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Con el envío a nuestros lectores de CONCEPTOS DE MATEMATICA nuestra revista cumple diez años de vida. Nuestros primeros objetivos han sido alcanzados, pero las, Inquietudes de nuestros lectores y las nuestras nos han llevado a la formulación de otros nuevos, lo que convierte a nuestro quehacer en algo que recomienza cada día y que merece toda nuestra dedicación.

El décimo aniversario es siempre un hecho significativo en la vida de una publicación y lo es más en nuestro caso por las dificultades que hemos debido sobrellevar, lo que no hubiéramos podido lograr de no haber contado con el apoyo de un grupo de docentes que no escatimaron esfuerzos para que pudiéramos continuar nuestra tarea.* Ese mismo grupo es el que ha respondido a nuestro llamado del número anterior, lo ha hecho en forma entusiasta, manifestándonos las ventajas que para su tarea docente encuentran en el material que se publica. Sabemos, además, que ese grupo es todavía más grande y que muchos que todavía no nos han escrito están dispuesto a participar de nuestro propósito.* Ese apoyo nos ha decidido a continuar con nuestra tarea aun sabiendo que a Ió largo del camino tropezaremos con inconvenientes, naturalmente de orden económico, que estamos seguros de superar con la colaboración de nuestros lectores. Porque ha de saberse que, por más que hagamos todas las previsiones, la lucha es despareja y, por otra parte, resulta difícil prever lo imprevisible.* Hemos debido llevar a MIL QUINIENTOS PESOS el precio de Iá suscripción por 1977; a QUINIENTOS PESOS, el precio del número atrasado; a OCHO DOLARES, la suscripción del exterior y a DOS DOLARES CON CINCUENTA, eh precio de cada número atrasado para el exterior.* Pero ello seguramente no bastará. Necesitamos recibir el importe de las suscripciones con suficiente rápidez como para hacer frente a los compromisos más apremiantes. Necesitamos nuevos suscriptores. Necesitamos que completen sus colecciones quienes las tengan incompletas.y que se gestione la compra de colección completas por instituciones, colegios,bibliotecas. Todo ello contribuiría a nuestra labor futura.

** Agradecemos a todos los que han colaborado con nosotros- y los saludamos con atenta consideración.

. Redacción y Administración: Paraguay 1949, Piso 6o, Depto. A

f3 Director — Editor

JOSE BANFI■O

1 Asesores: José Babini, Frédérique Papy, Georges Papy.

Redactores: Emilio De Ceceo, Juan C. Dalmasso, haydée Fernández, Alfredo R. Palacios, Atilio Piaña, Elsa Sabbatiello, Andrés Valeiras y Cristina Ver- daguer de Banfi.

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Dibujante: Argq. Julio R. Juan.m i;’. Suscripción Anual: Argentina

$ 1.500.—. Exterior 8 dólares o el equivalente en moneda de cada país. Los giros postales o bancarios deben ser extendidos a nombre de CONCEPTOS DE MATEMATICA.

Ejemplar sueltto: $ 450.—

Número atrasado: $ 500.—

Para colaboraciones, números atrasados, suscripciones. y avisos, dirigirse directamente al editor.

Registro de la propiedad intelectual: NO 1.037.530.

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cd o £oINTERES GENERAL Concesión N° 8205

asiju5 FRANQUEO PAGADO

Concesión N° 2687

EL DIRECTOR

den llegar a dominar completamente estas re: gla y, en todo caso, el maestro debe usar toda su autoridad, llegando al clasico: "Esto es así y si no lo sabés verás lo que te ocurre".

Conviene también señalar otro aspecto de esta enseñanza que se acostumbra descuidar en la enseñanza superior: el hacer resaltar las aplicaciones del cáculo a la vida práctica. Desde el principio los números se introducen mediante ejemplos concretos de la vida corriente; el niño pronto aprende a calcular con monedas, pesos, masas, etc. y el eje en torno del cual gira toda la enseñanza es la pregunta tan importante en la vida diaria: ¿Cuánto vale esto?

Progresivamente se llega a los llamados "problemas de conjunto" donde ya es preciso agregar al cálculo algunas explicaciones: estos problemas conducen a la regla de tres, la de aligación, etc. A las palabras intuitivo y genético con las que hemos caracterizado esta enseñanza, podemos añadir ahora otras como tercera característica, las de aplicaciones prácticas.

de respecto y aprecio por los esfuerzos de los maestros. Si nosotros debiéramos intentarlo, con toda nuestra formación académica, iqué pocos éxitos lograríamos!

Anotemos ahora que en los dos cursos siguientes el cálculo comienza ya a vestirse con el elegante atavio de la matemática cuya primera muestra es el cálculo literal. Se designan a, b, c,. .,o también x, y, z... números naturales cualesquiera, que al principio siempre son enteros y positivos, y se realizan las reglas y operaciones del cálculo con estos números simbolizados por letras con lo cual se elimina el significado concreto e intuitivo de los números. Se da, pues, un gran paso en el camino de la abstracciónf pudiendo decirse con razón que la matemática propiamente dicha empieza con el cálculo literal. Este paso no puede realizarse súbitamente en la escuela sino que el alumno se acostumbrará poco a poco a tal grado de abstracción.

Para esta enseñanza parece del todo necesario que el maestro conozca con toda exactitud las leyes lógicas y los fundamentos del cálculo y de la teoría de los números enteros aun cuando, naturalmente, no los exponga de inmediato al discípulo. Examinaremos esto más adelante.

LOS FUNDAMENTALES

Félix KLEIN* (Alemania)

esto radica su diferencia esencial con el método lógico y sistemático que predomina en la enseñanza superior.

Toda la enseñanza de los números enteros se distribuye en forma parecida a la siguiente, en la cual no se buscará unidad ni precisión. Todo el primer año se dedica al cálculo con los números desde el 1 hasta el 20; el primer semestre se dedica a los números desde el 1 hasta el 10. Los números aparecen como símbolos numéricos de puntos o de conjuntos de cosas familiares a los niños, sin explicaciones de ningún tipo. La adición y la multiplicación se deducen después, intuitivamente. En segundo grado se manejan los números desde el 1 hasta el 100 introduciendo ya el uso de las cifras arábigas con valor relativo y el sistema decimal. Acotemos al pasar que la denominación de cifras arábigas, como muchas otras de la ciencia, es históricamente falsa pues este sistema de numeración escrita procede de los indios, no de los árabes.

Otro de los fines de este grado es llegar a conocer la tabla de multiplicar, 5X7 o 3X8, por ejemplo. Esto debe saberse hasta durmiendo, por lo que la tabla de multiplicar se aprenderá de memoria y a ello se llegará después de haber puesto muchos ejemplos con objetos.

La conocida máquina de calcular puede servir muy bien para el caso, y mejor, aunque rras modestamente, el llamado tablero de cálculo, que consta de un bastidor de diez alambres fijos y paralelos, sobre cada uno de los cuales pueden correr libremente diez bolas; corrimiento conveniente se asocia de modo tal que en seguida se ve el resultado de la multiplicación y su escritura decimal.

Por último, el tercer grado se ocupa del cálculo con números de varias cifras, basado en las conocidas reglas de las operaciones fundamentales, cuya generalidad parece evidente a\ a^mno o debería parecérselo. En verdad aun careciendo de esa evidencia, los niños pue-

Hemos tomado este artícuio del famoso libro "Aritmética Elemental desde un punto de vista superior” siguiendo nuestra costumbre de presentar trabajos de autores fundamentales en el desarrollo de los conocimientos matemáticos y que resulta muy difícil conseguir de otra manera. (N. de R.)

CALCULO CON NUMEROS NATURALESNatural es empezar por el fundamento de

toda la aritmética, el cálculo con los números enteros y positivos, y lo haremos examinando la siguiente cuestión: ¿Cómo deben enseñarse estas cosas en el escuela? ; luego ampliaremos nuestra investigación examinándola desde un punto de vista más elevado para ver cuánto se encierra en ella.

Por fin, si queremos condensar brevemente el fin de la enseñanza del cálculo diremos: persigue una seguridad, libre de toda vacilación, en el manejo de las reglas del cálculo, procurando un desarrollo paralelo de las distintas facultades del espíritu que intervienen, sin que merezcan expresa atención las referentes a las relaciones lógicas de los números con que se opera.

Llamaré ahora la atención sobre algo que, muy a menudo, desempeña un papel fatal en la escuela: la oposición entre los profesores provenientes de escuelas normales y los que llegan de la universidad o centros análogos.

En quinto grado o después aparece e! universitario en la enseñanza del cálculo, en lugar del docente proveniente de las escuelas normales lo cual provoca en el discípulo una lamentable discontinuidad. De pronto, los pobres jóvenes se ven obligados a servirse de nuevas expresiones completamente diferentes de las aprendidas hasta entonces y cuyo uso se les prohíbe severamente. Pequeño ejemplo de esto son los diferentes signos de la multiplicación: el x empleado por los maestros elementales con preferencia al . de los académicos. Esto podría allanarse fácilmente si los universitarios se preocuparan más de los maestros y procuraran ponerse de acuerdo con ellos. Bastaría considerar un poco el esfuerzo grande y metódico que supone inculcar en la mente de cientos de miles de niños que no saben nada de cálculo para que nos invada un sentimiento

2. Leyes formales del cálculoPor mucho tiempo, históricamente, se ha

sumado y multiplicado sin darse cuenta de las leyes formales de estas operaciones En los años del 20 a! 30 del siglo pásado, por primera vez matemáticos franceses e ingleses pusieron en evidencia las propiedades formales de esas operaciones.Enunciaremos las cinco leyes fundamentales a que conduce la adición:

1) a+b es siempre un número, es decir, /a adición es practicable sin ninguna restricción (en contraposición con la sustracción, que no lo es siempre en el campo de los números naturales.

2) a+b está determinado unívocamente3) Se cumple la ley asociativa:

(a+b)+c=a+(b+4) Se cumple la ley conmutativa:.

a + b = b + a

50 Se cumple la ley de monotonía51 b>cesa + b>a + c

Estas propiedades son claras en sí mismas si se tiene en cuenta el significado concreto, de

1. Introducción de los números naturales enla escuelaMe limitaré aquí a breves indicaciones que

cada uno podrá completar con el recuerdo de cómo aprendió a calcular en la escuela. Por cierto que, en todo lo que diga, no es mi propósito guiar en la práctica de la enseñanza como se hace en los seminarios de las escuelas superiores sino que me limitaré a acopiar el material que ha de servir para orientar nuestra crítica.

Las propiedades de los números enteros y el cálculo con los mismos son cuestiones tales que lograr que los niños las comprendan de manera de llegar a dominarlas por completo es un problema sumamente difícil que exige una labor de varios años desde los primeros de la escuela hasta los últimos de los gimnasios.

El método que hoy generalmente se sigue entre nosotros para estas cuestiones quizá quede completamente caracterizado por los calificativos de intuitivo y genético, es decir que todo el edificio de la enseñanza se construye tomando como base cosas conocidas por los sentidos y elevándose después poco a poco; en

por un

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ducto exacto tomando ambos factores con das sus cifras puesto que su exactitud no se podría garantizar. No obstante, podría interesar conocer cuál es la última cifra exacta de dicho producto, saber, por ejemplo entre qué decenas o qué centenas está su valor exacto. Esto lo resuelve de inmediato la ley de monotonía; de ella se sigue, en efecto, que el número buscado está entre 560X134 y 570X134, o entre 560X130 y 570X140. Dejo a Uds. la terminación del razonamiento; en todo caso verán que la ley de monotonía se aplica continuamente en el cálculo abreviado.

En cuanto a la enseñanza propiamente escolar no se pueden naturalmente exponer sistemáticamente todas estas leyes formales de la adición y de la multiplicación. Cuando el alumno haya comprendido el cálculo numérico y esté familiarizado con él, el maestro aprovechará el paso al cálculo literal para inducir, por lo menos, las leyes asociativa, conmutativa y distributiva mediante ejemplos numéricos evidentes y numerosos que le permitan enunciarlas de modo explícito.

to- ¡nterpretación. Otros opinan, en cambio, que el concepto de número está más relacionado con el concepto de espacio, reduciéndolo a la simultánea contemplación de diferentes objetos considerados en conjunto. Por último, están los que ven en las representaciones de los números expresiones de una aptitud especial del espíritu, independiente de toda intuición espacial o temporal. Esta interpretación está bien caracterizada por la siguiente cita del Fausto de Goethe, que el profesor Minkowski aplica a los números en el lema de su libro sobre Aproximaciones diofánticas:

"Diosas, reinan augustas en la soledad.Para ellas no hay lugar y menos tiempo. .."

Aun cuando este problema roza sobre todo cuestiones de metafísica y psicología, se trata principalmente de una cuestión de la lógica en el problema más vasto de fundamentar nuestras once leyes formales.

Expondremos cuatro maneras de ver diferentes sobre las mismas:

1) Según la primera, que puede considerarse representada por Kant, estas leyes son resultados necesarios, inmediatos de la intuición. Como consecuencia, la matemática puede fundarse sobre hechos comprobables por la experimentación del mundo exterior. Un ejemplo sencillo aclarar esto: la ley conmutativa de la multiplicación se fundamenta observando la fig. 1:

la aritmética y, en último término, toda la matemática se apoya en ellas y, en consecuencia, no es aventurado afirmar que admitida esta teoría para las reglas del cálculo, la seguridad de todo el edificio matemático se basa exclusivamente sobre la intuición, en el más amplio sentido del término.

2) En segundo lugar es digna de mención una modificación de este primer punto de vista, que consiste en descomponer dichas once leyes fundamentales en un mayor número de pequeños pasos y de éstos tomar los más sencillos directamente de la intuición y deducir de ellos los demás por vía puramente lógica sin luego apelar en momento alguno a la intuición.

Aun cuando la posibilidad de un procedimiento puramente lógico sólo comienza después de establecer esas once leyes, puede empezar antes, cuando se establezcan las proposiciones más simples en que dichas leyes pueden descomponerse, resultando, por tanto, que el límite de separación entre la intuición y Ia lógica se ha trasladado en favor de esta última.

H. Grassmann inició esta tendencia en su Lehrluch der Arithmetik publicado en 1861.

Como ejemplo de este modo de proceder puede mencionarse que la ley conmutativa se deduce de la asociativa aplicando el método de inducción completa.

Junto a la aritmética de Grassmann merece citarse, por la precisión de su exposición, la del italiano Peano: Aritmétices principia nova me- thodo expósita que no está escrita en latín como pudiera colegirse del título.

Está escrita en un lenguaje simbólico, característico de su autor, que permite hacer resaltar cada fase del razonamiento, desterrando el uso de palabras corrientes que pudieran encerrar alguna idea derivada de la intuición evitando así cualquier posible equívoco. Téngase presente que Peano es el jefe de una escuela muy difundida en Italia que quiere descomponer las premisas de toda disciplina matemática y, empleando un lenguaje exacto de conceptos escritos, intentar la investigación de sus conexiones lógicas.

3) Mencionaremos ahora una concepción moderna de estas ideas de la que ya está influida la de Peano; me refiero al modo de tratar los fundamentos

La ¡dea general de conjunto, de cuyo vasto alcance tendrán una ¡dea si les digo que son ejemplos particulares de conjuntos tanto la serie de todos los números enteros como el

los símbolos numéricos, pero han de ser abstraídas formalmente para poder fundamentarlóqicamente los desarrollos sucesivos.

En lo que respecta a la multiplicación se verifican las cinco leyes análogas

1) a + a es siempre un número.2) ab está determinado unívocamente3) Ley asociativa:

a.(b.c)=(a.b).c=a.b.c

4) Ley conmutativa:a.b=b.a

5) Ley de monotoníaSi b>c es ab>ac.

Su enlace con la adición da, finalmente, una nueva ley:

6) Ley distributiva:a (b + c) = ab + ac

Fácilmente se comprende que todo el cálculo se puede basar sobre estas once leyes. Daremos un ejemplo sencillo, la multiplicación de 12 por 7. Por la ley distributiva se tiene:

7.12=7. (10+2)=70+14

y si descomponemos 14 en .10+4 (llevamos las decenas) usando la ley asociativa de la adición:=70+(10+4) =(70+10) + 4 = 80+4 = 84

Con esta simple consideración se ve ya todo el proceso del conocido procedimiento de multiplicar en el sistema decimal.. Se podrían poner ejemplos más complicados; cada uno puede hacerlo resolviéndolos por sí mismo. Sintetizando los resultados diremos: las reglas ordinarias de la adición y de la multiplicación constituyen una constante aplicación de las mencionadas íeyes formales a los resultados de las tablas de sumar y multiplicar que están grabados en nuestra memoria.

En cuanto a la ley de monotenía, ¿dónde aplicarla? En los cálculos formales corrientes no aparece nunca; pero sí en otro tipo de cuestiones. Baste recordar lo que se llama en el sistema decimal multiplicación y división abreviada. Es cuestión de gran importancia práctica pero, por desgracia, no suficientemente conocida ni en la escuela ni entre los estudiantes universitarios.

Pongamos de nuevo un ejemplo. Supongamos tener que multiplicar 567 por 134 En ambos factores, obtenidos como medidas físicas, la cifra de las unidades no está dada Exactamente. Sería, pues, inútil hailar el pro-

3. Fundamentos lógicos de los números enterosAun cuando en la enseñanza primaria no se

pueda avanzar mucho en estas cuestiones, ya se presenta allí el problema matemático del día: ¿Cómo deben establecerse estas leyes llamadas fundamentales y, en primer término, cómo se debe fundamentar el concepto de número?

o o o o o oFig. 1

Si contamos los puntos por filas, por haber 2 filas de 3 puntos cada una, resulta 3x2; si contamos por columnas, hay 2X3; luego 2x3= 3x2.

Podría pensarse que para números bastante grandes no basta esta intuición inmediata para llegar a la ley: entonces se acude al llamado principio de la inducción completa: Si una proposición es cierta para números pequeños y de su validez para un número cualquiera n se sigue su certeza para n+7. la proposición es cierta para todos los números. Este principio, de origen puramente intuitivo, rompe, en efecto, las barreras antes las que se detiene la intuición concreta. También este es poco más o menos el punto de vista de Poincaré en sus conocidos escritos filosóficos.

Para darnos cuenta de la significación de esta cuestión en lo referente al establecimiento de las once leyes formales, consideramos que

Trataré de orientarlos en estos problemas examinando nuevamente las materias de la enseñanza escolar desde un punto de vista elevado, y lo hago con tanto mayor gusto cuanto que esas ideas modernas llegaron a ustedes muchas veces en los estudios universitarios sin habérseles hablado lo necesario sobre el valor psicológico que encierran.

En lo que se refiere al mismo concepto de número su origen es muy difícil de descubrir y hasta se experimenta una sensación de bienestar cuando se deja a un lado su investigación. Nosotros haremos algunas observaciones, muy pocas.

Es una ¡dea muy difundida la que supone al concepto de número estrechamente unido al de tiempo, dependiendo ambos de la impresión que nos provoca la sucesión de los fenómenos

i

que se verifican en nosotros y a nues-

Kant, entre los filósofos, y Hamilton, entre los matemáticos, son los representantes de

tro alrededor.

esta76

puede llegar a una contradicción, o, lo que es lo mismo, dichas once leyes son lógicamente compatibles.

conjunto de todos los puntos de un segmento, ha sido objeto de una especulación matemática por Georg Cantor, señaladamente, y la teoría de conjuntos, creada por él, es cultivada con interés máximo | por la moderna generación de matemáticos.

Más adelante haremos un rápido examen de esta teoría; por ahora, baste consignar que la tendencia de esta nueva manera de fundamentar la teoría de números puede caracterizarse brevemente con estas pocas palabras:

Las propiedades de los números enteros y de las operaciones que con ellos se efectúen pueden reducirse a las propiedades generales de los conjuntos y de las relaciones abstractas que existen entre ellos, llegándose a realizar por este camino una exposición rigurosa sobre el fundamento más general posible.

Como iniciador de esta tendencia también debe citarse a Richard Dedekind, quien en una memoria pequeña en volumen pero rica en ideas: 1 Was sind und was so lien die Zahlen? fue el primero en dar tal fundamento a la teoría de los números enteros.

4) Existe, por fin, un modo puramente formal de introducir el número, cuyo origen remóntase a Leibniz y que últimamente adoptó principalmente Hilbert.

La idea primordial de esta concepción es: Suponiendo dadas las once leyes fundamentales del cálculo, se puede operar con las letras ajbfi,..que representan números enteros cualesquiera sin cuidarse de si tienen o no significación numérica real, o expresado más claramente: si aj0,c,. .., son cosas sin significación alguna o de cuya significación nada sabemos, y sólo suponemos que pueden ser relacionadas de acuerdo a las once leyes sin que sea necesario que estas operaciones tengan un significado real conocido, se podrá entonces operar con aja,cr .., como se hace ordinariamente con los números reales. Lo único que se examinará en tal caso- es esto: si operando así se llegará alguna vez a resultados contradictorios.

Se dice comúnmente que la intuición nos muestra la existencia de números para los cuales valen las llamadas reglas operatorias yf por tanto, no se puede hallar en ellas ninguna contradicción, pero, siendo así, cuando se haya prescindido de la significación real de los símbolos numéricos ya no es admisible acudir a la intuición. El problema se ha transformado en este otro: demostrar lógicamente que en ninguna operación con símbolos hecha de acuerdo con las once leyes fundamentales se

damentales o axiomas e investigar su mutua independencia y compatibilidad es perfectamente abordable. La segunda parte, que más bien pertenece a la teoría del conocimiento, representa, en cierto modo, la aplicación de aquellas investigaciones lógicas a las relaciones reales y apenas si se la he considerado, aunque naturalmente debería abordarse el mismo tiempo que la primera si realmente se ha de fundamentar la aritmética con el debido rigor.

Esta segunda parte plantea una cuestión muy honda cuyas dificultades tienen sus raíces en la teoría del conocimiento. Quizá pudiera darse una idea exacta de la naturaleza de este problema mediante una afirmación casi para- dógica: quien pretenda hacer pasar como matemática pura a investigaciones lógicas puras, como consecuencia de la segunda parte del problema que nos ocupa, habrá dado a los fundamentos de la aritmética y, por tanto, a la aritmética misma el carácter de matemática aplicada.

Conviene insistir sobre esto, porque generalmente se incurre en errores e imprecisiones, no faltando muchos que pasan por alto la existencia de este segündo problema. No es, naturalmente, el caso de Hilbert pero, cúales- quiera sean las afirmaciones o contradicciones a que lleguen los que prescindan de esta se-, gunda parte del problema, carecerán de valor. El profesor Thomas, de Jena, ha calificado a los que se ocupan casi exclusivamente en investigaciones abstractas y lógicas sobre entes que nada significan y principios que nada dicen, y no sólo no paran su atención en aquel' segundo aspecto del problema sino que como ocurre a menudo, olvidan todo lo demás de la matemática, con la feliz denominación de pensadores sin pensamiento. No se puede, por supuesto, aplicar este irónico calificativo a las personalidades que se dedican a estas investigaciones lo mismo que a tantas otras de diversa índole.

En relación a esta ojeada con respecto a los fundamentos de la aritmética, conviene agregar todavía algunas consideraciones generales. Se- ha pensado y dicho muchas veces que la matemática puede, e incluso debe, enseñarse en forma exclusivamente deductiva, derivando lógicamente todas sus proposiciones de un grupo de axiomas establecido previamente. Este procedimiento, que cuenta en su favor con la autoridad de Euclides, no corresponde en todo caso al proceso evolutivo de la matemática. Contrariamente, ésta se ha desarrollado de modo semejante al árbol, que no sólo crece desde

las más finas fibrillas de sus raíces hacia arriba sino que, al mismo tiempo que desarrolla y extiende sus ramas y hojas, sus raíces van penetrando cada vez más profundamente en el suelo en que se arraiga. Análogamente, puede decirse que la matemática surgió a partir del momento en que la ciencia humana alcanzó cierto grado de madurez y luego progresó por las mismas necesidades de esa ciencia y las exigencias de cada momento, sea ampliando sus conocimientos, sea depurando e investigando sus principios en la medida correspondiente. Por ejemplo, al examinar los fundamentos de la aritmética, nuestro punto de vista es hoy muy distinto del de los investigadores de hace unos pocos decenios, y lo que hoy pudieran enunciarse como últimos principios seguramente quedarán postergados dentro de algún tiempo cuando se hayan analizado las últimas verdades con más precisión y se las reduzca a ideas más simples y generales. Puede, pues, asegurarse que tampoco en lo que se refiere a la investigación de los principios de la matemática se ha dicho ia última palabra y, por consiguiente, tampoco se puede señalar el punto de partida preciso que de un fundamento absoluto a la enseñanza.

Quisiera hacer otra observación acerca de la relación entre la actividad lógica y la intuitiva de la matemática, entre lo que se denomina matemática pura y matemática aplicada. Antes señalé que en la escuela, desde el principio, la aplicaciones acompañan a la enseñanza del cálculo para que el discípulo no sólo comprenda las reglas sino para que con ellas aprenda a hacer algo. Siempre debería ser así, normalmente, en el cultivo de la matemática.

Las relaciones puramente lógicas deben quedar, por decirlo así, como el esqueleto del organismo de la matemática que le da a ésta su característica solidez y certeza.

Pero lo vivo de la matemática, sus estímulos más importantes, su eficacia externa, siempre reside en sus aplicaciones, vale decir, en las correlaciones de los entes puramente lógicos con todos los otros dominios del saber.

Pretender desterrar de la matemática las aplicaciones equivaldría a querer concentrar la vida de un animal únicamente en su osamenta despreciando a sus músculos, nervios y visceras.

Muchas veces se realiza en la investigación científica una división del trabajo entre ciencia pura y aplicada, pero al hacerlo se debe procurar que las relaciones entre ambas se conserven para el buen desarrollo de la ciencia, y en todo caso —quede aquí claramente dicho— en

el primer punto de vista dijimosAl exponerque, según él, la certeza de la matemática se

la existencia de cosas intuitivas para verifican sus proposiciones. En

basa en las cuales se cambio, para el partidario de este segundo modo, puramente formal, de ver la cuestión, la certeza de la matemática estriba en que sus leyes fundamentales, consideradas de modo puramente formal, prescindiendo de todo tenido intuitivo, formen un sistema lógico no

con

contradictorio.Para concluir con esto, agreguemos algunas

observaciones:a) Hilbert formuló, en su conferencia de

Heidelberg, estas ¡deas fundamentales sin llegardesarrollarlas por completo. Luego avanzó

algo en ese camino en uno de sus cursos, pero después no hizo nada en esta matera: puede decirse, pues, que se limitó a presentar un programa.

b) La tendencia a desligarse de la intuición y a mantenerse siempre en terreno puramente lógico, nos parece impracticable de modo absoluto. Un resto, un mínimo de intuición, tiene que quedar siempre en el fondo: aun cuando se proceda de modo abstracto, siempre va unida cierta intuición a los símbolos con

a

que se opera siquiera sea para reconocer esos símbolos y aunque sólo sea pensando en la forma de las letras.

c) Aceptemos, no obstante, que se. haya resuelto satisfactoriamente el problema de la intuición y demostrado, por tanto, la compatibilidad de las once leyes fundamentales. Aun así ocurre una observación, a la cual conviene asignar la importancia que merece: la de ser evidente que mediante consideraciones de esta naturaleza no se ha fundamentado y, más aun, no se puede fundamentar la aritmética. Es imposible por vía puramente lógica demostrar que las leyes cuya compatibilidad se ha supuesto sean realmente aplicables a los números que conocemos por la intuición; que los entes indeterminados de que se habla en aquellas leyes puedan ser números reales y que las relaciones que allí aparecen puedan equivaler a los procesos reales de la adición y la multiplicación en su clara significación intuitiva. Lo que se deduce realmente es que el problema11.9'3!? comP,eÍ'dad y aparentemente irresoluble, de fundamentar la aritmética, compren-

e os partes, y que la primera, el problema ramente logico de-establecer principios fun-

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de número irracional mediante ejemplos tomados de diversos problemas de los cuales surge poco a poco la ¡dea del continuo de todos los números reales.

Quede a juicio del profesor el orden de tratamiento de los dos primeros puntos. Nos ocuparemos, ahora, en primer término, de los números negativos.

conceptola escuela es imposible tal división del trabajo y la consiguiente especial/zación de cada tro. Piénsese en una escuela en que un maestro sólo tratáse de los números como símbolos sin significado concreto; otro, cuya tarea consistiera en dar a estos símbolos el significado conveniente para que representen números intuitivos; un tercero, un cuarto, un quinto, etc., que dieran a conocer las aplicaciones a la geometría, mecánica, física, etc. Nadie pensaría como posible tal organización de la enseñanza, ni los alumnos comprenderían nada ni los profesores se entenderían entre si. Las propias necesidades de la enseñanza escolar exigen de cada uno de los maestros cierto grado de enciclopedismo, una orientación amplia, tanto en matemática pura como en aplicada, lo que lleva consigo el remedio contra el grave mal que provocaría un excesivo desmenuzamiento de la ciencia.

Un resultado práctico de estas observaciones se consignó en los acuerdos del Congreso de Dresde de 1907. En ellos se recomienda la matemática aplicada, que desde 1898 se exigió en los exámenes de maestros, en una sección especial, como elemento necesario a toda formación matemática normal, para que siempre aparezcan combinadas las aptitudes del maestro para las matemáticas puras y aplicadas. Citemos también que la comisión de enseñanza pública, en el llamado Plan de Merano, establecía tres cosas como fin de la enseñanza matemática en la clase superior: í) una ojeada científica sobre la construcción sistemática de la matemática, 2) cierta facilidad en la resolución completa de problemas numéricos y gráficos, y 3) un estudio sobre la significación del pensamiento matemático en las ciencias naturales y, en general, en la cultura moderna.

Estos tres puntos comprenden todo el programa al que, estoy plenamente convencido, es necesario ajustarse.

correspondientes operaciones con las cosas, y ahora encuentra algo de naturaleza muy distinta, los números negativos, que nada tienen que ver con la imagen sensible que se ha forjado del número y, no obstante, ha de operar ellos aun cuando las operaciones han perdido la significación clara e intuitiva que antes tenían. Aquí se presenta, pues, el paso de la matemática práctica a la matemática formal cuya comprensión sólo es posible si en alto grado la capacidad de abstracción.

Veamos ahora qué sucede en cada una de las operaciones fundamentales al introducir los números negativos. Resulta evidente por cierto que la adición y la sustracción se refunden en una sola operación: la adición de un número positivo es simplemente la sustracción del número negativo opuesto de igual valor. Max Simón hace la ingeniosa observación de que habiéndose introducido los números negativos precisamente con el fin de hacer siempre posible la sustracción, ésta deja de inmediato de existir como operación independiente.

Para esta -nueva operación que comprende adición y sustracción valen las cinco antiguas leyes formales que se pueden expresar brevemente así:

1) Posibilidad'sin excepción.2) Uniformidad.3) Asociad vi dad.4) Conmutatividad.5) Monotonía.Para esta última es de observar que a0 es una dilatación y si a

mente lógico? También ahora podría calificarse a esta cuestión como propia de la "matemática aplicada", que cabe tratar con entera independencia, pero sería muy discutible la conveniencia de tal separación desde el punto de vista pedagógico. En el libro de Weber-Wells- tein, esta escisión del problema en dos partes se presenta de modo característico: después de la introducción abstracta del cálculo de quebrados, único al que nos hemos referido hasta ahora, dedica una sección especial intitulada "Razones" a resolver cuál es la aplicación real de los números negativos al mundo material y estudia esta cuestión de modo más teórico que intuitivo.

Terminaremos nuestras reflexiones sobre los quebrados con una observación general sobre el conjunto de todos los números racionales. Usaremos, para hacerla más intuitiva, su representación, sobre la línea recta. Imaginemos

3. Los números irracionalesNo nos ocuparemos aquí de cómo se intro

ducen estos números en la escuela ya que en ella no se avanza más allá de algunos ejemplos relativos a los mismos, sino que comenzaremos, por supuesto, exponiendo el desarrollo histórico de esta idea. Históricamente, el origen del concepto de número irracional siempre está en la intuición geométrica y en las necesidades de la misma geometría. Consideremos el eje de las abscisas én el que, como dijimos antes, está marcado el conjunto de los números racionales que es denso en todas partes; además de estos puntos existen otros sobre dicho eje, que Pitágoras fue el primero en señalar más o menos así: Si tenemos un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen la longitud 1, la de la hipotenusa es igual a \fi, y este no es número racional, pues si escribimos V? = aíb, donde a y ó son números enteros primos entre sí fácilmente se llega a una contradicción con resultados conocidos de la- divisibilidad de números enteros. Llevamos el segmento así construido al eje de las abscisas a partir del origen, se obtiene un punto no contenido en el conjunto denso en todas partes de los números racionales: incluso más, el teorema de Pitágoras da como valor de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, cuyos catetos están medidos por los_números enteros m y n, un número y/rrr+n2 que, en la mayoría de los casos es irracional. Tan notable descubrimiento bien merecía el sacrificio de 100 bueyes con que fue celebrado por Pitágoras y en cuyo comentario tanto ingenio se ha derrochado. Sabemos también que la escuela pitagórica se ocupaba con predilección en la investigación de aquellos pares de números enteros m y n para los cuales los triángulos rectángulos correspondientes tenían sus tres lados racionales (los llamados números pitagóricos) cuyo ejemplo más sencillo es 3,4,5, de los cuales hablaremos más adelante.

Los matemáticos griegos posteriores estudiaron, además de estas irracionalidades sencillas, otras cada vez más complicadas; en Eucli- des se encuentran tipos como \J\/á + \/E y otras semejantes. Puede decirse que, en general, se limitaron esencialmente a todos los irracionales que se obtienen por aplicación repetida de la extracción de raíces cuadradas y que, por ello, se podían construir con regla y compás, pero nunca llegaron a captar la idea general del número irracional.

No obstante, conviene precisar más esta afirmación para evitar posibles equívocos. Con

la multiplicación de quebrados: se reconoce fácilmente que la operación asi obtenida no es otra cosa que la multiplicación por ac y la división por bd, de modo que se llega a la

la multiplicación a/b. c/d— ac/bd par

ca multiplicarlo por a y luego dividir el producto por b,o también el producto se forma

el multiplicando del mismo modo que a/b con la unidad.

La división por un quebrado se define, entonces, como operación inversa de la multipli

cación, y se dice: a:2/3 es el número que multiplicado por 2/3 es igual a a.

Todos estos conceptos y reglas de las operaciones con quebrados se combinan con los números negativos, llegando así a operar con el conjunto de todos los números racionales. No es nuestro objeto entrar en detalles de toda la sistematización de esta teoría que en la escuela, naturalmente, requiere mucho tiempo; lo que así haremos es compararla con la que da la matemática moderna y, como ejemplo, consideraremos las obras de Weber-Well- stein y de Burkhardt.

En la primera siempre predominan los puntos de vista formales que consideran la multiplicidad de las diferentes significaciones posibles para extraer de ellas cuanto tienen necesariamente de común. El quebrado a/b es un símbolo, un par de números, con el cual se opera según reglas determinadas.

Estas reglas, que realmente han nacido de la significación de los quebrados arriba expuesta, tienen aquí el carácter de convenios arbitrarios. Así, por ejemplo, los teoremas relativos a la invariabilidad de un quebrado por multiplicación o división de sus dos términos por un mismo número, tiene para el alumno carácter intuitivo y, en esta otra teoría, aparecen bajo la forma de una definición de igualdad.

Dos quebrados a/b y c/d se llaman iguales si es ad = be.

Análogamente se definen los conceptos de mayor y menor y se establece que la suma de quebrados a/b y c/d es (ad+bc)/bd, y lo mismo con lo demás.

Después, se demuestra que las operaciones así definidas poseen en el nuevo campo de números las propiedades formales de la adición y multiplicación para números enteros, vale decir, que satisfacen a las tantas nombradas once leyes fundamentales.

Burkhardt no procede en su libro de modo tan puramente formal; considera al quebrado a/b como Ia sucesión de dos operaciones en el campo de los números enteros: una multiplicación por a seguida de una división por b, suponiéndose naturalmente que el objeto sobre el que recaen estas operaciones es un número entero cualquiera. Tomando dos de operadores, a/b y c/d sucesivamente resulta

con

regla de .. .tiendo de una significación clara y precisa de los quebrados y no por un simple convenio arbitrario. Análogas consideraciones caben con respecto a la división; por lo contrario, la adición y la sustracción no admiten ninguna interpretación sencilla derivada de este concepto de números quebrados; la fórmula a/b—c/d~ =(ad+bc)/ad también es como un convenio,

Burkhardt, que sólo obedece a razones deparaconveniencia.

Comparemos ahora la concepción clásica de los quebrados con las concepciones modernas

acabamos de citar. En éstas, tanto en una como en la otra, realmente siempre nos move-

pese a la ampliación del concepto de

que

mos,número, en el terreno de los números enteros; lo único que se supone es que se tiene el concepto intuitivo del conjunto de los números o que se conocen las operaciones con ellos; entonces se le agregan los nuevos números y sus operaciones, como par de números enteros u operaciones, respectivamente-.

La exposición escolar de los quebrados se basa exclusivamente en la nueva intuición de

lililí MI-3/2 -1 l I I i i i i l I I I T-1/2 0 1/6 1/3 1/2 2/3 5/6 1 7/6 4/3 3/2 5/3 12/6 2

Fig. 5marcados sobre la recta todos los puntos de abscisa racional que, para abreviar, llamaremos puntos racionales, Se dice, entonces, que el conjunto de todos esos puntos es denso en todas partes, lo que significa que en cualquier intervalo, por pequeño que sea, hay infinitos puntos racionales. Dicho con mayor precisión para que no intervenga nada extraño al concepto de puntos racionales: Entre dos puntos racionales hay siempre otro también racional, lo que significa que de la totalidad de los números racionales podemos separar una parte finita que no contenga un elemento menor que los demás ni tampoco uñó mayor que los restantes.

Ejemplo de esto es el conjunto de los números racionales comprendidos entre 0 y 1 excluidos estos números, pues para todo número racional del conjunto existe uno comprendido entre él y 0 que, por tanto, es menor que aquél, y otro entre el dado y el 1 que, por consiguiente, es mayor que aquél. Estos conceptos pertenecen ya en su formación sistemática a la teoría de los conjuntos de Cantor; en efecto, más adelante tendremos ocasión de emplear el conjunto de los núme

ros racionales con sus propiedades aquí expuestas como ejemplo importante de conjun

tas magnitudes medibles que dan una imagen sensible del concepto de quebrado. Se concibe bien la diferencia entre ambas doctrinas imaginando un ser que sólo tuviera la ¡dea de los números enteros pero que careciese de toda intuición sobre las magnitudes medibles; para tal ser, la exposición clásica resultaría completamente ininteligible y, en cambio, comprendería perfectamente cualquiera de la exposiciones de Weber-Wellstein y de Burkhardt.

Ahora cabría preguntarse cuál de estas concepciones es mejor y qué se debe a cada una de ellas. La respuesta a tales preguntas es parecida a la dada CQn respecto a análogas cuestiones sobre números enteros. Seguramente la exposición moderna es más pura, pero en cambio también es más pobre. Porque, de todo de lo que la exposición clásica nos da de una vez, la otra sólo nos da una mitad; la introducción abstracta, completamente lógica de ciertos conceptos aritméticos llamados quebrados— y las operaciones con ellos; pero queda por resolver todavía una segunda cuestión totalmente independiente de aquélla y no menos importante; ¿Se podrán aplicar a las magnitu-

es intuitivamente medibles estas teorías de los quebrados deducidas

\veces

i

paresto.

de modo tan pura-14 15

decimal. Históricamente acontece lo que ya vimos que sucedía con los números negativos: el cálculo obligó a que se introdujeran los

conceptos, y sin pensar mucho. sobre

ción Teniendo en cuenta lo dicho, Dedekind da la siguiente definición que, desde un punto de vista puramente lógico, puede estimarse convenio arbitrario. Toda cortadura en el campo de los números racionales se llama número, racional o irracional, según sea propia o impropia.

A esta se agrega de inmediato una definición de la igualdad: Se dice que dos números son iguales cuando proceden de la misma cortadura.

Partiendo de esta definición se puede demostrar, por ejemplo, que 1/3 es igual a la fracción decimal indefinida 0,333. .. Definidos del citado modo los números irracionales, hay que demostrarlo, vale decir, reducirlo a la definición dada últimamente, aun cuando parezca natural, por lo simple de la cosa, que se lo crea del todo innecesario. Por lo demás, esta demostración se deduce fácilmente observando que todo ,número racional menor que 1/3 es superado por una fracción decimal ilimitada que resulta de tomar en la dada un número de cifras suficiente, en tanto que ésta es siempre menor que cualquier número racional mayor que 1/3.

Weierstrass da la siguiente definición: Dos números se llaman iguales cuando se diferencian en menos de cualquier cantidad dada por pequeña que sea, cuya conexión con la anterior se ve de inmediato.

Esta definición toma un carácter muy intuitivo observando por qué 0,999.. . es igual a 1. La diferencia es, en efecto, menor que 0,1 que 0,01, etc., y, por tanto, de acuerdo con la definición, es estrictamente igual a 1.

Si nos preguntamos por la razón de incluir estos números irracionales en el sistema de números ordinarios e incluso calcular con ellos, sin hacer salvedad alguna, habremos de acudir para encontrar la respuesta a la validez de las leyes de monotonía. Resulta así este principio:

Cuando se han de sumar, multiplicar, etc., números irracionales se les encierra entre números racionales cuya diferencia puede llegar a ser tan pequeña como se quiera y se efectúan con estos números racionales las operaciones respectivas¡ entonces, en virtud de las leyes de monotonía, el resultado está también comprendido entre números que llegan a diferir entre sí tan poco como se quiera.

No parece necesario entrar en más pormenores sobre estas cosas por existir muchos libros didácticos en los que se expone esta materia con claridad y precisión. Creo de ma-

ella queremos significar únicamente que los griegos no poseyeron ningún procedimiento que les permitiese establecer estos números partiendo de los racionales y facilitara su estudio en forma parecida a la moderna, que veremos en seguida. Sin embargo, el número real no necesariamente racional les era familiar, pero para ellos tenía un sentido completamente distinto que para nosotros, puesto que no usaban letras para designar los números en general. Lo que hacían —y Euclides lo expuso sistemáticamente— era considerar razones entre dos segmentos rectilíneos cualesquiera con las que operaban análogamente como se procede hoy con los números reales, y en Euclides hasta se encuentran definiciones que armonizan perfectamente con la teoría moderna del número irracional. Incluso más: la distinguían de los números naturales, llamando a estos cxprOnoO' en tanto que a las razones de segmentos cualesquiera, o sea a los números reales, la designaban con la palabra A070T. De- paso, apuntemos algo sobre la palabra irracional. Probablemente proceda de una traducción latina y errónea de la palabra griega oiXoyoT. Esta palabra debería significar probablemente "no expresable" queriendo indicar con ello que los nuevos números, o sea las razones de segmentos inconmensurables, no podrían expresarse como razón de dos números enteros y una mala interpretación del traductor hizo derivar de allí el calificativo de irracionales que hoy se le asigna a esos núme-

yor interés fijarme en un aspecto de esta cuestión que no se trata de la mayoría de los libros, a saber: ¿cómo se puede pasar de esta teoría aritmética de los números irracionales a sus aplicaciones? Particularmente, se presenta a nuestra consideración en este punto la geometría analítica. La cual, contrariamente, precisamente por simple intuición, aparece como fuente de los números irracionales, lo cual también ocurre desde un punto de vista psicológico, como ahora veremos. Tomemos el eje de las abscisas sobre el cual están señalados el cero y los números racionales, y establezcamos la siguiente proposición preliminar sobre la cual se basa esta aplicación: A todo número, raciona! o irracional, corresponde en el eje un punto cuya abscisa es aquel número, y recíprocamente, a todo punto de la recta le corresponde como abscisa un número, racional o irracional.

Una proposición como esta que acabamos de enunciar, que se pone como base y fundamento de una disciplina y de la cual se deriva lógicamente, es lo que se llama un axioma y aparece, según la manera de ver de cada matemático, ya como evidencia intuitiva o como convenio más o menos arbitrario, que es preciso aceptar. El axioma que acabamos de enunciar sobre la correspondencia biunívoca entre los números reales, por una parte, y los puntos de la recta, por otra, se conoce comúnmente con el nombre de Axioma de Cantor, el primero que lo enunció expresamente.

Llega el momento de decir algo sobre la naturaleza de la intuición espacial. Esta denominación corresponde realmente a dos cosas distintas; una, la intuición empírica, de percepción inmediata por los sentidos, del espacio, que podemos comprobar con la medida, y otra, la ¡dea abstracta del espacio, que puede decirse que todos tenemos en nuestro interior • y está por encima de todas las imperfecciones de la observación. Existe una-diferencia análoga para toda concepción, como ya hemos podido observar al tratar los fundamentos del concepto de número y que en aquel caso pudo ponerse en evidencia con el siguiente ejemplo: La significación de un número pequeño como el 2, el 5 e incluso el 7 es para todos de inmediata evidencia, en tanto que si se trata de números más grandes, por ejemplo, 2503, ya no tenemos noción inmediata de ellos, sino que se reemplaza esta noción por la intuición innata de la serie ordenada de los números que formamos partiendo de los primeros números y aplicando el principio de

comonuevossu esencia y fundamento se operaba con ellos, afirmándose su existencia, sobre todo al reco-

repetidamente su extraordinaria utilidad. Sólo hacia el año 60 del siglo XIX se dejó

sentir la necesidad de formular aritméticamente, de modo más preciso, los fundamentos de

irracionales siendo Weierstrass

nocer

los numerosos el primero que abrió camino a estas investigaciones en sus lecciones de aquellos años en la Universidad de Berlín. Después, en 1972, Cantor, el fundador de la teoría de conjuntos, dio en Halle una teoría general de dichos números y, simultánea e independientemente, Dedekind hizo otro tanto en Brunswich. La ¡dea fundamental de Dedekind puede exponerse en muy pocas palabras. Imaginemos el conjunto de todos los números racionales y excluyamos todo concepto intuitivo espacial que nos lleve a la ¡dea de la continuidad de tal serie de números. Partiendo de esto para llegar a una definición puramente aritmética del número irracional. Dedekind introduce el siguiente concepto de cortadura en el campo de los números racionales. Sea r un número racional cualquiera y dividamos la totalidad de los números racionales en dos partes, A y B, de tal modo que todo número racional pertenezca a una u otra

1

i

parte, y que todo número de la primera, A, sea menor que cualquiera de la segunda, B, es decir, A es el conjunto de todos los números racionales menores que r y B el de los mayores que r en cuanto a r los mismo podríamos incluirlo en A que en B resultando indiferente hacerlo de uno u otro modo. Al lado de esjas cortaduras que pudiéramos llamar propias, existen otras impropias, en las que se agrupan todos los números racionales en dos clases con las dos propiedades características mencionadas pero sin que haya un elemento racional que las separe, vale decir, ni en la clase A hay un número máximo ni en la B un mínimo. Un ejemplo de cortaduras impropias nos la ofrece v2-~1,414. .., y en general cualquier fracción

ecimal aperiódicai puesto que dado cualquier número racional se puede en seguida afirmar si es mayor o menor que dicha fracción decimal, y ormando la clase A con todos los números racionales B con los máximo ni

ros.La idea general del número irracional apare

ció a fines del siglo XVI como consecuencia de la introducción de las fracciones decimales cuyo uso se generalizaba ya entonces debido a la confección de las tablas logarítmicas. Cuando se transforma un quebrado ordinario en fracción decimal, pueden obtenerse, las fracciones limitadas aparte, otras ilimitadas que son necesariamente periódicas. El ejemplo más sencillo es 1/3=0,333----- - esto es, una fracción decimal periódica cuyo período es de sola cifra, 3, que se repite indefinidamente después de la coma. Ahora bien, nada impide considerar una fracción decimal aperiódica, to es, una fracción decimal cuyas cifras se suceden sin obedecer a ninguna ley determinada y, sin ninguna otra preocupación, cualquiera la consideraría como un número determinado aunque, naturalmente, no racional. Con esto ya se tiene el concepto general de número irracional, en cierto modo creación espontánea del proceso aritmético que lleva consigo la frac-

unaXt

es-1

menores que la fracción dada, y la mayores, no habrá en A un número en B un mínimo, puesto que entre

cualquier número racional. . . y la fracción decima a a hay infinitos números racionales.

1617

que el valor absoluto de f(x) esté por debajo del límite de exactitud asequible. La expresión ffx)=0 no es, pues, otra cosa que una manera abreviada de escribir la desigualdad f(x)

huir de la idea errónea de otros tiempos de matemática sólo trata problemas cuya

discusiones que tuvieron lugar, serán objeto de una publicación especial.H. Pollak (U.S.A.) A. Revuz (Francia), S. L. Sobolev (URSS), J. Surany (Hungría), C. 0.

Taiwo (Nigeria). Bakary Traore (Mali). El Comité organizador local estuvo presidido por H. Kunle, actuando de Secretario J. Mohrhardt.

Las sesiones del Congreso tuvieron lugar en distintos pabellones de la Universidad de Karlsruhe y, para las plenarias, se dispuso del monumental Schwarzwalhalle, en el centro de la Ciudad.

La cuota de inscripción para los participantes fue de 100 marcos, equivalente a 40 dólares norteamericanos.

MADIME, Integriertes Grundstudium von Mathematik und ¡hre Didaktik in Medí enver- bund República Federal Alemana. Se trata de experimentar, a nivel de la didáctica universitaria, un modelo para la enseñanza de la matemática para maestros y profesores de primera y segunda enseñanza. Una característica de la experiencia es la integración de la matemática con su didáctica en los cursos para maestros y profesores.

MM-PM, Modular Mathematics, Prímary Mathematics, Gran Bretaña. Se trata de un esquema a base de fichas de trabajo, guías y aparatos para una enseñanza individualizada, para alumnos de 11 a 13 años, desarrollado por el Scottish Education Department.

MMP—MPSP, Mathematics methods Pro- gram and Mathematical Problem So/ving Pro- ject, USA. El primer proyecto es un programa para el entrenamiento de maestros primarios, abarcando contenidos matemáticos y su metodología. El segundo proyecto, tan sólo iniciado, trata de desarrollar la habilidad de los niños (4 a 6 años) para resolver problemas.

OU, The Open University (Gran Bretaña). Se expuso el trabajo realizado por esta institución, mostrando los cursos impresos y el uso de Ja televisión y otros medios audio-visuales. El proyecto es importante, pues la "educación a distancia" es una necesidad que preocupa a muchos países.

SMP, The School Mathematics project, Gran Bretaña. Funciona desde 1961 y por tanto puede mostrar resultados y mucho material elaborado (textos, fichas, guías). Muchos de estos materiales están en uso en distintas escuelas de Inglaterra y han sido traducidos y adaptados a otros países.

SMTR (Scuola Media Tasso, di Roma, Italia). Se expuso material a base de cuadros, diagramas, fotografías, para dar idea de la actividad desarrollada por esta escuela, en la que se compaginan lógica, geometría y arte. La mano maestra de la profesora Emma Castel- nuovo se nota en toda la obra.

SWF. Sudwestfunk Baden-Baden, República Federal Alemana. Se mostraron varios programas de televisión educativa, acompañados de las investigaciones realizadas acerca de su evaluación y rendimiento.

US MES, Unified Science and Mathematics in the Elementary School, USA. Se trata de un programa interdisciplinario, desarrollado

subsidios de la National Science Foundation, que estimula a los alumnos de la escuela

que lasolución puede darse exactamente. Al contra-

ios problemas reales se resuelven siempre cierta aproximación, suficiente para sus

fines. De aquí el interés de las desigualdades. Hay que enseñar a "acotar" valores^ aproximar resultados.

5. Otras actividadesDurante el Congreso hubo un panel especial

sobre "¿Qué pueden significar en el futuro las computadoras en Ia educación matemática? ", dirigido por H. Freudenthal, en el que pusieron y comentaron los muchos que se están haciendo al respecto en todo el mundo. Además se presentaron simultáneamente diversos proyectos en marcha en distintos países, exponiéndose sus realizaciones y perspectivas futuras. Muchos de estos proyectos presentaron material de enseñanza elaborado por ellos (textos, guías, fichas) así como películas y programas de televisión sobre la manera de desarrollar sus actividades. Citaremos algunos de estos proyectos, como muestra de que la educación matemática preocupa de manera'creciente en todas partes.

CAVA, Computerunterstützte Analyse und Vergabe von Aufgaben (Análisis y suministro de problemas con ayuda de computadoras), del Instituto de informática, investigación y desarrollo para la enseñanza y aprendizaje objetivos, Paderborn (República Federal Alemana),

CRDM, Centro Ricerche Didattische Morin, Italia. Programas para ia educación continua de ios profesores de matemática.

DIFF, Deutsches Institut für Fernastudien an der Universitát, Tubingen (República Federal Alemana). Cursos por correspondencia para profesores de matemática.

DMP, Developping Mathematical processes, Centro de Investigación y Desarrollo para el aprendizaje cognitivo, Wisconsin, USA.

INRDP, Institut National de Recherche et de Documentaron Pedagogiques (Francia). El proyecto se ocupa de la evaluación de los programas oficiales, para ir introduciendo sobre la marcha las modificaciones pertinentes.

IREM, Instituís de Recherche pour l'En- seignement des Mathématiques (Francia). Se expusieron' los trabajos que realizan los veinticinco IREM, instituciones en las cuales colaboran profesores de matemática de todos los niveles y que están adheridos a muchas universidades francesas. Se presentaron películas y se expusieron apuntes y materiales impresos elaborados por los distintos IREM.

IOWO, Instituut voor Ontwikkeling van het Wiskunde Onderwijs, Holanda. Presentó material didáctico y un proyecto de desarrollo cu- rricular para geometría.

rio,con

se exensayos4. Secciones del Congreso y sus informes

Actividad esencial del Congreso fue la presentación y discusión de trece informes, previamente preparados por distinguidos especialistas. Estos informes fueron los siguientes:

A!. Educación matemática a nivel pre-esco- lar y primario, por F. Comez (Francia).

A2. Educación matemática a nivel primario superior y secundario inferior, por A. Z. Krygovska (Polonia).

A3. Educación matemática en el secundario superior, por D. A. Quadling (Gran Breta-

3. Las conferencias generalesLas conferencias generales fueron las si

guientes:James Lighthill (Gran Bretaña): Interacción

entre matemática y sociedad.Michael F. Atiyah (Gran Bretaña): Tenden

cias en matemática pura.Peter Hilton (USA): Educación en matemá

tica y en ciencias, hoy: extensión de falsas dicotomías.

Arnold Kirsch (República Federal Alemana): Aspectos de Ia simplificación en la educación matemática.

Georges Guilbaut (Francia): Matemática y aproximación.

Estas conferencias fueron traducidas simultáneamente al alemán, francés e inglés, idiomas que fueron, junto con el ruso, los oficiales del Congreso. Ellas serán publicadas en las Actas del Congreso. Lighthill expuso una serie de ejemplos de cómo la matemática ha servido para resolver problemas importantes de la vida actual, especialmente a través de las modernas técnicas de cálculo. La conferencia de Atiyah se refirió a las nuevas tendencias de la investigación matemática, indicando la evolución de algunas ideas y los problemas actualmente en boga, pero sin mayor vinculación con la enseñanza. Hilton subrayó las relaciones naturales de la matemática con otros campos y la necesidad de tenerlas en cuenta tanto en la enseñanza como en la investigación. Las conferencias de Kirsch y Guilbaut tuvieron mayor relación con la enseñanza, señalando respectivamente la importancia de la simplicidad en la presentación, para ganar en atracción y belleza, y el interés de desarrollar la ¡dea de aproximación, que tiene tanto o más valor que la tradicional "exactitud" de la matemática. El tema de la aproximación en la enseñanza de la matemática es uno sobre los que más se insiste actualmente (Revuz, Dieudonné). Hay que

?

ña).A4. Educación matemática en el nivel uni

versitario (excluida la formación de profesores), por J. H. van Lint (Holanda).

A5. Educación matemática de adultos y educación continua (con referencia a la enseñanza por correspondenciá y por televisión), por R. M. Pengelly (Gran Bretaña).

A6. Entrenamiento y vida profesional de los profesores de matemática, por M. Otte (República Federal Alemana).

B,. Análisis crítico del desarrollo curricular en educación matemática, por A. G. Howson (Gran Bretaña).

B2. Métodos y resultados de la evaluación en la enseñanza de la matemática, por J. Kil- patrick (USA).

B3. Metas generales y objetivos de la enseñanza de la matemática (¿Por qué enseñamos matemática? ), por U. D'Ambrosio (Brasil).

B4. Investigaciones acerca del proceso de aprendizaje en matemática, por H. Bauersfel (República Federal Alemana).

Bs. Análisis crítico del uso de la tecnología educativa en la enseñanza de la matemática, por R. Heimer (USA).

B6. Interacción entre la matemática y otras disciplinas (incluyendo la enseñanza integrada), por H. O. Pollak (USA).

B7. El papel de los algoritmos y las'computadoras de la enseñanza de la matemática, por A. Engel (República Federal Alemana).

Los informes sobre dos por los relatores añadidos

i

T

estos temas, presenta- mencionados, con los

o modificaciones resultantes de lascon

20 21

ción es cada vez más evidente. La cantidad y variedad de material didáctico expuesto fue una prueba más de que la preocupación por la enseñanza es intensa y universal.

7. Consideraciones personalesDice el refrán castellano que cada uno ha

bla de la feria según le va en ella. También en Karlsruhe, las impresiones sobre el Congreso fueron variadas y dispares. Los participantes latinoamericanos, por iniciativa del profesor D'Ambrosio del Brasil (Vicepresidente del CIAEM, Comité Interamericano de Educación Matemática) se reunieron en un local de la universidad cedido por los organizadores del Congreso, para conversar sobre los problemas de la región y la influencia del Congreso sobre los mismos. Las opiniones sobre el Congreso no fueron uniformes. Algunos notaban la falta de soluciones para muchos problemas pendientes: (¿Qué hacer con la geometría? ¿Tiene razón Thom o Dieudonné? ¿Cuándo, cómo y en que medida hay que axiomatizar? ¿Qué se dice de la enseñanza individualizada? ¿Qué hay de la ciencia integrada?). Todos estos temas fueron discutidos y conversados, pero el Congreso no se expidió sobre los mismos. Otros criticaban la existencia de tantas sesiones simultáneas que obligaban a seleccionar algunos temas entre muchos interesantes. Pero todos estaban contentos de haber podido conversar con colegas de países muy distintos y comprobar que los problemas son análogos en todas partes. Todos aprendimos que para la didáctica de la matemática no hay camino real y que sólo cabe experimentar, tanto en modelos propios como importados, e ir adaptando la enseñanza a los resultados obtenidos. Lo importante es tener el aliciente de que los problemas son importantes y que hay mucha gente en el mundo que trabaja y se preocupa por aclararlos. Hay que luchar contra la depresión de sentirse solos. Son análogos los problemas y análogas las dificultades. Hay, eso sí, países más ricos, en dinero o en comprensión, que facilitan la tarea, proporcionando medios y alentando el trabajo individual y las inquietudes vocacionales. Y hay también países pobres en los que faltan, no sólo los recursos materiales, sino el mismo aliento y estímulo para quienes ponen todo su esfuerzo para mejorar la enseñanza que imparten. Pero a pesar de ello, siguen las iniciativas y se conserva la fe necesaria para mejorar las técnicas educati-

El Congreso de Karlsruhe, con sus dos mil

participantes de todo el mundo, o más, que intercambiaron durante una semana ideas sobre la mejor manera de conducir la enseñanza de la matemática, mostrando y discutiendo experiencias y comparando resultados, prueba del interés que suscita mundialmente el problema de la educación en general y el de la educación matemática en particular. No hubo recomendaciones ni ponencias y es posible que muchos participantes salieran del Congreso con más dudas de las que habían llevado al mismo. En educación, las grandes líneas generales no pueden imponerse por votación, si no que van quedando como decantación de experiencias e investigaciones que, poco a poco, van siendo universalmente aceptadas. Las dudas subsisten en los detalles, que hay que ir puliendo y ajustando.

La reforma de la enseñanza de la matemática lleva aproximadamente veinte años, tiempo breve en la historia de la educación, pero suficiente para empezarse a ver en perspectiva su evolución y encauzamiento. Como en todas las revoluciones, los primeros años se focalizaron en señalar los defectos de la enseñanza clásica que se trataba de reformar. Se censuraba la pesada influencia milenaria de Euclides en la enseñanza (sin discutir, naturalmente, su importancia trascendental en la evolución de la matemática); simbólicamente se criticaba a los triángulos, los factoreos y la calculatoria rutinaria y machacona de la enseñanza tradicional o, mejor, de la "mala'' enseñanza tradicional (pues en ella también hubo profesores excelentes). Se trataba de cambiar contenidos, suprimiendo unos e introduciendo otros. La discusión acerca de los contenidos duró, aproximadamente, hasta el Congreso de Lyon; a fines de la década del 60 se había logrado prácticamente unanimidad acerca de los mismos. Ya se aceptó que debían suprimirse ciertos abusos de calculatoria (logaritmos con muchos decimales e interpolaciones de la última afra, complicadas fórmulas trigonométricas, quebrados de varios pisos o sucesiones interminables de paréntesis) así como ciertas axiomatizaciones prematuras incomprensibles para el alumno, o penosas demostraciones de teoremas evidentes. En su lugar había que introducir un mayor uso de la geometría en coordenadas, representaciones gráficas, interpretación y graficado de datos estadísticos, elementos de probabilidad, la ¡dea y ejemplos de programación lineal, desigualdades y otros temas antes considerados fuera del alcance de los alumnos.

Para introducir los nuevos conceptos se pensó que debían prepararse las bases desde un principio y que serían útiles algunos elementos de lógica y de teoría de conjuntos, como "medio" para entender mejor las herramientas matemáticas, así como una iniciación a las estructuras algebraicas, para mejor comprender la unidad del pensamiento matemático y conseguir, tal vez, un ahorro de esfuerzos. El entusiasmo de muchos y la incomprensión de otros tantos, hicieron que fuera común confundir los medios con los fines y que la rígida enseñanza tradicional que se trataba de mejorar, se transformara bruscamente en una enseñanza mezcla de trivialidades y de definiciones que el alumno no acertaba a comprender. La memorización de reglas operatorias se sustituyó por la memorización de definiciones y propiedades sobre conjuntos y lógica, pasando el remedio a ser tan malo como la enfermedad misma. De aquí el toque de alerta de Thom en el Congreso de Exeter y la subsiguiente réplica de Dieudonné, posiciones extremas no tan distintas como a veces se ha querido señalar (estas interesantes conferencias pueden verse en Conceptos de matemática, año VIII, número 31, julio-agosto-septiembre de 1974). En el mismo sentido son instructivos el ataque de Morris Kline (W/hy Johnn can't add?, New York, 1973) y la respuesta de H. Fehr en una mesa redonda de la Cuarta Conferencia Interamericana sobre la Enseñanza de la Matemática (publicada en Educación Matemática en las Américas IV, Oficina de Ciencias de la UNESCO, Montevideo, 1976).

Estas controversias fueron los exponentes de discusiones que tuvieron lugar en todas partes y que sirvieron para ir poniendo las cosas en su justo lugar. Se llegó con ello a un concenso unánime de que no debían olvidarse las aplicaciones de la matemática. Las voces de muchos profesores de que con la matemática moderna los alumnos "no sabían calcular" fueron discutidas y aceptadas en lo que tenían de cierto. Hubo que aclarar a qué "cálculos" se referían. Si en Yez de calcular se trataba de "resolver problemas" es evidente que el asunto era grave, pues el principal fin de la matemática es enseñar a resolver problemas. Si se trataba, en cambio, de calcular por calcular, y se perdía agilidad para ello, el asunto era menos grave, aunque fue oportuno que se planteara. El hecho de que la enseñanza de la matemática debe tener por fin esencial el resolver problemas, cosa que tal vez no fue dicho con suficiente énfasis, por considerarlo

primaria a resolver problemas vinculados con la escuela y el medio ambiente.

Hemos mencionado estos proyectos, que no son únicos, para mostrar cómo la investigación en el área de la enseñanza de la matemática ocur. un lugar importante en muchos países, instituciones como los IREM de Francia, en las que trabajan profesores de matemáticas de todos los nive'es, desde la universidad a la escuela primaria, junto con pedagogos y psicólogos, son ejemplo de lo que podría hacerse, casi sin gasto, en países como la Argentina. En los lugares en donde existe universidad, bastaría establecer que algunos de sus profesores de dedicación exclusiva (alindantes en nuestro medio) descaían n-.rte de su tiempo a los p:c!r* mas de enseñanza y que, junto con algu-

profesores y maestros, dispensados parcialmente de su actividad docente rutinaria, se dedicaran a estudiar y discutir posibles contenidos y metodologías, que podrían ser. experimentados y sucesivamente evaluados por los mismos profesores en clases piloto especiales. Sobre la marcha, se podrían redactar apuntes y guías para el profesor, módulos para los alumnos sobre ciertos temas no tradicionales y otros materiales, que una vez experimentados podrían generalizarse a otras escuelas, las que podrían irlos poniendo en práctica primero bajo la dirección del núcleo generador y luego independientemente. Una experiencia típica en este sentido es la llevada a cabo actualmente en Campiñas (Brasil) bajo la dirección del profesor Ubiratan D'Ambrosio.

es una

?

6. Comunicadones brevesEl Congreso publicó un folleto con los re

súmenes de las comunicaciones breves presentadas por los participantes y aceptadas por los organizadores. Algunas de estas comunicaciones fueron expuestas en sesiones especiales, pero la mayoría fueron únicamente conversadas por el autor o autores y las personas interesadas en lugares adecuados de reunión.

Fue también interesante la oportunidad de ver y ojear la gran cantidad de bibliografía presentada por muchas casas editoriales de los distintos países. Los libros de texto, por la influencia de las recomendaciones repetidas en sucesivos congresos y también por los progresos en los métodos y colorido de las impresiones, presentan año a año mejoras evidentes. Sea por las exinencias de los autores, o por la competencia entre ellas, el hecho es que el esmero de las editoriales para producir textos de mejor contenido y más brillante presenta

ra

vas.

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óptimo, así como la metodología más conveniente para los nuevos problemas que se presentan, como el derivado del incremento del alumnado en todos los niveles y el de la necesidad de una actualización permanente en los conocimientos de toda persona, como consecuencia del rápido crecimiento científico y tecnológico. Estos temas, junto al análisis de los métodos de evaluación y al impacto sobre la enseñanza de la nueva tecnología educativa, fueron los preponderantes en el Congreso. Las condiciones para pasar los alumnos de lón a otro del sistema educativo, las ventajas y defectos de una enseñanza individualizada que exige del profesor más organización que conocimientos, la educación permanente que conduce a la necesidad de la enseñanza abierta, por correspondencia, radio o televisión, la integración de la matemática con otras ciencias y otros temas que pueden verse en la lista ya mencionada de los informes presentados, son los que preocupan actualmente a los educadores matemáticos.

Los contenidos de los curricula, la necesidad de que la matemática de la escuela no sea distinta de la matemática del hogar o de la calle, la conveniencia de una enseñanza activa en la que el alumno partícipe individual o colectivamente en la búsqueda e investigación, son problemas aceptados en teoría, pero conviene seguir investigando los medios para llevarlos a cabo. Para ello, los matemáticos tienen que ser acompañados por pedagogos y psicólogos para, con la colaboración de todos, planear experiencias que permitan seleccionar la mejor didáctica, los mejores materiales-de enseñanza y la mejor manera de preparar y conservar profesores capacitados y entusiastas. Se ha ido aclarando en los últimos años lo que hay que enseñar, para qué se enseña y a quié-

va dirigida la enseñanza. Preocupa ahora el problema capital de cómo hacerlo de la ra más eficaz y rápida.

REFLEXIONES DE UN MATEMATICOobvio, por los iniciadores de la reforma, se planteó a partir del congreso de Exeter y empezó a repetirse en todas partes la necesidad de no olvidarse de las "aplicaciones de la matemática". En realidad nunca nadie negó esta importancia; a lo sumo puede criticarse cierto olvido de machacar sobre el tema. Puede ser interesante a este respecto reproducir unas frases de Dieudonné en la IV Conferencia Interamericana de Caracas (Diciembre de 1975) refiriéndose al profesor que tiene en su clase alumnos de distintas vocaciones y especialidades, como es el caso de los profesores de enseñanza media: "el profesor de matemática a este nivel debe frenar lo mas posible sus gustos y tendencias de matemático puro y procurar que los resultados y métodos que trate estén siempre vinculados con la realidad sensible y sean susceptibles de aplicaciones lo más inmediatas posble. Se puede deplorar este aspecto "utilitario", pero es exigido por la composición misma del grupo de estudiantes que debe recibir la enseñanza". Si esta es la opinión de Dieudonné, se comprende que la unanimidad está lograda y que no vale la pena discutir más el asunto.

Este regreso a las aplicaciones ha sido señalado algunas veces como un fracaso de la matemática moderna y una vuelta a la enseñanza tradicional, cosa sin sentido, pues precisamente uno de los principales motivos de la reforma fue la falta de aplicaciones reales de la matemática que se enseñaba, reducida en gran parte a calculatoria inútil y a pseudoaplicacio- nes estereotipadas ajenas a la vida y a la realidad ambiental del alumno.

Se llegó así al Congreso de Karlsruhe, en el cual apenas se trataron los contenidos y las aplicaciones, por haber prácticamente universal consenso en los primeros y en la necesidad de las segundas. Se consideraron, en cambio, los problemas pedagógicos y didácticos de cómo llevar a cabo la enseñanza para un rendimiento

LA NATURALEZA DEL RAZONAMIENTO W. W. SAWYER

(Gran Bretaña)Por mis observaciones deI hombre y de los niños, me siento indinado a pensar que mi manera de estudiar es Ia manera común, la manera natural y que los maestros de escuela la destruyen y la remplazan por algo que lleva el mero aprendizaje.

un esca-

J. Perry, 1901

Cierta vez Bernard Shaw hizo una observación desagradable a la gente que sabía cómo hacer algo, iba y lo hacía, en tanto que los que no saben hacer nada se veían obligados a ganarse la vida enseñando. En realidad, enseñar es mucho más difícil que hacer.' Ud. encontrará un centenar de personas que juegan fútbol brillantemente por cada uno que puede enseñarle cómo jugar bien en ese deporte. Ud. encontrará centenares de niños diestros y centenares de niños flojos, pero raramente hallará un niño que siendo duro al comienzo se vuelva hábil mediante la ayuda de un maestro. La mayoría de los maestros que son honestos consigo mismos se ven forzados a admitir que, en lo esencial, la clase haría el mismo progreso de no haber maestros de ninguna clase, y que el hábil seguiría siendo hábil y el flojo seguiría siendo flojo.

¿Existen en verdad dos clases de hombres, los que nacieron para triunfar y los que nacieron para fracasar? ¿Tiene el "gran hombre" alguna manera especial de pensar de la cual carezca la gente común?

Hay, por supuesto, ciertas diferencias entre, los cuerpos y los cerebros que los niños here-- dan de sus padres. Existen casos de deficiencia mental, en los cuales glándulas importantes no cumplen eficientemente su tarea, y los niños tienen que ser recluidos en casas especiales. Puede ocurrir que las glándulas, u otros factores, coloquen un límite natural a las potencias de cada uno de nosotros, y que sea tonto esforzarse por superar ese límite. Esto puede ser así. Es verdad que ni una persona entre mil usa enteramente sus glándulas y el cerebro que posee o que llegue de alguna manera próxima al límite natural de inteligencia. En verdad, no podemos explicar glandularmente si una persona es brillante e ingeniosa fuera del

aula y dura en todo lo conectado con la escuela. La razón debe buscarse en otra parte.

Es sumamente interesante preguntarse qué es lo que hace el "gran hombre" o el actor de éxito que los otros no pueden hacer. ¿Qué cualidades se necesitan para practicar bien un juego, para ser pintor, músico, ingeniero, hacendado o matemático? ¿Pueden desarrollarse esas cualidades con ejercicios adecuados? ¿Es posible para una persona común, pero con determinación, adquirir esas cualidades? Cuando los maestros estén en condiciones de responder a estas preguntas, cuando todos alcancen el límite de sus potencias, habrá llegado el momento de hablar sobre las diferencias heredadas de inteligencia. Pero eso será de aquí a algunos siglos.

En el momento actual hay libros que realmente enseñan; Es mejor emplear horas investigando en una buena biblioteca que leer centenares de libros de autores de segunda categoría. Es muy improbable que tanto Ud. como yo poseamos realmente ¡deas originales. La gente parece pertenecer a ciertos tipos. Si Ud.

•se interesa mucho por algún tema, existe la probabilidad de que Ud. encuentre algún otro individuo que se ha preocupado exactamente por la misma cuestión, y Ud. encontrará sus propias opiniones resueltas en sus escritos. Ud. puede comenzar a estudiar el tema donde lo dejó ese primer trabajador.

A menudo la lectura de libros sobre otros temas puede ayudarnos a enseñar o aprender un tema de nuestra especialidad. En una biblioteca encontré el libro Swimming for AH, de R. C. Venner. En este libro se sigue un método que, probablemente, podría aplicarse a otros temas. En primer término, el autor explica los principios de la natación. Explica la diferencia entre los movimientos necesarios en

Af

nesmane-

7v(Viene de pág. 18)

ción de 0,0001 mm ya le dejará asombrado y seguramente no intentará obtener una aproximación ilimitada. Claro es que habrá algunos alumnos mejor dotados que querrán ahondar

algo más en esta cuestión. Corresponde enton- ces a la habilidad pedagógica del facer ese deseo sin de la mayoría.

maestro satis- que padezcan los intereses

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los genios sean considerados como introducen metales en líquidos, o cuando el contenido de una marmita se mezcla con el de otra. La mecánica trata del movimiento de los objetos sólidos. La historia registra las acciones del hombre. El estudio de los idiomas trata de las palabras usadas por las naciones en diferentes partes del mundo. Resulta fácil ver como se obtiene la información contenida en un libro de química, mecánica, historia o fran-

debería siempre ser bastante capaz de hacer su trabajo formulando preguntas a la clase y haciendo que la clase comprenda claramente lo que ya estaba "en el fondo de sus mentes".

La guía que poseemos hoy, que los antiguos filósofos difícilmente pudieron haber imaginado, proviene de la biología. Hoy.se acepta generalmente que ha habido vida en la Tierra durante millones de años y que hemos nacido con instintos probados y ensayados en una larga lucha por la sobrevivencia. Además de estos instintos tenemos un adiestramiento, que se nos da especialmente en los primeros años de vida, basado en tradiciones, algunas de las cuales se remontan a experiencias de hace miles de años. Cuando tenemos cinco años de edad somos, por así decirlo, un artículo altamente manufacturado; generalmente, sólo'des- pués de esa edad nos enteramos de nuestra habilidad para discutir cosas por nosotros mismos.

una raza aparte. Cuanto más se estudian los métodos de los grandes, tanto más comunes aparecen estos métodos. Muy a menudo las anécdotas nos dan una falsa impresión. Está la historia de Newton y la manzana: Newton vio caer una manzana y se preguntó por qué caía -así

dijeron. Es sumamente improbable que Newton hiciera algo de eso. Hasta hoy no sabemos por qué cae una manzana. Es más probable que Newton pensara de la siguiente manera. ¿Qué ocurriría si se dejara caer una

desde una altura muy grande? Presu-

el agua y los que hacemos instintivamente a consecuencia de vivir en un país frío. Luego da una serie de experiencias y ejercicios mediante los cuales nos podemos convencer de la verdad de sus observaciones, de modo que uno no conoce meramente esos hechos sino que se llega a sentir y a hacer instintivamente las cosas correctas.

Los escritores de tenis hacen una observación que puede servir como parábola. Dicen que Ud. no debería comenzar tratando de golpear la pelota en la cancha sino que debería tratar de golpearla duramente y con buen estilo. Gradualmente Ud. comprobará que las pelotas comienzan a caer dentro del campo. Si Ud. comienza preocupándose por el recorrido que seguirá la pelota, Ud. siempre será un jugador endeble. Mucho de eso ocurre en matemática. Lo importante es aprender a tomar resoluciones por sí mismo. Algunos errores que se puedan cometer se corregirán después. Si Ud. comienza tratando de ser perfecto, no irá a ninguna parte. El camino a la perfección se recorre cometiendo errores.

nos

cés.Por otra parte, están los temas en los que

algunos creen pero sobre los cuales cualquiera puede estar en desacuerdo. Son temas que de ninguna manera dependen de evidencias -lo que queremos, lo que pensamos que se debe hacer, el tipo de persona que admiramos, el partido político por el que votaremos—, se trata de cosas cuya responsabilidad recae en Ud. mismo y que indican qué tipo de persona es Ud. que puede estar dispuesto a combatir por el tipo de mundo que considera mejor. Pero Ud. no cambiaría sus ideas básicas acerca de lo que es deseable como consecuencia de argumentos y evidencias. Supongo que los microbios tienen una visión de un mundo a salvo de las viruelas. No podemos demostrar que el mundo no fue hecho para beneficio de los microbios. Todo lo que podemos hacer es emplear multitud de desinfectantes.

La matemática parece un tema peculiar. No es una cuestión de gusto. En ella, más que en cualquier otra ciencia, hay una respuesta que es correcta y una respuesta que es errónea. Pero, por otra parte, no parece ocuparse de nada definido. Una parte de la matemática, grande e importante, por ejemplo, se ocupa de la raíz cuadrada de menos 1 —una cosa que nunca nadie ha visto, ni sentido, ni saboreado. Con todo, no existe ningún tipo de duda sobre sus propiedades.

En los tiempos antiguos, los filósofos encontraron dificultades para explicar las potencias del razonamiento humano y emplearon el tiempo en explicaciones más o menos fantásticas. Una de tales teorías indicaba que vivimos en otro mundo antes de haber nacido, y en ese mundo conocimos las leyes de la aritmética y la geometría (hasta dónde llegaba el sumario, no lo sé). El objetivo de la educación en ese mundo era simplemente despertar en nosotros el recuerdo de este conocimiento.

No deberíamos despreciar esta antigua teoría. Por lo menos aclara que la educación consiste en cooperar con lo que ya está dentro de la mente del alumno. Un buen maestro

manzanamiblemente, todavía caería por muy alta, por

lejos de la tierra que estuviera. De no sermuyasí, habría alguna altura en la cual súbitamente encontraría que la manzana no caería. Esto es posible pero no muy probable. Parece probable, entonces, que, si Ud. se alejara hasta la Luna o el Sol, todavía sentiría el tirón de la Tierra, aún cuando posiblemente no tan fuerte como aquí. ¿Acaso sea ese tirón lo que conserva a la Luna próxima