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Colegio Secundario “Barrio Sociedad Rural”

Asignatura: Matemática. Curso: 6to

Profesor: Pedro David Monzón

Tema: Análisis combinatorio.

Alumno/a:…………………………………………………….Fecha de entrega:……………

Criterios de evaluación:

-Interpretación de la teoría y resolución correcta las actividades presentadas.

Actividad:

1) Lectura del material editado y presentado.

2) Realización de las actividades anexas al material de lectura y aplicación de lo que se va aprendiendo a

través de las siguientes app de Android:

https://play.google.com/store/apps/details?id=com.universapp.permutation_combinationcalculator&hl=es_419

https://play.google.com/store/apps/details?id=be.ppareit.combinatorics&hl=es_419

El material armado fue extraído de las siguientes páginas web:

https://ekuatio.com/

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Marco teórico y situaciones problemáticas

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PERMUTACIONES ORDINARIAS Las permutaciones ordinarias de n elementos son los diferentes grupos que se pueden formar con esos n elementos. En las permutaciones ordinarias:

SÍ intervienen todos los elementos SÍ IMPORTA el orden de los elementos NO se pueden repetir los elementos

La diferencia entre las permutaciones y las variaciones es que en las permutaciones intervienen todos los elementos. La fórmula para calcular las permutaciones ordinarias es:

La letra n con el signo de exclamación significa “factorial de un número”. Esta exclamación quiere decir que hay que multiplicar todos los números enteros positivos que hay entre ese número y el 1.

Por ejemplo:

A este número, 6! le llamamos generalmente “6 factorial”, aunque también es correcto decir “factorial de 6”.

En tu calculadora podrás ver una tecla con “n!” o “x!”. Esta tecla te servirá para calcular directamente el factorial del número que quieras.

Ahora resolvemos una situación problemática de permutación utilizando la fórmula:

Por ejemplo, ¿de cuántas maneras se pueden distribuir 7 tareas entre 7 empleados?

En este caso tenemos una permutación ordinaria de 7 elementos, ya que intervienen los 7 elementos, importa el orden, ya que todas las tareas no son iguales y los elementos no se pueden repetir, ya que los empleados y las tareas son diferentes.

Por tanto, aplicamos la fórmula de la permutación ordinaria y queda:

Se podrían distribuir de 5040 formas distintas.

Permutaciones circulares Cuando los elementos se ordenan formando un círculo, estamos ante un caso particular de la permutación ordinaria, que es la permutación circular. Vamos a verlo con un ejemplo: ¿De cuántas formas posibles se pueden sentar 5 personas en una mesa circular.

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Si te preguntaran que de cuántas formas de pueden sentar cinco personas en cinco sillas situadas en fila, entonces estaríamos ante una permutación ordinaria y el resultado sería:

Ahora bien, al estar las sillas situadas en una mesa circular, por ejemplo, una vez sentados, pueden moverse todos de silla hacia la derecha y y cada uno seguiría teniendo a su derecha y a su izquierda a al misma persona. Cuando las sillas están en fila, esto no pasa, ya que si se mueven todos de silla, por ejemplo un lugar hacia atrás, hay personas que ya no tienen delante o detrás a la misma persona (como es el caso del primero, el penúltimo y el último)

Por tanto, al ser una permutación circular, la fórmula es:

Y aplicando la fórmula a nuestro ejemplo nos queda:

Por lo que se podrían sentar de 24 formas distintas.

Permutaciones con repetición Las permutaciones con repetición de n elementos son los distintos grupos que pueden formarse con esos n elementos teniendo en cuenta que un elemento se repite «a» veces, otro elemento «b» veces, y así sucesivamente. En las permutaciones con repetición:

SÍ intervienen todos los elementos SÍ IMPORTA el orden de los elementos SÍ se pueden repetir los elementos

Entre los elementos que se repiten, el orden es indiferente, por lo que el número de permutaciones con repetición es menor que las permutaciones ordinarias con los mismos elementos.

La fórmula para calcular las permutaciones con repetición es:

Es decir, se divide el factorial de los elementos totales, entre los factoriales de las veces que se repite cada elemento.

Por ejemplo:

¿De cuántas formas distintas se pueden aparcar 5 coches en línea atendiendo a su color, teniendo en cuenta de que hay 3 coches rojos y 2 azules?

Tenemos 5 coches en total, de los cuales el rojo se repite 3 veces y el azul 2 veces, por tanto, al aplicar la fórmula queda:

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Operamos:

Se puede aparcar de 10 formas distintas

Se trata de permutaciones con repetición, porque intervienen todos los elementos, importa el orden y los elementos pueden repetirse.

Ejercicios sobre permutaciones y permutaciones con repetición Vamos a resolver ahora algunos ejercicios sobre permutaciones y permutaciones con repetición para que los conceptos te queden más claros.

Ejercicio 1 ¿De cuántas formas se pueden aparcar 8 coches en línea atendiendo a su matrícula? Tenemos 8 coches que se pueden aparcar en 8 posiciones diferentes. En este caso, importa el orden, se utilizarán todos los elementos y no se pueden repetir, por lo que se trata de permutaciones de 8 elementos.

Aplicamos la fórmula y queda:

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Se podrán aparcar de 40320 formas

Ejercicio 2 Con las cifras impares 1, 3, 5, 7 y 9: a) ¿Cuántos números distintos de cinco cifras se pueden formar? Utilizamos todas las cifras, importa el orden, ya que si cambiamos la posición de alguna cifra, tenemos un número distinto y las cifras no se pueden repetir. Por tanto es una permutación de 5 elementos, que al aplicar su fórmula y operar tenemos:

Se pueden formar 120 números distintos.

b) ¿Cuántos de los números de cinco cifras son menores que 70000? Los números que son menores que 70000 empiezan por 1, 3 o 5.

Entonces, por ejemplo, si dejamos el 1 fijo al principio, las combinaciones con las otras 4 cifras formarían todos los números de 5 cifras que empiezan por 1. Entonces, las combinaciones de las otras 4 cifras serían permutaciones de 4 elementos:

Si hacemos lo mismo con el 3 y con el 5, tendríamos otros 24 números que empieza con cada uno, por tanto, tendríamos 24 números que empiezan por 1, 24 números que empiezan por 3 y 24 números que empiezan por 5. 72 números en total menores que 70000:

Ejercicio 3 ¿Cuántos números de 6 cifras se pueden formas con los dígitos 1, 1, 2, 2, 3, 3? Tenemos 6 cifras donde el 1 se repite 2 veces, el 2 se repite 2 veces y el 3 se repite 3 veces. Se toman todas las cifras e importa el orden, por lo que sería una permutación con repetición:

Que operando nos da:

Se pueden formar 90 números de 6 cifras.

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EJERCICIOS DE PERMUTACIONES 1. ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5? 2. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas? 3. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda? 4. Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar? 5. Con las letras de la palabra libro, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal? 6. ¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares? ¿Cuántos de ellos son mayores de 70.000? 7. En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cuatro verdes. 8. ¿De cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de fútbol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posición distinta que la portería? 9. Una mesa presidencial está formada por ocho personas, ¿de cuántas formas distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos? 10. Cuatro libros distintos de matemáticas, seis diferentes de física y dos diferentes de química se colocan en un estante. De cuántas formas distintas es posible ordenarlos si: 1) Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos. 2) Solamente los libros de matemáticas deben estar juntos.

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Variaciones ordinarias Las variaciones ordinarias de n elementos de orden r, son los diferentes grupos que se pueden formar con n elementos tomados de r en r. En las variaciones ordinarias:

NO intervienen todos los elementos SÍ IMPORTA el orden de los elementos NO se pueden repetir los elementos

La fórmula para calcular las variaciones ordinarias es:

Por ejemplo, tenemos los siguientes dígitos:

¿Cuántos números distintos de una cifra se pueden formar con estos 4 dígitos? Las variaciones de una cifra distintos corresponden a variaciones ordinarias de 4 elementos tomados de 1 en 1.

Si aplicamos la fórmula para calcular el número de variaciones tenemos:

Y operando nos queda:

¿Cuántos números distintos de dos cifras se pueden formar con estos 4 dígitos? Si cada dígito lo combinamos con el resto de dígitos para formas números de dos cifras, obtenemos todas las variaciones ordinarias de 4 elementos tomados de 2 en 2, es decir, el 1 con el 2, el 1 con el 3, el 1 con el 4 y lo mismo con el resto de dígitos. En total tendremos 12 números distintos de 2 cifras:

Importa el orden de los dígitos ya que no es el mismo número 23 que 32 por ejemplo.

Podemos calcular el número de variaciones ordinarias de 4 elementos tomados de 2 en 2 aplicando la fórmula:

Y operando:

¿Cuántos números distintos de tres cifras se pueden formar con estos 4 dígitos? Si cada número de 2 cifras lo vamos combinando con el resto de dígitos que aún no se ha repetido, vamos números de tres cifras distintos, que son las variaciones ordinarias de 4 elementos tomados de 3 en 3, que tendremos 24 números de 3 cifras (no las pongo todas):

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Para calcular el número de variaciones ordinarias de 4 elementos tomados de 3 en 3 aplicamos la fórmula:

Y operamos:

¿Cuántos números distintos de cuatro cifras se pueden formar con estos 4 dígitos? Este ya no sería un caso de variación ordinaria, sino de una permutación, ya que se utilizan todos los elementos y en las variaciones ordinarias no se utilizan todos los elementos.

Así que, en todos los casos donde se formen grupos, donde no se utilicen todos los elementos, que importe el orden y que los elementos no se repitan, se trata de variaciones ordinarias.

Variaciones con repetición Las variaciones con repetición son variaciones en las que sí se pueden repetir los elementos, es decir, son los diferentes grupos que se pueden formar con n elementos tomados de r en r. En las variaciones con repetición:

NO intervienen todos los elementos SÍ IMPORTA el orden de los elementos SÍ se pueden repetir los elementos

La fórmula para calcular las variaciones con repetición es:

Por ejemplo, con los dígitos del ejemplo anterior:

Ejercicios resueltos sobre variaciones y variaciones con repetición Vamos a resolver ahora algunos ejercicios sobre variaciones y variaciones con repetición para que te quede todo mucho más claro.

1) ¿De cuántas formas se pueden sentar 3 niñas en un banco de 2 asientos?

Estamos ante una variación ordinaria de 3 elementos tomados de 2 en 2, ya que importa el orden, los elementos no se puede repetir y no se utilizan todos los elementos.

Aplicamos su fórmula correspondiente:

Y operamos:

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Se pueden sentar de 6 formas distintas.

2) ¿Cuántos números de cuatro cifras se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9?

El enunciado no dice nada de que los dígitos no se puedan repetir, por lo que estamos ante variaciones con repetición de 9 elementos tomados de 4 en 4, ya que los elementos se pueden repetir, el orden importa y no se utilizan todos los elementos.

Al aplicar su fórmula y operar nos queda:

Ejercicios sobre variaciones ordinarias y variaciones con repetición Vamos a resolver ahora algunos ejercicios sobre variaciones y variaciones con repetición para que te quede todo mucho más claro.

3) ¿De cuántas formas se pueden sentar 3 niñas en un banco de 2 asientos? 4) ¿Cuántos números de cuatro cifras se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9? 5) ¿Cuántos números distintos de tres cifras diferentes se pueden escribir con los dígitos: 1, 2, 3,

4, 5, 6, 7, 8, 9?

6) En una clase hay 30 alumnos. ¿De cuántas formas se pueden elegir un delegado y un

subdelegado?

7) Con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ¿cuántos números distintos de 3 cifras diferentes o no, se

pueden formar?

8) Cuántos números de 5 cifras distintas pueden formarse con los dígitos?

9) ¿Cuántas elecciones distintas puede haber en un grupo de 28 alumnos donde se va a elegir un

delegado y un subdelegado?

10) ¿ De cuántas maneras diferentes se puede contestar un examen de 12 preguntas, si solo

hay que contestar 10 de ellas?

11) ¿Cuántas banderas tricolores se pueden confeccionar con 7 colores?

12) ¿Cuál es la posibilidad de que 3 dados caigan por caras diferentes, al hacer un

lanzamiento con ellos?

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Combinaciones ordinarias o combinaciones sin repetición Las combinaciones ordinarias o combinaciones sin repetición son grupos de n elementos, tomados de r en r, que se pueden formar con esos elementos, de tal forma que:

NO intervienen todos los elementos NO importa el orden de los elementos NO se pueden repetir los elementos

Por ejemplo, tenemos una muestra con los siguientes dígitos:

Las combinaciones sin repetición de dos elementos de esta muestra serían:

teniendo en cuenta que no importa el orden, por lo que 12 es igual a 21:

Si las combinaciones fueran de 3 elementos, hay que tener en cuenta que todas las opciones resultantes de combinar 3 dígitos es la misma combinación:

Fórmula de las combinaciones sin repetición La fórmula para calcular las combinaciones sin repetición es:

Que sería igual a dividir una variación ordinaria de n elementos tomados de r en r, dividido entre una permutación de r elementos:

Vamos a ver otro ejemplo: En una clase de 15 alumnos queremos formar grupos de 5. ¿Cuántos grupos distintos podemos formar? Este es un caso de combinación sin repetición, ya que no tomamos todos los alumnos, el orden dentro de los grupos no importa y los alumnos no se pueden repetir. Por tanto, vamos a calcular la combinación sin repetición de 15 elementos tomados de 5 en 5 o el número combinatorio 15 sobre 5 aplicando su fórmula correspondiente:

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Tenemos 3003 combinaciones.

Combinaciones con repetición Las combinaciones con repetición son grupos de n elementos, tomados de r en r, que se pueden formar con esos elementos, teniendo en cuenta que en este caso los elementos sí pueden repetirse, de tal forma que:

NO intervienen todos los elementos NO importa el orden de los elementos SÍ se pueden repetir los elementos

La fórmula para calcular las combinaciones con repetición es la siguiente:

Es decir, una combinación con repetición de n elementos tomados de r en r, es igual a una combinación sin repetición de «n+r-1» elementos tomados de r en r. Vamos a ver un ejemplo. ¿De cuántas formas podemos sacar 4 cartas de una baraja de 40 cartas, devolviendo cada vez la carta, si no importa el orden en el que las sacamos? En este caso, no importa el orden de las cartas, no intervienen todas las cartas y sí se pueden repetir, por lo que es una combinación con repetición. La combinación con repetición de 40 cartas, tomadas de 4 en 4, es igual a la combinación sin repetición de 43 cartas (n+r-1=40+4-1=43) tomadas de 4 en 4:

Tenemos 123410 combinaciones distintas.

Ejercicios resueltos con combinaciones ordinarias y con repetición Ejercicio 1 Para aprobar un examen de 5 preguntas hay que contestar bien 2 de ellas. ¿De cuántas formas diferentes se pueden elegir las dos preguntas?

No importa el orden en el que se acierten las preguntas, para aprobar solo intervienen 2 de las 5 preguntas y además no

se pueden repetir, por lo que se trata de combinaciones sin repetición de 5 elementos tomados de 2 en 2.

Aplicamos la fórmula y queda:

Y después operamos:

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Se puede aprobar de 10 formas distintas.

Ejercicio 2 Entre 11 alumnos hay que elegir un grupo de 5 alumnos para hacer un trabajo a) ¿Cuántos grupos diferentes de se pueden formar?

En la formación de los grupos no influye el orden de los alumnos, no se eligen todos los alumnos para hacer los grupos y

no se pueden repetir. Son por tanto combinaciones sin repetición de 11 elementos tomados de 5 en 5.

Calculamos el número de combinaciones con su fórmula y queda:

Operamos:

Se pueden formar 462 grupos diferentes.

b) Sergio es uno de esos 11 alumnos, ¿en cuántos grupos entraría Sergio?

Para saber los grupos en los que entra Sergio, formamos con los 10 alumnos restantes todas las combinaciones posibles de 4 elementos, teniendo en cuenta que Sergio ya pertenece a ellos y es el que forma el quinto integrante del grupo.

Entonces hay que calcular las combinaciones sin repetición de 10 elementos tomados de 4 en 4, que aplicando la fórmula

y operando queda:

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Ejercicio 3 En un bar hay cervezas de 8 marcas. ¿De cuántas formas se pueden elegir 5 cervezas?

En este caso, dentro de cada marca hay varias cervezas, luego las cervezas pueden repetirse. Por ejemplo, podría elegir 5 cervezas de la misma marca. No importa el orden de cómo las elija y no intervienen todas las marcas.

Por tanto, se trata de una combinación con repetición de 8 elementos tomados de 5 en 5.

Aplicamos su fórmula y operamos:

Sería el equivalente a calcular combinaciones sin repetición de 12 elementos tomados de 4 en 4:

Ejercicios con combinaciones ordinarias y con repetición 1) Para aprobar un examen de 5 preguntas hay que contestar bien 2 de ellas. ¿De cuántas formas

diferentes se pueden elegir las dos preguntas? 2) Entre 11 alumnos hay que elegir un grupo de 5 alumnos para hacer un trabajo: a) ¿Cuántos grupos

diferentes de se pueden formar? b) Sergio es uno de esos 11 alumnos, ¿en cuántos grupos entraría Sergio?

3) En un bar hay cervezas de 8 marcas. ¿De cuántas formas se pueden elegir 5 cervezas? 4) Una madre decide llamar a cenar 4 de sus 7 hijos (Amelia, Bertha, Carolina, Daniel, Esther,

Federico y Gonzalo). ¿De cuantas maneras diferentes puede llamarlos? 5) ¿De cuántas maneras se puede seleccionar un equipo de 5 integrantes de un grupo de 9

personas? 6) De los 15 mejores estudiantes del grado 7º del colegio Carrasquilla, se quieren seleccionar 10, para

representar al colegio en un concurso de ortografía. De cuántas maneras diferentes se puede seleccionar este grupo de alumnos?

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7) Se tienen los 4 ases de una baraja y se quieren tomar al azar tres cartas.¿Cuántas combinaciones pueden resultar?

8) Cuántas banderas tricolor se pueden confeccionar con 8 colores? 9) Una chica tiene en su armario 10 vestidos y quiere elegir 6 para un viaje. ¿De cuántas maneras

puede hacerlo? 10) Una madre decide llamar a cenar 3 de sus 9 hijos (Carolina, Daniel, Esther, Patricia, Federico,

Amelia, Bertha, Daniela, y Gonzalo). ¿De cuantas maneras diferentes puede llamarlos?