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8/15/2019 “conceptos de longitud.pdf

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PROPUEST METODOLOGICP RTR T R DESUBS N RL S

DIFICULT DESDID CTIC SYTEORIC SQUESEOBSERVN

ENL DQUISICIONDELCONCEPTO

CU LIT TIVODEL REPilarTureganoMoratalla

Pilar TI/I egallo MOTa/ /lla. Licellciada en Ciencia s Mate-malicas . Projesora Tiwlor de Escllela Ulliv ersiwria. Alba -cele.

O. INTRODUCCION

e d i r es uno de lo s topicos en matemati cas que puede se r considerado como uno de lo s principales candidatos para sos ten e r e llema las matematica s so n titiles . A pesar de e llo , es d e todo s conocido que los conceptos re lacionado s con e l '·te ma m ed ida tiene ngraves dificultades didacti cas.

Esta claro que, tanto desde un punto de vista psicologico-dida ct ico , como de sde un punto de vista te o rico , la adquisicion de un concepto se situa e n un plano total mente di stinto al de su cuantificacion ,c1aramente , la primera debe preced e r a la seg unda y re pr ese nt a unnivel de conocimi ento m as fundamental, pero no por ello mas fac ilde adquirir.

Piaget , Inh e ld er y Szminska 1960)Cl 1 nos han proporcionadoinformacion muy aclaratoria so re la s e tapa s qu e atravi esa e l niii o e nsu desenvolvimiento d e lo s conceptos asoc iado s al de area.

EI concepto d e area , como afirma H. Freud e nthal , es un o de lo s

conceptos mas basicos y profundos del discurso matem a tico.La primera constatacion que debe hacer se es qu e e l co nceptocualitativo de area se situa en un niv e l cognoscitivo mu y s up erior aldel concepto cualitativo de longitud y su adquisicion presente problemas didactico s graves.

(1) LOVELL , K. : , Desarrollo de los co ncepros basicos maternalicos y cielllfji cos e ll 35

los os , Mor a la , Madrid , 1977 .


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Dadas dos fi guras planas, un triangulo equilatero y un cuadrado,

pod e mos preguntarnos cual es mayor , cual tiene mayor area. La respue sta, inclu so para no so tros , no es intuitivamente evidente. En elcaso de la s longitude s podiamos recurrir a la comparaci6n directa.No podemos hac er 10 mismo con est as figuras pues tienen forma distinta , a pe sar de e llo , han sido construidas de forma que tengan lami sma area. Es decir , el concepto de area no depende de laforma .

Es inn ecesa rio remarcar la s graves dificultades didacticas surgidas debido a este hec ho . Son de gran interes los resultado s presentados por K M Hart(l ) en relaci6n con los test del CSMS, asi como lospresentados por L Dickson. (2)

Ambas autoras exponen y analizan la dificultad de conservar demanera con sistente el area al producirse desplazamientos y cambiosde forma.

Una de las tesis defendidas en este anal isis es el hecho de quesubyacentes a las dificultades didacticas existen, casisiempre, dificul-rades teori cas no negligibles . Analicemos pues , desde un punto devista te6rico, el concepto cualitativo de area. No pretendemos definir que es e l area de una superficie - problema cuantitativo- sino

qu e significa qu e dos superf icies tengan la misma area Y)EI concepto que resuelve el problema es el de equidescomposi-

cion: Dos figuras so n eq uide scom ponibles , si es factible descompo

ner una de elias en un numero finito de partes , los cuales pueden rearreglarse para formar la otra . Este sera el concepto de equivalenciaque nos permitira definir cuando dos poJfgonos tienen igual area:

Dos polfgonos tendran la misma area si son equidescomponibles .

I bis) HART , K. M. 1984 , Children s UnderslandingpfMarhemarics 11-16, JohnMurray, London).

(2) DICKSON , L , BROWN , M , GIBSON. 0 . , 19 84 , h ildren Learning Mathe·maries: A Teacher s Guide to recenl Research a ld e n press Ltd., London).

3) Toda est a propuesta metodol6gica esta ref erida l area figura s poligonales.


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Observe mos que con esta definici 6 n n o sa be mo s aun que es e larea de un p o l go no en ca mbio p ode m os sabe r ya qu e sign ifica quedo s s up erfic ies tengan la m sma a rea. Po r eje mpl o e l triangulo y e lcuadrado a nt e r o re s t e ne n la misma area so n por tanto eq uide s-componib les: podemos div idir e l tri a ngulo e n cuatro parte s, re orga -niza das y o bten e r e l cuadr ado ta l y como se mue stra a co ntinu ac i6 n .

\H

vi, K MF . . .

A J

D punta media de ABE punta media de BC

/

K

-/

-c

J

~

F intersecci n de la recta AE con el areo de centro E y radio EBG punto media de AFH intersecci n de la recta C can el arco de centro G y radio AGJ intersecci n de la recta AC con el arco de cent ro E y radio EH JK = DL Y M rectas perpen dicular es a EJ por 0 y K

J

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Puede demostrarse facilmente que la relaci6n de equ idesco mp o-sici6n es un a relaci6n de equ ivalencia. Por 10 tanto, e l conju nt o de

todos los po lfgo nos quedara descompuesto en clases de equivalen -cia

Cada clase contiene un polfgono y todos los que son equidescom-ponibles a e l Entre todos los polfgonos hay unos para los cua les lacuantificaci6n del area es bastante se ncilla: los rectangu los. Si tene-mos un r ect


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de vi sta mod e rn o no es a dmi sibl e. En e l siglo pasado , a lgun os ge6-metra s habi a n co nsiderado l a re spu es ta al pro ble ma a nt er io r co moaxi o ma. E I prim ero e n d e mo str ar r ea lm e nt e la negaci6 n dee sta po sibilid ad fu e D. Hilb e rt e n e l ano 1899 .

Vem os pu es , qu e hasta 1 899 no qu eda clar a me nt e es tab lec idoque l a de fini c i6 n de un area d e un polig o no a tr aves de la e qu idescompo sici 6 n e s un c o ncepto bien definid o .

1. RELACION DE IGUALDAD EN EL CONJUNTO DELOS POLIGONOS

Definicion 1: D os tri a ngulo s s on c l sec ufi v o s fi gur a I cua nd otienen un lad o co mun y no tien en ningun otro punt o co mun.

Fig

Definicion 2: Una cadena de triangulo s es un conjun to d e tri angulos tal que:

l . 0 Dos cualesquiera de ellos 0 son cons ec utivo s 0 no pu ede ntener mas punto comun que un vertice.

2. ° Si y S son dos triangulos no consecutivos de la cad ena , ex isten los triangulo s T T 2 , . . . , Tr de la cadena , tale s que T y T , so n co n-

secutivos , T J y T2 son consecutivos ... , Tr YS so n co nsec uti vos. 2 9Propuesta 1. Di cuales son cadena s y cuale s no e n l a fi gur a 2 .


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figur 2

I I

Fig

IDI

efinicion 3: AI conjunto de todos los puntos de una cadena de

triangulos se Ie llama poligonoSi el polfgono Pesta formado par la cadena de triangulos T j , i= l ,

2 ... , n , escrib iremos: p = ti= l

Y diremos que.los triangulos T j constituyen una descomposici6n depolfgono P.

Propuesta 2: Descomp6n los polfgonos de la figura 2 en triangulos distintos de los de dicha figura.

Propuesta 3: Si tienes dos polfgonos, por e jemplo el (B) y el (D)de la figura 2 , de lam ina s de plata del mismo grosor , i,c6mo averiguaras si son del mismo precio?

Queremos inducir a l alumno a que escriba la relaci6n de igual-dad: B = 0 precio B = precio D.

Propuesta : si divides el polfgono P, de lamina de plata, en dospolfgonos P ' y P i,que relaci6n existe entre el precio de P y los precios de P' y P ?

Queremos inducir a l alumno a que escribala

operaci6n suma :si P = P' + P > precio P = precio P ' + precio PPropuesta 5: Si suponemos que todos los polfgonos son de plata,

se pueden c1asificar del siguiente modo: dos polfgonos P y Q pertenecen a la misma c1ase cuando colocados en los platillos de una balanzala equil ibr amos. Demuestra que de este modo se obtiene , efectivamente una partici6n del conjunto de los poligonos.

Propuesta 6: Si dos polfgonos , P y Q, son iguales, esto es, se pue- 0 den superponer mediante un movimiento , i,pertenecen a la misma

c1ase segun la c1asificaci6n anterior?


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Propuesta 7: Si P Y Q se pu eden descomponer en e l mismonumero de triangulos iguales , i,Pertenecen P y a la misma c1a sesegun la definici6n anterior?

efinicion : Dos polfgonos P y Q pertenecen a la misma c1asecuando 0 son iguales se pueden superpon er) 0 se pueden descomp o-ner en el mismo numero de triangulo iguale s . Dos polfgono s que per-tenecen a la mi sma c1ase se lIaman equivalentes 0 equidescomponi-bles Si el polfgono P es equivalente al polfgono escr ibir emos:PEQ.

Propuesta 8: Trataremos de hallar polfgono s equivalentes a unodado.

1 0 R O M B O - - ~RECT NGULO

2.° CU DR DO ;: TRI NGULOP R LELOGR MO

Corte 7 diagonal

3 ° HEX GONO REGUL R - - - - > : > P R LELOGR MO

~241


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4

4. ° PENTAGONO REGULAR 7>TRAPECIO

Despues de las dos transformaciones an ter iore s podrias en un cialuna regia ge neral.

Poligono regular de un n .Opar de lados se transforma en unparalelogramo.

Poligono regular de un n .° imp ar de lados se transforma en untrapecio.

5. ° Cor tando un cuad rado pOI sus diagonales, se pu ede pasar a rec -tangulo, paralelogramo , trap ec io isosce les y triangulo tambien isos -

ce les.I

~


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6.° R ecta ngul o med iant e e l co rt e de una diagonal i e n qu e po ligon os10 pu edes tran sfor mar ?

ectangulo

t r ian gu l os

t ipo s distinto s

de paralelogram os

Propuesta 9: Segun la definici6n 4 . i Es todo poli gono equ iva-lente a sf mism o?

Propuesta 10: Si P es equ ivalent e a Q i es Q eq uiv alente a P?Propuesta 11: Si P es eq uival e nte a Q y Q es e quiv ale nt e a R se

veri fica que P es eq uival e nte a R.Notacion: La c\ase formada po r todos los poligono s equiva len te s

al polfgono P 10 representamos por [Pj .

Propuesta 12: Demuestra qu e si [Pj [Qj se verifica que PEQ. 43Propuesta 13: Demuestra que si P Q es [Pj [Qj.


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Propuesta 18: Demuestra la asoc iat ivid ad de la adici6n.Propuesta 19: Demuestra la conmutatividad de la adici6n.Propuesta 20: i,Podrfas recordar e l nombre de las estructura a lge-

braica de ([P), +)?i,Recuerdas otros conjuntos que con esta mi sma operaci6n ten

gan la misma estructura? Enuncialos.

3. OPERA CION EXTERN A

Propuesta 21: Hay una operaci6n que se utiliza co n frecuencia e nlos polfgonos: es la de multiplicar un num e ro natural n por una c1asede polfgonos [Aj . i,Sabrfas co nstruir la c1ase 3 [AJ = [AJ + [Aj +[Aj?

i,Podrfas dar una definici6n para n [A j?i,Has utili zado alguna otra vez es ta operaci6n ? i,Entre que co n

juntos? Enuncialos.Propuesta 22: Demuestra que:

1. m+n) [AJ = m [Aj + n [Aj2 m([Aj + [BD = m . [Aj + m . [BJ3 m . n) . [Aj = men . [AD4. 1 · [Aj = [Aj

i,Recuerdas c6mo se llama l a es tr u ct ura ([P) + , . N con laspropiedades anterior es?

i,Conoces algun otro conjunto en e l que se haya definido lamisma operaci6n extern a con identi cas propiedades? Enuncialo.

onsecuenciasque se derivan de las d ef inicion es anteriores:Propuesta 23: Comprueba si la s relaciones siguient es so n equ iva

lentes:

[Aj + [Bj = [C][Aj = [C] - [Bj[Bj = [C] - [Aj

Propuesta 24: i,Es siempre po sible construir las c1ase [ j [Bj?Explfcalo

Propuesta 25: Si m ) n , demue st ra que (m - n) [Aj = m [AJ - n[Aj

Propuesta 26: Si existe [Aj - [Bj demuestra que m [Aj - [BD= m [Aj - m [BJ

4. DEFINICION DE ORDENACION

Propuesta 27: Las relaciones siguientes so n eq uivalent es:[Aj < [ B j _ [ j + [C] = [Bj45


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i,Podrias dar un criterio por medio del cual podamos ordenar lasclase s de poligonos?

Propuesta 28: i,Podrias demo strar seg un el crit e rio que tu h ayasdado para ordenar las clases de poligonos, las propiedades que verifiean?

Propuesta 29: i,Es es ta relaci6n de orden compatible co n la operaci6n de adici6n que has utilizado co n anterioridad?

i R ecuerdas ot ro s conjuntos que se hayan ordenado con elmi smo criterio qu e este? Podria s enunciarlos.

Definicion 7: En e l conjunto de las clases de poligonos se verificae l po s tulado de Arqufmedes: si [A] , [B] existe un entero positivo n

que multiplicado por [A] nos de n [A] que es mayorque

[B].Propuesta 30: Comprueba qu e se veri fica e l postulado de Arqufmed es e n el conjunto de las cla ses de polfgono s

REFLEXIONES

El conjunto de todas la s cla ses de poligonos , entre los que se hadefinido la sum a qu e conferfa a dicho conjunto estructura de se migrupo conmutativo, es un sem igrupo absoluto ordenado eance lativoyarquimediano.

{ [P]' +f L c LAsoeiativa

SEMIGRUPO ADITIVO

Conmutativa CO NMUTATIVO[P] + [Q] = [M] + [ ] _ [P] = [M] CANCELA T1VOsi existe s6 10 una dif ere ncia de las dos:[P] - [Q] 6 [Q] - [P] ABSOLUTOs i [A] , [B] existe un entero n ,tal que n [A] , [B] ARQUlMEDlANO

Ya hemo s definido la magnitud a rea de una forma cualitativaen una figura poligonal , pero no cuanlitativamente Cad a cla se depolfgonos contiene un polfgono y todos los equidescomponibles conel. Entre todos los polfgono s de una misma clase , hay uno para el quela euantificaci6n del area es relativamente sencilla; este poligono esel rectangu lo. EI problema de caJcular el area de un polfgono se redu

cirfa a caJc ular el area de un rectangulo equidescomponible a eJ Laexistencia , para cada polfgono , de un rectangulo equivalente a el seconoce ya des de Euclides.

Por 10 tanto , podemos identificar los conceptos de area yequidescomponibilidad pero, todavfa , no podemos decir que el area de unpoligono sea un num ero bien definido. Hay un problema sutil , pero

246 de gran importanci a te6rica , y es e l siguiente:i,P uede suceder que todos los poJfgonos sean equidescomponi-


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bles? La respuesta a esta pregunta li eg6 despues de un largo pro ceso- Hilbert 1 demostr6 en 1899- nos permite afirmar que el conc eptode area esta bien definido.

5. TRANSFORMACION DE UN TRIANGULO EN UNRECTANGULO QUlV ALENTE A EL Y CON BASE LA UNlOADCALCULO DEL AREA DE UN TRIANGULOEXPERIMENTALMENTE

Propuesta 3 : Recorta un triangulo de papel y mediante dob lados cortes union es transf6rmalo en un rectangulo equ id escomponible con eJ.

SECUENCIAS

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~


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peg;

e Q r . . . . p l

Resumi e ndo l s experiencias ultimamente realizadas se puedeestablec e r l cadena:

Triangulo - Paralelogramo - RectanguloEn el caso de que el paralelogramo obtenido fuese de la forma

que indica l figura no se puede pasar directamente a rectangulomediant e un unico corte sino que es preciso cortar previamente porl diagonal menor y convertirlo en otro paralelogramo menos alargado. Una v ez realizada esta operacion puede pasarse a la transformaci6n anterior

Se h pasado de esta forma de un triangulo cualquiera dado a unrectangulo ambos equivalentes. ero es conveniente \Iegar partiendo del mismo triangulo no a un rectangulo cualquiera sino auno que tenga como base l unidad es decir un segmento fijado deant e mano. Puede considerarselo como l unidad y que basta esta-


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blecerlo con esa condicion.Propuesta 32: Dibuja un triangulo cualquiera y tr ata d e obte ner

otro equivalente a el , que tenga un lado fijo que se considera co mola unidad.

* CONSTRUCCION

unidad

, , ,, ,, , ,, , , ,

c·

,, , ,

c

Sea ABC e l trian gulo d ado y se requiere pa sa r a o tr o equ ivale nt eA B C al dado y qu e teng a un lado co nocid o AC = unidad .

Se fija A C sobre AC

Unimos C co n BPo r C tr aza m os una I a C BB es el punto don d e co rta l a rect a a nteri or a la pr o lo ngacio n de

AB.Es te punt o B es e l ter cer vertice del tri angu lo tran sfor mado.

DEMOSTR CION QUE SON EQUIV LENTES

ABC Yel A B C tienen un a part e comun ABCHabr a qu e demostrar BC B es equiva le nt e a BC C para tener la

certeza de que ABC eq uival e nt e a A B C- Pero so lo son eq uival e nt es dos tri angulos c uand o mediante

ciertas transformaciones de co rtes y uni o nes se les puede hacer coi ncidir.

- Para comprobar que lo s tri angul os e C y BB C so n equivaient es, hay qu e pasar de ell os a los respectivos parale logramos, y dees to s, a los recta ngulo s

U na vez realizad a la operacion, se co mpru eba la equivale nc ia de 49un m odo se nc ill o y ex perim e ntal por coi nc id enc ia.


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CONCLUSION

Se asacia , par la tanta a un triangula cualquiera un rectangula deba se la unidad. ama san equivalentes , la medida del triangula es lami sma que la del rectangula. Pero cama este ti ene un lada , su base,que vale la unidad, su medida es el numero que Ie carrespande alatro lada, su altura.

Par la tanta , la medida del triangula, su area, viene determinadapar la altura del rectangula equivalente y de base la unidad.

As; la medida del triangula T , m T) , sera a , que es la altura del

rectangula R

T

REFLEX ON

R

:: unld d

Se presenta ahara el problema de camprabar que el area que se

acaba de definir cumple can las candicianes establecidas al principia,la s caracteristicas fundamentales en la estructura del canjunta de lasmagnitudes: Relaci6n de igualdad y Operaci6n de adici6n.

A las triangulas, a en general paliganas , iguales deben carres-pander areas iguales , y a un paligana, que puede descampanerse enpartes , Ie carrespande un area que es la suma de tadas las areas desus partes.

interesa, par la tanta , destacar , y hay que camprobar, que en el

pasa de un triangula cualquiera a un rectangula, se cumple quesi

dastriangulas san iguales , las rectangulas carrespandientes tam bien hande ser iguales. Y que el rectangula carrespandiente a un palfganacualquiera es siempre el misma, sea cual fuere la descampasici6n entriangulas que de el se haga.

Esta experiencia, que el pasa de T , y en go:neral de P, a Re s unica sea cual fuere la descompasici6n del paligana en triangulas tieneuna parte mas dificil de ver.

25 EI madela mas elemental es el pasa de cuadrilatero canvexa arectangula, mediante las das descampasicianes sucesivas en triangu-


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los cortando por las dos diagonales. Las dos posib:es descomposicio-nes segiin las dos diagonales conduce a dos pares de triangulo. U na

vez que han sido transformados en tri angulo s de igual base, se pasaa sus correspondientes rectangulos de igua l base. Y se compruebapor superposici6n que la su m a de la s a ltura s de los correspondientesala primera pareja es igual a l su ma de las alturas de lo s correspo n-dientes a la segunda.

EI cuadrilatero ABCD se desco mpone segiin sus diagonales ACy BD , en dos parejas de triangulo s, los ABO y BCD Y los ABC YADC.

Del triangulo ABO se pasa l paralelogramo BQQ D mediante elcorte por los puntos medio s Q y E , Yde este a l rect


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5

Se co mprueba la igualdad de 10 mi sm o porque a l sup e rponerlosco in c id e n .

Por 10 ta nto , al cuadrii


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GENER LlZ CION

Siun triangulo

0

en general, un polfgono es suma de varios trian-gulos.P T J z + T T4

el rectangulo R que se obtiene, equivalente a P, sen tam bien sum ade los mismos triangulos, es decir , que:

R T J + z + T + T4

Toda esta teoria y estas experiencias se ha visto que pueden gene-ralizarse para cualquier polfgono, ya qu e todos e llo s se pueden des-componer de un modo sencillo y elemental e n triangulos. De estostriangulo s se pasa a los correspondientes de base unidad y de estos alos rectangulos. Como la base de todos e llos es la unid ad. la su ma delas medidas de los triangulos, que es la suma de las a ltura s de tod os 53estos rectangulos , sera la m ed ida , el area del poligono inicial.


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EI organigrama siguiente nos resume el proceso

D i . . ~ C O l 1 l p o s i c i 6 n Transformacion

f - - - - - - - - >{ Triangulo s } - - - - - - 7 {

C Hculo de

areas e

poligonos

alcuiode areasde triangu]os

reas epoligono s

Nota. - Para las demostraciones te puedes ayudar e las descomposiciones e la propuesta n o 8.

O Introducci6n.1. Relaci6n de igualdad en el conjunto e los poligonos.2. Definici6n e adici6n e c1ase s e poligonos. Propiedades.3. Operaci6n externa.4. Definici6n e ordenaci6n.5. Transformaci6n e un triangulo en un rectangulo equivalente a 61

254 y con base la unidad. Calculo del area e un triangulo experimentalmente .


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BmLIOGR FI

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