Conteo de Figuras

5/11/2018 Conteo de Figuras - slidepdf.com

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DEFINICIÓN.- Es el procedimiento mediante elcual se contabiliza la máxima cantidad de figurasde una determinada especie, tales como segmentos,triángulos, cuadrados, cuadriláteros, sectorescirculares, etc.

I. METODOS.- Para determinar la cantidadde figuras se utilizan dos métodos: ConteoDirecto (espacios no alineados) e InducciónMatemática (espacios alineados)

1.1. CONTEO DIRECTO.- Consiste encalcular el número de figuras del tipodeseado procediendo a la numeraciónde todas las figuras simples mediantedígitos y/o letras, posteriormente alconteo ordenado de las figuras de 1

número, al unir 2 números, al unir 3números y así sucesivamente

Ejemplos:

1) Hallar el número de triángulosen la siguiente figura:

A) 10 B) 12 C)14 D)16 E)18

Enumeramos la figura dada yluego procedemos a contar:

De 1 número: 1;2;3;4;5De 2 números: 1a;2a;34;45De 3 números: 1b3;2b5De 4 números: ningunoDe 5 números: 123ab;125abDe 6 números: ningunoDe 7 números: 12345ab

Total de triángulos:

5 + 4 + 2 + 2 + 1 = 14

Rpta C

2) Hallar el número de triángulos en lasiguiente figura:

A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15

Enumeramos la figura dada y luegoprocedemos a contar:

De 1 número: 1;2;3;4;5De 2 números: 12;1a;23;3a;34De 3 números: 234De 4 números: 123a;2345De 5 números: ningunoDe 6 números: ninguno

Total de triángulos:

5 + 5 + 1 + 2 = 13

Rpta C

CONTEO DE FIGURAS



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3) ¿Cuántos cuadriláteros hay en lasiguiente figura?

A) 6 B) 12 C) 13 D) 15 E) 16

Enumeramos la figura dada y luegoprocedemos a contar:

De 1 número: ningunoDe 2 números: 12;23;34;45;56;61De 3 números: 123;234;345;456;561y 612De 4 números: ningunoDe 5 números: ningunoDe 6 números: ninguno

Total de cuadriláteros:

6 + 6 = 12

Rpta B

1.2. INDUCCION MATEMÁTICA.-Este método se emplea paradeterminar en ciertos casos fórmulasdonde la cantidad de figuras a contarparece enorme.

A) Conteo de segmentos, triángulos,

cuadriláteros, ángulos agudos ysectores circulares:

Número de triángulos: ( 1)

#2

n n

Número de segmentos:( 1)

2

n n

Número de cuadriláteros:( 1)

2

n n

Número de ángulos agudos:( 1)

2

n n

Número de sectores circulares:( 1)

2

n n



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Ejemplos:

1) ¿Cuántos triángulos hay en?

A) 12 B) 24 C) 36 D) 78 E) 80

Contamos los espacios alineados para calcular “n”

n = 12

( 1)#

2

n n 12(12 1)

#2

# 78

Rpta D

2) ¿Cuántos segmentos hay en?

A) 6 B) 12 C) 18 D) 21 E) 42

Contamos los espacios alineados para calcular “n”

n = 6

( 1)#

2

n nSegmentos

6(6 1)#

2Segmentos

# 21Segmentos

Rpta D

3) ¿Cuántos cuadrilátero hay en?

A) 20 B) 200 C) 210 D) 221E) 420

n = 20

( 1)#

2

n n

20(20 1)#

2

# 210

Rpta C

4) ¿Cuántos ángulos agudos hay en?

A) 50 B) 250 C) 2500 D) 225 E) 1275n = 50

( 1)#

2

n n

50(50 1)#

2

# 1275

Rpta E

B) Conteo de Triángulos.- Existen dos casos:

CASO 1.- cuando desde un vértice salenlíneas que llegan al lado opuesto y haylíneas paralelas o no a dicho lado

Número de triángulos:

( 1)#2

n n x m

n = número de espacios verticalesm = número de espacios horizontales



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Ejemplo:


A) 30 B) 36 C) 105 D) 200 E) 210

n = 6m = 5

( 1)

# 2

n n

x m

6(6 1)

# 52

x

# 105 Rpta C


A) 63 B) 315 C) 90 D) 630 E) 110

n = 9m = 7

( 1)#2

n n x m

9(9 1)

# 72

x

# 315 Rpta B

CASO 2.- cuando los triángulos songenerados por cevianas trazadas desde dosvértices.

. ( )#

2

n m n m

n = número de espacios del lado ACm = número de espacios del lado BC

Ejemplos:

1) Hallar el número de triángulos de lasiguiente figura:

A) 36 B) 72 C) 105 D) 234 E) 468

n = 9m = 4

. ( )#

2

n m n m

9 4(9 4)#

2

x

# 234

Rpta D

2) Hallar el número de triángulos de lasiguiente figura:

A) 30 B) 90 C) 75 D) 165 E) 225

B

CA



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n = 6m = 5

. ( )#

2

n m n m

6 5(6 5)#

2

x

# 165 Rpta D

C) Conteo de cuadriláteros:

( 1) ( 1)

2 2

n n m m x

n = número de espacios verticales

m = número de espacios horizontales

Ejemplos:

1) Hallar el número de cuadriláteros enla siguiente figura:

n = 6m = 3

( 1) ( 1)#

2 2

n n m m x

6(6 1) 3(3 1)#

2 2

x

# 21 6 x # 126

2) Hallar el número de cuadriláteros enla siguiente figura:

n = 10m = 5

( 1) ( 1)#

2 2

n n m m x

10(10 1) 5(5 1)#

2 2 x

# 55 15 x

# 825

D) Conteo de cuadrados:

Caso 1.- Cuando el número de espaciosverticales es igual al número de espacioshorizontales.El número de cuadrados está dado por lasiguiente fórmula

( 1)(2 1)#

6

n n n

n = número de espacios horizontales que

es igual al numero de espacios

verticales.

Ejemplos:

1) Hallar el número de cuadrados en la

siguiente figura:

n = 5

( 1)(2 1)#

6

n n n

5(5 1)(2 5 1)#

6

x

5(6)(11)#

6 # 55

2) Hallar el número de cuadrados en la

siguiente figura:



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n = 8

( 1)(2 1)#

6

n n n

8(8 1)(2 8 1)#

6

x

8(9)(17)#

6

# 204 Caso 2.- Cuando el número de espaciosverticales es diferente al número deespacios horizontales. Se calcula con lasiguiente fórmula:

# ( 1)( 1) ( 2)( 2) ...nxm n m n m n = número de espacios verticalesm = número de espacios horizontales

Se reemplaza hasta que un factor tenga elvalor de 1.

Ejemplos:

1) Hallar el número de cuadrados en lasiguiente figura:

n = 5

m = 4# 5 4 (5 1)(4 1) (5 2)(4 2) x

(5 3)(4 3)

# 20 4 3 3 2 2 1 x x x

# 20 12 6 2 # 40 2) Hallar el número de cuadrados en la

siguiente figura:

,

n = 10

m = 5

# 10 5 (10 1)(5 1) (10 2)(5 2) x

(10 3)(5 3) (10 4)(5 4)

# 50 9 4 8 3 7 2 6 1 x x x x # 50 36 24 14 6

# 130 E) Conteo de cubos:

CASO 1.- En un cubo las aristas (lados delas caras) son iguales.

El número de cubos está dado por la

siguiente fórmula:2

( 1)#

2

n nCubos

n = número de espacios por arista

1) Hallar el número de cubos en lasiguiente figura:

n = 32

( 1)#

2

n nCubos

23(3 1)

#2

Cubos

2# 6Cubos

# 36Cubos



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2) Hallar el número de cubos en la siguientefigura:

n = 42

( 1)#

2

n nCubos

24(4 1)

#2

Cubos

2# 10Cubos

# 100Cubos CASO 2.- En la siguiente figura se muestra unparalelepípedo que puede estar formado ya seapor cubos simples o por paralelepípedos simples,procediendo por inducción es sencillo demostrarque:

.

NÚMERO TOTAL DE PARALELEPÍPEDOS

( 1) ( 1) ( 1)2 2 2

m m n n p p x x

NÚMERO TOTAL DE CUBOS

( 1)( 1)( 1) ( 2)( 2)( 2) ...mnp m n p m n p Se reemplaza hasta que un factor tenga el valor

de 1.

Ejemplos:

1) Hallar el número de cubos en la siguientefigura:

m = 3 ; n = 4 ; p = 5

( 1)( 1)( 1) ( 2)( 2)( 2) ...mnp m n p m n p

# 3 4 5 (3 1)(4 1)(5 1) (3 2)(4 2)(5 2) x x

# = 60 + 2x3x4 + 1x2x3# = 60 + 24 + 6# = 90

2) Hallar el número total de paralelepípedosen la siguiente figura:

m = 3 ; n = 4 ; p = 5

# =( 1) ( 1) ( 1)

2 2 2

m m n n p p x x

# =3(3 1) 4(4 1) 5(5 1)

2 2 2 x x

# =3(4) 4(5) 5(6)

2 2 2

x x

# = 6 10 15 x x # = 900



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F) Conteo de semicírculos.- Para calcular elnúmero de semicírculos se emplea lasiguiente fórmula

# Semicírculos :

= 2(# )(# )diámetros círculos

Ejemplos:

1) ¿Cuántos semicírculos hay en lasiguiente figura?

# de diámetros = 4 y # de círculos = 4

Luego:

# Semicírculos = 2(4)(4)# Semicírculos = 32

2) ¿Cuántos semicírculos hay en lasiguiente figura?


Luego:

# Semicírculos = 2(6)(6)

# Semicírculos = 72

3) ¿Cuántos semicírculos hay en la siguientefigura?


Luego:


4) ¿Cuántos semicírculos hay en la siguientefigura?


Luego:


FIN

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