Configuraciones en las prácticas docentes de Matemática en...

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Revista de Informática Educativa y Medios Audiovisuales Vol. 2 (4), págs. 31-61. 2004 ISSN 1667-8338 © LIE-FI-UBA. [email protected] 31

Configuraciones en las prácticas docentes de Matemática en la Uni-versidad - Estudio de un caso: Álgebra en las carreras de Ciencias

Económicas de la UNVM1

Marcel David Pochulu

Universidad Nacional de Villa María [email protected]

1 Resumen de la Tesis de Maestría presentada en el año 2004 a UTN – Regional Buenos Aires, para acceder al título de Magís-ter en Docencia Universitaria.

Resumen

El presente trabajo se enmarcó en una me-todología cualitativa de investigación y tuvo por objetivo describir, analizar y categorizar las prácticas docentes de Matemática de las carreras de Ciencias Económicas de la Universidad Nacional de Villa María.

El diseño metodológico de toda la investi-gación se basó en la observación, análisis e interpre-tación de las prácticas docentes de cinco profesores que desarrollaron sus actividades en el espacio curri-cular asignado a la cátedra de Álgebra, del primer año de las carreras de Ciencias Económicas, durante el año lectivo 2001.

El análisis estuvo centrado en dimensiones que surgieron del propio proceso de investigación, basadas en observaciones de clases y los trabajos consultados. Asimismo, enfocamos nuestra atención en las estrategias de enseñanza que privilegiaron los profesores para el desarrollo de sus clases, y la dis-posición, distribución, organización y tratamiento que efectuaron de las distintas instancias y momentos que componían las clases. Las características exclu-sivas y particulares halladas en las clases de cada profesor permitieron la construcción de las diferentes configuraciones en las prácticas docentes de Mate-mática en la Universidad.

Palabras claves: Configuraciones de clases, prácti-cas docentes de Matemática.

1. INTRODUCCIÓN

1.1. Consideraciones generales.

Si tuviéramos en cuenta todas las perspecti-vas sobre las funciones y roles que los profesores de Matemática deberían desempeñar en el presente y de cara al futuro, podríamos comprobar que se nos pre-senta un abanico interminable de quehaceres y res-

ponsabilidades. Al profesor de Matemática se le pide o exige un nuevo comportamiento profesional, una nueva actitud hacia los alumnos; un conocimiento y habilidades pedagógicas flexibles según las distintas situaciones y contextos educativos; un conocimiento de la disciplina en sí y el conocimiento didáctico asociado a ella. Asimismo, se espera y pretende que:

Configuraciones en las prácticas docentes de Matemática en la Universidad - Estudio de un caso: Álgebra en las carreras de Ciencias Eco-nómicas de la UNVM

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logre impulsar y motivar el trabajo de los alumnos conduciéndolos a la reflexión; domine aspectos so-ciales y emotivos de los alumnos; sea hábil en la generación de entornos de aprendizajes matemática-mente ricos y enriquecedores; diseñe modelos que se adapten a las inciertas y cambiantes condiciones de aprendizaje que se dan en las clases de Matemática, y sepa preparar a sus alumnos, ya sea para una integra-ción y participación en el mundo del trabajo, o para la continuidad de estudios superiores.

Sin duda, podríamos continuar con una serie interminable de aspectos, destrezas, actitudes y com-portamientos que deberían estar presentes en la tarea docente de los profesores de Matemática, y que se ven reflejados en las producciones de muchos inves-tigadores, que dejan entrever sus ansias por hallar un ideal que sirva como prototipo de referencia.

No obstante, cuando centramos el análisis en las clases de Matemática, podemos encontrar investigadores que observan similitudes y uniformi-dad en estas prácticas educativas, cualquiera sea el nivel educativo en el que se desarrollen. Así por ejemplo, Stodolsky (1995, p. 45), al referirse a las prácticas docentes en Matemática y Ciencias Socia-les del nivel medio, expresa:

/…/ hay una considerable homogeneidad en la enseñanza de las matemáticas, mientras que la enseñanza de las ciencias sociales se caracteriza por la diversidad. En todas las clases de matemáticas se hace evidente una uniformidad en el contenido de las lecciones, en las formas de enseñanza, las metas cognitivas y el comportamiento de los alumnos. Hallamos mayor diversidad en los temas, formas de abordarlos y metas propias en las ciencias sociales, tanto al comparar unas clases con otras como al observar las prácticas dentro de una misma clase.

Las características que Stodolsky encuentra en las clases de Matemática del nivel medio no se apartan demasiado de las descripciones de las clases universitarias de Matemática que realiza Silva (1993, pp.5-6). Ya que esta investigadora las describe como prácticas docentes completamente organizadas, efi-cientes y con un buen nivel de enseñanza, con profe-sores que repiten definiciones, enunciados de teore-mas y reglas con las mismas palabras del libro de texto. Señala asimismo, que en estas clases el docen-te generalmente exige a los alumnos que recuerden los contenidos, con la creencia de que así llegarán a la comprensión del tema, que memoricen, como proceso equivalente al razonamiento; explica con mucho cuidado los puntos difíciles de la teoría par-tiendo siempre de lo más simple para llegar a lo más complejo. Por otra parte, advierte que la función del alumno, en este contexto, se reduce a escuchar aten-tamente lo que el docente expone, y que se supone

debe ser aprendido, al mismo tiempo que copian todo lo que el profesor habla y escribe en la pizarra, re-produciendo de esta manera la materia en sus carpe-tas, en las que además realizan varias veces las listas de ejercicios para garantizar, de alguna manera, cier-to éxito en las evaluaciones, que guardan la mayoría de las veces bastante semejanza con lo dado en clase.

Por otra parte, no debemos olvidar que en el proceso de enseñanza y aprendizaje, el docente no es el único protagonista, también se encuentran los estudiantes, que muchas veces se muestran renuentes para acercarse a esta ciencia, en tanto la ven como mecánica, repetitiva, intimidante, y sintiéndose im-potentes ante su presencia. En general, suele ocurrir que los alumnos difieren en sus concepciones y con-fianza hacia la Matemática y pocos son los que con-sideran que tienen habilidades o competencias apro-piadas para la misma, y en este caso, es el docente quien juega un rol fundamental en las actitudes que se generan en ellos. En este sentido, Antelo (1999, p. 9) es categórico cuando expresa:

Un profesor, cuando enseña, hace tajos, surcos, deja marcas y huellas. Para que una huella tenga lugar algo tiene que haber pasado. Enseñar es dar. “¿Qué es lo que estás dando?”. Un profesor es un dador. Enseñante. “Pero esto no lo dimos...”, “Eso ya lo di...”. Los jóvenes suelen decir: «Hay profesores que dan bien la materia» o «Me gusta cómo la da». Lo que un profesor enseña, pasa y da, produce efectos. Los efectos de la operación de en-señar son curiosos, pero efectos al fin. Somos en gran parte el resultado de lo que se nos ha dado o quitado, enseñado u ocultado, pasado o sustraído. Somos en buena medida el resultado de esas opera-ciones.

Es obvio que para entender las prácticas de Matemática en un contexto complejo, y al mismo tiempo cambiante, no basta con identificar la pro-blemática que las envuelve ni establecer cuáles son las mejores estrategias para llevarlas a cabo con éxito, como tampoco es suficiente analizar los obje-tivos, contenidos, currículum, actividades y evalua-ción que proponen los docentes.

Si bien es cierto que una cuidadosa defini-ción de objetivos, selección de contenidos y una planificación a conciencia de actividades y evalua-ción puede conducir a una buena práctica docente, investigaciones como la efectuada por Litwin (1997, p. 101), muestran que se encuentran buenas clases, en las cuales los docentes no recurren a esta “agenda clásica de la didáctica”2, puesto que los objetivos se 2 Litwin (1997, p. 45) considera que la agenda clásica de la didác-tica está compuesta por el análisis de los objetivos, contenidos, currículum, actividades y evaluación, sumando al mismo las cuestiones relacionadas con el aprendizaje.


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redefinen constantemente, como así también las actividades o los ejemplos que brinda el docente, debido a la interacción que se produce con los alum-nos y sus particulares interrogantes.

En consecuencia, se haría necesario, ade-más, calar en la red ideológica de teorías y creencias, como aconseja Pérez Gómez (1990, p.1), la mayoría de las veces implícitas, que determinan la forma como el profesor da sentido a su modo de actuar en general y a su práctica docente en particular, puesto que, como lo expresara este mismo autor:

La reflexión implica la inmersión consciente del hombre en el mundo de su experiencia, un mundo cargado de connotaciones, valores, intercambios simbólicos, correspondencias afectivas, intereses sociales y escenarios políticos. La reflexión, a dife-rencia de otras formas de conocimiento, supone tanto un análisis como una propuesta totalizadora, que captura y orienta la acción. (p. 12).

En este mismo sentido, también encontra-mos a Davini (1995, p. 129), quien sostiene que:

El desarrollo de una pedagogía centrada en el estudio de la práctica y en el ejercicio de la acción reflexiva puede ser un camino para que los docentes ejerzan un control racional de las situaciones del aula y que, en consecuencia, puedan definirse cla-ramente los fines y elegir los medios correspondien-tes.

El punto pareciera residir entonces, en la in-tegración de la reflexión y una «buena receta», como le llama Davini (1995, p.131 – 132), que oriente el análisis y los criterios de acción, en los que el docen-te pueda discutir y expresar sus supuestos, permi-tiéndole decidir entre alternativas y comprobar resul-tados. De todos modos, Pérez Gómez (1990, p. 15) argumenta que no hay manera de establecer de ante-mano cual es el método de enseñanza eficaz que garantice en unas circunstancias concretas, y para un grupo específico de alumnos, la correcta realización de los valores que se quieren desarrollar. Por tanto, y puesto que la correcta concreción de los valores es siempre condicionada por el contexto en cualquier caso cuestionable, el único modo racional y ético de intervenir es mediante la reflexión permanente en la acción y sobre la acción.

1.2. Definición del Problema.

Estas cuestiones relativas al modo de ense-ñar a los alumnos para que ellos aprendan se hacen cada vez más difíciles debido a lo compleja que es la propia vida social de nuestros tiempos. Las influen-cias socioculturales y económicas de todos los acto-res de la educación, junto a la acelerada evolución

del conocimiento requieren de reflexiones colectivas y cooperativas. El docente ya no puede enfrentar las prácticas educativas cotidianas desde una visión individual con la seguridad de otros tiempos. Hoy se requiere que todos los miembros de la comunidad educativa, analicen las situaciones que se dan en un aula con profundidad y rigor científico para encon-trar alternativas que permitan mejorarlas.

La búsqueda de una pedagogía específica que nos permita un análisis y reflexión de las prácti-cas docentes, así como el desarrollo de estrategias variadas que favorezcan la construcción del conoci-miento en los alumnos, se ha convertido desde hace tiempo en una efectiva necesidad de las instituciones educativas, y la Universidad no permanece ajena a ella.

Con frecuencia, encontramos que las uni-versidades suministran a sus alumnos, ya sea al final de un período lectivo o de una asignatura, encuestas destinadas a evaluar las prácticas docentes. Posible-mente la intencionalidad sea poder encontrar mejoras sobre las mismas que permitan redireccionarlas o que se conviertan en el puntapié inicial de una anhelada reflexión y toma de conciencia de las acciones que están llevando a cabo los profesores.

También es habitual encontrar a los alumnos emitiendo juicios y comentarios sobre una cátedra, o sobre algún docente en especial, ofreciendo un sin-número de indicaciones para “pasar” la materia y detallando todas las exigencias que tiene el profesor. Al respecto, Lindenskov (en Skovsmose 1999, p. 202) expresa que las metaconcepciones de los estu-diantes sobre la Matemática crean patrones para interpretar las diferentes tareas que el profesor pre-senta, e identifican las prioridades del docente para reaccionar de acuerdo a ellas durante el proceso educativo3. Por supuesto, si el espacio curricular se encuentra a cargo de varios profesores, sobrarán las recomendaciones para que alguien se inscriba en aquel o tal turno, en la comisión de la mañana o con el profesor de la tarde. En este sentido, traemos a colación las palabras de Antelo (1999, p. 9) cuando expresa:

Como seguramente usted sabe, la materia no siempre se da de la misma manera. Puede darse “a mi manera” o de otra manera. Hay materias que pesan más, dicen los jóvenes. Puede que sea porque son de peso, o puede que sea porque son un plomo. Hay materias llamadas curiosamente “llevaderas” y otras que parecen estar diseñadas para “llevárse-las”. Hay materias que sirven más y otras que no se digieren. Es por eso que escuchamos expresiones

3 Lindenskov ha acuñado la expresión: “currículo de los estudian-tes” para designar este patrón de reacción.


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como tragar la materia. Tragar y/o consumir una materia. Porque una materia es eso: una materia.

Si escuchamos atentamente a los alumnos podemos constatar que pueden definir y caracterizar, desde su subjetividad, de manera general las clases de cualquiera de sus docentes, determinar cuánto “saben” de la materia, lo fácil o difícil que la hacen, los ejemplos que brindan, la manera complicada o simple que tienen de explicar las cosas, si utilizan palabras sencillas o se van “por las ramas” cuando explican y toda característica que podamos imaginar, que con seguridad le han de encontrar una califica-ción.

Frente a esta situación nos surge como un interrogante natural: ¿cuáles son las características distintivas que presentan actualmente las clases uni-versitarias? Pero como nuestro interés radica en la Matemática, por ser la ciencia base de formación de quien lleva a cabo esta investigación, ha de consti-tuirse en una de las preguntas directrices de investi-gación:

• ¿Cuáles son las características distintivas que presentan actualmente las prácticas docentes de Matemática en la Universidad?

Tampoco estamos olvidando que en los pro-cesos de enseñanza y aprendizaje de la Matemática, nos encontramos con una gran variedad de dificulta-des, que sin llegar a una categorización exhaustiva las podemos agrupar, a grandes rasgos, en los si-guientes tópicos:

De origen psicológico:

Dificultades que surgen de los procesos del desarrollo cognitivo de los alumnos y de la es-tructura y organización de sus experiencias.

Dificultades debidas a actitudes afectivas y no racionales hacia la Matemática.

De origen epistemológico:

Dificultades debidas a la naturaleza del tema dentro del contexto de la Matemática.

De origen curricular:

Dificultades atribuibles a la naturaleza del cu-rriculum, a la organización de las clases y a los métodos de enseñanza usados.

Posiblemente algunos docentes que ejercen en la Universidad son conscientes de estas dificulta-des, ya sea porque se lo manifiestan año tras año indirectamente los alumnos, por conversaciones con los colegas, lecturas realizadas en bibliografías espe-cializadas u otras formas de acceso al conocimiento,

o simplemente ignoran consciente o inconsciente-mente su existencia, y siguen desarrollando sus cla-ses. No obstante, ignorando o siendo consciente de estas dificultades, cada profesor, como expresa Ante-lo (1999, p.17), tiene una forma de “pasar” los con-tenidos, los conocimientos y las destrezas, y tiene estrategias de enseñanza que se hallan teñidas por criterios, opiniones, valoraciones, ideas y creencias, que de alguna manera configuran el currículum y contribuyen en alguna medida, en la construcción del conocimiento en los alumnos.

Esta situación, nos conduce a un nuevo in-terrogante que ha de convertirse en nuestra segunda pregunta directriz de investigación:

• ¿Cuáles son las estrategias de enseñanza que privilegian los profesores universitarios de Ma-temática?

Finalmente, así como los alumnos logran caracterizar las clases de sus docentes bajo sus pro-pias apreciaciones que las hacen únicas, y crean una configuración de las mismas para ser transmitidas de estudiantes a estudiantes como un referente a tener en cuenta, nos resta un interrogante más, pero adop-tando la postura de educadores, que nos permita caracterizar las clases de Matemática en la Universi-dad. Así, en este sentido, tenemos nuestra tercera pregunta directriz de investigación:

• ¿Cuáles son las configuraciones que se pueden reconocer en las prácticas docentes de Mate-mática en la Universidad?

Sabemos también que en muchas ocasiones la terminología utilizada en el ámbito educativo puede llegar a resultar confusa, ya que un mismo término es usado por diferentes autores con sentidos diversos, y a veces, distintos términos se refieren al mismo o muy similar concepto. Esta razón nos lleva a precisar y clarificar qué entendemos en esta inves-tigación por configuraciones en las prácticas docen-tes, puesto que la expresión ha de utilizarse a lo largo del trabajo y haremos alusión a ella en reiteradas ocasiones.

Concebimos a una configuración en una práctica docente como la disposición, distribución, organiza-ción y tratamiento que efectúa el profesor de las distintas instancias y momentos que componen una clase y que le otorgan características particulares y distinguibles de las demás.

Consideramos que la caracterización y de-terminación de configuraciones en las prácticas do-centes de Matemática en la Universidad permitiría efectuar señalamientos que podrían favorecer el análisis, reflexión, interpretación y propuestas de


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intervención en las prácticas docentes, puesto que se estarían haciendo explícitos los fundamentos teóricos que las circundan. Al hacerlas evidentes, se pueden reelaborar y modificar, mejorando el contexto de justificación que ellas poseen. Asimismo, se enrique-cerían en el proceso de socialización, pues el com-partir ese saber supone reconocer en los demás la existencia de interlocutores válidos con los cuales se establece un diálogo pedagógico. De esta manera, también se evitaría caer en rutinas o prácticas inge-nuas que puedan ir en desmedro de la calidad educa-tiva, objetivo tan anhelado por la Universidad.

Por último, cabe señalar que las construc-ciones teóricas emanadas de este proceso de conoci-miento, reflexión y acción, tienen su grado máximo de validez en el contexto del cual surgen, puesto que las prácticas educativas en Matemática, como en cualquier otro campo disciplinar, son contextualiza-das, en tanto la estructura de la sociedad y los grupos que la conforman determinan las condiciones para las mismas y los objetivos que ellas persiguen.

1.3. Contexto de la investigación.

Para efectuar una caracterización y recono-cimiento de las configuraciones en las prácticas do-centes de Matemática en la Universidad, hemos considerado como contexto particular, las prácticas docentes de Matemática en la Universidad Nacional de Villa María, fundamentalmente porque somos docentes de esta casa de altos estudios, lo que nos permite acceder con mayor libertad a la información que requiere la investigación.

En lo que respecta a la Institución, la Uni-versidad Nacional de Villa María tiene su nacimiento hace muy pocos años, puesto que está en vías de concluir su proceso de organización. El Rector orga-nizador fue designado en septiembre de 1995 y el proyecto institucional fue elaborado durante 1996. La puesta en marcha de las actividades académicas se produjo en Abril de 1997, tras la aprobación de la CONEAU (Comisión Nacional de Evaluación y Acreditación Universitaria).

El entorno urbano cuenta con unos 90.000 habitantes (incluye las ciudades de Villa María y Villa Nueva) y con una zona de influencia de aproximadamente 300.000 habitantes, distribuidos en localidades en un radio de 60 km. La ciudad consti-tuye un verdadero nodo en el campo de las comuni-caciones, ya que pasan por ella las principales rutas del país.

De las veintidós carreras que imparte, nueve de ellas se dictan íntegramente en la Universidad y las otras trece son carreras que están articuladas con instituciones de nivel superior no universitario de

Villa María. Una de las características del diseño curricular de la Universidad es que cuenta con un Ciclo Básico Universitario cuyo objetivo es la for-mación personal e integral del futuro profesional, con una duración aproximada de dos años. Este ciclo es común a todas las carreras que dicta la UNVM y se extiende a su término un certificado que no tiene alcances o incumbencias profesionales.

Entre las nueve carreras consideradas “pro-pias” de la Universidad, cuatro de ellas tienen Mate-mática en su diseño curricular: Contador Público, Licenciatura en Economía, Licenciatura en Adminis-tración y Profesorado en Matemática. Las tres prime-ras conforman en la UNVM un bloque denominado “Carreras de Ciencias Económicas”.

Nuestro interés estuvo centrado desde un principio en las carreras de Ciencias Económicas por varias razones, donde las más relevantes son las que enumeramos a continuación:

• Entre cuatrocientos y quinientos alumnos esco-gen estas carreras en la Universidad Nacional de Villa María, por lo que resultan las únicas dentro de la institución con características de “cursado masivo”, lo cual es clásico en la mayoría de nuestras universidades nacionales.

• El interés de los estudiantes de las carreras de Ciencias Económicas generalmente no está cen-trado exclusivamente en la Matemática, ni han elegido estas carreras por afinidad o predisposi-ción hacia la misma, por lo cual encontramos alumnos que pueden sentirse cómodos y a gusto con esta ciencia y otros que pueden sentir recha-zo y resquemores.

• Los alumnos son distribuidos aleatoriamente en cinco comisiones a cargo de cinco docentes, con cursados simultáneos, lo que da lugar a que se puedan producir las situaciones que describía-mos cuando formulábamos nuestro problema de investigación, respecto a las opiniones que tie-nen los estudiantes sobre las prácticas docentes de sus profesores, como por ejemplo: “Y, te ex-plica bien, vos le preguntás a ella y explica, y lo malo que por ahí va muy rápido”, “Se notó que sabe un montón, pero es como que no sabe lle-gar”, “Me habían dicho que daba pausado”, “Me parece que hay métodos más fáciles para sacar o llegar a lo que ella quería explicar” o “Me pareció como medio cerrado, o sea, cuan-do uno pide otra forma de explicar porque no entiende, te tienen que explicar supuestamente de otra manera”

• Los cinco profesores a cargo de estas comisiones trabajan coordinadamente, es decir, el conjunto


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de acuerdos y criterios que orientan las decisio-nes que deberán tomar los docentes en torno a qué, cuándo y cómo enseñar y evaluar, y actuar en los procesos de enseñanza y aprendizaje, se halla consensuado por el equipo docente y diri-gido por uno de ellos, quien se constituye en el coordinador de asignatura.

• La preocupación por el análisis y reflexión sobre las prácticas docentes de las carreras de Ciencias Económicas ha sido una problemática que no de-jó pasar la Universidad Nacional de Villa María, donde puede advertirse no sólo en reuniones de docentes, sino también, en las publicaciones de distribución interna. Así, por ejemplo, en el bo-letín del año académico 2001, titulado “Re-flexiones sobre las Prácticas Docentes”4, el per-sonal de la Dirección de Orientación y Promo-ción Estudiantil expresaba, con relación a las di-ficultades halladas en los módulos de enseñanza, que:

Entre los aspectos que obturan el desarrollo de las actividades de los módulos y se consideran entran en conflicto con los objetivos del pro-grama se encuentran: la masividad de estudian-tes por comisión lo que entra en detrimento de las posibilidades de seguimiento al estudiante, las serias dificultades en el aprendizaje de algu-nos estudiantes que debieran ser saneadas con apoyo técnico especializado, dificultades para reconocer las exigencias diferenciadas del ám-bito universitario respecto a los aprendizajes y al tipo de actuación, falta de coordinación en las modalidades de trabajo entre todos los do-centes de los módulos a los fines de alcanzar los objetivos del curso, mayor articulación entre los docentes del curso y los docentes a cargo de las asignaturas vinculadas a las carreras a los efec-tos de acordar modalidades de trabajo respecto a las estrategias de aprendizaje que faciliten el acceso a los aprendizajes por parte de los alum-nos, heterogeneidad en los tipos de formación con que cuentan los estudiantes.

• El interés que tiene la UNVM por el análisis de las prácticas docentes, también se pone de mani-fiesto a través del sistema de autogestión diseña-do para los alumnos, el cual exige que se com-plete de manera obligatoria y con acceso sólo por medios informáticos de la propia Universi-

4 Este boletín se publica todos los años desde la Secretaría Académica del Rectorado de la Universidad y es entrega-do al personal involucrado en las actividades previstas para el Curso de Ingreso a la UNVM. El material tiene por finalidad abrir el diálogo y la discusión entre los docentes y personal implicado en pro de mejores estrategias de acción.

dad, una encuesta destinada a evaluar, entre otros ítems, la tarea docente. La encuesta cuenta con un total de veinte apartados, en donde ocho de ellos solicitan que el alumno exprese su opi-nión respecto de las actividades desarrolladas por el profesor que tuvo en las asignaturas cur-sadas anteriormente.

Estos motivos se convierten en los fundamentos para que la investigación se circunscriba enton-ces a la caracterización y reconocimiento de las configuraciones en las prácticas docentes de Ma-temática en las carreras de Ciencias Económicas de la Universidad de Villa María.

1.4. Objetivos de la investigación.

Previo a la presentación de los objetivos que persigue nuestra investigación, creemos conveniente, sin la intención de ser redundantes, rescatar las pre-guntas que dirigen y orientan nuestro trabajo y que mencionáramos anteriormente. Así, en nuestra bús-queda por comprender y caracterizar las prácticas docentes de Matemática en la Universidad, surgían como interrogantes:

• ¿Cuáles son las características distintivas que presentan actualmente las clases de Matemática en la Universidad?

• ¿Cuáles son las estrategias de enseñanza que privilegian los profesores universitarios de Matemática?

• ¿Cuáles son las configuraciones que se pueden reconocer en las prácticas docentes de Matemática en la Universidad?

Responder estas preguntas, en el contexto particular en el que delimitábamos la investigación; esto es la Universidad Nacional de Villa María, con-duce al logro de los siguientes objetivos específicos:

• Identificar y describir cuáles son las característi-cas distintivas que presentan las prácticas docen-tes de Matemática en las carreras de Ciencias Económicas de la Universidad Nacional de Villa María.

• Reconocer cuáles son las estrategias de enseñan-za que privilegian, implícita o explícitamente, los profesores universitarios de Matemática para favorecer el aprendizaje en los alumnos de las carreras de Ciencias Económicas de la Universi-dad Nacional de Villa María.

• Describir las configuraciones en las prácticas docentes de Matemática que se pueden detectar


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en las carreras de Ciencias Económicas de la Universidad Nacional de Villa María.

Para terminar esta sección introductoria, presentamos brevemente el contenido de las 4 partes que constituyen este trabajo. En la primera, la cual acabamos de exponer, hemos presentado el problema de investigación y los objetivos del trabajo.

En la segunda sección, dedicada a la Meto-dología de la Investigación, realizamos una descrip-ción de la estructura general del contexto en el que se desarrolló el trabajo, los procedimientos de investi-gación que se emplearon, las dimensiones de análisis escogidas y el modo en que llevamos a cabo el análi-sis de las prácticas docentes.

En la tercera sección presentamos los resul-tados obtenidos de la observación de las clases de Matemática de los cinco profesores de Álgebra de las carreras de Ciencias Económicas de la Universidad Nacional de Villa María, los discutimos y analizamos y exponemos las construcciones teóricas que surgen de la investigación llevada a cabo.

Finalmente, presentamos las conclusiones de la tesis donde sintetizamos los resultados obteni-dos, señalamos las aportaciones, alcances y limita-ciones que tuvo el trabajo, y cerramos esbozando algunas cuestiones que quedaron abiertas y darían lugar a una continuación de la investigación.

2. METODOLOGÍA DE INVESTIGACIÓN

2.1. Sobre el diseño metodológico.

El trabajo se enmarca en una metodología cualitativa de investigación que busca describir y analizar las prácticas docentes de Matemática en la Universidad. Los conocimientos construidos contri-buyen directamente al enriquecimiento de la Educa-ción Matemática, en tanto hemos considerado como foco de estudio la práctica docente, la cual es una posible línea de investigación que se propone desde este campo del saber (Kilpatrick 1995, p. 9).

El diseño metodológico de toda la investi-gación se basó en la observación, análisis e interpre-tación de las prácticas docentes de cinco profesores que desarrollaron sus actividades en el espacio curri-cular asignado a la cátedra de Álgebra, del primer año de las carreras de Ciencias Económicas de la Universidad Nacional de Villa María en el año lecti-vo 2001. Por cada profesor, fueron videograbadas cinco clases de dos horas reloj cada una, mientras desarrollaban la unidad didáctica “Sistemas Linea-les”.

Realizamos a continuación una descripción general de los procedimientos de investigación lleva-dos a cabo y las dimensiones de análisis escogidas.

2.2. Procedimientos de investigación.

Para realizar el análisis de las prácticas do-centes de Matemática en la Universidad, cuya inten-cionalidad es dar respuestas a nuestras preguntas directrices, seguimos los procedimientos de investi-gación que a continuación exponemos. En la descrip-ción, haremos referencia tanto a las técnicas utiliza-das como a la manera en que se aplicaron.

2.2.1. Filmaciones de clases.

Para el registro de las prácticas docentes, procedimos a videograbar el desarrollo de las clases de las cinco comisiones que posee el espacio curricu-lar de Álgebra.

La decisión de realizar la filmación de las prácticas docentes deviene del hecho que permite registrar el discurso y "clima” de la clase; esto es, la participación de los alumnos, las disposiciones del docente (gestos, tonos de voz, entre otros) y todos aquellos aspectos que difícilmente se hubiesen podi-do plasmar en grabaciones de audio o en registros textuales. Además, la videograbación admite la re-construcción de la clase en más de una oportunidad y permite compartir criterios de análisis y observacio-nes con otros miembros de la comunidad educativa y científica.

Por otra parte, las comisiones de Álgebra desarrollan sus clases en forma simultánea, tres por la mañana y dos por la tarde, impidiendo la presencia del mismo observador en cada una de ellas. Si bien se contó con el total apoyo y predisposición de los cinco profesores a cargo, se intentó, asimismo, evitar interrupciones y alterar el desarrollo normal de la práctica docente, por lo que se dispuso una cámara en cada aula sin la presencia de observador alguno.

Se efectuó la filmación de las cuatro clases que demandó el desarrollo del tema “Sistemas Linea-les” durante los días 11, 14, 25 y 28 de septiembre del año 2001. El tiempo asignado a la unidad fue estipulado por el coordinador de la cátedra, luego de llegar a un consenso con los demás profesores a cargo de las comisiones. También se filmó una quin-ta clase por cada docente, desarrollada el día 16 de


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octubre de 2001, cuyo eje central fue la revisión general de los temas para la evaluación parcial que se realizó el día viernes 19 de ese mes, donde no sólo se consideró la unidad correspondiente a “Sistemas Lineales”, sino también, a “Ecuaciones Diferencia-les”.

2.2.2. Análisis documental.

Dado que los contenidos de Álgebra son es-tipulados por el coordinador de cátedra, hemos con-siderado apropiado tener en cuenta en nuestra inves-tigación el programa de la asignatura que se maneja internamente entre los docentes, y al que no tienen acceso los alumnos. Allí, como mencionáramos anteriormente, se establecen las pautas metodológi-cas a tener en cuenta para el desarrollo de la materia, los tiempos asignados a cada tema y las recomenda-ciones generales para el accionar docente.

Por otra parte, hemos considerado las plani-llas de regularidad que completó cada profesor en el sistema académico de la Universidad. En ellas se contempla el número de alumnos asignado a cada comisión, las calificaciones obtenidas en las evalua-ciones parciales y recuperatorios de la asignatura, como así también, la condición final alcanzada por cada estudiante (regular o libre).

2.2.3. Entrevistas con alumnos.

Para contrastar las características distintivas que hallamos en las prácticas docentes de Matemáti-ca en la Universidad, con las opiniones de los estu-diantes, realizamos entrevistas no estructuradas con tres alumnos, elegidos aleatoriamente de cada comi-sión de trabajo. Estas entrevistas fueron realizadas los días 20 y 23 de noviembre del año 2001 y graba-das en cintas de audio.

Como ejes centrales de la entrevista se con-sultaron a los estudiantes sobre las características que más valoraban en las prácticas docentes de su profe-sor de Matemática, la participación que tenían en el desarrollo de las clases y las dificultades que les ofrecía la asignatura.

2.3. Análisis de las prácticas docentes.

Distinguimos en esta etapa, dos grandes fa-ses que dan lugar a dos niveles de análisis:

a) Descripción y análisis de las características distintivas de las prácticas docentes de cada profesor observado.

b) Determinación de estrategias de enseñanza y configuraciones que se pueden reconocer en las prácticas docentes de Matemática en la Universidad.

Para la descripción de las prácticas de cada profesor, en primera instancia se procedió a la obser-vación en forma ininterrumpida de las grabaciones de cada clase de un mismo docente, tratando de en-contrar características que resultaban invariantes y que presumiblemente podrían repetirse en sus prácti-cas docentes, con otros grupos de alumnos y con distintos contenidos. Posteriormente, procedimos a ver nuevamente las videograbaciones con el objetivo de constatar la presencia, frecuencia y regularidad de aquellas características que habían sido señaladas como invariantes en las prácticas del docente obser-vado.

Estas constataciones nos permitieron cons-truir algunas dimensiones iniciales de análisis que fueron complementadas con otras inspiradas por la bibliografía previamente analizada, las que poste-riormente se reagruparon en tres dimensiones defini-tivas. Se seleccionaron fragmentos de las clases y se efectuaron transcripciones de los mismos a fin de ejemplificar tales dimensiones. Además, analizamos las opiniones vertidas por los estudiantes en las en-trevistas con la finalidad de constatar algunas de las características halladas en las prácticas docentes de cada profesor.

En síntesis, podemos decir que los pasos se-guidos en el primer nivel de análisis que constituye la primera fase fueron las siguientes:

1) Observar los videos de las filmaciones co-rrespondientes a cada docente.

2) Señalar características que aparecen con frecuencia.

3) Observar nuevamente los videos para cons-tatar la presencia, frecuencia y regularidad de dichas características.

4) Construir las dimensiones de análisis a par-tir de nuestras observaciones y lecturas pre-vias.

5) Seleccionar y transcribir fragmentos o epi-sodios que ejemplifiquen tales dimensiones.


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6) Constatar algunas características de las prácticas docentes con la opinión vertida por los alumnos en las entrevistas.

Para la segunda fase, que da lugar al segun-do nivel de análisis, fuimos creando convergencias entre los diferentes aspectos que conformaron las dimensiones de análisis, tratando de encontrar las características comunes que se presentaban entre las prácticas de los docentes. Enfocamos nuestra aten-ción en las estrategias de enseñanza que privilegiaron los profesores para el desarrollo de sus clases, y la disposición, distribución, organización y tratamiento que efectuaron de las distintas instancias y momentos que componían las clases.

Finalmente, las características exclusivas y particulares halladas en las clases de cada profesor permitieron la construcción de las diferentes configu-raciones en las prácticas docentes de Matemática en la Universidad. Asimismo, también efectuamos una correlación entre las configuraciones detectadas y los resultados de las evaluaciones parciales en el tema que nos ocupa: “Sistemas Lineales”.

En la siguiente sección nos referimos a las dimensiones de análisis utilizadas y describimos detalladamente cada una de ellas.

2.4. Dimensiones de análisis de las prácticas docen-tes.

Si bien no partimos de una construcción de categorías de análisis previamente establecida, no podemos desestimar que la búsqueda de invariantes también se halló condicionada por las emergentes de las diferentes investigaciones consultadas, cuyos focos de estudio giraron en torno a la caracterización de las prácticas docentes de Matemática.

De todos los aspectos posibles a ser analiza-dos en una práctica docente, hemos seleccionado aquellos que resultaron más evidentes para cualquier observador, y al mismo tiempo, permitían caracteri-zar una clase de Matemática con profundidad y de modo exhaustivo. Por un lado, sin hallar una coinci-dencia estricta con la denominación que hemos adop-tado, surgieron, de las investigaciones consultadas (Gómez y Valero 1996, Litwin 1997, Silva 1993, Roulet 1998), los siguientes aspectos:

• El tratamiento de los contenidos conceptua-les y procedimentales,

• Las explicaciones aportadas por el profesor,

• La interrogación didáctica.

Por otro lado, a partir de las observaciones de las clases videograbadas hemos rescatado como aspectos importantes que caracterizan las prácticas de los docentes:

• El plan de clase explicitado por el profesor,

• El texto que el profesor registra en la pizarra o le dicta a los alumnos, y

• El estilo que exhibe el profesor en la resolu-ción de problemas.

Posteriormente, realizamos un agrupamien-to de algunos de estos aspectos, lo que nos permitió convergir hacia tres dimensiones de análisis definiti-vas que detallamos a continuación:

Manifestaciones instruccionales.

Bajo esta denominación hemos agrupado los siguientes aspectos:

• El tratamiento de los contenidos concep-tuales y procedimentales.

• El plan de clase explicitado por el profe-sor.

• Las explicaciones aportadas por el profe-sor.

• El texto que el profesor registra en la pi-zarra o le dicta a los alumnos.

Resolución de situaciones problemáticas.

• El estilo que exhibe el profesor en la re-solución de problemas.

Interrogación didáctica.

• La interrogación didáctica que lleva a ca-bo el profesor.

Para cada uno de los aspectos considerados en las dimensiones de análisis construidas, señalare-mos a continuación la relevancia que tienen los mis-mos, el tipo de información que rescatamos y los indicadores que fueron utilizados.


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2.4.1. Manifestaciones instruccionales.

• Tratamiento de los contenidos conceptuales y procedimentales.

En los últimos años, y fundamentalmente a partir del proceso de implementación de la Ley Fede-ral de Educación, se ha extendido en nuestro país una concepción más amplia de contenidos de enseñanza que no se restringe sólo a los aspectos conceptuales, sino que incluye también los procedimentales y acti-tudinales de diversos campos disciplinares.

Para el análisis de este aspecto, hemos con-siderado sólo los contenidos conceptuales y proce-dimentales, puesto que los actitudinales se corres-ponden con el "saber ser" y se sustentan esencial-mente en patrones axiológicos afirmados en los valo-res, normas éticas y juicios. Asimismo, involucran el desarrollo e interiorización de actitudes que implican un largo y complejo proceso, creencias, reacciones y capacidad de crítica. En este sentido, su naturaleza es eminentemente subjetiva y escapa a los fines que perseguimos en nuestra investigación.

En nuestro trabajo, entendemos por “conte-nidos conceptuales” a los que remiten al conjunto de conceptos, principios y teorías que conforman los diferentes campos del conocimiento, los cuales pue-den ser factuales y conceptuales propiamente. El contenido factual hace referencia a datos y hechos que contienen información verbal y generalmente se aprenden de forma literal; el contenido conceptual propiamente, tiene que ver con la adquisición y cons-trucción de conceptos o categorías que supone un proceso de abstracción de los significados esenciales y la identificación de las características sustantivas, así como la comprensión de la estructura en la que se integra. Estos contenidos, conducen al logro del conocimiento conceptual, caracterizado por Hiebert y Lefevre (1986, p. 3–4) para el caso de la Matemática, como conocimiento rico en relaciones, el cual puede ser pensado como una red interconectada de conoci-mientos o malla en la cual las conexiones involucra-das son tan importantes como las piezas discretas de información.

Los “contenidos procedimentales”, en tanto, remiten al saber hacer propio de cada campo de co-nocimiento y permiten el desarrollo de habilidades cognitivas y estrategias complejas para resolver problemas, así como la capacidad para demostrar la validez o invalidez de razonamientos y construir inferencias a partir de estructuras lógicas determina-das. Estos contenidos conducen al logro del conoci-

miento procedimental, el cual se compone para el caso de la Matemática, según Hiebert y Lefevre (1986, p. 6), de dos partes distintivas:

1) Lenguaje formal o sistema de representa-ción de símbolos de la Matemática, el que incluye una familiaridad con los símbolos para representar ideas matemáticas y un conocimiento de las reglas sintácticas para escribir con los símbolos de un modo aceptable; y

2) Algoritmos, reglas o procedimientos uti-lizados para realizar las tareas matemáticas.

Asumimos que los contenidos conceptuales y procedimentales se encuentran en constante inter-acción y que no pueden enseñarse y aprenderse por separados. No obstante, consideramos que es posible hallar dominios de aplicación particulares, más allá de la estructura que los engloba, que hacen mantener claramente el ámbito de su significación y pueden ser diferenciados.

Bajo estas consideraciones, hemos tomado para el aspecto “Tratamiento de los contenidos con-ceptuales y procedimentales”, los siguientes indica-dores:

a) Tiempo que el profesor le asigna a los contenidos conceptuales y procedimentales de la asignatura, y

b) Orden e ilación de los temas abordados en comparación con los que plantea la planificación elaborada por el equipo docente.

Para efectuar el análisis estipulado en el apartado b), determinamos si el profesor sigue en su exposición y desarrollo una secuencia progresiva lineal de los contenidos y sugerencias de análisis, en el sentido que coincide con lo establecido en la plani-ficación; o no lineal de los mismos, en caso de modi-ficar la ordenación y jerarquía estipulada.

En el caso de los contenidos procedimenta-les, si bien tuvimos en cuenta el tiempo que el docen-te destinó a los mismos, no analizamos el movimien-to realizado, puesto que no se contemplan taxativa-mente en la planificación de la asignatura.

Cabe aclarar que hemos considerado para este análisis las cuatro primeras clases, en tanto la quinta tuvo por objetivo la revisión general de con-ceptos y no se desarrollaron tópicos de la planifica-ción de la asignatura, sólo se realizaron ejercicios de


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los diversos temas que conformaban el primer par-cial.

• Plan de clase explicitado por el profesor.

Con respecto al plan de clase, podemos de-cir que adquiere relevancia para los alumnos en tanto les permite tener conocimiento de los objetivos que persigue el docente con su práctica, las metas que son deseables alcanzar en el tema y hacia dónde se debe enfocar la atención en el desarrollo de los con-tenidos.

Para este aspecto, hemos tenido en cuenta los episodios en los cuales cada profesor explicitó a los alumnos, de forma oral o escrita, el plan de clase a desarrollar o las intencionalidades que perseguía, ya sea con la unidad didáctica, la clase o parte de ella.

• Explicaciones aportadas por el profesor.

Por lo general, gran parte de las explicacio-nes que plantea un profesor cuando presenta un con-tenido, resultan ser producto del conocimiento disci-plinar por un lado, y de su experiencia docente por el otro. Éstas, al igual que los contenidos conceptuales y procedimentales, se convierten en el corazón de la práctica docente, razón por la cual adquieren particu-lar relevancia en nuestra investigación.

En las explicaciones aportadas por el profe-sor, se ponen en juego distintas y variadas estrategias metodológicas de enseñanza que proponen la puesta en práctica de procesos cognitivos de distinto tipo, cuyo objetivo es la construcción del conocimiento por parte del alumno.

En consecuencia, para este aspecto, tuvimos en cuenta los fragmentos de clases en los cuales cada docente trataba de hacer comprender a los alumnos, mediante explicaciones orales o escritas, el tema que se encontraba desarrollando. Asimismo, hemos reali-zado algunas observaciones referidas al uso del len-guaje matemático y a los momentos en los cuales es introducido, ya sea después del desarrollo de ciertos contenidos o en primera instancia cuando se aborda el tema.

• Texto que el profesor registra en la pizarra o dicta a los alumnos.

El texto que el profesor registra en la pizarra o hace registrar a los alumnos a través del dictado adquiere relevancia para nuestra investigación, en

tanto nos brinda información acerca de las activida-des que podrían ser prioridades para el docente, co-mo así también, el modelo de enseñanza y aprendiza-je que sustenta.

Para este aspecto, tuvimos en cuenta los fragmentos de clases en los cuales el profesor regis-traba, o hacía registrar a los alumnos contenidos del tema en cuestión.

2.4.2. Estilo del profesor en la resolución de pro-blemas.

La resolución de problemas se convirtió en los últimos tiempos en un slogan que acompañó diferentes concepciones sobre qué es la educación, qué es la escuela, qué es la Matemática y por qué debemos enseñar Matemática en general y resolución de problemas en particular. Algunos educadores como Brousseau (1986), Charnay (1997), Chevallard (1991), Godino, Batanero y Font (2003), Kilpatrick, Gómez y Rico (1995), Sierpinska y Lerman (1996), Vilanova y otros (2001), aceptan la idea de que el objetivo primario de la educación matemática debe-ría ser que los alumnos aprendan Matemática a partir de la resolución de problemas; apreciación que tam-bién es sostenida en los lineamientos curriculares propuestos por el Ministerio de Cultura y Educación de la Nación en Cuenya y Otros (1996), Fava y Gy-sin (1996) y en Saiz (1996).

Sin embargo, dadas las múltiples interpreta-ciones asociadas a la “resolución de problemas”, este objetivo difícilmente es claro. Tal término ha sido usado para designar una estrategia de enseñanza, o para referirse a diversas actividades, que van desde trabajar con ejercicios rutinarios hasta hacer Mate-mática profesional.

En nuestro trabajo, consideraremos que el profesor está trabajando con un problema cuando:

1) La resolución del mismo no es inmediata, es decir, no deviene de la aplicación directa de algún al-goritmo o conjunto de reglas.

2) Permite llegar a la solución por diversos caminos o métodos (algebraico, geométrico, numérico).

3) Involucra algunos de los procesos básicos del pensamiento matemático, principalmente los que resultan de las cuatro fases que distingue Pólya (1957) con relación a los procedimientos heurís-ticos, algorítmicos y pensamiento divergente


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aplicados en la resolución de situaciones pro-blemáticas.

Nuestro interés, para esta dimensión de aná-lisis, se halla centrado en determinar:

1) Si el profesor resuelve en clase problemas del tema en cuestión, y

2) El estilo que muestra al resolverlos, fundamental-mente en lo que respecta a las etapas o pasos que sigue.

Como indicador, consideraremos los fragmentos de clases que dan cuenta del uso de esta estrate-gia de enseñanza y la presencia de las fases de resolución de problemas que plantea Pólya (1957):

Primera Fase: Comprender el problema..

Segunda Fase: Elaborar un plan.

Tercera Fase: Llevar a cabo el plan..

Cuarta Fase: Mirar retrospectivamente.

Si bien acordamos con algunas de las críticas que se le efectúan a las fases de resolución de problemas de Pólya, efectuadas fundamental-mente por Davis y Hersh (1986), en lo que res-pecta a la funcionalidad y eficacia que puede te-ner para todos los alumnos, creemos que poner-las en práctica favorecería la toma de conciencia de que una planificación previa y algunos proce-dimientos lógicos sirven para realizar con éxito muchas tareas cognitivas.

2.4.3. La interrogación didáctica que lleva a cabo el profesor.

En la mayoría de las clases de Matemática, solemos ver que el docente es el que coordina el proceso de enseñanza y aprendizaje, y como tal, es el que generalmente efectúa las preguntas y propone las tareas con la intención de facilitar, promover o esti-mular el pensamiento, la verbalización y el aprendi-zaje de los alumnos. Para ello, se hace necesario saber escuchar con atención las ideas de los estudian-tes y pedirles que las aclaren y justifiquen, ya sea oralmente o por escrito, y gestionar la participación en la discusión, decidiendo cuándo y cómo animar a cada uno a participar. La dirección del discurso le hará tomar al profesor decisiones importantes en cuanto a lo que tiene que profundizar, cuándo es el

momento propicio para introducir notaciones y ter-minología matemática, cuándo hay que suministrar información o brindar explicaciones, cuándo debe dejar a los alumnos para que luchen con una dificul-tad, etc.

Consideramos que una de las formas más importantes que tiene el profesor para orientar el discurso en clase es haciendo preguntas a los alum-nos. Según Taba “la forma de hacer preguntas es con mucho el acto docente que por sí solo puede influir más poderosamente en el conjunto del apren-dizaje” (citado en Escudero, 2002, p. 27). Cuestio-nando e indagando el profesor puede detectar dificul-tades en el nivel de comprensión de los conceptos y de los procesos matemáticos que se encuentra des-arrollando, estimula a pensar y razonar, incita a la participación y puede mantener cautiva la atención en el trabajo de clase y construcción del conocimien-to.

Desde esta perspectiva de análisis, categori-zamos las preguntas que efectuaron los profesores en los segmentos de clase que seleccionamos como representativos de la práctica docente, mostrando, al mismo tiempo, el estilo que se adoptó con relación a la interrogación didáctica. Tales segmentos corres-ponden a episodios en los que existió mayor cantidad y variedad de preguntas formuladas por el profesor, así como una mayor interacción entre docente y estudiantes. Sólo tuvimos en cuenta aquellas pregun-tas dirigidas a obtener una respuesta de los alumnos y no las que el profesor utilizaba como apoyo de su discurso.

No hemos utilizado una tipología previa-mente construida. A partir de la observación de las clases videograbadas, tipificamos las preguntas y construimos una categorización que consideramos se ajusta a las prácticas docentes de Matemática obser-vadas. Como indicador de esta dimensión, hemos analizado en las clases de cada profesor la frecuencia con la que efectuaba interrogantes del siguiente tipo:

1. Preguntas para rememorar. Son las que formula el docente para indagar las creencias previas de los alumnos sobre el tema de la clase, o sobre te-mas tratados durante una clase, los cuales no re-quieren el análisis, la reflexión o la creación por parte de los estudiantes: solamente se exige recor-dar nombres o consignas abordadas. Por ejemplo: ¿Cómo resolvían este sistema en el secundario?

2. Preguntas para aplicar o resolver. Son las que formula el docente esperando una sola respuesta


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correcta. El alumno utiliza la información para re-solver un prob1ema. Implícitamente se le está preguntando al alumno ¿cuál es el valor de…? Como ejemplos tenemos: ¿Cuál es la intersección entre esas tres ecuaciones? ¿Cuál es la inversa de esta matriz?

3. Preguntas para analizar. Las formula el docente para que los alumnos piensen en términos críticos; identifiquen razones y motivos; establezcan una deducción basándose en varios fragmentos de in-formación; determinen si una conclusión se halla confirmada por pruebas. Como por ejemplo: ¿Por qué se conserva el conjunto solución de un siste-ma al aplicar operaciones elementales? ¿Cuál mé-todo es más eficaz? ¿Por qué es más eficiente el método de reducción?

4. Preguntas para crear. Las formula el docente para que el alumno efectúe una reflexión original, cree un plan, una propuesta, un diseño, un méto-do, etc. No hay solamente una respuesta correcta.

Como ejemplos tenemos: ¿Cómo armarían el sis-tema de ecuaciones? ¿Cómo reducirían este sis-tema de ecuaciones si deben hacer la menor canti-dad de operaciones elementales posibles?

En los segmentos de clase seleccionados, hemos marcado las diferentes preguntas que formula el docente, para lo cual utilizamos una codificación para cada tipo de pregunta.

Finalmente hemos cuantificado, por un lado, las preguntas que formula el profesor tendientes a producir una interacción entre el conocimiento y los alumnos, y por el otro, las respuestas de los alumnos a estas preguntas.

En la próxima sección son expuestos los re-sultados y analizados a la luz de las preguntas direc-trices de la investigación.

3. LAS ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA Y LAS CONFIGURACIONES DE CLASES

3.1. Consideraciones generales

En la presente sección discutimos los resul-tados obtenidos durante el desarrollo de la investiga-ción, los cuales tuvieron por finalidad brindar ele-mentos que permitieran comprender y caracterizar las prácticas docentes de Matemática, en las carreras de Ciencias Económicas, de la Universidad Nacional de Villa María.

El análisis realizado sobre las clases des-arrolladas por los 5 profesores de Álgebra, mientras trabajaban con los contenidos de la unidad didáctica “Sistemas Lineales”, nos permitió hallar las caracte-rísticas distintivas que presentaban cada una de estas prácticas docentes, y al mismo tiempo, determinamos las estrategias que se privilegiaban en los procesos de enseñanza y aprendizaje de la Matemática en la Uni-versidad.

A fin de sistematizar y traer a colación la in-formación recabada, efectuaremos una breve síntesis de las dimensiones propuestas para interpretar las prácticas docentes de cada profesor, tratando de encontrar los puntos que tienen en común y aquellas características que las hacen diferentes unas de otras.

3.2. Las manifestaciones instruccionales de los profesores.

De nuestro trabajo se desprende que los pro-fesores de Matemática no desarrollan las clases de la misma forma, a pesar de existir una planificación de la asignatura que sirve de referente y guía. En conse-cuencia, la igualdad de contenidos en una planifica-ción no garantiza la existencia de clases idénticas de Matemática en la Universidad, y podemos tener una variedad de ellas respecto a la distribución de tiempo que hace el profesor entre los contenidos conceptua-les y procedimentales. Así, se tuvieron clases fuer-temente centradas en uno u otro contenido y clases que equilibraron el tiempo destinado a ellos; o clases donde se realizaron constantemente revisiones con-ceptuales y clases que no contaron con estos repasos. El único elemento común hallado en este punto se encuentra en que los profesores alternaron en su presentación los contenidos conceptuales con los procedimentales.

Por otro lado, hacemos notar que en la pla-nificación entregada por el coordinador de Álgebra a los integrantes del equipo docente, se han establecido para cada subtema los criterios metodológicos que se debían seguir. A pesar del detalle minucioso de indicaciones, sólo dos de los profesores abordaron con ese enfoque cada subtema. De todos modos, ninguno de los profesores, salvo el propio coordina-


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dor, siguió taxativamente las recomendaciones meto-dológicas que allí se planteaban.

Esta forma disímil de trabajo de los docen-tes, a pesar de contar con una planificación común que articulara sus prácticas y recomendaciones me-todológicas para abordar los contenidos, puede en-tenderse y explicarse si tenemos en cuenta que cada profesor estructura un grupo de concepciones, valo-res e ideologías con respecto a los elementos más relevantes que entran en juego en su ejercicio profe-sional –definido como el “sistema de creencias” por Ernest (1989)– que se relacionan con las concepcio-nes que él tiene acerca de la naturaleza del conoci-miento matemático y sobre los objetivos que debe perseguir la educación matemática, las que determi-nan que se adopte un modelo particular de enseñanza y de aprendizaje de la Matemática. De todas mane-ras, analizando el modo en que trabajaron cada uno de los profesores en las clases, se evidenció, a nues-tro juicio, que los objetivos propuestos para la asig-natura no fueron totalmente consensuados entre los docentes del equipo, sino más bien, establecidos por el coordinador de cátedra.

En cuanto al plan de clase explicitado por el profesor, consideramos que no pasa desapercibido para muchos de los estudiantes, en tanto les permite tener conocimiento de los objetivos que persigue el docente con sus prácticas, las metas que son desea-bles alcanzar en el tema y hacia dónde se debe enfo-car la atención en el aprendizaje de los contenidos. De nuestras observaciones se desprende que los profesores no explicitan a sus alumnos un plan de clase que trascienda la mera enumeración de los contenidos conceptuales y procedimentales que han de ser abordados a lo largo de la clase o en sucesivos encuentros, como así tampoco, explicaciones que aludan a la importancia que se le asigna a cada con-tenido dentro de la unidad. Al respecto, Skovsmose (1999, p. 208–209) resume convincentemente la concepción que tenemos sobre esta situación, pues expresa:

En la educación matemática tradicional las intenciones raras veces se comparten. Las negocia-ciones se cortan con frases como “hoy vamos a aprender sobre…”. Las posibles intenciones que se esconden detrás de las series de comandos educati-vos no son comprensibles. De alguna manera, se deja al estudiante como un soldado en una trinchera en el frente de batalla sin saber su posición ni el próximo movimiento del ejército. El soldado no tiene posibilidad de hacerse una imagen de la situación estratégica. Si comienza a librar su propia batalla

con base en su interpretación de la situación, proba-blemente ésta no tenga sentido en conexión con la situación estratégica global. El soldado no puede actuar sólo siguiendo órdenes. No obstante, puede desarrollar su propia interpretación de su situación personal. Puede desarrollar sus propias intenciones, como mantenerse en la mejor condición física posi-ble tratando de conseguir una mejor ración de comi-da, mejorando su habilidad para jugar ajedrez, etc.

Además, debemos tener en cuenta que el profesor tiene ideas y planes que no necesariamente coinciden con las interpretaciones que hacen los estudiantes de ellas, pues son moldeadas sobre la base de sus propias percepciones. Al respecto, con-cordamos con Gómez (1995, p. 169) cuando sugiere que:

La motivación del estudiante se debe lograr a través de la generación de un compromiso por parte del estudiante hacia la misión y los objetivos del curso. Para ello, es esencial que el estudiante conozca esta misión y estos objetivos y que les en-cuentre una razón de ser a nivel personal.

En consecuencia, creemos que indicar la re-levancia que tiene cada tema, en el marco de la uni-dad didáctica o de la propia asignatura, permitiría a los alumnos tomar conciencia de los puntos en los que es necesario centrar la atención a la hora de efectuar el estudio. Por otra parte, hay que recordar que es habitual encontrar estudiantes que sin tener dificultades en el aprendizaje, descartan temas rele-vantes de una unidad porque no advirtieron la impor-tancia que tenía, o la que implícitamente le asignó el profesor.

En lo que respecta a la presentación de con-tenidos conceptuales y procedimentales, hallamos que la misma deviene fundamentalmente de dos caminos; por un lado, trabajando con los contenidos procedimentales de la asignatura se van desprendien-do los contenidos conceptuales, y por el otro, expo-niendo los contenidos conceptuales como un conjun-to de verdades y reglas impuestas para posteriormen-te arribar a los contenidos procedimentales. De la misma forma observamos que, si se elige el camino que va de los contenidos procedimentales a los con-ceptuales los profesores inducen a los alumnos a participar, lo que no necesariamente ocurre así cuan-do el proceso es inverso, es decir, cuando se transita desde los contenidos conceptuales a los procedimen-tales, en el que prevalece la exposición del docente como un mero proceso de transmisión de informa-ción.


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Por otra parte, encontramos que en ciertas exposiciones se incorpora el lenguaje matemático y terminología específica después de haberse trabajado algún proceso o práctica de la asignatura, haciéndose previamente un uso intensivo de metáforas, analogías y contraejemplos. En otras clases, en tanto, adverti-mos que se introduce en primera instancia un lengua-je específico y muy formal que permite referirse en todo momento a los objetos y entes matemáticos.

Si bien el lenguaje y terminología específica en Matemática son indispensables para transmitir las ideas sobre este campo del saber y para establecer la comunicación entre el profesor y los estudiantes, como así también entre los mismos estudiantes y el conocimiento matemático; creemos que existen dife-rentes modos para hacerlo conocer y comprender, por lo que coincidimos con Gómez (1995, p. 50) cuando indica que el lenguaje es una de las razones por las cuales los estudiantes dicen que no entienden cuando se enfrentan a un texto o discurso matemáti-co, y considera, además, que está en el docente hacer que esta dificultad se disipe.

También pudimos observar que algunos profesores han puesto en contacto a los alumnos con el saber disciplinar a través de ejemplos y situaciones concretas, las que a veces eran relativas al campo profesional de una carrera de Ciencias Económicas, y se han llevado a cabo profundos y enriquecedores análisis de contenidos, donde los estudiantes han sido partícipes del proceso, y en otros casos, se han limi-tado a escuchar y tomar notas. No obstante, hallamos exposiciones de contenidos en los que el profesor prescinde de las reflexiones y análisis que ellos im-plican, en tanto se le ha dado importancia al uso de reglas, procedimientos, algoritmos, métodos propios de la disciplina o al desarrollo de las destrezas bási-cas, provocando posiblemente que la Matemática se perciba como un conjunto de rutinas y mecanizacio-nes que indefectiblemente deben ser aprendidas y aplicadas.

Por último, también notamos que las prácti-cas docentes de Matemática en la Universidad se caracterizan por alentar a los alumnos a que registren en sus carpetas las definiciones, propiedades, teore-mas y todo contenido conceptual o procedimental que ha sido abordado por el profesor. Estas instan-cias devienen de escrituras que el profesor efectúa en la pizarra, las cuales se presentaron de manera orga-nizada y con suma prolijidad, con subrayados de títulos y subtítulos, ejemplificaciones y aclaraciones pertinentes al tema; o a través de minuciosos y pau-sados dictados de los contenidos involucrados.

Cabe aclarar que esta última situación no conduce necesariamente a la práctica, tan necesaria en el ámbito universitario, de que los alumnos estu-dien y consulten los libros de textos recomendados para la asignatura, ni tampoco hemos encontrado expresiones del discurso docente que estén alentando a los alumnos en este sentido. Debe tenerse en cuenta que el profesor escribe en la pizarra generalmente algunas expresiones matemáticas y contenidos fun-damentales –lo que es lógico dado que no es la única forma de comunicación que está teniendo con los estudiantes– y éstos escriben normalmente sólo lo que encuentran en la pizarra. Cuando van a repasar o estudiar de sus apuntes, se hallan con una lista de conceptos y algoritmos que muchas veces resultan insuficientes para llegar a una total comprensión del tema o la resolución de ciertos ejercicios y proble-mas, en tanto no están totalmente explícitas las estra-tegias y relaciones entre los contenidos que son per-tinentes al caso.

3.3. La resolución de situaciones problemáticas.

Del análisis de la dimensión “Resolución de situaciones problemáticas”, encontramos que no todos los profesores resolvieron problemas relativos a la unidad didáctica “Sistemas Lineales”, siendo que estaba estipulado en uno de los objetivos generales de la planificación de Álgebra.

Asimismo, los acercamientos que tuvieron a ellos se realizaron desde dos caminos distintos: plan-teándolos como un vehículo que permitiera lograr algunas metas como motivación, justificación o ini-ciar el estudio de determinado contenido matemático; o trabajándolos para aplicar los contenidos estudia-dos.

En lo que respecta a las fases de resolución según Pólya (1957) que han puesto en juego los profesores, hallamos que no todas fueron tenidas en cuenta ni trabajadas del mismo modo.

Para la fase 1 –comprensión y entendimien-to de la situación problemática– pudimos ver que todos los profesores hacen hincapié en ella, ya que constatamos la aparición en sus discursos de expre-siones que dejan entrever tal instancia.

Cuando se trata de elaborar un plan o en-contrar las conexiones que permitan resolver el pro-blema (fase 2), también hallamos instancias y expre-siones que dan cuenta de ello. Pero en esta fase no-tamos algunas diferencias, sólo los profesores A, B y E lo realizan incitando a que participen los alumnos


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en la elaboración del plan, puesto que la Profesora D se limitó a describir cuáles eran las estrategias más apropiadas, desde su perspectiva, para llevarla a cabo.

En lo que respecta a llevar adelante la estra-tegia de resolución (fase 3), vimos que no existen marcadas diferencias del estilo que posee cada profe-sor del que describiéramos para elaborar el plan; esto es, sólo los profesores A, B y E lo realizan incitando a la participación del grupo, mientras que la profeso-ra D se limitó a efectuar ella misma los desarrollos y controles de pasos.

Si consideramos la cuarta fase –mirada re-trospectiva– en la que se examina la solución obteni-da matemáticamente a la luz del problema, nueva-mente encontramos que esta instancia sólo es llevada a cabo por los profesores A, B y en algunos casos por el Profesor E, puesto que la profesora D efectuó los desarrollos de los algoritmos para arribar a un valor numérico, sin verificar que la solución obtenida satisfacía las condiciones planteadas en el problema.

En consecuencia, analizando las instancias en las cuales los profesores resuelven situaciones problemáticas, advertimos que la mayoría de ellos ponen en juego distintas fases que pueden ir desde la comprensión y entendimiento del problema hasta la mirada retrospectiva del mismo. No obstante, no todos llevan a cabo un análisis y reflexión de la solu-ción del problema y del camino transitado para llegar a la solución, las formas alternativas de resolución o las posibles generalizaciones del mismo.

También nos percatamos que la participa-ción del grupo de alumnos en la resolución de las situaciones problemáticas estuvo presente en las prácticas docentes de los profesores que llevaron a cabo todas las fases para resolver un problema, no así en las clases de los profesores que dejaron incomple-tas estas instancias.

Es importante destacar que los estudiantes no necesariamente son conscientes de la necesidad de tener estrategias para resolver los problemas, y que las mismas pueden verse favorecidas si se tienen en cuenta algunos pasos, tales como los sugiere Pól-ya. Al respecto, Gómez (19995, p. 40) expresa que son los profesores los que deberían ser un buen ejemplo cuando resuelven problemas y tendrían que incluir, dentro de sus criterios de evaluación, indica-dores que permitan verificar qué tanto cumplen los estudiantes con estos requisitos.

No obstante, cabe señalar que lo que algu-nos profesores no hacen en la resolución de proble-mas, como por ejemplo la mirada retrospectiva, suele ser precisamente lo que exigen que hagan los estu-diantes. Aún más, podemos notar aquí la aparición de un fenómeno clásico interesante, en tanto aparecen cuestiones que sin ser objeto de enseñanza, como la resolución de problemas, pasan posteriormente a ser objeto de evaluación.

3.4. La interrogación didáctica.

Al efectuar una caracterización de la inter-rogación didáctica llevada a cabo por los profesores de Matemática en la Universidad, podemos decir que es posible insertarlas en dos grandes categorías.

Por un lado se encuentran clases mediadas por preguntas que estimulan y favorecen el aprendi-zaje, la verbalización y comprensión de los conteni-dos, aunque algunas con una clara intencionalidad de hacer partícipes a los alumnos del proceso y otras en las que se desarrolla una especie de “monólogo tea-tral”, como lo define Silva (1993), donde las pregun-tas son respondidas casi con exclusividad por el docente, puesto que se brindan espacios muy breves de espera que no dan tiempo para que los estudiantes reaccionen y respondan, o sólo lo hacen un reducido número de ellos.

Por el otro lado, hallamos clases donde existen escasas interrogaciones por parte de los pro-fesores, las que se circunscriben a preguntas que exigen rememorar conocimientos previamente adqui-ridos y resolver operaciones aritméticas o procedi-mientos sencillos, las que habitualmente son respon-didas y valoradas positivamente por los docentes. A su vez, en estas clases, los análisis y relaciones entre contenidos son efectuados únicamente por el docen-te, formulando algunas preguntas que tienden a darle continuidad y coherencia al discurso.

Sobre esta última situación, pensamos que se está poniendo al estudiante en una actitud neta-mente pasiva, donde su única preocupación se cir-cunscribe a entender lo que está escuchando y even-tualmente tomar notas o preguntar si no comprendió alguna parte de la exposición. Por consiguiente, el medio no estaría favoreciendo para que el alumno se cuestione si está comprendiendo, y mucho menos si está aprendiendo. Al respecto, coincidimos con Lit-win (1997, p. 82) cuando expresa que la Universidad debe promover el pensamiento superior a partir de criterios construidos para la enseñanza y estipula que:


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El primero de estos criterios consiste en pensar la enseñanza desde la generación de un pen-samiento superior, diferenciado del pensamiento de grado inferior, que tiene lugar cuando un estudiante recita información fáctica, emplea reglas o lleva a cabo una actividad rutinaria de tipo repetitiva. El pensamiento superior o de alto nivel, en cambio, requiere que los estudiantes manipulen información e ideas de manera que transformen los significados y sus implicaciones. Manipular ideas a través de estos procesos permite resolver problemas y descubrir nuevos significados.

Si bien lo expresado por Litwin hace refe-rencia a la educación superior en general, guarda estrecha relación con lo que acontece en muchas de las clases de Matemática, donde se pretende que el estudiante sea capaz de comprender y retener la estructura general de cada proceso o desarrollo ma-temático, y no resulta suficiente que sólo sea un espectador, por lo que es necesario propiciar instan-cias que favorezcan el desarrollo de esas capacida-des; en ese sentido la interrogación didáctica cumple un papel fundamental.

Por último, creemos que la interrogación di-dáctica llevada a cabo por los Profesores A y B son las que tenderían a promover una enseñanza basada en el pensamiento superior de los alumnos, en tanto se manipularon información e ideas que lograron transformar y descubrir nuevos significados del co-nocimiento matemático. Asimismo, han evidenciado formas coloquiales a través de preguntas que dieron fuerzas a algunas ideas, se expusieron distintos pun-tos de vista y se mostraron cuestiones o temas sobre los que se carecía de buenas justificaciones. Creemos que esta manera de acercarse al conocimiento mate-mático llevaría a mostrar a la Matemática como una ciencia dinámica y susceptible de cambios, y lograría favorecer el cuestionamiento en los alumnos de los conceptos abordados, al mismo tiempo que promul-garía la adquisición de aprendizajes más significati-vos.

Sin embargo, es importante destacar que generalmente estas condiciones no son las que los alumnos indican preferir en las clases de Matemática, más si consideramos que muchos de ellos se mues-tran renuentes hacia la disciplina o fueron formados en su preparación previa bajo un modelo de enseñan-za y aprendizaje muy diferente.

3.5. Características de las prácticas docentes de Matemática en la Universidad.

Consideramos que en este momento conta-mos con elementos suficientes para ofrecer una res-puesta a la primera pregunta directriz de nuestra investigación, la cual formulábamos de la siguiente manera:

¿Cuáles son las características distinti-vas que presentan actualmente las prác-ticas docentes de Matemática en la Universidad?

En este punto, no nos centraremos en llevar a cabo una caracterización taxativa que permita dife-renciar una clase de otra, sino más bien, ofrecer un panorama general de cómo se afronta hoy día la enseñanza de la Matemática en la Universidad Na-cional de Villa María.

Hemos encontrado un conjunto de rasgos que han sido comunes en la mayoría de las clases observadas, lo que nos permite tener una primera aproximación a las características distintivas que presentan las prácticas docentes de Matemática en el contexto de nuestro estudio, las cuales son:

• Los desarrollos y exposiciones están centrados principalmente en los contenidos conceptuales, los que son alternados en su presentación con los contenidos procedimentales.

• Se explicitan planes de clases que generalmente sólo invocan contenidos conceptuales y proce-dimentales a ser abordados.

• Las clases están centradas en la actividad del docente, limitando a los alumnos, casi con ex-clusividad, a escuchar y copiar.

• El profesor induce a los alumnos a que registren las definiciones, propiedades, teoremas, y todo contenido conceptual y procedimental que fue abordado en la clase.

• La resolución de ejercicios o situaciones pro-blemáticas que demandan un nuevo procedi-miento, método, regla u algoritmo, es presentado en primera instancia por el docente como un modelo a seguir por los alumnos.

• Los registros textuales realizados por los profe-sores en la pizarra se caracterizan por presentar-


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se de manera organizada y con prolijidad, con ejemplificaciones del tema y las aclaraciones pertinentes al mismo.

• La resolución de problemas no es tomada como una estrategia de enseñanza, sino como vehículo para lograr algunas metas curriculares como mo-tivación, justificación o práctica.

• La participación de los alumnos en las clases, cuando existe, se limita a dar respuestas a las preguntas que formula el profesor. Eventual-mente los estudiantes realizan interrogantes cuya intencionalidad es la de confirmar información expuesta o demandar una nueva explicación.

Al mismo tiempo, encontramos otras características distintivas que podríamos agrupar en dos gran-des categorías: Por un lado tenemos las que con-servan rasgos que han sido relacionados en tra-bajos de investigación como los de Carvalho (1989), Silva (1993) y Roulet (1998), con una concepción “tradicional” o “clásica” de la ense-ñanza de la Matemática; y por el otro, las que presentan particularidades que las alejan de esta concepción y son situadas en una postura menos tradicional.

En consecuencia, dentro de la categoría vinculada con una concepción más tradicional de la ense-ñanza de la Matemática, se tienen clases en las cuales:

• No se realizan revisiones generales de conceptos que resulten relevantes para los estudiantes.

• Se exponen definiciones, conceptos, propiedades y teoremas antes de abordar los contenidos pro-cedimentales de la asignatura.

• Las explicaciones aportadas por el docente se centran en mostrar la manera correcta de llevar a cabo las reglas y procedimientos que le son pro-pios al tema que está desarrollando.

• Las ejemplificaciones brindadas se circunscriben fundamentalmente al entorno abstracto de la Matemática.

• Se emplea en todo momento sólo un lenguaje preciso y formal de la Matemática para hacer re-ferencia a los entes u objetos considerados.

• Las exposiciones de contenidos se realizan bajo esquemas que guardan cierta similitud con el or-den de presentación y tratamiento que tienen al-gunos textos de Matemática.

• Los análisis, reflexiones e interrelaciones entre contenidos son llevados a cabo por el docente, sin mediar demasiado la participación de los alumnos.

• Se desarrollan clases dejando traslucir que la Matemática es un conjunto de verdades, reglas y procedimientos que incuestionablemente deben ser aprendidos y aplicados.

• La resolución de problemas es llevada a cabo por el profesor, prescindiendo de una participa-ción activa de los alumnos y, a veces, de un aná-lisis retrospectivo.

• Las preguntas que formula el profesor en la clase apuntan habitualmente a darle continuidad y coherencia al discurso docente, o a resaltar in-formación relevante sobre el tema en cuestión.

• Las solicitaciones realizadas a los alumnos pro-curan rescatar información factual, resolver ope-raciones aritméticas o realizar análisis sencillos.

En contrapartida, hallamos clases en las cuales:

• Los conceptos, propiedades, teoremas y marcos conceptuales que se abordan, se desprenden co-mo una consecuencia de análisis, discusiones y reflexiones que se realizan en torno a los conte-nidos procedimentales previamente abordados.

Se realizan exposiciones y explicaciones con en-riquecedores análisis y relaciones entre los con-tenidos conceptuales y procedimentales de la asignatura.

• Las explicaciones aportadas por el docente apuntan al uso de la imaginación, visualización con recurso a lo geométrico, pensamiento crítico y creatividad.

• Los alumnos entran en contacto con el saber disciplinar a través de ejemplos y situaciones concretas, algunas de ellas relativas al campo profesional de la carrera que cursan.

• Los docentes resuelven situaciones problemáti-cas con la participación del grupo de estudiantes,


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en las que se ponen en juego todas las fases de resolución de problemas propuestas por Pólya (1957).

• Se formulan preguntas e interrogantes que inten-tan favorecer el aprendizaje, la verbalización y comprensión de los contenidos, en tanto se re-fuerzan las ideas expuestas, se exponen distintos puntos de vista y se muestran cuestiones o temas sobre los que se carecía de buenas justificacio-nes.

Por último, cabe aclarar una vez más que la ca-racterización realizada tiene sentido en el con-texto en el que las prácticas se sucedieron, esto es, en el espacio curricular de Álgebra de las ca-rreras de Ciencias Económicas de la UNVM.

3.6. Estrategias de enseñanza que privilegian los profesores.

De la reflexión e interpretación que hicimos de cada dimensión de análisis referente a las prácti-cas docentes de Matemática en la Universidad, hallamos invariantes en algunas de ellas, que a nues-tro juicio, son las estrategias de enseñanza que está privilegiando el profesor. Estas estrategias son las que permiten dar una respuesta a la segunda pregunta directriz que planteamos para nuestra investigación, la cual fue expresada de la siguiente manera:

¿Cuáles son las estrategias de ense-ñanza que privilegian los profesores universitarios de Matemática?

A continuación, efectuamos un detalle de las mismas. No obstante, no debe interpretarse que las estrategias que privilegia el profesor efectivamen-te favorecen el aprendizaje en los alumnos, puesto que la identificación que realizamos sólo tuvo en cuenta la intencionalidad del profesor –cuya existen-cia fue supuesta por el investigador y no explícita-mente manifestada por el profesor– y no los resulta-dos que de ella se obtienen.

3.6.1. La participación de los alumnos.

Advertimos que en las prácticas docentes de la Profesora A constantemente se efectúan preguntas a los alumnos de variados tipos, ya sean para reme-morar conocimientos, aplicar, analizar, crear, generar comprensión, evaluar conocimientos adquiridos, resolver, entre otras. Esta interrogación presenta una clara intencionalidad de estimular a los alumnos para que participen en los procesos de enseñanza y apren-

dizaje de la Matemática, en tanto el discurso docente se construye con las respuestas de los alumnos.

A su vez, notamos que la profesora no abandona con facilidad una pregunta, en el sentido que insiste con otras que giran en torno al mismo tema u ofrece pistas para que la respuesta indefecti-blemente devenga de los alumnos. De esta manera, la mayoría de las preguntas realizadas por la docente encuentran una contestación o apreciación por parte de los estudiantes.

Observamos también, que en todo momento la profesora fomenta la expresión y comunicación del estudiante en sus propios términos, en tanto toma las respuestas incompletas o muy sucintas brindadas por los alumnos y las reformula sutilmente en térmi-nos matemáticos, evitando la desvalorización o des-merecimiento de la intervención. También valora las preguntas que los alumnos formulan, en tanto co-menta al grupo de estudiantes el diálogo que mantie-ne individualmente con algunos de ellos o somete a consideración de la clase la situación planteada.

Del mismo modo, suele efectuar interroga-ciones dirigidas a estudiantes puntuales con la finali-dad de detectar si hubo comprensión del tema o para estimularlos a que ofrezcan caminos posibles para continuar con los desarrollos que se están llevando a cabo.

Como consecuencia, asumimos que la estra-tegia de enseñanza que está privilegiando la profeso-ra en todo momento de su clase es la participación de los alumnos.

3.6.2. Las múltiples conexiones entre contenidos.

Percibimos que las prácticas docentes del Profesor B se hallan centradas fuertemente en los contenidos conceptuales, cuyos desarrollos y expli-caciones se orientan a establecer múltiples conexio-nes entre contenidos, donde analiza minuciosamente y de manera exhaustiva situaciones matemáticas aparentemente irrelevantes desde la perspectiva de los alumnos.

La importancia que el profesor le confiere a la relación entre los contenidos lo lleva a escribir en la pizarra las preguntas que somete a discusión, y que son retomadas clase tras clase, para presentar los conocimientos a través de una compleja red de inter-relaciones entre lo conceptual y procedimental.


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Esta forma de concebir la enseñanza de la Matemática, a través de múltiples relaciones de con-tenidos, también ha sido transparentada por el profe-sor cuando indicaba a los alumnos el modo más eficaz que tenían para estudiar los contenidos de la asignatura, puesto que expresaba5:

En realidad las cosas mientras menos uno piense más dependen de la memoria, porque las cosas quedan sueltas, entonces como yo me acuerdo del living, me tengo que acordar del cuadro, de la alfombra, de la silla, de la mesa. Pero hay una for-ma mucho más orgánica de acordarse de la situa-ción, es decir, bueno, la mesa sirve para estar sen-tado, y la mesa, para comer o para charlar y eso yo ya sé que la silla es para sentarse, la mesa contra de la silla arriba de la alfombra ¿Eh? Entonces me acuerdo de una situación orgánica, están enlazados los objetos, los objetos por sus funciones relativas ¿Eh? Entonces yo mientras menos diga de dónde sale eso, más voy a depender de la memoria, ¿Eh? La cosa más vaga de recordar las cosas es enten-diéndolas profundamente, siempre entendiendo las relaciones entre los objetos hace que yo me tenga que acordar de todo el personaje. (Clase Nº 5 en video Nº II).

Todas las explicaciones y exposiciones lle-vadas a cabo por el profesor procuran que los alum-nos se apropien de la información relevante o perti-nente al tema, poniendo énfasis en preguntas e inter-rogantes que demandan del análisis, reflexión e inter-relaciones de contenidos. Estas preguntas se presen-tan de manera encadenada, partiendo desde las más simples hasta llegar a las más complejas y responder-las exigen, generalmente, que los alumnos tengan un manejo íntegro de los contenidos conceptuales y procedimentales, como así también, hayan logrado construir una red conceptual coherente entre ellos.

Por otra parte, las exposiciones que efectúa el docente están cargadas de emociones que transmi-ten su pasión y gusto por la Matemática, y tienden a que los estudiantes accedan al conocimiento relacio-nando y vinculando toda la información que poseen al respecto, por medio de un trabajo riguroso donde se realiza una cobertura de los contenidos lo más completamente posible.

5 Montgomery y Groat (2002) proponen que el estilo de enseñanza que tiene una persona está influenciado y, generalmente coincide con el estilo de aprendizaje que éste sostiene. Esto nos lleva a suponer que al expresar el docente cuál es el modo más eficaz de aprender, está indirectamente dando elementos de cuál es el modo que tiene de enseñar, en tanto brinda las estrategias por las cuales él se vale para el aprendizaje.

En conclusión, se evidencia que el profesor se vale de las múltiples conexiones entre contenidos como estrategia de enseñanza.

3.6.3. La ejemplificación.

Encontramos que en las prácticas docentes del Profesor C existe una extrema valoración de los procedimientos y algoritmos. El tratamiento de los contenidos que realiza, deja traslucir que la Matemá-tica es concebida como un conjunto de verdades, reglas, métodos y rutinas que incuestionablemente deben ser aprendidos y aplicados.

Sus clases se caracterizan por introducir las definiciones de los entes u objetos matemáticos a través de ejemplos numéricos o casos particulares, y se constituyen en el referente conceptual con el que cuentan los alumnos; esto es, se asume como defini-ción el ejemplo expuesto. Asimismo, a pesar de haberse presentado una definición mediante un ejemplo, se presentan otros a continuación para re-forzar la información brindada.

De la misma forma, el profesor plantea ejemplos de cada ejercicio que considera “tipo” de-ntro del tema que desarrolla, los cuales resultan mo-delos a los que pueden remitirse los alumnos cuando resuelven los trabajos prácticos.

Esta manera particular de presentar los con-tenidos, nos da lugar a considerar que el profesor está privilegiando la ejemplificación como una estrategia de enseñanza

3.6.4. La teorización.

Hallamos que las clases de los profesores D y E se caracterizan por otorgar vital importancia a todos los contenidos conceptuales de la asignatura, en tanto permiten arribar a los contenidos procedi-mentales que involucran.

En las prácticas docentes observadas, adver-timos que los profesores enuncian cuidadosamente los conceptos, propiedades y teoremas, dejando cons-tancia escrita de ello en la pizarra, o eventualmente realizan un meticuloso dictado de ellos.

Por otro lado, percibimos que el desarrollo de los contenidos procedimentales tiende a que los estudiantes utilicen adecuadamente cada teorema enunciado, apliquen convenientemente una técnica o método previamente presentado o comprueben si un


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objeto cumple o no con las condiciones de una defi-nición formulada.

Los objetos y entes matemáticos tienen po-sibilidad de enunciarse o remitirse a ellos empleando únicamente palabras que involucran un lenguaje formal y terminología precisa. Por otra parte, las preguntas que son dirigidas a los alumnos se centran en la rememoración de contenidos, la aplicación de procedimientos y la resolución de operaciones alge-braicas.

Estas características nos dan evidencias de que estos profesores privilegian una metódica pre-sentación de la teoría y presentan los contenidos matemáticos como un cuerpo de conocimientos cris-talizados en ella, lo cual concisamente denominamos teorización, como una estrategia de enseñanza.

3.7. Configuraciones en las prácticas docentes de Matemática en la Universidad.

Finalmente llegamos con nuestro trabajo a la instancia de dar respuestas a nuestra tercera pre-gunta directriz, la cual se formuló de la siguiente manera:

¿Cuáles son las configuraciones que se pueden reconocer en las prácticas docentes de Matemática en la Univer-sidad?

La búsqueda de las estrategias de enseñan-za, que a nuestro juicio privilegia el profesor, nos llevó a reconocer que la persistencia que tienen las mismas en las diferentes clases, logran caracterizar la práctica docente y le otorgan una configuración par-ticular, distinguible de las que muestran los demás profesores.

Reconocimos cuatro configuraciones entre las prácticas docentes de Matemática observadas en la Universidad, que están en correspondencia con las estrategias privilegiadas por los profesores, y que presentamos a continuación.

a) Configuración de clase centrada en la partici-pación.

Definimos de esta manera a las prácticas docentes de Matemática en las que existe una clara evidencia por parte del profesor de propiciar espacios de análisis, reflexión y discusión con los estudiantes, estimulando y valorizando al mismo tiempo las pre-

guntas que ellos formulan y fomentado la expresión y comunicación del alumno en sus propios términos.

Asimismo, el discurso docente se construye a partir de un torbellino de interrogantes con la in-tención de que los estudiantes relacionen contenidos, efectúen reflexiones originales, piensen en términos críticos, identifiquen razones y motivos, establezcan deducciones, creen planes, propuestas y métodos, entre otras acciones, y efectivamente participen del proceso educativo.

b) Configuración de clase centrada en las múlti-ples conexiones entre contenidos.

Definimos así a las prácticas docentes de Matemática cuyos desarrollos se hallan orientados al análisis conceptual de los entes u objetos matemáti-cos en cuestión, llegándose a presentar los conoci-mientos por medio de una compleja red de interrela-ciones entre lo conceptual y procedimental.

En estas clases, el profesor organiza estrate-gias cuyo desarrollo conduce al logro de una meta, se toma conciencia del grado en que la meta está siendo lograda, se modifican planes o estrategias implemen-tadas cuando no están resultando efectivas, se utiliza de manera espontánea el conocimiento previamente construido, y finalmente se accede a la información relevante o pertinente que requiere la meta por medio de múltiples conexiones entre los contenidos aborda-dos. Estas instancias conducen al docente a relacio-nar y vincular toda la información que posee al res-pecto, realizando profundas reflexiones, meticulosos análisis y organizando los contenidos en redes con-ceptuales coherentes.

c) Configuración de clase centrada en la ejemplifi-cación.

De esta forma designamos a las prácticas docentes de Matemática en las que se introducen los contenidos conceptuales por medio de ejemplifica-ciones múltiples, en las cuales se llega a los concep-tos y definiciones a partir de ejemplos particulares y concretos, con una considerable valoración de los procedimientos y la mecanización de rutinas propias de la Matemática.

Asimismo, en estas clases adquiere relevan-cia los ejemplos de procedimientos y métodos parti-culares de cada tema desarrollado, puesto que resul-tan posteriormente un modelo de resolución para ejercicios similares.


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d) Configuración de clase centrada en la teoriza-ción.

Definimos de esta manera a las prácticas docentes de Matemática en las que se le otorga vital importancia a los contenidos conceptuales, en tanto dan pie para que sean tratados los contenidos proce-dimentales.

Estas clases se caracterizan por llevarse a cabo exposiciones cuidadosas y detalladas de cada concepto, propiedad y teorema involucrado, como así también, por los cotejos que se realizan en búsqueda de lo aportado por los contenidos conceptuales en el desarrollo de los contenidos procedimentales.

3.8. Las Configuraciones en las prácticas docentes y los resultados de las evaluaciones.

Si bien es cierto que la educación ha de atender sobre todo a los procesos de aprendizaje, sabemos también que los resultados de aprendizaje medidos a través de "las notas" y los porcentajes de aprobación constituyen un objeto general de inquie-tud, a la par que son indicadores oficiales del rendi-miento de los alumnos.

A pesar de las limitaciones de las califica-ciones, por el momento, son los indicadores más invocados por la UNVM del rendimiento académico, sin que ello suponga aprobación por nuestra parte.

Comparando las diferentes configuraciones de clase con los porcentajes de aprobación que obtu-vieron los alumnos en el primer examen parcial – en tanto involucró los contenidos abordados en las prác-ticas docentes observadas– y ausencias presentadas al mismo, se tiene:

Prof

esor

Apro

bado

s

Des

apro

bado

s

Ause

ntes

Configuración de clase centrada en

A 34 % 49 % 17% la participación

B 11% 25 % 64% las múltiples

conexiones entre contenidos

C 27 % 44 % 29% la ejemplificación

D 22 % 26 % 52%

E 26 % 16 % 58% la teorización

Desde una perspectiva institucional del ren-dimiento académico logrado por los alumnos, pode-mos observar que han logrado un mayor índice de aprobación y presencia de los estudiantes en los parciales las configuraciones de clases centradas en la participación y en la ejemplificación. Posiblemen-te, el menor número de alumnos ausentes a los par-ciales, en estas configuraciones, tenga relación con el hecho que los Profesores A y C son docentes en la escuela media y, de ahí, la mayor proximidad con los estudiantes que están recién iniciando una carrera en la Universidad. Asimismo, es de hacer notar que ambos profesores cuentan con formación pedagógi-ca, ya sea desde la formación de grado (Profesora A) o de posgrado (Profesor C), coincidiendo también con valoraciones positivas hacia estas clases por parte de los estudiantes entrevistados.

Por otra parte, podemos hallar algunas con-vergencias entre los índices de aprobación y ausen-cias alcanzados en las configuraciones de clases centradas en las múltiples conexiones entre conteni-dos y en la teorización, lo que posiblemente tenga una explicación en que los Profesores B, D y E cuen-tan con una formación de grado común (Licenciados en Matemática) y formación de posgrado en áreas de esta misma ciencia. También es interesante notar que, a pesar de ser el coordinador el que prepara los parciales (Profesor B), lo que haría presuponer que sus alumnos serían los mejores preparados para esas evaluaciones, ellos son los que tienen el mayor índi-ce de reprobación, siendo que en sus clases se lleva-ron a cabo enriquecedores análisis de contenidos, reflexiones y cuestionamientos a los procesos des-arrollados, con fines que tienden a los esperados para una educación matemática universitaria.

De todos modos, cabe aclarar que el análisis realizado es muy subjetivo, en tanto no hemos com-parado los fines que pretendía alcanzar cada configu-ración con los objetivos que específicamente tuvo la evaluación parcial.

4. CONCLUSIONES.


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4.1. Consideraciones previas.

Finalmente hemos llegado a la instancia de cierre de nuestra investigación, la cual tuvo como foco de estudio la caracterización de las prácticas docentes de Matemática en carreras de Ciencias Económicas en la Universidad Nacional de Villa María.

Nuestra búsqueda se centró en detectar las estrategias de enseñanza que a nuestro juicio privile-gian los profesores y tiñen todas sus clases, estable-ciendo configuraciones particulares que permiten distinguirlas entre las restantes prácticas docentes de Matemática que observamos.

La investigación no buscó la verificación de una teoría y los conocimientos construidos contribu-yen directamente al campo de la Educación Matemá-tica, puesto que nuestra finalidad estuvo centrada en la caracterización de las prácticas docentes universi-tarias de Matemática, tema que se halla inserto en la problemática de la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática, lo cual es objeto de estudio de este campo del saber.

4.2. Conclusiones con respecto a los objetivos de la investigación.

Para ir cerrando la investigación, presenta-mos a continuación las conclusiones más importantes de nuestro estudio respecto a cada uno de los objeti-vos específicos que se plantearon para el trabajo.

La exposición la realizamos en cuatro sub-secciones, donde las tres primeras corresponden a las conclusiones que formulamos con respecto a cada uno de los tres objetivos específicos que planteamos para el trabajo; y la última, a los interrogantes y cuestiones que quedaron abiertos en la investigación, y que ofrecen posibles líneas de profundización.

4.2.1. Características distintivas de las prácticas docentes de Matemática en las Carreras de Ciencias Económicas de la UNVM.

Como primera conclusión, podemos señalar la permanencia que tienen ciertas características definidas como “tradicionales” de la enseñanza de la Matemática en las prácticas docentes universitarias observadas, las que por otro lado vienen siendo reco-nocidas en diferentes investigaciones de Educación Matemática – entre ellas Carvalho (1989), Silva (1993) y Roulet (1998).

Como característica más notable, hallamos que los procesos de enseñanza de la Matemática se encuentran intensamente guiados por los profesores, basados tal vez en la creencia de que el alumno aprende viendo y el docente enseña mostrando. A su vez, las prácticas docentes han tenido como punto de apoyo y referencia los contenidos conceptuales – los que se presentaron alternadamente con los conteni-dos procedimentales – y la función principal de los alumnos se circunscribió a tomar notas de los regis-tros textuales que se dejaban en la pizarra y las expo-siciones que fueron realizadas por el profesor.

Dentro de esta estructura, estos elementos nos llevan a pensar que lo importante para los profe-sores es transmitir un conocimiento y lo favorable para el estudiante se restringe a recibir, grabar y ser capaz de repetir toda la información suministrada. Esto conduce al “camino del menor esfuerzo” –como lo designa Gómez (1995) – puesto que lo único que se requiere del docente es que conozca el tema y pueda medianamente comunicarse, y del estudiante que sepa escuchar e intente comprender. Asimismo, no debe descartarse que el modo de proceder del profesor produce efectos que dejan marcas y huellas –como lo señala Antelo (1999) – y su estilo de ense-ñanza es el que lleva a que los estudiantes consoliden o reestructuren imágenes y visiones acerca de la Matemática, muchas de ellas contraproducentes y con factores negativos para su aprendizaje.

De nuestras observaciones y análisis, tam-bién se desprende que ninguno de los profesores ha seguido taxativamente la planificación de la asigna-tura, siendo que mediaban cuidadosas indicaciones metodológicas del coordinador de Álgebra. Hemos mencionado al respecto que este comportamiento posiblemente se debe a la visión epistemológica que cada profesor posee de la Matemática, la que se expresa en la práctica docente e influye en el enfoque personal que tiene para enseñar Matemática y en los comportamientos y actividades mentales que pro-mueve su enseñanza (Ernest, 1989). No obstante, creemos que ha influido, por un lado, el hecho que los profesores habitualmente redefinen los objetivos de sus prácticas docentes en función de las interac-ciones que se producen con los alumnos –lo que se realiza en cada contexto particular según lo estipula-do por Skott (2001) – y la planificación de Álgebra que utilizaron fue confeccionada con anterioridad al comienzo del cuatrimestre, donde normalmente se contemplan estrategias metodológicas para una es-tructura ideal del grupo de estudiantes y con caracte-rísticas uniformes para cada una de las comisiones. Por otro lado, también consideramos que ha tenido


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influencias la falta de consenso en los objetivos que se propusieron para la asignatura, los cuales, presu-miblemente, terminaron siendo sólo una prescripción realizada desde la coordinación de la cátedra.

En la introducción del trabajo, citamos a Stodolsky (1995) por caracterizar las prácticas do-centes de Matemática del nivel medio como unifor-mes en el contenido de las lecciones, en las formas de enseñanza y las metas cognitivas que perseguían los docentes. Considerando el nivel universitario, constatamos que las prácticas docentes de Matemáti-ca no conservan las características del nivel predece-sor, en el sentido de uniformidad, en tanto los profe-sores desarrollaron configuraciones de clases dife-rentes, no privilegiaron de igual modo los contenidos matemáticos y le asignaron fines particulares distin-tos a los procesos de enseñanza y aprendizaje que llevaron a cabo, siendo que trabajaron con una mis-ma planificación.

Asimismo, tampoco hubo similitudes en el manejo del tiempo que utilizó cada profesor en el tratamiento de los contenidos, puesto que existieron docentes que le dieron prioridad al desarrollo de los contenidos conceptuales (clases de los Profesores B y E) o recurrieron a un moderado equilibrio entre contenidos conceptuales y procedimentales (clases de los Profesores A, C y D). Sin embargo, entre quienes equilibraron el tiempo total asignado a los contenidos conceptuales y procedimentales, adverti-mos que en cada práctica hubo prevalecía de uno u otro contenido (clases de los Profesores A y D).

Quizás la influencia de las distintas forma-ciones académicas que tienen los profesores haya influenciado en el tratamiento que hicieron de los contenidos conceptuales y procedimentales, y allí radiquen algunas de las diferencias encontradas. De todos modos, también consideramos que el manejo del tiempo de clase y las actividades que privilegia el docente están en relación con el sistema de creencias que tiene el profesor respecto de la Matemática y los objetivos de la educación matemática, como lo acla-ran Ernest (1987, 1989), Thompson (1992) y Gómez y Valero (1996).

Hemos señalado, por otra parte, que en las prácticas docentes de Matemática observadas no se realizaron explicitaciones de planes de clases que pusieran en conocimiento de los alumnos la impor-tancia que tiene cada tema y subtema en la planifica-ción de la disciplina, y sólo a través de las diferentes clases y bajo una mirada crítica, se podían transpa-rentar las jerarquías que establecía cada docente.

Consideramos que un inconveniente se presenta cuando los alumnos son evaluados, puesto que los exámenes parciales y finales son únicos para todas las comisiones de trabajo, y se establecieron en cada una de las prácticas docentes objetivos y fines distin-tos para el tratamiento de los contenidos. Así, tenía-mos a los Profesores A y B que privilegiaban el análisis e interpretación de los contenidos conceptua-les abordados, haciendo hincapié en la interpretación geométrica de los sistemas lineales; el Profesor C le daba relevancia a los contenidos procedimentales y a la resolución netamente algebraica de los sistemas de ecuaciones; y los Profesores D y E, por su parte, centraban sus clases en los contenidos conceptuales, con interpretaciones geométricas y algebraicas de los sistemas de ecuaciones.

En este punto, Litwin (1997) es categórica cuando expresa que los reiterados cuestionamientos de los alumnos cuando plantean “¿Para qué estu-diamos esto?” revelan, fundamentalmente, una vela-da crítica a las prácticas de enseñanza que carecen de significación y atractivo para ellos. Estos cuestiona-mientos, explícitos o implícitos en los alumnos, sus-citan la necesidad de que los profesores hagan cono-cer las intenciones educativas que tienen sus prácti-cas docentes; y apoyándonos en las aseveraciones de Skovmose (1999), pensamos que cuando se compar-ten las intenciones en una clase, los estudiantes pue-den llegar a actuar como un grupo y añadir una nue-va fuerza a las dinámicas del aprendizaje.

Otra característica distintiva que hallamos en las prácticas docentes universitarias de Matemáti-ca deviene del hecho que adolecen de una cantidad apreciable de aplicaciones y problemas relacionados con las Ciencias Económicas, puesto que las mismas se circunscribieron, en general, a un contexto abs-tracto de la Matemática. Además, los problemas que plantearon los profesores fueron artificiales, en el sentido que forman parte de la cotidianeidad de la enseñanza de la Matemática pero no se encuentran efectivamente en la vida real, por lo que los alumnos aprenden a utilizar las operaciones y métodos que ellos involucran y no aprenden a resolver problemas de su futuro campo profesional.

Pensamos que la enseñanza de la Matemáti-ca para futuros profesionales que no centran sus actividades en esta ciencia, debería interrelacionar los contenidos matemáticos con las aplicaciones del campo profesional de la carrera, de tal forma que se integre la realidad específica de cada sector y los intereses de los estudiantes. Trabajar de esta forma conduciría, por otra parte, a mostrar una Matemática


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como cuerpo de conocimientos no terminado y en constante extensión, donde se pueden discutir estra-tegias, emplear ejemplos y contraejemplos, criticar y valorizar los resultados, y comprender que la bús-queda de argumentos sólidos es esencial en la resolu-ción de problemas reales (Santos Trigo, 1994).

En este punto, son claras las expresiones de Bassanezi (1994) cuando argumenta que la enseñan-za debería profundizar el conocimiento de los estu-diantes, motivándolos a enfrentar la Matemática no sólo como una ciencia en sí misma, sino como una herramienta que permita la comprensión y posible modificación de la realidad, lo que por otro lado, no fue apreciable en las prácticas docentes observadas.

Sostenemos que un camino posible a este abordaje de la Matemática se encuentra en la resolu-ción de problemas, no como un vehículo para lograr ciertas metas o como una de las tantas habilidades que se deben enseñar en el currículo –tal como fue considerada por los profesores que efectivamente trabajaron con problemas en las prácticas observa-das– sino como una estrategia de enseñanza que resalte el propósito de ayudar a los estudiantes a explorar lo que ellos saben y usar sus conocimientos en forma efectiva con problemas que se aproximen a la cotidianeidad del campo profesional de una carrera de Ciencias Económicas.

Continuando con las características distinti-vas que presentan las prácticas docentes de Matemá-tica en la Universidad, encontramos algunas seme-janzas con las caracterizaciones realizadas por Silva (1993), puesto que la autora marca que en las clases observadas existía un “supuesto diálogo” – “monó-logo teatral” como lo define – en el que el docente hace preguntas que él mismo se responde o que los alumnos responden con silencios.

Esta situación se presentó en las prácticas docentes del Profesor B y pensamos, al igual que Silva, que es difícil detectar lo que están manifestan-do los silencios de los estudiantes, en el sentido que pueden ser debidos a inseguridad, miedo, respeto, indignación, indiferencia o duda. Creemos, además, que estas instancias no son propicias para el aprendi-zaje, en tanto no se hace partícipe al alumno de una enriquecedora construcción del conocimiento mate-mático y sólo se le asigna el rol de espectador en el proceso, tal como lo tiene en una enseñanza tradicio-nal de la Matemática.

Asimismo, Silva señala que en el caso de producirse las respuestas a los interrogantes del pro-

fesor, las mismas son ignoradas o no son considera-das como adecuadas, lo que conduce a que el docente proponga la “mejor manera” de hacer las cosas. En este caso, la situación fue evidente en algunas inter-acciones que se efectuaron en las clases de los Profe-sores D y E, quienes además de la docencia desarro-llan actividades de investigación en la Universidad, y estarían coincidiendo con el perfil académico que tenían los profesores observados por la autora.

Al igual que en el trabajo de Silva, percibi-mos que en algunas prácticas docentes (clases de los Profesores C, D y E) la acción pedagógica subyacen-te se fija en un hacer mecánico y acaba siendo identi-ficada con ese hacer, donde el mecanicismo en el tratamiento de los contenidos se explicita en la bús-queda de lo “correcto” en detrimento de las situacio-nes motivadoras que ocurren en la clase. Creemos que esta visión también deviene de una concepción tradicional de la enseñanza de la Matemática, y sólo contribuye a consolidar en los alumnos la creencia que la Matemática es una disciplina fría y austera que le da poco espacio al juicio crítico y a la creati-vidad.

Exceptuando las clases de la Profesora A, no encontramos en las restantes prácticas docentes que se realizaran interrogaciones didácticas que hayan llevado a los alumnos a explicar el significado de conceptos, proporcionar estrategias para un proce-so o darle sentido al conocimiento matemático que se estaba construyendo. Si bien en las prácticas docen-tes del Profesor B se realizaban preguntas cuyas respuestas podrían, desde nuestra perspectiva, con-ducir hacia la comprensión de los contenidos mate-máticos que se estaban abordando, las mismas eran respondidas casi con exclusividad por el docente y eventualmente por algún alumno.

De la misma manera, las preguntas que rea-lizaron los alumnos en la totalidad de las clases ob-servadas demandaban sólo una explicación en mayor detalle de lo que había expresado el profesor, aunque se sintieron con mayor libertad para participar a través de preguntas –muchas de ellas triviales– en las clases del Profesor C, siendo que el docente no mos-traba intencionalidad para que lo hicieran.

La apertura por parte del docente fue seña-lada por los alumnos en las entrevistas, en tanto argumentaban que valoraban la buena relación que el profesor tenía con el grupo y el interés que mostraba hacia ellos. Este comportamiento de los alumnos también lo notamos en las clases de la Profesora A –y sin que existiera un comentario explícito por parte


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de ellos en las entrevistas– quien junto al Profesor C, son los únicos del equipo docente de Álgebra que desarrollan actividades en el nivel medio educativo y cuentan con formación pedagógica. Tal vez, el hecho de trabajar desde hace muchos años con alumnos con edades que oscilan entre los 12 y 18 años, y en con-textos educativos distintos al universitario –donde muchas veces no sólo son importantes las habilida-des académicas sino también los aspectos afectivos– los ha llevado a que se convirtiera en algo habitual estar atento a las necesidades, sentimientos y valores de los alumnos.

Al respecto, sustentamos que si los alumnos razonan y expresan en voz alta las ideas, el conoci-miento matemático se desenvuelve en cooperación y se logra hacer más eficiente el aprendizaje. Pero también creemos que es a través de una participación activa donde pueden aparecer múltiples oportunida-des para discutir, hacer conjeturas, confrontar ideas y reforzar la comprensión de los contenidos y su rela-ción con el entorno cotidiano.

Escudero (2002) expresa que el docente de-bería dejar de plantear preguntas en las clases e invi-tar a los estudiantes a que las hagan ellos; pero esto demanda que el profesor procure que sus alumnos tengan la iniciativa de hacer preguntas, formular problemas y conjeturas, presentar soluciones y utili-zar argumentos matemáticos para determinar la vali-dez de las afirmaciones que se plantean en la clase. No obstante, es de destacar que prácticamente ningu-na de estas instancias estuvo presente en las prácticas docentes observadas.

Por último, si tenemos en cuenta la visión epistemológica que estarían exteriorizando los do-centes en sus prácticas acerca de la Matemática – de acuerdo a la investigación que desarrolló Thompson (1984) – encontramos que los Profesores C, D y E exponen los contenidos mostrando a la Matemática como un cuerpo estático de conocimientos, en el que pareciera que la conciben como un producto acabado y fijo. Por su parte, el Profesor C aparenta tener una visión en un sentido más “computacional” puesto que le dio relevancia a los aspectos procedimentales del aprendizaje y mostró una Matemática más pres-criptiva en su naturaleza, consistente en una colec-ción de hechos, métodos y reglas necesarias para encontrar respuestas a tareas específicas; lo que guarda relación, posiblemente, con la formación de ingeniero que tiene el docente.

Como apreciación final, podría acotarse que una modificación en la posición epistemológica que

asume el profesor sobre la Matemática y su enseñan-za llevaría a contar con alternativas más eficientes en el aprendizaje de los alumnos; pero sabemos que esto podría conducir a una labor ardua y difícil, requi-riendo no sólo de un cambio de actitud por parte del docente, sino la apertura institucional y la vivencia de experiencias que permitan descubrir y aceptar las ventajas que se obtendrían. De todos modos, acor-damos con Gómez (1995) cuando expresa que si no es posible el cambio del profesor, no significa que no sea posible encontrar estrategias que aporten una adecuada formación en el estudiante como profesio-nal capaz de utilizar creativamente su conocimiento matemático.

4.2.2. Las estrategias de enseñanza que privilegian los profesores universitarios de Matemática en las Carreras de Ciencias Económicas de la UNVM.

Si bien no creemos que se pueda encontrar una metodología de enseñanza en Matemática que sea universalmente aplicable, no significa que no existan estrategias que pueden ser más o menos ade-cuadas o aconsejables para cada situación concreta. Bajo esta concepción –y de la subjetividad de nuestro juicio– hallamos que los profesores privilegiaron como estrategia de enseñanza en las clases universi-tarias de Matemática: La participación de los alum-nos; el establecimiento de múltiples conexiones entre contenidos; las ejemplificaciones que complementan fuertemente los contenidos conceptuales; y la presen-tación metódica y sistemática de los contenidos con-ceptuales para arribar y cotejar con los procedimen-tales.

Exceptuando la participación de los alum-nos como estrategia de enseñanza, observamos que los estudiantes no se involucraron activamente de los procesos de enseñanza y aprendizaje en las demás estrategias, lo que no resulta favorable para una efi-ciente construcción del conocimiento matemático. Asimismo, notamos que en las prácticas docentes del Profesor B, cuya estrategia de enseñanza privilegiada es el establecimiento de múltiples conexiones entre contenidos, los alumnos prácticamente no respondían a los interrogantes que realizaba el docente.

Esta ausencia de reacción de los alumnos a las solicitaciones que efectuaba el Profesor B la atribuimos al ritmo apresurado que tiene el docente para realizar las exposiciones, las que al ser conjuga-das con preguntas que exigían profundos análisis y reflexiones de los contenidos –sumado a espacios muy breves de espera para las respuestas– llevó a


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que no muchos alumnos tuvieran reales posibilidades de ser partícipes de la clase.

A esta situación, también le debemos agre-gar que es habitual hallar en las clases de Matemática un sinnúmero de estudiantes que hacen esfuerzos esporádicos porque se creen negados hacia la disci-plina, otros que sencillamente no trabajan porque no quieren trabajar, y aquellos, que si bien trabajan, perciben a la Matemática como un conjunto fijo de conocimientos pulidos y acabados. Generalmente, estos grupos de alumnos prefieren llevar a cabo pro-cedimientos, “recetas”, algoritmos y aplicar las re-glas básicas que permiten resolver lo inmediato –en tanto se sienten seguros y consideran que dominan el conocimiento matemático– y fue precisamente lo que no se realizaba cuando el Profesor B utilizaba la estrategia de establecer múltiples conexiones entre contenidos.

Lampert, citado en Vilanova y otros (2001), da una explicación relativa a esta creencia que sus-tentan no sólo alumnos, sino muchas personas alle-gadas al entorno educativo, pues expresa que la vi-sión que tienen de la Matemática está asociada con la certeza y el saber Matemática lo relacionan con se-guir, recordar y aplicar las reglas que propone el docente –ya sea cuando hace una pregunta o plantea una tarea– la que se adquiere en la escuela a través de años de mirar, escuchar y practicar, y conduce a provocar los “surcos”, “marcas” y “huellas” que metafóricamente señala Antelo (1999), condicionan-do lo que se nos ha enseñado.

Asimismo, creemos que esta concepción acerca de la Matemática y de su enseñanza es la que lleva a que muchos estudiantes tengan por imagen de “buen profesor” aquel que explica incansablemente los ejercicios, brinda incontables ejemplos, presenta de manera sencilla los contenidos y prescinde de toda complicación en el tratamiento de los diferentes temas. Es probable también, que estas creencias y visiones hayan llevado a que algunos alumnos entre-vistados marcaran preferencias hacia las clases donde la ejemplificación era mayor (clases del Profesor C), y una desvalorización de aquellas en las que se hací-an múltiples conexiones entre contenidos (clases del Profesor B) o extensos desarrollos de contenidos conceptuales (clases de la Profesora D); en tanto el “mundo matemático” que les presentó cada docente estaba coincidiendo o alejándose del que conocían o al que estaban acostumbrados.

4.2.3. Configuraciones en las prácticas docentes de Matemática en las Carreras de Ciencias Económicas de la UNVM.

Las estrategias de enseñanza que se presen-taron y persistieron en cada una de las clases de los 5 profesores, nos permitieron distinguir algunas confi-guraciones en las prácticas docentes de Matemática en la Universidad. Así, asumiendo que una configu-ración en una práctica docente es la disposición, distribución, organización y tratamiento que efectúa el profesor de las distintas instancias y momentos que componen una clase, y que le otorgan caracterís-ticas particulares y distinguibles entre las restantes prácticas observadas, reconocimos configuraciones de clases centradas en: La participación de los estu-diantes, las múltiples conexiones entre contenidos, la ejemplificación y la teorización.

No obstante, sabemos que estas configura-ciones no constituyen una clasificación que integre todo el espectro posible de clases universitarias de Matemática, en tanto no agotan las estrategias de enseñanza que los docentes pueden privilegiar en el desarrollo de sus prácticas y que integran los proce-sos que llevan a cabo. En consecuencia, considera-mos que las cuatro configuraciones constituyen idea-lizaciones –en el sentido que hay características que provienen de los distintos profesores– pero también hay algunos aspectos ausentes que podrían mejorar la estrategia de enseñanza que el docente está privile-giando.

Ahora bien, si nos posicionamos en que “el propósito esencial de todo sistema pedagógico es el de producir profesionales capaces de utilizar creati-vamente el conocimiento en la búsqueda de solucio-nes a los diversos problemas que enfrentan en el ejercicio de su oficio” (Gómez 1995, p. 136), pen-samos que de las cuatro configuraciones en las prác-ticas docentes de Matemática que nos fue posible diferenciar, sólo las que se hallan centradas en la participación de los alumnos y en el establecimiento de múltiples conexiones entre contenidos son las que podrían conducir al logro de este propósito, en tanto se relacionan contenidos, se efectúan reflexiones originales, se piensa en términos críticos, se exponen distintos puntos de vista, se identifican razones y motivos, se crean planes, propuestas y métodos, entre otras acciones.

Hacemos la salvedad que consideramos be-neficiosa la configuración de clase centrada en el establecimiento de múltiples conexiones entre conte-nidos, siempre y cuando no presente como obstácu-


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los la ausencia de respuestas y falta de participación de los alumnos ante los interrogantes que formula el docente. A su vez, asumimos que estos inconvenien-tes no son inherentes a la configuración de clase detectada, sino más bien, a las características perso-nales del docente que llevaba a cabo la estrategia –las cuales describimos anteriormente– y las concep-ciones y visiones que tienen los alumnos sobre la Matemática.

Si efectuáramos una valoración de las con-figuraciones en función del rendimiento académico que ellas promueven, encontramos que la configura-ción de clase centrada en las múltiples conexiones entre contenidos ha logrado el menor porcentaje de aprobación de alumnos y se han perfilado como las más eficiente, en este sentido, las configuraciones de clases centradas en la participación y en la ejemplifi-cación.

Desde este punto de vista podemos hallar incongruencias con lo expresado anteriormente, puesto que la configuración de clase centrada en la ejemplificación ha mostrado características que sien-tan sus bases en una enseñanza tradicional de la Matemática. De todos modos, si bien esta configura-ción ha sido valorada positivamente por los estudian-tes en las entrevistas y ha logrado un bajo índice de ausentismo en la evaluación parcial, creemos que el estilo de abordaje que en ella tienen los contenidos –fuertemente arraigado en lo procedimental – interfie-re en el reconocimiento, por parte de los alumnos, de las bases sobre las cuales se fundamentan las ideas, e impide vislumbrar las consecuencias de las mismas cuando se pide ir más allá de lo estipulado por algo-ritmos y procesos.

No obstante, en este punto es necesario rea-lizar una aclaración concerniente a las limitaciones que tuvo nuestra investigación, puesto que no anali-zamos las coherencias que existieron entre los fines perseguidos por cada configuración y los que tuvo la evaluación parcial, en tanto escapaba a los objetivos y recorte que planteamos inicialmente en nuestro trabajo. Tal vez el rendimiento académico de cada una de las configuraciones de clase hubiese sido óptimo, si guardaban total correspondencia los obje-tivos del examen con lo efectivamente hecho en clase.

Asimismo, pensamos que corresponde a la institución y al equipo docente reflexionar sobre las conexiones que existen entre el tipo de profesional que buscan y desean formar con las capacidades y habilidades que cada configuración logra desarrollar

en los estudiantes. Además, hacemos notar que de las cuatro configuraciones, dos se enmarcan en una metodología de enseñanza tradicional de la Matemá-tica (centradas en la ejemplificación y teorización) y las otras dos (centradas en la participación y en las múltiples conexiones entre contenidos) se mostraron con algunas características que podríamos considerar menos tradicionales; pero como expresa Gómez (1995), si el contenido es sencillo y los objetivos son esencialmente de información, es muy posible que la metodología tradicional logre ser muy eficiente.

En la introducción de nuestro trabajo plan-teábamos como una preocupación particular, encon-trar posibles caminos que permitieran la integración de la reflexión y una “buena receta” que orientara el análisis y los criterios de acción, en los que el docen-te pudiera discutir y expresar sus supuestos, permi-tiéndole decidir entre alternativas y comprobar resul-tados. Nuestro interés aludía fundamentalmente a la posibilidad de introducir modificaciones en aquellas prácticas docentes en las que se exponen los conteni-dos prescindiendo del debate y análisis con el grupo de estudiantes. Como así también, en aquellas pre-sentaciones de contenidos que tienden a mostrarlos consolidados en “teorías cristalizadas”, donde se apela al uso de reglas y procedimientos, aplicaciones de métodos o al desarrollo de las destrezas básicas que conducen sólo a una manipulación de números y por ende, a un pensamiento de grado inferior, como lo define Litwin (1997).

El trabajo de Carvalho (1989), brinda una luz de esperanza a esta situación, en tanto aporta elementos que podrían ser interesantes para las prác-ticas docentes si los resultados hallados por la autora se evidenciaran también en el nivel universitario, dado que en sus conclusiones establece que el proce-so dialéctico de acción – reflexión – acción es el que propicia las transformaciones tanto teóricas como prácticas tenidas como indisociables por los docen-tes; esto es, las concepciones de los profesores se pueden transformar en un proceso de reflexión sobre la praxis.

Igualmente creemos que es muy valiosa la aclaración que en este sentido realiza Roulet (1998) cuando expresa que los cambios en el estilo de ense-ñanza que lleguen a crear ambigüedad y requieran el esfuerzo del alumno, son más propensos en conducir a la oposición del estudiante, pues chocan con las expectativas de los mismos –especialmente de los que presentan más dificultades– y esto precisamente se manifestó entre los alumnos del Profesor B que fueron entrevistados.


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4.2.4. Cuestiones abiertas en la investigación.

Skott (2001) hace notar que en los profeso-res de su estudio, no existió una clara relación entre las prioridades educativas profesadas y las prácticas de enseñanza que llevaban a cabo, puesto que cam-biaban con cada grupo de estudiantes, incluso dentro de la misma clase y con el mismo tema. Si bien las prácticas docentes observadas por el autor corres-ponden al nivel medio y son desarrolladas por profe-sores principiantes, en nuestro trabajo, las clases se desarrollaron en un contexto particular, las carreras de Ciencias Económicas de la Universidad Nacional de Villa María. Por lo tanto, esta situación nos lleva a cuestionarnos el nivel de consistencia que podrían tener las configuraciones detectadas en las prácticas de cada docente si modificamos el contexto en el que se desarrollan, considerando diferentes contenidos, carreras, instituciones, etc. Por otra parte, si estas configuraciones se modificaran en función del con-texto ¿qué características de las dimensiones analiza-das permanecerían invariables?

Otra cuestión deviene del análisis efectuado sobre las practicas docentes de los profesores B y E, que si bien corresponden a configuraciones de clases distintas, se asemejan en que están fuertemente cen-tradas en los contenidos. Estos profesores presentan como característica particular que egresaron de la misma carrera de grado y en la misma Universidad, en consecuencia: ¿Qué influencias tiene la formación dada en un centro educativo en las configuraciones de clases que desarrollen los profesores egresados del mismo?

También consideramos que sería interesante analizar, con más detalles, si lo que se torna en obje-to de evaluación ha sido efectivamente objeto de

enseñanza durante las clases. Esta sugerencia sienta sus bases en el hecho que los alumnos que obtuvie-ron un menor índice de aprobación corresponden a la comisión del Profesor B, quien además coordinaba la cátedra de Álgebra, estableció finalmente los objeti-vos de la asignatura, confeccionó las Guías de Traba-jos Prácticos y preparó las evaluaciones parciales.

Por último, cabe aclarar que el propio pro-ceso de investigación que llevamos a cabo nos con-dujo a determinar y construir las configuraciones de clases cuando los alumnos habían abandonado las aulas y se habían producido modificaciones en la conformación del equipo docente de Álgebra. Esta situación, imposibilitó volver a reunir a los actores principales del trabajo, por lo que consideramos oportuno que en un futuro se precisen y legitimen las configuraciones detectadas mediante una validación de su construcción, tanto con los docentes que las desarrollan como con los grupos de estudiantes que las presencien.

Creemos que este proceso daría lugar a la reconstrucción crítica de las mismas y al análisis reflexivo, sumado al aporte de los diferentes puntos de vista que podrían tener los miembros de la comu-nidad educativa. De todos modos, si bien nuestro trabajo no pretende otorgar conclusiones definitivas, brinda información necesaria para llevar a cabo re-flexiones suficientes que conlleven a planificar ac-ciones concretas tendientes a mejorar y enriquecer las prácticas docentes actuales de Matemática en la UNVM, y en todos aquellos espacios curriculares cuyas características y efectos se asemejen a los que describimos.

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