Sistemas de orden superiorInstituto Tecnolgico de SonoraDepartamento de Ingeniera Elctrica y ElectrnicaCd. Obregn, Sonora a 12 de Septiembre de 2011

La soluciones analticas que describen las respuestas transitorias de los sistemas de orden superior son complejasSin embargo, casi siempre es posible representar la respuesta transitoria de un sistema de alto orden por medio de un modelo de orden inferiorPor ejemplo, la respuesta transitoria ante un escaln del sistema de cuarto ordenPara fines prcticos puede ser representada por el sistema de segundo ordenSe verificar lo anterior utilizando MatlabSistemas de orden superior

Con el comando:step([136],[1 18 87 70 136])Se obtiene la grfica de la respuesta transitoria del sistema de cuarto ordenAmplitudeStep Response0.6From: U(1)To: Y(1)Sistemas de orden superior

Ingresando los comandos: ystep([1.6],[1 0.5 1.6])Se retiene la grfica anterior y se obtiene la respuesta del modelo reducidohold onSistema original 4 ordenSistema segundo ordenSistemas de orden superior

Dependiendo de los requerimientos de exactitud y simplicidad, es posible usar el modelo reducido, para anlisis o control del sistema original. Lgicamente, trabajar con el modelo reducido es ms sencillo y econmico, siempre y cuando la prdida de exactitud no sea relevante.Respuesta transitoria de los sistemas de orden superior La funcin de transferencia de un sistema de lazo cerrado esA continuacin se analiza el comportamiento de respuesta de este sistema ante una entrada escaln unitario. La ecuacin se reescribe comoSistemas de orden superiorRespuesta transitoria de los sistemas de orden superior

En la ecuacin anterior, pueden existir polos mltiples, tanto de primer como de segundo orden. Se observa que la respuesta del sistema de orden superior se compone de la suma de respuestas de sistemas de primer y segundo orden. La respuesta en el tiempo es Entonces la respuesta de un sistema estable de orden superior es la suma de una combinacin de curvas exponenciales (primer orden) y sinusoidales amortiguadas (segundo orden).Si el sistema es estable, el valor final es Es importante comentar que los polos de lazo cerrado dan valor a los trminos exponenciales y/o sinusoidales amortiguados, mientras que los ceros de lazo cerrado afectan la magnitud y signo de los residuos.Sistemas de orden superiorRespuesta transitoria de los sistemas de orden superior

Porqu un modelo de orden inferior es capaz de representar un sistema de alto orden?Ya se dijo que la respuesta transitoria de un sistema de orden superior est compuesta de una combinacin de trminos de respuestas de primer y segundo ordenAhora bien, el efecto de cada uno de estos trminos sobre la respuesta total no es el mismo, dependen de las partes reales de los polos de lazo cerrado como del valor de los residuos . Los polos que tienen parte real ms negativa tienen residuos generalmente pequeos, adems duran un tiempo muy corto. Por consiguiente contribuyen poco a la respuesta transitoria. Si se desprecian estos efectos, el sistema de orden superior se aproxima mediante uno de orden inferior.Por otra parte, los polos ms cercanos a eje , tienen respuestas transitorias que disminuyen ms lentamente y dominan el comportamiento de la transitoria total. Se denominan polos dominantes de lazo cerrado.Sistemas de orden superiorRespuesta transitoria de los sistemas de orden superiorPorqu un modelo de orden inferior es capaz de representar un sistema de alto orden?

En el caso del ejemplo, el sistema en lazo cerrado Tiene los siguientes polos de lazo cerradoPolos dominantes de lazo cerradoMientras que el sistema de segundo orden-0.2500 + 1.2400i -0.2500 - 1.2400iPolos de lazo cerradoSus efectos son de corta duracin (se desprecian)Sistemas de orden superiorRespuesta transitoria de los sistemas de orden superiorPorqu un modelo de orden inferior es capaz de representar un sistema de alto orden?

Nota de ejemplo:Aunque la ganancia de 1.6 en el sistema de segundo orden no hace que los polos de lazo cerrado, sean los mismos que los polos dominantes de lazo cerrado del sistema de alto orden, la aproximacin es suficiente para considerarlo como til. (vease a las figuras del ejemplo). Sistemas de orden superiorRespuesta transitoria de los sistemas de orden superiorPorqu un modelo de orden inferior es capaz de representar un sistema de alto orden?

Anlisis de error en estado estacionarioInstituto Tecnolgico de SonoraDepartamento de Ingeniera Elctrica y ElectrnicaCd. Obregn, Sonora a 31 de Marzo de 2014

Si despus de la etapa transitoria, la salida de un sistema es diferente al valor deseado, se dice que existe un error en estado estacionario (eee) ,este error depende de la seal de referencia y del propio sistema de control (de la funcin de transferencia de lazo abierto). El tipo de sistema se define como el nmero de polos de lazo abierto en el origen. Es indicativo de su capacidad para seguir entradas escaln, rampa, parablicas y otras. Las entradas reales se suelen considerar como una combinacin de ellas. Otra clasificacin de los sistemas de control: (Tipo)Anlisis de error en estado estacionarioIntroduccinClasificacin de los sistemas de control: (Tipo) Seales de entrada: Se analizarn entradas de referencia que puedan ser expresadas en el dominio del tiempo como simples potencias de t:a) Escaln ( ), b) Rampa ( ), c) Parbola ( ), etc.

Considere la siguiente funcin de transferencia de lazo abierto:As:si N=0, el sistema se denomina tipo cero,si N=1, el sistema se denomina tipo uno, y as sucesivamente.Esta clasificacin es diferente e independiente a la del orden del sistema.Al aumentar el nmero del tipo, disminuye el error en estado estable.Al aumentar el nmero del tipo, empeora el problema de estabilidad.Comentarios:Anlisis de error en estado estacionarioIntroduccinClasificacin de los sistemas de control: (Tipo) Ver nota abajoNota: El valor de K en la ecuacin de arriba se refiere a la ganancia global. Ejemplo:

+-Se considera el siguiente sistema de lazo cerradoErrores en estado estacionario: la seal de error en Laplace es utilizando el teorema del valor final podemos encontrar el valor final de la seal de errorAnlisis de error en estado estacionarioErrores en estado estacionarioNota: El teorema del valor final solo se cumple si todos los polos de lazo cerrado estn en el semiplano izquierdo.

De la ecuacin anterior se observa que el valor del error depende tanto del sistema como del tipo de entrada. Se acostumbra definir el error en coeficientes de error estticos, dependiendo del tipo de entrada.Constante de error esttico de posicin.El error estacionario del sistema, para una entrada escaln de valor A, es si se define la constante como:Anlisis de error en estado estacionarioErrores en estado estacionarioError esttico de posicin

el error esttico en trminos de la constante es Para un sistema tipo 0 Para un sistema tipo 1 o superior Anlisis de error en estado estacionarioErrores en estado estacionarioError esttico de posicin

Constante de error esttico de velocidad.El error estacionario del sistema, para una entrada rampa unitaria, es La constante se define comoas el error esttico en trminos de la constante es Anlisis de error en estado estacionarioErrores en estado estacionarioError esttico de velocidad

Para un sistema tipo 0 Para un sistema tipo 1Para un sistema tipo 2 o superiorAnlisis de error en estado estacionarioErrores en estado estacionarioError esttico de velocidad

Error en estado estacionario en trminos de la ganancia KEntrada escalnEntrada rampaEntrada aceleracinSistema tipo 0Sistema tipo 1Sistema tipo 2Anlisis de error en estado estacionarioErrores en estado estacionarioResumen