Como Superar Las Matematicas de COU y Selectividad

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FO R M U LA S G EO M ETR IC A S

ROMBO TRA PECIO

B + h A = h

Permetro = B + b + h/ l + _ 1__ \\ sen a sen (3 j

POLIGONO REGULAR DE n LADOS

A = n b a

n b 4 te f irnt

SECTOR Y SEGMENTO CIRCULAR

1 A , = _ r x

Aj = C (x - sen x)

Longitud de s = ix

PARALELEPIPEDO RECT ANGULO

A| - 2 (a + bl c

A| A| + 2 ab

V - area base * altura = - abe

CILINDRO RECTO

A | = 2 jr r h

A| - A[ + 2 77 r2

V = area base x altura = r *2 li

PRISMA Y P IR AM IDE

V = arca base x altura

V arca base x altura

CONO

A| ?r rg - ir \ t2 -E h 2A^ A| -f 77 r 2

V = = rea base x alte 3= i r J h3

TRONCO DE CONO

A[ = a (a + b) \4 i2 + (b - a )2

= ti (a + b ) g

A( = A| + 7T (a2 + b2)

V = irh (a2 + a b -f b2)

ESTERA Y CASQUETE

A = 4 tt r2

V 41 3 77 r2

A, 2 tt r h

Vs = y h 2 ( 3 r - h )

A = rea V = volumen

A] = rea latera] At = rea total

As = rea zona sombreada Vs = volumen zona sombreada

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PABLO TANIGUCHI DIETRICHCatedrtico del I.B. Maragall

Barcelona

CMO SUPERAR LAS MATEMTICAS

DE C.O.U. Y SELECTIVIDAD

BARCELONA1988

EDUNSAE D IC IO N E S Y D IS T R IB U C IO N E S U N IV E R S IT A R IA S , S.A. V ilad o m at, 247-249 08029 B arcelona

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1988 Pablo Taniguchi D ietrich E dita :

1988 E D U N S A -E dic ones y D istr. U n iversitarias S/AV iladom at, 247-249 Telf. 410 17 27 08029 B arcelona

ISB N - 84-85257-95-2 D .L . B.27975 -1988

im prim e. G R A F IC A S P U R E S A , S .A .G ero n a , 139, Sabadell

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A mi hija Mariona-Kazumi

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AGRADECIMIENTOS

Deseo expresar mi agradecimiento a mis colegas Mari Luz Calle Rosingarta, Joan Caries Fiol Colomar, Joan Gmez Urgells y Ana Ro Doval por su inestimable colaboracin en la clasificacin y resolucin de los ejercicios; a mis amigos y colegas Maribel Barrionuevo Pealver, Jos Garca de las Bayonas Moreno, Ricard Pons Bailarn, Salvador Segura Dom- nech, Jordi Set M usquera y Eladio Temio Fernndez por haberme proporcionado listas de problemas propuestos en pruebas de selectividad; a mis amigas M ara Antonia Lpez Lpez y Virginia Blay por el mecanografiado de los originales; a Joan Ins por las ilustraciones; a EPSON, ST1, S.A. por la colaboracin prestada en la confeccin de los grficos; y a M arina Faix Pararais, mi esposa, por su inapreciable colaboracin y constante apoyo en la redaccin de este trabajo.

El autor

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AGRADECIMIENTOS

Deseo expresar mi agradecimiento a mis colegas Mari Luz Calle Rosingana, Joan Caries Fiol Colomar, Joan Gmez Urgells y Ana Ro Doval por su inestimable colaboracin en la clasificacin y resolucin de los ejercicios; a mis amigos y colegas Maribel Barrionuevo Pealver, Jos Garca de las Bayonas Moreno, Ricard Pons Bailarn, Salvador Segura Dom- nech, Jordi Set M usquera y Eladio Temio Fernndez por haberme proporcionado listas de problemas propuestos en pruebas de selectividad; a mis amigas Mara Antonia Lpez Lpez y Virginia Blay por el m ecanografiado de los originales; a Joan Ins por las ilustraciones; a EPSON, STI, S.A. por la colaboracin prestada en la confeccin de los grficos; y a M arina Faix Pararols, mi esposa, por su inapreciable colaboracin y constante apoyo en la redaccin de este trabajo.

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NDICE

P R L O G O ................................................ XV

1. ESPACIOS VECTORIALESR ESU M EN T E R IC O ........................................................................... 1

1. C oncepto de espacio v e c to r ia l ........................... 12. C om binacin l i n e a l ..................................................................... 23. Subespacio v ec to ria l......................................................................... 24. D ependencia l in e a l ................................................................................ 25. Sistem a de generadores. B a se .......................................... 36 . Rango de un con jun to de vectores .................................................. 47. M a tric e s ................................................................................ 68 . D e te rm in an tes ...................................................................... 69. M dulo de un vector. P roducto escalar. ngulo entre

dos vec to res ......................................................................................... 810. P roducto vectorial ............................................................................. 9

E JE R C IC IO S Y PR O B LEM A S R E S U E L T O S ............. 9E JE R C IC IO S Y PRO BLEM A S PR O PU E ST O S........................ 35Del baco al m ic ro o rd en ad o r.................................................. 48

2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESR ESU M EN T E R IC O .................................................. 49

1. S istem a de ecuaciones lineales. S istem a h o m o g n e o .................. 492. Sistema com patib le (determ inado o indeterm inado)

o in c o m p a tib le .................................................................................................. 493. M atrices asociadas a un s is te m a ..................................................................... 504. R ango y nm ero de grados de libertad ....................................................... 515. D iscusin y resolucin de un s is te m a ............................... 516 . D iscusin po r rangos de un sistem a de ecuaciones .................. 527. Regla de C ra m e r ..................................................................................................... 52

E JE R C IC IO S Y PRO BLEM A S R E S U E L T O S ......................................... 53E JE R C IC IO S Y PR O B LEM A S P R O PU E ST O S .............................. . . . 76 www.FreeLibros.me

3. APLICACIONES LINEALES

X P. TANIGUCHI

RESUM EN T E R IC O ............................................. 871. C o n c e p to ......................................... 872. Ncleo e im a g en ........................... 873. M atriz de una aplicacin l in e a l ...................................................................... 884. M atriz de la aplicacin com puesta ............................. 885. M atriz in v e rsa .................................................. 886 . C am bios de base ............................................. 89

E JE R C IC IO S Y PRO BLEM A S R E S U E L T O S .......................................... 89E JE R C IC IO S Y PRO BLEM A S P R O P U E S T O S ....................................... 98

4. GEOMETRA TRIDIMENSIONALRESU M EN T E R IC O ................................ 103

1. Ecuacin vectorial de una r e c ta ....................................................................... 1032. Recta determ inada por dos p u n to s ................................................................ 1043. Ecuaciones param tricas y ecuacin con tinua de una r e c t a ................ 1044. Ecuaciones im plcitas de una r e c t a ................................................................. 1055. Ecuacin vectorial de un p la n o ....................................................................... 1076 . P lano determ inado po r tres p u n to s ................................................................ 1087. Ecuacin im plcita de un plano. Vector o r to g o n a l ................................... 1098 . D istancia de un punto a un p la n o ................................................................... 1109. D istancia de un pun to a un a r e c t a ................................................................ 111

10 . ngulo form ado por dos rectas, po r dos p lanos o poruna recta y un p la n o ................ 113

11. Posicin relativa de dos re c ta s ..................................................... 11312. Posicin relativa de dos p la n o s ........................................................................ 11413. Posicin relativa de una recta respecto de un p la n o ................................ 11714. P ro y ecc io n es................................... : .................................................. 11815. P unto medio. M ediana. B a ric e n tro ......................... 11916. Razn sim ple de tres puntos a lin ea d o s .......................................................... 12017. reas y v o l m en es...................................... 120

E JE R C IC IO S Y PRO BLEM A S R E S U E L T O S .......................................... 120E JE R C IC IO S Y PRO BLEM A S P R O PU E ST O S ....................................... 146B ernardus Bolzano .............................................................................................. 160

5. CONTINUIDAD Y DERIVACIN. TEOREMAS DE VALOR MEDIO. REGLA DE LHOPITAL. FRMULA DE TAYLOR

R ESUM EN T E R IC O ....................................................................................... 1611. C oncepto de c o n t in u id a d ................................................................................... 1612. Puntos de discontinuidad de f .......................................................................... 161

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3. Teorema de B o lzano .............................................................................................. 1634. C oncepto de derivada. Tkngente y n o rm a l.................... 1645. Propiedades de las d e r iv a d a s ...................................................... 1656 . Tbla de d e r iv a d a s ................................................................................................ 1657. Teoremas de valor m edio .................................................................................. 1668 . Regla de lH o p i t a l .............................................................................. 1679. A proxim acin local de una funcin m ediante un p o lin o m io 168

EJE R C IC IO S Y PRO BLEM A S R E S U E L T O S ......................................... 169E JE R C IC IO S Y PRO BLEM A S PR O PU E ST O S ....................................... 191

6 . OPTIMIZACIN. REPRESENTACIN GRFICA DE FUNCIONES

R ESU M EN T E R IC O ................ 2031. In tro d u c c i n ........................................................................................................... 2032. Intervalos de m onotona. P un tos especiales................................................ 2033. Valores e sp ec ia le s .................................................................. 2044. Extrem os r e la t iv o s ............................... 2075. Extrem os absolutos .............................................................................................. 2096 . C m o se p lantea y resuelve un problem a de optim izacin

(m xim os y m n im o s ) ......................................................................................... 2107. Intervalos de concavidad. P un tos de in f le x i n ......................................... 2138 . A s n to ta s .................................................................................................... 2149. Tbla grfica de la fu n c i n ............................................................. 216

10. Diseo de la grfica de la f u n c i n ................................................................ 21711. C uestiones tiles p a ra representar funciones polinm icas

y ra c io n a le s ............................................................................................... 220

E JE R C IC IO S Y PRO BLEM A S R E S U E L T O S .................. 221E JE R C IC IO S Y PRO BLEM A S P R O PU E ST O S ........................ 251M isce ln ea ................................................................................................................ 251Problem as de op tim izac i n .................................................................. 254G r f ic a s ................................................................................................. 258

7. INTEGRACIN1. C oncepto de prim itiva. P ro p ie d a d e s .............................................................. 2612. T ib ia de prim itivas. Integrales in m e d ia ta s ............................. 2623. Integracin por cam bio de v a riab le ................................................................ 2644. Integracin po r p a r t e s ........................................................................ 2645. Integracin de funciones rac ionales................................................................ 2666 . Integrales d e f in id a s ......................................................................... 2717. rea y volm enes determ inados po r un recinto lim itado

por el eje de abscisas, una curva y dos rectas v e r tic a le s ....................... 273

NDICE XI

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8 . rea y volm enes determ inados por un recinto lim itadopor dos curvas y dos rectas v erticales.................. 274

9. Longitud de un arco de curva y rea de una superficiede revolucin ........................................................................................... 274

E JE R C IC IO S Y PRO BLEM A S R E S U E L T O S .......................................... 275Integrales in m e d ia ta s ............................................................................................ 275C am bio de v a r ia b le ........................... 277Integracin po r p a r te s ............................................................................. 280Funciones ra c io n a le s ............................................................................................ 283reas, volm enes y lo n g itu d es .......................................................................... 287Problem as d iversos............................................................................................. 297E JE R C IC IO S Y PRO BLEM A S PR O PU E ST O S....................................... 300P rogram a de integracin n u m r ic a ................................................................ 308

8. CLCULO NUMRICORESU M EN T E R IC O ....................................................................................... 309

1. In te rp o lac i n .................................................... 3092. M todos iterativos para la resolucin de e c u a c io n e s ................................ 3113. Integracin n u m ric a ............................................................................................ 314

EJE R C IC IO S Y PR O B LEM A S R E S U E L T O S ........................................ 317E JE R C IC IO S Y PR O B LEM A S P R O PU E ST O S ..................................... 326P rogram a de resolucin de ec u ac io n e s .......................................................... 330

9. COMBINATORIA Y PROBABILIDADESR ESU M EN T E R IC O ....................................................................................... 331

1. C o m b in a to r ia .......................................................................................................... 3312. S ucesos ..................................................................................................... 3343. P robab ilidades.......................................................................................................... 3344. P robabilidad c o n d ic io n a d a ................................................................................ 3375. C m o se resuelven los problem as de p ro b a b il id a d e s .............................. 339

E JE R C IC IO S Y PR O B LEM A S R E S U E L T O S ........................................ 348E JE R C IC IO S Y PRO BLEM A S P R O P U E S T O S ..................... 373C o m b in a to r ia ................................- ....................................................................... 373P robab ilidades........................................................... 375P rogram a para calcular el dade la sem ana correspondiente a una fech a ................................................... 384

SOLUCIONAR)1. Espacios v ec to ria les .............................................................................................. 3852. Sistem as de ecuaciones l in e a le s ......................................................... 3893. A plicaciones l in e a le s ............................................................................................ 395

XII P. TANIGUCHI

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NDICE XIII

4. G eom etra tr id im e n s io n a l ......................................................................... 3985. C on tinu idad y derivacin. Teoremas de valor medio. Regla

de l H op ita l. Frm ula de T b y lo r ........................................... 4036 . O ptim izacin. R epresentacin grfica de fu n c io n e s ............................... 4117. In teg rac i n ...................... 4298 . C lculo n u m ric o .................................................................... . . . 4379. C om binato ria y p ro b a b il id a d e s ..................................................... 439

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PROLOGO

Esta obra completa la coleccin Cmo superar las matemticas de B.UP. y C.O.U. Al igual que sus tres predecesoras, puede usarse como complemento de cualquier libro de texto o de los apuntes de clase. Cada captulo presenta, adems de un resumen terico, una variada y completa coleccin de ejercicios y problemas resueltos de form a razonada, seguida de una coleccin de ejercicios y problemas propuestos (con solucionarlo) para que el alumno ponga en prctica las ideas adquiridas. Los problemas que llevan un asterisco tienen una dificultad superior a la normal y los que llevan dos son an ms difciles.

El libro es til para recuperar evaluaciones, organizar trabajos en grupo, potenciar la capacidad de trabajo de los alumnos ms aprovechados y preparar exmenes del Instituto Ncio- nal de Bachillerato a Distancia. Asimismo, jun to con las obras correspondientes a B.U.P, de esta misma coleccin, es de gran utilidad para quienes deseen ingresar a la universidad a travs de las pruebas de acceso para mayores de veinticinco aftos.

A pesar de que el C.O.U, est concebido para dar una formacin adecuada, a fin de afrontar el primer curso de una carrera universitaria con un mnimo de conocimientos tericos y prcticos, es innegable que la principal preocupacin de los alumnos (y de sus profesores) es la superacin de las pruebas de selectividad. Por este motivo, hemos recopilado y clasificado centenares de exmenes de selectividad, de todas las universidades espaolas, que han tenido lugar entre junio de 1979 y setiembre de 1987. Es as que gran parte de los ejercicios y problemas, tanto resueltos como propuestos, pertenecen a pruebas de selectividad. Asimismo, se han incluido, a lo largo de toda la obra, consejos prcticos de cara a la selectividad y los resmenes tericos se han elaborado teniendo en cuenta las cuestiones de teora que a veces aparecen en los exmenes. Sin embargo, no se ha dejado de lado el objetivo principal del C.O.U. y tambin se han desarrollado temas (el clculo numrico, por ejemplo) que no suelen entrar en la selectividad.

Se ha cuidado especialmente el aspecto pedaggico, no slo dando consejos prcticos sino comunicando ideas: expresando el porqu del camino elegido para resolver un problema y dando una visin global de un tema concreto para saber elegir el mtodo adecuado para cada caso concreto. Tkmbin se ha procurado elegir el mtodo ms corto, sencillo y rpido para resolver los problemas, lo cual nos ha llevado a agrupar los temas en pocos captulos, ms bien largos, en lugar de atomizar los contenidos en muchos captulos cortos.

El lgebra lineal est dividida en tres captulos. En el captulo 1 se estudian vectores, determinantes y matrices. Estos temas no se citan en el Programa Oficial, pero son necesarios

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XVJ P. TANIGUCHI

para el desarrollo de los sistemas de ecuaciones (cap. 2) y geometra (cap. 4). Su inclusin en un solo captulo permite, por ejemplo, estudiar la dependencia lineal de un conjunto de vectores directamente mediante el clculo del rango de una matriz, en vez de partir de las definiciones (lo cual implica el engorro de la utilizacin de lambdas y mus). El captulo 3 est dedicado ai estudio de las aplicaciones lineales, cambios de base e inversin de m atrices. Estos temas, aunque no suelen entrar en la selectividad, son de gran im portancia en primero de carrera y por ello se tratan en captulo aparte.

La geometra (cap. 4) se encuentra en un solo captulo y no en dos, como sugiere el Programa Oficial: geometra afn (problemas de incidencia y paralelismo) y geometra eucldea (ngulos, perpendicularidad, distancias, etc). Ello permite que se empleen recursos de la geometra eucldea para resolver problemas de la afn. As, por ejemplo, para hallar la ecuacin vectorial de la recta que pasa por el punto P y es paralela la interseccin de dos planos, se calcula el vector director de la recta pedida mediante el producto vectorial de los vectores ortogonales a dichos planos.

El clculo diferencial se encuentra dividido en dos captulos: uno (cap. 5) que podramos llamar de fundamentos (lmites, continuidad, derivacin, e tc) que recoge temas no incluidos en el Programa Oficial pero que suelen entrar en la selectividad, y otro (cap. 6) especfico de las aplicaciones en la resolucin de problemas de optimizacin (mximos y mnimos) y representacin grfica de funciones. Al igual que en la obra de 3o de B.U.P., insistimos en que la metodologa empleada en muchos textos para los problemas de optimizacin es inadecuada y a veces errnea (ver el problema resuelto n 10). El clculo integral se estudia en el captulo sptimo y el clculo numrico en el octavo.

Finalmente, en el captulo 9 se estudian la com binatoria y las probabilidades. Merece especial mencin el apartado 5 del resumen terico en el que se explica, con ejemplos, cmo se resuelve un problema de probabilidades.

En resumen, se ha desarrollado ntegramente el Programa Oficial, aadiendo temas que no cita explcitamente, pero inciden en la selectividad o son necesarios para el desarrollo de otros temas. Adems, se ha pretendido dar una utilidad adicional al libro: servir de texto de consulta para cuestiones bsicas en primero de carrera.

El autor

Barcelona, mayo de 1988

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1. ESPACIOS VECTORIALES

RESUMEN TERICO

1. Concepto de espacio vectorialUn espacio vectorial es un con jun to E do tad o de una operacin in terna llam ada su

ma y de una operacin externa llam ada producto por escalares. Respecto de ia sum a es un g rupo conm utativo:

P ropiedad conm utativa: T + 7 = 7 + u p ara todo T, 7 6 E.

Propiedad asociativa: i + ( 7 + vf) = (i? + 7 ) + 1? para todo T, 7 , 7 6 E.

Existencia de elem ento neutro: existe 7 (vector nulo o vector cero) tal que T + (? = T para todo T e E.

Existencia de elem ento opuesto: para todo T E existe t E tal que u + ( - u ) = \

El producto por escalares se define sobre un cuerpo que, salvo especificacin en contra, es el de los nm eros reales (R ). Verifica las siguientes propiedades para todo X, t R y para todo T, 7 6 E:

Propiedad asociativa: \ (ji T) = (X n) u .

Propiedad doblem ente distributiva: X (T + 7 ) = X - T + X 7 y(X + p) T = X T + n T.

Existencia de elem ento neutro: 1 T = 7 .

Los elem entos de E reciben el nom bre de vectores y los de R , escalares.

El espacio vectorial que m s se utiliza en C O U es el espacio de los vectores libres de tres com ponentes:

Ej = ((a, b, c) / a, b, c R )

cuyas operaciones son:

Sum a: (a, b, c) + (d, e, f) = (a + d, b + e, c + f)

P roducto por escalares: X (a, b, c) = (X - a, X b, X c).

El vector nulo es (0, 0 , 0) y el opuesto de (a, b, c) es (a, b, c).

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2 P TANIGUCHI

2. Combinacin linealSe llam a combinacin lineal de un conjunto de vectores al resultado de m ultiplicar

por escalares dichos vectores y sum ar los productos si se trata de dos o m s vectores.

Por ejemplo, 5 (1, 2, 3) = (5, 10, 15) y 0 - (1, 2, 3) = X u 6 S

A m bas condiciones se resumen en una:

T, v? S y X , / x 6 l R = > X - " u + /t v> S

4. Dependencia linealSe dice que un conjunto form ado por dos o m s vectores es linealmente dependiente

(IM.), si al m enos uno de ellos es com binacin lineal de los dem s. Reciprocam ente, d irem os que es linealmente independiente (.) si n inguno de los vectores se puede expresar com o com binacin de los dem s. Si se tra ta de un solo vector, si ste es el vector nulo, es linealm ente dependiente y en caso contrario , es linealm ente independiente.

Por ejemplo, los vectores (1, 2, 3) y (2, 4, 6 ) son l.d. porque (2, 4, 6 ) = 2 (1, 2, 3). Tambin lo son (1, 4, 7), (1, 1, 1) y (0, 1, 2) ya que (1, 4, 7) = 1 (1, 1, 1) + 3 (0, 1, 2). Los vectores (2, 1, 0) y (0, 1, 1) son l.i., ya que no hay ningn nm ero que m ultiplicado por uno d el otro. Tmbin es l.i. el vector (0 , 1, 0 ) por ser d istin to del (0 , 0 , 0 ).

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ESPACIOS VECTORIALES 3

Se dem uestra que un con jun to de vectores es l.i. si la nica com binacin lineal de ellos, que da el vector nulo, es la que tiene todos ios escalares nulos.

v 2, 'v l.i. (X V , + X2 - V 2 + ... + X = I? => X, = ... = X = 0

Si, por el contrario , existe una com binacin lineal de los vectores, que da el vector nulo y no todos los escalares son nulos, entonces los vectores son l.d.

Por ejem plo, para los vectores (2, I, 0) y (0, 1, 1):

X (2, I, 0) + p (0, 1, I) = (0, 0, 0)

2 X = 0X + /t = 0 => X = n - 0 => (2, 1, 0) y {0, I, 0) son l.i.

(i 0

Sin em bargo, para los vectores (1, 4, 7), (1, 1, 1) y (0, 1, 2), tenemos:

X (I, 4, 7) + n (1, 1, 1) + 7 (0, 1, 2) = (0, 0, 0)

X + i 04 X + /t + 7 0 ^7 \ + H + 2y = 0 7 - 3 /t

Tomando, p o r ejemplo, i - t, tenemos:

- 1 (1, 4, 7) + 1 - (I, 1, 1) + 3 (0, 1, 2) = (0, 0, 0)

Las m atrices y los determ inantes nos proporcionarn m todos m s expeditivos para estudiar la dependencia lineal de un conjunto de vectores.

Se verifican las siguientes propiedades:

(a) Todo con jun to que contenga al vector nulo, a dos vectores iguales o a un vector que sea m ltip lo de otro, es l.d.

(b) Todo subconjunto (no vaco) de un conjunto de vectores l.i. es asim ism o l.i.

(c) S a un con jun to de vectores l.d. se le aade uno o ms vectores, el resultadoes asim ism o un con jun to l.d.

5. Sistema de generadores. BaseSe llam a sistema de generadores de un espacio vectorial E a todo subconjunto de E

tal que cualquier vector de E es com binacin lineal de dicho subconjunto. Si, adem s, el con junto es l.i., recibe el nom bre de base.

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4 P. TANIGUCHI

Por ejemplo, (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) es una base (llam ada base cannica) de E3.

Se verifican las siguientes propiedades:

(a) El conjun to form ado por todas las com binaciones lineales de un conjunto de vectores es un subespacio vectorial, siendo dicho con jun to de vectores un sistem a de generadores del subespacio. Este recibe el nom bre de subespacio generado por el citado conjunto de vectores. Por ejemplo,

S = (X (1, 2, -~1) + n (2, 3, 0) / X , fi 6 R !

es el subespacio generado por (1, 2, 1) y (2, 3, 0).

(b) Si a un sistema de generadores se le aade uno o ms vectores, el con junto resultante tam bin es un sistema de generadores.

(c) La expresin de un vector en una base es nica. Por ejemplo, si

(2, 3, 5) = X (1, 0, 0) + M (0, 1, 0) + y - (0, 0, I)

entonces \ = 2 , p = 3 y 7 = 5.

(d) Sea V *2, ...t i?,, una base de E y sean ~v ,, V'j, ..., v \ vectores linealm ente independientes. Entonces, pueden sustituirse convenientem ente k vectores de la base por ~v ,, v \ , de m odo que el con jun to de n vectores as obtenido seauna nueva base de E (teorema de Sieiniiz; las propiedades que vienen a co n tinuacin son corolarios de este teorem a).

(e) Todas las bases de un espacio vectorial tienen el m ism o nm ero de elementos; dicho nm ero recibe el nom bre de dimensin. Por ejemplo, E} es de dim ensin 3 porque adm ite una base con tres elem entos (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1).

(f) Si E es de dim ensin n, todo conjunto de vectores linealm ente independientes consta de un nm ero de vectores < n. En particular, todo conjunto form ado por ms de n vectores es linealm ente dependiente y todo con jun to fo rm ado por n vectores linealm ente independientes es una base de E.

6. Rango de un conjunto de vectoresSe llam a rango de un con jun to de vectores al m xim o nm ero de vectores linealm ente

independientes que posee; coincide con la dim ensin de! subespacio vectorial generado por dicho con jun to de vectores.

El rango de (1, 0, 0), (0, 1 ,0) y (0, 0, 1) es 3, m ientras que el de (1, 1, 1) y (2, 2, 2) es 1.

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7. MatricesSe llam a matriz de orden m x n a un cuadro de m x n nm eros, dispuestos en m

filas y n colum nas.

Por ejem plo, una m atriz 2 x 3 es:

1 2 10 1 4

Es posible sustitu ir los corchetes por parntesis.

S el nm ero de filas coincide con el de colum nas, se dice que la m atriz es cuadrada. Si slo consta de una fila, se dice que es una matriz fila\ anlogam ente, se llam a matriz columna a la que s lo tiene una colum na.

Tanto las filas com o las co lum nas de un a m atriz son susceptibles de ser consideradas com o vectores; se llam an vectores fila o vectores columna, respectivamente. Recprocamente, d ado un con jun to de vectores, se puede form ar con ellos un a m atriz cuyas filas o colum nas, segn se desee, estarn form adas po r las com ponentes de dichos vectores.

Se llam a rango de una matriz al rango de sus vectores fila, el cual, a su vez, coincide con el de sus vectores colum na. Se calcula por el m todo de G auss o m ediante determ inantes; vanse los ejercicios resueltos de 4 a 8 .

8. DeterminantesEn vez de una defin icin general, que es terriblem ente com plicada y farragosa, va

mos a dar un a definicin prctica e inductiva.

En prim er lugar, direm os que un determinante es com o una m atriz cuadrada, pero con la diferencia de que hay que operar sus elem entos a fin de obtener al final un nm ero. El nm ero de filas (y de colum nas) se llam a orden del determ inante. Por cierto que un determ inante se diferencia de una m atriz cuadrada por la notacin: se usan barras verticales en lugar de corchetes o parntesis.

El valor de un determ inante de orden uno es su elemento. El de un determ inante de orden 2 se calcula as:

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6 P. TANIGUCHI

El valor de un determ inante de orden 3

a b e d e fg h i

se calcula m ediante la rega de Sarrus. Se copian las dos prim eras colum nas a la derecha y se trazan las 6 diagonales, que indican sendos productos. La diagonal principal (a e i) y sus dos paralelas van con su signo, m ientras que la d iagonal secundaria (c e - g) y sus dos paralelas van con los signos cam biados:

a. b- d

.g-

c ... ;:f... -K '

, a .-b ,d - :,4 e "g..... h ..

B B B ' 0 0 BEl resultado es a e i + b - f - g + c * d h c e g a * f h b - d > i.

Los determ inantes de orden 4 se calculan por desarro llo a p a rtir de los elem entos de una fila o colum na y equivalen a 4 determ inantes de orden 3. A cada posicin del determ inante se le asigna un signo: + si es el de la parte superior izquierda (o bien cualquiera de la diagonal principal); cualquier desplazam iento de una posicin vertical u horizontal, pero nunca en diagonal, im plica un cam bio de signo.

+ + + --+ +

Una vez elegida una fila (o colum na), se calculan los ad jun tos de sus elementos. Se llam a adjunto de un elem ento al determ inante que se obtiene (de orden 3 en nuestro caso) al elim inar la fila y la colum na que contienen a ese elem ento; dicho determ inante debe ir afectado del signo de la posicin. Por ltim o, el determ inante es el p roducto de los elem entos de la fila (o colum na) elegida por los correspondientes adjuntos.

+

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Por ejemplo, si seleccionam os la prim era fila

1 2 3 42 5 1 47 9 2 35 3 4 5

5 1 4 2 1 4 2 5 4 2 5 11 9 2 3 2 7 2 3 + 3 7 9 3 4 7 9 2

3 4 5 5 4 5 5 3 5 5 3 4

= 1 . 74 - 2 48 + 3 ( -1 2 4 ) 4 * ( - 5 4 ) = - 1 7 8

La propiedad an terio r es vlida para cualquier determ inante y, en consecuencia, puede utilizarse para calcular determ inantes de orden 5 (= 5 determ inantes de orden 4), de orden 6 (= 6 determ inantes de orden 5), etc.

Conviene observar que el nm ero de trm inos que, en principio, es necesario calcular para desarro llar un determ inante de orden n es n!

1 -* 1 1!2 f 2 = 2 !3 6 = 3!4 24 = 4 6 = 4 - 3! = 4 '5 120 = 5 . 24 = 5 4! = 5!6 -> 720 = 6 120 = 6 5! = 6 >

Ntese que el nm ero de trm inos crece vertiginosam ente con n. Por eso, los determ inantes, a partir del orden 4, se suelen reducir haciendo uso de las siguientes propiedades:

(a) Si en un determ inante sus filas (o colum nas) form an vectores lneaim ente dependientes, el determ inante vale 0 (y recprocam ente). En particu lar ello sucede cuando hay una fila (o colum na) form ada po r ceros, o hay dos filas (o co lum nas) iguales o proporcionales.

(b) Si a una fila (o colum na) se le sum a una com binacin lineal de las dem s (en particu lar un m ltiplo de o tra), el determ inante no se altera. Esta propiedad es m uy im portante, pues perm ite convertir en ceros elem entos de una fila o colum na, con lo cual se reduce su desarrollo. En particular, si se consigue que todos los elem entos de una fila o colum na sean ceros el determ inante vale cero; si se consigue que todos sean nulos, salvo uno, el determ inante queda reducido a uno de un orden inferior (si, por ejemplo, el determ inante era de orden 4, quedar reducido a uno de orden 3, porque al desarro llar la fila o colum na en cuestin, slo har falta calcular el ad ju n to del elem ento no nulo).

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8 P. TANIGCHI

(c) Si los elem entos de una fila (o colum na) se escriben com o sum a de dos, el determ inante es igual a la sum a de los determ inantes, am bos con las m ism as filas (o colum nas) excepto la fila o colum na en cuestin, que en uno de los determ inantes tendr los sum andos de la izquierda y en el otro los de la derecha. Por ejemplo,

a, + a 2 b, + b2 c, + c2 b,


U na base ortogonal es la fo rm ada por vectores dos a dos ortogonales. Si, adems, dichos vectores son de m dulo 1, se dice que la base es ortonormal. Por ejemplo, (1, 0 , 0 ), (0 , 1, 0 ) y {0 , 0 , 1) fo rm an una base o rtonorm al.

10. Producto vectorial

Se llam a producto vectorial de t = (a, b, c) y V = (d, e, f) al vector:

l bc a e a b \

\ l c f 1 d f i d 1 /

Es decir, es el vector cuyos com ponentes son los ad jun tos de i, j y k en el determ inante:

t J ka b cd e f

El m todo prctico m s usado consiste en desarro llar este determ inante; los coeficientes de i, j y k son precisam ente las com ponentes del p roducto vectorial.

Por ejem plo, si f - (2, 3, 5) y V = (1, 2, 4), entonces:

J32

k5 -22 i + 13/ + k =s> u A = ( 22, 13, 1)

Es inm ediato que H A 'v = (0, 0, 0) si, y slo si, ti y V son linealm ente dependientes. Si uf y V son linealm ente independientes, entonces Tt A V es un vector no nulo y ortogonal a am bos; esta prop iedad ser am pliam ente utilizada en el captu lo 4.

EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS

Hallar una base de los siguientes subespacios vectoriales de R3.a) S = {(x, y, z) : 2x = y, z = 0|b) S = {(x, y, z) : 2x y + z = Ojc) S = ((x, y, z) : x = 2y = 3zj

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10 P. TANIGUCHI

Solucin

a) S - |(x , y, z) : 2x = y, z = 0)

Si (a, b, c} es un vector de S debe cum plirse b = 2a y c = 0. Por tanto,ser de la form a (a, 2a, 0) = a (1, 2, 0). A dem s podem os tom ar a R cualquiera. Luego, S = {X (1, 2, 0) / X R} que es un subespacio de E3 de base {1, 2 , 0 ) (y, por tanto, de dim ensin 1).

b) S = j(x, y, z) : 2x y + z = 0)Si (a, b, c) es un vector de S deber cum plirse 2a b + e = 0, es decir,

b = 2a + c, con lo cual el vector ser de la form a

(a, 2a + e, c) = (a, 2a, 0) + (0, c, c) = a (!, 2, 0) + c (0, 1, 1) a , c R

Luego, (1, 2, 0) y (0, 1, l) generan el subespacio S. Adems, estos dos vectores son hnealm ente independientes, ya que su rango es 2 :

1 2 00 1 1

Luego, (1 ,2 ,0 ) y ( 0 , 1,1 ) son vectores linealm ente independientes que generan S y, por tanto, son una base de S. S es, pues, un subespacio vectorial de E de dim ensin 2 .

c) S - ((x, y, z) : x = 2y = 3z{

Si (a, b, c) pertenece S tendrem os a = 2b = 3c, es decir, b = a /2 y c = a /3 . Entonces el vector ser (a, a /2 , a /3 ) = a(l, 1/2, 1/3) con a R . (1, 1/2, 1/3) es una base de S. Luego, S es un subespacio de E3, de dim ensin i.

Observacin: Si e*,, e*2, ... * es una base de S tam bin X,e, X2e2, Xen ser base de S siem pre que X,, X2, ... Xn sean escalares no nulos. As po r ejemplo, en el caso c) el vector (6 , 3, 2) tam bin es base de S, puesto que se obtiene de m ultiplicar por 6 el vector (1, 1 /2 , 1/3).

C* Demostrar que S = (x, y, z) 6 E 3 | x + y + i = 0] es un subespacio de 3. Hallar una base del mismo.

Solucin

Debemos com probar que:

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ESPACIOS VECTORIALES II

Tf, V S y X , e R = > X I ? + /i V S

Sean pues T = (x, y, z) y T = (a, b, c) dos vectores de S y X, i IR. C om o "u,V S tendrem os

(1) x + y + z = 0

(2 ) a + b + c = 0

y, por o tra parte,

XI + v> = (Xx, *y, Xz) + Oa, jib, pe) = (Xx + m, + /ib, Xz + fie) == (x \ y , z )x + y + z = (Xx + fia) + (Xy + pb) + (Xz + fie) == X (x + y + z) + / i ( a + b + c) = X- 0 + / i * 0 = 0

(aplicando las condiciones (1) y (2 ))

As, las com ponentes de XT? + p V verifican la condicin que define S, es decir, Xii + fiV S.

H allem os ahora una base de S. Si (x, y, z) S se cum ple s + y + z = 0 y, por tanto, x = y z. El vector ser

( - y ~ z , y, z) = ( - y , y, 0 ) + ( - z , 0 , z) = y (1, 1, 0 ) + z ( - 1, 0 , 1)

con y, z IR. Los vectores (1, 1, 0) y (1, 0, 1) son generadores de S. Adem s son linealm ente independientes porque su rango es 2 :

- 1 1 0 1 0- 1 0 1 0 1

As pues, ( 1, 1, 0) y ( 1, 0, 1) form an una base de S.

Calcular los siguientes determinantes

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12 P. TANIGUCHI

1 3 0 1 20 2 1 _ ] - 12 6 - 3 1 45 - 2 0 2 73 8 5 - 4 1

4 6 9 5 - 2 57 4 12 3 - 2 0

11 8 _ 6 - 2 00 - 6 -1 5 0 -2 50 - 1 0 21 4 - 3 5

Solucin

3 2 0 - 1- 2 4 5 0

1 - 1 2 76 3 _ 6 0

Observam os que en la 4 a colum na ya tenem os dos ceros, y lograrem os poner o tro cero s a la 3 a fila le sum am os la Ia fila m ultiplicada po r 7. (Recordem os que el valor de un determ inante no se altera si a una fila se le sum a una com binacin lineal de las dem s).

Luego,

3 2 0 - 1A = - 2 4 5 0 (haciendo 3a fila + 7 x Ia fila)

22 13 2 06 3 - 6 0

Si se desarrolla p o r la 4 a colum na se obtiene

- 2 4 5- ( - 1) 22 13 2 = 156 + 48 + 330 -3 9 0 + 12 + 528

6 3 - 6 = 684

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5 - 1 3 41 - 3 6 8

- 2 1 1 57 2 3 1

Vamos a poner ceros en la Ia colum na. P ara ello fijem os la 2a fila y summosla a las dem s, m ultip licada en cada caso por un nm ero conveniente:

B

0100

14- 3- 523

-276

13-39

-368

21-55

I a fila - 5 x 2 a filahaciendo < 3a fila + 2 x 2 a fila

I 4 a fila - 7 x 2a fila

D esarro llando po r la I a colum na:

B = - 114 - 2 7 - 3 6

- 5 13 2123 - 3 9 - 5 5

- _ ( _ 10010 - 13041 - 7020 + 10764 + 11466 + 7425) = 416

Observacin: Si bien disponem os ya de un m todo directo para calcular determ inantes 3 x 3 (la regla de Sarrus) en ocasiones puede resultar m s sencillo aplicar el proceso de reduccin tam bin a estos determ inantes.

1 3 0 1 20 2 1 - 1 - 12 6 - 3 1 45 - 2 0 2 73 8 5 - 4 1

O bservam os que en la 3 a co lum na tenem os ya dos ceros. F ijando la segunda fila y sum ndola , convenientem ente m ultip licada po r escalares, a las dem s, podem os poner ceros:

1 3 0 1 20 2 1 - 1 - 12 12 0 - 2 15 - 2 0 2 73 - 2 0 1 6

haciendo3a fila + 3 x 2a fila

5 a fila - 5 x 2a fila

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14 P. TANIGUCHt

Si desarrollam os por la 3a colum na:

C = - 1

1 3 1 22 12 - 2 15 - 2 2 73 - 2 1 6

Vamos a reducir este determ inante 4 x 4 poniendo ceros en la Ia fila:

C =1 0 0 0 2a co lum na 3 X2 6 - 4 - 3 haciendo i 33 colum na 1

X5 -1 7 - 3 - 3 ( 4 a colum na 2 X3 - 1 1 - 2 0

y desarrollando por la I a fila

6 - 4 - 3 6 - 4 1 6 - 4 1C = - - 1 7 - 3 - 3 = - { - 3 ) - 1 7 - 3 1 = - 3 -1 7 - 3 1

- 1 1 - 2 0 -1 1 - 2 0 11 2 0

Hem os extrado factor com n 3 en la 3 a colum na y, a continuacin , factor co m n 1 en la 3 a fila. Reducimos tam bin este determ inante 3 x 3 , sum ndole a la 2 a fila la I a cam biada de signo:

6 - 4 1c = - 3 - 2 3 l 0

11 2 0

Finalm ente, desarro llando por la 3a cotum

-2 3 1C = - 3 =

11 2

4 6 9 5 - 2 57 4 12 3 - 2 0

D = 11 8 - 6 - 2 00 - 6 -1 5 0 - 2 50 - 1 0 21 4 -3 5

-3 ( - 4 6 - II) 171

En prim er lugar, observam os Que las colum nas 2a, 3a y 5a son divisibles por 2, 3 y 5, respectivamente:

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D = 2 '3 ( 5)

47

1100

3 24

-3-5

34

- 2- 5

7

E sta vez no hay ningn 1 (ni 1). N o obstante, siem pre es posible logar un 1 (o 1) m ediante com binaciones lineales convenientes, a no ser que toda la colum na (o fila) sea divisible entre algn nm ero m ayor que 1, en cuyo caso hay que realizar la opo rtu n a divisin, a fin de que todos los elem entos de la colum na (o fila) sean prim os entre s.

En nuestro caso, hem os de elegir entre la Ia colum na y la 4a fila, ya que am bas tienen dos ceros. Elegim os la 4 a fila porque ofrece mejores perspectivas, ya que sum ando a la 3 a colum na la 5 a lograrem os un nuevo cero y, a continuacin, sum ando a la 5a colum na el doble de la 2 a, tendrem os un 1:

4 3 8 5 117 2 8 3 8

11 4 - 2 - 2 80 - 3 0 0 - 10 - 5 14 4 - 3

D = - 3 0

Sum em os a la 2 a co lum na la 5a m ultip licada por 3, al tiem po que dividimc entre 2 la 3 a colum na:

D = (30)-2

D = (60) (2)

4 - 3 0 4 5 117 - 2 2 4 3 8

11 - 2 0 - 1 - 2 80 0 0 0 - 10 4 7 4 - 3

la 2 a colum na y a continuacin

4 15 4 5 117 11 4 3 8

11 10 - -1 - 2 80 0 0 0 - 10 - 2 7 4 - 3

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16 P TAN1GUCHI

= 120-(!)(I)

4 15 4 57 U 4 3

11 10 -1 - 20 - 2 7 4

Procediendo com o de costum bre, anulem os los elem entos de 3 a colum na, salvo el 1, claro est; a continuacin desarrollam os por la 3 a colum na:

48 55 0 - 3

D = 12051 51 0 - 5I! i a - 1 - 277 68 0 - 1 0

D ividam os p o r 1 la 3 a colum na:

48 55 3D = (120)-(I) 51 51 5

77 68 10

= t20-(1)48 55 - 351 51 - 577 68 - 1 0

Por ltimo, desarro llando el determ inante resulta:

D = 120 (92) = -11 0 4 0

4 Calcular el rango de las siguientes m atrices m ediante el m todo de Gauss:

I 1 2 4 3 0 51 2 3

b )2 - 2 5 4

2 1 3 - 3 2 8 70 4 4 0 - 7 10 3

Solucin

a ) El m todo de G auss consiste en elegir un elem ento no nulo, que llam arem os pivote, a ser posible 1 1 y en una colum na (o fila) que tenga el m ayor nm ero posible de ceros. A continuacin se anulan los restantes elem entos de la co lum na (o fila) sum ndole la fila (o colum na) del pivote, m ultiplicada p o r un nm ero conveniente.

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m 1 20 1 10 -1 -10 4 4

haciendo2 a fila - I a fila

3a fila - 2 x Ia fila

El siguiente paso consiste en elim inar la fila y la colum na que contienen al pivote y, vuelta a em pezar:

r m o ' r- i - i - 0 0

4 4 0 0

Elim inam os la fila y la colum na del pivote y ya no podem os seguir, porque slo quedan ceros:

00

El rango es el nm ero de pivotes elegidos, o sea, 2.

Observacin: Se puede sim plificar el traba jo elim inando las filas (o colum nas) fo rm adas to ta lm ente por ceros o que son m ltiplo de otra. En nuestro caso, po dram os haber procedido as:

mooo

1 21 1

- 1 - 14 4

mo [m .]

(las filas 3 a y 4 a son m ltiplos de la 2a).

4 3 0 52 - 2 5 4

- 3 2 8 70 - 7 10 3

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P. TANIGUCHI

PR IM E R A VARIANTE

Si no hay ningn 1 ni 1, siem pre es posible obtenerlo m edante com binaciones lineales, a no ser que todos los elem entos de la colum na (o la fila) sean divisibles por un nm ero m ayor que 1, en cuyo caso se divide la colum na (o fila) por dicho nm ero, a fin de que todos sus elem entos sean prim os entre s. En nuestro caso, basta, por ejemplo, sum ar la 3 a fila a la Ia:

r 0 5 8 122 ~ 2 5 4- 3 2 8 7

0 - 7 10 3

Procedam os:

m 5 8 120 - 1 2 -11 - 2 00 17 32 430 - 7 10 3

haciendo 2 a fila - 2 x I a fila

3a fila + 3 x Ia fila

Elim inam os la fila y la colum na del pivote y, a continuacin, sum am os a la I a colum na, la 2 a cam biada de signo, para obtener un 1:

- 1 2 -11 - 2 0 ED -1 1 - 2 017 32 43 -1 5 32 43

- 7 10 3 - 1 7 10 3

Procedam os:

E D0

11 - 2 0197 343 haciendo i 2a fila - 15 x Ia fila

0 197 343 i 3a fila - 17 x Ia fila

E lim inam os la fila y la co lum na del pivote, y despus la segunda fila , p o r ser idntica a la prim era:

197 343197 343 197 343

Elegimos un pivote y term inam os. C om o hem os elegido 3 pivotes, el rango es 3.

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SEGUNDA VARIANTE

En prim er lugar hem os de decidir si vam os a anu lar las colum nas (salvo el pivote) o filas. En este ejem plo, nos decidim os po r las colum nas. Si no hay ningn 1 ni I, se elige un pivote cualquiera (no nulo, claro est) y se fija la fila. El resto de los elem entos de la co lum na se sustituyen por ceros. Los dem s elem entos de la m atriz se sustituyen de acuerdo a la siguiente regla: Diagonal del pivote menos la otra diagonal. Esto significa que el pivote, su hom logo en la fila del elem ento a sustitu ir, y su hom logo en la fila del pivote, jun to con el elem ento a sustitu ir son los vrtices de un rectngulo im aginario; hay que m ultiplicar los elem entos que se encuentren en la diagonal que contiene al pivote y restar el p roducto de los o tros dos. En nuestro caso, por ejemplo, elegimos el 2 de la I a colum na com o pivote:

2 3 - 4 ( - 2 ) = 14

Procedam os:

4 3 0 5 ' 0 14 - 2 0 - 6 '2 - 2 5 4 a - 2 5 4

- 3 2 8 7 0 - 2 31 290 7 10 3 0 7 10 3

E lim inam os la I a fila por ser igual a la 4 m ultiplicada por 2. Elim inam os tam bin la fila y la co lum na dei pivote:

- 2 31 29- 7 10 3

Elegimos com o pivote el 2 de la I a colum na:

Q 31 29 1 2| 31 29

- 7 10 3 0 197 197

E lim inam os la fila y la colum na del pivote, elegimos un nuevo pivote y term inam os:

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20 P. TAN1GUCHI

[ [T97] 197

Com o hem os elegido 3 pivotes, el rango es 3.

^ 5 Calcular, haciendo uso de determinantes, el rango de las siguientes matrices cuadradas:

1 1 3 1 2 0a) 0 1 2 b) 0 1 1

1 0 2 2 5 1

Solucin

a) El rango de una m atriz es el orden del m ayor determ inante no nulo que se puede extraer de ia m atriz, eventualm ente elim inando filas y/o colum nas. Si la m atriz es cuadrada, suele ser preferible calcular directam ente el determ inante de la m atriz, ya que si ste es distinto de cero, hem os term inado.

1 1 30 1 2 = 1 * 01 0 2

El rango es 3.

b) Si el determ inante da cero, hay que in ten tar encontrar un determ inante de orden una unidad menor, que sea d istin to de cero.

i 2 00 1 1 = 02 5 1

10 = 1 * 0

El rango es 2.

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6 Calcular, por determinantes, el rango de las siguientes matrices no cuadradas:

a )

b )

c)

i 2 3 41 - 1 2 0

4 - 2 3 - 5- 8 4 6 10

2 1 3*- 1 0 2

0 1 77 3 7

Solucin

a) Si la m atriz tiene dos filas o dos colum nas, generalm ente el rago se ve a ojo. En nuestro caso es obvio que es 2, por el 0 de la 2a fila frente al 4 (no nulo) de la I a. N o obstante, si querem os asegurarnos:

40

b) Si no nos dam os cuenta de que la 2a fila es 2 por la I a, podem os proceder as: En prim er lugar, el rango es > 1 porque hay un determ inante de orden 1 no nulo; por ejem plo, el 4 de la Ia fila.

Form em os ahora sucesivamente determ inantes de orden 2 con la Ia colum na y otra:

-24

= 0

4-8 = 0

4-8

- 510

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22 P. TANIGUCHi

C om o todos ios term inantes han dado 0, el rango es 1. Es im portan te sealar que no es necesario calcular todos los determ inantes de orden 2 que se puedan extraer de la m atriz (6 en total), sino slo los que contienen a la Ia colum na (hay 3), ya que sta tiene un determ inante de orden 1 no nulo (4). La razn estriba en que ya hem os encontrado un vector linealm ente independiente (la Ia co lum na) y, s hay dos, necesariam ente habr una co lum na linealm ente independiente de aqulla.

c) Es fcil encontrar un determ inante de orden 2, distinto de 0:

Esto quiere decir que el rango es ^ 2 . Form em os sucesivamente determ inantes de orden 3, que contengan a las dos prim eras filas.

2 1 3- 1 0 2 = 0

0 1 7

2 1 3- 1 0 2 = 0

7 3 7

Luego, el rango es 2. C laro est que s a lguno de estos determ inantes hubiese sido d istin to de 0, el rango habra sido 3.

H allar una base del subespacio generado por los siguientes vectores:

u = ( 1, 0 , 1)+ V

rtII 1 , 1) w = (0 , L - 1 )

z =


y aplicar el m todo de G auss para el clculo del rango de una m atriz, pero con algunas variaciones.

En prim er lugar, si los vectores son las filas, la anulacin se ha de hacer p o r colum nas. C ada vez que se elige un pivote, se incorpora un vector a la base: el que corresponde a la fila que contiene al pivote elegido, incluso despus de haber realizado las transform aciones de la m atriz relacionadas con el clculo del rango.

A sim ism o, si elim inam os alguna fila, por tener todos sus elem entos nulos o ser m ltiplo de o tra , habr que tachar el vector correspondiente a dicha fila.

P rocedam os. Elegimos com o pivote el 1 de la 3 a fila y, por tanto, m arcam os vf :

u7

* w

12

01

f1

12

00

12

1 103

m0

- 14

03

m0

-14'

7 z

23

24

Elegim os com o pivote el segundo 1 de la Ia fila y, en consecuencia, m arcam os t. Com o la segunda fila es el doble de la prim era, la elim inam os y tacham os 7 :

r i c d 2 2

1 f -1 0 - * [ - > ]

3 4Xt

Elegimos com o pivote el 1, m arcam os 7 y term inam os

-1

El rango es 3. U na base del subespacio generado por los 4 vectores est fo rm ada por los 3 vectores m arcados:

Tf = (1, 0, 1)

w = (0 , 1, - 1)

7 - (3, 0, 4)

SEG U N DO M TODO: por determ inantes

El m todo es muy sencillo de explicar, aunque en ocasiones puede ser tedioso en clculos (por ejem plo, si hay que calcular determ inantes de orden 4; vase el prxim o ejer-

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24 P. TANIGUCHI

cicio). D icho m todo consiste en form ar una m atriz cuyas filas (o colum nas) sean los vectores. A continuacin se calcula el rango por determ inantes y la base pedida est form ada por los vectores correspondientes a las filas que intervienen en el determ inante que proporciona el rango.

s 1 0 1t 2 1 1

0 1 1z 3 0 4

1 0 12 I -13 0 4

Una base del s

1-

El rango es 3 Una base del subespacio est fo rm ada por:

u =


Solucin

En prim er lugar, hay que darse cuenta que nos estn pidiendo una base del subespacio generado p o r los cinco vectores, pero con una especificacin adicional: la base debe estar fo rm ada po r vectores escogidos entre los dados.

De en trada no aplicarem os el m todo de los determ inantes, ya que involucra el clculo de determ inantes de orden 4. Em pezarem os, pues, por el m todo de Gauss.

u 2 1 3 0*"v 3 4 0 E D

2 1 1 27 6 6 - 1

r 1 - 2 4 3Elegimos com o pivote el - -1 de la 2 a fila, m arcam os 'v y

2 1 3 019

-,3 4 0 E D

WT

28

3168 9 1 0 -* ~Z 4 2

4 2 6 0 r 10 10 410 10 4 0 . -J

La 3 a fila es el doble de la I a y, po r tanto, la elim inam os. Tambin nos dam os cuenta de que la 4 a fila es la sum a de las dos prim eras, por lo que la elim inam os. No hay que preocuparse s no nos percatam os de una cosa u otra, porque tarde o tem prano estas filas se convierten en ceros.

Llegam os, pues, a la siguiente situacin:

u 28

19

A hora, en vez de escoger un pivote, podem os calcular el rango de esta ltim a m atriz por determ inantes:

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26 P. TANIGUCHI

28 = 10 4 0

El rango es 3 y el con jun to pedido est fo rm ado por

7 = (2, 1, 3, 0 )

7 = (3, 4, 0 , - 1 )

7 = (2 , 1, !, 2 )

5 7 Calcular el rango de los siguientes vectores. Caso de ser linealmente dependientes, hallar una relacin de dependencia:

u = (2, I, 7, 3)7 = (1, 1, 3, 0)7 = (1, - 4 , 8, 15)

Solucin

A plicam os el m todo de Gauss para el clculo del rango, pero registrando la historia de lo que hacem os con cada vector, para as encontrar la relacin de dependencia.

2 1 7 3"v 1 1 3 0> w 1 - 4 8 15

Tomamos com o pivote el 3 de la 1 fila:

7 2 1 77 1 1 3 0 _. 7 1 1 3

7 5 7 - 9 - -9 -27 0 7 - 5 7 9 - 9 - 2 7

Elegimos com o pivote el prim er 1:

7 5 T + 9 7m

o30

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Ya no hace falta seguir. El rango es 2 y la relacin de dependencia:

5 T + 9 7 + 7 = (f

10 En el espad o vectorial E, se dan los vectores T = (I, 2, 1) y7 = (1, O, 2). Se pide:

a ) Dar un vector no nulo de E, que sea linealmente dependiente de T y7 .

b) Dar un vector de E, que forme con T y 7 una base de E3.

Solucin

a) Todo vector linealm ente dependiente de T y 7 es una com binacin lineal de d ichos vectores: 7 = XT + 7 Por ejemplo,

7 - 2 7 - 3 7 = (2, 4, 2 ) _ ( - 3 , O, 6) = (5, 4, - 4 )

que, adem s, es distinto del (O, O, 0 ).

b) Observem os en prim er lugar que 7 y 7 no son linealm ente dependientes, ya que no son m ltiplos uno del otro. P or tanto , pueden form ar parte de una base. Busquem os un vector 7 linealm ente independiente de 7 y 7 :

7 \ 7 + n~v siendo X, i cualesquiera.

Tomemos X = 2 y n = 3: X 7 + ; i 7 - (5 ,4 , 4). Cam biem os una de las coordenadas: 7 = (5, 0 , 4); veam os que es linealm ente independente de 7 y 7 :

= 12 01 - 1 52 0 0 = - 2 - I 5

i 2 - 4 2 4

U na de las in fin itas respuestas posibles es (5, 0, 4).

1 1 Dados los vectores 7 = (1, 1, 1, 0), 7 = (0, 1, 1, 1) y 7 = (1, 1, 0, 0) de E4, se pide:

a ) Determinar si son linealmente dependientes o independientes.

b) Hallar un vector no nulo ~ de modo que 7 , 7 , 7 y z sean linealmente dependientes.

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28 P. TANIGUCH1

c) Encontrar un vector T*, de m odo que t, V , w y I*sean una base de E4.

d) Expresar (1, 2, 4 , 3) com o combinacin lineal de t, V , w y T*.

Solucin

a) Calculem os e rango de t , V y v f :

1 1 1 00 1 - l i1 1 0 0

i 1 0 1 01 - 1 1 =1 0 0 - 1 1

El rango es 3. Luego son lnaalm ente independientes.

b) B astar tom ar cualquier com binacin lineal

~z - X t + ii~v + y ^ X, fu, y R (no todos nulos)

Por ejem plo X = I, (i - -1 y y = 2:

t = (1, I, 1, 0) - (0, 1, - 1 , 1) + 2 (1, 1, 0, 0) = (3, 2, 2, - 1 )

c) Cam biem os una de las coordenadas del vector hallado anteriorm ente:

r = (3, 0, 2, - I )

Veamos que "u , "v , w y V son lineaim ente independientes;

1 1 1 0 1 0 1 00 1 - 1 1 0 1 - 1 11 1 0 0 I 0 0 03 0 2 - 1 3 - 3 2 - 1

0 1 01 - 1 1 = - - 2

- 3 2 - 1

d) (1, 2, 4 , 3) = X (1, 1, 1, 0) + p (0, 1, - 1 , 1) + 7 (1, 1. 0 ,0 ) + 6 (3, 0, 2, - l )

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Igualando com ponentes obtenem os el sistem a:

1 = X + y + 36

2 = X + i -t- y

4 = X - i + 26

3 = n 6

cuya resolucin no tiene secretos:

X = 6 i = 4 y = 8 6 = 1Luego

(1, 2, 4, 3) = 6 (1, 1, l, 0) + 4 (0, 1, - 1 , 1) - 8 (1, 1, 0, 0) + (3, 0, 2, - 1 )

1 2 Sea E un espacio vectorial sobre R y f y 7 una base de E. Sean ~, Tlosvectores a? = "i? + v> T* = "u V .

a ) Demostrar que los vectores T* forman tambin una base de E.

b) Determinar en esta base las componentes del vector w que en la base "u 3?, tiene por componentes 3 y -"5.

Solucin

a ) Respecto de la base t, V de E, tenem os:

% = l "u + l 7 = (1, 1) t = i i - 1 v = o , - o

Para dem ostar que T y I* form an o tra base de E, basta com probar que su rango es 2 (ya que todas las bases de un espacio vectorial tienen el m ism o nm ero de elem entos: 2 en este caso):

! _|b) Hay que hallar X y t tales que:

T = ( 3 , - 5 ) = X( l , 1) + P I . - 1 )

Igualando com ponentes, resulta el sistem a

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30 P. TANIGUCHI

X + fi = 3 X - n = - 5

cuya solucin es:

X = 1 p = 4

Luego,

w = + 4 f

13 Determinar los valores t para los que los vectores (~ t , 1, 1), (0, 2t, t) y (1, 3, 2) no formen una base de E3.

Solucin

Com o se tra ta de E3, la condicin de que los tres vectores dados no sean base equivale a la anulacin del determ inante que form an:

- t 01 2t 1 t

Desarrollando el determ inante, resulta:

t = 0

= 0

_tJ | = 0 =>t = - 1

14 Calcular, segn los valores de a, el rango de la matriz:a 1 0a 2a a0 a 3a

Solucin

Dado que se tra ta de una m atriz 3 x 3, es preferible hallar el determ inante. Para el caso 4 x 4 (prxim o ejercicio) suele ser m s aconsejable utilizar el m todo de Gauss.

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a 1 0 a 1 0 a 1 - 3A = a 2a a = a2 1 2 1 = a2 1 2 - 5

0 a 3a 0 1 3 0 1 0

H em os sacado fac to r com n a en La 2 a fila y en La 3a. A continuacin, hem os sum ado a la 3a co lum na, la 2a m ultip licada por 3. D esarrollando el determ inante queda:

Si a 4 0 y a 4 3 /5 , el rango de la m atriz es 3, por ser el determ inante distinto de0. En cam bio, si a = 0 a = 3 /5 , el rango ser < 2.

Si a = 0, tenem os

0 1 00 0 00 0 0

es decir, una m atriz de rango 1.

Finalm ente, si a = 3 /5 , tenem os

3 /5 1 0 1 0 6 /5 3 /53 /5 6 /5 3 /5 = 3 /5 4 0

0 3/5 9 /5

o sea, que el rango es 2.

=a2 (5a 3) = 0 a

15 Calcular, segn los valores del parmetro a, el rango de la matriz1 1 - 1 21 - 1 3 - 4a 1 1 04 2 0 a

Solucin

Reduzcam os la m atriz

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32 P. TANIGUCHI

r 0 1 -1 2 1 1 - 1 2i - 1 3 - 4 0 - 2 4 - 6a 1 1 0 0 1 - a 1 + a - 2 a4 2 0 a 0 2 4 a8

" | - 2 | 1a

41 + a

- 6 "2a __

- 20

43 - a

- 6 a3 3a0

a3 a - 2- 2 4 a8 0 0 a2

Si a 2 y a 3, el rango de esta m atriz es igual a 4: dos por los pivotes elegidos, ms dos por el rango de la ltim a m atriz, cuyo determ inante es (3a) (a2) 0,

Si a = 2 tenem os que el rango es 3: dos pivotes, m s uno por el rango de la ltim a m atriz (2 + 1 = 3). A nlogam ente, si a = 3 tam bin el rango es 3.

I U D eterm inar a y b para que


17

Solucin

En E4 se considera el subespacio M engendrado por ios vectores 7 - (1, 1 ,1 , 1), 7 = (1, 3 ,1 , 3), 7 = (1, 1 ,1 , 1) y el subespacio N generado por x = (1, 2, 0, 2), 7 = (1, 2, 1, 2), ~z = (3, 6, 2, 6). Hallar la dimensin de M, N, M + NyMf l N. y una base de dichos subespacios.

M = < o , i , i, i), o , 3, 1, 3), (1, - 1 , 1, - -1) >

* 7 i i 0 I 7 1 1 1 17 1 3 1 3 7 0 2 0 2 7 l - 1 1 - 1 7 0 - -2 0 - 2

V

700

2- 2 -

2-2

y* 1 0 21

Por tanto, dim M = 2 y (1, 1 1, 1) y (1, 3, 1, 3) form an una base de M

N

c>VII 2), (1, 2, - 1 , 2), (3, 6, - 2 , 6) >

* 7 r e 2 0 2 7|-

0 2 0 27 1 2 - 1 2 ~ 7 0 0 - 1 0> Z 3 6 2 6 7 0 0 - 2 0

0o *710 ED ol

Por tanto, dim N = 2 y (1, 2, 0, 2) y (1, 2, 1, 2) form an una base de N.

M + N es el subespacio fo rm ado por todos los vectores de la form a 7 + 7 con a S M y b f N.

Luego

M + N = < (1, 1, 1, 1), (1, 3, 1, 3), (1, 2, 0, 2), (1, 2, - 1 , 2) >

Calculem os el rango de este con jun to de vectores:

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34 P. TAN1GUCH1

u 1 1 m 1 " 7 1 1 1 1* V 1 3 i 3 V 0 2 0 2~x 1 2 0 2 i 2 0 2

1 2 - 1 2 ~y 2 3 0 3

7 0 2 @1 v* 0 2 2> X i 2 2 1 0 0y 2 3 3 _ X 2 0 0

Por tanto, dim (M + N) = 3 y una base de M + N est fo rm ada por

(1, 1, I, 1), (1, 3, 1, 3), (1, 2, 0, 2)

Si t M f l N ser

a = X (1, 1, 1, 1) + M (1, 3, 1, 3) a = cr (1, 2, 0, 2) +


EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Se considera el con jun to de nm eros reales de la form a a + b V2 + c \/3 siendo a, b, c nm eros racionales. Se pide com probar que con las operaciones definidas sobre el con jun to IR de los nm eros reales, este con jun to es un espacio vectorial sobre Q.

2. P robar que los siguientes subconjuntos de IR3 form an subespacios vectoriales:

a) E = ! (x, y, z) R 3 x = y, 2y = z j

b) F = |(x , y, z) R 3, x + y = 3 z |

3. D em ostrar que el con jun to de los vectores ortogonales a s = (=>3, 4, 2) es unsubespacio vectorial de R 3; hallar una base y su dim ensin.

4. En una base o rtonorm al dos vectores tienen por coordenadas (4, 1, 3) y (1, 2, 2). H allar sus m dulos y el ngulo que form an.

5. C alcular los vectores de longitud (m dulo) 1 ortogonales a los vectores (2, 2, 3) y (3, -3, 2).

6. C alcular 1(1, 1, 0) A (2, 0, l)j A (1, 0, 1) y (1, 1, 0) A [(2, 0, 1) A (1, 0, 1)]. Es asociativo el producto vectorial?

7. Obtener un vector de la m ism a direccin y de sentido contrario que el vector (3, 4, 5) y de m dulo 2.

C alcular los siguientes determ inantes

20

-1

10. -1 2 03 -1 51 4 6

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P. TANIGUCHI

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17. 0 1 1 11 0 1 11 1 1 01 1 1 0

18. 1 4 9 164 9 16 259 16 25 36

16 25 36 49

19. 2 4 6 73 5 7 84 6 8 115 10 9 14

20. 1 3 5 24 2 - 3 - 72 7 4 5

- 3 2 7 2

21. 1 148 8 42 234 4 35 521 1 27 752 2 5

1 6 11 16 212 7 12 17 223 8 13 18 234 9 14 19 245 10 15 20 25

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38 P. TANGUCHI

1 2 0 10 13 4 1 11 15 6 2 12 17 8 3 13 19 10 4 14 1

1 1 3 1 33 3 3 1 33 1 1 1 33 1 3 3 33 1 3 1 1

0 4 - 3 4 22 5 4 8 - 23 3 - 5 7 - 22 0 0 5 - 33 2 5 3 4

Calcular el rango de las siguientes matrices:

1 2 45 1 23 1 1

1 1 2 - 12 - 1 2 - 44 1 4 - 2

0 4 20 14 8 18 7

10 18 40 171 7 17 3

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osn 2 0 2 0 20 1 0 1 02 1 0 2 10 1 0 1 0

30. 1 2 3 12 0 1 41 - 2 - 2 3

31. 2 - 1 1 2 41 3 1 0 23 2 2 2 65 1 3 4 2

32. 1 2 0 - 11 3 - 1 02 1 - 1 3

2 - 3 1 - 1

33. 2 - 1 1 0- 1 i 0 - 1

1 0 1 - 10 - 1 - 1 2

34. De en tre ios vectores de R 2 f = (1, 1), V = (I, 0) y = (0, I) dar una base de IR2.

35. E studiar si son linealm ente independientes los siguientes conjun tos de vectores

a ) (3, I, - 2 ) , (0, 4, 1), (1, - i , 5)b)

40 P. TAN1GUCHI

a) (1, 1, i, 1), (1, 1, 1, 0 ), (1, I, O, 0 ), (1, 0 , O, 0 )b) (O, 1, O, 1), (4, O, - 1 , 0), (2, O, 2, 0), ( - 2 , 2, - 2 , 2)c) ( - 1 , - 1 , - 1 , - 1 ) , (1, - 1 , - 1 , 1), ( - 1 , 1, t, - 1 ) , (1, 1, I, 1).

37. C onsideram os en E4 los siguienies conjuntos de vectores

a) u = (1, 0, 4, - 2 ) . v = ( - 1 . 3, - 4 , 2), w = (0, 1, 3, - 4 ) ,7 = (2, 1, - 8 , 5)

b) u = ( - 1 , 1, 2, 3), V = (6 , 1, - 5 , - 2 ) , i? = (16, 5, - I I , 0)c) u = (1, O, 2, - 1 ) , 7 = ( - 8 , - 5 , 3, 1), 7 = (I, 3, 3, 1)d) u = (2, 6 , 5, 1), V = ( - 1 , ~ 3 , 4, - 2 ) , 7 = (3, 9, - 1 , 1)

Se pide, en cada caso, estudiar la dependencia lineal y, si procede, dar una relacin de dependencia, y determ inar una base del subespacio engendrado.

38. H allar el rango de cada uno de los siguientes conjun tos de vectores. Caso de ser linealm ente dependientes, hallar una relacin de dependencia.

a) (3, 4, 5), (1, 2, 0), (0, 1, 7)b) (2, - 1 , 4), (3, 5, - 1 ) , (3, 5, - 1 ) , (0, 13, - 1 4 )c) (1, 3, 5, - 1 ) , (0, - 1 , - 2 , 1), (1, 1, 0, 3), (1, 0, 0, 1)d) (3, 0, - 1 , 2), ( - 1 , 1, 2, 0), (5, 4, 5, 6 ), (9, 3, 6 , 8 )

39. Calcular a y b para que el vector (a, b, 1) sea ortogonal a tos vectores (3, 2, 0)y (2 , 1, - 1).

40. Los vectores a* = (1, 1, 1, 1), I) = (0, 1, 1, 1) y T? = (0, 0, 1, 1) son linealm ente independientes. P robar que los vectores de la form a

1? = (1, 1, 1, 1, s, t)7 = (0 , 1 , 1 , 1 , x, y)7 = (0 , 0 , 1 , 1 , p, q)

cuyas cuatro prim eras com ponentes coinciden con las de 7 , b , e \ tam bin son lineal m ente independientes.

41. H allar dos sistemas de generadores de K 3 que contengan a los vectores 1? = (1, 1, I) y 7 = (0, 2, 3). El prim ero ha de ser una base y el segundo no.

42. D em ostar que los vectores (1, 0, 2, 1), (1, 3, 2, 2) y (2, 3, 4, 1) son linealm enteindependientes. A m pliar esta coleccin a una base de E4.

43. Sabiendo que los vectores (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, , 0), (0, 0, 0, 1) constituyen una base de E4, se pide determ inar una nueva base de E4, de la que una parte est constitu ida po r una base del subespacio de E 4 engendrado por los vectores T = (2, - 2 , 3, 1), 7 = ( - 1 , 4, - 6 , 2), 7 = (I, 14, - 2 1 , - 7 ) .

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ESPACIOS VECTORIALES 4!

44. D em ostrar que si tres vectores de IR3 son linealm ente independientes, los vectores que resultan de sum arlos dos a dos tam bin lo son.

45. D em ostar que en R } los vectores de la form a (x, y, x) form an un subespacio vectorial. E ncon trar la base Tf, V de este subespacio para la cual

(5, 3, 5) = 2"u + 3 7(3, 2, 3) = + 2 v

46. Sea H el subconjunto de los vectores (x, y, z) E3, tales que 2x y + z = 0. Se pide:

a ) D em ostrar que H es un subespacio vectorial E,b) H alla r u n a base de H.c) C alcular las com ponentes de (2, 3, 1) en dicha base.

47. H allar una base para los siguientes subespacios de R 5.

a) E = ( (x, y, z); x = t, y = t + s, z = t + 2s t, s (Rb) F = {(x, y, z): x = t s, y = t + s, z = t + s I, s e R |c) G = 1 (x, y, z): x = 2t s, y = 3s t, z = t + 2s t, s E R |

D iscutir el rango de las siguientes m atrices, segn los valores del parm etro a

1 2 3 a2 4 6 83 6 9 12

1 1 0 13 2 - 1 3a 3 - 2 0

- 1 0 - 4 3

1 1 - 1 2a 1 1 11 -1 3 - 34 2 0 a

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42 P. TANICUCHI

51. a 1 00 a - 4a 0 a

52. 1 2 33 2 - 15 6 a

53. a 1 11 a 11 1 a

54.

55. 1 0 23 1 10 2 -11 -1 a

56. 2 3 1- 1 a 6

1 2 11 3 2

57. 3 2 aa - 1 - 30 a 21 1 1

1 - 3 ~ 22 1 a3 2 6

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1 1 1 21 2 - 3 8a - 1 - 1 11 - 1 I - 2

1 a 2 3a - 1 0 20 0 1 12 0 1 0

60* i aa2

1 + a

I + 2 a a

a + 1 1 + 4a

2 a + 2 0

a - I2 a + 2

a2 a + 2

a* 2a + 9 5a + 4

61. D ados los vectores de R 4 : a = (m , 1, 0, 1), T> = (0, m , 1, 1) y c" = (1, 0 , 1, 2), determ inar los valores de m para los que los vectores sean linealm ente independientes.

62. C alcular el rango de los siguientes conjun tos de vectores, segn los valores de a:

a ) ( - 1 , a , 1), (0, a , - 1 ) , ( - 1 , 3. 2)b) (2 , a, 2 ), (1, 1, 1), (a, 0 , 0 )c) (0 , a , - 1, 1), (1, 0 , - 1, 2 ), (a, - 1, 0 , I)

63. H allar una base del subespacio de R J engendrado por los vectores (1, 3, 2), (1, 2, 5) y (1, 8 , 9). Ver qu valor tenem os que dar a m para que el vector (m, 13, 16) sea de este subespacio y hallar sus com ponentes en la base obtenida.

64. D eterm inar a y b de m odo que los vectores Ti = (3, 2, 1, 3), v* = (I, 0, 2, 4) y vf - (1, 3, a , b) sean dependientes. D ar tam bin la relacin de dependencia.

65. C alcular a y b para que el rango de las m atrices

A =

r i. - 1 a1 2 0 B = 2 3a 4 b 1 J

sea 1.

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44 P. TANIGUCHI

Discutir, segn los valores de los parm etros correspondientes, el rango de las m atrices:

a b I I1 ab 1 bl b a 1

67.** a b c 1b c a 1c a b 1

68,* a+ b+ 2 b+ 3b

aa - b

a - 2 b a 3b

aa + c

a + 2 c a + 3c

a - c a 2 c a 3c

69. E studiar la dim ensin del subespacio vectorial engendrado por el con jun to de vectores |


72. C alcular los determ inantes

a)

b)

+ e e + c c +de ec cd

a 0 b 00 a 0 bc 0 d 00 c 0 d

73. C alcular el determ inante

1 1b

a ' b2

com o producto de tres binom ios dando la solucin.

74. Sabiendo que

calcular el valor de los siguientes determ inantes, sin desarrollarlos

1

a) 3x51

3y01

3z31

b) 5x11

5y01

5z3 /5

1

c) x y z 2x + 5 2y 2 z + 3

x + 1 y + 1 z +1

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46 P. TANJGUCHI

75. Probar, sin desarrollarlos, que

a) i a b + ci b c + a = 0i c a + b

b) a + b b + c c + a a b cP 4- q q -r r r + P = z P q rX + y y + z i. + X X y z

76. Resolver la ecuacin;

= 0

77.* Sea t i , ^ una base de E3 y sean G y H los subespacios cuyos generadores se indican:

G = < 2 u f V + w , 3 f + v*> H = < v l' + ' w , ' ? vv>

H allar sendas bases de G y H , de m odo que tengan un vector en com n.

78.* El trm ino general aM de un determ inante verifica la relacin

I i 4* ^ij_ |

que perm ite calcular todos los trm inos cuando se conoce la prim era fila y la p r imera colum na. Supongam os que a,tJ = a, , = 2. C alcular el determ inante de o rden n.

79. Sean f y g con derivadas de cualquier orden y h la funcin

h (t) =

D em ostrar que

f ( 0 g ( 0 f (t) g (t)

f (t) g (t) g(n)(t)

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80. Sean u y ^ dos vectores cualesquiera. D em ostrar

a ) I"? + v*]2 = |T |2 + | v |2 + 2u V

b) |TT + v |2 = \S - V |l + 4 V

c) | u + ? | 2 + | l f - V |2 = 2 |u |2 + 2 |V |2

81. Sean t y ~v dos vectores ortogonales. D em ostrar

a) 1 + 7 | = lu" v |

b) | + v^|2 - | u | 2 + |V |2

c) | t + X'v | > | l f | si "u , "v y X son no nulos.

82.* D em ostrar que si t , "v y vf son linealm ente independientes, tam bin lo son v A 7 , T A w y ? A ,

83.* D ada la base IR2 fo rm ada por u = ( 1, 2 ) y v = (3 , 1), dem ostrar que esta base no es o rtonorm al. A partir de esta base constru ir o tra que sea ortonorm al.

84.** Sean u y ? dos vectores unitarios (de m du lo 1) del plano, tales que existe un vector v i , no nulo, que satisface la igualdad:

(V vf) u + (T w ) v* + ("u t?) s = l

C alcular el ngulo entre los vectores u y V y determ inar los vectores w que satisfacen la condicin anterior.

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48 P TANIGUCHI

DEL BACO AL MICROORDENADOR*

El ser humano siempre ha necesitado instrumentos para realizar clculos y procesar informacin. La complejidad de stos se ha ido acrecentando en el transcurso del tiempo, conforme iban surgiendo nuevas necesidades, y ha estado subordinada a los progresos de la tecnologa, En cuanto al clculo, primero surgieron los instrumentos aritmticos (el baco es el ejemplo ms notable), de los que, por evolucin, provienen las calculadoras. El origen del procesamiento automtico de la informacin, es decir, de la informtica, se remonta a 1886 con la tabuladora de Hollerith, el cual fund una empresa que ms tarde sera IBM. Las necesidades de clculo y de procesamiento de inform acin fueron finalmente satisfechas por una sola mquina; el ordenador. Aunque el primer diseo data de 1832 (la m quina analtica de Babbage), el primer ordenador (electromecnico) que funcion fue el Z3 de Zuse (1941) y el primero electrnico, el e n i a c de Eckert y Mauchly (1945). Las generaciones segunda, tercera y cuarta de ordenadores electrnicos surgieron al sustituir los tubos de vaco por transistores (1958), circuitos integrados (1964) y microprocesadores (1974), respectivamente.

Instrumentos aritmticos y calculadoras

Resulta difcil fijar un punto de inicio para una sntesis histrica de la informtica, por cuanto son muchos los trabajos y descubrimientos que, a corto o largo plazo, trajeron como consecuencia la construccin de la primera m quina que mereci llamarse ordenador.

Un hecho importante a destacar es que, desde tiempo inmemorial, el ser hum ano se ha valido de elementos externos a su cerebro para realizar clculos y para almacenar y procesar informacin. El hombre primitivo usaba piedrecillas para representar nmeros y para realizar sumas sencillas. Por evolucin apareci el baco, inventado y reinventado por culturas distantes en el tiempo y en espacio, como los sumerios y los aztecas.

Antes de llegar a las calculadoras surgieron otros instrumentos aritmticos. Cabe destacar dos en los que el matemtico escocs John Neper (1550-1617) tuvo un papel destacado. Neper es conocido por la invencin de los logaritmos (1614), los cuales dieron origen a la regla de clculo, cuya paternidad es tem a de controversias; no obstante, el primero en usar una regla de clculo muy primitiva fue el sacerdote ingls Wiiliam Oughtred (1621). En 1617 Neper dio a conocer un instrumento sencillo e ingenioso para realizar multiplicaciones, a base de sumas, llamado rodillos de Neper, aunque la idea tenia ya varios siglos de existencia (hay libros rabes que lo confirman), la form a prctica que le dio Neper tuvo repercusin en las primeras calculadoras multiplicadores anteriores a la de Leibniz.

La necesidad de calcular sin errores motiv la invencin de la calculadora. Una calculadora mecnica es, en esencia, una especie de baco, pero con ruedas dentadas en lugar de varillas y fichas, y dotado de un mecanismo para el transporte de las unidades que se lleven, de una posicin digital a la siguiente ms significativa.

contina en pgina 86

* Artculo publicado por P. Ttaguchi en la revista DATAMATION ti 31, enero de 1988, y reproducido con permiso de Haymarket, S.A. Para ms informacin consltese la obra del mismo autor La Historia de los Ordenadores, Ed, Edunsa.

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2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

RESUMEN TERICO

1. Sistema de ecuaciones lineales. Sistema homogneo

Un sistem a de 3 ecuaciones lineales, con 3 incgnitas es de la form a

ax + by + cz = dex + fy + gz = htx + jy + kz = 1

El concepto se generaliza a m ecuaciones con n incgnitas.

Si los trm inos independientes son nulos, se dice que el sistem a es homogneo. Todo sistema de ecuaciones lineales tiene un sistem a hom ogno asociado: el que se obtiene sustituyendo todos su trm inos independiente po r ceros.

Por ejem plo, el sistem a hom ogneo asociado al sistema

3x + 2y = 192x ~ y = 8

es3x + 2y = 0 2 x y = 0

2. Sistema compatible (determinado o indeterminado) o incompatible

Si el sistem a adm ite al m enos una solucin se dice que es compatible', en caso contrario, se dice que es incompatible. Un sistem a com patible se llam a determinado si adm ite solucin nica; si adm ite m s de una solucin, se llam a indeterminado (esta palabra no significa que no se puedan determ inar las soluciones).

Por ejem plo, el sistema

3x + 2y = 19 2 x y = 8

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50 P. TANIGUCHI

tiene solucin nica: (5, 2), es decir x = 5 e y = 2. Por tan to es com patible y determinado.

El sistema

x + y = 1 2 x + 2 y = 2

tiene in fin itas soluciones de la fo rm a (x, 1 x), donde x es cualquier nm ero real (obsrvese que la segunda ecuacin es el doble de la prim era). Luego, es com patib le e indeterm inado.

El sistem a

x + 3y = 5 x + 3y = 6

no adm ite n inguna solucin, por lo cual es incom patible.

3. Matrices asociadas a un sistema

Se llam a matriz del sistema a la fo rm ada por los coeficientes de las incgnitas y matriz ampliada a la m atriz anterior, pero con una colum na ms: la fo rm ada por los trm inos independientes.

Por ejemplo, d ado el sistema

x + 3y + 5z - 75y 4z = 3

3x + y z = 0

su m atriz es

1 3 50 5 - 43 1 - 1

y su m atriz am pliada es

1 3 5 70 5 - 4 33 1 - 1 0

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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 51

4. Rango y nmero de grados de libertad

Se llam a rango del sistem a al rango de su m atriz. Es el nm ero de ecuaciones independientes, es decir, que no son com binacin lineal de otras, pero sin tener en cuenta los trm inos independientes. Estos trm inos sirven para determ inar si el sistema es o no com patible: el rango de la matriz del sistema debe coincidir con el de la matriz ampliada para que el sistema sea compatible (teorem a de Rouch-Frobenius).

El nmero de grados de libertad de un sistem a com patible es el nm ero de incgnitas cuyo valor se puede elegir arbitrariam ente. Coincide con el nm ero to ta l de incgnitas menos el rango del sistema.

Por ejemplo, el sistema

x + y = 1 2 x + 2 y = 2

cuya m atriz es

1 12 2

es de rango 1. Adems, es com patible e indeterm inado, siendo sus soluciones de la forma (x, 1, x), es decir

x E R y = 1 x

El nm ero de grados de libertad es 1, porque hay una incgnita que se puede elegir arb itrariam ente (x); elegido el valor de sta, el valor de la o tra ya no es arb itra rio sino que es y = 1 x.

5. Discusin y resolucin de un sistema

Discutir un sistem a es obtener los siguientes datos sobre el sistem a (sin que ello im plique resolverlo):

el rango si es com patib le o incom patible caso de ser com patible, si es determ inado o indeterm inado

caso de ser indeterm inado, el nm ero de grados de libertad

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52 P. TANIOUCHI

Resolver un sistema, consiste en hallar sus soluciones (o al m enos in tentarlo , si al final resulta ser incom patible).

Hay dos m aneras de abordar un sistema:

( a ) A plicarle el m todo de Gauss, que no slo da el resultado de la discusin, sino tam bin la solucin, caso de ser com patible.

(b) D iscutirlo por rangos (apartado 6 ) y, caso de ser com patible, resolverlo po r la regla de Cram er (apara tado 7), siem pre que la solucin sea requerida.

El m todo de G auss es el m s recom endable, en lneas generales. Es muy sencillo y se asem eja al m todo del m ism o nom bre para el clculo del rango de una m atriz. Ser explicado con ejem plos prcticos en los ejercicios resueltos 1 a 4.

6. Discusin por rangos de un sistema de ecuaciones

Sea M la m atriz del sistem a (m ecuaciones y n incgnitas) y sea M la m atriz am pliada. En prim er lugar, se calcula e! rango de M por determ inantes y tam bin el rango de M \ a no ser que el sistem a sea cuadrado (tan tas ecuaciones com o incgnitas, es decir, m = n) y el rango sea igual al nm ero de incgnitas (rango M = n), en cuyo caso el sistem a es com patib le y determ inado. Los resultados se obtienen a partir del siguiente esquema:

rango M = n

m = n => com patib le y determ inado

" Im > rango M = n = com patib le y determ inado rango M > n => incom patiblerango M = rango M =s> com patible,

rango M < n indeterm inado con n rango M grados de libertad

rango M > rango M => incom patible

7. Regla de Cramer

Una vez discutido el sistema, que se supone com patible, se tom a en consideracin el determ inante que proporcion el rango de la m atriz. En prim er lugar, se elim inan las ecuaciones cuyos coeficientes (filas) no intervinieron en dicho determ inante, ya que se tra ta de ecuaciones que son com binacin lineal de las que s intervinieron; stas ltim as son precisam ente las ecuaciones independientes del sistema.

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A continuacin, se pasan al segundo m iem bro las incgnitas (con los coeficientes cam biados d e signo, claro est) cuyos respectivos coeficientes (colum nas) no intervinieron en el c itado determ inante. D ichas incgnitas, si las hay, son precisam ente aquellas cuyo valor se podr elegir arb itrariam en te y su nm ero es el nm ero de grados de libertad del sistem a.

El determ inante que proporcion el rango se llam a determinante del sistema y se denota po r A. C ada una de las soluciones es el cociente de dos determ inantes, siendo A el divisor. El d ividendo es el determ inante que se obtiene al substitu ir en A la colum na de coeficientes de la incgnita po r la colum na fo rm ada po r los segundos m iem bros del sistema, tal y com o quedaron despus de haber aplicado lo sealado en el prrafo anterior.

Vanse los ejercicios resueltos 5, 6, y 7. Todo parece ind icar que no es recom endable el uso de la regla de C ram er (que exige com o paso previo una discusin por rangos), en beneficio del m todo de G auss, ya que con este m todo se discuten y resuelven sistemas con una evidente econom a de operaciones (y tiem po), que es tam o m ayor cuanto ms grande sea el rango del sistem a (recurdese que el nm ero de trm inos del desarrollo de un determ inante de orden n es n!). Sin em bargo, la regla de C ram er es til, entre otras cosas, para resolver sistem as que dependen de uno o ms parm etros, para expresar de m anera com pacta las soluciones de un sistem a en algn razonam iento terico y cuando slo in teresa hallar una de las incgnitas, siendo m enor que 4 el rango del sistema. Vanse los ejercicios resueltos 8 , 9 y 10.

Finalm ente, se advierte que no hay que confundir regla de Cram er con sistema de Cramer, por definicin, un sistem a es de C ram er si tiene tan tas ecuaciones com o incgnitas y es com patib le y determ inado.

EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS

Discutir y resolver el siguiente sistema por el mtodo de Gauss:

3x 2y + z t = -6x + y z + 2t = - 1y + 4z + t - 5X 2y + Sz 4t = - 1

Solucin

Form em os la m atriz am p liada del sistema, sealando la incgnita corresponiente a cada colum na:

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x y z t

3 - 2 1 - 1 - 61 1 - 1 2 - 10 1 4 1 51 - 2 5 - 4 - 1

El m todo de G auss para resolver sistem as de ecuaciones lineales es, en esencia, el m todo del m ism o nom bre para el clculo del rango de una m atriz, pero con algunas variaciones.

En prim er lugar, hay que anu lar el resto de los elementos de la co lum na (y no la fila) que contenga a! pivote. Adems, el pivote no puede pertenecer a la co lum na de trm inos independientes.

Por o tro lado, siem pre es posible m ultiplicar o dividir una fila por un nm ero, pues ello equivale a sustituir una ecuacin por un m ltip lo de la m ism a. Asimismo, es posible elim inar una fila que sea m ltip lo de o tra (pues ello im plica que las ecuaciones correspondientes son una m ltip lo de o tra) o que est form ada por ceros. Sin em bargo, no es posible elim inar una colum na que sea m ltiplo de o tra ni tam poco una co lum na fo rm ada por ceros, pues ello hara desaparecer im propiam ente una incgnita.

Procedam os. Elegimos com o pivote el prim er 1 de la 2 a fila:

0 - 5 4 - 7 - 3m 1 - 1 2 - 1

0 1 4 1 50 - 3 6 - 6 0

haciendo: I a fila - 3 X 2 a fila 4 a fila - 2a fila

Elim inem os la fila y la colum na del pivote y d ividam os por 3 la ltim a Fila:

y z t

- 5 4 7 - 31 4 1 51 - 2 2 0

E lijam os com o pivote el 2 de la 3 a fila:

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y z t

- 3 0 - 3 - 33 0 5 51 E 2 J 2 0

haciendo: I 1i 2 !fila + 2 x 3 ' fila + 2 x V

filafila

E lim inem os la fila y la colum na del pivote y pongam os:

y

-3 - 33 5

- 35

y t

[ E H0

- 32

- 32

La ltim a m atriz equivale a la ecuacin

2t = 2

cuya solucin, obviam ente, es t = 1. C on esta solucin, pasam os a la ecuacin del pivote an terio r p ara calcular y:

3y 3t = 3 y + t = 1 y + 1 = 1 => y = 0

C onocidos y, t, pasam os a la ecuacin del pivote anterior para hallar z:

y 2 z + 2 t = 0 0 2 z + 2 = 0 ==-> z = 1

Finalm ente, con y, z, t conocidos, pasam os a la ecuacin del prim er pivote para h allar x:

x + y 2 + 2 t = Ix + 0 1 + 2 = 1 => x = 2

El sistem a es, pues, com patib le y determ inado, y su solucin es:

x = - 2 y = 0 z = 1 t = 1

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que se puede expresar de form a ms com pacta:

( - 2 , 0 , I, 1)

Siempre es conveniente com probar el resultado:

3 ( - 2 ) - 2 0 + 1 - 1 = - 6 - 2 + 0 - 1 + 2 = - 1 0 + 4 + 1 = 5 2 2 - 0 + 5 4 = 1

Discutir y resolver el siguiente sistema por el mtodo de Gauss:

4x + 2y 7. = 5y + 4z = 4

8x + y 14z = 224x + y 5z = 9

Solucin

X y L X y z

[0 2 - 1 - 5 ' r s 2 - 1 - 50 1 4 4 0 1 4 48 1 - 1 4 - 2 2 0 - 3 - 1 2 - 1 24 1 _ 5 - 9 0 - 1 - 4 - 4

Elim inam os las filas 3a y 4 a porque son m ltiplos de la 2 a. E lim inando la fila y la colum na del pivote queda '

y z[ T] 4 1 4 ] - * y + 4 z = 4 = > y = 4 4z

Pasam os a la ecuacin del pivote anterior:

4x + 2y z = -5 9z _4x + 2(4 4z) z = 5 = x = -------------

El sistema es com patible e indeterm inado, de rango 2 y un grado de libertad, Sus soluciones son de la form a:

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SISTEMAS DE ECUAC

Como Superar Las Matematicas de COU y Selectividad

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