MECANICA SOLIDOS II

Semana 2

CONCEPTOS FUNDAMENTALES

1.1.- INTRODUCCIÓN

Se define la Mecánica como la ciencia física que estudia las condiciones de reposo o

movimiento de los cuerpos bajo la acción de fuerzas. Por lo general se le divide en 3

partes: Mecánica de los cuerpos rígidos, mecánica de los cuerpos deformables y mecánica

de los fluidos. Sin embargo una división más exacta es:

Mecánica

I) Sólidos.

1. Cuerpos rígidos.

Estática.- Equilibrio de los cuerpos bajo la acción de fuerzas

exteriores, nos interesa las fuerzas internas, se supone el cuerpo

perfectamente rígido.

Cinemática.-Movimiento de los cuerpos independientemente de las

fuerzas que lo originan

Dinámica.-Movimiento de los cuerpos en la que si interesan las

fuerzas que la originan

2. Cuerpos deformables.- Tiene que ver con las fuerzas internas y con las

deformaciones de los objetos que resultan por la acción de las fuerzas

externas sobre ellos

II) Fluidos.

Nota.-

- La Mecánica teórica concierne principalmente al físico, mientras que la Mecánica

aplicada le concierne al ingeniero.

- La Mecánica Racional está referido al hecho de que la aplicación y los

fundamentos de esta es la razón (Resultados finales de investigaciones, los cuales

por su puesto, se relacionan con la parte analítica o matemática de la materia).

- La Mecánica de Materiales está orientando a entender los conceptos de esfuerzo y

deformación, incluyendo el significado de Isotropía y criterios para determinar

fallas y fracturas en estructuras.

- La Resistencia de Materiales está orientado al cálculo de esfuerzos orientado al

diseño estructural.

1.2.- OBJETIVOS DEL CURSO

1.-Mejorar las habilidades del alumno con la finalidad de que este pueda analizar

primeramente y posteriormente diseñar los elementos estructurales en general. Con lo cual

el producto final sea Resistente, Rígido (características de deformación) y Estable

(condición en columnas).

2.- Conocer la acción de las fuerzas externas que nos da el conocimiento de las fuerzas

internas o en otras palabras el estudio de la Mecánica de Materiales, requiere un

conocimiento de la forma en que las fuerzas y momentos externos afectan los esfuerzos y

deformaciones que se desarrollan internamente en el material de un miembro que soporta

carga.

1.3 FACTORES DE CONVERSION A LAS UNIDADES SI (Sistema Internacional).

En la presente en lo posible se tratará de usar las unidades del sistema SI ya que esta cada

vez trata de ser mas universal, Las unidades fundamentales en el sistema SI son el

metro(m) para longitud, el kilogramo ( Kg. ) para masa y el segundo (s) para tiempo.

Entre las unidades derivadas están el área, metro cuadrado (m2), y la aceleración, metro

por segundo al cuadrado (m /sg2). La unidad de Fuerza se define como la que

proporciona a la unidad de masa por la unidad de aceleración (F= mxa), o sea, kilogramo-

metro por segundo al cuadrado (Kg.m/seg2). Que recibe el nombre de Newton (N) Que es

la fuerza que proporciona una aceleración de 1m/seg2 a una masa de 1 kg. La unidad

para esfuerzo (o presión) es el newton por metro cuadrado(N/m2), que se llama también

Pascal (Pa.). En algunas ocasiones se expresa en términos de bars ( )101 5 pascalbar

A continuación se hace una listado de las equivalencias hacia el sistema SI.

UNIDADES DE LONGITUD UNIDAD DE AREA

cmpu 54.2lg01 22 452.6lg01 cmpu

mpie 3048.001 22 09290.001 mpie

lg1201 pupie

UNIDADES DE VOLUMEN UNIDADES DE FUERZA 357.2901 cmonza newtonfuerzakg 807.901

3003785.001 mgalon knfuerzakip 448.401 33 4.16lg01 cmadapu newtonfuerzalibra 448.401

33 02832.001 mpie lbkip 100001 , )0101( KipKilolibra

01 libra = 0.4536 kgr.

UNIDADES DE PRESION O ESFUERZO (FUERZA POR AREA)

pascalmfuerzakg 807.92

)(895.6)(lg01 2 Mpamegaspacalksipufuerzakip

pascalmNmnewton 01)/(01 22

pascalpiefuerzalibra 88.4701 2

)(6895)(lg01 2 papascalpsipufuerzalibra

PakPa 3101

PaMpa 6101

1 PaGpa 910

DENSIDAD

Densidad del concreto = 2400 kg/m3

Densidad del acero = 7850 kg/m3

Densidad de la madera = 1560 kg/m3

1.4 RELACIONES ENTE MASA, FUERZA Y PESO

La fuerza y la masa son magnitudes separadas y diferentes. El peso es una clase especial de

fuerza dirigida al centro del globo terráqueo

La masa se refiere a la cantidad de sustancia que hay en un cuerpo. La fuerza es la acción

de empujar o jalar que se ejerce sobre un cuerpo, ya sea por una fuente externa, o por la

gravedad.

El peso es la fuerza de la atracción gravitacional sobre un cuerpo.

mxaF aFm (Segundo principio de newton)

mxgW gWm

Donde 2/81.9 smg 2/2.32 spiesg

newtonsmkgmxaF 2/.

slugpies

slbaFm

2.

1.5 CONCEPTO DE ESFUERZO

Esfuerzo es la resistencia interna que ofrece un área unitaria del material del que esta

hecho un miembro para una carga aplicada externa

Esfuerzo Normal, Es la componente perpendicular o normal a la sección, se reparte

uniformemente en la totalidad de la sección transversal del miembro, Los esfuerzos pueden

ser de tensión (+) o de compresión (-).

A

F

area

fuerzaEsfuerzo

A

F

A 0

lim

Donde:

F = Es la fuerza perpendicular al área de

la sección

A = Área de la sección

Limitaciones.- El principal requisito es que la deformación de la barra sea uniforme en

todo su volumen, lo que requiere que sea prismática, que las cargas se apliquen en los

centroides de las secciones transversales y que el material sea homogéneo. La segunda

condición para mantener la uniformidad de las deformaciones laterales es que las

propiedades elásticas deben ser iguales en todas las direcciones perpendiculares al eje

longitudinal. Los materiales que son isótropos u orto trópicos cumplen con estas

condiciones

Esfuerzo cortante medio Es La otra componente de la intensidad de fuerza que actúa

paralelamente al plano del área transversal.

A

VEsfuerzo

A

V

A 0

lim

Donde:

A = Representa el área de la sección el elemento cortado.

V = Es la componente de la fuerza paralela a la sección o corte

Es el esfuerzo cortante medio

A diferencia de del esfuerzo normal, el esfuerzo cortante es aproximado. En los casos que

se ilustran los esfuerzos cortantes en realidad no están distribuidos uniformemente en el

área de sección. La cantidad que se evalúa representa un esfuerzo cortante medio.

ksip

kip

lb

kipx

p

lbesfuerzo 30

lg

30

1000

1

lg

3000022

MpamNxm

mmx

mm

N

mm

Newtonesfuerzo 20/1020

)1000(20

2500

50000 26

2

2

22

Equivalencia estatica

1.6 CONCEPTO DE DEFORMACIÓN

Todo miembro que se carga (tracción o compresión) se deforma por la influencia de la

carga aplicada. El resultado será un alargamiento o acortamiento del elemento, la

deformación que también se conoce como deformación unitaria, se obtiene dividiendo la

deformación total entre la longitud original de la barra. La deformación se denota con la

letra griega minúscula épsilon

LiginalLongitudOr

nTotalDeformacionDeformacio

Ejemplo.- Por la acción de una fuerza de tensión se nota que una barra de 15.20m ha

sufrido un alargamiento de 0.024 m, calcular su deformación unitaria.

mmm

m/0016.0

20.15

024.0

La deformación unitaria es adimensional, pero por razones de mantener la definición de

deformación por unidad de longitud del miembro es preferible mantener sus unidades.

LEY DE HOOKE –MODULO DE ELASTICIDAD

Es una propiedad de los materiales y es aplicable con suficiente exactitud a casi todos los

materiales. La relación entre esfuerzo y deformación (en los diagramas esfuerzo-

deformación) se puede decir que es lineal para todos los materiales. Esta idealización

amplia y su generalización aplicable a todos los materiales se conocen como la ley de

hooke simbólicamente, esta ley se puede expresar por la expresión:

E ó E

Que significa simplemente que el esfuerzo es directamente proporcional al de la

deformación, y la constante de proporcionalidad es E. Esta constante e se denomina

Modulo de elasticidad, Modulo elástico o Modulo de Young. Como es adimensional,

E tiene las mismas unidades que el esfuerzo. Suele expresarse en ( kgf/cm2. lbf/plg2,

N/m2 o Mpa}

Gráficamente e se interpreta como la pendiente de una recta que va desde el origen hasta

un punto de posición incierta en un diagrama Esfuerzo-Deformación.

Una material con un valor de E elevado se deformara menos con un esfuerzo dado que uno

con un valor reducido de E. Un término más completo para E seria el módulo de

elasticidad a tensión o compresión, porque se define en función del Esfuerzo normal, sin

embargo, el término “Modulo de Elasticidad”, sin ningún modificador, generalmente se

considera como el Modulo de tensión

Ejemplo:-

Fibra de carbono 27 /102.2 cmkgfxE

Para el acero al carbón y aleado 26 /101.2 cmkgfxE

Para el concreto f’c = 210 Kg. /cm2 25 /1017.2 cmkgfxE

Para la madera 25 /100.1 cmkgfxE

1.7 COEFICIENTE DE POISSON ( )ó

Además de la deformación de los materiales en la dirección de la fuerza aplicada, se puede

observar otra propiedad notable en todos los materiales sólidos o sea, que

perpendicularmente a la fuerza aplicad axial (longitudinal) ocurre expansión o

contracción lateral (transversal).

Es el cociente de la deformación lateral en el elemento a la deformación axial y es una

propiedad del material del que esta hecho el miembro de carga.

Lo

LoLfnaxialDeformacio a

ho

hfhonLateralDeformacio l

a

ledePossoncoeficient

VALORES DEL COEFICIENTE DE POISSON

MATERIAL ó MATERIAL ó

Aluminio 0.25 Madera 0.30

Concreto 0.20 Hule 0.50

Hierro colado 0.27 Roca 0.25

Plastico 0.40

Cobre 0.35 Vidrio 0.20

Acero al carbón y aleado 0.28 Ladrillo 0.25

1.08 LEY DE HOOKE PARA ESFUERZO CORTANTE Y DEFORMACIÓN POR

CORTE

En un elemento de un cuerpo los esfuerzos cortantes se presentan en dos pares que actúan

en planos mutuamente perpendiculares. Cuando solo ocurren estos esfuerzos, se dice

que el elemento esta en estado de corte puro. Dicho sistema de esfuerzos distorsiona un

elemento de un cuerpo elástico en la forma que se ilustra en la figura. Desde luego, esa

distorsión se presenta solo en el caso de un cuerpo isótropo y perfectamente homogéneo,

que tiene propiedades iguales en todas direcciones

Si la atención se limita al estudio de deformaciones pequeñas, y además si el

comportamiento de un elemento se considera solo en un intervalo elástico, se encontró

experimentalmente que existe una relación lineal entre el esfuerzo cortante y el Angulo

(gama). Por consiguiente, si se define como la deformación angular (o por cortante)

matemáticamente la expresión de la ley de hooke para el caso de esfuerzo cortante y

deformación por cortante es

G

Donde:

G = Es una constante de proporcionalidad

llamada Modulo de elasticidad al cortante, a

veces , Modulo de rigidez. Como E, el modulo G

es también una constante de un material dado. Se

mide en las mismas unidades que E.

= Deformación por cortante se mide en radianes

y es una cantidad adimensional (la deformación

angular o por cortante , se puede expresar en

tanto por ciento, igual que

Los diagramas es semejante al de los

diagramas de un ensayo a la tensión el mismo material. El punto de fluencia y el

esfuerzo ultimo al corte. Sin embargo de estos puntos para los esfuerzos cortantes son

generalmente mucho menores que los valores correspondientes al esfuerzo normal.

Las tres constantes elásticas E, v y G no son independientes entre si en el caso de

materiales isótropos.

)1(2 v

EG

Ejemplo.-

Para el concreto 20.0 ; G = 0.42E; algunos autores consideran G = 0.5 E

Para el acero al carbón y aleado 28.0 ; G = 0.39E.

1.09 ESFUERZO EN UN PUNTO

Para poder calcular el rompimiento de una estructura, se tiene que estudiar a partir del

rompimiento en un punto, para que esto suceda es necesario que la intensidad de la fuerza

interna, es decir, el esfuerzo excede un valor caracteristico del material. Esto implica que

debemos refinar nuestra definición de esfuerzo sobre una superficie a esfuerzo en un

punto, sin embargo por un punto pasa un numero infinito de planos ( superficies), se trata

de asignar direcciones a la orientación de la superficie imaginaria y a la fuerza interna

sobre esta superficie e incorporando la descripción de las direcciones como sub indices

de las componentes de esfuerzo , de la misma forma que utilizamos los sub indices x,y,z

para describir las componetes de vectores.

En la figura 1.35 aparece un cuerpo cortado por un plano imaginario cuya normal exterior

sigue la direccion i. sobre el area diferencial iA de esa superficie actua una fuerza

resultante jF es la componente de la fuerza en la dirección j. ij AF / es a su vez una

componente de esfuerzo promedio. Si reducimos iA a cero, obtenemos la definición de

una componente de esfuerzo instantáneo en un punto, indicada por la ecuación.

)(lim0

iA

ijA

Fj

i

Cuando observamos una componente de

esfuerzo, el primer subíndice indica la

orientación de la superficie imaginaria y el

segundo la direccion de la fuerza interna.

En las tres dimensiones, cada uno de los

subíndices i y j, puede referirse a una

dirección x, y o z. En otras palabras, hay

nueve posibles combinaciones de esos dos

subíndices, es necesario notar que para

especificare el esfuerzo en un punto en una

dirección en el espacio es necesario una magnitud y dos direcciones(es decir el esfuerzo es

un tensor de segundo orden). En el plano es necesario de una magnitud y solo de una

dirección (es decir, el esfuerzo sobre una superficie, es un vector). Esto distingue al

esfuerzo de todas las cantidades que conocíamos hasta ahora; en tres dimensiones

necesitamos nueve componentes de esfuerzo y en dos dimensiones cuatro componentes de

esfuerzo para especificar por completo el esfuerzo en un punto.

El signo de una componente de esfuerzo se determina a partir de la dirección de la fuerza

interna y la dirección normal exterior a la superficie del corte imaginario.

Elementos de esfuerzo

Un elemento de esfuerzo es un objeto imaginario que ayuda a visualizar el esfuerzo en un

punto mediante la construcción de superficies con normal exterior en la dirección de las

coordenadas.

En coordenadas cartesianas, el elemento esfuerzo es un cubo; en coordenadas cilíndricas o

esféricas, un fragmento de un cilindro o una esfera, respectivamente.

Par ilustrar la construcción supondremos que las nueve componentes de esfuerzo de la

matriz de esfuerzo son positivas.

Las componentes de esfuerzo pueden agruparse en el tensor de esfuerzos

ZZZYZX

YZYYYX

XZXYXX

Conviene hacer notar que el hecho de que la componente de esfuerzo se muestra con una

sola flecha no significa que sea una sola.

Esfuerzo en un plano

El esfuerzo en un plano es uno de los dos tipos de simplificaciones bidimensionales en la

mecánica de materiales. Entendemos por bidimensional que una de las coordenadas no

interviene en la descripción del problema, Si tal coordenada fuera z, por ejemplo todos los

esfuerzos con subíndice z, se registran con valor cero:

000

0

0

YYYX

XYXX

Para el caso del estado de esfuerzo plano antes descrito, la resultante de esfuerzos se

supone que pasan por el centroide de la molécula, de tal manera que no se tienen pares ni

torques actuando en ella y suponiendo equilibrio 0zM es decir:

0)()( dxdydzdydxdz zyyz , como dxdydzdv entonces yzzy lo que significa que

el tensor esfuerzo es simétrico

Ejemplo:

Una barra de acero cuyo lado es de 10cm. Y cuya longitud es de 1.5 m. está sometida a una

fuerza de tracción axial de 82000 kg. Determinar la disminución de la dimensión lateral

debido a la carga.

2/101.2 6 cmkgxE

3.0

Solución:

En la dirección axial 2/8201010

82000cmkg

xA

P

Eaxial de Ex

cmcmcmkgx

cmkgaxial /0039.0

2/101.2

2/8206

axial

lateral axial

lateral3.0 0039.03.0 xlateral

00012.0laterla

Laterla

Laterlalaterla

L cmxLateral 0012.01000012.0

FORMA GENERAL DE LA LEY DE HOOKE

En la dirección axial, cuando la carga se aplica según el eje recto del elemento tenemos

que el esfuerzo Ex despejando tenemos E

, en el caso más general una partícula

está sometida a tres tensiones normales perpendiculares ente si yx , y z acompañada

de tres deformaciones yx , y z respectivamente, por lo que superponiendo las

componentes originada por la contracción debida al efecto de Poisson tenemos:

)((1

zyxxE

)((1

zxyyE

)((1

xyzzE

G

xy

xy

G

yz

yz

Gzx

zx

1.10 CLASIFICACION DE LOS MATERIALES

Algunos materiales, notablemente los cristalinos simples, poseen diferentes módulos

elásticos en distintas direcciones en relación con sus planos cristalográficos. Tales

materiales, que poseen propiedades físicas diferentes en distintas direcciones, se

denominan Anisótropos. (Estos materiales no son de estudio, en este curso). La gran

mayoría de los materiales de ingeniería consiste en un gran número de cristales orientados

al azar. Debido a esta orientación aleatoria de los cristales, las propiedades de los

materiales son esencialmente iguales en cualquier dirección (dichos materiales se llaman

Isótropos. En este curso se supone la total homogeneidad y la completa isotropía de

los materiales)

Desde el punto de vista del orden en la que están constituidas las propiedades elásticas de

un material estas adquieren las siguientes denominaciones.

MATERIAL HOMOGÉNEO, que tiene las mismas composición o propiedades elásticas

(E, ) en todos los puntos del cuerpo. Es decir, que sea el mismo en todas las partes del

cuerpo; sin embargo un material homogéneo, no quiere decir que las propiedades

elásticas en un punto específico sean iguales en todas las direcciones. Por ejemplo, el

modulo de elasticidad puede variar para la dirección lateral y axial como en el caso de la

madera.

MATERIAL ISÓTROPO, que tiene las mismas propiedades elásticas (E, ) en todas las

direcciones (direcciones perpendiculares x,y,z) en cada punto del cuerpo. Ejemplo el acero

MATERIALES ANHISOTROPICOS.-No todos los materiales son isótropos. Si sus

propiedades son diferentes en varias direcciones un material se llama anisótropo o, a veces

alotrópico. , Ejemplo el suelo, un caso especial de material anisotropía se presenta cuando

las propiedades en todas las direcciones perpendiculares a la primera son iguales (pero

difieren de las primeras propiedad); en este caso, el material se clasifica como.

ORTOTROPICO.-Muchos materiales compuestos, como los plásticos reforzados con

fibras, tiene un comportamiento orto trópico.

En este texto, todos los ejemplos y problemas están resueltos suponiendo que el material es

elástico lineal, homogéneo e isotrópico, a menos que se especifique lo contrario.