Comparación de dos poblaciones

Estadística para administradores

Comparando dos poblaciones

•Frecuentemente el investigador está interesado en comparar dos poblaciones:

•El material A es más resistente que el B•El descenso de peso con la dieta A es menor que con la B•El porcentaje de hombres que cruzan en rojo es mayor al de mujeres•Los ingresos familiares de la ciudad A son más variables que los de la B

21 xx 21 xx 2 µ

21 xx 21 xx 2 µ

21 xx 21 xx 2 p

21 xx 21 xx 2

Comparando dos poblaciones

•Para llevar a cabo esta comparación, el investigador necesita muestrear

•Las muestras pueden ser:•dependientes•independientes

Ejemplo

• Un investigador cree que los fumadores tienden a fumar más durante los períodos de stress.

• Para comprobarlo debe elegir entre dos metodologías:– Encuestar a un grupo de fumadores en condiciones

normales y a otro grupo de fumadores bajo stress

– Encuestar a un grupo de fumadores en condiciones normales y al mismo grupo cuando está bajo stress

Ejemplo

• Interroga a cada individuo con respecto a la cantidad de cigarrillos diarios fumados

m. indep m. dep

Sin stress Con stress Individuo Sin stress Con stress15 20 1 15 2045 31 2 45 3150 50 3 50 5016 30 4 16 3056 72 5 56 72

Muestras dependientes o pareadas

• Cada observación en una muestra está directamente relacionada con otra observación en la otra muestra

• Cada individuo es observado dos veces• Las dos muestras difieren solo en el factor

que interesa comparar• Las dos muestras deben ser del mismo

tamaño

Muestras independientes

• Cada observación en una muestra no está relacionada con ninguna observación en la otra muestra

• Cada individuo es observado una vez• Las dos muestras pueden difieren en varios

factores, no solo en el que interesa comparar• Las dos muestras no necesariamente son del

mismo tamaño

Muestras dependientes vs independientes

• Se desea determinar si los sueldos percibidos por gerentes mujeres son inferiores a los de hombres en el mismo puesto.

• Se debe elegir entre dos comerciales de galletitas para niños. A un grupo de niños panelistas se les exhiben los dos comerciales y deben asignarle un puntaje a cada uno

Comparando dos promedios

¿los sueldos percibidos por gerentes mujeres son inferiores a los de hombres en el mismo puesto?

•Ho:

•H1:

Una muestra aleatoria de tamaño n1 extraída de la población 1 con media µ1 y desvío std 1

Una muestra aleatoria de tamaño n2 extraída la población 2 con media µ2 y desvío std 2

Comparando dos promedios con muestras independientes

•Comparamos dos promedios haciendo inferencia sobre -, la diferencia entre los dos promedios poblacionales.

•Si los dos promedios poblaciones son iguales, entonces 1-= 0.•El mejor estimador de 1-es la diferencia entre los dos promedios muestrales,

21 xx 21 xx

DistribuciDistribucióónn muestralmuestralde de

21 xx

)()(

2

22

1

21

2121

nn

µµxxZ

21 xx

21 xx

.SE as

estimated becan SE and normal,ely approximat is of

ondistributi sampling thelarge, are sizes sample theIf .3

.SE is ofdeviation standard The 2.

means. population the

in difference the, is ofmean The 1.

2

22

1

21

21

2

22

1

21

21

2121

n

s

n

s

xx

nnxx

xx

La media de la diferencia entrees

las medias poblacionales

El desvío estándar (ES) de es

Si la población original sigue una distribución normal o si el tamaño de las muestras es lo suficientemente grande,

sigue una distribución normal

)()(

2

22

1

21

2121

nn

µµxxZ

21 xx

Comparando dos promedios con muestras independientes

Sueldo de los gerentes (miles de $)

Hombres Mujeres

Tamaño de la muestra 35 27

Promedio muestral 3.5 2.6

Desvío std poblacional 1.3 1.8

Comparando dos promedios con conocidos

•Ho:•H1:

•CR:

Comparando las varianzas o desvíos estándar de dos poblaciones

¿Las dos máquinas dispensadoras son igualmente variables?

•Ho:•H1:

•CR:

DistribuciDistribucióónn muestralmuestralde sde s22

11/s/s2222

.SE as

estimated becan SE and normal,ely approximat is of

ondistributi sampling thelarge, are sizes sample theIf .3

.SE is ofdeviation standard The 2.

means. population the

in difference the, is ofmean The 1.

2

22

1

21

21

2

22

1

21

21

2121

n

s

n

s

xx

nnxx

xx

1. El cociente s21/s2

2 estima el cociente 21/ 2

2

2. Si las poblaciones originales siguen una distribuciónnormal, el cociente …. Seguirá una distribución conocidacomo F de Fisher-Snedecor con n1 y n2 grados de libertad

Comparando dos promedios con muestras independientes y desvíos

poblacionales desconocidos• Para poder comparar los promedios es necesario

determinar si las varianzas de las dos poblaciones son iguales o no.

• Por ello deben compararse previamente las varianzas de las dos poblaciones (Prueba F)

• Si las varianzas no difieren se calcula una varianza amalgamada s2

a “promediando” las varianzas de las dos muestras

2

11S

21

2221

212

a

nn

nSnS

Comparando dos promedios con muestras independientes y desvíos

poblacionales desconocidos

• Si se concluye que las poblaciones poseen varianzas iguales se calcula una varianza amalgamada s2

a “promediando” las varianzas de las dos muestras

• Si se concluye que las poblaciones poseen varianzas distintas no es correcto amalgamar las varianzas muestrales

2

11S

21

2221

212

a

nn

nSnS

Comparación de dos promedios con desvíos poblacionales desconocidos y supuestamente

iguales

221

21

2121

11

)(

nncrit

a

muestral tt

nnS

µµxxt

Comparación de dos promedios con desvíos poblacionales desconocidos y supuestamente

distintos

2

2

2

22

1

2

1

21

2

2

22

1

21

2

22

1

21

2121

11GL

)(

nS

nS

nS

nS

tt

nS

nS

µµxxt GLcritmuestral

Comparando dos proporciones•En ciertos casos estamos interesados en comparar la proporción de “éxito” en dos poblaciones independientes.

•La proporción de semillas que germinan siendo tratadas o no con un funguicida.•El porcentaje de hombres y de mujeres que votan a determinado candidato.

•Para efectuar esta comparación se requiere

Una muestra aleatoria de tamaño n1 extraída de la población 1 con parámetro p1

Una muestra aleatoria de tamaño n2 extraída de la población 2 con parámetro p2

Comparando dos proporciones

•Comparamos las dos proporciones haciendo inferencia sobre p-p, la diferencia entre las dos proporciones poblacionales.

•Si las dos proporciones poblacionales son iguales, entonces p1-p= 0.•El mejor estimador de p1-pes la diferencia entre las dos proporciones muestrales,

2

2

1

121 ˆˆ

n

x

n

xpp

2

2

1

121 ˆˆ

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x

n

xpp r1 r2

Copyright ©2003 Brooks/ColeA division of Thomson Learning, Inc.

21

11)ˆ1(ˆ

nnpp

21

21ˆnn

rrp

.ˆˆˆˆ

SE as

estimated becan SE and normal,ely approximat is ˆˆ of

ondistributi sampling thelarge, are sizes sample theIf .3

.SE is ˆˆ ofdeviation standard The 2.

s.proportion population the

in difference the, is ˆˆ ofmean The 1.

2

22

1

11

21

2

22

1

1121

2121

n

qp

n

qp

pp

n

qp

n

qppp

pppp

La media de es la diferencia entre

las proporciones poblacionales

El desvío estándar (ES) de es

donde

3. Si el tamaño de las muestras es lo suficientemente grande,

sigue una distribución normal

21

2121

11)ˆ1(ˆ

)(ˆˆ

nnpp

ppppZ muestral

21

11)ˆ1(ˆ

nnpp

21

21ˆnn

rrp

21 ˆˆ pp

DistribuciDistribucióónn muestralmuestralde de 21 ˆˆ pp

Ejemplo¿Es efectiva la aspirina?

• Se registró la presencia de infartos (incidencia) durante 5 años:

Grupo Infarto No infarto n Incidencia

Placebo 239 10795 11034 0.0217

Aspirina 139 10898 11037 0.0126

Ejemplo• Ho:• H1:

• CR: