Tema 2. Concepto de Tensin

1.1 Esfuerzos internos: Como se vea en el anterior tema, al someter a un slido a acciones externas (fuerzas y

momentos) se generan dentro del mismo una serie de esfuerzos internos. En la siguiente

figura se muestra un slido sometido a n fuerzas puntuales. Si se seccionase ese cuerpo por la

seccin A se pondran de manifiesto las fuerzas internas que actan entre las distintas partes

del material.

La suma de esas fuerzas y momentos dara lugar a dos resultantes R y MG. Si se descompone

ese sistema de fuerzas resultantes, llevndolas a un sistema de referencia cartesiano con

origen en el centro de gravedad de la seccin (y respetando la equivalencia esttica) se tendra

la siguiente clasificacin de esfuerzos internos:

R Eje X N, esfuerzo normal

x

z

y

x

z

y

VzMz

Eje Y Vy, esfuerzo cortante

Eje Z Vz, esfuerzo cortante

MG Eje X Mx, momento torsor

Eje y My, momento flector

Eje z Mz, momento flector

1.2 Concepto de Tensin:

Lo visto anteriormente aporta informacin de lo que ocurre en la seccin A de nuestro slido a

nivel macrogeomtrico, pero es necesario tener en cuenta que el efecto de las resultantes R y

MG se repartir en todo el material que compone la seccin A. De manera que si se estudiase

una pequea porcin de esa seccin (A) localizada en torno a un punto concreto (B)

podramos hablar de la fuerza que afecta a esa porcin ( ). Es necesario puntualizar que la

direccin de esa fuerza no tiene por qu ser perpendicular al plano por el que se ha seccionado

el slido.

Si se dividiese el mdulo de entre A se tendra lo que denominaremos tensin media en la

zona A:

[N/m2, Pa]

Pues bien, si se quisiese estudiar un rea infinitesimal perteneciente a A, tendramos lo que en

adelante denominaremos tensin en el punto B de la seccin A, a la que denominaremos .

B

Llegados a este punto, conviene aclarar de nuevo que la direccin de la tensin en el punto B

que observamos al seccionar el slido de esta manera no tiene por qu ser normal a la seccin

A.

Como se puede ver en la siguiente figura, el vector de tensin se puede descomponer en la

componente normal a la seccin A (direccin definida por el vector director n) y las

componentes contenidas en el plano de la seccin A.

La letra empleada para la componente normal de la tensin es , mientras que para las

componentes contenidas en la seccin A, llamadas tensiones tangenciales se emplear la letra

.

Ejemplo sencillo: elemento sometido a esfuerzo axial:

En el caso de tener un elemento de seccin constante, sometido a dos fuerzas externas P en

los extremos, siendo las direcciones de esas fuerzas paralelas al eje de la pieza, como se

muestra a continuacin:

Si cortsemos el slido segn la seccin mn, tendramos un nico esfuerzo interno

concretamente un esfuerzo normal, N, de valor igual a P. Ese esfuerzo tendra sentido saliente.

Pues bien, suponiendo que ese esfuerzo se reparte de forma uniforme en la seccin de la pieza

en cada punto de la seccin considerada tendramos una tensin normal (que designaremos

por lo tanto con la letra ) de valor:

[Pa]

La condicin de que el esfuerzo interno N=P se encuentre repartida uniformemente en la

seccin se cumplir siempre que el punto de aplicacin de las fuerzas axiales externas estn

aplicadas en el centro de gravedad de la seccin.

En el caso de ese ejemplo sencillo, las componentes del vector contenidas en el plano de la

seccin sern iguales a cero, por lo que se puede afirmar que en ese plano de corte no

aparecern tensiones cortantes ().

1.3 Campo de tensiones:

Hasta hora se ha explicado cmo, en una seccin de un slido sometido a un sistema de

fuerzas externas aparecern una serie de esfuerzos internos, y que en cada punto de esa

seccin se generar un vector de tensin (que si se desea se podr descomponer en sus

componentes normales y tangenciales al plano de la seccin considerada).

Si volvemos al ejemplo sencillo de la barra sometida a esfuerzos axiales, pero en esta ocasin

optamos por seccionar el slido con un plano inclinado 45 respecto al eje, observaramos

cmo sobre este plano aparecern tanto una tensin normal, 45, como una tangencial 45.

Recordemos que en el anterior ejemplo se cortaba la pieza mediante un plano normal al eje y

que slo se observaba una tensin normal de valor

.

Esta comparacin pone de manifiesto, que en un mismo punto de un slido, se observan

tensiones diferentes si el plano de corte elegido para estudiar el punto vara. Es decir, al

estudiar el estado tensional de un punto, al girar el elemento estudiado, las tensiones que se

obtienen en sus caras varan. Esto no quiere decir que el estado tensional de ese punto vare,

ya que este estado tensional es nico. Las tensiones no son vectores, sino tensores. De modo

que las tensiones que se generarn en un slido dependern del punto que se est analizando

y de la orientacin de los planos en los que se calculen las tensiones.

Sera interesante conocer cmo se relacionan las tensiones de un punto observadas en

distintos planos en torno al mismo. Como punto de partida se tiene la siguiente representacin

de tensiones en un octaedro (cubo) de dimensiones infinitesimales en torno a un punto de

un cuerpo. Las caras de este octaedro estn orientadas de acuerdo a un sistema de referencia

cartesiano XYZ. En cada una de esas caras (o planos) podrn existir tanto tensiones normales

como tensiones tangenciales o cortantes. Las tensiones normales se denotarn con la letra a

la que se le aadir el subndice del plano correspondiente. Esto da lugar a las tensiones x, y

y z. Para la designacin de las tensiones tangenciales, se emplear la letra , con dos

subndices, el primero de ellos designar el plano en el que dicha tensin est contenida y el

segundo subndice se referir a la direccin de esa tensin tangencial. De ese modo tendremos

las siguientes combinaciones: xy, xz, yx, yz, zx y zy.

Se puede demostrar, a partir de las condiciones de equilibrio del octaedro mostrado, que las

tensiones tangenciales son iguales dos a dos:

Esta es la expresin analtica del teorema de Cauchy, cuyo enunciado es: En dos planos

perpendiculares entre s, las componentes perpendiculares a la arista comn de las tensiones

tangenciales que actan sobre dichos planos son de igual magnitud y concurren o se alejan de

la arista..

Nuestro objetivo es relacionar las tensiones en distintos planos o direcciones. En la figura

anterior se muestra un plano inclinado definido por su vector normal exterior y por el

vector unitario . En ese plano tendremos un vector de tensin . Pues bien si se plantea el

equilibrio del volumen encerrado por los cuatro tringulos que se ven en el dibujo, se llegara a

las siguientes relaciones entre tensiones:

Siendo:

y

:

Este sistema de ecuaciones tambin se puede escribir de forma matricial:

A la matriz T se le conoce como Tensor de tensiones. Esta relacin permite, conocidos los

componentes de un estado tensional determinado, definido respecto a un sistema XYZ,

determinar el vector de tensin en una superficie cualquiera definida por su vector director

.

Por ltimo, se sealarn las relaciones entre el vector de tensin en un plano determinado ( )

con sus componentes normal y tangencial (se les denomina componentes intrnsecas del

vector tensin). El mdulo de la componente normal de ese vector se puede hallar

proyectando sobre , de la siguiente forma:

Como es obvio, la suma vectorial de ambas componentes debe dar como resultado el vector

resultante:

Mientras que las relaciones entre sus mdulos tienen que ser:

2 = 2 + 2

1.4 Tensiones principales:

Como se ha visto hasta ahora, al estudiar las tensiones generadas en un punto y en un plano

determinado (referido a un sistema de referencia XYZ) se encontrarn vectores de tensin con

una componente normal al plano y otra componente contenida en el plano distintas de cero.

Sin embargo, se puede demostrar que en todo punto existe un sistema de ejes coordenados, a

los cuales denominaremos 1, 2 y 3, respecto a los cuales las componentes cortantes son nulas.

Es decir, en los planos definidos por las direcciones 1, 2 y 3 se observarn exclusivamente

tensiones normales a dichos planos. Dicho de otra manera, en cada punto de un slido se

pueden hallar tres superficies perpendiculares entre s sobre las que actan nicamente

tensiones normales.

En esos casos se cumplir que:

De forma que:

Sustituyendo en la ecuacin matricial mostrada con anterioridad se llegara al siguiente

sistema de ecuaciones:

Y para que este sistema tenga solucin distinta de la trivial se debe de cumplir que:

Esta ltima condicin da lugar al clculo de tres valores de : 1, 2 y 3. Estos tres valore son

los mdulos de las tres tensiones principales, pero de momento no se han hallado sus

direcciones. Esas direcciones se pueden obtener sustituyendo cada uno de los mdulos de las

tensiones principales en el anterior sistema de ecuaciones y hallando los valores de nx, ny y nz.

A los tres planos definidos por las direcciones principales se les denomina, de forma anloga,

planos principales.

1.5 Representacin grfica del Tensor de Tensiones. Crculos de Mohr:

Si tomamos un paraleleppedo elemental correspondiente a un punto de un slido, cuyas caras

son planos principales, cuyas tensiones principales son 1, 2 y 3, supondremos que se corta

ese paraleleppedo con una superficie SD paralela al eje principal (o direccin principal) 3. Este

caso se ilustra en la siguiente figura:

Se formar al cortar el paraleleppedo inicial un prisma triangular como el de la figura de la

derecha. Sobre la superficie SD de ese prisma actuar una tensin que se podr descomponer

en sus dos componentes intrnsecas: la normal y la cortante , contenida en la propia

superficie y paralela a D1D2 (teorema de Cauchy).

La superficie SD queda definida por el ngulo que forma el vector normal, , con el eje 1: 1.

Este ngulo se considerar positivo si es a izquierdas desde el eje 1.

Si se establece el equilibrio de ese prisma, obtendremos las siguientes ecuaciones:

Que teniendo en cuenta las siguientes relaciones trigonomtricas:

Dan lugar a las expresiones que sirven para hacer la interpretacin geomtrica de lo que se

conocen como crculos de Mohr. Antes de pasar a explicar los citados diagramas de crculos es

necesario mencionar que el estado tensional del caso que se est tratando es un estado

tensional plano, ya que todas las tensiones actan sobre planos paralelos al eje 3, o lo que es

lo mismo, todas las tensiones que aparezcan sobre superficies como la analizada (SD) sern

paralelas al plano 1,2 (ver figura).

Como se adelantaba en anteriores prrafos, si se emplean las relaciones trigonomtricas

citadas en las ecuaciones resultantes del equilibrio del prisma estudiado se llega a otras

expresiones:

Que son las ecuaciones paramtricas de la llamada circunferencia de Mohr. Eliminando en las

dos ecuaciones el ngulo 21 resulta:

Se tratara de una circunferencia que en un sistema de ejes coordenados , tendra su centro

a una distancia

del origen y cuyo radio valdra

. Se trata del crculo dibujado en la

siguiente figura:

Segn las ecuaciones:

, existe una

relacin entre las distintas superficies paralelas al eje principal 3, de forma que a la superficie

SD, que tiene un vector normal que forma un ngulo 1 con el eje principal 1, le

corresponde un punto D del crculo de Mohr, definido por el ngulo ACD = 21. La abscisa de

ese punto D determina el valor de la tensin normal D y la ordenada DD la tensin cortante

D.

El crculo de Mohr trazado a partir de los valores de las tensiones principales 1 y 2 permite

analizar todas las tensiones que se darn en aquellos planos paralelos al eje principal 3, que se

correspondern con distintos puntos sobre la propia circunferencia. De igual modo, se podran

trazar otros dos crculos de Mohr partiendo de las tensiones principales 1 y 3, y la pareja de

tensiones principales 2 y 3 y sobre estos dos crculos se representaran las tensiones que

aparecern en aquellos planos paralelos al eje principal 2 y al eje principal 1 respectivamente

(ver figura).

En la siguiente figura se pueden ver los tres crculos de Mohr, trazados de forma que las tres

tensiones principales guarden la siguiente relacin (suele ser lo acostumbrado):

En la figura se puede comprobar cmo la mxima tensin tangencial que aparecer en el caso

del estado tensional del ejemplo se corresponder con el radio del mayor de los tres crculos,

es decir:

1.6 Estados tensionales especiales:

A continuacin se mostrarn varios ejemplos de estados tensionales especiales junto a sus

representaciones mediante los crculos de Mohr:

En los siguientes ejemplos se ilustran distintos estados tensionales caracterizados porque las

tensiones que tenemos en nuestro paraleleppedo elemental van desde tensiones normales o

cortantes solas hasta distintas combinaciones de tensiones normales y cortantes. Se

muestran los crculos de Mohr que se tendran en cada caso as como los planos principales y

otros ejemplos con el paraleleppedo girado 45: