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7/17/2019 combinatoria.pdf http://slidepdf.com/reader/full/combinatoriapdf-569109b79ee23 1/2 Jornadas de Olimpiadas Matem´ aticas 2013 John Cuya Barrios Miscel´anea de Problemas de Combinatoria 1. Una mesa circular tiene exactamente 60 sillas, Hay N personas ya sentadas de ma- nera que la pr´oxima persona en sentarse por fuerza se sentar´a a lado de alguien. ¿Cu´ al es el menor valor de N ? 2. Los n´ umeros 1, 2,..., 10 son coloreados de rojo o azul. 5 es rojo y al menos un n´umero de azul. Si m y n tienen diferente color y m + n ≤ 10, entonces m + n es azul. Si m y n son de diferente color y mn ≤ 10, entonces mn es rojo. ¿Cu´ antos de los n´ umeros son azules?. 3. El conjunto de los enteros positivos es dividido en k conjuntos disjuntos, de tal modo que si los enteros positivos m y n cumplen que su diferencia es 2, 3 ´o 5, entonces m y n est´ an en subconjuntos diferentes. ¿Cu´al es el menor valor de k? 4. ¿Cu´ antos n´ umeros de 10 d´ ıgitos diferentes son divisibles por 99999? 5. Determinar el menor entero positivo n para el cual se satisface el siguiente resultado: Si los elementos del conjunto {1, 2, 3,...,n} son coloreados con 2 colores, siempre existen cuatro elementos del mismo color (no necesariamente distintos) donde uno de ellos es la suma de los otros tres. 6. Algunas casillas de un tablero de 9 × 11 son pintadas de rojo, de tal modo que en cada rect´ angulo de 2 × 3 ´ o 3 × 2 haya exactamente 2 casillas rojas. ¿Cu´antas casillas del tablero est´an pintadas de rojo? 7. Cada uno de los siguientes n´umeros 1, 2, 3,..., 25 se ha escrito en una de las casillas de un tablero cuadrado de 5 × 5 casillas, de tal forma que los n´umeros en cada fila est´ an ordenados en forma creciente de izquierda a derecha. Halla el m´aximo y el m´ ınimo valor posible de la suma de los n´umeros que est´ an en la tercera columna. 8. ¿Cu´ antos subconjuntos de 5 elementos de {1, 2, 3,..., 24} tienen suma de elementos mayor o igual que 63? http://www.facebook.com/editorial.binaria Editorial Binaria p´ agina 1
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Jornadas deOlimpiadas Matematicas 2013
John Cuya Barrios
Miscelanea de Problemas de Combinatoria
1. Una mesa circular tiene exactamente 60 sillas, Hay N personas ya sentadas de ma-nera que la proxima persona en sentarse por fuerza se sentara a lado de alguien.¿Cual es el menor valor de N ?
2. Los numeros 1, 2, . . . , 10 son coloreados de rojo o azul. 5 es rojo y al menos unnumero de azul. Si m y n tienen diferente color y m + n ≤ 10, entonces m + n es
azul. Si m y n son de diferente color y mn ≤ 10, entonces mn es rojo. ¿Cuantos delos numeros son azules?.
3. El conjunto de los enteros positivos es dividido en k conjuntos disjuntos, de tal modoque si los enteros positivos m y n cumplen que su diferencia es 2, 3 o 5, entonces m
y n estan en subconjuntos diferentes. ¿Cual es el menor valor de k?
4. ¿Cuantos numeros de 10 dıgitos diferentes son divisibles por 99999?
5. Determinar el menor entero positivo n para el cual se satisface el siguiente resultado:Si los elementos del conjunto {1, 2, 3, . . . , n} son coloreados con 2 colores, siempreexisten cuatro elementos del mismo color (no necesariamente distintos) donde unode ellos es la suma de los otros tres.
6. Algunas casillas de un tablero de 9 × 11 son pintadas de rojo, de tal modo que encada rectangulo de 2×3 o 3×2 haya exactamente 2 casillas rojas. ¿Cuantas casillasdel tablero estan pintadas de rojo?
7. Cada uno de los siguientes numeros 1, 2, 3, . . . , 25 se ha escrito en una de las casillasde un tablero cuadrado de 5 × 5 casillas, de tal forma que los numeros en cada filaestan ordenados en forma creciente de izquierda a derecha. Halla el m aximo y elmınimo valor posible de la suma de los numeros que estan en la tercera columna.
8. ¿Cuantos subconjuntos de 5 elementos de {1, 2, 3, . . . , 24} tienen suma de elementosmayor o igual que 63?
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9. (a1, a2, a3, . . . , a10) es una permutacion de (1, 2, 3, . . . , 10). ¿Cual es el maximo y elmınimo valor de la suma
|a1 − a2| + |a2 − a3| + . . . + |a9 − a10| + |a10 − a1|?
10. Sea el conjunto A = {1, 2, 3, . . . , 10} y sean S 1, S 2, . . . , S k
subconjuntos no vacıosde A tales que para todo i < j, S i y S j tienen a lo mas 2 elementos en comun.Encontrar el mayor valor posible de k.
11. Un conjunto de enteros positivos es malo si no contienen tres enteros consecuti-vos. El vacıo es un conjunto malo. ¿Encontrar el numero de subconjuntos malos de{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}?
12. S es un conjunto finito de numeros reales tal que dados cualesquiera tres de ellos,siempre existen dos cuya suma esta en S . ¿Cual es el mayor numero de elementosque puede tener S ?
13. Hay 13 ciudades en cierto reino. Entre algun par de ciudades una conexionde bus,tren o aeroplano es establecida. ¿Cual es el menor numero de conexiones a establecerde tal forma que cerrando cualquier medio de transporte entonces uno pueda ir decualquier cuidad a cualquier otra usando los otros 2 tipos de transporte?
14. Una ciudad tiene varios clubes. Para cualesquiera 2 residentes existe un unico club
que contiene a ambos y para cualesquiera dos clubes existe un unico residente enambos. Cada club tiene al menos 3 miembros y al menos un club tiene 17 miembros.¿Cuantos residentes hay en la ciudad?
15. Se tienen 2013 pilas de piedras, las cuales contienen 1, 2, 3, . . . , 2013 piedras, res-pectivamente. Un movimiento consiste quitar de cada pila la misma cantidad depiedras de algunas de las pilas. ¿Cuantos movimientos son necesarios como mınimopara quitar todas las piedras de todas las pilas?
John Cuya Barrios
Lima, julio de 2013.
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