UNIDAD 2 ÁLGEBRA Definiciones, Operaciones algebraicas, MCM, MCD Dr. Daniel Tapia Sánchez.
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UNIDAD 2
ÁLGEBRA
“Definiciones, Operaciones algebraicas, MCM, MCD”
Dr. Daniel Tapia Sánchez
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El Álgebra
Es la rama de las matemáticas que trata a las cantidades de manera general.
En la unidad anterior utilizamos solamente números y cada uno de ellos representaba un valor específico.
Ahora utilizaremos números y letras a la vez para representar cantidades, y las letras representarán cualquier valor.
Esto quiere decir que una misma expresión algebraica puede representar la edad de una persona, el costo de un artículo, o
cualquier otro valor.
A eso nos referimos cuando decimos que trataremos las cantidades de manera más
general.
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En esta unidad aprenderás a:
Factorizar expresiones algebraicas identificando factor común o a través del reconocimiento de productos notables.
Sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones algebraicas.
Reconocer productos notables como cuadrado de binomio, suma por su diferencia, suma de cubos, diferencia de cubos y cubo de binomio.
Determinar el Mínimo Común Múltiplo y Máximo Común Divisor entre expresiones algebraicas.
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Contenido de la unidad2.1 Definiciones
2.1.1 Término algebraico
2.1.2 Expresión algebraica
2.2 Operaciones Algebraicas
2.2.1 Suma y resta
2.2.2 Multiplicación2.2.3 Productos Notables
2.2.4 Factorización
2.1.3 Términos semejantes
2.2.5 División
2.3 Mínimo común múltiplo (m.c.m.)
2.4 Máximo común divisor (M.C.D.)
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Ejemplos:
15a3b5,3w
2zab2c, 5x2y,
2.1 Definiciones
2.1.1 Término algebraico
Es la relación entre números y letras donde intervienen operaciones como la multiplicación, división, potencias y/o raíces.
Consta de un “factor numérico”, denominado coeficiente y un “factor literal” formado por una o más letras. Las literales siempre tienen asociado un exponente, pero en caso de que este sea uno, se omite escribirlo.
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Es la relación entre términos algebraicos, mediante la suma y/o resta.
2.1.2 Expresión algebraica
Ejemplos:
1) 4x2 – 3 5y
2) 8a3 + 7xy2 – 3x + 10y
3) 2a3b2 + 5ab – 3a 2
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Monomio:
Expresión algebraica que consta de un solo término algebraico.
Ejemplos:
Polinomio:
Expresión algebraica que consta de dos o más términos algebraicos.
Los polinomios se pueden clasificar según el número de términos que contienen. En la siguiente diapositiva se muestran algunos ejemplos:
25a3, 45x2z59xy2,
Hay dos tipos de expresiones algebraicas:
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2) Trinomio: Polinomio que consta de tres términos algebraicos.
Ejemplo: 2a3b2 + 5ab – 3a2
Ejemplo:
1) Binomio: Polinomio que consta de dos términos.
4x7y2 + 5xy
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Son aquellos términos algebraicos, o monomios que tienen los mismos factores literales.
Ejemplo:
- Los términos y son semejantes.
- Los términos y no son semejantes.
6a2b 5a2b
2x4 7x2
2.1.3 Términos Semejantes
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2.2.1 Suma y Resta
Sólo pueden ser sumados o restados los coeficientes numéricos de los términos semejantes.
Ejemplo:
ab2c + 3ab2c – 5ab2c = (1 + 3 – 5) ab2c
= (4 – 5) ab2c
= (– 1) ab2c
= – ab2c
2.2. Operaciones algebraicas
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En la suma de polinomios, se escribe cada polinomio uno detrás de otro y se reducen los términos semejantes.
Sumar los siguientes polinomios:
Suma de polinomios
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En la suma, los polinomios se escriben uno seguido del otro y se reducen los términos semejantes:
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En esta operación, es importante identificar el minuendo y el substraendo, para posteriormente realizar la reducción de términos semejantes.
Realizar la siguiente operación:
Resta de polinomios
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Para realizar la resta, primero se eliminan los paréntesis.
Solución:
Para hacerlo, debemos recordar que el signo “menos” fuera del paréntesis, afecta a todos los monomios que están dentro de los paréntesis.
Por lo tanto, debemos invertir el signo de cada monomio en el segundo paréntesis, es decir, debemos cambiar los signos positivos por negativos y los negativos por positivos:
Posteriormente se reducen los términos semejantes:
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3x ∙ 2xy =
2.2.2 Multiplicación
Se multiplican los coeficientes numéricos y los factores literales entre sí.
Ejemplo:
• Monomio por monomio:
Se multiplica el monomio por cada término del polinomio. Para hacerlo, se aplican las leyes de los exponentes estudiadas en la unidad anterior (se suman los exponentes que tengan la misma base)
Ejemplo:
• Monomio por polinomio:
6x2y
3ab4 (5a2b + 2ab2 - 4ab) =
= 15a3b5 + 6a2b6 – 12a2b5
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Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio. Posteriormente se suman los términos semejantes.
Ejemplo:
Polinomio por Polinomio:
(2x + y)(3x + 2y) =
= 6x2 + 7xy + 2y2
6x2 + 4xy + 3xy + 2y2
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2.2.3 Productos Notables
Son aquellos cuyos factores cumplen con ciertas características que permiten llegar al resultado, sin realizar todos los pasos de la multiplicación.
• CUADRADO DE BINOMIO:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
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Ejemplo:
La fórmula del Cuadrado de Binomio se puede obtener geométricamente:
(5x – 3y)2 = (5x)2
- 2(5x∙3y) + (3y)2
= 25x2
- 30xy + 9y2
bab
a ab2
2
a b
b
a
a b
a
b
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• CUBO DE BINOMIO:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
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Ejemplo:
Aplicando la fórmula...
Desarrollando potencias...
Multiplicando...
(3x)3 – 3∙(3x)2∙2y + 3∙(3x)∙(2y)2 – (2y)3
= 27x3 – 3∙(9x2)∙2y + 3∙(3x )∙(4y2)– 8y3
= 27x3 – 54x2y + 36xy2– 8y3
(3x – 2y)3 =
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• SUMA POR SU DIFERENCIA:
Ejemplo: Aplicando la fórmula...
(a + b)∙(a – b) = a2 – b2
(5x + 6y)∙(5x – 6y) =(5x)2 – (6y)2
= 25x2 – 36y2
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PRODUCTO DE BINOMIO:
Esta propiedad sólo se cumple cuando los binomios tienen un término en común.
Ejemplo 1:Aplicando la fórmula...
Desarrollando...
(x + a)∙(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
(x + 4)∙(x + 2) =
= x2 + 6x + 8
x2 + (4 + 2)x + 4∙2
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Ejemplo 2:Aplicando la fórmula...
Desarrollando...
(y - 4)∙(y + 2) =
= y2 – 2y - 8
y2 + (-4 + 2)y - 4∙2
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CUADRADO DE TRINOMIO:
Ejemplo:
Aplicando la fórmula...
Desarrollando...
= (2x)2 + (3y)2 + (4z)2 + 2(2x∙3y) + 2(2x∙4z) + 2(3y∙4z)
(2x + 3y + 4z)2 = ?
= 4x2 + 9y2 + 16z2 + 12xy + 16xz + 24yz
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
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• DIFERENCIA DE CUBOS:
Ejemplo:
Aplicando la fórmula...
Desarrollando...
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
8x3 – 64y3 =(2x)3 – (4y)3
= (2x – 4y)((2x)2 + 2x ∙ 4y + (4y)2 )
= (2x – 4y)(4x2 + 8xy + 16y2 )
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SUMA DE CUBOS:
Ejemplo:
Aplicando la fórmula...
Desarrollando...
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
27x3 + 8y3 = (3x)3 + (2y)3
= (3x + 2y)((3x)2 – 3x ∙ 2y + (2y)2)
= (3x + 2y)( 9x2 – 6xy + 4y2)
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Consiste en escribir una expresión algebraica en forma de multiplicación.
Ahora haremos el proceso inverso al de los productos notables.
Es decir, ahora debemos representar con una cantidad menor de términos cada expresión.
2.2.4 Factorización
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Factores de una expresión
Son las expresiones algebraicas que multiplicadas entre si dan como producto a la primera expresión.
x (x + 2)
factor factor
Ejemplos:
factor factor
(x – 2)(x + 1)
x2 + 2x =
x2 – x – 2 =
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Factorización de una expresión
Es convertir la expresión en el producto compuesto por sus
factores
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Factorización de un polinomio
Todo polinomio puede ser descompuesto en dos o más factores distintos de 1.
Los polinomios se pueden descomponer de distintas maneras las cuales se explicaran a continuación.
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a) Cuando todos los términos tienen un factor común
Ejemplos:
10a + 30ax2 = 10 1 a + 10 3 a x x
10 a ( )1En ambos términos
+ 3 x2=
Factorización de un polinomio
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18 m x y2 – 54 m x2 y2 + 36 m y2
En todos los términos
y= 18 m x y – 18 318 m x x x y y 18+ m y y
18 m y2 ( )x – 3 x2 + 1
1
= En cada uno de los términos
Factorización de un polinomio
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b) Cuando todos los términos tienen un polinomio como factor común
Ejemplos:
factor
(a – 1)(a – 1) (a – 1)
(x + 2)(x + 2) (x + 2)factor
2x – y = (2x – y)
m + = (m + 1)
Factorización de un polinomio
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c) Cuando se agrupan los términos factor común
Ejemplos:
aa aa =x x xx bb b byyyy +++ + + +( () )factor
= x (a + b) + y(a + b)factor
(a + b)= ( )x y+
Factorización de un polinomio
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d) Cuando un trinomio es un cuadrado perfecto o algún otro producto notable
Una cantidad es cuadrado perfecto cuando se cumple que es el cuadrado de otra, es decir, se cumple que:
a2 2ab + b2 = (a b)(a b)
Factorización de un polinomio
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Ejemplos:
4x2 + 25y2 – 20xy = 4x2 + 25y2 – 20xy
= (2x) (5y)(2x) (5y)2– +
= 2x
2 2
– 5y( ) 2
Se puede aplicar también si el primero y/o el tercer termino son expresiones algebraicas.
Factorización de un polinomio
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e) Cuando un trinomio no es un cuadrado perfecto o algún otro producto notable se puede transformar a cuadrado perfecto por adición o sustracción.
Factorización de un polinomio
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Ejemplos:
x4 + x2y2 + y4 Es un cuadrado perfecto
x4 + x2y2 + y4
2
No es un cuadrado perfecto1
2
Para llegar de a : 1 2
x4 + x2y2 + y4
x2y2+ – x2y2
x4 + x2y2 + y42 – x2y2 = ( x2 + y2 ) 2 – x2y2 Cuadrado perfecto
= ( x2 + y2 ) ( x2 + y2 )
= ( x2 + y2 ) ( xy )–
Se le suma cero
Diferencia de cuadrados xy– +
2 2
xy2 2
Factorización de un polinomio
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f) Trinomios de la forma x2 bx c que cumplen con las siguientes condiciones:
Coeficiente del primer termino 1
Primer término es una letra elevada al cuadrado
Segundo término tiene la misma letra que el primero elevado a uno y su coeficiente es una cantidad cualquiera
Tercer término es independiente (sin letra)
Ej: y2 – 8y +15
Factorización de un polinomio
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Ejemplo:
x 2 ++ 5 x 6 = ( ) ( )x x+
5
3
Al multiplicar los signos:
+ + = +
+2
2 + 3 = Se tiene que buscar dos números cuya suma sea 5 y cuyo producto sea 62 3 = 6
Factorización de un polinomio
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g) Trinomios de la forma ax2 bx c que cumplen con las siguientes condiciones:
Coeficiente del primer termino distinto de 1
Primer término es una letra elevada al cuadrado
Segundo término tiene la misma letra que el primero elevado a uno y su coeficiente es una cantidad cualquiera
Tercer término es independiente (sin letra)
Ej: 3a2 + 7a – 6
Factorización de un polinomio
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Ejemplo:
6 x2 – 7 x – 3
Se multiplica por el coeficiente de x2 (6) x2 – 7 x – 36 (6) (6)
(6x) 2 – (6x)7 – 18
Trinomios de la forma x2 bx c
( )6x – 2( )6x9
= +
+
– – La suma y la multiplicación es entre un número positivo y otro negativo
2 – 9 = – 7
2 - 9 = – 18
Factorización de un polinomio
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Aunque ya se factorizó el polinomio hay que recordar que se multiplicó por seis por lo que para no alterar el polinomio hay que dividirlo por el mismo valor.
(6x – 9) (6x – 2)6x2 – 7x – 3 =
6= 3 (2x – 3) 2 (3x – 1)
2 3
(2x – 3) (3x – 1)=
Factorización de un polinomio
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h) Cuando la expresión es un cubo perfecto de un binomio.
( a + b )3 = a3 + 3 a b2+3 a2 b + b3
ó
( a + b )3 = – a3 – 3 a2 b + 3 a b2 b3
Factorización de un polinomio
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Ejemplo:
8 x6 + 54 x2 y9 – 27 y9 – 36 x4 y3
(2 x2) (3 y3)– 3 33 (2 x2) 2 (3 y3) + 3 (2 x2) 2(3 y3) –
= ( )2x2 3y3– 3
Factorización de un polinomio
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i) Cuando la expresión es una suma o diferencia de cubos perfectos.
Ej:
x 3+ 1 = ( )1x + ( )x 2 x 1 + 1 2
cubo ( x3 )
cubo ( 13 )
cuadrado
cuadrado
Signo contrario el que se encuentra en término anterior
–
a3– 8 = ( )2a – ( )a2 a 2 – 2 2
Cubo ( a3 )
cubo ( 23 )
cuadrado
cuadrado
Signo contrario el que se encuentra en término anterior
+
Factorización de un polinomio
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(x + 5)(x – 4)
(x + 5)(x – 5)
2.2.5 División
Para dividir expresiones algebraicas es necesario expresarlas mediante productos, es decir, factorizar.
Ejemplos:
1)
Factorizando...
Simplificando...
=x2 + x - 20
x2 - 25
(x – 4)
(x – 5)=
Recuerda que NO se puede realizar lo siguiente:
(x – 4)
(x – 5)
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(a + b)
(a – b) 1
a - b= ∙
(a + b)(a – b):
(a + b)(a + b) 1
a - b
2)
Factorizando y simplificando
Dividiendo:
(a + b)2
a2 - b2: 1
a - b=
(a + b)
(a – b)
1
a - b:=
= (a + b)
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2.3. Mínimo común múltiplo (m.c.m.)
• Entre monomios:Corresponde a todos los factores con su mayor exponente.
Ejemplo 1:
El m.c.m. entre:
3x5y2, 18x2yz6 y 9y3
es: 18x5y3z6
Ejemplo 2:
El m.c.m. entre:
x4y2z3 , x2y , xy6z
es: x4y6z3
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x2 + 2x +1x2 + x
Entre polinomios:
El concepto es igual al anterior, pero en este caso se debe factorizar previamente.
Ejemplo:
Determinar el m.c.m. entre:
y
m.c.m. :
Factorizando... x(x +1) (x +1)2
x(x +1)2
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2.4. Máximo común divisor(M.C.D.)
Entre monomios:
Corresponde a los factores comunes con su menor exponente.
Ejemplo 1:
El M.C.D. entre: 3x5y2, 18x2yz6 y 9y3
es: 3y
Ejemplo 2:
El M.C.D. entre: a4b2, a5bc y a6b3c2
es: a4b
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x2 + 2x +1x2 + x
Entre polinomios:
El concepto es igual al anterior, pero en este caso se debe factorizar previamente.
Ejemplo:
Determinar el M.C.D. entre:
y
M.C.D. :
Factorizando... x(x +1) (x +1)2
(x +1)