Conjunto de Julia de una Función Racional

Conjunto de Julia de una Función Racional

Laura Alejandra Herrera Pinzón

Universidad Distrital Francisco José de Caldas

Facultad de Ciencias y Educación

Proyecto Curricular de Matemáticas

Bogotá, Colombia

Julio de 2019

Conjunto de Julia de una Función Racional

Laura Alejandra Herrera Pinzón

Trabajo de Grado presentado como requisito para optar al título de:Matemático

Director:M. Sc. Carlos Orlando Ochoa Castillo

Universidad Distrital Francisco Jose de CaldasFacultad de Ciencia y Educación

Bogotá, Colombia

Nota de aceptación

Firma del presidente del jurado

Firma del jurado

Firma del jurado

Bogotá D.C., Julio de 2019

Dedicado afamilia, docentes y comunidad.

Agradecimientos

Agradezco a Dios por haberme guiado en todo el proceso en mi formación, porrecordarme y haberme hecho cada vez mas fuerte, por permitirme tener a mi familiaapoyándome en cada decisión y proyecto, gracias a la vida porque cada día me de-muestra lo hermosa que es y a pesar de sus duras pruebas ha generado en mi grandescambios y nuevos aprendizajes haciéndome una mejor persona.

A mi madre agradezco su gran esmero y apoyo, reconozco sus sacricios, admitiendoque gracias ella soy la persona que soy hoy en día. Gracias por formarme y fomentarprincipios que han hecho de mí una persona diligente por dar lo mejor de si misma.

Con gran cariño y aprecio agradezco a mi director de proyecto el profesor Carlos Or-lando Ochoa Castillo quien me acompañó de manera constante en el desarrollo de estamonografía, agradezco su paciencia y sabiduría. El siempre recordándome son su ejem-plo que antes de formarnos como profesionales debemos apostar a ser personas y eso eslo que es el: una excelente persona, quien muestra amor y entrega a su labor continua-mente.

A mis amigos mas cercanos agradezco su buenos deseos, su apoyo en situaciones defrustración, su sinceridad y tolerancia, y les deseo éxitos en sus proyectos.

Por último agradezco a mi muy querida Universidad Distrital Francisco José de Caldaspor abrirme las puertas a este hermoso mundo de las matemáticas y recordarme demanera constante que este es un camino de trabajo arduo, pero que a la larga los frutoshan de ser maravillosos; pues muchos son los llamado, pocos los elegidos.

Es imposible ser matemático sin tener alma de poeta. El poeta debe ser capaz de verlo que los demás no ven, deben ver mas profundamente que otras personas. Y el

matemático debe hacer lo mismo.

Soa Vasilievna Kovalévskaya

Introducción

En este trabajo se desarrolla una reconstrucción de parte del artículo Conjunto deJulia de una función Racional (Julia sets of rational maps) de Linda Keen, se realizaun breve análisis de los elementos que conforman los Conjuntos de Julia, teniendo encuenta su relación con las Funciones Racionales y sus propiedades. Este trabajo a sidorealizado con el n de determinar propiedades topológicas de este conjunto y tratar deestablecer el comportamiento de la dinámica de estas funciones.

En el primer capítulo se introduce de manera breve algunos conceptos relacionados conel análisis de funciones de variable compleja, además se contemplan algunas nocionesbásicas de la teoría de sistemas dinámicos orientada al trabajo con funciones raciona-les buscando construir el concepto de Conjunto de Fatou y Conjunto de Julia de unafunción racional.

Posteriormente, se busca caracterizar los conjuntos mencionados a partir de la construc-ción de una serie de propiedades las cuales nos serán útiles al momento de identicar elconjunto de Julia de cada una de estas funciones y brevemente se considera un nuevoconjunto el cual es conocido como Conjunto Excepcional que juega un papel importan-te al momento de querer describir la dinámica de estas funciones. Sumado a esto, seevidencia una relación entre el conjunto de Julia y el conjunto de puntos periódicos conel objetivo de simplicar el proceso de determinar el conjunto de Julia de una funciónracional.

Por último, se describe el comportamiento de los ciclos periódicos particularizando sise trata de un ciclo atractor, super-atractor o repelente caracterizando algunas de suspropiedades.

Contenido

Capítulos Página

Lista de guras IV

Planteamiento del Problema 2Descripción del Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Delimitación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Pregunta de Investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Objetivos 3Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Objetivos Especícos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Justicación 4

Estado del Arte 5Conjunto de Julia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Sistemas Dinámicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Sistemas Dinámicos Caóticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Marco Conceptual 8Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Conjunto de Julia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1. Sistemas Dinámicos Complejos 121.1. Preliminares del Análisis Complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2. Sistemas Dinámicos y Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2. Conjunto de Julia de una Función Racional 222.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2. Puntos Periódicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3. Clasicación de Dominios Estables 333.1. Ciclos Atractores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2. Ciclos Superatractores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

III

IV CONTENIDO

3.3. Ciclos Repelentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

A. 37

Conclusiones 38

Bibliografía 38

Lista de Figuras

1. Ciclos de Julia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62. Henri Poincaré - Les methodes nouvelles de la mecanique celeste Tomo I 73. Mariposa de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74. Conjuntos de Julia para distintos valores de c. . . . . . . . . . . . . . . 105. Conjuntos de Julia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1. Representación gráca de un complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2. Ortodrómica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.1. Ciclo Atractor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2. Ciclo super-atractor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1

Planteamiento del Problema

En la actualidad, se busca denir a mayor precisión los términos involucrados encada clase de proceso lógico matemático; las funciones Racionales y su relación con losConjuntos de Julia no son excepción. Es de interés el estudio de los sistemas dinámicossiendo este el eje de indagación y desarrollo del trabajo.

Descripcion del Problema

En este trabajo se busca realizar un estudio de los Conjuntos de Julia y su relacióncon las funciones Racionales, partiendo del estudio de los sistemas dinámicos complejos.

Delimitación

Denir los Conjuntos de Julia y su relación con las Funciones Racionales apartirdel estudio y uso de herramientas ofrecidas por el estudio de los sistemas dinámicoscomplejos.

Pregunta de Investigación

¾Que relación hay entre la construción de los conjuntos de Julia y las funcionesracionales?

2

Objetivos

Objetivo General

Determinar el comportamiento de los sistemas dinámicos holomorfos en relación alconjunto de Julia.

Objetivos Especícos

1. Examinar la construción iterativa de los sistemas dinámicos complejos.

2. Deducir el comportamieno de las orbitas y la construcción del Conjunto de Juliasegún el Planteamiento de cualquier función racional.

3

Justicación

Este trabajo es realizado con el propósito de la reconstrucción de los resultados delartículo Julia sets of rational maps(ver [7]), para estudiar las diferentes propiedadesde este conjunto y sus aplicaciones topológicas.

4

Estado del Arte

Conjunto de Julia

El estudió de los Fractales se origina entre 1854 y 1912 gracias al francés HenriPoincaré. Sus ideas fueron retomadas luego por los matemáticos franceses Gastón Julia(1893− 1978) y Pierre Fatou (1878− 1929) hacia 1918.

Los trabajos de Julia y Fatou estuvieron motivados por un problema propuesto por elmatemático británico Sir Arthur Cayley: encontrar las cuencas de atracción de los cerosdel polinomio z3− 1 = 0 en el plano complejo por el método de Newton. Las solucioneslos ceros del polinomio, son

1, e2π3 , e

4π3 .

Como se sabe, el método de Newton para esta ecuación nos proporciona la siguientefunción iterada:

zn+1 = zn −z3n − 1

3z2nCayley pretendía responder a la pregunta de dónde terminaría la iteración innita deun punto z0 arbitrario.

A partir de estos trabajos, Julia intuyó que todo un universo matemático se abría anteél al estudiar con una nueva óptica los inofensivos polinomios de grado dos. De estemodo, Julia se convierte en uno de los pioneros de los sistemas dinámicos.1

Sistemas Dinámicos

Se podría decir que los sistemas dinámicos son un área joven de las matemáticas,aunque se remontan a Newton con sus estudios de Mecánica Celeste.

1Imagenes en Fig 1 tomadas de http://www3.gobiernodecanarias.org/medusa/ecoblog/mrodperv/fractales/conjuntos-de-julia-y-mandelbrot/ y http://images.math.cnrs.fr/Sobre-la-conexidad-de-los-conejos.html?lang=fr

5

6 Conjunto de Julia de una Función Racional

Figura 1: Ciclos de Julia

Para los años 1892−1899, de la mano del matemático francés Henri. J. Poincaré, quieninició el estudio cualitativo de las ecuaciones diferenciales, nace la teoría moderna delos sistemas dinámicos, la cuál desarrolla una serie de nuevas técnicas, expuestas enel Analysis Situs, un apéndice de Les methodes nouvelles de la mecanique celeste, dedonde se originan lo que son la geometría y la topología modernas.

Sin embargo, fue hace apenas unos cuarenta años que los sistemas dinámicos se estable-cieron como un área propiamente dicha, gracias al trabajo destacado de matemáticos eingenieros como: S. Smale, V. Arnold, Lyapunov, entre otros.2

Sistemas dinámicos Caóticos

En el ocaso del siglo XIX , Poincaré inició sus estudios sobre la estabilidad del sis-tema solar, trabajos pioneros de la teoría del caos.Fue en la década de los sesenta del siglo anterior en la que gracias al desarrollo de los or-denadores de alta velocidad y la aparición de importantes resultados matemáticos (comopor ejemplo el teorema de Kolmogorov, Arnold y Moser para sistemas Hamiltonianos)se pudo ahondar en estas ideas revolucionarias. La Teoría del Caos se fundamentó enlos años sesenta, con el trabajo de Edward Lorenz.

Su desarrollo empezó con Ilya Prigogine, ganador del premio Nobel de química en 1977,quien mostró que las estructuras complejas podrían resultar siendo las más simples. Es-to es como si el orden viniese del caos. Henry Adams describió previamente esto con sufrase: el caos frecuentemente cría la vida, cuando el orden cría lo habitual3.

2Imagen en Fig 2 tomada de http://cuadernomat.blogspot.com/2011/12/breve-nota-sobre-sistemasdinamicos.html

3Figura 3 tomada de https://es.wikipedia.org/wiki/TeorC3ADadelcaos

Marco Conceptual 7

Figura 2: Henri Poincaré - Les methodes nouvelles de la mecanique celeste Tomo I

Figura 3: Mariposa de Lorenz

Marco Conceptual

Preliminares

Se pretende ahora presentar algunos conceptos claves o fundamentales en la cons-trucción y estudio de los fenómenos objeto de este trabajo.

Denición 1. Una función R : X −→ Y es inyectiva o uno a uno si para cadapar de elementos z, w distintos, se tiene que sus imágenes son distintas, es decir, z 6= y.

Denición 2. Sean I y J conjuntos y R : I → J . La función R es sobre si para caday ∈ J existe un z ∈ I tal que R(z) = y.

Denición 3. Sean I y J espacios topológicos y R : I → J . La función R(z) es unhomeomorsmo si R(z) es uno a uno, sobre, y continua, ademas, si R−1(z) es tambiéncontinua.

Denición 4. Dado un abierto no vacío Ω ⊂ C, se dice que R es una función holo-morfa en Ω, cuando R es derivable en todo punto de Ω (ver [5]).

Denición 5. Un Sistema Dinamico Holomorfo surge al iterar funciones holomorfas

Rn(z) = (R R ... R)(z)

Denición 6. La órbita hacia adelante de z0 es el conjunto de puntosz0, z1 = R(z0), z2 = R2(z0), ...

y se denota con O+(z). Si R es un homeomorsmo, se puede denir la órbita completade z, O(z), como el conjunto de puntos Rn(z) para n ∈ Z, se obtiene, en este contexto,

8

Marco Conceptual 9

de manera natural la órbita hacia átras O−(z) de z , como el conjunto de puntosz0, R

−1(z0), R−2(z0), ...

.

Clasicación de puntos

Si R : C −→ C es una función holomorfa, entonces

a. El punto z es un punto jo para R si R(z) = z.

b. El punto z es un punto periódico de período n si Rn(z) = z. El menor n positivopara el cual Rn(z) = z se llama período principal o primo de z. El conjunto detodas las iteraciones de un punto periódico constituye una órbita periódica.

Nota: El conjunto de puntos periódicos de período n (no necesariamente princi-pales) se nota con Pern(R) y el conjunto de puntos jos se denota Fixn(R).

c. Un punto z es eventualmente periódico o preperiódico de período n si z no esperiódico pero existe n > 0 tal que Rn+i(z) = Ri(z) para todo i ≥ n. Es decir,Ri(z) es periódico para i ≥ n.

d. Sea p un punto periódico de perído n. Un punto z es asintótico delantero para p si

lımk→∞

Rkn(z) = p

El conjunto estable de p, es denotado por W s(p), consiste en todos los puntosasintóticos delanteros a p. Si p es no periódico, se denen puntos asintóticosdelanteros como aquellos que satisfacen

∣∣Rk(z)−Rk(p)∣∣→ 0 siempre que k →∞.

e. Si R es invertible, un punto es asintótico trasero siempre que∣∣Rk(z)−Rk(p)

∣∣→ 0cuando k → −∞. El conjunto de los puntos asintóticos hacia atras de p se llamaconjunto inestable de p y se denota W u(p).

f. Un punto z es un punto crítico de R si R′(z) = 0. El punto crítico es no degene-

rado si R′′(z) 6= 0. Por otro lado, un punto crítico es degenerado si R

′′(z) = 0.

Denición 7. Una familia normal es todo subconjunto innito de una familia defunciones analíticas complejas fα, denida sobre un dominio D que contiene una


subsucesión que converge uniformenente sobre todo subconjunto compacto de D.

Denición 8. z es un punto estable de R si hay una vecindad U de z tal que Ronforma una familia normal en U. El conjunto estable o el conjunto de Fatou es elconjunto de todos los puntos estables de R denotado por ΩR .

Conjunto de Julia

Denición 9. El conjunto de inestable de R o conjunto de Julia es el complementode ΩR y es denotado por JR.

El conjunto de Julia aparece en funciones de variable y valor complejo como4

f(z) = z2 + c.

Figura 4: Conjuntos de Julia para distintos valores de c.

Al utilizar el resultado de la fórmula recursiva

zn+1 = f(zn) = z2n + c

empezando por z0 = z como nuevo valor de entrada y repetir la operación una y otravez se obtiene una sucesión. Para algunos valores ese resultado está dentro del conjunto

4Figura 4 tomada de https://www.gaussianos.com/C2BFque-es-el-conjunto-de-mandelbrot-historia-y-construccion/

Sistemas Dinámicos Complejos 11

(valores menores que 2) y para otros no se satisface este comportamiento (ver [5])5.

Figura 5: Conjuntos de Julia

En la gura 5 los puntos que no son azules oscuro pertenecen al conjunto plenode Julia constituido por el Conjunto de Julia y los puntos que convergen a cero. Loscolores dan una indicación de la velocidad con la que diverge (tiende al innito, enmódulo) la sucesión. Como no se puede calcular un sinfín de valores es preciso poner unlímite y decidir que si los p primeros términos de la sucesión están acotados entonces elpunto merece el honor de pertenecer al conjunto. Al aumentar el valor de p se mejorala precisión de la imagen.

5Imagenes en Figura 5 generadas en Matlab ver apendice

Capítulo 1

Sistemas Dinámicos Complejos

1.1. Preliminares del Análisis Complejo

En el desarrollo de esta monografía se denota al plano complejo con C; además,teniendo en cuenta la estructura normal de un número complejo se escribe z = x+ iy,donde i =

√−1, o de manera equivalente z = (x, y). El conjugado está dado por x− iy

y se nota z. La parte real de z es x y la parte imaginaria es y; se notan Re(z) y Im(z)respectivamente. El módulo de z es |z| = r, es decir,

r = |z| =√x2 + y2.

La representación gráca de z = x+ iy se da en la gura 1.1.

Figura 1.1: Representación gráca de un complejo

12

1.1. PRELIMINARES DEL ANÁLISIS COMPLEJO 13

El ángulo formado por el vector z = x+ yi con el eje real positivo está dado por laexpresión

θ = arctany

x

donde θ es el argumento de z y satisface las siguientes ecuaciones:

cos(θ) =x

|z|y sin(θ) =

y

|z|así arg(z) = θ. Recordando que los complejos C tienen estructura de campo, se dene

la suma y el producto de la siguiente manera:

Denición 1.1 Sean z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 en C

+ : C× C −→ C(z1, z2) 7→ (x1 + x2) + i(y1 + y2).

y

· : C× C −→ C(z1, z2) 7→ z.

siendo z = (x1y1 − x2y2) + i(x1y2 + x2y1).

Se dene acontinuación las distintas formas de representar un número complejo.

Denición 1.2 Sea z ∈ C con arg(z) = θ, tenemos que:

1. Forma Polar:z = |z|θ .

2. Forma Trigonometrica:z = |z| (cos(θ), sin(θ)).

3. Forma Exponencial:z = |z| eiθ.

14 CAPÍTULO 1. SISTEMAS DINÁMICOS COMPLEJOS

la fórmula de De Moivre permite determinar las n-ésimas potencias de un z ∈ C:

zn = |z|n (cos(nθ), sin(nθ))

o su equivalentezn = |z|n eiθn

Denición 1.3 R : C→ C es analítica en z0 si

R′(z0) = lım

z→z0

R(z)−R(z0)

z − z0existe. Se dice que R es entera si es analítica en todo C.

De la denición de derivada se puede obtener (Ver [1]) las reglas usuales de deriva-ción:

(f ± g)′= f

′ ± g′ ,(fg)

′= fg

′+ f

′g,

(f

g)′=gf′ − g′fg2

, g 6= 0,

(f(g(z)))′= f

′(g(z))g

′(z).

Denición 1.4 Sean Y ⊂ C un subconjunto abierto conexo y R : Y → C; se dice queR es analítica en Y si R si es analítica para cada z0 ∈ Y .

Denición 1.5 Se dice que una función racional es una función analítica compleja dela esfera de Riemann C en si misma. Se puede escribir como un cociente de polinomiosen su mínima expresión:

R(z) = P (z)/Q(z) =a0z

d + ...+ adb0zd

′ + ...+ bd′

El cociente se dice que está en su mínima expresión si P y Q no tienen factores comunes.

Dado que los polinomios son funciones analíticas, el cociente de las mismas es a suvez analítico, es decir, las funciones racionales son analíticas.

Denición 1.6 El grado d = deg(R) de R puede ser denido como el máximo númerode preimágenes de un punto dado z o como el máximo de los grados de P y Q. Es decir,

d = deg(R) = max deg(P ), deg(Q)

1.2. SISTEMAS DINÁMICOS Y EJEMPLOS 15

1.2. Sistemas Dinámicos y Ejemplos

Recordando, los sistemas dinámicos son la composición iterativa de una función ho-lomorfa, en este caso, denida sobre una supercie de Riemann. Es decir, si R es unafunción holomorfa se dene la n-ésima iterada de R como

Rn(z) = (R R ... R)(z).

Se estudian los sistemas dinámicos buscando determinar algunos comportamientos apartir del conocimiento de sus propiedades.

La órbita de z0 es el conjunto de puntos

OR(z0) =z0, z1 = R(z0), z2 = R2(z0), ...

.

Ahora bien, una función es contraída a z0 (Ver [7]) si las órbitas de los puntos cercanosa z0 viajan juntas de manera predecible, y es función expandida de z0 si las órbitas delos puntos cercanos a z0 pueden dejar de estar cerca de la órbita de z0 y se observa asíun comportamiento errático.

El resultado que sigue (Ver [4]), ilustra de manera eciente la manera de determinarla expansión o contracción de una función.

Teorema 1.1 La contracción y la expansión se pueden medir en términos de la deri-vada de las iteraciones. Se contraen si su derivada es de módulo menor que uno y seexpande si tiene módulo mayor que uno.

Se introduce ahora la denición de métrica esférica.

Denición 1.7 Sean S la esfera de centro en el origen y radio r y dos puntos super-ciales A = (αA, βA) y B = (αB, βB) donde αA, αB ∈ [−π, π] son las longitudes de susrespectivos puntos respecto al real y βA, βB ∈ [−π

2, π2] son las latitudes correspondientes

de A y B.Haciendo uso de las coordenadas euclideanas en el espacio, se tiene

A = (xA, yA, zA) = (rcos(αA)cos(βA), rsen(βA), rsen(αA)cos(βA))

y

B = (xB, yB, zB) = (rcos(αB)cos(βB), rsen(βB), rsen(αB)cos(βB))

calculando la longitud de la cuerda relativa a la ortodrómica que ambos conforman:

d(A,B) =√

(xA − xB)2 + (yA − yB)2 + (zA − zB)2


Luego la amplitud del arco correspondiente a ese segmento usando el Teorema delCoseno es,

∠AOB = cos−1(

2r2 − d(A,B)2

2r2

)la expresión completa de la distancia esférica entre dos puntos dadas sus coordenadasesféricas es

ds(A,B, r) = cos−1(

2r2 − (xA − xB)2 + (yA − yB)2 + (zA − zB)2

2r2

)

Figura 1.2: Ortodrómica

en el estudio que se pretende realizar, se considera a C como la esfera de radio launidad; por otro lado, para una función racional de grado d ≥ 2, la derivada se expandecon respecto a la métrica esférica; pues considerando la integral

I =

∫C

∥∥∥(Rn)′∥∥∥2 ≈ dn,

se observa que I tiende a innito con n. Por otro lado, note que la función R no seexpande en todo z0 dada la existencia de z0 para el cual (Rn)

′se hace cero (Esto último

aplicando la regla de la cadena sobre Rn).

Denición 1.8 Sea R una función racional, se dice que z0 ∈ C es punto crítico de Rsi R

′(z0) = 0.


Cerca de un punto crítico el comportamiento de R es mucho más parecido al com-portamiento cerca del origen de P (z) = z2. Al decir de [5] el conjunto de Julia es ellímite entre las fuerzas contractantes competidoras; se evidencia esto en un ejemplosimple.

Ejemplo 1.1 P (z) = z2

Sea z ∈ C, en su forma exponencial

z = |z| eiθ

Haciendo uso de la fórmula de De Moivre

zn = |z|n einθ

Se tiene que si |z| > 1 (z esta fuera de la circunferencia unitaria) entonces |z|2n

→ ∞cuando n → ∞. En efecto, la órbita de cualquier z fuera de la circunferencia unitariaconverge hacia innito.Ahora bien, si z esta dentro de la circunferencia unitaria, es decir, |z| < 1 entonces|z|2

n

→ 0 cuando n crece, de este modo, las órbitas de estos puntos convergen al origen.Finalmente, si z esta sobre la circunferencia unitaria entonces |z| = 1 y z = e2πiα, luego,|z|2

n

= 1 para todo n ∈ R y la estructura de la órbita depende de α.

A continuación se muestran algunos ejemplos variando α:

Si α = 0

z = e0 = 1 y P (z) = 1, por tanto z = 1 es un punto jo para P pues

1P→ 1

P→ 1...

su órbita está dada por un único punto.

Si α = 12

z = eπi = −1 y P (z) = 1

−1P→ 1

P→ 1...

dado que e2πip = 1 y la órbita consiste de dos puntos distintos.


Si α = p2k, para algún p, k ∈ Z+

z = e2πi(p

2k),dado que p ∈ Z+ se tiene que P k(z) = e2πip = 1, la órbita consiste en

k + 1 puntos

e2πi(p

2k) P→ e2πi(

p

2k−1 ) P→ e2πi(p

2k−2 ) P→ ...P→ e2πi(

p2) P→ 1

P→ 1.

Si α = pqcon q impar, la órbita es periódica. Vemos que si α = 2

7entonces z = eπi

47

y haciendo el proceso iterativo se obtiene:

P (z) = eπi17

P 2(z) = eπi27

P 3(z) = eπi47

la órbita es

eπi47

P→ eπi17

P→ eπi27

P→ eπi47 .

Si α = pqcon q par, la órbita es preperiódica. Tomando el caso particular en el

que α = 112, z es eπi

16 , luego se tiene que:

P (z) =eπi13

P 2(z) =eπi23

P 3(z) =eπi43 = eπi

13

P 4(z) =eπi23

la órbita es

eπi16

P→ eπi13

P→ eπi23

P→ eπi43

P→ eπi23 .

Si α es irracional la órbita es innita; zn 6= zm para n 6= m, pero |zn − zm| → 0cuando m,n→∞.

Observe que la unidad y el cero son puntos jos de P . Para hallar los puntos críticosde P se procede como es costumbre, esto es, usando la derivada en un punto z0.


P′(z0) = lım

h→0

P (z0 + h)− P (z0)

h

= lımh→0

z20 + 2z0h+ h2 − z20h

= lımh→0

h(2z0 + h)

h= lım

h→0(2z0 + h)

=2z0

Siendo así, P′(z0) = 0 si y solo si z0 = 0, por tanto 0 es punto crítico de P y también

es valor crítico dado que P (0) = 0.

Denición 1.9 Sean R una función racional y z0 un punto crítico de R, la imagen dez0 es un valor crítico.

Notando con C el conjunto de todos los puntos críticos de R, y con V el conjuntode valores críticos se tiene que R(C) = V . Los puntos críticos también se denen comolos puntos donde la función R : C→ C no es localmente inyectiva.

Si R es una función racional de grado d y z0 /∈ V entonces, z0 no es valor crítico de R.Siendo así, R−1(z0) consiste precisamente en d puntos no críticos distintos z1, z2, ..., zd.Este hecho es fundamental en la demostración del siguiente resultado:

Proposición 1.1 Sea R una función racional y d el grado de R, un punto z0 tiene elnúmero máximo de preimagenes distintas si y solo si no es un valor crítico.

Demostración

Sea R : C −→ C una función racional de grado d. Supongamos en primer lugar, quez0 tiene el máximo número de preimagenes distintas y además que es un valor crítico.Ahora bien, el número máximo de preimagenes distinta de z0 por denición de gradode función racional es a lo sumo d, es decir, |R−1(z0)| = d.Por denición de valor crítico, este es imagen de algún punto crítico. Sin embargo, lospuntos críticos son también aquellos puntos donde R no es inyectiva, por tanto, existenz1, z2 ∈ C tales que,

R(z1) = R(z2) = z0

con z1 6= z2. Así |R−1(z0)| > d con lo que |R−1(z0)| 6= d. .


Denición 1.10 Dados R : C −→ C y z ∈ C, la deciencia dz de z es el númerod − |R−1(z)| (donde |R−1(z)| es el cardinalidad de las preimagenes R−1(z)). Entoncesdz 6= 0 si y solo si z es un valor crítico de R. La deciencia total de la función R : C→ Ces la suma de todas las deciencias para todos los valores de R.

Los valores críticos tienen menos preimagenes, tal hecho se evidencia mediante elteorema Teorema de Riemann Hurwitz(Ver [4]).

Teorema 1.2 [Riemann Hurwitz] Una función racional R de grado d tiene exac-tamente 2d− 2 valores críticos.

Demostración.

Sean S = C − V y S = C − R−1(V ), la función R : S → S es un d−revestimientoramicado. Dada la naturaleza de R y como S esta constituido por d ramas, se tienela siguiente relación entre sus características de Euler:

χ(S) = d · χ(S)

con base en la Fórmula de Riemman-Hurwitz esto es,

2− (∑v∈V

(d− dv)) = d(2− nv)

donde nv es el número de valores críticos. Se obtiene

2− (∑v∈V

(d− dv)) = 2d− dnv

dnv − (∑v∈V

(d− dv)) = 2d− 2

dnv −∑v∈V

d+∑v∈V

dv = 2d− 2

dnv − dnv +∑v∈V

dv = 2d− 2

así que ∑v∈V

dv = 2d− 2.

Dado que cada punto crítico causa al menos una deciencia, esto implica que la cardi-nalidad de C = R−1(V ) es como máximo 2d− 2.

Conjunto de Julia y propiedades 21

Denición 1.11 El conjunto post-crítico es la clausura del conjunto de órbitas de lospuntos críticos.

En el análisis de los sistemas dinámicos denidos por iteraciones de la función R, elpapel del conjunto post-crítico es crucial. Lejos de esto, las iteraciones son funcionesconvergentes y las propiedades de la convergencia son poco emocionantes.

Denición 1.12 Una familia normal es todo subconjunto innito de una familia defunciones analíticas complejas fα, denidas sobre un dominio D que contiene unasubsucesión que converge uniformemente sobre todo subconjunto compacto de D.

Nota: La función límite, generalmente no es miembro de la familia. En el ejemplo an-terior, donde los miembros de la familia son las iteraciones de z2 y D es el interior oexterior de la circunferencia unitaria, las funciones límite son las constantes 0 y ∞,y por tanto no pertenecen a la familia. Una característica importante de las familiasnormales esta dada por el Teorema de Montel del cual se presentan dos versiones queaparecen en [7] y [8].

Teorema 1.3 MontelSea F una familia de funciones analíticas denidas sobre un dominio D. Si la unión∪f∈Ff(D) omite tres puntos de C, entonces F es una familia normal.

Teorema 1.4 Suponga que la familia de funciones analíticas fi no es normal en U .Entonces la familia fi toma todos los valores en C exceptuando a lo sumo dos.

Es claro que el Teorema 1.4 es el contrarreciproco del Teorema 1.3. Teniendo encuenta lo anterior, se puede denir lo que queremos decir referente al comportamientopredecible o caótico de una órbita.

Denición 1.13 z es un punto estable de R si hay una vecindad U de z tal que Rnforma una familia normal en U . El conjunto estable o el conjunto de Fatou es el conjuntode todos los puntos estables de R denotado por ΩR .

Como se verá, los puntos estables tienen un comportamiento predecible. Además, de ladenición se desprende que los puntos cercanos tiene un comportamiento similar. En laliteratura, el conjunto estable se denomina el conjunto normal o el conjunto de Fatou.

Denición 1.14 El conjunto inestable es el complemento de ΩR; también se le conocecomo Conjunto de Julia y es denotado por JR (o simplemente J).

Capítulo 2

Conjunto de Julia de una Función

Racional

En el estudio de los sistemas dinámicos, los conjuntos de Julia brillan con luz propia,casi se puede armar que se constituyen en la esencia de los mismos sistemas dinámicos.En principio fueron generadores de desconcierto dada la búsqueda de estabilidad de losfenómenos.

2.1. Propiedades

Retomando la denición 1.14, se considera la función racional R : C → C, dondeΩR es el conjunto estable y JR el conjunto de Julia de R, además se hace necesariotener en cuenta que un conjunto S es completamente invariante bajo R si y solo siR−1(S) = S = R(S), de este modo, se presentan los siguientes resultados.

Proposición 2.1 (Ver [7]) Si z ∈ ΩR, entonces su imagen y todas sus preimagenesestán también en ΩR.

Demostración.

Sea U una vecindad de z donde las iteraciones de Rn forman una familia normal. Porel teorema que arma que la imagen de un conjunto abierto bajo una función analíticano constante es un conjunto abierto (ver [2]), R(U) es abierto. Si Rnj es una sucesiónconvergente sobre U , Rnj−1 es una sucesión convergente sobre R(U). Similarmente,R−1(U) es abierto y cada componente de R−1(U), Rnj−1es una sucesión convergente.

22

2.1. PROPIEDADES 23

De lo anterior, se sigue que ΩR es completamente invariante. El resultado que siguees tomado de [7].

Proposición 2.2 JR es no vacío.

Demostración.

Para efectos de la prueba se supone que JR es vacío, luego el conjunto estable es todoC, por lo cual, para cualquier z se puede encontrar una vecindad U y una subsucesiónde iteraciones Rnj , que converge a una función analítica f : U → C, haciendo uso de lateoría sobre funciones de recubrimiento ramicado, U puede prolongarse analíticamentea C. Por lo tanto, debe ser una función racional de algún grado fínito. Sin embargo, fes el límite de las funciones cuyos grados tienden al innito, por tanto debe tener ungrado innito, lo cual es una contradicción.

En el ejemplo donde R(z) = z2, ΩR consiste de el interior y exterior del circunferen-cia unitaria y JR es la circunferencia misma, como se ha dicho en otras oportunidades.

Note que Rk es una función racional de grado dk. Además, de la proposición 2.1que ΩRk = ΩR y por tanto JRk = JR. Si z ∈ J , entonces no puede existir vecindad Upara que la iteración de R forme una familia normal. Por lo tanto, según el teorema deMontel, ∪nRn(U) ⊃ C−ER, donde ER es un conjunto que contiene como máximo dospuntos; ER es llamado el conjunto excepcional, y es completamente invariante.

Se puede mostrar que si se conjuga (Ver [6]) la función cuadrática por una función afín,el conjunto de Julia de la función conjugada es de nuevo la circunferencia y el conjuntoestable consiste en el interior y exterior de la circunferencia. También se puede mostrarque si una función racional se conjuga con una transformación de Möbius (una funciónracional de grado 1), la estructura cualitativa de los conjuntos inestable y estable per-manece inalterada.Por lo tanto, si ER = e, se puede conjugar a R de modo que e = ∞. Como ERes completamente invariante, e solo tiene a si mismo como preimagen o es crítico conmultiplicidad d− 1, donde d es el grado de R; entonces R es un polinomio. Si R es unpolinomio, ∞ es un punto estable dado que |z| < M , M grande, |Rn(z)| ≈ |z|dn →∞.Si ER = a, b, se puede conjugar a R de modo que a = 0 y b =∞. Nuevamente, dadoque ER es completamente invariante, ambos puntos son críticos con multiplicidad d− 1y R = cz±d para algún c ∈ C no nulo. Ambos puntos de E son claramente estables.En [7] se puede observar que cualquier función que no sea conjugada con una de estasfunciones tiene un conjunto excepcional vacío.

24 CAPÍTULO 2. CONJUNTO DE JULIA DE UNA FUNCIÓN RACIONAL

La prueba del siguiente resultado puede ser encontrada en [3].

Corolario 2.1 Sea R una función racional, los puntos excepcionales de R estan enΩR.

Se presenta ahora un ejemplo con el cual se busca visualizar la teoría ya expuesta,es de notar que esta función fue considerada primero por Guckenheimer.

Ejemplo 2.1 Sea R(z) = (z−2)2z2

. Se puede ver que

R(z) =(z − 2)2

z2=z2 − 4z + 4

z2

ahora bien

deg(R) = maxdeg(z2 − 4z + 4), deg(z2)

= 2.

Por otro lado, la derivada de R esta dada por

R′(z) =4z − 8

z3

de este modo, se tiene que R′(z) = 0 si y solo si z = 2, luego z = 2 es punto crítico yR(2) = 0 es valor crítico.Es posible ver además que Rn(z) omite siempre a z = 0. Por el Teorema 1.3 se tiene queRn no es Familia Normal en C, adicionalmente el conjunto excepcional ER = 0.De este modo JR = C y ΩR = ∅.

Proposición 2.3 (Ver [7]) Si J contiene un subconjunto abierto no vacío entoncesJ = C.

Demostración.

Sea U un conjunto abierto en el interior de J , por el teorema de Montel,

C− ER ⊂⋃n

Rn(U)

y por la invarianza de J , C − E ⊂ J . Como J es cerrado y E contiene a lo más dospuntos, J = C.

Ahora se puede demostrar que la acción de una función restringida a su conjuntode Julia es caótica en el sentido descrito en [5].

2.1. PROPIEDADES 25

Proposición 2.4 Si w ∈ J , entonces ∪nR−n(w) es denso en J .

Demostración.

Sea U una vecindad de algún z ∈ J . Existe algún k tal que w ∈ Rk(U); por tanto, paraalguna rama de R−k(w) ∈ U .

Observación 2.1 Esta propiedad en realidad muestra más. Muestra que si z no estaen el conjunto excepcional E, entonces las imágenes inversas, R−n(z) se acumulan enel conjunto de Julia.

Teorema 2.1 Sea R una función racional de grado d y S un conjunto nito comple-tamente invariante bajo R. Entonces, S está formado como máximo por dos elementos.

Demostración.

Si S contiene nitos puntos, sea S = a0, a1, ..., ak. Dado que S es completamenteinvariante bajo R se tiene que R−1(S) = S = R(S), es decir, el dominio y el rango deR|S es S, de este modo R|S es sobreyectiva. Ahora bien, dado que S es nito, R|S estambién biyectiva, de este modo R|S es una permutación de S. En este sentido, existeq ∈ Z tal que (R|S)q es la función identidad sobre S.Por otro lado, sea d el grado de Rq, dada la construcción de R|S, se tiene que cadapunto en S tiene como única preimagen a sí mismo y además cada uno de sus puntoses crítico con multiplicidad d− 1.Por Teorema de Riemann-Hurwizt∑

z∈S

dz ≤∑z∈C

dz = 2d− 2

en donde ∑z∈S

dz = k(d− 1)

de este modok(d− 1) ≤ 2(d− 1)

y k ≤ 2.

Con el ánimo de usar las clases de equivalencia como punto de interés en el desa-rrollo de resultados posteriores se introduce la siguiente denición.


Denición 2.1 Sean X un conjunto, g : X −→ X una función y ∼ la relación deequivalencia en X dada por:

(x, y ∈ X) x ∼ y si y solo si ∃ m,n ∈ Z+ tal que gn(x) = gm(y).

A la clase de equivalencia [x] correspondiente a x se le llama órbita inducida por g.

Proposición 2.5 Sea X un conjunto y g : X −→ X una función entonces, para todox ∈ X, la clase de equivalencia [x] es el menor conjunto completamente invariante quecontiene a x.

Demostración.

Se dene 〈x〉 como el menor conjunto completamente invariante que contiene a x. Sedebe probar que 〈x〉 = [x].Sea y ∈ [x] por denición de [x], se tiene que existen m,n ∈ Z tales que

gm(y) = gn(x)

luego

y ∈ g−m(gn(x)).

Además, dado que 〈x〉 es completamente invariante

g−m(gn(〈x〉)) = 〈x〉

así

y ∈ g−m(gn(x)) ⊂ 〈x〉

con lo que [x] ⊂ 〈x〉.Por otro lado, se debe mostrar que 〈x〉 ⊂ [x]; en este sentido, se quiere ver que [x] escompletamente invariante, lo cual por minimalidad de 〈x〉 implicaría que 〈x〉 ⊂ [x].Ya que para todo y ∈ X, y ∼ g(y) se tiene que x ∼ y (y ∈ [x]) si y solo si x ∼ g(y), eneste sentido, para todo y ∈ X, y ∈ [x] si y solo si y ∈ g−1([x]), lo cual prueba que [x] escompletamente invariante.Por tanto, 〈x〉 = [x].

Observación 2.2 Es una consecuencia directa de la Proposición 2.5 que un conjuntoS es completamente invariante si y solo si es unión de clases de equivalencia [x]. Si estees el caso, entonces el complemento de S es también unión de clases de equivalencia ypor tanto, también es completamente invariante.

2.1. PROPIEDADES 27

Es posible concluir de la Proposición 2.5 y la Observación 2.2 parte del siguienteteorema. Es de particular predilección el caso de los conjuntos que son complemento deun conjunto completamente invariante, ver [3] en caso de presentar interés en la pruebacompleta del Teorema que sigue.

Teorema 2.2 Sea g : X −→ X una función continua, abierta y sobreyectiva, con Xun espacio topológico. Si S ⊂ X es completamente invariante bajo g entonces su comple-mento X−S, su interior So, su clausura S y su frontera ∂S también son completamenteinvariantes.

Como consecuencia directa del la Proposición 2.1 y el Teorema 2.2 se obtiene elsiguiente resultado.

Teorema 2.3 Sea R cualquier función racional entonces, el conjunto de Fatou ΩR yel conjunto de Julia JR son completamente invariantes bajo R.

Demostración.

Por el Teorema 2.2 basta probar que el conjunto de Fatou ΩR es completamente invarian-te bajo R, sin embargo, esto se deduce de la Proposición 2.1, luego JR es completamenteinvariante bajo R.

El Teorema que sigue aparece en el artículo original [7] cuya prueba demanda de laconstrucción de una teoría mas fuerte que la presentada, de esta manera, basados enlos resultados previos ya contemplados, es posible probar:

Teorema 2.4 Sea R una función racional, entonces JR es innito.

Demostración.

Considerando la Proposición 2.2 JR es no vacío. De este modo, se sabe que JR contienealgún punto z y por el Teorema 2.3 JR es completamente invariante. Si JR es nito,entonces z debe ser algún punto excepcional, lo cual no es posible dado que los puntosexcepcionales de R estan en ΩR, así JR es innito.

A partir de lo construído, del Teorema 2.1, Teorema 2.3 y Teorema 2.4 se deduce:

Lema 2.1 Si S es un conjunto no vacío y completamente invariante bajo la funciónracional R, entonces este contiene uno, dos o innitos puntos (Ver [7]).


Demostración.

Es posible notar que por el Teorema 2.1 se tiene resuelto para el caso nito, es decir,que si S es completamente invariante este debe tener uno o dos elementos. Ahora bien,el Teorema 2.3 y Teorema 2.4 muestran el caso en que S tengan innitos elementos.

La prueba de la siguiente proposición es expuesta en [7].

Proposición 2.6 J no contiene estrictamente ningún conjunto completamente inva-riante cerrado.

Demostración.

Sea k ∈ J cerrado y completamente invariante. Para cualquier w ∈ K, la órbita inversade w está contenida en K por invarianza y por Proposición 2.4 es denso en J . Como Kes cerrado K = J .

2.2. Puntos Periódicos

Un ciclo periódico de periodo-n es una sucesión de puntos, z0, z1, ..., zn−1 tal quezi = R(zi−1) y z0 = R(zn−i). Cada punto en el ciclo es un punto jo de la funciónf = Rn.

Denición 2.2 Sea z0 un punto periódico del período n. Entonces, el número

λz0 = (Rn)′(z0)

es el valor propio o autovalor de la órbita periódica o ciclo.

Por supuesto, la regla de la cadena implica que λz0 es el producto de las derivadas de lafunción R a lo largo de la órbita. En consecuencia, λz0 es invariante de la órbita O

+(z0)del punto particular z0. Cada vez que se discute sobre una órbita periódica, se eliminanlos subíndices y simplemente se denota el autovalor por λ tal como puede verse en [4].

Denición 2.3 Un punto periódico o cíclico recibe el nombre de:

1. Atractor si 0 < |λ| < 1

2.2. PUNTOS PERIÓDICOS 29

2. Superatractor si |λ| = 0

3. Repelente si |λ| > 1

4. Neutral si |λ| = 1.

Para la función cuadrática, se considera cada una de las regiones de atracción de 0 e∞;además de su complemento, un conjunto de puntos repelente e inestables, forman unsubconjunto denso de la circunferencia unitaria. Este fenómeno es característico parael conjunto de Julia de funciones racionales.

En un intento por encontrar los puntos periódicos de periodo n de una funciónracional R, naturalmente consideramos soluciones de

Rn(z) = z (2.1)

cualquier solución de esta ecuación será periódica, sin embargo, no necesariamente seráde periodo n, ya que puede que este comportamiento se de para algún Rm, dondem < n.Se evidencia este comportamiento en el siguiente ejemplo

R(z) = z2 − z (2.2)

en este caso, cualquier solución de R2(z) = z es también solución de R(z) = z y portanto, para esta R, no hay puntos periódicos de periodo dos. Este ejemplo plantea unacuestión de existencia: ¾Con qué frecuencia están ausentes los puntos periódicos?¾Podráexistir por ejemplo, una función racional con solo una cantidad nita de puntos perió-dicos? De hecho, en la mayoría de los casos, existen puntos periódicos de un periododeterminado y para los polinomios la situación es particularmente sorprendente. Se tie-ne:

Teorema 2.5 Sea P un polinomio de grado d ≥ 2 y supongamos que P y supongamosque P no tiene puntos periódicos del periodo n. Entonces n = 2 y P es conjudada deT : z → z2 − z.

En resumen, el ejemplo dado en 2.2 fue el único ejemplo de este tipo hasta conjugación.También existe un resultado similar (aun que ligeramente débil) para las funcionesracionales, a saber:

Teorema 2.6 Sea R una función racional de grado d ≥ 2 y suponga que R no tienepuntos periódicos de periodo n. Entonces (d, n) es uno de los pares

(2, 2) , (2, 3) , (3, 2) , (4, 2)


Esto muestra que todas las funciones racionales tiene puntos periódicos de periodo4, 5, 6, ..., y que dada función racional de grado d ≥ 2 tiene puntos periódicos de todoslos periodos. La prueba del Teorema 2.5 y el Teorema 2.6 puede ser encontrada en [3].

En términos generales, si una función racional no tiene ningún punto periódico de pe-riodo n, entonces cada solución de Rn(z) = z también debe ser solución de Rm(z) = z,para algún m que divide y es menor a n. Esta sería por tanto una fuerte restricciónalgebraica en los coecientes de R que según los dos resultados anteriores, rara vez sesatisfacen. Ahora bien, es posible notar que el Teorema 2.6 no es solo mas débil que elteorema 2.5 en que surgen varios pares (d, n), también se debe notar que este par (d, n)no determina necesariamente un caso de conjugación único de funciones especícas R.

Se presenta ahora un argumento simple que garantiza la existencia de al menos unconjunto innito de puntos periódicos para cada función racional:

Suponga que R es una función racional de grado d ≥ 2 y que R no tiene puntos deperiodo p, donde p es un número primo. Entonces cada solución z0 de R

p(z) = zes deperiodo k, donde k es menor y divide p. Por lo tanto, k = 1 y z0 es un punto jo de R.Como R y Rp tienen d + 1 y dp + 1 puntos jos respectivamente, se deduce que debede haber algún punto jo z0 de R tal que Rp tenga mas puntos jos que R, esto solosucede si R

′(z0) 6= 1 pero (R

′)p(z0) = 1. Finalmente, hay a lo sumo d+ 1 puntos z0 jos

para R y para cada uno de estos, (R′)q(z0) = 1 para un máximo primo q. Por lo tanto,

cada R racional tiene puntos periódicos de periodo primo p para todos, pero a lo sumod+ 1 números primos p.

Lo siguientes teoremas introducen una relación entre los puntos periódicos y el Con-junto de Julia y pueden ser encontrados en [3].

Teorema 2.7 Sea R una función racional de grado d ≥ 2 entonces J es el conjuntoderivado de los puntos periódicos de R.

Demostración.

Se elige cualquier conjuntoW abierto tal queW∩J 6= ∅ y tomando un punto w ∈ W∩Jtal que w no es un valor crítico de R2. Entonces (R2)−1(w) contiene por lo menos cuatropuntos ya que d ≥ 2, se puede tomar tres de ellos, sean w1, w2 y w3, distintos de w.Si se construyen vecindades compactas y disjuntas W , W1, W2 y W3 de w, w1, w2 yw3 respectivamente, tal que para cada j ∈ 1, 2, 3 y sea R2 un homeomorsmo de Wj

sobre W , sea Sj : W −→ Wj la inversa de R2 : Wj −→ W .Si para todo z ∈ W , todo j ∈ 1, 2, 3 y todo n ≥ 1 se tiene

Rn(z) 6= Sj(z)

2.2. PUNTOS PERIÓDICOS 31

entonces Rn es normal en W por el Teorema de Montel. Esto no puede ser ya queW ∩ J 6= ∅, entonces existe z ∈ W , para algún j y alguna n se tiene que

Rn(z) = Sj(z)

y por tantoRn+2(z) = R2(z) = z.

Esto muestra que z ∈ W es un punto periódico, y por tanto J está contenido en elconjunto derivado de los puntos periódicos de R.

Para demostrar que el conjunto derivado de los puntos periódicos de R está contenidoen J es suciente probar

Lema 2.2 Cualquier componente de ΩR contiene a lo mas un punto periódico de R.

Demostración.

Sea Ω0 una componente de ΩR y suponga que α y β son puntos periódicos en Ω0. To-mando una iteración adecuada Rn, podemos suponer que α y β se jan para R. Si α esun punto superatractor este es un punto jo de R, entonces Rn → α en Ω0 y ya que Rja a β entonces α = β.El caso restante es cuando α es un punto jo neutral de R y entonces R : Ω0 → Ω0 esanalíticamente conjugada a una rotación de orden innito del disco unitario. En estecaso, α es el único punto jo de R en Ω0, por lo tanto α = β.

Dada su utilidad, se hace necesario tener presente el Lema de Schwarz, resultado quese tendrá en cuenta posteriormente.

Lema 2.3 (Lema de Schwarz) Sea D := z : |z| < 1 el disco unitario abierto enC y centrado en el origen y sea f : D → C una función holomorfa tal que

f(D) ⊂ D y f(0) = 0

entonces

|f(z)| ≤ |z| para todo z ∈ D

y ademas |f ′(0)| ≤ 1.

Demostración.

La prueba es una aplicación directa del principio de módulo máximo en la función

g(z) =

f(z)/z si z 6= 0

f ′(z) si z = 0


que es holomorfa en D, aún en el origen dado que f es diferenciable en el origen y seja en cero. Sea Dr = z : |z ≤ r| denota el disco cerrado de radio r centrado en elorigen, entonces el principio del módulo máximo implica que para r < 1, dado cualquierz ∈ Dr existe zr en la frontera de Dr tal que

|g(z)| ≤ |g(zr)| =|f(zr)||zr|

≤ 1

r.

Como r → 1 se tiene que |g(z)| ≤ 1.Se supone además que |f(z)| = |z| para algún z ∈ D con z 6= 0, o |f ′(0)| = 1. Entonces,|g(z)| = 1 para algún z ∈ D. Entonces según el principio del módulo máximo, g(z) = ccon c una constante tal que |c| = 1. Por tanto, f(z) = cz, como se desea.

Teorema 2.8 El conjunto de Julia de una función racional R es la clausura de lospuntos periódicos repelentes de R.

Demostración.

Sea w ∈ J , y se elige una vecindad U de w, disjunta del conjunto postcrítico. Existeun entero k, tal que U ⊂ Rk(U), y dado que no hay puntos críticos de Rk en U , existeuna órbita bien denida de R−k tal que B = R−k(U) ⊂ U . Por el Lema de Schwarz,R−k no se expande en la métrica de Poincaré, de este modo los conjuntos R−nk(U),n > 0, forman una sucesión anidada y así sus intersecciones contienen un punto jo deatracción para R−k. Este es el punto periódico repelente requerido para R.

Capítulo 3

Clasicación de Dominios Estables

Como se ha visto el comportamiento de los puntos periódicos estables de la funcióncuadrática se percibe con facilidad. Para generalizar, se debe estudiar el comportamien-to local de una vecindad de un punto periódico para una función racional arbitraria.Se asume que el punto periódico es 0 y se escribe el primer retorno de la función comouna serie de potencias:

f(z) = λz + akzk + ...

con k ≥ 2. Si λ 6= 0 y |z| es pequeño entonces la función se asemeja a su parte lineal,g(z) = λz; si λ = 0 se asemeja a una función potencia g(z) = zk. Este concepto desemejanza se precisa ahora:

Denición 3.1 La función f : U → U y g : V → V se llaman conformalmenteconjugadas si existe un homeomorsmo φ : U → V tal que φ f = g φ.

La periodicidad se conserva bajo conjugación; si f se conjuga conformalmente con suparte lineal en una vecindad de un punto jo, se dice que allí f es linealizable. La ideade conjugación conforme para estudiar la iteración se remonta a Schröder, el punto esque se puede usar la conjugación para proveer un modelo local del comportamientodinámico.

Usando el hecho (Ver [3]), de que en los puntos estables las iteradas se constituye enuna familia uniformemente equicontinua se tiene el siguiente resultado.

Teorema 3.1 (Schröder) Un punto periódico de una función racional con multipli-cador λ 6= 0 es estable si y solo si es linealizable.

33

34 CAPÍTULO 3. CLASIFICACIÓN DE DOMINIOS ESTABLES

3.1. Ciclos Atractores

Se asume ahora que z0 es un punto periódico atractor de R, entonces |(Rn)′(z0)| < 1,luego existe ε tal que |(Rn)′(z0)| < ε < 1 y un disco D centrado en z0 tal que, paraz ∈ D;

|R(z)− z0| = |R(z)−Rn(z0)| < ε|z − z0|,esto muestra que Rn aplica D en si mismo, de este modo D yace en el Conjunto deFatou de R y Rn(z) converge uniformemente a z0 sobre D. En consecuencia,

Teorema 3.2 Koenigs [9]Si z0 es un punto periódico atractor de periodo n de la función racional R entoncesla función fn es linealizable en z0. Además, la conjugación es única de no ser por unescalar.

Demostración.

Sean U vecindad del punto z0 periódico atractor y φn(z) = λ−nfn(z); tenemos

(φn f)(z) = (λ−nfn)(f(z))

= λ−nfn+1(z)

=λ

λ(λ−nfn+1(z))

= λ(λ−nλ−1fn+1(z))

= λ(λ−(n+1)fn+1(z))

= λφn+1(z)

(3.1)

Dado que por hipótesis |λ| < 1 entonces φn converge uniformemente a φ en U . Launicidad se sigue del Lema de Schwarz.

Observación 3.1 Si |λ| > 1 podemos aplicar el argumento anterior a la rama de f−1

y jar z0. Como la imagen de f es una vecindad fuera de U , la conjugación no estábien denida bajo iteración y no modela la dinámica.

Del teorema 3.2 se obtiene que para cada punto zk, k = 0, ..., n−1 de un ciclo periódicoatractor, existe un dominio estable máximo abierto Ik que contiene zk. El conjuntoI = ∪n−10 Ik recibe el nombre de cubeta de atracción inmediata del ciclo. El conjuntoA = ∪n>0R

−n(I) es la cubeta de atracción, y el ciclo del dominio recibe el nombre deciclo atractor.6

6Figura 3.1 tomada de: http://www3.gobiernodecanarias.org/medusa/ecoblog/mrodperv/fractales/conjuntos-de-julia-y-mandelbrot/

3.2. CICLOS SUPERATRACTORES 35

Figura 3.1: Ciclo Atractor

3.2. Ciclos Superatractores

Suponga ahora que z0, z1, z2, ..., zn−1 es un ciclo superatractor luego el valor propioλ = 0. Con la notación que se tiene anteriormente. Se dene ahora 7 φn(z) = fn(z)k

−n

de este modo φn satisface

φn−1 f = (fn−1 f)k−n+1

= φ′

n,

haciendo uso de esta conjugación se introduce el siguiente resultado,

Teorema 3.3 (Böttcher) Si fn(z0) = z0 con |(fn)′(z0)| = 0 y si las primeras k − 1derivadas se anulan en z0, entonces existe una conjugación φ denida en un vecindarioU de z0 tal que φf = (φ(z))k. La conjugación φ es única hasta una multiplicación poruna k − 1-ésima raíz de la unidad.

Usando la conjugación es posible ver que los puntos superatractores son estables.La cubeta de atracción y de atracción inmediata son denidas como se denieron paralos ciclos atractores y en este caso se denomina el ciclo periódico del dominio super-atractor. Ademas por denición, existe un punto crítico en uno de los dominios de lacubeta de atracción inmediata.8

Figura 3.2: Ciclo super-atractor

7Considere que en fn(z)k−n

, se tiene que n se reere a la n-ésima iteración, mientras k−n es lak−n-potencia.

8Figura 3.2 tomada de: http://images.math.cnrs.fr/Sobre-la-conexidad-de-los-conejos.html?lang=fr


3.3. Ciclos Repelentes

Se recuerda ahora que un punto periódico z0 de periodo n es repelente para unafunción R si y solo si |(Rn)′(z0)| > 1, con esto en mente y teniendo en cuenta que unpunto jo es aquel cuyo periodo es 1, se presenta el siguiente resultado el cual generauna relación directa entre el conjunto de Julia de una función racional R y cualquierciclo repelente de R.

Teorema 3.4 Para cualquier función racional R, cada ciclo repelente de R se encuen-tre en JR.

Demostración.

Se supone en primer lugar que el origen es un punto jo repelente de R. Entonces, cercadel origen

R(z) = λz + ...,

donde |λ| > 1, en consecuencia, como n→∞,

(Rn)′(0) = λn →∞.

Se supone ahora que 0 ∈ FR. Entonces Rn es normal en una vecindad N de 0, y portanto alguna subsuseción de las iteradas Rn converge uniformemente en N a algunafunción g. Ahora, si g(0) = 0 entonces g′(0) es nita. Por otro lado, la convergenciauniforme implica que para la sucesión dada

g′(0) = lımn→∞

Rn =∞,

lo cual es una contradicción. Se deduce que el punto repelente jo 0 está en JR.Por supuesto, esto implica por conjugación que cualquier punto jo repelente de R estáen JR. Además, si z0, z1, ..., znes cualquier ciclo repelente de R, cada zj está en JRn ,y como JRn = JR, la prueba se concluye.

Apéndice A

1 puntos=2000;2 puntosx=linspace ( −1 .6 ,1 .6 , puntos ) ;3 puntosy=linspace ( −1 .2 ,1 .2 , puntos ) ;4 [X,Y]=meshgrid ( puntosx , puntosy ) ;5 % c=−0.742+0.1∗ i ;6 % c=0.360284−0.100376∗ i ;7 c=−0.123+0.745∗ i ;8 % c=0.360284+0.100376∗ i ;9 % c=0.5+1∗ i ;% 10 i t e r a c i o n e s

10 % c=0;

11 % c=0.27334−0.00742∗ i ;12 % c=i ;%10 i t e r a c i o n e s

13 Z=X+Y∗ i ;14 i t e r a c i o n e s =100;15 for k=1: i t e r a c i o n e s16 Z=Z.^2+c ;17 W=exp(−abs (Z) ) ;18 end

19 pcolor (W) ;20 shading f l a t ;

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Conclusiones

Se evidencia la complejidad y belleza de la estructura de los Conjuntos de Julia. Severica, que a partir del estudio y conocimiento de objetos topológicos y propiedadesde funciones de variable compleja es posible realizar la construcción total de esta es-tructura.

Como resultado relevante, se ha llegado a determinar que solo en algunos casos, el con-junto de Julia de las funciones racionales es diferente a toda C, lo cual al momentode comparar con el caso particular de la familia de funciones cuadráticas Pc = z2 + cgenera gran impacto, pues en la dinámica de las funciones racionales se presenta caosen toda la esfera de Riemann casi siempre.

Adicionalmente, se ha contemplado como propiedad inherente, que tanto el conjuntode Julia como su complemento son completamente invariantes lo cual hace que poriteración se sigan conservando propiedades y que su estructura prevalezca.

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Bibliografía

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Conjunto de Julia de una Función Racional

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