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Neus Canal Díaz

Comparación de proporciones

11.1. Introducción

En la investigación biomédica se encuentran con frecuencia datos o variablesde tipo cualitativo (nominal u ordinal), mediante las cuales se clasifican gruposde sujetos o individuos en dos o más categorías excluyentes entre ellas. Imagine-mos que queremos evaluar la presencia de desnutrición según el tratamientosustitutivo empleado, bien Hemodiálisis (HD) o Diálisis Peritoneal (DP). En estecaso, querremos evaluar la presencia o ausencia de un determinado evento (des-nutrición) en función del tratamiento o terapia administrada. Cuando pretende-mos comparar grupos de sujetos con respecto a una variable categórica, losresultados se presentan mediante tablas de frecuencias de doble entrada, cono-cidas con el nombre de Tablas de contingencia. El método estadístico a utili-zar dependerá del número de proporciones a comparar, es decir, del número decategorías de la variable que se quiere comparar.

El caso más sencillo y habitual de comparar dos variables cualitativas, esaquel en que ambas variables tienen dos posibles categorías de respuesta (estasvariables reciben el nombre de variables dicotómicas), reduciéndose la tabla de

11

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contingencia a una tabla 2x2. Generalmente una de ellas corresponde al trata-miento y la otra al resultado (curación, éxito, muerte, entre otras).

Tabla 7. Tabla general de contingencia para dos variables dicotómicas (tabla 2x2)

Las pruebas estadísticas aplicables en la comparación de proporciones, yasean dos o más, también difieren según se trate de comparar medidas realizadasen grupos independientes o de datos apareados (medidas realizadas en un mis-mo grupo de individuos en dos momentos distintos del tiempo). En el caso decomparar dos proporciones independientes, las pruebas más utilizadas son laprueba Z de comparación de proporciones y la prueba de Ji-cuadrado. En elcaso de tratarse de datos apareados puede utilizarse la prueba de McNemar. Enla comparación de más de dos proporciones independientes es posible aplicar laprueba de la Ji-cuadrado (veremos en qué casos es aplicable), mientras que en elcaso de datos apareados se utiliza la prueba Q de Cochran.

11.2. Comparación de proporciones para datos independientes

Cuando queremos comparar una respuesta que se mide como una propor-ción entre dos o más niveles necesitamos pruebas que nos indiquen si hay dife-rencias entre estas proporciones, es decir, si se distribuyen homogéneamenteentre los niveles de la variable o por el contrario, existen diferencias. Por lotanto, la hipótesis experimental es que las proporciones de ocurrencia de deter-minado evento medido en muestras independientes son diferentes. Por ejem-plo, la comparación de medidas de respuesta tipo curación, fracaso y/o evolu-ción en distintos tratamientos corresponden a este caso.

11.2.1. Comparación de dos proporciones independientes

En caso de comparar una variable ordinal o nominal en función de doscategorías, estamos queriendo comparar una variable con dos categorías conotra con dos categorías. Imaginemos que se trata de comparar la proporción de

Tratamiento A

Característica A (tratamiento o terapia)

PresenciaCaracterística B(desenlace)

ac

bd

a+dc+d

Tratamiento B Total

a+c b+d nTotal

Ausencia

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pacientes que presentan desnutrición en función del tipo de tratamiento sustitu-tivo empleado. Presentar desnutrición es una variable binomial puesto que sóloadmite dos valores: presenta desnutrición o no presenta desnutrición y la varia-ble tratamiento sustitutivo, en este caso engloba HD y DP, es decir, dos categorías.Nos encontramos pues, ante un contraste de proporciones donde, intuitivamentepodemos pensar que si ambos tratamientos fueran iguales, presentarían la mis-ma proporción de pacientes desnutridos (H0), mientras que si no lo fueran, ladiferencia entre las dos proporciones no incluiría el cero (H1).

Para el contraste de dos proporciones se empleará la prueba Z, que median-te la aproximación a la distribución normal, calculará el estadístico de contrastepara la diferencia de proporciones. Por otra parte, otro procedimiento genera-lizado sería la utilización de la prueba Ji-Cuadrado para tablas de frecuencias de2x2.

11.2.1.1. Prueba Z

Esta prueba se basa en la aproximación normal de la distribución binomial.Queremos comparar dos proporciones, p1 y p2, observadas en dos grupos dis-tintos de tamaños n1 y n2, respectivamente. Esta prueba es utilizable cuando lostamaños muestrales n1 y n2 son grandes, para poder aplicar el Teorema Centraldel Límite. El estadístico de contraste se calcula como:

El estadístico Z sigue una distribución Normal (0, 1). El intervalo de confian-za se obtiene mediante la fórmula , donde EED corresponde alerror estándar de la diferencia de proporciones tal como se calcula en la fórmulaanterior.

En esta prueba se utiliza la distribución normal como aproximación de lasolución exacta de intervalos de confianza para proporciones, adecuada siempreque n sea mayor o igual a 30 y las frecuencias absolutas y las esperadas seansuperiores a 4. El hecho de poder utilizar la distribución normal, nos permiteasociar un intervalo de confianza a la diferencia de proporciones.

11.2.1.2. Prueba de la Ji-Cuadrado (X2)

La prueba de la Ji-Cuadrado es una de las pruebas mas frecuentemente utili-zadas para el contraste de variables cualitativas, aplicándose para comparar si

p1Z = =- p2

EEDp1 - p2

p1 (1- p1)n1

+p2 (1- p2)

n2

(p1-p

2) ± Z α * EED

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dos características cualitativas están relacionadas entre sí, si varias muestras decarácter cualitativo proceden de igual población o si los datos observados si-guen una determinada distribución teórica.

Para su cálculo se calculan las frecuencias esperadas (las que deberían haber-se observado si la hipótesis de independencia fuese cierta), para compararlascon las observadas en la realidad. Se calcula el valor del estadístico χ 2 como:

~ χ 2(f-1) (c-1)

donde: - Oij

corresponden a las frecuencias observadas dentro de la casilla de la fila i y columna j.- E

ij corresponden a las frecuencias esperadas o teóricas

- f es el número de filas y c el número de columnas.- (f -1)*(c-1) corresponden a los grados de libertad de la distribución del estadístico de contraste.

El primer paso consiste en construir la tabla de contingencia asociada a lasdos variables a analizar. A partir de ella se calculan las frecuencias esperadas encada casilla bajo la suposición de que ambas variables sean independientes.

En el caso más sencillo de una tabla 2x2, las frecuencias esperadas se calcula-rían, basándonos en la Tabla 7 como:

A partir de estas fórmulas el estadístico de contraste χ 2 puede simplificarsey obtenerse de manera más sencilla a partir de la fórmula:

En el caso de una tabla de contingencia de f filas y c columnas, las frecuenciasesperadas se pueden obtener de manera similar, como se describe en la siguien-te tabla f x c:

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Tabla 8. Cálculo de las frecuencias esperadas en una tabla de contingencia

Para obtener el valor de la Ji-cuadrado las frecuencias observadas se compa-ran con los valores observados. Así, cuando mayor sea la diferencia entre losvalores esperados y los observados mayor será el valor del estadístico, existien-do en este caso asociación entre las variables comparadas. El hecho de que lasdiferencias se eleven al cuadrado convierte cualquier diferencia en positiva, loque indica si existe o no relación entre los factores pero no en que sentido seproduce tal asociación.

Bajo la hipótesis nula de independencia, el estadístico Ji-cuadrado se distribu-ye según una distribución Ji-cuadrado con (f-1)*(c-1) grados de libertad. En elcaso de tablas 2x2 los grados de libertad son 1.

Cuando el tamaño muestral no es demasiado grande, puede introducirsealgún sesgo en los cálculos, ya que estos contrastes aproximan una distribucióndiscreta por una continua. En caso de que más del 20% de las frecuencias espe-radas sean menores de 5 o bien alguna celda tenga valores esperados inferioresa 2, se utiliza una corrección para eliminar este sesgo, conocida como la correc-ción de Yates para continuidad, aplicable en el caso de tablas 2x2. La correcciónde Yates da un resultado más conservador y, siguiendo la notación utilizada enla Tabla 7, se calcularía como:

Ejemplo. Imaginemos que se desea estudiar si existe relación entre el cintigramarenal (CR) y la presencia de reflujo vesicoureteral (RVU) en niños con primera

A1A2 … TotalAc

Y1

…

Yf

Total

Y2

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pielonefritis aguda. Para ello se seleccionaron 127 niños a los que se les realizólos cintigramas renales y se evaluó la presencia de RVU. Para analizar la relaciónentre la positividad de RVU entre los niños con CR normal y CR alterado seutilizó la prueba de la Ji-Cuadrado.

Figura 41. Comparación de dos proporciones en SPSS, prueba de la Ji-Cuadrado

En los resultados de la Figura 42 se puede observar, en primer lugar, unatabla de contingencia 2x2, con el número de casos en cada una de las celdas dela tabla. El valor de significación de la Ji-Cuadrado es de 0,020 (inferior a 0,05),indicando que existe una relación estadísticamente significativa entre el cintigramarenal y la presencia de reflujo vesicoureteral. En nuestro ejemplo, al tratarse unatabla 2x2 puede aplicarse la corrección de Yates, siendo en este caso el valor designificación 0,039, indicando también la existencia de una relaciónestadísticamente significativa. El programa SPSS nos proporciona además, en elcaso de las tablas 2x2, el estadístico exacto de Fisher. Este estadístico se utilizacuando más del 20% de las frecuencias esperadas son inferiores a 5. El cumpli-miento de los criterios de aplicabilidad aparece a continuación de la tabla con losdistintos estadísticos y la significación estadística correspondiente.

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Figura 42. Resultados en la comparación de dos proporciones en SPSS, prueba dela Ji-Cuadrado

Para terminar este apartado, es importante mencionar que la prueba χ 2 essólo aproximada. Existe, sin embargo, un test exacto para las tablas 2x2. Se de-nomina test de Fisher y es el que se explica a continuación.

11.2.1.3. Test Exacto de Fisher

El test exacto de Fisher permite analizar la asociación entre dos variablesdicotómicas cuando no se cumplen las condiciones necesarias para la aplicacióndel test de la Ji-cuadrado. Como ya mencionamos anteriormente, para aplicar laprueba de la Ji-cuadrado se exige que el 80% de las celdas presenten frecuenciasesperadas superiores a 5. Así, en las tablas 2x2 es necesario que se verifique entodas sus celdas, aunque en la práctica se permite que una de ellas se muestreligeramente por debajo. El test de Fisher se aplica también cuando alguno de losvalores esperados es inferior a 2.

Esta prueba se basa en el cálculo de la probabilidad exacta de las frecuenciasobservadas. Evalúa la probabilidad asociada a cada una de las tablas 2x2 que sepueden formar manteniendo los mismos totales de filas y columnas que los de latabla observada. La probabilidad exacta de observar un conjunto concreto defrecuencias a, b, c y d en una tabla 2x2, cuando se asume independencia y lostotales de filas y columnas se consideran fijos, viene dada por una distribuciónhipergeométrica:

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Esta probabilidad se calcula para todas las tablas de contingencia que puedanformarse con los mismos totales que en la tabla observada, utilizándolos paracalcular el valor de la p asociado al test de Fisher. El valor de p puede calcularsesumando aquellas probabilidades inferiores a la probabilidad de la tabla observa-da. Si el valor de p es pequeño (p<0,05) se debe rechazar la hipótesis nula deindependencia, asumiendo que ambas variables están asociadas estadísticamente.

11.2.2. Comparación de tres o más proporciones independientes

Una de las ventajas de la Ji-cuadrado en comparación con la Z, es que puedeser utilizada para comparar más de dos proporciones. La fórmula es la presenta-da en el aparatado 11.2.1.Comparación de dos proporciones independientes,teniendo presente que para determinar el grado de significación debe utilizarselos grados de libertad adecuados a la tabla de contingencia.

En el caso de que la prueba de la Ji-cuadrado no sea aplicable (más del 20% delas casillas con una frecuencia esperada inferior a 5 y ninguna inferior a 2) sóloexiste una única alternativa que consiste en agrupar categorías de la variablepara aumentar así el número de casos de cada casilla, siempre que tenga sentidoclínico hacerlo.

11.3. Comparación de dos proporciones para datos apareados

En un estudio se plantea evaluar si una determinada variación en la posologíade un fármaco es capaz de presentar la misma adherencia al tratamiento, respec-to a la técnica habitual. En este caso, el método de comparación de proporcio-nes deberá considerar que estas muestras están apareadas, puesto que serán losmismos sujetos los que primero probarán una posología y luego otra. Se tratade estudios “pre-post” en los que la respuesta se evalúa al cabo de un tiempo enel cual se ha variado alguna de las condiciones basales.

11.3.1. Comparación de dos proporciones apareadas

La comparación de dos proporciones en muestras apareadas, se estudiarámediante las pruebas asociadas a la tabla de contingencia. La comparación entredos proporciones apareadas puede realizarse utilizando el estadístico de con-

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Tabla 9. Tabla general de contingencia para dos proporciones observadas en unmismo grupo en dos ocasiones distintas de tiempo

La proporción de individuos con la característica positiva antes sería y después sería .

Nos interesa contrastar si la diferencia entre estas dos proporciones es cero

(hipótesis nula) frente a que p1 y p2 sean diferentes ( ). Para ello,nos podemos centrar en las celdas b y c que son las que muestran discordanciaentre las dos mediciones, contrastando si el número de individuos que tras laintervención han dejado de presentar la característica + (b) es el mismo que elnúmero de individuos que tras la intervención han realizado el cambio inverso(c), es decir han dejado de presentar la característica -. El error estándar para ladiferencia entre dos proporciones es:

que bajo la hipótesis nula(b-c=0) se reduce a

El estadístico de contraste que sigue una distribución Normal (0,1) se calculacomo:

traste Z; sin embargo, la prueba más conocida corresponde a la prueba deMcNemar.

11.3.1.1. Test de McNemar

Este test se utiliza cuando se trata de comparar dos proporciones observa-das en el mismo grupo de individuos en dos ocasiones distintas de tiempo (antesy después de algún estímulo). Se pretende comparar si se produce algún cambiosignificativo entre ambas mediciones. Clasificamos un grupo de individuos entredos categorías mutuamente excluyentes, indicadas por + (positivo) y – (negati-vo). Pasado un estímulo o intervención es posible que alguno de estos indivi-duos cambie de categoría, de manera que la tabla de frecuencias que se obten-dría sería la siguiente:

Positivo

Después

PositivoAntes ac

bd

a+bc+d

Negativo Total

a+c b+d n

Negtivo

Total

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También se puede considerar el estadístico de contraste: quesigue una distribución Ji-cuadrado con 1 grado de libertad. Como en el caso dela χ 2, si las frecuencias son pequeñas puede utilizarse la corrección de Yates:

11.3.1.2. Sensibilidad y especificidad

Una particularidad de la comparación de proporciones para datos apareadoses la comparación de métodos diagnósticos. En este caso, la prueba de diagnós-tico presenta unos valores “a priori” o “pre” y es posteriormente cuando sesabe en realidad si los resultados son correctos o no “a posteriori” o “post”. Lostérminos de sensibilidad y especificidad, por tanto, se utilizan cuando se quierencomparar dos métodos diagnósticos, uno de ellos considerado de referencia(definido anteriormente como “post”).

Se define la sensibilidad como la proporción de enfermos identificados co-rrectamente por la prueba diagnóstica, o dicho de otra manera, la probabilidadde que para un individuo enfermo obtenga en la prueba realizada un resultadopositivo. Por lo tanto la sensibilidad es la capacidad que tiene la prueba paradetectar la enfermedad.

La especificidad es la proporción de no enfermos que son identificadoscorrectamente por la prueba diagnóstica, es decir, la probabilidad de que paraun individuo sano obtenga un resultado negativo. Por tanto se puede definircomo la capacidad para detectar individuos sanos.

Según la notación utilizada en la siguiente tabla, la sensibilidad se calcularácomo el número de pacientes con valoración diagnóstica positiva según la prue-ba realizada y con diagnóstico final positivo (a) sobre el total de pacientes condiagnóstico final positivo (a+c). La especificidad se calculará como el número depacientes con valoración diagnóstica negativa según la prueba realizada y diag-nóstico final negativo (d) sobre el total de pacientes con diagnóstico final negati-vo (b+d).

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Positivo

Diagnóstico final

PositivoPrueba ac

bd

a+bc+d

Negativo

a+c b+d N

Negtivo

Total

Total

Sensibilidad (S) S = a/(a+c),IC = ± 1,96 ÷ (S(1-S)/(n), donde n=a+c

Especificidad (E) E = d/(b+d),IC = ± 1,96 ÷ (E(1-E)/n), donde n=b+d

Valor predictivo positivo (VPP) VPP = a / (a+b)IC = ± 1,96 ÷ (VPP(1-VPP)/n), donde n=a+b

Valor predictivo negativo (VPN) VPN = d / (c+d)IC = ± 1,96 ÷ (VPN(1-VPN)/n), donde n=c+d

+ Positivo

Diagnóstico final

+ PositivoPrueba nueva 7636

832

8468

- Negativo

112 40 152Total

Total

- Negtivo

Tabla 10. Tabla utilizada para el cálculo de la sensibilidad y especificidad de una pruebadiagnóstica

Asociado también a estas pruebas, el valor predictivo positivo (VPP) sedefine como la probabilidad de que los pacientes que tienen la prueba positivatengan la enfermedad, y el valor predictivo negativo (VPN) corresponde a laprobabilidad de que los pacientes que tienen la prueba negativa no tengan laenfermedad. Por tanto, el cálculo de la sensibilidad, especificidad, VPP y VPN delas pruebas diagnósticas será el siguiente:

Tabla 11. Calculo de la sensibilidad, especificidad, VPP y VPN de las pruebasdiagnósticas

En el siguiente ejemplo tenemos una prueba diagnóstica que se desea com-parar con la prueba de referencia utilizada hasta el momento en el diagnósticode una determinada enfermedad. Los valores obtenidos, son los siguientes:

Tabla 12. Tabla de frecuencias utilizada en el ejemplo de cálculo de sensibilidad,especificidad, VPP y VPN de una prueba diagnóstica

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La sensibilidad de la prueba corresponderá a 76/112=0,68, mientras que laespecificidad será de 32/40=0,8. De esta forma, podremos decir que la pruebanueva es capaz de predecir correctamente el 68% de los pacientes realmentepositivos y el 80% de los negativos. Paralelamente, el valor predictivo positivo secalculará como 76/84=0,90 y el valor predictivo negativo como 32/68=0,47; locual, significa que si el resultado de la prueba es positivo, tenemos el 90% deprobabilidad de que el paciente realmente sea positivo, mientras que si el resul-tado es negativo, sólo estaremos seguros en un 47% de que realmente su diag-nóstico final es negativo.

Una prueba es sensible y específica si es capaz de identificar a todos los queestán enfermos como tales y a todos los sanos como tales. Es difícil tener unaprueba muy sensible y a la vez muy especifica, hay que tener información sobrelos dos aspectos. La sensibilidad y especificidad son la información que necesita-mos para decidir la validez de una prueba y nos ayudará a decidir si utilizar unaprueba diagnostica o no (validez de criterio).

11.3.1.3. Curvas ROC

Los resultados de una prueba diagnostica no tienen por qué ser dicotómicos,pueden ser continuos. Muchas variables cuantitativas y continuas las transforma-mos en dicotómicas para poder tomar una decisión de tratar o no a alguien. Espor eso que deberemos conocer cual es el punto de corte que nos definirá ellímite para iniciar o no iniciar el tratamiento.

Las Curvas ROC son un procedimiento estadístico que permiten seleccionarel punto de corte maximizando a la vez la sensibilidad y la especificidad. El aná-lisis y la determinación de la curva de ROC se hacen mediante la determinaciónde la sensibilidad y especificidad, es decir, ver la fiabilidad en el máximo númeroposible de puntos de la prueba. Se realizan trazando un diagrama en el que laordenada (eje y) es la sensibilidad y la abscisa (eje x) es el valor 1-especificidad,tal como se muestra en la Figura 43. Cuanto más sensible y especifica sea laprueba (representación: puntos más hacia arriba y más hacia la izquierda) más sealejará de la diagonal y mejor será el punto de corte seleccionado.

Una vez preparada la curva ROC se seleccionará como punto de corte aquelpunto mas alejado de la diagonal, que corresponde al valor que presenta unamayor sensibilidad y especificidad a la vez.

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Figura 43. Tipo de curvas ROC

11.3.1.4. Indice Kappa

El índice Kappa se utiliza cuando se quieren comparar dos métodos pero noexiste uno de referencia. Este índice mide el grado de concordancia entre am-bos y se define como:

donde P0 es la proporción de acuerdos observados y P

e la proporción de acuer-

dos esperados en la hipótesis de independencia entre los métodos, es decir deacuerdos por azar. En el caso de variables ordinales, existe también el índiceKappa ponderado, que consiste en asignar unos pesos para cuantificar la im-portancia relativa a los desacuerdos. Las variables utilizadas normalmente co-rresponden a valoraciones del tipo: nada, leve, moderado, severo, que corres-ponde a una escala categórica ordinal.

Existen otras medidas de asociación para dos variables en escala ordinal queson parecidas a las medidas de asociación entre variables continuas (coeficientesde correlación), en interpretación y en cálculo. Las medidas de asociación másutilizadas, aunque no estén incluidas en este capítulo son: Gamma, Tau-b y Tau-cde Kendall y D de Somers. La explicación del índice Kappa lo veremos en másprofundidad en el apartado 13 ‘Medidas de asociación’.

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11.3.2. Comparación de tres o más proporciones apareadas

Para comparar tres o más proporciones relacionadas entre sí, usaremos la Qde Cochran. Este procedimiento es la generalización del test de McNemarpara dos proporciones relacionadas. De hecho, si el número de proporciones esigual a dos, el estadístico de McNemar y el de Cochran coinciden.

Si tenemos J proporciones, P+j

representan las proporciones de aciertos de

cada una de las muestras: (T+j

es la suma de aciertos de cada muestra).

Para contrastar la hipótesis de igualdad entre J proporciones, se calcula el esta-dístico, que se distribuye según χ 2 con J-1 grados de libertad, como:

11.4. Consideraciones importantes

Según a qué correspondan las proporciones que se desean comparar, se de-berá seleccionar la prueba estadística adecuada. Supongamos que en una mues-tra se desea analizar el efecto de dos tratamientos dermatológicos para el acnéA y B, presentando tres tipos de respuestas: curación, mejoría y fracaso. Tras unperiodo de observación, se contabilizan los resultados de cada grupo. Para de-terminar si la probabilidad de obtener un resultado favorable es independientede cuál sea el tratamiento se aplicará la prueba χ 2 (Ji-cuadrado), que contrasta lahipótesis nula de que tratamiento y curación son independientes. Imaginemosque queremos simplificar el estudio y consideramos que una mejoría en el acnétodavía no es una curación y lo consideramos fracaso. De este modo, tendre-mos una tabla 2x2 analizable con la misma prueba, y además, podremos estimarla prueba Z, y mediante su intervalo de confianza, la diferencia obtenida entre elporcentaje de curaciones del grupo tratado con el fármaco A y el tratado con elfármaco B. Si el tamaño de muestra fuera pequeño o alguno de los efectivosmenor a 5, utilizaríamos el test exacto de Fisher.

Cuando el tipo de estudio es de tipo “antes-después”, es decir con datosapareados, las pruebas que se utilizan son menos intuitivas. En caso de ser dosmomentos en el tiempo y dos respuestas estaríamos ante una tabla 2x2 y po-dríamos utilizar el test de McNemar. En comparaciones de más de dos propor-ciones se utilizaría su generalización, la prueba Q de Cochran.

El caso de las tablas 2x2 para proporciones apareadas, presenta particulari-dades cuando se están estudiando pruebas diagnósticas. En este supuesto, sejuntan varios conceptos tales como la probabilidad “a priori”, el teorema de

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Bayes, la estadística bayesiana y, recientemente en este capítulo, los términos desensibilidad y especificidad de las pruebas. Con estos conceptos destinados aconocer las probabilidad de reconocer los valores reales positivos y negativos,respectivamente, aparecen otros como son el valor predictivo positivo y elvalor predictivo negativo, que estiman las probabilidades de conocer si realmen-te presentan diagnóstico positivo o negativo los individuos que han presentadoel resultado en la prueba positiva o negativa, respectivamente. Como ya hemoscomentado, la sensibilidad y la especificidad de una prueba nos ofrecen la infor-mación que necesitamos para decidir su validez en el diagnóstico de ciertaspatologías. Para finalizar, se presenta el siguiente esquema con las pruebas autilizar cuando se pretenden comparar proporciones:

Tabla 13. Resumen del capítulo

Comparar 3 ó más gruposindependientes

Prueba Ji- cuadrado

Prueba ZPrueba de Fisher

Prueba Ji-cuadrado

Comparar 2 gruposindependientes

Comparar 2 gruposapareados

Prueba de McNemar

Comparar 3 ó másgrupos apareados

Cochran Q

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