Compensadores adelanto retraso

SISTEMAS DE CONTROL AUTOMÁTICO DACI-EPN

Lectura 1: Diseño de Sistemas de Control mediante la RF 1

Lectura 2: Diseño de Sistemas de Control mediante la

Respuesta de Frecuencia

1 Lecturas recomendadas • Cap. 10, pags. 714-759, Sistemas de Control Automático, KUO Benjamín,

Séptima Edición. • Cap. 9, pags. 612-630, Ingeniería de Control Moderna, OGATA Katsuhiko,

Tercera Edición.

2 Enfoque de la Respuesta de Frecuencia Es importante señalar que, en el diseño de un sistema de control, por lo general lo más importante es el desempeño de la respuesta transitoria. En el enfoque de la respuesta en frecuencia, especificamos el desempeño de la respuesta transitoria en una forma indirecta. Es decir, el desempeño de la respuesta transitoria se especifica en términos del margen de fase, el margen de ganancia y la magnitud del pico de resonancia, que ofrecen una estimación a grandes rasgos del amortiguamiento del sistema, la frecuencia de cruce de ganancia, la frecuencia de resonancia y el ancho de banda, que ofrecen una estimación a grandes rasgos de la velocidad de la respuesta transitoria y las constantes de error estático, que aportan la precisión en estado estable. Aunque la correlación entre la respuesta transitoria y la respuesta en frecuencia es indirecta, las especificaciones en el dominio de la frecuencia se cumplen adecuadamente en el enfoque de las trazas de Bode. Después de diseñar el lazo abierto mediante el método de la respuesta en frecuencia, se determinan los polos y los ceros en lazo cerrado. Deben verificarse las características de la respuesta transitoria para saber si el sistema diseñado satisface los requerimientos en el dominio del tiempo. De no ser así, debe modificarse el compensador y luego repetirse el análisis hasta obtener un resultado satisfactorio. El diseño en el dominio de la frecuencia es sencillo y directo. La gráfica de la respuesta en frecuencia indica en forma clara la manera en la que debe modificarse el sistema, aunque no sea posible hacer una predicción cuantitativa exacta de las características de la respuesta transitoria. Básicamente hay dos enfoques de diseño en el dominio de la frecuencia. Uno es el enfoque de la traza polar y el otro es el enfoque de las trazas de Bode. Cuando se añade un compensador, la traza polar no conserva su forma original, por lo que es necesario dibujar una nueva traza polar, esto toma tiempo y, por tanto, no es conveniente. En cambio, agregar las trazas de Bode del compensador a las trazas de Bode originales es muy simple y, por tanto, graficar las trazas de Bode completas es un asunto sencillo. Asimismo, si varía la ganancia en lazo abierto, la curva de magnitud se mueve hacia arriba o hacía abajo sin que se modifique la pendiente de la curva, y la curva de fase no cambia. Por tanto, para propósitos de diseño, es mejor trabajar con las trazas de Bode. En un procedimiento común de las trazas de Bode, primero se ajusta la ganancia en lazo abierto para cumplir el requerimiento sobre la precisión en estado estable. A continuación se grafican las curvas de magnitud y fase en el lazo abierto sin compensar (con la ganancia en lazo abierto recién ajustada). Si no se satisfacen las especificaciones del margen de fase y del margen de ganancia, se determina un compensador conveniente que vuelva a dar forma a la función de transferencia en lazo abierto.



3 Compensador o Red de Adelanto En una Red de Adelanto: p > z

σ

ωj

oxp

Tα1

T

1

z

entonces: 10 << α ⇒ 1

11

1

++=

+

+=

++=

Ts

TsK

Ts

Ts

Kps

zsKG CCCC α

α

α

donde: α y T se determinan a partir de la deficiencia de ángulo, mientras que CK se determina a partir del requisito de la ganancia en lazo abierto.

El diagrama POLAR del Compensador de Adelanto, viene dado por:

TTj

TjjG

Ts

Ts

G CC

αω

ωω

α11

)(1

1

1+

+=→+

+⋅=

; 10 << α

donde: αωω

=→

)(lim0

jGC

1)(lim =∞→

ωω

jGC

•

α 1)}({ ωjGe Cℜ

)}({ ωjGm Cℑ

mωω=

∞→ω0=ω2

1 α−=radio

2

1 α+

0

Amφ

El ángulo máximo viene dado por: ααφ

+−=

1

1ASen

El valor mínimo de α normalmente se toma alrededor de 0.05, para lo cual el adelanto de fase máximo del Compensador de Adelanto es de 65º.



El diagrama de BODE del Compensador de Adelanto, para 1.0=α , Tz

1= y Tp

α1= ,

viene dado por:

dbC jG )( ωωT

1

T

10T

10

z pmω

][20 db−

][0 db

•

°0

°∠ )( ωjGC

°90

°45

ω

°− 45

•

•

Amφ

1.0=α

donde: mω resulta ser la media geométrica de las frecuencias de esquina: T1

y Tα1

,

por lo que:

αω

αω

TTT mm

11log20

1log20log20 2

1 =⇒

+⋅=

Por otro lado, al añadir el Compensador en Adelanto, éste desplaza la frecuencia de cruce de ganancia hacia la derecha, disminuyendo el margen de fase, por lo que es

necesario adicionar de 5 º a 12 º al ángulo de adelanto de fase Aφ .

°+−= 10originalMdeseadoM FFAφ

donde: °∠+°= )(180 ωjGoriginalM PF se visualiza en el diagrama de BODE.



ααφ

+−=

1

1ASen ⇒

A

A

Sen

Sen

φφα

+−

=1

1

También, la cantidad en la modificación de la curva de magnitud en αω

T

1= , debido

a la inclusión del término 1

1

++

Ts

Ts

α , es:

αα

α

αωα

ω

αω

1

11

11

1

1

1

=+

+=

++

= j

j

Tj

jT

T

⇒

][log101

log20 dbM=−= αα

La nueva frecuencia del corteCω (en el diagrama de BODE) sirve para determinar el valor de T, esto es:

αω

TC

1= ⇒ αωC

T1=

Además:

1

11

1

++=

+

+=

Ts

TsK

Ts

Ts

KG CCC αα

α → α

α 11 =⇒= CC KK

T

TC

j

j

Tj

TjjG

α

ω

ω

ωαωω

1

1

1

1

1

1)(

+

+=

++=

Finalmente, diseñar una Red de Adelanto, usando la Respuesta de Frecuencia, es calcular los valores de α y T , mediante una componente analítica y una componente gráfica. Procedimiento de diseño de redes de adelanto mediante la respuesta de frecuencia

1. Suponga el siguiente compensador de adelanto: ( ) αα CC KK

Ts

TsKsG =→

++=

1

1

2. Determine la ganancia K que satisfaga el requerimiento sobre la constante de error estático solicitado.

3. Con esta ganancia K, trace el diagrama de Bode en lazo abierto y calcule el MF.



4. Determine el ángulo de fase φ necesario a agregar al sistema y calcule α a partir de la ecuación de φm.

5. Establezca la frecuencia a la cual la magnitud del sistema no compensado es igual a

−α

1log20 . Esta será la nueva frecuencia. de cruce de ganancia y corresponde

a T

m αω 1= .

6. Determine las frecuencias de esquina del compensador (1/T y 1/(αT)) y calcule el valor de KC.

7. Verifique el MG para asegurar que sea satisfactorio. Ejemplo de diseño

Gc(s)+-

Y(s)( )1

2

+ss

R(s)

Para este sistema se desea diseñar un compensador de manera que: KV ≥ 20 , MF ≥ 50º y MG ≥ 10dB.

Escogiendo una red de adelanto se tiene: ( ) 10,1

1 <<+

+= αα

αTs

TsKsG cc

Y haciendo que αcKK = , se ajusta el valor de K para cumplir con la especificación del

valor de KV, obteniendo:

( ) ( ) ( ) 102021

2

1

1lim

1

2lim

00=→==

+++=

+=

→→KK

ssTs

TssK

ssssGK

sC

sV α

A continuación se obtiene el Diagrama de Bode en lazo abierto de: ( ) ( )1

20

1

2

+=

+ ssss

K

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

10-2

10-1

100

101

102

-180

-135

-90

System: sysPhase Margin (deg): 12.8Delay Margin (sec): 0.0504At frequency (rad/sec): 4.42Closed Loop Stable? Yes

Pha

se (

deg)

-50

0

50

100

Mag

nitu

de (

dB)

System: sysFrequency (rad/sec): 6.69Magnitude (dB): -7.09



A partir de este diagrama se determina que el MF = 12,8º y el MG = ∞. Como se requiere de un MF de al menos 50º sin alterar el valor de K, la red de adelanto debe contribuir con el ángulo de fase adicional de 42,2º (se han agregado 5º para compensar el cambio en la frecuencia de cruce de ganancia). Entonces de la fórmula de φm se tiene:

( ) ( )( ) 196,0

º2,42sin1

º2,42sin1

1

1º2,42sin =→

+−=→

+−= αα

αα

Por lo que: dB069,7196,0

1log201log20 −=

−=

−α

y como se observa en el

diagrama de magnitud esta ganancia ocurre aproximadamente a la frecuencia de 6,68 rad/s. Esta es la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Entonces de la fórmula de ωm se

obtiene: ( ) 07,151

96.2196,068,61

68,61 ===→==

Ty

Tsrad

Tm αα

ω

Y calculando el valor de KC

92,50196,0

1010 ==→== CC KKK α

Finalmente el compensador diseñado es

( )07,15

96,292,50

++=

s

ssGc

4 Compensador o Red de Atraso Su función principal es proporcionar una atenuación en el rango de las frecuencias altas a fin de aportar un margen de fase suficiente al sistema. Es esencialmente un filtro pasa-bajos.

-150

-100

-50

0

50

100

Mag

nitu

de (

dB)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

10-2

10-1

100

101

102

103

-180

-135

-90

-45

0

45

System: totPhase Margin (deg): 50.7Delay Margin (sec): 0.132At frequency (rad/sec): 6.68Closed Loop Stable? YesP

hase

(de

g)

Sist. sin compensar

Compensador

Sist. compensado



Diagrama de Nyquist

Diagrama de Bode (para β=10 y KC=1)

Procedimiento de diseño de redes de atraso mediante la respuesta de frecuencia

1. Suponga el siguiente compensador de atraso: ( ) ββ CC KK

Ts

TsKsG =→

++=

1

1

2. Determine la ganancia K que satisfaga el requerimiento sobre la constante de error estático solicitado.

3. Con esta ganancia K, trace el diagrama de Bode en lazo abierto y calcule el MF. 4. Si el sistema no compensado no satisface la especificación de MF, encuentre el

punto de frecuencia en el cual el ángulo de fase del sistema en lazo abierto sea igual a -180º más el MF requerido (generalmente se aumentan de 5º a 12º). Esta será la nueva frecuencia de cruce de ganancia.

5. Para evitar los efectos nocivos del atraso de fase, el polo y el cero del compensador deben ubicarse mucho más abajo que la nueva frecuencia de cruce de ganancia (hasta una década por debajo).

6. Determine la atenuación necesaria para bajar la curva de magnitud a 0dB en la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Esta atenuación es de ( )βlog20− .

7. Usando el valor de K y de β se determina el valor de KC. Ejemplo de diseño

Gc(s)+-

Y(s)( )1

2

+ss

R(s)

Para este sistema se desea diseñar un compensador de manera que: KV ≥ 20 , MF ≥ 50º y MG ≥ 10dB.

Escogiendo una red de atraso se tiene: ( ) 1,1

1 >+

+= ββ

βTs

TsKsG cc

Y haciendo que βcKK = , se ajusta el valor de K para cumplir con la especificación del

valor de KV, obteniendo:



( ) ( ) ( ) 102021

2

1

1lim

1

2lim

00=→==

+++=

+=

→→KK

ssTs

TssK

ssssGK

sC

sV β

A continuación se obtiene el Diagrama de Bode en lazo abierto de: ( ) ( )1

20

1

2

+=

+ ssss

K

A partir de este diagrama se determina que el MF = 12,8º y el MG = ∞. Como se requiere de un MF de al menos 50º sin alterar el valor de K. Por esto se determina la frecuencia en la cual el ángulo de fase sea de -120º para obtener un MF de 60º. Del gráfico de fase se observa que esta frecuencia es de 0,571 rad/s. Por lo que 0,571 rad/s será la nueva frecuencia de cruce de ganancia. A esta frecuencia se tiene una magnitud de 29,6dB, entonces el compensador de atraso deberá cumplir que:

( ) 2,30106.29log20 20

6.29

==→−=− ββ dB Como la frecuencia de esquina 1/T debe estar entre una década y una octava por debajo

de la nueva frecuencia de cruce de ganancia se tiene que: 0033,01

1,01 ==

Ty

T β

Y calculando el valor de KC 33,02,30

1010 ==→== CC KKK β

Finalmente el compensador diseñado es ( )0033,0

1,033,0

++=

s

ssGc

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

10-2

10-1

100

101

102

-180

-135

-90

System: sys1Phase Margin (deg): 12.8Delay Margin (sec): 0.0504At frequency (rad/sec): 4.42Closed Loop Stable? Yes

System: sys1Frequency (rad/sec): 0.571

Phase (deg): -120

Pha

se (

deg)

-50

0

50

100

Mag

nitu

de (

dB)

System: sys1Frequency (rad/sec): 0.572

Magnitude (dB): 29.6



5 Comparación de las compensaciones de atraso, de adelanto y de atraso-adelanto.

1. La compensación de adelanto proporciona el resultado deseado mediante su

contribución al adelanto de la fase, en tanto que la compensación de atraso logra el resultado a través de su propiedad de atenuación en frecuencias altas. (En algunos problemas de diseño, la compensación de atraso y la compensación de adelanto pueden satisfacer las especificaciones.)

2. La compensación de adelanto suele usarse para mejorar los márgenes de estabilidad. La compensación de adelanto produce una frecuencia de cruce de ganancia más alta que la que puede obtenerse con la compensación de atraso. La frecuencia de cruce de ganancia más alta significa un mayor ancho de banda. Un ancho de banda grande significa una reducción en el tiempo de asentamiento. El ancho de banda de un sistema con compensación de adelanto siempre es mayor que la de otro con compensación de atraso. Por tanto, si se desea un ancho de banda grande o una respuesta rápida, debe emplearse la compensación de adelanto. Sin embargo, si hay señales de ruido presentes, tal vez no sea conveniente un ancho de banda grande, dado que éste hace al sistema más susceptible a las señales de ruido, debido al incremento en la ganancia de frecuencia alta.

3. La compensación de adelanto requiere de un incremento adicional en la ganancia a fin de compensar la atenuación inherente a la red de adelanto. Esto significa que la compensación de adelanto requiere de una ganancia mayor que la que requiere la compensación de atraso. Una ganancia mayor casi siempre implica un mayor espacio, mayor peso y un costo más alto.

4. La compensación de atraso reduce la ganancia del sistema en las frecuencias más altas sin reducirla en las frecuencias mas bajas. Dado que el ancho de banda del sistema se reduce, éste responde a una velocidad más lenta. Debido a la

-100

-50

0

50

100

150

Mag

nitu

de (

dB)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

-180

-135

-90

-45

0

System: totPhase Margin (deg): 50.4Delay Margin (sec): 1.52At frequency (rad/sec): 0.579Closed Loop Stable? Yes

Pha

se (

deg)

Sist. no compensado

Compensador

Sist. compensado



ganancia reducida en la frecuencia alta, la ganancia total del sistema se incrementa y, por tanto, también se incrementa la ganancia de frecuencia baja y mejora la precisión en estado estable. Asimismo, los ruidos de frecuencia alta implícitos en el sistema se atenúan.

5. Si se desean respuestas rápidas y suficiente precisión estática, se usa un compensador de atraso-adelanto. Éste incrementa la ganancia de frecuencias bajas (lo cual significa un mejoramiento en la precisión en estado estable) y, al mismo tiempo, se incrementa el ancho de banda y los márgenes de estabilidad del sistema.

6. Aunque con los compensadores de adelanto, de atraso o de atraso-adelanto se realiza una mayor cantidad de tareas prácticas de compensación, para los sistemas complicados, una compensación simple mediante estos compensadores tal vez no produzca resultados satisfactorios. En este caso, deben emplearse diferentes compensadores con distintas configuraciones de polos y ceros.

La figura siguiente muestra una curva de respuesta escalón unitario y una curva de respuesta rampa unitaria de un sistema no compensado. Las curvas comunes de respuesta escalón unitario y rampa unitaria para el sistema compensado mediante una red de adelanto, de atraso y de atraso-adelanto se observan en las figuras (b), (c) y (d), respectivamente. El sistema con un compensador de adelanto presenta una respuesta más rápida, en tanto que aquél con un compensdor de atraso presenta la respuesta más lenta, pero con un notable mejoramiento en la respuesta rampa unitaria. El sistema con un compensador de atraso-adelanto logra un equilibrio y un mejoramiento razonable tanto en la respuesta transitoria como en la respuesta en estado estable. Las curvas de respuesta mostradas representan la naturaleza de los mejoramientos que se esperan al usar los distintos tipos de compensadores.

Compensadores adelanto retraso

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