Conducción Transitoria :Efectos Espacial y el Rol

Soluciones Analíticas

Capítulo 5Secciones 5.4 a 5.8

Solución a la Ecuación del Calor para una Pared Plana con Condiciones Simétricas de Convección

• Si la aproximación de conductividad térmica despreciable no puede hacerse, se deben entonces considerar los efectos espaciales, así como los temporales, en lo que respecta variaciones de temperatura durante el proceso transitorio.

• Para una pared plana con condiciones simétricas de convección, propiedades constantes,

• Existen siete variables independientes:

( ) iTxT =0,

00

=∂∂

=xxT

( )[ ]∞=

−=∂∂

− TtLThxTk

Lx

,

( )ii hkTTtxTT ,,,,,, α∞=

tT

xT

∂∂

=∂∂

α1

2

2

la ecuación del calor y las condiciones iniciales y de frontera son:

Como poder simplificar esto?

• Escribiendo de forma Adimensional Ecuación de Calor y las condiciones iniciales y de frontera:

Diferencia de Temperatura adimensional:∞

∞

−−

=≡TTTT

iiθθθ *

Coordenadas adimensionales:Lxx ≡*

Tiempo adimensional: FoLtt ≡≡ 2

* α⇒ Número de Fourier

El Número de Biot :solido

i khLB ≡

( ) 10,** =xθ

( ) ,1y 0 **

1**

*

0**

*

tBixx xx

θθθ−=

∂∂

=∂∂

==Fox ∂∂

=∂∂ θθ

2*

*2Ecuación adimensional :

• Solución Exactas :

( ) ( )∑∞

=

−=1

*2* cosexpn

nnn xFoC ζζθ

( ) Bitan 2sin2

sin4nn =∴

+= ζζ

ζζζ

nn

nnC

( )BiFoxf ,,** =θAhora tan solo hay 3 variables independientes:

En el Apendice B.3 se presentan las cuatro primeras raíces ( ) de la Eq. (5.39c)41 , , ζζ L

• La Aproximación a un Término :( )0.2Fo >Variación con el tiempo Fo de la temperatura del plano medio (x*= 0) :

Tabla 5.1⇒ C1 y ζ como función de Bi

(5.41)( )FoCTTTT

i

oo

211

* exp ζθ ≈−−

≡∞

∞

Variación de la temperatura con la posición (x*) y el tiempo Fo :

Cambios en la energía térmica almacenada con el tiempo:

(5.40b)( )*cos 1*

0* xζθθ =

(5.43a)

(5.44)

(5.46)

QEalm −=∆

is*0

1

1 TT sin1 ≠⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= θ

ζζ

oQQ

( )∞−∀= TTcQ iρ0

Se pueden utilizar las expresiones anteriores cuando se tiene una pared plana aislada en un lado y transfiriendo calor por convección por el otro?

Cartas deHeisler

Representación Gráfica de la Aproximación a Un TerminoLas Cartas de Heisler

• Temperatura de Plano Medio :

1,27

4,2

Cartas de Heisler (cont.)

• Distribución de Temperatura :

=0,5

0,92

• Cambio en la Energía Térmica Almacenada:4,2

4,2

1,56x10-2

• Cambio de la Energía interna :

Sistemas Radiales • Varillas Largas o esferas Calentadas o Enfriadas por Convección.

khrBi o=

20rtFo α

=

• Aproximación a Un Término :Varilla Larga: Eqs. (5.49) y (5.51)

Esfera: Eqs. (5.50) y (5.52)

5.1 Tabla1,1 ⇒ζC

• Representaciones Gráficas :Varilla Larga: Figs. D.4 – D.6

Esfera: Figs. D.7 – D.9

Sólidos Semi-InfinitosSólidos semi-infinitos

• Un sólido que se extiende hasta el infinito a partir de una superficie a la que se le alternan las condiciones térmicas se conoce como semi-infinito.

• Casos Especiales:Caso 1: Cambios en la Temperatura Superficial (Ts)

( ) ( ) is TxTTtT =≠= 0,,0

( )⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=−−

t2xerf,αsi

s

TTTtxT (5.57)

( )∫ −≡η

πη

0

2exp2 duuerf Apéndice B.2

( )tTTkq is

s πα−

="(5.58)

Caso 2: Flux de Calor Uniforme (q”s= q”0)

Caso 3: Transferencia de Calor por Convección (h, T∞)

(5.59)

( ) ( )

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−

t2xerfc

4exp/2,

"0

2"0

α

απα

kxq

tx

ktqTtxT i

ηη erf1erfc −=

(5.60)

( )[ ]tTThxTk

x

,00

−=∂∂

− ∞=

( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=−∞

kth

tx

kth

khx

tx

TTtxT

i

αα

α

α

2erfcexp

2erfc,

2

2

Efectos Multidimensionales• Las soluciones para conducción transitoria multidimensional pueden ser

expresadas como un producto de las soluciones unidimensionales para la paredplana, P(x,t), el cilindro infinito, C(r,t), y/o el sólido semi-infinito, S(x,t). Ver Ecuaciones (5.64) a (5.66) y la Fig. 5.11.

• Por ejemplo la solución para la conducción transitoria bidimensional de un cilindro corto es de la forma:

( ) ( ) ( )trCtxPTT

TtxrT

i

,,,,×=

−−

∞

∞

( ) ( )infinitocilindro

planapared

,,

∞

∞

∞

∞

−−

×−−

=TT

TtrTTT

TtxT

ii