CONCEPTO O FIGURA CONCEPTO O PROPIEDAD - …a... · ( 2.A. EJERCICIOS PROPUESTOS J 9. Encontrar...

( 2.21 RESUMEN DEL CAPÍTULO 2 J

CONCEPTO OPROPIEDAD

FIGURA CONCEPTO OPROPIEDAD

FIGURA

2.1 ÁNGULO :

Figura geométricaformada por dos rayosde origen común.

B C

2.6 ÁNGULO AGUDO

Su medida es mayor que0° y menor que 90°

Q RLc.ABC

2.2 SISTEMASEXAGESIMAL :

1° = 3~0 del ángulo

completo

2.7 ÁNGULO RECTO

Mide 90°; sus lados sonperpendiculares.

A

L M

mLc.completo = 360° BC

2.8

SIMETRAL DE I

~

UN SEGMENTO

Es el trazo perpendicular I

en su punto medio.P

QR

PQ=QR-

-PR -.l SQ

I2.9ÁNGULO OB-

TUSOSu medida es mayor que

90° y menor que 180°.

I

\M

N

2.10 ÁNGULO

EX-TENDIDO

Su medida es 1800.

I

••

r\•A

BC

A •CB

~ •B C

~ •Q R

---.LN bisectriz del Lc.KLM

Rayo que divide alángulo en dos ánguloscongruentes

2.3 ÁNGULOSCONGRUENTES

1° = 60' = 3600"

2.4 BISECTRIZ DEUN ÁNGULO

si mLc.ABC = mLc.PQR==* Lc.ABC ~ Lc.PQR

Son los que tienen lamisma medida

2.5 ÁNGULO NULO:

Su medida es O°.

sus lados coinciden

31

( 2.A. EJERCICIOS PROPUESTOS J

9. Encontrar x.

--..10. BF bisectriz del iLABE,--..

BO bisectriz del iLEBC,obtener el valor de x.

CBA4. Encontrar dos ángulos suplementarios

tales que uno sea 26° mayor que el otro.

2. El suplemento de un ángulo es cinco

veces el complemento. ¿Cuánto mide el

ángulo?

3. Si miLp = i miLU; miLt = 4miLs.

¿Cuál es la medida del iLr?

1. ¿Cuál es el suplEimento del complementode34°?

11. Si L1 // L2 , calcular el valor de a.

5. ¿Cuál es la medida del ángulo que forman

los punteros del reloj a las 2:35 horas?

6. Calcular el complemento de 43°27".

7. Calcular el valor de x.

12. Si L1 // L2 , calcular p.

8. Encontrar miLPQS y miLSQR.

~~•• P Q R •.

33

32. Calcular el valor de xsi L1 II L2.

L1

33. Sabiendo que L1 II L2J calcularx.

34. En la figura, L1 II L2 Y L311 L4'Calcular a.

35. Calcular el valor de x si L1 II L2•

.36. ¿Qué medida tiene el mayor de dos

ángulos suplementarios si uno de ellos

tiene 50° más que el otro?

36

38 Encontrar z en función de x e y si L1 II L2•

39. Expresar 180° en términos de a, P y y si

L1 II L2•

40. Considerando que L1 II L2J encontrar elvalordex .

x

31. Si BR es simetral de PO ; a:p = 5:13

entonces el complemento de x es:34. Las rectas L1 y L2 son paralelas. ¿Cuál de

las siguientes alternativas es falsa?

32. Si Y = 53°21'43" Y 8 = 32°52'47" entonces

y-8=?

A) 25°

B) 35°

C)45°

D) 65°

E) 75°

A) 21°31'04"

B) 20°28'56"

C) 21°52'04"

D) 20°31'43"

E) 20°56'28"

P

A)a+ P=y

B) a + p + y ,¡:. 180°

C)a+8=yD)y+8= 180°

E) a + p +y = 360° - 28

35. ¿Cuál es la medida del ángulo que forman

los punteros del reloj a las 11:38 horas?33. Si L) / L2 Y L3// L4' entonces la razón entre

aypes:

A) 13:55

B) 2: 5

C) 13:68

D) 5: 7

E) 11: 34

A) 121°

B) 102°

C) 109°

D) 113°

E) 101°

12

9([)'6

36. En lafigura L1 //L2. El valor de aes:

A) 125°

B) 130°

C) 120°

D) 110°

E) 100°

41

( 3.7 RESUMEN DEL CAPíTULO 3 )

CONCEPTO O

PROPIEDAD

3.1 TRIÁNGULO:

Figura geométricaformada por la unión detres segmentos obtenidos de tres puntos nocolineales.

A, B, C son puntos nocolineales.

3.2 ELEMENTOS DE UNTRIÁNGULO:

A, By C :vérticesa, by c : lados

a, ~ y y ángulosinteriores.

a', ~' y y' ángulosexteriores.

13 TEOREMA DE LASUMA DE LOSÁ N G U L O S

INTERIORES:

En todo triángulo, la sumade las medidas de los

ángulos interiores es 180°.

FIGURA

B

A C- --

MBC = ABuBCuAC

B

A C

a + ~ + y = 180°

CONCEPTO O

PROPIEDAD

3.4 TEOREMA DELÁNGULO EXTERIOR.

En todo triángulo, la sumade las medidas de dos

ángulos interiores esigual al exterior noadyacente.

3.5 TEOREMA DE LASUMA DE LOSÁNGULOS EXTERIORESLa suma de las medidas

de los ángulos exterioresde cualquier triánguloresulta 360°.

3.6 CLASIFICACiÓNDE LOS TRIÁNGULOS

FIGURA

a+~=1;~+y=~a+y=~

A

a' + ~ + y' = 360°

Se pueden clasificarsegún sus lados o segúnsus ángulos.

CLASIFICACiÓN DE LOS TRIÁNGULOS

Acutángulo : los tresRectángulo : Un ánguloObtusángulo : Tiene unángulos interiores agudos.

interior recto.ángulo interior obtuso.e

B~too ALlCSegún sus ángulos

~B

e : hipotenusaa c

A

CbA

Escaleno : Los tres lados

Isósceles :Dos ladosEquilátero : Los tresdistintos.

congruentes.lados congruentes.

B~

BB

Según sus lados

~~A

C0° 60°A C AC: baseA C

55


S

QP

a)

b)

6. Calcularaencadacaso:

5. En el ¡1PQR se traza RS tal que mLQSR =

117°.¿Cuál es el valorde x?

R

R

RH

3. SiTH...LSR,calcularx.

S

4. Calcular a si L1 // L2.

P

1. Calcular la suma de los ángulos a y~,

2. En la figura, x:y = 1:2 ; QS = SR ; PQ = QR,calcular mLPQS.

Q

.~.

c) d)

56

19. Si PQ = QR; ST//PQ, entonces a=? 23. Si PR = QR; TU -.l UV, entonce a =?

A) 120°

B) 110°

C) 130°D) 140°

E) 150°

P

Q

T R

A) 24°

B) 52°

C) 33°

D) 26°

E) 38°

20. El MBC es rectángulo en B y el ~ADE es

equilátero. El ángulo p mide:24. Si L1 // L2; a = 23° ; Y= 59°, entonces p =?

A) 70°

B) 80°

C) 90°

D) 100°

E) 110°

A

D

E B

A) 36°

B) 82°

C) 46°D) 66°

E) 72°

26. Se sabe que SQ -.l PR Y RQ -.l PT, entonces

a resulta: R

21. ~KLN Y ~LMN son isósceles de bases KN

y LN respectivamente; entonces elresultadode miLKLN-miLNKL es:

A) 135°

B) 112° 3D' N

e) 6703~

D) 22° 5'

E) 112° 5'

K L M

22. Los ángulos exteriores de un triánguloestán en la razón de 3:2:3, entonces se

trata de un triángulo:

A) rectángulo

B) isósceles

C) escaleno

D) isósceles escaleno

E) rectángulo isósceles

64

A) 50°

B) 26°

C) 24°

D) 25°

E) 12°

A) 86°

B) 58°

C) 94°

D) 144°

E) 148°

Q

( 4.9 RESUMEN DEL CAPíTULO 4 J

CONCEPTO O

PROPIEDAD

FIGURA CONCEPTO O

PROPIEDAD

FIGURA

BC • comprendido por ~ y y

AC '" PR "'-A", ",-P

BC '" OR "'-B", "'-O

AB", PO ",-C", "'-R

luego MBC '" t,POR---------j---4.2 Un ángulo interior C

está comprendido por los dlados que forman elángulo.

a ~

Si AC > AB > BC entonces

"'-B> ",-C > "'-A

AB +BC >AC

AB +AC > BC

AC +BC >AB

AB", PO )

Be '" OR ....• t,ABC '" t,POR

AC",PR ----./\D A C

"'-DAB> "'-B

"'-DAB> ",-C

4.5 TEOREMA LLL:

Dos triángulos soncongruentes si tienen lostres lados correspondientes congruentes.

4.6 DESIGUALDADES

TRIANGULARES:

Un ángulo exterior es mayorque cada uno de losinteriores no adyacentes.Al lado mayor se opone elángulo mayor.La suma de las medidas de

dos lados es mayor que eltercero.

B

a : comprendido por AC y AB

Un lado está comprendi- lAdo entre dos ángulos sisus vértices sonextremos del lado.

4.1 TRIÁNGULOS CON·

GRUENTES:

Cuando tienen lados yángulos correspondientes congruentes.

4.3 TEOREMA LAL:

Dos triángulos soncongruentes si tienen dospares de lados correspondientes congruentes y elángulo comprendidoentre ellos congruente.

4.7TEOREMA LLA:

Dos triángulos soncongruentes si tienen dospares de lados correspondientes congruentes y el

ángulo opuesto al ladomayor, respectivamentecongruentes.

AC", PR }

AB '" PO ....• MBC'" t,POR

"'-B","'-O

4.4 TEOREMAALA:

Dos triángulos soncongruentes si tienen dospares de ánguloscorrespondientes congruentes y el ladocomprendido entre elloscongruente.

4.8 TEOREMA DEL

CATETO Y DE LA

HIPOTENUSA:

Dos triángulos rectángulosson congruentes si tienensus hipotenusas congruentes y un par de catetoscorrespondientescongruentes.

AC '" PR }BC '" OR ....• MBC '" t,POR

83

( 4.A. EJERCICIOS PROPUESTOS )

y

O

M

Z

C

L

R

B

K

A

6. Demostrar que el MDE es isósceles ,

sabiendo queAB = EC = BE = CD.

E

~

4. En la figura, m~BDC = m~ACD;

m~ADC = m~BCD, demostrar por

congruencia de triángulos quem~A=m~B.

O

W

A B- --5. En la figura, ~ WX == WZ y XY == YZ,

demostrar que XZ -.l Yw.

7. En la figura, si KN = MN ; KR = MR,

demostrar que m~KLR = m~MLR.N

M

N

O

\\\\

\\

\\

\\

\\

\

P

A

L

\\\\

\\\

\\

\\\\

SSi LM = MN Y SM = RM entonces

demostrar que LS = NR.

2. Demostrar que cualquier punto de la

bisectriz de un ángulo equidista de suslados.

1. Demostrar que si dos segmentos se

bisectan, entonces los trazos que unen los

extremos de los segmentos dados son de

igual medida.

L R

B G C----.

Si BD es bisectriz del ~ABC, P un

punto cualquiera de ella entonces

demostrar que PF = PG

3. En la figura, por congruencia de triángulos,

demostrar que ~L == ~M si KS = NS ;- - --LK-.l KM Y MN -.l NL.

K

84

13, Si en un triángulo rectángulo, p y q son las

medidas de cada cateto respectivamente y

r es la longitud de la hipotenusa, entonces

siempre ocurre que:

17, Dos lados de un triángulo miden 1,6 Y3,4 cm

respectivamente. ¿Cuántos triángulos es

posible construir con estas medidas si eltercer lado debe ser un número real con una

cifra decimal?

A) p> r

B) q > r

C) r>p+q

O) P < q

E) q < r

14. De la figura sabemos que AC ~ AO y- -OB ~ CB, entonces es cierto que:

A) 28

B) 29

C) 30

O) 31

E) 32 - --18. En la figu~ AB .1OF ; BC .1DE ; O punto

medio deAC ; FO = EO, luego:

B

o

15. ¿En cuál de las siguientes alternativas no es

posible construir un triángulo ABC con los

datos proporcionados?

o

e

e

o

A

A

A

A) LCAB~LCAO

B) L1CEOes isósceles

C) L1BCOes equilátero

O) LEOB ~ LACE- -E) AE~EO

A) AB=CB

B) AF=BF

C) AO=BE

O)AB=AC

E) OC=EC

A) OC

B) FO

C) EF

O) AB

E) BC

19, Los triángulosABC y ABO son congruentes

y se encuentran en distintos planos: Si E es

un punto del lado común AB, entonces

siempre se cumple que:

B

20, Según datos de la figura, se puede deducir

que el segmento más corto es :E

J

A

C

M

L

A) aplicando el teorema LAL

sedemuestraqueMCB ~MOB,

B) LCAB~LABO

C) LABO~LCBA

O) AC~CB- -E) AO//CB

B

A) NK~NL

B) MJ~ML

C) JK~JM

O) LJMN ~ LMLN

E) LNLK~ LMJN

A) a=4cm'b=10cm'c=7cm, ,B) a=5cm'b=9cm'c=9cm, ,C) a = 6 cm . b = 8 cm ' c = 11cm, ,O) a=7cm;b=7cm;c=13cm

E) a=8cm'b=6cm'c=15cm, ,

16. En la figura se cumple que LLKN ~ LJKN- -y JK~ LK, entonces:

89


CONCEPTO O

PROPIEDAD

FIGURA CONCEPTO OPROPIEDAD

FIGURA

5.1 MEDIANA

Segmento que se obtiene al

unir los puntos medios de

dos lados de un triángulo.

A R B

5.5 BlSECTRIZ

Es el segmento que divid~a un ángulo interior de untriángulo en dos ánguloscongruentes.

e

B

P, Q, R : puntos mediosAQ, BR, CP : bisectrices

PQ, PR, QR : medianas

e

QL

R

P

El INCENTRO es el centro de la circunferencia

que es tangente a los treslados del triángulo llamada CIRCUNFERENCIAINSCRITA.

5.6 PROPIEDAD DELAS BISECTRICESLas bisectrices de los án

gulos interiores de untriángulo se intersectan enun punto llamadoIN CENTRO que equidista de los tres lados del

triángulo.

5.7 TRANSVERSALDE GRAVEDADEs el segmento queresulta al unir un vértice

con el punto medio dellado opuesto.

H

F L R M G

P, Q, R : puntos medios

G

LC:::l/ ~F N H

LM // FH . LM = lli, 2

NM // FG . NM = FG, 2

LN // GH ; LN = G2Hll.FNL := ll.LMG := ll.NHM := ll.MLN

5.2 PROPIEDADES DE LAS

MEDIANAS

a) Cada mediana es paralela

al tercer lado del triángulo ytiene la mitad de su medida.

b) Al dibujar las tres

medianas en un triángulo

dado, se forman cuatro

triángulos que son

congruentes.

5.3 SIMETRAL

Es el segmento perpendicu

lar en el punto medio de un

lado del triángulo.

PM, QL, RN : simetrales M, N, L : puntos medios

PM,QN,RL:transversales de gravedad

5.4 PROPIEDAD DE LAS

SIMETRALES.

Las tres simetrales de un

triángulo se intersectan en

un punto llamado

CIRCUNCENTRO que equidista de los tres vértices del

triángulo.El circuncentro es el centro

de la circunferencia circuns

crita.

e :circuncentro

HC=GC =FC

5.8 PROPIEDAD DELAS TRANSVERSALESDEGRAVEDADLas transversales de

gravedad de un triángulose intersectan en un punto I P

llamado BARICENTRO o CENTRO DEGRAVEDAD.

L

MG:PG= 1.2

NG:QG= 1:2LG:RG= 1:2

Q

104

12. Calcular a si éLECD = 138° YAB = BC.

E

B

C

R

A D

15. En el llABC, rectángulo en C, CD es

altura y EB bisectriz. Si éLABE = 12°,

calcular éLCFB y éLEAD.

e

~

14. El llPQR es isósceles y cada ángulo basalmide 64°. Calcular las medidas de los

ángulos formados por hp y hQ'

Q

16. En~ llABC , éLCAB = 46°, éLACB = 64°; AD

Y BE son alturas, M punto medio de AB.

Calcular las medidas de los ángulosinteriores del llEDM.

D

Rsp

A

9. En la figura, PTy QS son bisectrices.

Si a = 78°, calcular éLQIT.

Q

11. Trazar las simetrales de un triángulo

rectángulo y dibujar la circunferencia

circunscrita. ¿Qué conclusión se puedeobtener?

10. Dibujar un triángulo obtusángulo, sus

simetrales y encontrar el circuncentro.Formular una conclusión.

13. Si DC // EG // AB, calcular el valor de la

expresión FG - FE~ E Y G son puntosmedios y F dimidia aAC.

A M B

A 24

G

B

17. Si D es circuncentro y los segmentos

interiores del triángulo son simetrales,

hallarx, y, z.

A C

107

14. Si en el L'1EFG,rectángulo en F, EG = 2FG,

luego iLEGH =?

18. El MBC es rectángulo en C. ¿Cuál es la

medida del iLAOC si O es punto medio?

F G H- -15. En la figura, BC = AC ; BO y CE son

bisectrices. Si iLBOC = 123°, la diferencia

entre iLBAC y iLBCAresulta:

A) 100°

B) 120°

C) 135°

O) 150°

E) faltan datos

EA) 2a

B) 90°+ aC) 2~

O) 90°+ ~

E) a+~

A O

C

B

19. Si H es ortocentro, entonces iLLHN =A) 41° B

B)

8°

C) 66°O) 33°E) 49° /\~

A

O C

A) 50°

B) 80°

C) 40°

O) 30°

E) 20°

17. El L'1PQR es rectángulo en Q. QS es

simetral de PT,entonces a =?

N

T

A) 72°

B) 24°

C) 36°

O) 84°

E) 42° R

L

20. E es el centro de la circunferencia ex

inscrita del L'1RST.La medida del ángulo ~es:

R

e

TS

N

Q

~P

A

A) 2

B) 2,5

C) 3

O) 3,5

E) 4

A) 58°

B) 29°

C) 42°

O) 52°

E) 26°

16. Si L, M YN son puntos medios:

LN = 2x + 1 ; AN = 3x -1 y NC = y + 2, el

valor de 3x - y resulta:

B

111


5) Ángulos interiores

"'-OAB, "'-ABC, "'-BCOy",-AOC

B

C

a BtUC

A

FIGURA

C

Fórmula de Herón

áMBC = ';s(s - a)(s - b)(s - e) ,

J a;cA a B

áoABCO = a·h

poABCO = 2·(a + b)

R

¿¿j"P C O

~ áMBC AB~ MPOR= POA B

C F~LA b B D b E

L1"G b H

áMBC = MDEF = MGHI = b·h2

áOABCO = a·h

pOABCO = 4·a

CONCEPTO O

PROPIEDAD

áMBC= ~= ~ - e·he I A2 2 --2-p.MBC = a + b + e

6.6 ROMBO

Tiene sus cuatro lados

congruentes y sus ángulosinteriores no son rectos.

6.7 ROMBOIDE

Sus lados opuestos son

iguales, sus lados

contiguos distintos y sus

ángulos interiores no sonrectos.

6.9 CUATRO TEOREMAS

RELACIONADOS

CON ÁREAS DE

TRIÁNGULOS.

a) Si dos o más triángulostienen la misma medida de

sus bases y de sus alturas,

entonces tienen igualessus áreas.

6.8TEOREM.ADELÁREA I S = a + b + cDEL TRIANGULO. 2

Es igual al semi-productoentre las medidas de la

base y la altura.

b) Si dos triángulos

tienen la misma altura,entonces la razóll entre

sus áreas es igual a larazón entre sus bases.

B

C

}B

B

C

7

B

a

a

a

FIGURA

o

AB // OC

AO // BC

a

o

blA

o

L

A

CONCEPTO O

PROPIEDAD

6.1 CUADRILÁTERO.

Es la figura geométrica

formada por la unión de

cuatro segmentos de tal

modo que solamente seintersectan en sus

extremos.

6.3 PARALELOGRAMO

Es un cuadrilátero en el

cual los lados opuestos

son paralelos.Se simboliza con #

Paralelogramo ABCO; I Aseescribe#ABCO

6.4 CUADRADO

Tiene sus cuatro lados

congruentes y sus ángulosinteriores rectos.

6.2 ELEMENTOS DE UN

CUADRILÁTERO- --1) Lados: AB, BC, CO,

AO.

2) Vértices: A, B, C yO.

3) Oiagonales:ACyBO.

4) Ángulos exteriores:

ex', ~', y'y8'.

áoABCO = a2

prnBCO = 4a

6.5 RECTÁNGULO

SUS lados opuestos son

congruentes, sus lados

contiglJos distintos y sus

ángulos interiores sonrectos.

áoABCO = a·b

pdBCO = 2·(a + b)

135

20. En el romboideABCD; E es punto medio de

AB; F eskunto medio de CD y G puntomediodeDF.

Si AB = 10 cm y h = 6 cm, calcular el áreasombreada.

16. Según datos, calcular el área y la longitud

de la mediana del trapecio PQRS.

R

~S

17. Demostrar que si se unen los puntos

medios de los lados de un trapezoide,

resulta un paralelógramo.

D G F C

N A E B

18. Calcular área y perímetro del trapecio

ABCD si los triángulos AED~EC y BCEson equiláteros y la mediana MN mide 9cm.

BA

23. El cuadrilátero ABCD es un cuadrado. E es

el punto de intersección de las diagonales;

si el área de la parte sombreada es igual a

12 cm2, calcular el perímetro del cuadrado.

22. El perímetro del romboide ABCD es de 40cm. Calcular las medidas de los lados si

AB=4x y BC=3x-1.D C

21. Si los lados de un triángulo miden 7,11 Y 15

centímetros respectivamente, usando lafórmula de Herón, calcular su área.

B

N

M

C

E

D

M

L

A

19. Calcular área sombreada si:

hG:h,=1:3 y ái1FHI=18cm2

I

F H A

e

B

140

7. El área de un triángulo es 2 cm2 Si la altura

es la cuarta parte de la base, entonces laaltura mide:

10. La suma de las bases de un trapecio es

igual al doble de la altura. Si el área del

trapecio es 49 cm2,entonces su altura es:

Q

C

B

R

S

D

A

A) 4p

B) 5p

C) 6p

D) 7p

E) 8p

A) 56cm2SI 35cm2I

C) 28cm2

D) 22cm2

E) 14cm2

A) Se mantiene igual

B) Se duplica

C) Se triplica

D) Se cuadruplica

E) Aumenta en cuatro unidades

13. Si el perímetro de un triángulo equilátero se

duplica, entonces su área:

12. El área sombreada vale p2, entonces el

perímetro del cuadrado es:

P, Q, R Y S son puntos medios

11. En un rombo sus diagonales miden 8 cm y

14 cm respectivamente. Al unir los puntosmedios de los lados se forma un

cuadrilátero cuya área es:

14. El área del romboide resulta:

A) 24~cm2

B) 24cm2 8 cm

C) 12cm2 ~ ~D) 12~cm2 45° cm

E) 9,f2 cm2

R

BM

T

S

A

A) 42 cm

B) 30 cm

C) 195 cm

D) 84 cm

E) 28 cm

A) 50%

B) 25%

C) 33%

D) 60%

E) 12,5%

9. El perímetro del LiSRT es:

A) 49 cm

B) 14 cm

C) 7 cm

D) 21 cm

E) Otro valor

A)4 cm

B) 0,25 cm

C) 2 cm

D)0,5 cm

E) 1cm

8. Si M es el punto medio de AB; ¿qué

porcentaje es el área del MME con

respecto al área del romboABCD?

D C E

144

( 7.16RESUME;DE~P¡';-O 7 J

CONCEPTO O

PROPIEDAD

7.10 ÁNGULO DELCENTROSe establece una relación

de medida angular entre el

ángulo del centro y el arco

que subtiende, haciéndole

corresponder a este último

la medida del ángulo en

grados.

FIGURA

Á8 = mL'LAOB

CONCEPTO O

PROPIEDAD

7.12 ÁNGULO SEMI-INSCRITO

Es el ángulo que tiene suvértice en la

circunferencia, uno de sus

lados es un segmento o

rayo tangente y el otro lado

es una cuerda o rayosecante.

FIGURA

A

7.11 ÁNGULO INSCRITO

Corresponde al ángulo quetiene su vértice en la

circunferencia y sus ladosson cuerdas.

Propiedad del ánguloinscrito: La medida del

ángulo inscrito es igual a la

mitad del arco quesubtiende.

Los ángulos inscritos que

subtienden el mismo arco,

son congruentes.

B

r-..

L'LABC = AC2

B

E

Propiedad del ángulosemi·inscrito

La medida del ángulo

semi-inscrito es igual a lamitad del arco com

prendido entre los lados

del ángulo.

7.13 ÁNGULO INTE·RIOR

Corresponde al ángulo

que tiene su vértice en elinterior de la circunferencia

y sus lados se encuentran

contenidos en cuerdas quese intersectan en dicho

vértice.

L'LBAC = BA2

A

Todo ángulo inscrito en unasemicircunferencia es

recto.

L'LABC = L'LADC = 90°

174

L'LACB = L'LADB = L'LAEB

B

Propiedad del ángulointerior

La medida de un ángulo

interior es igual a lasemisuma de las medidas

de los arcos comprendidos

entre los lados del ángulo y

sus prolongaciones.

L'LABC = AC + DE2

31. Si a = 38°, ~ = 94 0, calcular las medidas de------ ------

AByCD.

------- -------

34. a = 38°, AG = 154°, CE = 60°. CalcularmLOBO'.

Eo

B

32. Calcular mLRPS según datos de la figura

si mLQSR = 2,9xmLPSQ.

Q

P

------

33. RS=120°,OS=4cm.

Calcular la medida del segmento tangentesr

sT

-------

35. AB = 11x + 7 ; BC = 23x + 5; AD = 6x ;-------

CD = 13x -23;. Calcular el valor de a.

A

B

C

36. Si a:~ = 5:13, calcular a y ~ si elcuadrilátero KLMN está inscrito en la

circunferencia.

L

N

M

181

M

C

A) 140°

S) 120°

C) 70°

O) 60°

E) 190°

S

A) 2

S) 3

C)4O) 5

E) 6

22. PQ, SQ y RQ son tangentes a las

circunferencias de centros O y O'; entonces

es(son) verdadera(s):

1. OQ = O'Q

11. PQ = RQ

111. LPQS ~ LSQR

A) Sólo I

S) Sólo 11

C) Sólo 111 Q

O) 1,11 Y 111

E) 11 Y 111

L T

24. mLASC=110°,mLAOD=80°.El valor de CD es:

23. La circunferencia es tangente al ~KLM en los

puntos R, S YT.

Si RK= 3, KM = 12y LM = 14, entonces RL=?

K

O

R

A) 20°

S) 30°C) 40°

O) 60°

E) 80°

A

A) 7

S) 10C) 11

O) 12

E) 15

A) R - rS) R + r

C) ~R2+ r2O) R + r-ff

E) 2~ L

/'-20. CD = 190: Y mLDFC = 4·mLSAD,

entonces SE = ?

19. En la figura, las circunferencias son

tangentes entre sí. Si AS = 10, AC = 14

Y SC = 18, entonces el radio de lacircunferencia con centro S es:

21. Las circunferencias de centros O y O' son

tangentes de radios R y r. La tangente

común LM mide:

186

13. Si el cuadrilátero EFGH es un cuadrado de

lado 12 cm. Calcular área y perímetro de la

figura sombreada.

16. Calcular el área sombreada sabiendo que

SR y PO son diámetros.

F

E

G

H

S

P R

14. Si el cuadrilátero PORS es un cuadrado de

lado 20 cm, T punto medio, calcular el áreasombreada.

17. CuadriláteroABCD es un cuadrado de lado

8 cm. Calcular el área sombreada.

P

S T

o

R

A

D

B

C

15. El radio OA mide 5 cm. Calcular área y

perímetro del sector circular sombreado.

18. Cuadrilátero EFGH es un cuadrado de lado

12cm. Calcular el área achurada.

A

B

E

H

F

G

203

23. La figura sombreada está formada por tressemicircunferencias de diámetrosAB, BC

y AC. Si AB = 6 cm, BC = 4 cm, su área es;

26. El cuadrilátero PQRS es un cuadrado de

lado 6 cm. K, L, M YN son puntos medios.

El perímetro de la región sombreada es:

QLP

2

A) 20n cm2

B) 1On cm2

C) 12ncm2

D) 14ncm2

E) 16n cm

o A B e

A) 6ncm SB) 3n cm

C) n cm

D) 4ncm

E) 8ncm K ~""~""""""""""~""~~ M

A) 32-8n

B) 64-8n

C) 32(1-n) C

D) 32-n

E) 4(16-n)

A D B

28. Si OA = AB = BC = 2 cm, entonces alcalcularel área achurada se obtiene:

27. El ,1ABC es rectángulo ísósceles, AB =

8-)2,15 es punto medio, los puntosA y B soncentros de los arcos de circunferencia. El

áreasombreada, en cm2, es:

C

B

~

0\

"-

>'./-------

A

2

A) nr 32B) nr 42C) nr 5

2

D) nr6

A

A) su área se duplica

B) su área se cuadruplica

C) su área aumenta seis veces

D) el perímetro se cuadruplica

E) el perímetro aumenta 50%

2

A) 20n cm2

B) 10n cm2

C) 18n cm2

D) 15n cm2

E) 12n cm

24. Si mLLAOB = 60°, entonces el área no

sombreada, en función del radio, resulta:

2

E) nr2

25. Si el radio de una circunferencia se duplica,entonces:

211

6. En el ~LMN; NQ = 12; LQ = 5 Y QM = 9.

Calcular LN, MN Y el radio de lacircunferencia circunscrita.

9. Si en la figura, QR = 13; PR = 20; PQ = 21.Calcularr.

7. En el trapecio isósceles PQRS.PS =SR=RQ=20cm.

Si iLSPQ = iLRQP = 60°, calcular la longitud

de la base mayor, la altura y la diagonal del

trapecio.

MP

N

L

10. El ~LMN es un equilátero de lado 20 cm.CalcularQR.

Q

RS

P

8. En la figura, AB = 12; AC = 15 Y r = 10.Calcular BC.

11. Si las áreas de dos triángulos semejantes

son 64 cm2 y 25 cm2, calcular la longitud de

uno de los lados del triángulo de menor área

si el correspondiente del triángulo de mayorárea mide 16 cm.

247

7. Si EG//DH YEI//FH, entonces: 10. Dos triángulos son semejantes si tienen:

1. FG· DI = IH· GH

11. DI·IH=FG·GH

111. DEFG ~ DDEI

Es(son) verdadera(s):F

1. Dos lados proporcionales y un

ángulo congruente.

11. Los tres lados proporcionales.

111. Sus tres ángulos congruentes.

G

x G

M 'x+3 N

x+7

D

L

A) 6

B) 21C) 7,5D) 11,5

E) 13,5

Siempre es(son) verdadera(s):

A) sólo I

B) sólo Iy 1I1

C)sólo 1y 11

D)sólo 11y I1I

E) 1,11Y 111

11. En el LiDEG, DF Y EH son bisectrices,

EF =4, DE = 10y DG = 15.El valorde DH + FG resulta:

E F~ .

12. Si EL// FM // GN luego FM =?

A) 3

B) 6

C) 10

D) 15

E) Faltan datos

EtX+2 F

C

R3cm

F

P

Q

B

7cm

A) sólo I

B) sólo 11

C)sólo 111

D)sólo Iy 1II

E) Las tres.

o I H- -8. El LiPQR es rectángulo en Q; QS -1 PR,

entonces ~~ = ?

A) "23

B) 17

C)~49

D)499

E)'J'58

9. En el LiABC; DE // BC, EF // AB, FG // AC,

AD = 4, AE = 8, EC = 12 Y FC = 9, luego

DG=? A'\

A)6

B)2

C)4

D)3

E) Otro valor

251

19. En el i1AOC, rectángulo en O, EB esbisectriz del fLAEC; EC bisectriz delfLBEO.

Si AB = 21; EO = 20 YAE = 24, entoncesEB=?

22. En la circunferencia de centro O, AB es

diámetro, AC y BC son cuerdas.

En el MBC, BC = 16cm, BO = 12,8 cm, al

calcular el perímetro de la circunferenciaresulta:

A) 35

B)15

C)20 O

Ol25,2/NE)40

A B C

20. De acuerdo a los datos de la figura, la

longitud de SR es:

A) 10n cm

B)15ncm

C)20ncm

O)25n cm

E) 30n cm

A B

BA)4~

B) 4~3

C) 8~

O) 8-v'3'3

E) 5--13'

23. En un triángulo ABC rectángulo en C, el

cateto mayor mide el doble del menor y la

hipotenusa mide 10 cm.

La proyección del cateto mayor en la

hipotenusa mide:

A) 2cm

B) 4cm

C) 6cm

O) 10cm

E) 8cm

24. El triánguloABC es equilátero de lado 8 cm

y está inscrito en la circunferencia decentro O.

El radio de la circunferencia mide:

R

S

o x R

S

O

4

x+1

P

A)33

B)27

C)28

D)21

E)30

A) 5

B) 6

C) 9

O) 5-v3

E)3~

P

21. En el i1PO~ la Jiiferencia entre las

medidas de SR y PS resulta uno (1).Si OS es bisectriz del fLROP, PO = 10,

OR = 12, entonces el perímetro del ~PORes:

253

( 10.A EJERCICIOS PROPUESTOS J

1. Calcular la longitud de la tangente CD si el

radio mide 16 cm, BC = 4 cm y O es elcentro de la circunferencia.

4. En la circunferencia de centro O,~ radiomide 6,5; BD = 3 cm, BC = 1 cm yACes un

diámetro. Calcular la longitud de BE.

D

R

N

DA

E

5. SiPR=18cm;SR=9cmyQR=6cm.CalcularTS.

6. Si KN = 8 crl2.] LM = 12, calcular MNsabiendo que KN es tangente.

7. Calcular el valor de x sabiendo que:

AB=3x; DB=7x-2; BE=x; BC=2x.

Q

C

F

D

B

OA

C

H

3. En cada caso; calcular la potencia del

punto Q con respecto a la circunferencia decentro O.

a) QB=5 ; QA=20

b) OC = 4 ; QD = 6

c) AB=3 ; BQ=8

d) QC = 20 ; QD = 4

A

2. En cada caso, determinar la potencia del

punto P con respecto a la circunferencia decentro O.

a) PF = 4 ; PH = 12

b) PG=3 ; EG=18

c) FH = 20 ; PF = 5

d) EP = 12 ; PG = 6

E

265

( 10. B EJERCICIOS DE SELECCION J

1. En la figura, AE = 25; CE = 2·EO; EB = 8,entonces CE = ?

4. En la figura PQ = 17; QR = 15 YTS = 28

¿cuánto mide SR?

A) 5

B) 20,5

C)25

O) 16,4

E)20

O

A) 18

B) 24

C) 15

O) 10

E) 12R

2. CalcularAB si BC= 12; EO = 25 YOC = 15

A) 28

B)38

C) 7,2

0)50E) 31 ,25

C

E

5. Si AB es un diámetro y CO una cuerda,

AO = 8; OB = 2·EB, entonces la relacióncorrecta es:

A) DE· EC=32

B) DE + EC= 16

C)OE=EC

O)OE· EC=48

E) OE=3· EC

C

F

H

A)10

B)18

C)20

O) 4

E)96

6. EF es tangente de longitud 12; FG = 8,la medida de FH es:

AB

O

3. AB tangente y AO secante.

SiAB = 6yAO =3 ·AC, entonces CO =?

A)6

B) 2..J3

C) 18

0)4..J3

E)9

269

11. Calcular la apotema del triángulo

equilátero inscrito en la circunferencia si sualtura mide 9~ cm.

R

LM = In

17. Calcular el área comprendida entre el

hexágono regular y circunferencia de radio12cm.

L

16. Calcular el área y el perímetro de un

hexágono regular que se encuentra

inscrito en una circunferencia de perímetro16n cm.

15. Demostrar que para un polígono regularden lados inscrito en una circunferencia, la

apotema en función del radio y del lado

corresponde a la expresión:

CF

10. Calcular el área sombreada si el hexágono

regular está inscrito en la circunferencia deradio 10cm.

E

18. Calcular el área de la circunferencia

circunscrita a un octógono regular cuya

área es 36 cm 2 si 18 = n/2 - -12 .'

12. Si r = 10 cm y el cuadrado ABCD está

inscrito y circunscrito en las circunferencias

concéntricas, calcular el área comprendidaentre ellas. w

R S

T

13. Una circunferencia tiene 81n cm2 de área.

Calcular el perímetro del hexágono inscritoenella.

19. Calcular cuanto suman las medidas de los

ángulos interiores de un pentadecágono.

14. Cada ángulo interior de un polígono

regular mide 1500• Determinar cual es el

polígono.

20. ¿Cuánto resulta al sumar las medidas de

todos los ángulos exteriores de un

endecágono?

288

B

18. Si la suma de los ángulos interiores de un

polígono es 1.620°, entonces el polígonotiene:

A) 81ados

B) 91ados

C) 10 lados

O) 11 lados

E) 121ados

17. Enlafigura,amide:

A) 160°

B)200°

C) 150°

0)170°

E) 120°

E

o

21. Si la medida de cada ángulo interior de un

polígono regular mide x grados, entonces

el número de lados del polígono es:

180 + xA) 360

180 - xB) 360

180C) 360 - x

360O) 180 + x

360E) 180 - x

22. El perímetro de un polígono regular es

48 cm. ¿Cuál es el área de la región

poligonal correspondiente si la apotemamide6cm?

19. En un pentágono regular de 6 cm de lado,

se cumple que:

CF

A) 150-../3

B) 75-../3

C) 100-../3

O) 50-../3

Ej 125-Y3

2

A) 144 cm2

B) 288cm2

C) 72cm2

O) 96cm2

E) 192cm

23. Si el radio de la circunferencia circunscrita

al hexágono regular mide 10 cm, el área2

achurada, en cm , resulta:

R

S

T

A) cuadrilátero

B) pentágono

C)hexágono

O) heptágono

E) octógono

20. Un ángulo exterior de un polígono regular

mide 72°, entonces el polígono sedenomina:

291


1. El diámetro de una esfera es 12 cm. Calcu

lar su volumen.

2. ¿Cuánto mide la diagonal de una cara deun cubo si su área total es 150 cm2?

3. La arista basal de una pirámide de base

cuadrada es 8 cm y la altura 6 cm. Calcularsu área total.

4. El volumen de un cilindro de revolución es

de 144n y el diámetro de la base 12.

¿Cuánto resulta su área total?

... ········12 cm

S. Calcular el área total de un cono de

revolución sabiendo que su radio basal es

5 cm y su altura 12 cm.

6. ¿En qué razón están las áreas laterales

de dos cilindros rectos de igual altura y

cuyo radio basal de uno de ellos es eldoble del otro?

7. Determinar el área de una esfera

circunscrita a un cubo de arista 8-Y3 cm.

8. Calcular la medida de la generatriz de un

cono recto si el radio basal mide 9 cm yla altura 12 cm.

328

9. ¿Cuál es el área lateral de un tronco de co

no recto si sus radios basa les miden 5 y 4

cm y la generatriz 6 cm?

13. De acuerdo a los datos de la figura, el áreatotal del cilindro recto es:

4cm

: 6 cm.---'.---

A) 80rc cm2

B) 40rc cm2

C) 20rc cm2

D) 48rc cm2

E) 32rc cm2

4 cmA) 44rccm2

B) 15rccm2

C) 50rc cm2

D) 120rc cm2

E) 54rccm2

10. ¿Que relación existe entre la arista de un

cubo inscrito en una esfera y el diámetro dedicha esfera?

A) d = av13

B) a = d-€C) d = a--.f2

D) a = d-€E) d = 2a

14. Un recipiente para líquidos tiene forma

cónica con una altura de 12 cm y un radio

de 6 cm. ¿Cuál es aproximadamente su

capacidad?

A) un cuarto de litro

B) medio litro

C) tres cuartos de litro

D) un litro

E) dos litros

11. Una esfera de radio 3cm tiene un volumen

de:15. Si el área de la base de una pirámide es

16 cm2 y su altura 6 cm, entonces:

A) 27rccm3

B) 36rc cm3

C) 108rccm3

D) 9rc cm3

E) 54rc cm3

A) su base es un cuadrado

B) su área total es 96 cm2

C) su volumen es 32 cm3

D) el área de una de sus caras es 18\"3 cm2

E) su volumen es 96 cm3

12. El volumen de un tronco de cono recto es

7rc cm3, Si los radios basales miden 1 y 2

cm respectivamente, entonces su alturamide:

1 cm

16. Un tronco de pirámide tiene por bases

cuadrados de 3 y 4 cm por lado

respectivamente. Si su área total es de 67

cm2, entonces su apotema mide:

A) 1 cm

B) 2cm

C) 3cm

D) 4cm

E) 5cm

A) 2 cmB) 1 cm

C) 5 cm

D) 4 cm

E) 3 cm

331

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