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COLEGIO FRANCISCANO AGUSTIN

GEMELLI

AREA MATEMATICAS

“Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo”.

Galileo Galilei

ALGEBRA GRADO OCTAVO

2012

MATEMÁTICAS - Algebra 8 2

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INTRODUCCION

El estudio de las matemáticas, potencia nuestra habilidad para el análisis lógico-deductivo, el cual nos dará herramientas no solo para abordar, las otras ramas de las matemáticas, que sistemáticamente encontraremos a lo largo de nuestra trasegar académico, sino para la resolución de todo tipo de situaciones que encontremos en nuestra vida “real”. Sí, aunque parezca difícil de creer las matemáticas favorecen nuestra capacidad de observación, nuestra atención, y por ende nuestra capacidad para encontrar soluciones. En medio del proceso de enseñanza-aprendizaje, como valores agregados, iremos adquiriendo disciplina y aumentaremos la tolerancia, pues encontraremos cómo nuestros compañeros proponen formas diferentes de solución, a las propuestas por nosotros mismos, las cuales iremos aceptando y respetando. Bienvenidos a este interesante recorrido por las matemáticas. Esperamos disfruten de ellas y que el aprenderlas les sea divertido y edificante. Cordialmente, COMITÉ DE AREA DE MATEMATICAS


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Contenido UNIDAD I ............................................................................................................................................. 5

LENGUAJE ALGEBRAICO Y OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS. ...................... 5

CONJUNTOS NUMERICOS .............................................................................................................. 10

EL LENGUAJE ALGEBRAICO. .......................................................................................................... 17

MANEJO DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS ......................................................................... 19

TERMINOLOGÍA BÁSICA: ............................................................................................................. 19

TÉRMINOS SEMEJANTES ............................................................................................................... 27

ADICION O SUMA ......................................................................................................................... 28

SUSTRACCION O RESTA ............................................................................................................. 29

PRODUCTO O MULTIPLICACION: ................................................................................................... 33

DIVISION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS. ................................................................................ 37

UNIDAD II .......................................................................................................................................... 44

PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES ...................................................................................... 44

CUADRADO DE LA SUMA DE DOS TERMINOS: ......................................................................... 45

CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES: .......................................................... 46

PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES. ................................. 47

CUBO DE UN BINOMIO. ............................................................................................................... 49

PRODUCTO DE DOS BINOMIOS DE LA FORMA ....................................................... 58

COCIENTES NOTABLES. ................................................................................................................. 59

COCIENTE DE LA DIFERENCIA DE LOS CUADRADOS DE DOS CANTIDADES ENTRE LA

SUMA DE LAS CANTIDADES ....................................................................................................... 59

COCIENTE DE LA DIFERENCIA DE LOS CUADRADOS DE DOS CANTIDADES ENTRE LA

DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES ............................................................................................ 60

COCIENTE DE LA SUMA DE LOS CUBOS ENTRE LA SUMA DE LAS CANTIDADES ................ 61

COCIENTE DE LA DIFERENCIA DE LOS CUBOS DE DOS CANTIDADES ENTRE LA

DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES ............................................................................................ 61

UNIDAD III ......................................................................................................................................... 63

FACTORIZACION .............................................................................................................................. 63

FACTOR COMUN .......................................................................................................................... 64

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO ............................................................................................ 68

DIFERENCIA DE CUADRADOS .................................................................................................... 72


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TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c ..................................................................................... 74

TRINOMIOS DE LA FORMA ax2 +bx +c ..................................................................................... 78

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACCION ...................................... 81

SUMAS O RESTAS DE CUBOS. ................................................................................................... 83

UNIDAD IV......................................................................................................................................... 92

LAS FRACCIONES ALGEBRAICAS .................................................................................................. 92

Fracciones algebraicas equivalentes .............................................................................................. 93

Simplificación de fracciones algebraicas ........................................................................................ 94

Amplificación de fracciones algebraicas ....................................................................... 94

Reducción de fracciones algebraicas a común denominador ........................................ 94

OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS ...................................................................... 98

Suma de fracciones algebraicas ..................................................................................................... 98

Multiplicación de fracciones algebraicas ....................................................................................... 100

División de fracciones algebraicas ................................................................................................ 100

RACIONALIZACIÓN ........................................................................................................................ 109

ECUACIONES ................................................................................................................................. 113

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES .................................................................................... 116

SOLUCION DE ECUACIONES ........................................................................................................ 117


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UNIDAD I LENGUAJE ALGEBRAICO Y OPERACIONES CON

EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

PROPOSITO

Familiarizar a los estudiantes con el manejo de los números, dentro del contexto de los conjuntos numéricos, logrando una apropiación del lenguaje matemático, que les permita reescribir en términos matemáticos, expresiones traídas del lenguaje natural y el proceso inverso.

Manejar con habilidad las operaciones con expresiones algebraicas, usando los conceptos previos requeridos en su solución, tales como: los términos semejantes, el producto y el cociente de potencias de bases iguales, leyes de signos, supresión de signos de agrupación y operaciones con enteros y fraccionarios.


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ENUNCIACION Hablemos un poco de la utilidad de los números……………

1. La quinta operación

Con frecuencia se denomina al álgebra la «aritmética de las siete operaciones», queriendo

subrayar con ello que a las cuatro operaciones matemáticas conocidas por todos, el álgebra

añade tres más: la elevación a potencias y sus dos inversas.

Comencemos nuestras pláticas algebraicas por la «quinta operación»: la elevación a

potencias.

¿Responde esta operación a una exigencia de la vida práctica? Indudablemente. Con ella

tropezamos a menudo en la vida. Recordemos los innumerables casos en que para calcular

superficies y volúmenes se precisa elevar los números a la segunda o tercera potencia. Otro

ejemplo: la fuerza de gravitación universal, la acción recíproca electrostática y magnética, la

luz y el sonido son inversamente proporcionales al cuadrado de las, distancia. La continuidad

de la traslación de los planetas alrededor del Sol (o, de los, satélites alrededor dé los

planetas) viene expresada también en forma de una potencia dependiente de la distancia

que les separa de su centro de traslación: la relación entre los cuadrados de los tiempos de

traslación es igual a la relación entre los cubos de las distancias.

Es un error pensar que en la práctica tropezamos tan sólo con segundas y terceras

potencias, y que no existen exponentes de potencias superiores más que en los manuales de

álgebra. Cuando un ingeniero busca el grado de solidez de un cuerpo se ve obligado operar

a cada instante con cuartas potencias; y en otros cálculos (para hallar el diámetro de tubo

conducto de vapor, por ejemplo) llega a operar incluso con la sexta potencia.

Asimismo los técnicos hidráulicos se valen de las sextas potencias cuando tratan, de

averiguar la fuerza con que son arrastradas las piedras por el agua: si la corriente de un río

es cuatro veces más rápida que la de otro, el primero es capaz de arrastrar por su lecho

piedras 4 pulgadas, es decir, 4.096 veces más pesadas que el segundo río1.

Al estudiar la relación que existe entre la luminosidad de un cuerpo incandescente, el

filamento de una lámpara, por ejemplo, y su temperatura, se opera con potencias aún

mayores. Cuando la incandescencia es blanca, su luminosidad general aumenta en relación

a la decimosegunda potencia de su temperatura; cuando es roja, en relación a la trigésima

potencia de su temperatura (siendo ésta «absoluta», es decir, a partir de –273°C).

Esto significa que si calentamos un cuerpo de 2.000° a 4.000° absolutos por ejemplo, o sea,

si elevamos su temperatura al doble, la luminosidad de dicho cuerpo aumentará en 212, es

decir, en más de 4.000 veces. En otro lugar nos ocuparemos de la importancia que tienen

para la técnica de fabricación de lámparas eléctricas estas proporciones tan singulares.

TEXTO DE Patricio Barros 2, tomado de Mecánica Recreativa, capítulo IX.

2. Cifras astronómicas


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Es probable que nadie haga tanto uso de la «quinta operación matemática» como los

astrónomos. Los exploradores del firmamento manejan sin cesar cantidades formadas por

una o dos cifras significativas seguidas de una larga fila de ceros. Sería muy incómodo

expresar con los medios ordinarios tales cantidades, llamadas con razón «astronómicas» y,

sobre todo, operar con ellas. Los kilómetros que nos separan de la nebulosa de Andrómeda

se representan con la siguiente cifra:

95 000 000 000 000 000 000.

Por añadidura, al efectuar cálculos astronómicos, muchas veces hay que operar no con

kilómetros u otras unidades aún mayores, sino con centímetros. En este caso, la distancia

antes referida lleva cinco ceros más:

9 500 000 000 000 000 000 000 000.

La masa de las estrellas viene expresada en cifras todavía más considerables, sobre todo si

hemos de registrarla en gramos, como exigen muchos cálculos. La masa del Sol, en

gramos, es igual a:

1 983 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000.

Huelga ocuparse de los inconvenientes que representaría operar con números tan

desmesurados y de lo fácil que sería incurrir en error en tales casos. Además, las cantidades

referidas están muy lejos de ser las mayores en la astronomía.

La quinta operación matemática aligera los cálculos. La unidad seguida de varios ceros se

expresa con el número 10 elevado a una determinada potencia

100 = 102

1.000 = 103

10.000 = 104

etc.

Los enormes números citados anteriormente pueden representarse como sigue:

el primero 950 x 1022

el segundo 1.983 x 1030

Se expresan así no sólo para economizar espacio, sino también para facilitar los cálculos. Si

hubiera, por ejemplo, que multiplicar ambos número entre sí, bastaría hallar el producto de


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950 x 1.983 = 1.883.850 y tras él colocar el factor 10

22+30

= 1052

de la forma siguiente:

950 x 1022

x 1 983 x 1030

= 188 385 x 1053

Es evidente que esto resulta más cómodo que escribir un número seguido de 22 ceros, otro

de 30 ceros y, por último, un tercero acompañado de 53 ceros. Y no sólo más sencillo, sino

también más seguro, por cuanto al escribir tal fila de ceros puede ser omitido alguno,

obteniendo un resultado erróneo.

EJERCITACION.

I .- Escribe en forma usual expresiones dadas en notación científica.

a) 6,24 x 10 -3 = ………………………………………………………………...

b) 3,15 x 10 4 = ……………………………………………………………….

c) 2,8x10 -4. = ………………………………………………………………...

II.- Escribe en Notación Científica a las siguientes cifras.

a) 12.578 = ……………………………………………………………………

b) 245, 0034 = ………………………………………………………………..


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c) 0,045 x 10 2 = …………………………………………………………..…

III.- Escribir la notación científica en cada una de las siguientes medidas

a) 188 cm =……………………………………………………………………….…….

b) 0,00008 min ……………………………………………………………………..…

c) 0,000276 Kg ………………………………………………………………………..

IV .- Expresa en notación científica las cantidades

a) doce mil millones =………………………………………………….……

b) 0,000000000001234 = ………………………………………………...

V .- Lee y responde:

Gonzalo está realizando un trabajo para la asignatura de química. Debe averiguar todo lo

referente al átomo de hidrógeno. Entre la información que recoge, encuentra que su masa es

1,66 · 10-24 gramos y su diámetro mide 4,1 · 10-10 metros.

¿ Cómo consideras que son estas medidas, grandes o pequeñas? ¿ Cuál es grande y

cuál es pequeña ? ¿ Por qué ?

Grande es ……………………………. Pequeña es …………………………

………………………………………………………………………………………....................

……………………………………………………………………………………………………….


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CONJUNTOS NUMERICOS

ENUNCIACION

1) Números Naturales

N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.......}

El conjunto de los Números Naturales surgió de la necesidad de contar, lo cual se manifiesta

en el ser humano desde sus inicios.

Características de este conjunto:

Tiene un número infinito de elementos

Cada elemento tiene un sucesor y todos, excepto el 1, un antecesor.

El sucesor de un número natural se obtiene sumando uno (+1); el antecesor se obtiene

restando uno (-1).

2) Conjunto de los Números Enteros

Z = { ..... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

El Conjunto de los Números Enteros surge de la necesidad de dar solución general a la

sustracción, pues cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, esta sustracción no tiene

solución en los Conjuntos Naturales y Cardinales (por ejemplo: 5 – 20 = ¿?). Debido a esto,

la recta numérica se extiende hacia la izquierda, de modo que a cada punto que representa

un número natural le corresponda un punto simétrico, situado a la izquierda del cero. Punto

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/NumerosNaturales%28indoarabes%29.htm

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/NumerosEnterosZ.htm


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simétrico es aquel que está ubicado a igual distancia del cero (uno a la derecha y el otro a la

izquierda de él).

Z = N* U Conjunto de los Números Enteros negativos

Z = Tiene 3 Subconjuntos:

Enteros Negativos: Z ¯

Enteros Positivos: Z +

Enteros Positivos y el Cero: Z 0+

Por lo tanto, el Conjunto de los Números Enteros es la unión de los tres subconjuntos

mencionados.

Z = Z ¯ U {0} U Z +

3) Conjunto de los Números Racionales

Q = {....- ¾, - ½, - ¼ , 0, ¼ , ½, ¾,.....}

El conjunto de los Números Racionales se creó debido a las limitaciones de cálculo que se

presentaban en el conjunto de los Números Naturales y los Números Enteros. Por ejemplo,

sólo se puede dividir en el conjunto de los Números Enteros si y sólo si el dividendo es

múltiplo, distinto de cero, del divisor. Para solucionar esta dificultad, se creó este

conjunto, el cual está formado por todos los números de la forma a / b. Esta fracción en la

cual el numerador es a, es un número entero y el denominador b, es un número entero

distinto de cero.

El conjunto de los Números Racionales (Q ) se ha construido a partir del conjunto de los

Números Enteros (Z).


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Se expresa por comprensión como:

Q = { a /b tal que a y b ∊ Z; y b ≠ 0 }

Este conjunto se representa gráficamente, dividiendo cada intervalo de una recta numérica

en espacios iguales, que representen números enteros. Cada una de estas subdivisiones

representa una fracción con denominador igual al número de partes de la subdivisión.

Cada fracción es un número racional y cada número racional consta de infinitas fracciones

equivalentes.

4) Conjunto de Números Irracionales

I = Conjunto de Números Decimales Infinitos no Periódicos

Este conjunto surgió de la necesidad de reunir a ciertos números que no pertenecen a los

conjuntos anteriores; entre ellos se pueden citar a las raíces inexactas, el número Pi, etc. A

él pertenecen todos los números decimales infinitos puros, es decir aquellos números que

no pueden transformarse en una fracción. No deben confundirse con los números racionales,

porque éstos son números decimales finitos, infinitos periódicos e infinitos semiperiódicos

que sí pueden transformarse en una fracción.

Ejemplos: 1,4142135....

0,10200300004000005....

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Numero_Pi.htm


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SIMULACION

1. Asigna un valor de verdad (Falso o verdadero) a cada una de las siguientes

proposiciones, si es Falsa, justifica tu respuesta.

a. Todo número racional puede expresarse mediante un decimal.

( ) _____________________________________________________________

b. En una fracción decimal periódica corresponde al conjunto de los números naturales

( ) _________________________________________________________________

c. los decimales se clasifican en, finitos, infinitos periódicos e infinitos no periódicos.

( ) _______________________________________________________________

c. los decimales se clasifican en, finitos, infinitos periódicos e infinitos no periódicos.

( ) _______________________________________________________________

d. Toda expresión decimal representa un racional. ( ) _______________________________

__________________________________________________________________________

e. Un numero irracional es aquel en que su parte decimal es periódica ( )

__________________________________________________________________________

2– Convierte el denominador de las siguientes fracciones en una potencia de diez y luego

escribe cada fracción en forma decimal.

a. b. c. d. e.

3– Compara cada pareja de números e identifica el mayor y el menor.

a. b. c. 0,0078 y 0.0079

d. e. f.


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EJERCITACION.

Tachar en cada conjunto los elementos que no pertenezcan a él. Ubicar cada uno de los

elementos descartados en el conjunto correspondiente.

Tomado de Santillana, Algebra y geometría.

DEMOSTRACIÓN:

Indicar si las afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique las opciones que den Falso

por respuesta.

a. El conjunto de los números naturales es finito.

b. Todo número entero tiene un número anterior.

c. - es un número racional.

d. Todo número irracional es también un número real.

e. es un número racional.

f. El conjunto de los números enteros está contenido en el conjunto de los números

naturales.

R

Z

Q

3

Q -4

π

1,6

-5


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g. La intersección entre el conjunto de los números racionales y el conjunto de los números

irracionales es un conjunto vacío.

h. no es un número racional.

APLICACIÓN:

(competencia interpretativa)

Al hallar el valor de cada operación y cambiar el resultado por la letra correspondiente se

encontrará el nombre de un matemático.

A= E= 1 S = N = O = 0

R= T=

OPERACION LETRA


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Ejercicio tomado de Santillana, Algebra y Geometría I


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EL LENGUAJE ALGEBRAICO. ENUNCIACION

Realiza con atención la siguiente lectura, que emplearemos como introducción al álgebra.

1. El arte de plantear ecuaciones

El idioma del álgebra es la ecuación. "Para resolver un problema referente a números o

relaciones abstractas de cantidades, basta con traducir dicho problema, del inglés u otra

lengua al idioma algebraico», escribió el gran Newton en su manual de álgebra titulado

Aritmética Universal. Isaac Newton mostró con ejemplos cómo debía efectuarse la

traducción. He aquí uno de ellos:

Para determinar cuál es el capital inicial del comerciante no queda más que resolver la última

ecuación.


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La solución de una ecuación es, con frecuencia, tarea fácil; en cambio, plantear la ecuación a

base de los datos de un problema suele ser más difícil. Hemos visto que el arte de plantear

ecuaciones consiste, efectivamente, en traducir "la lengua vernáculo a la algebraica". Pero el

idioma del álgebra es lacónico en extremo, por eso no todos los giros del idioma materno son

de fácil traducción.

SIMULACION

1. Identifica los términos desconocidos, búscalos en el diccionario y escribe su

significado.

2. Qué entiendes por ecuación.

3. Escribe una definición de “lenguaje algebraico”.


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MANEJO DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

ENUNCIACIÓN

Familiarizarse con los términos y símbolos básicos del álgebra, es el punto de partida para un correcto manejo.

PALABRAS CLAVES:

La tabla siguiente, nos muestra formas de leer las operaciones básicas, en un lenguaje matemático:

La Suma o Adición (+)

La Resta o Sustracción

( - ) La Multiplicación

( · ) La División

(÷ )

suma

añadir más

aumentado por más que

resta

diferencia

menos

menor que

disminuido por quitado de

multiplicar producto

veces de

dividir dividido por

cociente

TERMINOLOGÍA BÁSICA:

1. TERMINO ALGEBRAICO: Un término algebraico consta de las siguientes partes:

Signo. Puede ser positivo (+), o negativo (-).

Coeficiente. Si bien en el producto de dos o más factores, cualquiera de ellos puede llamarse coeficiente de los otros factores, se le llama coeficiente a una constante (con todo y signo), que es un factor de las variables de cualquier término algebraico.


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Modelación: En 7ab2c que es un término algebraico ; 7 es coeficiente de ab2c

a es coeficiente de 7b2c

b2 es coeficiente de 7ac

c es coeficiente de 7ab2

Variable (o parte literal). Es una generalización de una cantidad.

Exponente. Es el número de veces que se multiplicará la cantidad generalizada o variable, por sí misma.

Modelación:

a) -2x2; Signo: negativo

Coeficiente: -2

Variable: x

Exponente: 2

b) ax2y3; Signo: positivo

Coeficiente: a

Variables: x , y

Exponentes: 2 (de la x)

3 (de la y)

2. EXPRESION ALGEBRAICA:

DEFINICION:

Una expresión algebraica consta está conformada por términos (números, variables)

separados por signos de operación, tales como + (suma) y – (resta).

CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIÓNES ALGEBRAICAS

Los términos de las expresiones algebraicas se pueden clasificar en función de las

operaciones que se deben realizar con sus variables, en los siguientes grupos:


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Expresiones algebraicas racionales. Es el que no tiene radical y tiene como

denominador una variable.

Ejemplo: ;

Las expresiones racionales, a su vez, pueden ser de dos tipos:

Expresiones Algebraicas Enteras. Son aquellas en las que no aparecen variables en los denominadores.

Ejemplo: x2 + 2y; 7x + 8y – 2z

Expresiones Algebraicas fraccionarias. Son aquellas en las que aparece alguna variable en los denominadores.

Ejemplo: ;

Expresiones Algebraicas Irracionales. Son aquellas en las que aparece alguna

variable bajo el signo radical.

Ejemplo: ;

3. Otra forma de clasificación de las expresiones algebraicas (la más usual) se refiere al

número de términos que la integran, así:

Monomios. Si tiene un solo termino

Binomios. Si tiene dos términos.

Trinomios. Si tienen tres términos

Polinomios. Si tiene cuatro o más términos.

4. Grado de un término. Puede ser de dos clases: absoluto y con relación a una letra.


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Absoluto: Es la suma de los exponentes de todas las variables que aparecen; así, el termino 5ab2 es de grado absoluto 3 ya que las variables tienen como exponentes 1 y 2, respectivamente.

Con relación a una variable: es el máximo exponente de dicha letra, así, 5x2y6 es de grado 2 con respecto a “x “ y de grado 6 con respecto a “y”.

5. Grado absoluto de un polinomio: es el grado de su termino de mayor grado, así, en el polinomio x4 – 5x3 + x2 – 3x el primer término tiene el mayor grado, luego el grado absoluto del polinomio es cuatro.

6. Grado de un polinomio con relación a una variable: Es el mayor exponente de dicha letra en el polinomio, así, el polinomio 6a4x3 – 3a3x7 + 8a2x2 – 4ax tiene de grado en “a” cuatro y en “x” 7.

7. Valor numérico de una Expresión Algebraica es el valor que se obtiene al sustituir las letras por un valor numérico.

8. Términos semejantes son aquellos que tienen la misma parte litera y a su vez estos en una expresión algebraica se puede reducir al adicionar sus coeficientes y multiplicar por la parte literal.

MODELACION – SIMULACION 1. En cada uno de los siguientes polinomios elige una variable, y ordénalo en forma

decreciente de acuerdo con el grado de esa variable.

a. x3y – x4 + x5y2 – x6y3 + 3xy5

b. 3y5z + 3y4z2 – 8y6z4

c. 8a2b

6 – 9ab

7 + 10a

3b

5

d. 6x2y3z3 – 15x9y4z6 + xy12z2

e. ab – a5b2c + 3a4b7c6 – 4a6b6c3


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2. Determina el grado absoluto y el grado con respecto a cada variable en las siguientes

expresiones algebraicas:

a. 15x5 y – 9x4 y Grado absoluto: _

Grado con respecto a la variable principal _______

b. 32x8b – 6x5b2 + 12x3 – 4x2b9 Grado absoluto: __

Grado con respecto a la variable principal__________________

c. 4x3y2 Grado absoluto: ______________________________________

Grado con respecto a la variable y _______________________

d. 6xn3 + 7xn2 – 3xm2n Grado absoluto:_______________________________________

Grado con respecto a la variable m _______________________

3. Clasifica cada una de la siguientes expresiones algebraicas según el número de términos que la integran:

a) 5x – 3y – z b) a2 + b3 – c4 + k

c) 10x2y d) ___

e) 2 – x f) 2x – 3 y2 _________________

g) a2 + ab + b2 h) x + __________________

i) a + b + c + j) h2k2t5 _____________________

k) – – l) 152x6 – 75x4y _______________

m) 5m5n + 3m4n2 – 24m3n2 – 8m2n45 + 52mn – 85 ___________________


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MODELACION

Traducir cada frase usando símbolos.

Frase En símbolos

a. La suma de 2 y un número. 2 + d (la "d" representa el número)

b. 3 más que un número x + 3

c. La diferencia entre un número y 5 a - 5

d. 4 menos n 4 - n

e. Un número aumentado en 1 k + 1

f. Un número disminuido en 10 z - 10

g. El producto de dos números a · b

h. Dos veces la suma de dos números 2 ( a + b)

i. Dos veces un número sumado a otro 2a + b

j. Cinco veces un número 5x

k. El cociente de dos números


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EJERCITACION

A. Traduce usando símbolos:

1. La suma de dos números ____________________

2. 10 más que n ____________________

3. Un número aumentado en 3 ____________________

4. Un número disminuido en 2 ____________________

5. El producto de p y q ____________________

6. Uno restado a un número ____________________

7. 3 veces la diferencia de dos números ____________________

8. 10 más que 3 veces un número ____________________

9. La diferencia de dos números ____________________

B. Escribe usando símbolos y simplifica el resultado:

1. La suma de 24 y 19 ___________________________

2. 19 más que 33 ___________________________

3. Dos veces la diferencia de 9 y 4 __________________________

4. El producto de 6 y 16 ___________________________

5. 3 veces la diferencia de 27 y 21 ___________________________

6. La diferencia de 9 al cuadrado y 4 al cuadrado _______________________

7. El cociente de 3 al cubo y 9 _____________________________

8. 12 al cuadrado dividido por el producto de 8 y 2 _______________________


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DEMOSTRACION

Los ejercicios que aparecen a continuación, corresponden al cálculo del valor numérico de

una expresión algebraica, el cual consiste en realizar el reemplazo de las variables, por un

valor conocido (o constante).

1. Halla el valor de d en d= 1 t2 g para g= 25, t= 8. 2

2. Calcula el valor numérico de las expresiones algebraicas siguientes considerando: a= 4; b = -1; c = -7; d = -1; f = -2.

a) 5a2 – 2bc – 3d b) 7a2c – 8d3

c) 6a3f d) 2a2 – b3 – c3 – d5

e) d4 – d3 – d2 + d – 1 f) 3/4a – 2/5c


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ENUNCIACION.

La realización de operaciones con expresiones algebraicas, requiere un adecuado manejo

del concepto de términos semejantes para entender cómo a partir ellos puedes realizarse

reducciones (sumas y restas) de los mismos.

TÉRMINOS SEMEJANTES

Son aquellos términos que tienen las mismas variables y éstas tienen los mismos

exponentes, sin importar cuál es su coeficiente.

MODELACION:

2x2y3 es semejante a - x2y3

-3x5y es semejante a 2yx5

4xy1/2 es semejante a - y1/2x

4x2y no es semejante a 3xy2

Para que dos términos sean semejantes, deben ser del mismo género de suma, por ejemplo:

2 manzanas y 4 manzanas son semejantes, de hecho se pueden reducir:

2 manzanas + 4 manzanas = 6 manzanas

de igual manera, 3x2 y 5x2 son términos semejantes, también se pueden sumar:

3x2 + 5x2 = 8x2

pero 3 peras y 2 piñas, no son términos semejantes.


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REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES

Debido a que los términos semejantes, entre ellos, son géneros de suma iguales, pueden

sumarse o restarse unos con otros, basta operar (sumar o restar) a los coeficientes de los

mismos.

Se llama reducir términos semejantes a sumarlos o restarlos según cada caso. Los términos

no semejantes, no pueden sumarse ni restarse.

ADICION O SUMA

La suma de expresiones algebraicas se obtiene agrupando los términos semejantes y

reduciendo los coeficientes, poniendo mucha atención a los signos de cada término.

Ejemplo:

( 3x2 + 6x – 4 + 2xy ) + ( 3 – 4x + 3yx – 9x2 ) =

3x2 + 6x + 2xy – 4

– 9x2 – 4x + 3yx + 3

- 6x2 + 2x + 5xy - 1

Si se tienen coeficientes fraccionarios el procedimiento es exactamente el mismo:

( 31 x4 –

52 x + 6 ) + ( -

32 + 4 x +

21 x4 ) =

31 x4 –

52 x + 6

21 x4 + 4 x -

32

65 x4 +

518 x +

316


PGF03-R03

SUSTRACCION O RESTA

Se realiza la misma agrupación que para la suma, el cambio que presenta la sustracción

es la inversión de signos en cada término del sustraendo.

( - 3 x + 6 x2 – 9 x3 + 6 x y ) - ( 2 x2 + 3x3 – 9 x y + 3 ) =

( - 3 x + 6 x2 – 9 x3 + 6 x y ) - 2 x2 - 3x3 + 9 x y - 3 =

- 9 x3 + 6 x2 - 3 x + 6 x y

- 3 x3 - 2 x2 + 9 x y - 3

-12 x3 + 4 x2– 3 x + 15 x y – 3

MODELACION:

Agrupar términos semejantes, es equivalente a sumar o restar sus coeficientes, las variables

permanecen iguales.

1. 7x+9x

Solución: (7+9)x = 16x

2. 26a – 7a + 9a Solución: (26-7+9)a =28a

3. 12m +9n – 14m + 18n Solución: (12-14)m + (9+18)n = -2m + 27n

4. 14m2n + 23mn2 – 10mn2 – 14nm2 Solución: (14 - 14) m2n + (23 - 10)mn2 = 0m2n + 13mn2 = 13mn2

Si tenemos signos de agrupación, tendremos dos casos:


PGF03-R03

A. Que los términos que estén dentro del signo de agrupación, estén precedidos de un

signo “+”, en este caso, se elimina el signo y todos los términos conservan su signo:

(6x + 9y – 5z) + (7y – 5x – 12z) = 6x + 9y – 5z + 7y – 5x – 12z = (6 - 5)x + (9 + 7)y + (-5 - 12)z = 1x + 16y + (-17)z = x + 16y – 17z

B. Si los términos dentro del signo de agrupación están precedidos por un signo “ - ”,

todos los términos quedan con signo contrario, luego de eliminar el signo de

agrupación correspondiente (por la ley de signos):

12mn – 16ab + 36ed – (3ab + 12ed – 18mn) = 12mn – 16ab + 36ed – 3ab - 12ed + 18mn = (12 + 18)mn + (-16 – 3)ab + (36 - 12)ed = 30mn + (-19)ab + 24ed = 30mn – 19ab + 24ed

SIMULACION

Reducir los siguientes términos semejantes:

a. 6x – 7x d. 9a+ a f. -3r – 16r b. 7x – x e. 23xy + 9xy g. -2a2b - 12 a2b c. a – 2a f. 10uv – 36uv h. -58 m2n + 35 m2n

2 – En los siguientes polinomios simplificar los términos semejantes:

a. a2 – a – a3 + a2 + a4 – a – a2 d. 23ax + 17ay + 11ax – 13ax – 14ay b. 0,4a – 0,9 – 0,16a – 11,2b + 5b e. 5,7m – 1,2n + 3,8n – 6,5m + 2,7n c. -17a2b – 9ab2 – 10ab2 – 6a2b f. 2t + 4q – 6p + 8q – 12t – 6p

3 – Simplificar las expresiones algebraicas, suprimiendo signos de agrupación y reduciendo

los términos semejantes:

a. (a - b) + (2a + b) e. 0,5x – 7,9y – (1,2x – 3,8y) b. x - (x - 3x) – (x+2x) f. (3m – 4n) + [ - (4m – 5n) – (7m + n)]


PGF03-R03

c. (9x – 7y) + (-8y – 16x) d. [(12x + 15y) – (6x – 3y )] – [(4x + 8y)+ (8x – 9y)]

EJERCITACION

Hallar la suma de los siguientes polinomios

a. x -1 con 3x – 3

b. 4c2d – 8cd2 con -9 c2d + 5cd

c. (6x+4xy) + (2x + 8xy)

d. (3x2 + 5xy + 5y4 + 16) + (4x3 – 5xy – 2y4 - 7)

e. (4m + 5m2n) + (-3m + 4m2n) + (5m – 2m2n)

f. 24x2y2 – 6xy + 19x – 24y; -4x + 9y + 16x2y2 – 5xy; x – y

g. 10w2v – 5wv2 – 4w3 + 16v3; -10vw2 – 5w2v + v2 – w2

h. 0,1a – 2b + 8c; -3a + 1,5b – 1,3c; a –b + 0,2c; -c + a +b

i. a – (b +c); -b – (a - c); c- (2a + b); a + b + c

2 – Reduce en cada caso los términos semejantes del polinomio:

a. 222

5

4

12

52

6

1

4

3xxxxx b.

4

1

16

1

8

5

3

22 3434 yyyy

c. 5t +6

5

9

8

15

4

3

2

7

4 222 ttt d. 5353

7

4

20

73

5

4

5

2zzzzz

e. 253232235

8

3

22

5

11

6zababzzba d. 632623

8

1

6

7

4

3

2

1wxyzwxzy

g. 32453254

10

3

14

3

5

2

7

5xbyxayxbyyax h. - zttztzzt 3223

9

2

12

7

4

3

3

7

3 - Realiza las siguientes adiciones de polinomios:

a. calcular la suma p + q, si p = 2a+ b y q = a + 2b b. calcular la suma p - q, si p = m + 2n y q = m - n c. calcular la suma p - q, si p = x + 5y y q = x – 3y d. calcular la suma p + q, si p = 2x – 2y y q = 2x – 3y e. calcular la suma p - q, si p = x – 2y – 2z + w y q = 4a – 4b + 4c


PGF03-R03

f. calcular la suma p + q, si p = x – 2y -2z + w y q = 2x + 2y -2z + 5w g. calcular la suma p - q, si p = x – 3y – a - b y q = -a – b – x – y h. calcular la suma P + Q, si P = m + 2 (m+n) y Q = m + n

4 - Encuentra el perímetro de cada región de las figuras dadas :

Recuerda: El perímetro de un polígono es igual a la suma de las medidas de todos sus lados.

5 – Encuentra el inverso aditivo de los siguientes monomios

a. 2x2 b. 24a2b c. 8x2y2z2 d. -9m2n + 4n e. -15t – 14p

6 – Efectuar las siguientes sustracciones entre polinomios

a. De -14x3 + 12x2 – 17x + 11 restar 24x3 + 46x2 - 13

b. De a4 + 23 a3 + a2- a +1 restar –a4 – 14a3 + 24a2 + 21a +17

c. (-15x4 + 42x3y + 23x2y2 – 16xy3 +y41) – (13x4 + 16x3y + 14x2y2 – 15y4)

d. (52a4b3 – 100a4 + 4ab6 + 5) – (7ab6 + 45a4 + 1)


PGF03-R03

e. Restar 83u3 + 46u2 – 11u + 16 de la suma de 103u3 + 48u2 – 15u + 19 con -47u3 -

22u2 + 15u -74

f. Restar a2 -9a2b + 14ab2 de la suma de -4a3 - 8a2b + 25ab2 - 16b3

con –a3 + 19a2b - 11ab2 - 30b3

7 – Realizar las siguientes sustracciones

a. de yx3

5

4

restar -yx3

6

5

b. Restar -

33

10

7

8

3mdem

c. Restar 45 a3b2 de - 3

9

1a b2

PRODUCTO O MULTIPLICACION:

Se pueden presentar tres casos:

Multiplicación de un monomio por un monomio:

Dos monomios se pueden multiplicar, efectuando el producto de los coeficientes y de las partes literales, teniendo en cuenta la propiedad de los exponentes, relativa a que si tenemos dos potencias de igual base y se están multiplicando, el resultado es, esa base, elevada a la suma de los exponentes ((an) (am)= an+m ); igualmente tendremos presente, la aplicación de la leyes de multiplicación de signos:

Ejemplos


PGF03-R03

Multiplicación de un monomio por un polinomio:

Para multiplicar un monomio por un polinomio se multiplica cada uno de los términos del

polinomio por el monomio según la propiedad distributiva del producto respecto a la adición o

la sustracción.

Ejemplos:

1. Efectuar: 2a2b (a2 + 2ab + b2)

Solución

(2a2b)( a2) + (2a2b)(2ab) + (2a2b)(b2) Aplicamos propiedad distributiva de los

números reales

2a2b (a2 + 2ab + b2) = 2a4b + 4a3b2 + 2a2b3

2. Efectuar: 2xy por 12x3 -7x2y + 9xy2 – 6y2

Solución

2xy (12x3 -7x2y + 9xy2 – 6y2) = 2xy(12x3 ) – 2xy(7x2y) + 2xy(9xy2) – 2xy(6y2)

= 24x4y -14x3y2 + 18x2y3 – 12xy3

SIMULACION

1. Efectuar las siguientes multiplicaciones

a. a(a - b) d. 6a2b(a2 - 9) g.

b. m3(m - 1) e. (3a3b – 5a)(-2a3b3) h.

c. – 7a(3a - 1) f. -18w(-3w)+ 2v i.


PGF03-R03

Multiplicación de polinomio por polinomio:

El principio para multiplicar dos polinomios es aplicar la propiedad distributiva tantas veces

como sea necesario.

Ejemplo:

Efectuar el siguiente producto: (2x2 + 3x -2) (3x3 + 4x2 + 8)

Solución:

2x2 (3x3)+ 2x2 (4x2) + 2x2 (8) +3x(3x3)+ 3x (4x2) +3x (8) -2(3x3) - 2 (4x2) -2 (8)

= 6 x5 +8 x4 +16 x2 + 9 x4 + 12 x3 + 24x – 6x3 – 8x2 – 16

Observemos que posterior a esta operación, aparecen algunos términos semejantes, los

cuales agruparemos, entonces la respuesta será:

(2x2 + 3x -2) (3x3 + 4x2 + 8) = 6x5 + 17x4 + 6x3 + 8x2 + 24x - 16


PGF03-R03

MODELACION - SIMULACION

1. Efectuar las siguientes multiplicar entre polinomios:

a. (2a - b) (7a – 2b) d. (2xy - 9) (3xy2 + 3x) b. (8x - y) (8x + y – 6z) e. (-6mn + 2m2n2) (2mn2 – 4m2n) c. (2ab + 3a – 6) (5a + 18) f. (2m3 + 4m2n – 5n3+ 11) (m2 + 3n2)

2. Hallar una expresión algebraica para indicar el área de la región.

3. Halla una expresión algebraica para indicar el área de la región sombreada en cada

literal de las siguientes figuras.

4 - Multiplicar los siguientes Polinomios

a) a + 3 por a – 1 b) –x + 3 por –x 5

c) 7x – 3 por 4 + 2x d) x2 + xy + y2 por x - y

e) a3 – a + a2 por a -1 f) x3 + 2x2 - x por x2 -2x + 5

g) 2

3

3

2

4

1

3

1

2

1 22 yxporyxyx h) x - xyypor

3

1

6

5

5

2


PGF03-R03

DIVISION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

En la división de expresiones algebraicas al igual que en las divisiones con números reales,

identificamos las mismas partes: Dividendo, o sea el término que se va a dividir, divisor o

término en el que se divide, cociente o resultado y residuo (cuando la división no es exacta).

La ley de los signos, opera de la misma forma que en la multiplicación (+)/(+)=+, (+)/(+)=+,

(+)/(-)=-, (-)/(+)=-.

Al igual que en la multiplicación, encontramos tres casos:

División de monomio sobre monomio:

El procedimiento, es:

1. Dividir los coeficientes

2. luego dividir el factor literal, teniendo en cuenta que si se tienen la misma base se

restan sus exponentes.

Ejemplos:

1. Dividir 4 a3b2 entre -2ab

4 a3b2 / (-2ab) = ab

ba

2

4 23

=

Dividiendo: 4 a3 b2 Divisor: -2ab

Aplicando ley de signos (+)/(-)=-

Aplicación división de coeficientes:4/(2)=2

Aplicando la propiedad de la división de potencias con igual base, se restan sus exponentes

entre si: a3 / a = a3-1= a2

b2/ b = b2-1 = b

Por lo tanto, se tiene que 4 a3b2 / (-2ab)= baab

ba 223

22

4

2. Dividir -5a4b3c entre –a2b


PGF03-R03

-5 a4b3 c / (-a2b)=ba

ba2

3452

Dividendo: -5 a4b3c Divisor: -a2b

Aplicando ley de signos: (-)/(-)=+

Aplicando división de coeficientes: 5 / (1)=5

Aplicando la división de potencias con igual base, se restan sus exponentes entre si: a4 / a2 =

a4-2= a2

B3 / b = b3-1= b2

Por tanto, se tiene que -5 a4 b3 c / (-a2b)= cbaba

ba 22

2

34

55

División de un polinomio entre un monomio:

Es equivaloente a dividir cada uno de los términos del polinomio entre el monomio.

Ejemplos:

1. Dividir 3 a3 – 6 a2b + 9ab2 entre 3a

3 a3 – 6 a2b + 9ab2 / 3ª = a

abbaa

3

963 223

Dividiendo: 3 a3 – 6 a2b + 9ab2 Divisor: 3a

+3 a3 / 3a= a2 -6 a2 b / 3 a=-2ab +9ab2 / 3a = -3b2

Por tanto, se tiene que:

3 a3 – 6 a2b + 9ab2 / 3a = a

abbaa

3

963 223

= a2 – 2ab + 3b2

División de dos polinomios

Procedimiento:

1. Se ordenan el dividendo y el divisor con relación a una misma letra (usualmente, en

forma descendente).

2. Si falta algún término dejamos el espacio correspondiente.


PGF03-R03

3. Se divide el primer termino del dividendo entre el primero del divisor y tendremos el

primer término del cociente.

4. Este primer término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta

del dividendo, para lo cual se le cambia el signo, escribiendo cada término debajo de

su semejante y hacemos la reducción.

5. Si algún término de este producto no tiene semejante en el dividendo se escribe en el

lugar que corresponda de acuerdo con la ordenación del dividendo y el divisor, que

realizamos en el paso 1.

6. Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor y tendremos el

segundo término del cociente.

7. Este segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se

resta del dividendo, cambiando los signos.

8. Se divide el segundo término del segundo resto entre el primero del divisor y se

efectúan las operaciones anteriores.

9. Este proceso se continua hasta que el residuo sea cero o no se pueda seguir

dividiendo (el exponente del dividendo, es menor que el exponente del divisor).

Ejemplos:

1. Dividir 3x2 + 2x – 8 entre x + 2

Dividendo y divisor están organizados en orden descendentes respecto a x.

Dividimos el primer término del dividendo 3X2 entre el primero del divisor x y tenemos 3x2 / x

= 3x y este es el primer término del cociente.

Los resultados del producto entre cociente y divisor los ubicamos debajo del dividendo,

cambiándoles de signo, tenemos: - 3x2 y 6x y hacemos la reducción, nos da -4x y bajamos

el - 8


PGF03-R03

Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor y obtenemos el

segundo término del cociente: -4/ x = 4

Ahora, el segundo término del cociente,-4, se multiplica por todo el divisor (-4) (x) = -4x y (-

4) (+2) = -8 y este producto se resta del dividendo, cambiando los signos 4x + 8

Hacemos la reducción, nos da cero, luego la división es exacta.

MODELACION-SIMULACION

1. Efectuar las siguiente divisiones de monomios

-5 a2 entre –a

a2 b entre –ab

-8 a2x3 entre -8 a2 x3

ba3

5

3 entre ba2

5

4

35

3

2zxy entre 3

6

1z

-xy2 entre 2y

54x2y2z3 entre -6xy2z3

14 a3 b4 entre -2ab2

-a3 b4 c entre a3 b4

3

2

2

1 2entrex

454 29

2xentreyx

5m2 entre m2n

2. Dividir:


PGF03-R03

a. a2 –ab entre a

b. 2a3 -5ab2 -6 a2b3 entre -2 a

c. 3x2y3 -5 a2x4 entre -3x2

d. X3 -4x2 +x entre x

e. 4x8 -10x6 – 5x4 entre 2x3

f. xx

3

2

2

1 2

entre 2x3

3. Efectuar las siguientes divisiones de un polinomio entre un monomio:

a2–2a-3 a + 1 x2 – 20 + x x + 5

m 2 – 11m + 30 m - 6 x2 + 15 – 8x 3 - x

4x2 + 2x + 1 x – 1 8x2 + 2x – 28 x + 2

x4 – 3x3 +x2 + 2x + 7 x + 2


PGF03-R03

DEMOSTRACION

Preguntas de selección múltiple con única respuesta TIPO I Las preguntas de este tipo

constan de un enunciado y de cuatro probabilidades en las cuales debe escoger la que

consideres correcta.

Contesta las preguntas 1 y 2. teniendo en cuenta la siguiente figura.

1. El área de la figura es:

A. x + y B y2 C. xy D. x2

2. El perímetro de la figura es:

A. 2x + 2y B x2 C. x + y D. xy

Conteste las preguntas 3, 4 y 5. teniendo en cuenta la siguiente figura.

3. El área de la figura es:

A. x + y B. x2 + 2xy + y2 C. (x+y) (x – y) D. 2x + 2y


PGF03-R03

4. la única expresión que no es cierta para hallar el área del cuadrado es:

A. x + y B. x2 + 2xy + y2 C. ( x + y )2 D. (x+y)(x+y)

5. El perímetro del cuadrado es:

A. x2 + y2 B. 4x + 4y C. 2x + 2y D. 2x + y

1. El perímetro de la siguiente figura es:

A. 6x2 + 4x + 5 B. 6x2 + 7x - 5

C. 3x2 + 7x + 2y – 5 D. 6x2 + 7x + 2y + 5

7. el área de la siguiente figura es:

A. x2 + x + 1

X2 + x + 1 B. 2x4 + 3x3 + 6x2 + 4x - 3

C. 2x2 + x - 3

D. 2x4 + 3x3 – 2x - 3

2x2 + x - 3

8. los dos trinomios que al ser sumados dan como resultado x2y + 2xy son:

A. x2 y + 3xy – 2y y y2 + x2y – xy

B. 4x2 y – 3x2 + 4xy y 3x2 – 3x2 y – 2xy

C. 5x2y + 2xy y x2 y + 2x y

D. 3y2 – 3x y + 2x2y y 4xy – 3y2 – 4x2 y


PGF03-R03

UNIDAD II PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES

PROPOSITO Resolver por simple inspección productos y cocientes de expresiones algebraicas,

observando regularidades aplicables a su solución.


PGF03-R03

ENUNCIACION

Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.

Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados y recíprocamente.

CUADRADO DE LA SUMA DE DOS TERMINOS:

De acuerdo a lo aprendido en la multiplicación de expresiones algebraicas, el resultado de

(a + b)2:

(a + b)2 = (a + b) . ( a + b)

= a (a + b) + b (a + b)

= a2 + ab + ba + b2

= a2 + 2ab + b2

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Usando la expresión anterior, podemos concluir, que

LA REGLA ASOCIADA, SERA: El cuadrado de la suma de dos cantidades, es igual al primer

término al cuadrado, más dos veces el primer término por el segundo, más el cuadrado del

segundo término.

http://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Expresi%C3%B3n_matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Expresi%C3%B3n_matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n


PGF03-R03

MODELACION:

a). (3 a2 + 4b3)2 = (3 a2)2 + 2 (3 a2) (4b3) + (4b3)2

= 9 a4 + 24 a2b3 + 16b6

b). ( 233222232 )3

1()

3

1)(

5

4(2)

5

4()

3

1

5

4yyxxyx

=6324

9

1

15

8

25

16yyxx

CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES:

Veamos el desarrollo de: (a - b)2

(a - b)2 = (a - b). (a - b)

= a (a - b) – b (a -b)

= a2 – ab – ba + b2

= a2 – 2ab + b2

(a – b)2= a2 – 2ab + b2

LA REGLA ASOCIADA, SERA:

Cuadrado de una diferencia:

El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primer término menos dos veces el primero

por el segundo más el cuadrado del segundo.

(a - b)2 = a2 – 2ab + b2

MODELACION

a). (3m – 5n)2 = (3m)2 – 2(3m) (5n) + (5n)2

= 9m2 – 30mn + 25n2

b). (222222 )

5

4()

5

4()

3

2(2)

3

2()

5

4

3

2xbababa


PGF03-R03

= 25

16

15

16

9

4 224 baba

c). (x + 2)2 22 )2()2)((2 xx

= x2 + 2 2 x + 2

PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES.

Desarrollemos: ( a + b ) ( a – b )

( a + b ) ( a – b ) = a ( a – b ) + b ( a – b )

, = a2 – ab + ba – b2

= a2 – b2

( a + b ) ( a – b ) = a2 – b2

Asociaremos a este producto, LA SIGUIENTE REGLA:

El producto de una suma ( a + b ) por su diferencia ( a – b ), es igual al cuadrado del primer término

(a) menos el cuadrado del segundo término (b):

MODELACION:

Ejemplo 1:

Efectuemos ( xy + 3 a2) ( xy – 3 a2 )


PGF03-R03

SOLUCION:

( xy + 3 a2) ( xy – 3 a2 ) = ( xy)2 – ( 3 a2)2

= x2 y2 – 9 a4

Ejemplo 2:

Efectuemos: ( ax + 1 + b y-2 ) (ax+1 – by-2 )

SOLUCION

( ax + 1 + b y-2 ) (ax+1 – by-2 ) = ( ax+1 )2 – (by- - 2 )

= a2x + 2 - b 2y + 4


PGF03-R03

CUBO DE UN BINOMIO.

El binomio, puede corresponder a una suma o a una diferencia. Veamos.

Desarrollemos (a + b)3

( a + b )3 = (a + b)2 (a + b)= ( a2 + 2ab + b2) (a + b)

(a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3

Por lo tanto, podemos asociar, la siguiente regla, al CUBO DE UNA SUMA:

El cubo de una suma es igual al cubo del primer término, MAS tres veces el cuadrado del

primero por el segundo, MAS tres veces el primero por el cuadrado del segundo, MAS el

cubo del segundo.

(a + b)3 = a3+3 a2b + 3ab2 + b3


PGF03-R03

MODELACION:

(4x + y)3= (4x)3 + 3 (4x)2 (y) + 3 (4x)(y)2 + (y)3

= 64x3 + 3(16x2) (y) + 12xy2 + y3

= 64x3 + 48x2y + 12xy2 + y3

Y la regla asociada al CUBO DE UNA DIFERENCIA, será:

Desarrollemos (a - b)3

(a - b)3 = (a - b)2 (a - b)

= (a2 – 2ab + b2) (a - b)

= a3 – a2b – 2 a2b + 2ab2 + ab2 – b3

= a3 – 3 a2b + 3ab2 - b3

(a - b)3 = a3 – 3 a2b + 3ab2 – b3

Notemos que los signos se alternan, empezando siempre por el signo MAS (+).

SIMULACION

1. Efectuar las siguientes las operaciones indicadas

1. ( x - 1 )2 2. ( x + 1 )2

3. (2x + 3)2 4.

2

22

2

9

4

25

1

5

1

3

2abba

5. ( 1 - x )2 - 3x 6. [ ( a + 2b)3 ]0 - 1

7. ( a + b + c )2 –(2ab + 2ac + 2bc) 8. (a + b – c)2- (2ac + 2ab – 2bc)


PGF03-R03

9. (a – b + c)2 – (2ac – 2ab – 2bc) 10. ( 4 – 7 )3

11. (4 + y)2 12. (1 – 3z2)2

13. (m2 + y2)2 14. (21210 )3

5

4yx

15. (xa + yb)2. 1 6. (3 ax + 1+ 4by – 2)

17. (5 – x)2 18. ( 3m 2 - 5n3)2

19. (2m2 – 3nb)2 20 ( 5x – ay)2

21. (x a + 1 – 3xa – 2 )2 22 ( x-2 – 2y-1)2

2. Efectuar los siguientes productos aplicando suma por diferencia

1. ( 3 a + 9 ) ( 3 a – 9 ) 2. ( x – 2y ) ( x + 2y )

3. ( a2 + b ) ( a2 - b ) 4. ( mx + n ) ( mx – n )

5. ( 4x – 3y ) ( 4x + 3y ) 6. ( 3m – n ) ( 3m + n )

7. ( y3 + 7 ) ( y3 – 7 ) 8. [ ( x + y ) + 5 ] [ ( x + y ) – 5 ]

9. ( 2h – k + 3 ) ( 2h – k – 3 ) 10. xx3

2

4

1

3

2

4

1

11. ( x2m + 4 ) ( X2m – 4 ) 12. ( x + 2y + 4 ) ( x + 2y – 4 )

3. Desarrollar por simple inspección los siguientes binomios (aplicando productos notables).

1 ( x + 3 )3 2. ( m + 2 )3

3. ( 3 + y2)3 4. (m – 4n)3

5. (2t + 1)3 6. (0.5 +x)3


PGF03-R03

7. (33 )

3

1ab 8. ( )

2

3

5

2yx 3

9. (0.01 + t2)3 10. (x2m – yn) 3

11. (xt + y3t)3 12. [(a + b) - 2]3

13. [(a – b) + 3c]3

Para resolver binomios, elevados a potencias superiores, usaremos el TRIÁNGULO DE PASCAL.

La expresión (a + b)n, se llama BINOMIO DE NEWTON. Vamos a descubrir los criterios

básicos para desarrollar el binomio de Newton. Veremos cómo obtener los exponentes. El

signo y el coeficiente de cada término.

Hasta el momento hemos desarrollado estos binomios:

(a + b)1 = a + b

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3

Por multiplicaciones sucesivas de (a + b) podemos llegar a:

(a + b)4 = a4 + 4 a3 b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4

(a + b)5 = a5 + 5 a4 b + 10a3 b3 + 5ab4 + b5

Si lo observamos cuidadosamente el desarrollo de estos binomios, podemos escribir conclusiones

como estas:


PGF03-R03

1. El número de términos de resultado, es siempre UNO más que el exponente del binomio.

2. El exponente del primer término del desarrollo, es igual al del binomio.

3. El exponente de “a” disminuye de uno en uno en cada término; en cambio el de “b” aumenta de

uno en uno.

4. El exponente del último término es igual al del binomio.

5. Todos los términos del desarrollo de (a + b)n, son positivos. Si el binomio fuera (a - b)n , los signos

se alternarían así: (+),(-),(+),(-)

6.Para analizar los coeficientes, tomemos uno de los binomios que hemos desarrollado.

( a + b )5 = a5 + 5 a4b + 10 a3 b2 + 10 a2b3 + 5 ab4 + b5

Los términos simétricos tienen los mismos coeficientes. La simetría de los términos, nos permite

disponer los coeficientes del binomio en forma de un triangulo conocido como TRIANGULO DE

PASCAL. Este triángulo es el que nos permite obtener los coeficientes del binomio de una manera

fácil. Construyamos el triangulo.

( a + b )0 = 1………………………………….. 1

( a + b )1 = 1 a + 1b……………………….1 1

( a + b )2 = ……………………………..1 2 1

( a + b )3 =………………………… .1 3 3 1


PGF03-R03

( a + b )4=……………………….1 4 6 4 1

( a + b )5=…………………..1 5 10 10 5 1

(a + b )6 =…………….1 6 15 20 15 6 1

El triangulo de pascal nos indica:

a) los coeficientes de los términos de los extremos son iguales a UNO.

b) Sumando dos elementos consecutivos de una fila, obtenemos un coeficiente de la fila siguiente; es decir, un coeficiente cualquiera para obtener sumando los que están encima de él en la fila anterior.

MODELACION

Veamos la aplicación del triángulo en el desarrollo de ( a – 2b)6

SOLUCION:

Ejemplo 1.

Apliquemos cuidadosamente las sugerencias que acabamos de deducir.

( a – 2b)6 = a6 – 6 (a5) (2b) + 15 (a4) (2b)2 – 20 (a3) (2b)3 + 15 (a2) (2b)4 – 6(a).(2b)5

+ (2b)6

= a6 – 12 a5b + 60 a4 b2 – 160 a3b3 + 240 a2b4 – 192 ab5 + 64b6

EJEMPLO 2:

Hallemos el cuarto término de ( 3x – 2y )5

SOLUCION:

a) COEFICIENTES: en el triangulo de Pascal vemos que el coeficiente del cuarto término de ( a + b )5 es 10

b) SIGNO: sabemos que los signos se alternan así:

1er término = +

2º término = -


PGF03-R03

3º término = +

4º término = -

c) EXPONENTES:

1º. Término (3x)5

2º término (3x)4 (2y)

3º término (3x)3 (2y)2

4º término (3x)2 (2y)3

Luego, el cuarto término será: - 10 (3x)2 (2y)3 = - 10 (9x2) (8y3) = -720x2 y3

EJERCITACION

1. Desarrollar los siguientes binomios:

a) ( m + 2n)6 b) (2x2 – 3y)5 c) (4 – x4)3

d) (px – 1)4 e)

63

2y

x f)

5

54

yx

g)

6

3

3 a

a h) ( y – pq)8 i)

6

55

z

2. En los siguientes binomios hallar el término indicado:

a) Quinto término de: (x2 – 2y)5

b) Séptimo término de : ( a + b2)7

c) Sexto término de : (4x3 – 5y2)10

d) último término de: ( 5 – x3)7

3. En los siguientes ejercicios del 1 al 8, seleccionar la letra que corresponde a la respuesta

correcta.

1. la diferencia de dos cuadrados es igual a:

a) una diferencia elevada al cuadrado

b) una suma elevada al cuadrado

c) suma de raíces cuadradas por la diferencia de las mismas


PGF03-R03

d) diferencia de raíces cuadradas

2. una suma de dos términos elevada al cuadrado es igual a:

a) suma de dos cuadrados más un doble producto.

b) suma de dos cuadrados menos un doble producto.

c) diferencia entre dos cuadrados

d) suma de dos cuadrados solamente

3. El número de términos del desarrollo de (a + b)n es:

a) n – 1

b) n + 1

c) n

d) 2n

4. Los signos del desarrollo de ( a – b )n son:

a) todos positivos

b) todos negativos

c) alternados empezando con ( -)

d) alternados empezando con (+)

5. En el desarrollo de ( a + b )n, con ≥ 1, el coeficiente del segundo y del penúltimo termino es:

a) n

b) 2n – 1

c) n – 1

d) n + 1

6. El resultado de: (a - b)2 + 2 ab es:

a) a2 – b2

b) a2 + b2

c) a + b

d) a – b

7. El resultado de ( 3 + 2 ) (3 - 2 ) es:

a) 7

b) 9 + 2

c) 11

d) 9 - 2


PGF03-R03

8. El resultado de: ( a – b )2 – (a + b ) ( a – b ) es:

a) – 2ab

b) 2b2 – 2ab

c) A2- 2ab

d) A2 + 2ab

9. calcular las siguientes potencias:

a)

2

32

4

1bca

b) ( - 3ab2 m3 n)3

c)

4

2

3

2nuvm

d) ( - 2x2 ym2 n3 p)3

10. desarrollar los siguientes binomios

a) (1 – x)3

b) ( 1 + xy)2

c) (2x -7y )2

d) (mn – a)2

11. Efectuar [( a + b ) – ( a – b)]2


PGF03-R03

PRODUCTO DE DOS BINOMIOS DE LA FORMA

Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, se suma el cuadrado del

término común con el producto el término común por la suma de los otros, y al resultado se

añade el producto de los términos diferentes.

MODELACION

Agrupando términos:

Luego:


PGF03-R03

COCIENTES NOTABLES.

ENUNCIACION.

Se denomina cocientes notables, a aquellos cocientes que sin efectuar la operación de división, pueden ser escritos por simple inspección. Los cocientes notables son cocientes exactos.

COCIENTE DE LA DIFERENCIA DE LOS CUADRADOS DE DOS CANTIDADES ENTRE LA SUMA DE LAS CANTIDADES

La diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida por la suma de las cantidades es igual a la diferencia de las cantidades.

MODELACION.

Ejemplo 1:

a) La raíz cuadrada de x2 es x b) La raíz cuadrada de 16 es 4

Entonces:

Ejemplo 2:

a) La raíz cuadrada de 100x4 es 10x2 b) La raíz cuadrada de 169y2 es 13y

Entonces:


PGF03-R03

COCIENTE DE LA DIFERENCIA DE LOS CUADRADOS DE DOS CANTIDADES ENTRE LA DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES

La diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida por la diferencia de las cantidades es igual a la suma de las cantidades.

MODELACION.

Ejemplo 1:

a) La raíz cuadrada de x2 es x b) La raíz cuadrada de 64 es 8

Entonces:

Ejemplo 2

a) La raíz cuadrada de 121x4 es 11x2 b) La raíz cuadrada de 225y2 es 15y

Entonces:


PGF03-R03

COCIENTE DE LA SUMA DE LOS CUBOS ENTRE LA SUMA DE LAS CANTIDADES

La suma de los cubos de dos cantidades dividida por la suma de las cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el producto de la primera por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidades.

MODELACION

x3 + 64

Ejemplo 1: --- -- --- =

x + 4

a) La raíz cubica de x3 es x b) La raíz cubica de 64 es 4

x3 + 64

Entonces: --- -- --- = x2 - (x)(4) + 42 = x2 - 4x + 16

x + 4

125x3 + 343y3

Ejemplo 2: ------ -- ------ =

5x + 7y

a) La raíz cubica de 125x3 es 5x b) La raíz cubica de 343y3 es 7y

125x3 + 343y3

Entonces: ------ -- ------ = (5x)2 - (5x)(7y) + (7y)2 = 25x2 - 35xy + 49y2

5x + 7y

COCIENTE DE LA DIFERENCIA DE LOS CUBOS DE DOS CANTIDADES ENTRE LA DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES


PGF03-R03

La diferencia de los cubos de dos cantidades dividida por la diferencia de las cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad más el producto de la primera por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.

z3 - 1000

Ejemplo 1: --- -- ------ =

z - 10

a) La raíz cubica de z3 es z b) La raíz cubica de 1000 es 10

z3 - 1000

Entonces: --- -- ------ = z2 +(z)(10) +102 = z2 + 10z+ 100

z - 10

216x3 - 8y3z3

Ejemplo 2: ------ -- ------ =

6x - 2yz

a) La raíz cubica de 216x3 es 6x b) La raíz cubica de 8y3z3 es 2yz

216x3 - 8y3z3

Entonces: ------ -- ------ = (6x)2 +(6x)(2yz) + (2y)2 = 36x2 + 12xyz + 4y2

6x - 2yz

EJERCITACION. Resolver:

1. 2.

3. 4.

1.


PGF03-R03

UNIDAD III FACTORIZACION

PROPOSITO:

Reconocer y aplicar estrategias matemáticas para la factorización de expresiones

algebraicas, comprendiendo la importancia de este procedimiento como herramienta de

simplificación aplicable a otras áreas de las matemáticas tales como la trigonometría y el

cálculo, entre otros.


PGF03-R03

ENUNCIACION-MODELACION.

Observa los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1:

Como x2 – 4 = (x + 2 ) (x – 2) entonces x + 2 y x – 2 son FACTORES del polinomio x2 – 4.

Ejemplo 2:

Como x3 – 9x2 + 18x = x (x – 3) (x – 6) entonces x, x – 3 y x – 6 son FACTORES de x2 +

18x..

Los casos de factorización más usados en la matemática son los siguientes:

FACTOR COMUN

MODELACION - SIMULACION

Identifica el factor numérico o literal que está en TODOS los términos de polinomios.

3x + 3y + 3z – 3w

Haz lo mismo en este polinomio:

2xy3 - 2xz + 2xw

En el primer caso el factor común es 3 y en el segundo caso es 2x. El factor común de un polinomio (si lo tiene) se encuentra así:

El factor numérico es el M.C.D de los coeficientes del polinomio.

El factor literal está formado por aquellas letras que están en TODOS los términos y elevadas al MENOR exponente.

EN GENERAL: si un polinomio puede escribirse como el producto de otros polinomios,

entonces cada uno de estos polinomios es un FACTOR de polinomio dado.


PGF03-R03

EJEMPLOS:

1. El factor común de 4x2 – 2xy se obtienen así:

NUMERICO: 2

FACTOR COMUN:2x

LITERAL: x

2. Hallemos el factor común de 4x2 y 3 + 8x2 y2 – 16x3 y 4

SOLUCION:

El M. C. D. de 4,8 y 16 es 4 ¿ por qué?

El M: C: D: de x2 y3; x2 y2 ; x3 y4 es x2 y2, ya que se toman los factores comunes con el menor exponente.

Por lo tanto, el factor común del polinomio dado es 4x2 y2

OTRA FORMA

Factoricemos el polinomio 4x2 y 3 + 8x2 y2 – 16x3 y 4

Ya sabemos que este polinomio tiene un factor común: 4x2y2 por lo tanto:

4x2 y 3 + 8x2 y2 – 16x3 y 4 = 4x2y2

Para obtener el otro factor sólo tenemos que dividir cada termino del polinomio dado entre el factor común; así :

yyx

yx22

32

4

4; 2

4

822

22

yx

yx; 2

22

43

44

16xy

yx

yx

Por lo tanto

4x2y3 + 8x2 y2 – 16x3y4 = 4x2y2 . ( y + 2 – 4 xy2 )

3. Factoricemos: 3x2 y – 2xy + 5x2y2


PGF03-R03

SOLUCION:

3x2 y – 2xy + 5x2y2 = xy ( 3x - 2 + 5xy)

4. Factoricemos: m ( a + b ) + n ( a + b )

SOLUCION:

m ( a + b ) + n ( a + b ) = ( a + b ) ( m + n )

5. Factoricemos ax + by – bx – ay

SOLUCION

Agrupemos el primer y el tercer término:

ax + by – bx – ay = (ax – bx) + (by – ay )

= x ( a – b ) – y ( ( a – b )………(a – b )es el factor común

= ( a – b ) ( x – y )

SIMULACION.

a. FACTORIZAR LAS SIGUIENTES EXPRESIONES

1. 2 a + 2b 11. 10 a2 c – 2c

2. 4x2y + 8z2 12. 4xy2 – 9x2y

3. rs + 4 st 13. 8b2 m2 + 32b2 m + 6bm2

4. 4u2 – 2 ub 14. -3x2y + 12x2y

5. 3 a2b2 – 6 a2b 15. 3x3y2 + 9x2y2

6. 10xy + 15xy2 16. 5abc2 - 10ab2c - 25 a2bc


PGF03-R03

7. 30x2y2 – 15xy 17. 16m2 np + 4mn2p - 8mnp2

8. -8 a2 bc - 4 abc 18. 18x3y – 9x2y + 27x2y

9. 8t2 – 64 19. 26 a4 – 39a3x + 13 a3

10. ba2

1

2

1 20. 51x2 y2 - 34xy2 - 17xy

EJERCITACION

b. Factorizar los siguientes polinomios. En estos ejercicios el factor común es un binomio o

un trinomio (Este es un caso, que se encuentra dentro del factor común, y en este caso, lo

denominaremos FACTOR COMUN POLINOMIO):

21. x(m+n) + y (m+n)

22. 5y(3x+7) – 2m(3x+7)

23. 3 a2(x2 + 2y) – 12ab(x2 + 2y)

24.3x (4-3y) + 8xy(4-3y)

25. x (a3 + b3 + c3 ) – y (a3 + b3 + c3 )

26. 3x +9y +c (x+3y)

27. 2x – 4y + x ( x – 2y)

28. 3x (x-1) – 2y (x-1) + z (x – 1)


PGF03-R03

MODELACION-SIMULACION

En los siguientes ejercicios es necesario agrupar algunos términos antes de factorizar (Este

caso, también corresponde al caso general, FACTOR COMUN y se denomina, FACTOR

COMÚN POR AGRUPACION DE TERMINOS) .

29. ( a + b – 1) ( a2 + 1) – a2 – 1

30. x (a + 2) – a -2 + 3 (a + 2)

31. am + bn – bm –an

32. 3(a-b)2 – a2 + 2 ab – b2

33. (1 –x) (3 + a) + 2 (x – 1) – 1 + x

34. max + mby + mbx + may

35. x – y + a (y – x) – may + max

36.(a –b)2 + 3 a – m 2 b – 3 b + m2a

37. (x +y) 2 – (1 – x)(x + y) + (x – 1)( x + y)2

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

RECORDEMOS

Desarrollemos los siguientes binomios al cuadrado:

(2 a2 +3b)2 = 4 a4 + 12 a2 b +9b 2

(5x – 7y)2 = 25x2 -70xy + 49y2

Como vemos, al cuadrado de un binomio es siempre un TRINOMIO, que tiene estas propiedades:


PGF03-R03

dos de sus términos son positivos y son CUADRADOS PERFECTOS (tienen raíz cuadrada)

el otro término puede ser positivo o negativo y es igual a 2 veces el producto de las raíces cuadradas de los otros dos términos.

Veamos:

Según estos ejemplos, todo trinomio cuadrado perfecto es idéntico a un binomio elevado al cuadrado.

4 a2 + 12 a2b + 9b2 = ( 2 a2 + 3b)2

25 x2- 70 xy + 49 y2 = (5x – 7y)2

Todo trinomio cuadrado perfecto es idéntico a un BINOMIO AL CUADRADO, en el cual;

Sus término son las raíces cuadradas ( positivas) de los cuadrados perfectos.

El signo coincide con el del doble producto.

Ejemplo:

Factoricemos 9x2 - 48x + 64


PGF03-R03

SOLUCION:

a) sacamos la raíz cuadrada positiva de 9x2 y 64 que son los cuadrados perfectos

39 2x 864

b) separamos las raíces por el signo menos (-) y el binomio obtenido lo elevamos al cuadrado

9x2 - 48x + 64 = (3x - 8 )2

Otra manera:

SIMULACION

1. completar el término que falta para que el trinomio sea cuadrado perfecto:

a. x2 +2xy + ____

b. a2+ ____ + 25

c. 9x2 +18xy + ____

d. m2 _____ + n2

e. 81a 2 – 18ab + ____

f. 4x2 ______ + 9


PGF03-R03

g. ____ + 4ab + b2

h. 9y2 + 6xy + ____

i. 100 a2 ______ + 16

j. Z2 – 12zx + ____

2. determinar cuáles de los siguientes polinomios son trinomios cuadrados perfectos:

a. m2 – 2m + 1 b. t2 – 10t + 25 c. z2 – 6z + 9 d. x2 – 3x + 6 e. p2 – pq + q2 f. 4b2 – 4b + 1 g. 4x2 – 12x + 9 h. 81u2 – 9uv + v2

EJERCITACION

Factorizar los siguientes trinomios:

a. 9x2 + 12xy +4x2 b. a2b2 – 20ab + 100 c. 121x2 + 220x + 100 d. 25t2 – 40st + 16s2 e. 3 a2 + 6a + 3 f. 2 a2 – 28 a + 98 g. 12x2 – 12x + 3 h. 9 ax2 + 6ax + a i. (a- 1)2 – 2 (a – 1) + 1 j. ( a + b )2 + 2 ( a + b ) (m +n ) + (m + n )2 k. 75b4 mx2 – 180 mab2x + 108 a2m


PGF03-R03

DIFERENCIA DE CUADRADOS

Una diferencia de cuadrados es igual a la suma de las raíces cuadradas de los términos,

multiplicada por la diferencia de las mismas.

a2 – b2 = (a + b) (a – b)

MODELACION

1. Factoricemos: 225 a6 – 81b4

SOLUCIÓN:

a) Hallemos la raíz cuadrada positiva de cada término.

6225a = 15 a3 ; 481b = 9b2

b) multiplicamos suma de raíces por diferencias de las mismas:

225 a6 – 81b4 = ( 15 a3 + 9b2 ) ( 15 a3 – 9b2)

2. Factoricemos: 36100

22 tr

SOLUCION: 2222

61036100

trtr

= 610610

trtr

2. Factoricemos: m2 – ( 1 + n )2


PGF03-R03

SOLUCION:

m2 - ( 1 + n )2 = [ m + ( 1 + n )] [m – ( 1 + n )]

= [ m + 1 + n ] [ m – 1 - n]

2. Factoricemos : ( m – n )2 – ( p + q )2

SOLUCION:

(m – n )2 – (p + q )2 = [ ( m – n ) + ( p + q ) ] [ (m – n ) – ( p + q )]

= [m - n + p + q ] [ m – n – p - q ]

3. Factoricemos: 3 a3 – 27 ab2

SOLUCION:

Saquemos factor común 3 a :

3 a3 - 27 ab2 = 3 a ( a2 – 9b2 )

= 3 a ( a + 3b ) ( a – 3b )

4. Factoricemos: ( x 2 + 2xy + y2 ) - ( 4 a2 - 12 ab + 9b2 )

SOLUCIÓN:

Cada paréntesis contiene un trinomio cuadrado perfecto.

( x2 + 2xy + y2 ) – (4 a2 – 12 ab + 9b2 ) = ( x + y )2 – ( 2 a – 3b)2

= [ ( x + y ) + ( 2 a – 3b )] [ ( x + y ) – ( 2 a – 3b) ]

= [x + y + 2 a – 3b ] [ x + y – 2 a + 3b]


PGF03-R03

SIMULACION

Factorizar los siguientes polinomios:

a. x2 – 16 m. ( x - a )2 – (x + b )2

b. a2 – 4b2 n. (y2 – 6y + 9 ) – x2

c. a2 - 25

1 ñ. 4x2 y2 z2 – 9 a2 b2 c2

d. 16x2 – 25y2 o. (x2 + 8x + 16 ) – (y2 +2y + 1 )

e. a2 x2 – b2 y2 p. 4 a2 – ( b2 – 2bx + x2 )

f. 2

2

2

2

b

y

a

x q. (25m2 – 20 mn + 4n2) – 36p2

g. x2a – y2b r. (x2 y2 – 2xy + 1 ) – ( 36 a2 – 12ax + x2)

h. a4 b4 – 625c8 s. (1 – a )2 – a6

i. x4 – 81 t. ( a – b + 1 )2 – ( 1 – a – b )2

j. 16 t4 - x4 u. a2 – x2 + 2x – 1

k. a4 x2 – 81x6 v. 2 am – a2 – m2 + 1

l. (2x – 5 )2 – ( 3x – 5 )2

TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c

Al estudiar el producto notable (x+a)(x+b), “ multiplicación de binomios con un término igual”,

se llega a la siguiente conclusión.

El producto de dos binomios que poseen un término en común es un trinomio

El primer término del trinomio es el cuadrado del término en común.

El segundo termino tiene por coeficiente la suma de los términos no comunes y por parte literal el término común.

El tercer término es igual al producto de los términos no comunes.

Ejemplo: (x - 3)(x+7) = x2 + (-3+7)x + ((-3)(7))

= x2 +4x - 21


PGF03-R03

Si queremos factorizar un trinomio de la forma x2 + bx + c debemos llegar al producto de los

binomios que dieron origen a este trinomio, siguiendo estas reglas:

a. El trinomio se factoriza en dos binomios, cuyo primer término es la raíz cuadrada del primer termino del trinomio.

b. Para encontrar el segundo término de los binomios, se buscan dos numero que multiplicados me den el tercer término o sea el termino independiente y a la vez que sumados me den el coeficiente del término dos. Entonces formamos los binomios que dan origen al producto entre ellos así:

Ejemplo

X2 – 5x – 24

(x )(x ) sacamos la raíz del primer término y lo ubicamos en cada paréntesis

Ahora los signos se determinan así: el primer signo es el signo del primer término del

trinomio, en este caso -.

El segundo signo es el producto de los dos signo, en este caso (-)(-) = +

(x - ) (x + ) ahora se buscan los números que multiplicados me den 24 y como los signos

son diferentes los del paréntesis entonces que restados den el coeficiente del segundo

término o sea 5

Los números son 8 y 3, ya que 8x3 = 24 y además 8 – 3 = 5, entonces la factorización queda

de la forma:

(x - 8 ) (x + 3 ) el número más grande va en el primer paréntesis y el menor en el segundo

término.

SIMULACION

1. Encuentra los números que cumplan:

a. El producto es 11 y su suma es 12 b. La resta es 7 y el producto es 30

c. El producto es 30 y la resta es 1


PGF03-R03

d. La suma es 15 y el producto es 56

e. El producto es 20 y la suma es 9

3. Factorizar las siguientes expresiones

a. s2 + 13 s + 36

b. z2 + 16z + 28

c. t2 - 5 t – 66

d. v 2 – 19 v – 66

e. q 2 + 2q – 8

f. m 2 -14m + 49

g. y2 + 5y – 300

h. x 2 – 15x + 56

i. z2 + 5z + 6

j. x2 + 3x -28

4. Aplica la regla para calcular los siguientes productos

a. (x + 3)(x - 1) d. (t - 8) (t + 5) b. (y + 5)(y + 2) e. (c + 4) (c + 3) c. (m - 6)(m + 4) f. (a - 12)(a + 10)

DEMOSTRACION

Resolver los siguientes trinomios.

01) x2 + 8x + 15

02) n2 + n - 20

03) m2 - 12m + 27


PGF03-R03

04) x2 - 2x - 24

05) x2 + 20x + 75

06) y2 + 16y - 80

07) x2 - 25x + 100

08) y2 - 6y - 72

09)

10)

11) x2 + 0.6x - 2.16

12) y2- 0.2y - 1.95

13) x2 + 35x + 300

14) y2 + 10y - 600

15) z2 + 12z - 693

16) w2 - 69w + 1080

17) x2y2 + 34xy + 120

18) z2 - 2.3z + 1.26

19) w2 + 0.8w + 0.15

20) 403 - 44x + x2


PGF03-R03

TRINOMIOS DE LA FORMA ax2 +bx +c

Deseamos factorizar trinomios como estos:

3x2 +17 + 10

5x2 – 17x + 6

2x2 + 7x – 15

6x 2 - 4x – 10

ax2n ± bxn + c

Estos trinomios se factorizan fácilmente si los llevamos a la forma .

x2 +bx +c

1. ax2n +bxn + c………………………………….trinomio dado

2. = a (ax2n + bxn + c) ……………multiplicamos y dividimos por a.

a

3.= a2 x2n + abxn + ac …………………………..propiedad distributiva

a

4. = (axn)2 + b (axn) + ac ……………………….ya que a2 x2n es = (axn)2

a

Este trinomio es de la forma x2 +bx +c y lo podemos factorizar como en el caso anterior.

MODELACION.

1. Factoricemos: 3x2 + 17x + 10

SOLUCION:

Sigamos los pasos que acabamos de indicar:

3x2 + 17x + 10……multipliquemos y dividamos por 3


PGF03-R03

= 3( 3x2 + 17x + 10 )

3

= 32x2 + 17 (3x) + 30

3

= (3x)2 + 17 (3x) + 30 ……………….. porque 32x2 = (3x)2

3

= (3x + ) (3x + )

3

= (3x + 15 ) ( 3x + 2)

3

= 3 ( x + 5 ) (3x + 2 )

3

3x2 + 17x 10 = (x + 5 ) ( 3x + 2 )

2. Factoricemos: 5x2 – 17x + 6

SOLUCION:

5x2 – 17x + 6 = 25x2 – 17 ( 5x) + 30

5

= (5x)2 – 17 ( 5x +30 )

5

= (5x – 15) ( 5x – 2)

5

= 5 ( x – 3 )( 5x-2)

5

= (x-3) (5x – 2)


PGF03-R03

3. Factoricemos: 2x2 + 7x -15

SOLUCION:

2x2 + 7x -15 = 4x2 + 7 (2x) – 30

2

= ( 2x ) 2 + 7 ( 2x) + 30

2

=(2x + 10 ) ( 2x – 3)

2

=2( x + 5 )( 2 x – 3)

2

= (x +x5)(2x-x3)

4. Factoricemos: 10m3 - 6 m 2 – 4m

SOLUCION:

10m3 - 6 m 2 – 4m = 2m [5 m2 - 3 m - 2]

= 2m [25m2 – 3 ( 5m ) - 10]

5

= 2m [ ( 5m)2 – 3 ( 5m ) - 10]

5

= 2m ( 5m – 5) (5m + 2 )

5

= 2m. 5(m-1)(5m+2)

5

= 2m (m-1)(5m+2)


PGF03-R03

SIMULACION.

1. factorizar los siguiente polinomios:

a. 3x2 - 2 x – 16 g. 4a2 – 9a – 9 b. 2t2 - 5 t -25 h. 2x2 + 6x + 4 c. 3x2 – 17 x+ 10 i. 6x2 – 8x + 2 d. 6m 2 – 28m- 10 j. 4x2 – 26x - 14 e. 8t2 – 13 t -33 k. 8x 2 – 10x - 3 f. 6x2 – 11x – 10 l. 5x2 – 3x – 2

EJERCITACION

Relacionar los trinomios con su correspondiente factorización.

a) 2x2 + 3x – 2 ( ) (x + 2)(2x + 1)

b) 2x2 + 5x + 2 ( ) (x – 1)(2x + 1)

c) 2x2 + 29x + 90 ( ) (2x – 1)(x +2)

d) 2x2 + x – 1 ( ) (x – 5)(2x + 4)

e) 2x2 – x – 1 ( ) (x + 10)(2x + 9)

f) 2x2 – 6x – 20 ( ) (2x – 1)(x + 1)

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACCION

Para estudiar este caso debemos tener bien claro el proceso para factorizar un trinomio

cuadrado perfecto ya estudiado en esta unidad, a partir del tema de factorización.

Existen trinomios que a la hora de factorizarlos no cumplen ya que le falta o le sobra cierta

cantidad en el segundo término, por medio del siguiente proceso podemos completar el

trinomio para poder factorizarlo, así:

Ejemplos:

1. Factorizar la siguiente expresión 4x4 + 3x2 + 9; es un trinomio entonces vamos a factorizarlo como un trinomio cuadrado perfecto, así:

4x4 + 3x2 + 9

2x2 3


PGF03-R03

2(2x2)( 3) = 12x2

Ahora notamos que la comprobación 2(2x2)( 3) = 12x2 no dio el segundo término del trinomio

inicial 12x2 ≠ 3x2 , por tanto debemos sumarle a la expresión original 9x2 , ya que 9x2 + x2 =

12x2 que es lo que debe aparecer, entonces queda de la siguiente manera:

x4 + 3x2 + 9 + 9x2 ; pero como le sume 9x2 también le resto la misma cantidad para no alterar

la expresión original, así:

x4 + 3x2 + 9 + 9x2 - 9x2

Ahora realizamos la operación 3x2 + 9x2 = 12x2 entonces la expresión toma la forma:

x4 + 12x2 + 9 - 9x2

ahora los tres primeros términos ya podemos factorizarlos como trinomio cuadrado perfecto

Así:

x4 + 12x2 + 9 = (x2 + 3)2 ahora le agregamos el cuarto término que nos sobro -9x2,

(x2 + 3)2 – 9x2 aplicamos diferencia de cuadrados

[(x2 + 3) – 3x] [(x2 + 3) + 3x]

Entonces la respuesta

4x4 + 3x2 + 9 = [(x2 + 3) – 3x] [(x2 + 3) + 3x]

2. Factorizar la siguiente expresión 9x8 – 2x4 + 16

Solución

9x8 – 25x4 + 16

3x4 4

2(3x4)(4) = 24x4


PGF03-R03

Factorización trinomio cuadrado perfecto, debemos sumarle x4, ya que

–25x4 + x4 = 24x4, y como se lo sumamos también lo restamos, así:

= 9x8 – 25x4 + 16 + x4 – x4

= 9x8 – 24x4 + 16 – x4 ahora factorizamos los tres primeros términos

= (3x4 - 4)2 – x4 Y ahora factorizamos con diferencia de cuadrados

= [(3x4 - 4)) – x2] [(3x4 - 4)) + x2]

SIMULACION

1. Factorizar las siguientes expresiones:

a. a4 + 2a2 + 9 b. 9x8 + 3x4 + 4 c. 4x4 – 20x2 + 16 d. 25m12 + 41m6 + 25 e. y4 – 3y2 + 1 f. 16m4n4 + 15m2n2 + 4 g. x8y8 + 2x2y2 + 81 h. 36k4 – 21k2m2 + m4 i. 49x8 + 59x4y4 + 36y8 j. 100m4 – 340m2 + 144

SUMAS O RESTAS DE CUBOS.

SIMULACION

Se propone al grupo productos como los siguientes y luego analizaremos los factores y el resultado, en conjunto.

PRIMER PRODUCTO

(x + y ) ( x2 – x y + y2 ) = x3 – x2 y + xy2 + x2 y – xy2 + y3

= x3 + y3

Si invertimos el orden de los miembros de la igualdad nos queda:


PGF03-R03

x3 + y3 = ( x + y ) ( x2 – xy + y2 )

SEGUNDO PRODUCTO

(x - y ) ( x2 + x y + y2 ) = x3 – x2y + xy2 - x2y + xy2 - y3

= x3 - y3

Invirtamos el orden de los miembros de esta igualdad:

X3 - y3 = ( x - y ) por ( x2 + xy + y2 )

SUMA O RESTA DE CUBOS

a. Una suma o resta de cubos es igual al producto de un binomio por un trinomio

b. el binomio está formado por la suma o la resta de las raíces cubas

c. el trinomio consta de : cuadrado de la primera raíz; producto de las dos raíces y cuadrado de la segunda raíz.

d. los signos del trinomio son:

a) para suma de cubos ( +) , (- ), (+ ). b) Para diferencia de cubos: ( + ) , (+ ) , ( + ).

X3 + y3 = ( x + y ) ( x2 – xy + y2 )

X3 – y3 = ( x – y ) ( x2 + xy + y2 )

Veamos la interpretación geométrica de una diferencia de cubos:


PGF03-R03

MODELACION

1. Factoricemos X3 - 27

Solución

Esta es una diferencia de cubos

X3 - 27 = X3 - 33

X3 - 27 = ( x – 3 ) ( x2 + 3x + 9 )

2. Factoricemos 8 y3 + 1

Solución

8y3 + 1 = (2y)3 + 1 : suma de cubos

= (2y + 1 ) ( 4 y2 – 2y + 1 )

3. Factoricemos: 27 a15 b12 + 216

Solución


PGF03-R03

27 a15 b12 + 216 = ( 3 a5 b4 )3 + 63

= ( 3 a5 b4 + 6 ) [ ( 3 a5 b4 )2 – 6 ( 3 a5 b4 ) + 62 ]

= ( 3 a5 b4 + 6 ) ( 9 a10 b8 – 18 a5 b4 + 36 )

SIMULACION

Llenar los espacios en blanco de manera que se cumpla la igualdad:

a) ( 2 + y ) ( ) = 8 + y3

b) ( 5 – m ) ( ) = 125 – m3

c) ( 4 – 3z ) ( ) = 64 - 27 z3

d) ( 2 a + 4b ) ( ) = 8 a3 + 64b3

e) ( 2p + 5 ) ( ) = 8 p3 + 125

f) ( ) ( y2 – 5 y + 25 ) = y3 + 125

g) ( ) ( 4 a2 – 6 a + 9 ) = 8 a3 + 27

i) ( 44

1a a2 ) ( ) = 38

8

1a

En los ejercicios del 2 al 20 factoricemos el polinomio cuando sea posible.

2. a3 + 1 11. t12 – t6

3. x3 - a3 12. y9 – x3


PGF03-R03

4. 8 a3 + 1 13. ( x – a )3 + b3

5. 64 + 8 y3 14. 8 – ( m + n )3

6. 216 - 27x6 15. 3

1000

1

64

1x

7. 1000 + a3 x3 16. t9 + y9

8. x6 – y6 17. t12 – x12

9. 3

64

1y 18. a12 – ( a2 – 1 )3

10. 27

1

8

3y 19. x3m – y6n

20. ( x – 1 )3 – ( 1 – x )3

En los ejercicios del 1 al 9 , seleccionar la letra que corresponde a la respuesta correcta.

1. factorizar un polinomio significa convertirlo en:

a) un producto de dos factores b) un producto de tres factores c) un producto de cuatro factores d) un producto de ciertos números de factores.

2. una sola de las siguientes afirmaciones es correcta:

a) una suma al cubo equivalente a una suma de cubos. b) El factor común siempre es un monomio o un binomio. c) Una diferencia de cubos no equivalente a una diferencia al cubo. d) Una diferencia de cuadrado equivalente a x2 - y2

DEMOSTRACION


PGF03-R03

3. una de las siguientes afirmaciones es correcta:

a) una diferencia de cuadrados es siempre un cuadrado perfecto.

b) una suma al cuadrado es siempre un cuadrado perfecto

c) una suma de cuadrados siempre es un cuadrado perfecto.

d) una diferencia de cubos es siempre un cubo perfecto.

4. en la expresión x2n + bxn + c, el exponente del cuadrado perfecto es :

a) siempre un número par.

b) siempre un número impar.

c) puede ser par o impar.

d) Nadase puede afirmar

5) si multiplicamos la suma de las raíces cuadradas de dos expresiones algebraicas

Por la diferencia de las mismas, obtenemos:

a) un trinomio cuadrado perfecto

b) una diferencia al cuadrado

c) una suma al cuadrado

d) una diferencia de cuadrados

6) los términos de una diferencia de cuadrados:

a) deben ser monomios

b) pueden ser dos polinomios cualesquiera

c) deben ser un monomio y un binomio

d) deben ser dos binomios

7) Para factorizar “ a - b “ como una diferencia de cubos:

a) puede hacerse en el conjunto de las racionales, siempre.

b) solo puede hacerse en los reales

c) puede hacerse en los enteros, siempre

d) no puede hacerse en ningún conjunto

8) acerca de la expresión “ a6 - b6 “ podemos afirmar:

a) solo es factorizable como diferencia de cuadrados

b) solo es factorizable como diferencia de cubos.

c) es factorizable como diferencia de cuadrados y cubos

d) no es factorizable


PGF03-R03

9) en una diferencia de cuadrados perfectos los exponentes:

a) deben ser pares

b) debes ser impares

c) pueden ser pares o impares

d) ninguna de las anteriores

en los ejercicios del 10 al 55 factorizar completamente la expresión:

10. 4 a2 x2 - 25x2 33. n2 + n - 42

11. m7 – 8m5 + 10m3 34. x6 - 4x3 -480

12. x4 - y4 35. 32n - 3n - 20

13. a2 + 12abx + 36b2x2 36. 4 - 4.3n + 32n

14. ( a - b )2 - ( x - y )2 37. 3p2 – 3p - 18

15. ( x + y - 8 )2 - ( x - 8 )2 38. a10 - a8 + a6 - a4

16. 1 - x2 - 2xy - y2 39. 3 a2 b2 - 12 a2 bc + 18ab2c

17. a6 + 729t3 40. 32n + 2. 3n + 1

18. a3 + b3 + a + b 41. – a9 - a6

19. a2 - 9b2 + a + 3b 42. 8x6 + 7x3 - 1

20. 84y3 - 105y2 + 21y 43. a3 - 9b2 - 27b3 + a2

21. ( x + 3 )2 - 7 ( x + 3 ) + 12 44. 2x2 - xyn - y2n

22. x5m - x3m b4m 45. x4 + 3x2 - 4

23. 9 a3 - 12 a2 b + 4ab2 46. a4 b4 + 4 a2b2 - 96

24. x3 + x2 - 4x - 4 47. x3 - y3 + x - y

25. 25x2 - 80xy + 64y2 48. x2m + 2 - x2 y2n

26. 9 a2 - 6 a + 1 49. x - xy + 1 - y2

27. 27 a3 + 8b3 50.( a2 + a )2 + 7 ( a2 + a ) + 12

28. x2 - 2xy + y2 - xz + yz 51. a4 + a3 - 9 a2 - 9 a

29.mn - n2 + mx - nx 52. x5 - 40x3 + 144x

30. x2 + 2yx + y2 - xz - yz 53. x17 - x

31. a2 + 2ab + b2 - a3 - b3 54. x21 y3 - x3 y21

32. 81 a8 - 64b12 55. m12 - 1


PGF03-R03

Factorizar los ejercicios 56 al 61, sumando y restando previamente una cantidad para formar

un trinomio cuadrado perfecto

56. a4 - 7 a2 b2 + b4

57. m4 + 4

58. x4 - 7x2 + 9

59. 4x4 + y4

60. 9x8 + 8x4 y4 + 4y8

61. x4n + 16 + 4x2n

DEMOSTRACION DESARROLLO DE COMPETENCIAS Responde las siguientes preguntas, de acuerdo con la información que se presenta a continuación: Un matemático consagrado, realiza un mapa de un terreno en el que hay cuatro fincas que se comunican por caminos de herradura. Observar, y responder: Finca El Sol Finca la Montaña Finca La Luna Finca Las Estrellas 1. Los factores que representan la distancia que separa las Fincas El Sol y La Luna son: a.(x+3)(x+3) b. (x-4)(x+4) c. (x-5)(x+3) d. (3x+5)(3x+5)

X2- 3x - 15 X2- 3x - 15

X2- 3x - 15

X2- 3x - 15 X2- 3x - 15


PGF03-R03

2. La distancia que separa las fincas La Montaña y Las Estrellas es:

a. Trinomio cuadrado perfecto.

b. Diferencia de cuadrados.

c. Trinomio de la forma ax2 + bx + c

d. Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción.

3.Es un trinomio cuadrado perfecto la distancia que separa las fincas:

a. El Sol y La Montaña.

b. La Luna y Las Estrellas.

c. Las Estrellas y La Montaña.

d. El Sol y La Luna

Ejercicio Tomado de Algebra y Geometría I, Editorial Santillana.


PGF03-R03

UNIDAD IV

LAS FRACCIONES ALGEBRAICAS

PROPOSITO:

Obtener las habilidades y preconceptos algebraicos relacionados con el

manejo de las fracciones algebraicas y el análisis y solución de

ecuaciones sencillas, necesarios para el proceso académico.


PGF03-R03

ENUNCIACION.

Una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios y se

representa por:

Fracciones algebraicas equivalentes

Dos fracciones algebraicas

son equivalentes, y lo representamos por:

si se verifica que P(x) · S(x) = Q(x) · R(x).

son fracciones algebraicas equivalentes porque:

(x + 2) · (x − 2) = x2 − 4


PGF03-R03

Dada una fracción algebraica , si multiplicamos el numerador y

el denominadorde dicha fracción por un mismopolinomio distinto de cero,

la fracción algebraica resultante es equivalente a la dada.

Simplificación de fracciones algebraicas

Para simplificar una fracción algebraica se divide el numerador y

el denominador de la fracción por un polinomio que sea factor común de

ambos.

Amplificación de fracciones algebraicas

Para amplificar una fracción algebraica se multiplica el numerador y

el denominador de la fracción por unpolinomio.

Reducción de fracciones algebraicas a común denominador

1Se descomponen los denominadores en factores para hallarles

el mínimo común múltiplo, que será el común denominador.


PGF03-R03

x2 − 1 = (x+1) · (x − 1)

x2 + 3x + 2 = (x+1) · (x + 2)

m.c.m.(x2 − 1, x2 + 3x + 2) = (x+ 1) · (x − 1) · (x + 2)

2Dividimos el común denominador entre los denominadores de las

fracciones dadas y el resultado lomultiplicamos por

el numerador correspondiente.

SIMULACION

Los talleres que presentamos a continuación, tienen el propósito de fortalecer los

criterios planteados previamente.


PGF03-R03

Recuerda que por ser una simulación es un trabajo colaborativo. Aprovecha al

máximo este espacio.

1. Completar para que se cumpla la igualdad:

i. yx

y

x 2

2

63

ii. 23

32

5 yabxxy

ba

iii. 4

322

9

15

3 bx

xba

x

iv. 1

21

m

mm

xy

yxx

v. 322

322

xyyx

xyyx

yx

vi.

nmnm

nm

nm baba

ba

ba 22

2. Simplificar las siguientes fracciones algebraicas:

i. 3

2

8

12

x

yx

ii. 252

243

24

50

cba

cba

iii. 25

45

25

15

zxy

zyx

iv. 45

54

12

60

ba

ba

v. xx

xx

ba

ba )3(218


PGF03-R03

vi. 712

534

aa

aa

yx

yx

vii. ba

ba

55

22

viii. yx

yx

44

22 22

ix. 54

12

2

zz

z

x. 22

22

94

32

yx

xyyx

xi. 502

1522

2

x

xx

xii. 245

892

2

aa

aa

xiii. 345

23

24324

4282

xxx

xxx

xiv. 254

252042

2

x

xx

xv. 224

224

96

155

bbaa

baba

xvi. pp

ppp

6436

3248183

23

xvii. 43

1624

4

xx

x

xviii. xxx

xx

baa

ba

22 2

22

xix. xx

xx

aa

aa2

332


PGF03-R03

3. Amplificar cada una de las siguientes fracciones por la expresión indicada:

i. y

x

3

4 amplificar por 5xy

ii. 5

32 cba amplificar por 4a3b2

iii. 3

2

3

2

z

yx3

2

3

2

z

yx amplificar por (-x3y2z).

iv. n

n

y

x amplificar por x2yn.

v. ba

ba 32 amplificar por a2b

vi. xy

yx 22

amplificar por (x2 – y2)

vii. ba

ba amplificar por (a + b)

viii. 2

22n

amplificar por 2(1-n)

Tomado de http://www.sectormatematica.cl/educmedia.htm

OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS

Suma de fracciones algebraicas

Con el mismo denomiminador

http://www.sectormatematica.cl/educmedia.htm


PGF03-R03

Con distinto denomiminador

En primer lugar se ponen las fracciones algebraicas a común

denominador, posteriormente se suman los numeradores .


PGF03-R03

Multiplicación de fracciones algebraicas

División de fracciones algebraicas


PGF03-R03

EJERCITACION.

Calcula la adición o sustracción de las siguientes fracciones algebraicas y simplifica cuando sea posible:

1) xxx

759 2)

222

954

aaa 3)

23

4

23

6

xx

x 4)

152

87

152

32

x

x

x

x

5) 52

87

52

65

52

4

m

m

m

m

m

m 6)

43

52

43

722 aa

a

aa 7)

2

1

2

9

2

3

aaa

a

8) mn

nm

mn

nm

nm

nm

32

155

32

97

23

85 9)

6720

95

6720

10

6720

1232

2

2

2

2

2

pp

pp

pp

pp

pp

pp

10) 5

71

5

5

aa

a 11)

32

27

32

3

32

42

2

2

2

2 mm

m

mm

mm

mm

m

Para reforzar los procedimientos matemáticos aplicados, puedes basarte en los

siguientes ejemplos, resueltos paso a paso:

Modelación de fracciones algebraicas

Simplificar las fracciones algebraicas


PGF03-R03

1

2

3


PGF03-R03

4

5

Suma las fracciones algebraicas


PGF03-R03

Resta las fracciones algebraicas


PGF03-R03

Multiplica las fracciones algebraicas

1

2


PGF03-R03

Opera

Efectúa las operaciones .


PGF03-R03

Realiza las operaciones .

DEMOSTRACION

1. Calcula las siguientes sumas o restas y simplifica cuando proceda:

1) x

3

2x

5

5x

9 2)

3x

5

2x

7

x

62

3) 5m

1-3m

8m

2-m 4)

12x

52x

8x

6x

5) 1m

52m 6) 1a

3-2a

7 7)

2-a-a

3a

1-a

222

8) x

y

2xy-x

2xy

2y-x

x2

9) 9d

)1d(6

3d

d

3-d

1d2

10) 12xx

5x4

x-3x-18

9

2410xx

2222

11) 8p2p

6

6p5p

1p

21pp

17p222

12) 2d5d3

1

2d6d

7

1d2d

3d222

2. Multiplica y simplifica las expresiones


PGF03-R03

1) 4

3

3

4

7

5·

3

2

ab

yx

ba

xy 2)

319

)(17·

2

)(3

x

ba

x

ba 3)

315

87

54

43

·yx

yx

yx

yx 4)

5) 1811

107·

158

1892

2

2

2

aa

aa

aa

aa 7)

152

2110·

149

16102

2

2

2

zz

zz

zz

zz 8)

294

8172·

992

6722

2

2

2

aa

aa

aa

aa

9) xx

xx

xx

xx

xx

x

2

127·

168

127·

96

92

2

2

2

2

2

10) yx

yx

yx

yxyx

yxyx

yxyx

yx

yx

3030

33·

55·

2

2·

22

22

22

33

22

3. Calcula el cociente entre las siguientes fracciones algebraicas:

1) 3

2

3

3

b9

ab14:

b18

a35 2)

523

986

1064

785

cba

cba:

cba

cba 3)

yx21x14

a:

a

xy9x6233

2

4

5) 2m3m

3m2m:

8m2m

16m8m2

2

2

2

6) 6p54p

4p83p:

3p74p

2p3p2

2

2

2

7) 22

22

22

44

yxy2x

yx:

yxy2x

yx

6) 22

22

22

33

yxy2x

yx:

yxy2x

yx 9)

1x

1x:

1x

xx 3

10) 20mm

16m6m:

4m5m

2m3m2

2

2

2

4. Simplifica las fracciones complejas:

1)

xx

y

y

xy

2

2

2)

2

254

52

x

x 3)

y

12

11 4)

22

22

1yx

yxyx

yx

yx

yx

yx


PGF03-R03

5)

1

11

11

11

11

x

x 6)

4

21

11

11

x

x 7)

1

11

11 2

2

x

x

x

x

x

Tomado de: www.colegiosantacruzriobueno.cl

Departamento de Matemática

RACIONALIZACIÓN ENUNCIACIÓN

Podemos identificar tres casos.

1. Racionalización del tipo

Se multiplica el numerador y el denominador por .

http://www.colegiosantacruzriobueno.cl/


PGF03-R03

2. Racionalización del tipo

Se multiplica numerador y denominador por .

3. Racionalización del tipo , y en general cuando el denominador sea

un binomio con al menos un radical.

Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador

(Racionalizar una fracción con raíces en el denominador, es encontrar otra expresión equivalente

que no tenga raíces en el denominador. Para ello se multiplica el numerador y el denominador por

la expresión adecuada, de forma que al operar desaparezca la raíz del denominador.)

El conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado:


PGF03-R03

También tenemos que tener en cuenta que: "suma por diferencia es igual a

diferencia de cuadrados".


PGF03-R03

SIMULACION-EJERCITACION

Racionalizar: 1)

2)

3)

4)

5)

6)


PGF03-R03

7)

8)

ECUACIONES LECTURA AFECTIVA.

El arte de plantear ecuaciones

“El idioma del álgebra es la ecuación”.

“Para resolver un problema referente a números o a relaciones abstractas de cantidades, basta

traducir dicho problema, del idioma que hablamos, al idioma algebraico...” (Isaac Newton –

1765).

Lo afirmado por Newton, encierra el logro final de lo que siempre buscaron los matemáticos

antiguos: una forma de expresar algebraicamente las incógnitas que podía contener un problema.


PGF03-R03

Uno de los primeros pasos lo dio el celebre matemático árabe Al–

kuaritzmi, quien designa a la incógnita con el nombre de “LA COSA”

que en árabe es “XAI” y cuya letra inicial “x” se tomo

posteriormente para representar a la incógnita.

Leonardo de Pisa, mas conocido como Fibonacci (1175) es el

autentico representante del álgebra en la edad media. El hizo un

viaje de estudios al Oriente y es precisamente a su regreso que

introduce en Europa la numeración y el álgebra indoarábigos que

practicaban los “cosistas” (así llamaban en el Oriente a los

matemáticos), tales conocimientos los publico en su libro “Liber -

Abacci” en donde resolvía problemas usando métodos prácticos para operar con soltura tanto con

cantidades conocidas como con desconocidas.

Aquí va un ejemplo de cómo razonaba Fibonacci:

* Un devoto rogó Júpiter que le duplicara el número de monedas que tenia en el bolsillo y que por

ello le pagaría 8 monedas. Así se hizo. Entonces rogó a Venus que hiciera igual milagro, volvió a

ocurrir y pago 8 monedas, finalmente rogó a Mercurio que le duplicara el numero de monedas. Así

ocurrió y pago 8 monedas, pero se encontró finalmente poseedor de nada. ¿Cuántas monedas

tenia al principio?

Solución de Fibonacci:

Llamemos cosa al capital inicial: lo duplico tuvo dos cosas, pago 8 monedas y le quedaron dos

cosas menos 8 monedas, lo duplico por segunda vez y tuvo cuatro cosas menos 16 monedas, pero

como pago 8 monedas le quedaron cuatro cosas menos 24 monedas. Lo duplico por tercera vez y

tuvo entonces ocho cosas menos 48 monedas; pero como volvió a pagar 8 monedas, le quedaron

ocho cosas menos 56 monedas”.

Por consiguiente: “8 cosas = 56 monedas”

de donde : “cosa = 7 monedas”

El ejemplo expuesto, contribuirá seguramente a que usted que ya conoce las técnicas modernas,

intente con más optimismo la solución de otros problemas en donde se tenga que utilizar las

ecuaciones que son las herramientas más poderosas del matemático.

Autor: PROFESOR: Lic. Marco A. Vega Mucha


PGF03-R03

ENUNCIACION.

Recordemos que……..

Una expresión algebráica es una combinación de números y símbolos (que representan números). Por ejemplo: 5x2 + 3x3y3z.

Un término es una combinación de números y símbolos (que representan números) unidos por operaciones de multiplicación o división. Por ejemplo: 5x2, 3x3y3z son los términos de la expresión algebraica 5x2 + 3x3y3z.

Un factor es cada uno de los componentes de un término. Por ejemplo: 5 y x2, son los factores del término 5x2 de la expresión algebráica 5x2 + 3x3y3z .

Elegido un factor, un coeficiente, es lo queda del término. Por ejemplo: 3 es el coeficiente de x3y3z, x3 es el coeficiente de 3y3z, z es el coeficiente de 3x3y3 y así sucesivamente. Si el coeficiente es un número se le llama coeficiente numérico.

Dos términos se dice que son similares cuando sólo se diferencian en el coeficiente numérico.

El grado de un término es la suma de los exponentes de las variables. Por ejemplo: el grado del término 3x3y3z es 7. El grado de una constante es cero.

AHORA………………….Las ecuaciones son igualdades.

OJO

Existe una diferencia entre identidad y ecuación. Cuando dos expresiones son iguales para cualquier valor que se ponga en lugar de las letras que figuran en la expresión es una identidad. Cuando la igualdad sólo se cumple para determinados valores de la expresión es una ecuación.

Por ejemplo: 2x2 + 5x2 + x2 = 8x2 es una identidad y 2x2 + 3x = 5 es una ecuación.


PGF03-R03

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES

Las ecuaciones se pueden clasificar de varias formas:

a) Por el número de incógnitas.

Las ecuaciones pueden tener una o más incógnitas. Por ejemplo la ecuación 3x + 4 = 10, sólo tiene una incógnita, la ecuación 3x - y = 5, tiene dos y 5xy - 3x2 + z = 8 tiene tres incógnitas.

Las ecuaciones con una incógnita se pueden imaginar como puntos sobre el eje x. Las de dos incógnitas como curvas en un plano. Las de tres incógnitas como curvas en un espacio de tres dimensiones.

b) Por el grado de la incógnita.

Las ecuaciones de una incógnita se pueden clasificar por el grado de la incógnita (el grado es el exponente más alto de la incógnita).

Hay fórmulas generales para resolver las ecuaciones de grado 1 a 4 (pero las fórmulas son complicadas y difíciles de recordar para grado mayor que 2). Si no se puede descomponer la ecuación en factores, cualquier ecuación, sea del grado que sea, se puede resolver de esta forma:

Sea la ecuación: xn + a1xn-1 + a2x

n-2 + ... + an = 0

Si x1, x2, ..., xn son las soluciones de la ecuación, se cumplen las siguientes ecuaciones:

x1 + x2 + ... + xn = -a1

x1x2 + x1x3+...+x1xn + x2x3+...+ x2xn + ...+ xn-1xn = a2

x1x2x3 + x1x2x4 + ...+ x1x2xn + x2x3x4 +...+ x2x3xn + ...+ xn-2xn-1xn = -a3

..................................

x1x2...xn = (-1)nan

Utilizando estas ecuaciones, tendríamos un sistema de ecuaciones que nos permitiría obtener las soluciones.

c) Por el número de términos

Ecuaciones binómicas:

Las ecuaciones con dos términos se llaman ecuaciones binómicas.


PGF03-R03

Ecuaciones polinómicas:

Las ecuaciones que tienen tres términos, se llaman trinómicas, y aunque podríamos seguir llamándolas en función del número de términos, se suelen llamar polinómicas.

SOLUCION DE ECUACIONES

Lo primero que hay que saber es que toda ecuación algebraica de grado n con coeficientes reales o complejos tiene al menos una raiz real o compleja. Este enunciado es el teorema fundamental del álgebra.

D'Alembert fue el primer matemático que dió una demostración, pero no era completa. Se considera a Gauss como el primer matemático que dió una demostración rigurosa.

a) Ecuaciones de primer grado y una incógnita

Las ecuaciones de la forma ax + b = 0 son muy sencillas de resolver, basta con despejar la x. Despejar la x significa dejar la x sola a un lado del signo igual. Para pasar un número, o una variable, al otro lado del signo igual tenemos que seguir estas reglas:

-Si está sumando pasa restando y si esta restando pasa sumando. En nuestro caso quedaría ax = -b

-Si está multiplicando pasa dividiendo y si está dividiendo pasa multiplicando. En nuestro caso x = -b/a.

b) Ecuaciones de segundo grado y una incógnita

Las ecuaciones de la forma ax2 + bx - c = 0, también son muy sencillas de resolver. Basta aplicar la siguiente fórmula:

Obtendremos dos soluciones, una cuando sumamos a -b la raiz y lo dividimos por 2a, y otra solución cuando restamos a -b la raiz y lo dividimos por 2a.


PGF03-R03

c) Ecuaciones de tercer grado y una incógnita

Aunque hay fórmula para resolver las ecuaciones de tercer grado, no merece la pena aprenderse la fórmula, pues hay otros métodos de resolver la ecuación de una forma más cómoda.

Sin embargo, vamos a ver cómo se resuelve un tipo concreto de ecuaciones de tercer grado, las del tipo x3 + mx = n (por supuesto si la ecuación aparece 'disfrazada' de esta forma ax3 + bx + c = 0, se puede convertir en la forma anterior, dividiendo todos los términos por a, m = b/a y n = -c/a)

El método para resolver estas ecuaciones se llama método de Cardano, pues se atribuye a Girolamo Cardano (1501-1576) su descubrimiento.

El método es el siguiente:

Las ecuaciones de este tipo son famosas y los profesores suelen ponerlas en los exámenes. Quedareis muy bien si además citais el libro en que apareció por primera vez y el autor (Libro: Ars Magna. Autor:Girolamo Cardano).

c) Ecuaciones de cualquier grado y una incógnita

El método mas frecuente de resolver ecuaciones de grado superior a 2 es descomponer la ecuación en factores (dividiendo la ecuación por los posibles divisores), con lo que, si tenemos suerte, la ecuación se reduce a un producto de otras ecuaciones de grado menor que ya podemos resolver por las fórmulas anteriores.

A veces nos ponen una ecuación de segundo grado 'disfrazada' . Lo vereis con un ejemplo: 3x4 + 2x2 - 5 = 0. En esta ecuación si hacemos el cambio de variable x2 = t, nos queda 3t2 + 2t - 5 = 0. En este caso, haceis el cambio de variable, resolveis la ecuación de segundo grado y despues despejais la x (calculando la raiz cuadrada del valor que hemos obtenido para t).

Si ninguno de los métodos anteriores os da resultado, sorprendereis a vuestro profesor resolviendo la ecuación por este método:


PGF03-R03

Sea la ecuación: xn + a1xn-1 + a2x

n-2 + ... + an = 0

Si x1, x2, ..., xn son las soluciones de la ecuación, se cumplen las siguientes ecuaciones:

x1 + x2 + ... + xn = -a1

x1x2 + x1x3+...+x1xn + x2x3+...+ x2xn + ...+ xn-1xn = a2

x1x2x3 + x1x2x4 + ...+ x1x2xn + x2x3x4 +...+ x2x3xn + ...+ xn-2xn-1xn = -a3

..................................

x1x2...xn = (-1)nan

Utilizando estas ecuaciones, tendríamos un sistema de ecuaciones que nos permitiría obtener las soluciones.

SIMULACION 1. Determina el valor de x en las siguientes ecuaciones fraccionarias:

a) 53

x

2

x

b) 36

x5

2

1

3

x

c) x6

x731

3

1

x4

9

x3

8

x2

7

d) 9

1x2

4

1x

2

1

9

4x

4

3x

e) 30

1

)3x(3

4

10

7

)3x(5

12

f) 6

7

)1x2(3

43

)1x2(3

3

)1x2(2

5

g) 21x

3x

3x

1x


PGF03-R03

h) ba

xx

i) 2a

bx

b

ax

2. Resuelva las siguientes ecuaciones y problemas aplicados antes de comenzar a resolver fíjese con cuidado

en las operaciones que puede realizar en cada lado de la ecuación. Una vez que haya simplificado las

expresiones a ambos lados continúe. En los problemas plantee una ecuación y luego resuelva.


PGF03-R03

25)

26)


PGF03-R03

27)

28)

3. Determina las raíces de las siguientes ecuaciones de segundo orden:

1. 100x2

2. 0225x2

3. 1225x2

4. 50x2

5. 0c3x 22

6. 7110x2

7. 16723x2

8. 73x527x6 22

9. 252x7 2


PGF03-R03

10. 22 x3131535x2

11. ab10b25ax 222

12. 222 n16

9mnm

9

4x

13. 83)x5(3)3x2(x

14. 11)5x2)(5x2(

15. 130)x7()x7( 22

16. 20x80)9z2)(3x5()3x4)(5x3(

17. 40)4x)(13x()4x3)(3x2(

18. 214)2x3)(7x2()3x4)(4x3(

19. 22 )x8(2)x2(8

20. 23

8x2 2

21. 54

4x

2

6x 22

22. 2x

x7

x

3x5

DEMOSTRACION

1. Si a y b son números naturales, completar el siguiente cuadriculado con las expresiones

y de tal modo que en cada fila y en cada columna aparezca sólo una vez la

expresión


PGF03-R03

¿Qué condiciones debe satisfacer a y b para que el cuadriculado

sea un cuadrado mágico?

2.- Demuestra que:

a) a + b __ a – b = 2

b b

3.- Resuelve:

a) a + b . ab . a2 – 2ab + b2 b) x2 + 2xy + y2 . 1 c) a . 2b

a2 – b2 a + b 3ab x + y b 3a

d) x – y . x2 e) 3x – 6 . x2 – 9 . 1 f) 3(a – b) . -17(a – b )

x ( x – y ) 2x – 6 x2 – 4 3 2x 19x3

g) -x3y4 . x7y8 h) x – 2 . ( x – 3 )2

x4y5 -x15y3 x – 3 x2 – 4

4. Descubre la figura a través de las ubicaciones de estos pares ordenados, en un gráfico cartesiano. Comienza una nueva línea para cada grupo de pares ordenados y sombrea en los casos marcados

con negrita.

COMENZAR

(-5, 3)

(6,5; -10)

(8, -10)

(-1, 9)

(-2, 8)

(-8, 16)

(-12, 16)

1/b

1/b

1/b


PGF03-R03

(-5, 2)

(-3, -2)

FIN DE LINEA

(-4, 0)

(-5, -4)

(-5, -8)

(-4, -13)

(-4, -22)

(-2, -23)

(0, -22)

(0, -12)

(1, -10)

(2, -12)

(2, -22)

(4, -23)

(6, -22)

(6, -13)

(7, -8)

(7, -4)

(6, 0)

FIN DE LINEA

(7, -10)

(8, -12)

(8, -18)

(10, -9)

(12, -7)

(13, -4)

(13, 2)

(12, 5)

(9, 7)

FIN DE LINEA

(6, 7)

(7, 6)

(9, 5)

(9, 7)

(10, 10)

(11, 12)

(13, 14)

(13, 16)

(11, 17)

(7, 17)

(3, 15)

FIN DE LINEA

(4, 13)

(3, 15)

(1, 17)

(-2, 17)

(-3, 16)

(-3, 8)

(-4, 10)

(-5, 15)

(-6, 19)

(-8, 22)

(-10, 22)

(-11, 21)

(-10, 20)

(-9, 20)

(-8, 18)

(-8, 10)

(-7, 6)

(-6, 4)

(-5, 3)

(-2, 2)

(-1, 2)

(1, 3)

(2, 4)

FIN DE LINEA

(1, 3)

(0, 1)

(-2, 0)

(-1, 2)

FIN DE LINEA

(-13, 15)

(-12, 12)

(-10, 10)

(-9, 8)

(-8, 3)

(-6,5; 4,5)

FIN DE LINEA

(-2, 11)

(-2, 10)

(-3, 10)

(-2, 11)

FIN DE LINEA

(1, 11)

(1, 10)

(2, 10)

(1, 11)

FIN DE LINEA


PGF03-R03

(9, -19)

(11, -18)

(11, -9)

(12, -7)

FIN DE LINEA

(-4, 14)

(-5, 15)

FIN DE LINEA

(-2, 0)

(-3, 0)

(-1, -2)

FIN DE LINEA

1. Grafica las funciones y = 2x + 1 e y = -3x -1, dándole a la variable independiente, o sea a la x, los valores -3, -1, 0, 2, 4. ¿Qué ocurre con la grafica cuando el coeficiente de x es positivo o es negativo? ¿qué señala el punto 1 y -1 en las funciones dadas?

2. Determina el las funciones siguientes los valores de la pendiente y del coeficiente de posición: a) y = -3x + 2 b) y = 4x – 5 c) y = -x – 1 d) y = x e) y = -2 f) 3x – y = 2 g) -2x + 4y = -3

h) 34

5yx


PGF03-R03

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