Conceptos Básicos y Definiciones del Álgebra

El Álgebra es una rama de las matemáticas que estudia los números y sus propiedades en

forma general. No necesita el valor de un número para poder saber sus propiedades y

operarlo, para ello lo sustituye por un símbolo que generalmente es una letra.

Al empezar con el estudio del Álgebra aparecen nuevas expresiones, a las que llamamos

expresiones algebraicas, y conviene nombrarlas para identificarlas correctamente durante

cualquier intercambio de información.

De este modo, al conjunto de números y letras que representan operaciones entre cantidades

se llama expresión algebraica. Esta expresión se puede separar en términos; Los términos se

distinguen uno de otro porque están separados por un signo de mas (+) o un signo de menos

(-), esto significa que entre letras y números sólo puede haber multiplicaciones y divisiones

para agruparlos.

Dentro de cada término distinguimos números que llamamos Coeficientes y Letras que

llamamos Incógnitas o variables. Estas incógnitas o variables pueden tener o no un exponente,

que es un número que se escribe más pequeño y en la parte superior derecha de la incógnita.

Este exponente representa la potencia de esa incógnita y a partir de éstos exponentes se

obtiene el grado de un término.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS:

Una expresión algebraica es cualquier combinación de letras y números ligados por las

operaciones elementales de suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Las letras, que suelen representar cantidades desconocidas, se denominan variables o

incógnitas y los números coeficientes.

Una expresión algebraica es una expresión matemática en la que se combinan números y

letras.

3a + 2

Los números se denominan “coeficiente” y las letras “parte literal”.

La letra “a” representa una incógnita, es decir una variable de la que desconocemos su valor y

que hay que calcular. El número que acompaña a la letra la va multiplicando.

3a = 3 x a

Por ejemplo:

Pedro tiene el doble de años que Juan. ¿Qué edad tiene Pedro?

Edad de Pedro = 2a

La “a” representa la edad de Juan; es una incógnita ya que por el momento desconocemos su

valor.

El coeficiente 2 quiere decir que Pedro tiene el doble de edad que Juan.

Si alguien nos dice la edad de Juan, por ejemplo 7 años, sabremos el valor de la “a”.

a = 7 años

Luego ya podemos calcular la edad de Pedro.

Edad de Pedro = 2a = 2 x 7 = 14 años

La expresión algebraica puede tener varios sumandos. Cada sumando se denomina término.

3a + 5b + 3c – 7a

“3a” es un término, “5b” es otro término…

Cuando llego a conocer los valores de las letras (incógnitas) la expresión algebraica se

transforma en una expresión numérica.

Por ejemplo, si en el ejemplo anterior el valor de las letras fuera:

a = 3

b = 2

c = 5

La expresión algebraica se transformaría:

3a + 5b + 3c – 7a = (3 x 3) + (5 x 2) + (3 x 5) – (7 x 3) = 13

ECUACION:

Una ecuación es una igualdad que se cumple para algunos valores de las letras.

x + 1 = 2 x = 1

Elementos de una ecuación

Miembros

Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados

del signo igual.

Términos

Los términos de una ecuación son los sumandos que forman los miembros de una ecuación.

Incógnitas

La incógnita de una ecuación es el valor desconocido que se pretende determinar.

La incógnita de una ecuación se suele expresar con la letra x.

Soluciones

Las soluciones de una ecuación son los valores que deben tomar las letras para que la

igualdad sea cierta.

2x − 3 = 3x + 2 x = −5

2 · (−5) − 3 = 3 · (−5) + 2

− 10 −3 = −15 + 2 −13 = −13

Grado

El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los monomios que forman sus

miembros.

Resolución de ecuaciones de primer grado

En general para resolver una ecuación de primer grado debemos seguir los siguientes pasos:

1º Quitar paréntesis.

2º Quitar denominadores.

3º Agrupar los términos en x en un miembro y los términos independientes en el otro.

4º Reducir los términos semejantes.

5º Despejar la incógnita.

Despejamos la incógnita:

Agrupamos los términos semejantes y los independientes, y sumamos:

Quitamos paréntesis:

Agrupamos términos y sumamos:

Despejamos la incógnita:

Quitamos denominadores, para ello en primer lugar hallamos el mínimo común múltiplo.

Quitamos paréntesis, agrupamos y sumamos los términos semejantes:

Despejamos la incógnita:

ECUACIONES RESUELTAS

Despejamos la incógnita:

6x – 7 = 2x + 5

6x – 2x = 5 + 7

4x = 12

x =12/4

La solución es x = 3

4x – 3 = -12x + 5

4x +12x = 5 + 3

16x = 8

x = 8/16 = 1/2

La solución x = 1/2

Agrupamos los términos semejantes y los independientes, y sumamos:

Quitamos paréntesis:

Agrupamos términos y sumamos:

Despejamos la incógnita:

Quitamos denominadores, para ello en primer lugar hallamos el

mínimo común múltiplo.

Quitamos paréntesis, agrupamos y sumamos los términos semejantes:

Despejamos la incógnita:

Quitamos paréntesis y simplificamos:

Quitamos denominadores, agrupamos y sumamos los términos semejantes:

x + 1 = 3

x = 3 -1

La solución x = 2

Ecuaciones de primer grado

Ecuaciones de primer grado, ejemplos y ejercicios resueltos de ecuaciones con paréntesis y denominadores.

Matemáticas 3º de ESO 6.1 Ecuaciones de primer grado. Ejemplos

Concepto de ecuación

Para que exista una ecuación tiene que haber algo igual a algo. Una ecuación es de primer

grado cuando la x (la variable) está elevada a uno.

Pasos para resolver una ecuación de primer grado

1. Si hay denominadores, los reducimos a común denominador (calculando el m.c.m ) y

suprimimos los denominadores.

2. Quitamos los paréntesis aplicando la regla de los signos. Al final tendremos a ambos lados del igual, sólo sumas y restas, unos términos llevaran x y otros no.

3. Trasposición de términos: Pasamos todos los términos con x a un lado de la ecuación, los

números al otro lado.

4. Agrupamos los términos semejantes y al final despejamos la x obteniendo la solución.

5. Comprobamos la solución sustituyendo el valor de la x obtenida en la ecuación. Nos tiene que dar el mismo resultado a ambos lados de la ecuación.

Soluciones de una ecuación de primer grado. Ejemplos

Un número real: es cuando normalmente decimos que nos da solución.

x + 3 = 5 x + 11 ⇒ x - 5 x = 11 - 3 ⇒ - 4 x = 8 ⇒ x = 8 / - 4 ⇒ x = - 2

Todo número real: nos da ⇒ 0 x = 0. Tiene solución para cualquier valor de x, decimos que

tiene infinitas soluciones.

13 - 3 x - 9 = 8 x + 4 - 11 x ⇒ - 3 x - 8 x + 11 x = 4 + 9 - 13 ⇒ 0 = 0

Incompatible: se anulan las x y nos da ⇒ 0 x = número. No tiene solución.

6 + 5 x + 2 = 4 x - 2 + x ⇒ 5 x - 4 x - x = - 2 - 6 - 2 ⇒ 0 x = - 10