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Tecnología Química

ISSN: 0041-8420

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Universidad de Oriente

Cuba

Díaz García, Armando A.; Rodríguez Tarragó, Héctor

ESTUDIO COMPARATIVO DE LA SOLUCIÓN DEECUACIONES DIFERENCIALES

PARCIALES EN COORDENADAS RECTANGULARES APLICADAS A LA

TRANSFERENCIA DE CALOR UTILIZANDO BALANCES DE CALOR ESTACIONARIOS

Y PSEUDO ESTACIONARIOS

Tecnología Química, vol. XXV, núm. 2, mayo-agosto, 2005, pp. 71-82

Universidad de Oriente

Santiago de Cuba, Cuba

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TECNOLOGÍA QUÍMICA Vol. XXV, No. 2, 2005 71

ESTUDIO COMPARATIVO DE LA SOLUCIÓN DEECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES EN

COORDENADAS RECTANGULARES APLICADAS A LATRANSFERENCIA DE CALOR UTILIZANDO BALANCES DE

CALOR ESTACIONARIOS Y PSEUDO ESTACIONARIOS

Armando A. Díaz García, Héctor Rodríguez TarragóUniversidad de Oriente

En el presente trabajo se hace un estudio de los resultados numéricos obtenidos utilizando modelosestacionarios y seudoestacionarios para determinar perfiles de temperatura en coordenadasrectangulares.Se usa como modelo un paralelepípedo de material homogéneo con propiedades físicas constantessometido a calentamiento por convección natural. El cuerpo se encuentra a una temperaturainicial constante y se sumerge abruptamente en una corriente de un fluido de temperatura mayor.Se obtienen los modelos en ecuaciones en diferencias finitas para describir el comportamiento delperfil de temperatura en el tiempo, y se lleva a cabo un estudio de los resultados numéricosobtenidos con dos cuerpos de propiedades físicas diferentes, concluyendo que en el intervalo denúmero de Fourier estudiado (Fo<0,05) los modelos presentan resultados muy similares para latemperatura de pared y con diferencias cercanas al 5 % para los puntos vecinos a la pared.Palabras clave: transferencia de calor, ecuaciones difernciales parciales..In the present work is made a study of the obtained numeric results using stationaryand seudostationary models to determine profiles of temperature in rectangiular coordinates.It is used like model a parallelepiped of homogeneous material with constant physical propertiessubjected to heating by natural convection. The body is at a constant initial temperature and divesabruptly in a current of a fluid of a greater temperature.The models are obtained in equations in finite differences to describe the behavior of the profileof temperature in the time, and it is carried out a study of the numeric results obtained with twobodies of different physical properties, concluding that in the interval of number of Fourier studied(Fo <0,05), the models present very similar results for the wall temperature and with neardifferences to 5 % for the neighboring points to the wall.Key words: heat transference, partial differential equations.

_____________________

Inroducción

Generalmente, en los trabajos de ingeniería quí-mica se recurre a los balances de energía caloríficapara solucionar toda una gama de problemas carac-terísticos de transferencia de calor. Por lo general,los balances se efectúan suponiendo que no hayvariaciones de las condiciones de transferencia en eltiempo, suposición que simplifica notablemente loscálculos; sin embargo, hay ocasiones en que esindispensable desarrollar balances no estacionarios,y se recurre a la utilización de balances de energíacalorífica pseudo estacionarios para simplificar eltratamiento matemático del problema .

En este trabajo pretendemos estudiar las dife-rencias existentes entre los resultados que seobtienen en la solución de ecuaciones diferencia-les aplicadas a transferencia de calor para unsistema no estacionario cuando se aplican técni-cas de balances pseudoestacionarios.

Fundamentos teóricos

Generalidades

El método numérico más difundido para lasolución de ecuaciones diferenciales parciales esel de sustituir las derivadas por sus equivalentes

TECNOLOGÍA QUÍMICA Vol. XXV, No. 2, 200572

en diferencias finitas; de acuerdo con esto para latransferencia de calor en un cuerpo en coordena-das rectangulares :

(1)

(2)

(3)

De este modo, una ecuación en derivadasparciales se convierte de algebraica cuyas varia-bles es común representarlas, en una red depuntos distribuidos igualmente en el espacio aintervalos . ZyYXt ∆⋅∆⋅∆⋅∆ ,,

Para el caso de la transferencia de calor porconducción en un cuerpo con forma deparalelepípedo, la ecuación diferencial que des-cribe la distribución de temperatura en todos lospuntos interiores del cuerpo sólido puede serobtenida por un balance microscópico de energía

calorífica y viene dada por : ZyYXt ∆⋅∆⋅∆⋅∆ ,,

(4)

.Sustituyendo las ecuaciones (1), (2) y (3) en(4), se obtiene la ecuación discreta expresada endiferencias finitas:

donde Fo es el número de Fourier expresiónadimensional que viene, en este caso, definidopor:

(6)

La ecuación discreta (5) describe la variacióndel perfil de temperatura con el tiempo, y se diceque es explícita porque está restringida su conver-gencia y estabilidad para valores de Fo y n quegaranticen que

De acuerdo con esto,

(7)

Del mismo modo, como el número de Fourierdepende de los incrementos de espacio y tiempo,éstos deben ser tomar valores que satisfagan estacondición:

por lo que :

(8)

Condiciones límitesCuando las temperaturas en la superficie son

conocidas, la ecuación (5) puede ser evaluadafácilmente, pues son conocidos los valores extre-mos de los intervalos de temperatura en todos loscasos; sin embargo, cuando la temperatura en lasuperficie no es conocida no es posible evaluardicha ecuación, y es necesario obtener nuevasecuaciones discretas para esos puntos cuya tem-peratura se desconoce, basándose en balances deenergía en la red de puntos.

Llevando a cabo el balance de calor en unvolumen de control que contenga los puntos de lapared y todos los nodos vecinos al punto base , enlas direcciones, X, Y y Z. El punto base en lasuperficie lateral, por ejemplo, viene dado portodos los puntos o nodos del plano P(0,Y,Z) conteni-dos en su interior, por lo que se exceptúan losbordes que conforman las líneas L(0,0,Z);L(0,Y,0); L(0,M,Z) y L(0,Y,Q) en dicho plano.

Un punto base de las temperaturas T(0,m,q)tendrá los puntos vecinos que se indican en lafigura 1. Observe que a la derecha del punto baseno hay transferencia de calor por conducción,sino por convección con el aire ambiente.

Fig. 1Para el flujo por conducción que se establece

en el volumen de control de la pared lateral cuyospuntos base son T(0,m,q) :

tTT

XT

tTT

tT

pqmn

pqmn

pqmn

pqmn

∆−

=∂∂

∆−

=∂∂

+

+

,,,,1

,,1,,

ZqZyYmYXnXtptdondeX

TTTX

qnp

qmnp

qmn

∆=∆=∆=∆=∆

+−∆

−+

..;...:)(

.2)(2

,1,,,,1

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂

∂⋅⋅ 2

2

2

2

2

2

ZT

YT

XT

kt

TCpρ

[ ])5()`

,,(61

1,,11,,

,,,1,,,111,,

pqmn

pqmn

pqmin

pqmn

pqmn

pn

pn

pqmn

TT

TTTqmTFoTFoT

−−+

+−++

++

+++++⋅⋅⋅−=

2XCptk

Fo∆⋅⋅

∆⋅=

ρ

[ ] 0611 ≥⋅−≥ Fo

61≤Fo

kCp

rt ⋅⋅

≤∆∆ ρ6

2

62

≤∆⋅⋅

∆⋅rCp

tkρ


( ) ( )

( ) ( )

( )pqm

pqmfrontal

pqm

pqmfrontal

pqm

pqm

pqm

pqm

pqm

pqmlatconducción

TTAZ

k

TTAZk

TTAYk

TTAY

kTTA

Xk

Q

,,01,,0

,,01,,0,,0,1,0sec

,,0,1,0sec,,0,,1

−∆

−∆

+−∆

−∆

+−∆

=

+

+−

+

(9)

( )pqmlatlatconveción TTAhQ ,,0−∞⋅⋅=

Para el flujo por convección:

(10)

Si el régimen es estacionario:

(11)

Si el régimen es no estacionario, entonces tienelugar la acumulación del calor en el volumen de control,y es aceptado que la mejor aproximación en loscálculos se logra suponiendo que la acumulación tienelugar en la mitad del volumen de control, según esto:

0=+ conducciónconvección QQ

(12)De este modo, es posible obtener una ecuación

discreta particular, sustituyendo las ecuaciones (9) y(10) en (11) ó (12) , que describen la variación de latemperatura para todos los puntos del plano P(0,m,q),en régimen estacionario y no estacionario respecti-vamente.

Sustituyendo (8) y (9) en (11) para régimenestacionario se obtiene:

( )conduccióncnvecció

pqm

pqm QQ

t

TTViCp +=

∆

−⋅⋅⋅

+,,0

1,,0

2ρ

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) 0,,01,,0,,01,,0

,,0,1,0sec,,0,1,0sec

,,0,,0,,1

=−∆

+−∆

+

−∆

+−∆

+

−∞⋅⋅+−∆

++

−+

pqm

pqmfrontal

pqm

pqmfrontal

pqm

pqm

pqm

pqm

pqmlatlat

pqm

pqmlat

TTAZ

kTTA

Zk

TTAY

kTTA

Yk

TTAhTTAXk

(13)

Sustituyendo (8) y (9) en (12) para régimen no estacionario se obtiene:

(14)

donde el volumen y las áreas del volumen de control vienen dadas por :

(15)

Sustituyendo las expresiones de (15) en (13) y (14) se obtiene para régimen estacionario y teniendoen cuenta que:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )pqm

pqmfrontal

pqm

pqmfrontal

pqm

pqm

pqm

pqm

pqmlatlat

pqm

pqmlat

pqm

pqm

TTAZ

kTTA

Zk

TTAY

kTTA

Yk

TTAhTTAXk

t

TTCp

,,01,,0,,01,,0

,,0,1,0sec,,0,1,0sec

,,0,,0,,1,,0

1,,0

−∆

+−∆

+

−∆

+−∆

+

−∞⋅⋅+−∆

=∆

−⋅

++

−+

+

ρ


(16)

kXhBiyZYX ∆⋅=∆=∆=∆

2XCptk

Fo∆⋅⋅

∆=

ρ

( )( )( ) )17(22

)3(21

1,,01,,0,1,0,1,0,,1

1,,0

1,,0

∞+++++⋅+

++⋅−=

−−−+

++

TBiTTTTTFo

TBioFoT

latp

qmp

qmp

qmp

qmp

qm

pqmlat

pqm

y para régimen no estacionario sustituyendo (9) y(10) en la ecuación (12) se obtiene haciendo :

Objetivos

En muchos cálculos de ingeniería es frecuenteutilizar balances estacionarios en la solución de proble-mas no estacionarios, sobre la base de suponer que enun instante de tiempo pequeño la acumulación de calores despreciable. Los modelos estacionarios son mássencillos de elaborar y tienen la ventaja de ser totalmen-te explícitos, por lo que no introducen ningún tipo derestricciones para los valores de los incrementos.

En este trabajo pretendemos investigar las dife-rencias que se obtienen en los resultados de loscálculos, cuando se utilizan modelos estacionariosen comparación con los obtenidos al emplear mode-los no estacionarios.

Modelo físico

El modelo seleccionado para el cálculo es uncuerpo homogéneo en forma de paralelepípedo delongitud L, altura H y ancho W, que se encuentrainicialmente a una temperatura Tinicial yy en unmomento t =0 se sumerge en un fluido a tempera-tura Texterior diferente de la temperatura del cuer-po, por lo que tiene lugar un proceso de cambio dela temperatura en el tiempo.

Para simplificar el análisis se supone que laspropiedades físicas y térmicas son constantes, yque los coeficientes de transferencia de calor soniguales en todos los planos, por lo que existirásimetría en los valores de temperatura del perfil.

Modelos matemáticos

Para obtener los modelos matemáticos se hanseguido los pasos mostrados en el acápite 2 ,y convistas a disminuir al máximo las diferencias entrelos modelos por comparar se calcularán, en elcaso del modelo seudoestacionario , los puntosinteriores mediante la discretización de la ecua-ción diferencial (4) que viene dada por la ecuación(5), o sea, que para todos los puntos interiores, entodos los casos, se utilizará el modelo no estacio-nario.

Modelos no estacionarios

Puntos interiores

A partir de la ecuación diferencial (4) se obtienediscretizando, la ecuación (5), que es el modeloutilizado para calcular los puntos interiores.

Puntos correspondientes a las paredes

Teniendo en cuenta la simetría del sistema,sólo es necesario tener en cuenta tres superficiescorrespondientes a los planos: frontal P(n,m,0), la-teral P( 0,m,q) y fondo P(n,0,q), con dimensiones:

Por balances desarrollados en el volumen decontrol, tal como se mostró en el acápite Condi-ciones límites, se obtienen los siguientes mode-los matemáticos :

Para los puntos de la pared lateral:

(18)

Para los puntos de la pared frontal:

(19)


Para los puntos del fondo:

(20)

Puntos correspondientes a los bordes

De acuerdo con la simetría establecida debenobtenerse los modelos matemáticos para describirlas temperaturas de los nodos de los bordes siguien-

tes : borde lateral frontal L(0,n,0) , borde inferiorfrontal L(n,0,0) y borde inferior lateral L(0,0,q).

En la figura 2, se muestra el esquema para elvolumen de control para el caso del borde lateralfrontal del nodo T0,n,0 .

Fig. 2.

Obtención del modelo para los nodos

Por un balance de energía térmica en el volumen de control mostrado en la figura 2.

(21)

Las áreas y el volumen Vi vendrán dados por:

(22)

Sustituyendo (22) en (21) y arreglando queda :

(23)

Siguiendo la misma metodología para los restantes bordes se obtiene:

(24)

(25)


Puntos correspondientes a las esquinas

De acuerdo con la simetría establecida debeobtenerse sólo el modelo matemático para des-cribir la temperatura del nodo de la esquina delfondo correspondiente a la temperatura T0,0,0 .

Un esquema correspondiente al volumen decontrol de este punto base se da en la figura 3;llevando a cabo un balance en dicho punto seobtiene:

Fig. 3

(26)

Modelos seudoestacionarios

Aunque a partir de un balance en un volumende control interior o discretizando la ecuación (4)es posible obtener el modelo seudoestacionariocorrespondiente a los puntos interiores, que vienedado por :

(27)

denominada ecuación de relajación, no será utili-zada en este trabajo para describir estos puntos,pues se introducirían desviaciones innecesarias,ya que lo que se desea es estudiar aquéllasgeneradas al utilizar balances seudoestacionariosen las condiciones límites . Por lo tanto, los puntosinteriores se describirán por la ecuación (5)

Puntos correspondientes a las paredes

El balance se efectúa de la manera descrita en elacápite "Condiciones límites," y las áreas de transfe-rencia en el volumen de control son las mismas quelas calculadas para los modelos no estacionarios.

(28)

(29)

(30)

Observe que en la ecuación (27) y siguientes,la temperatura calculada en un tiempo t se suponeque es la correspondiente al tiempo (t+∆t), en estoconsiste la denominación de seudoestacionario .

Puntos correspondientes a los bordes

El balance se efectúa de forma similar a lamostrada en el acápite "Puntos correspondientesa los bordes" para el modelo no estacionario; perohaciendo nulo el término correspondiente a laacumulación, de esta manera se obtienen lassiguientes ecuaciones

(31)

(32)

. (33)

Punto correspondiente a la esquina

Efectuando el balance de forma similar que en elacápite "Puntos correspondiente a las esquinas"perohaciendo nulo el término correspondiente a la acu-mulación se obtiene:

(34)

Cálculo de los perfiles de temperaturaPara el cálculo de los perfiles de temperatura

en régimen no estacionario utilizando ambos mo-delos propuestos, se utilizaron dos materiales conlas características que se dan en la tabla de lapáina siguiente:

El coeficiente de transferencia de calor porconvección ( h ) en la película fue tomado igual a


4 kcal/h.m2.°C, constante con los cambios detemperatura e igual para todas las caras delparalelepípedo .

Programando las ecuaciones en Visual Basicsegún el siguiente algoritmo se obtuvieron losresultados mostrados en las tablas 1,2,3,4, y 5.

Material T0 T1 T2 T3 T4

I 263,92 86,42 37,92 30,76 30,10 II 264,37 89,50 38,84 30,89 30,13

% DIFERENCIA 0,17 3,55 2,42 0,44 0,09

Tabla 1Valores de temperatura en el centro de la caja en el eje perpendicular

para el material en las siguientes condiciones


I 263,7 84,6 37,46 30,70 30,10 II 264,33 88,35 38,55 30,86 30,13

% DIFERENCIA 0,21 4,43 2,89 0,52 0,1

Tabla 2Valores de temperatura en el centro de la caja en el eje perpendicular.

Para el material I en las siguientes condiciones

Tabla 3 Valores de temperatura en el centro de la caja en el eje perpendicular.

Para el material II en las siguientes condiciones


I 218,58 100,83 47,25 33,01 30,7 II 219,98 104,85 49,28 33,57 30,91

% DIFERENCIA 0,64 3,98 4,29 1,68 0,62

Tabla 4Valores de temperatura en el centro de caja en la superficie de la paredcorrespondienteal fondo para el material I en las siguientes condiciones

a diferentes valores de incremento de tiempo y espacio

Fo t∆ X∆

T0NE T0SE %DIF

0,0126 0,037 0,05 263,92 264,37 0,17 0,015 0,029 0,04 279,78 280,42 0,23 0,0127 0,037 0,05 283,50 284,02 0,19 0,0081 0,060 0,08 287,41 287,93 0,18

Material .k (kcal/h.m.°C) Cp (kcal/kg.°C) ρ (kg/m3) I 0,165 0,22 875 II 0,50 0,25 1 200


Fo t∆ X∆ T0NE T0SE %DIF

0,015 0,022 0,026 7 193,83 194,63 0,41 0,033 0,05 0,05 218,58 219,98 0,64 0,045 0,03 0,033 3 215,77 217,19 0,65

Tabla 5Valores de temperatura en el centro de caja en la superficie de la paredcorrespondiente al fondo para el material I en las siguientes condiciones

a diferentes valores de incremento de tiempo y espacio


Análisis de los resultados

En las tablas 1 , 2 y 3 se presentan los perfilesde temperaturas para ambos materiales, obser-vándose que la desviación máxima para la tempe-ratura en la pared es pequeña (del 0,64 %) utili-zando incrementos de temperatura y espaciosbastante groseros ( y

), lo que indica que para valores meno-res de incremento los resultados serán muchomas parecidos.

En las tablas 4 y 5 se muestran los resultadosalcanzados para la temperatura en la pared delcentro y fondo de la caja a diferentes valores deintervalos de tiempo y espacio, observándose entodos los casos que existe poca diferencia entrelos resultados obtenidos con ambos modelos.

Es de destacar, que el sistema explícito deecuaciones utilizado para la discretización nopermite estudiar adecuadamente los resultadosque se obtendrían en materiales altamente con-ductores del calor, pues engendran números deFourier muy elevados y las ecuaciones explícitasobtenidas sólo son convergentes para valores deFourier mucho menores que 0,167 (1/6), y losresultados, en la práctica, sólo fueron realistaspara valores del número de Fourier menores que0,05, lo que haría necesario un análisis de laestabilidad, lo cual escapa de los objetivos delestudio llevado a cabo. De todas formas, losresultados obtenidos por ambos modelos son muysemejantes para la temperatura de la pared, y esde esperar que no cambien para materiales ensituaciones de transferencia que generen núme-ros de Fourier elevados

También puede observarse en las tablas 1, 2 y3, que las diferencias en las temperaturas de lospuntos base cercanos a la pared se hacen ligera-mente mayores en todos los casos, llegando avalores cercanos del 5 %, pese a haber utilizadoun modelo no estacionario para la descripción dela temperatura. Esto es debido al efecto de lasdiferencias de temperatura en los bordes y esqui-nas, combinado con la diferencia de temperaturaen la pared.

Conclusiones

De los resultados analizados podemos concluirque en el intervalo de número de Fourier estudia-do ( Fo <0,05 ):

1. La temperatura en la pared obtenida con am-bos modelos es muy similar, alcanzándosevariaciones menores del 1% en los casos ana-lizados.

2. Las diferencias en las temperaturas de lospuntos cercanos a la pared se incrementanalcanzando valores cercanos al 5 %.

3. Cualquiera de los modelos puede ser utilizadosatisfactoriamente para el cálculo de tempera-turas de pared.

4. El modelo seudoestacionario debe ser utilizadocon precaución cuando se desea una adecuadaaproximación en los valores de la temperaturapara el perfil completo.

Nomenclatura y unidades

Alat área lateral (m2)

Asec área seccional (m2)

Afrontal área frontal (m2)

Bi número de Biot (adimensional)

Cp calor específico (kcal/kg. °C)

Fo número de Fourier (adimensional)

.h coeficiente de transferencia por

convección libre en la película en

kcal/h.m2.°C)

.k conductividad térmica (kcal/h.m. °C)

.m variable para contar los intervalos de

espacio en dirección Y

M valor máximo de intervalos de espacio en dirección Y.n variable para contar los intervalos de espacio en dirección XN valor máximo de intervalos de espacio en dirección X


.p variable para contar los intervalos de

tiempo.

.q variable para contar los intervalos de espa-

cio en dirección Z

Q valor máximo de intervalos de espacio en

dirección Z

T temperatura (°C)

.t tiempo (h)

Vi volumen para el balance de calor en el punto base (m3)X coordenada direccional (m)

Y coordenada direccional (m)

`Z coordenada direccional (m)

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