m g

I. Diseñar un compensador regulador considerando condiciones iniciales diferentes de cero en θ

II. Diseñar un compensador seguidor tipo 1 para la posición del carro c x ; manteniendo regulada la posición del

péndulo invertido. Simular su respuesta para diferentes valores de referencia c xr .

III. Diseñar un observador de estado completo para el sistema de control regulador y simular sus resultados.Obtener las gráficas comparativas entre los estados reales y sus estimados.

IV. Diseñar un observador de estado completo para el sistema de control seguidor tipo 1 y simular sus resultados.Obtener las gráficas comparativas entre los estados reales y sus estimados.

V. Diseñar un observador de orden mínimo considerando que se pueden medir tanto la posición angular delpéndulo como la posición traslacional del carro. Validar sus resultados mediante simulación.

Nota:

29.8 m/seg ; = g [ ]0.5 m ;=ℓ [ ]0.16 Kg ;= pm [ ]0.48 Kg ;=cm

CONTROL MODERNO_6 (1)

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