¿Cómo medir el radio de ¿Cómo medir el radio de la Tierra con una vara?la Tierra con una vara?

Con una vara

infinita?!!Con una

vara mágica?!!

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Eratóstenes en la página del canal Encuentro

En el taller “Modelos matemáticos y Ciencia”

Simulación Proyecto Eratóstenes

se realizó

Sentó base para desarrollar

SimulaciónObjetivoObjetivo:: realizar la experiencia propuesta por Eratóstenes en un modelo

físico usando esferas de telgopor

Para medir el radio de las esferas de telgopor cada grupo procedió:Para medir el radio de las esferas de telgopor cada grupo procedió:

•Colocaron dos escarbadientes alineados en el ecuador de la esfera, separados una cierta distancia.

•Alinearon uno de los escarbadientes con los rayos solares de forma tal que no proyectara sombra.

•Midieron la longitud del escarbadientes que quedaba descubierta y la sombra que proyectaba este mismo.

Dispositivo Dispositivo experimentalexperimental::(por grupo)

•Esfera de telgopor de 21cm de diámetro (10,5 cm de radio)

•Dos escarbadientes

•Metro de carpintero flexible

Con el valor del ángulo se Con el valor del ángulo se puede obtener el perímetro de la puede obtener el perímetro de la esfera.esfera.

Y a partir del perímetro, Y a partir del perímetro, sabiendo que P= 2sabiendo que P= 2R, se R, se despeja el radio (R).despeja el radio (R).

•Calcularon la tangente del ángulo θ que forman la vara con los rayos del sol a partir de las mediciones obtenidas. Para obtener el valor del ángulo aplicaron la operación inversa de la tangente.

Grupo Radio [cm]

1 10,0

2 11,7

3 10,3

Fabricante 10,5

►¿Cómo es posible que los valores de los radios que obtuvo cada grupo sean distintos si las esferas era todas iguales?

►Teniendo en cuenta que Eratóstenes desarrolló este método para determinar el radio terrestre ¿Será correcto usarlo para medir el radio de las pequeñas esferas de telgopor? o para utilizar el método satisfactoriamente¿Se deberán cumplir determinadas condiciones?

►¿En qué nos equivocamos al tomar los datos?.El procesamiento de estos datos ¿Influirá en el resultado?

►Las medidas se realizaron con luz natural pero ¿Será mejor realizarlas con luz artificial?

►Las longitudes de las varillas y las distancias de separación entre ellas elegidas para realizar la experiencia resultaron distintas entre los grupos ¿Influirá esto en los resultados obtenidos?

Proyecto EratóstenesProyecto Eratóstenes

Organizado por el Departamento de Física de la Universidad de Buenos Aires y la Asociación de Físicos de la Argentina

El principal objetivo de la actividad es que estudiantes de secundaria calculen el valor del radio de la Tierra por el método del célebre matemático, astrónomo y

geógrafo griego, de origen probablemente caldeo, Eratóstenes (Cirene, 276 adC - Alejandría, 194 adC) hace más de dos mil años.

Formar parte de un proyecto colectivo, en el cual, con el aporte de varios grupos se Formar parte de un proyecto colectivo, en el cual, con el aporte de varios grupos se puede alcanzar un objetivo (en este caso, medir el radio de la Tierra). puede alcanzar un objetivo (en este caso, medir el radio de la Tierra).

• Como objetivos más específicos se enuncian los siguientes:

Describir la geometría de cómo los rayos del Sol inciden sobre la Tierra a distintas Describir la geometría de cómo los rayos del Sol inciden sobre la Tierra a distintas latitudes. latitudes.

Describir cómo el perímetro de la Tierra fue medido por primera vez miles de Describir cómo el perímetro de la Tierra fue medido por primera vez miles de años atrás. años atrás.

Describir cómo determinar cuándo es el mediodía en el lugar donde uno vive. Describir cómo determinar cuándo es el mediodía en el lugar donde uno vive.

Medir el ángulo que forman los rayos del sol con la vertical en un lugar dado al Medir el ángulo que forman los rayos del sol con la vertical en un lugar dado al mediodía.mediodía.

• Los organizadores nos brindaron material de apoyo tanto para los alumnos como para los docentes y nos asignaron el Colegio General San Martín de Corrientes

como escuela compañera para llevar adelante el proyecto.

www.difusion.df.uba.ar

• Contábamos con una página web para cargar nuestros datos y consultar cualquier inquietud.

Proyecto Eratóstenes

Introducción

Determinó el valor de el radio terrestre con gran exactitud, en una época en la que mayormente se pensaba que el mundo era plano.

Tenía conocimiento que en Siena en el solsticio de verano los rayos del sol al medio día incidían perpendicularmente sobre la tierra, no proyectando sombra, pero que en Alejandría a la misma fecha y hora las sombras tenían un ángulo de aproximadamente 7° con respecto a la vertical.

Eratóstenes :

situada muy cerca del trópico de

Cáncer

Eratóstenes director de

la biblioteca de

Asumió que los rayos solares llegaban paralelos entre sí a la Tierra

Obtuvo la distancia entre Siena y Alejandría.

Admitió que Siena y Alejandría estaban en el mismo meridiano

Mediante una regla de tres se puede calcular el Perímetro Terrestre

Perímetro terrestre: 41152 km

y, de aquí, el radio de la Tierra:

Radio Terrestre: 6549 Km

Nota: para obtener el valor del ángulo se pude recurrir a la Geometría del problema y a la Trigonometría.

Ángulos internos alternos entre paralelas

Eratóstenes conocía un lugar en donde el sol caía en forma exactamente vertical al

mediodía.

Pero…. ¿ Dé no ser así?

Se trabaja de forma análoga al procedimiento anterior usando diferencia de ángulos

Cada ángulo se

calcula por separado

Usando las siguientes expresiones:

Se procede igual para calcular θA

Luego se calcula el perímetro terrestre:

Por último de la fórmula del perímetro se obtiene la expresión para el radio:

Para el desarrollo de esta experiencia se obtuvo radio terrestre a partir de la diferencia de ángulos. Uno de dichos ángulos se calculó en el marco del Taller “Modelos matemáticos y ciencia” perteneciente al primer año de la Escuela Nacional Ernesto Sábato. El Otro fue calculado por los alumnos de el Colegio Gral. San Martín de Corrientes. Posteriormente se realizó el intercambio de los valores de los ángulos para que ambos grupos pudieran calcular el valor del radio terrestre.

La distancia entre ciudades en nuestro caso se obtuvo a partir del Google Earth

y su valor corresponde a 1020 Km.

Experimental

Para cada grupo de estudiantes

• varilla (lápiz) de alrededor de 20 centímetros de largo• base de telgopor (de 3 cm de espesor) de 50cmx30cm de lado.• escuadra• metro de carpintero• nivel

InstituciónInstitución Esc. Nac. Ernesto SábatoEsc. Nac. Ernesto Sábato Colegio Gral. San Colegio Gral. San MartínMartín

LocalidadLocalidad TandilTandil CorrientesCorrientes

ProvinciaProvincia Buenos AiresBuenos Aires CorrientesCorrientes

LatitudLatitud 37º 19´ 0” S37º 19´ 0” S 27º 27´ 0” S27º 27´ 0” S

LongitudLongitud 59º 9´ 0” O59º 9´ 0” O 58º 50´ 0” O58º 50´ 0” O

MEDICIONESMEDICIONES 11 22 33 11 22DíaDía 27/6/0827/6/08 27/6/0827/6/08 27/6/0827/6/08 20/6/0820/6/08 30/6/0830/6/08

HoraHora 12:5612:56 12:5612:56 12:5612:56 12:5712:57 12:5712:57

Longitud de Longitud de la varala vara

(23 (23 ± 0.1) ± 0.1) cmcm

(22.1 (22.1 ± ± 0.1) cm0.1) cm

(15.6 (15.6 ± ± 0.1) cm0.1) cm

(58.3 (58.3 ± ± 0.1) cm0.1) cm

(58.7 (58.7 ± ± 0.1) cm0.1) cm

Longitud de Longitud de la sombrala sombra

(38.6 (38.6 ± ± 0.1) cm0.1) cm

(39.5 (39.5 ± ± 0.1) cm0.1) cm

(27.7 (27.7 ± ± 0.1) cm0.1) cm

(70.1 (70.1 ± ± 0.1) cm0.1) cm

(68.7 (68.7 ± ± 0.1) cm0.1) cm

Ángulo Ángulo θθ 59.21º59.21º 60.77º60.77º 60.71º60.71º 39.75º39.75º 40.41º40.41º

La medición 2 de la ENES y la medición 1 de el CGSM son las que se utilizaron para el proyecto

Resultados

Eratóstenes Referencia actual

Proyecto

Perímetro terrestre

41152 Km

(*)

40067 Km

(*)

40998 Km

Radio terrestre

6549 Km 6377 Km 6525 Km

Estos valores fueron sacados de

lapáginawww.encuentro.gov.ar

Cuestiones para seguir pensando...

• Fallas del operador

• Precisión del instrumento

• Medidas indirectas (propagación del error en las cuentas)

Posibles fuentes de error

Los rayos del Sol ¿Llegan paralelos a la Tierra?

Las longitudes de las varas son distintas para cada escuela ¿Afecta esto los resultados?

¿Influye en la toma de datos y en los resultados que la Tierra no es una esfera perfecta? ¿Es necesario tener en cuenta el relieve de la Tierra?

A diferentes latitudes ¿Qué pasa con el valor del radio? ¿Es el mismo?.

¿Cuánto influye la atmósfera en la trayectoria de los rayos solares? ¿Es significativa la refracción de dichos rayos? ¿Y la nubes?

¿Tiene sentido medir en un horario distinto al del medio día solar? ¿Y en otro día del año? La sombra ¿Varía linealmente con el tiempo?

¿Es imprescindible que las dos ciudades estén en el mismo meridiano? ¿Tienen el mismo horario de cenit?