Colegio Fiscal a Distancia Tecnico Modulo de Matematicas 1 Curso

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MODULO DE MATEMATICAS PRIMER CURSO DE BACHILLERATO PROF.GREGORIO COELLO

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Funciones lineales

Objetivos

En esta capitulo aprenderás a:

• Identificar problemas en los que intervienen magnitudes directamente

proporcionales.

• Calcular la función que relaciona a esas magnitudes a partir de diferentes datos y

representarla gráficamente.

• Representar estas funciones de diferentes maneras.

• Comparar funciones de este tipo.

• Aproximar números y calcular el error absoluto y relativo.

• Resolver problemas reales en los que intervienen estas funciones.

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TEMAS

1.Función de proporcionalidad directa

Definición Representación gráfica

2.Función afín

Definición

Representación gráfica

3.Ecuación de la recta Forma punto-pendiente

Recta que pasa por dos puntos Forma general

4.Posición relativa de dos rectas

Análisis en forma explícita

Análisis en forma general

5.Aplicaciones

Problemas simples

Problemas combinados

Ejercicios para practicar Para saber más

Resumen

Autoevaluación

Actividades para enviar al tutor

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1. Función de proporcionalidad directa

Definición Se llama función de proporcionalidad directa o, simplemente, función lineal a cualquier función que relacione dos magnitudes directamente proporcionales (x,y). Su ecuación tiene la forma

y = mx ó f(x) = mx El factor m es la constante de proporcionalidad y recibe el nombre de pendiente de la función porque, como veremos en la siguiente sección, indica la inclinación de la recta que la

representa gráficamente. Recuerda: dos magnitudes son directamente proporcionales si su

cociente es constante.

Representación gráfica Como has visto, las funciones lineales se representan gráficamente como líneas rectas. Además, como y=mx, si x=0 entonces y=0; por lo tanto la gráfica de todas las funciones lineales pasa por el punto (0,0).

Para dibujar la gráfica basta con obtener las coordenadas de otro punto, dando un valor arbitrario a la x e unir ese punto con el origen de coordenadas (0,0). Si x=1, entonces y=m, por tanto

m representa la variación de la y por cada unidad de x, es decir, la inclinación o pendiente de la recta. Si m es positiva, representa la cantidad que sube la y por cada unidad de x y si m es negativa la cantidad que baja.

EJERCICIOS resueltos

1. Determina si las relaciones entre las parejas de magnitudes siguientes son lineales o no, escribiendo para ello la ecuación que las relaciona. a. Relación entre el precio inicial y el precio rebajado con un 10%.

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b. Relación entre el peso y el volumen de un material en condiciones constantes de presión y temperatura.

c. Un banco ofrece un depósito anual al 5% con una comisión fija de 20€. Relación entre la cantidad invertida y los intereses recibidos. d. Relación entre el área de un cuadrado y la longitud de su lado. Solución: a) Si el descuento es 10% pago el 90%: PRebajado = 0’9 · PInicial (SÍ es lineal) b) La relación entre peso (P) y volumen (V) es la densidad (d), que es constante si no cambian las condiciones de presión y temperatura: P = d·V (SÍ es lineal) c) Si C es la cantidad invertida e I son los intereses I = 0’05 · C – 20 (NO es lineal, pero casi lo es. En realidad es una función afín que veremos en el siguiente capítulo) d) A = long2 (NO es lineal)

2. Determina las ecuaciones de las funciones lineales cuyas gráficas son:

Determina las ecuaciones de las funciones lineales cuyas gráficas son:

a. Buscamos un punto de coordenadas enteras (no es estrictamente necesario pero es más

cómodo si es posible). a = 2, b = 7. La pendiente es m=7/2 y la ecuación es Y=

x

b. En este caso a = 5 y b = -4 (le asignamos un valor negativo porque la recta es

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decreciente). La pendiente es, pues, m = -4/5 y la ecuación y = −

x

2. Función afín Definición Si a dos magnitudes directamente proporcionales se les aplica alguna condición inicial, la función que las liga ya no es totalmente lineal (las magnitudes ya no son proporcionales). Se dice que es una función afín y su forma es:

y = mx + n ó f(x) = mx + n

Recuerda: Ahora el cociente entre f(x) y x no es constante.

La pendiente, m, sigue siendo la constante de proporcionalidad y el término n se denomina ordenada en el origen porque es el valor que toma y (ordenada) cuando x vale 0 (abscisa en el origen).

Representación gráfica Las funciones afines se representan también mediante líneas rectas, pues el término independiente que las diferencia de las funciones de proporcionalidad solo produce una traslación hacia arriba o hacia debajo de la gráfica de éstas. Para dibujar la gráfica necesitamos obtener dos puntos.

• Uno nos lo proporciona la propia ecuación, pues, como hemos visto, la ordenada en

el origen, n, nos indica que la recta pasa por el punto (0,n).

• El otro punto se obtiene dando un valor cualquiera a x y obteniendo el

correspondiente valor de y. Uniendo los dos puntos tenemos la gráfica de la función.

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3. Determina las ecuaciones de las funciones afines cuyas gráficas son:

a. Corta al eje Y en el punto (0,-2), luego n=-2. Ahora buscamos otro punto de coordenadas enteras si es posible (4,-7) y calculamos sus distancias horizontal y vertical al punto (0,-2): a = 4, b = -5 (Recuerda: negativo por ser una recta decreciente). La pendiente es m=-5/4 y la

ecuación es y = -

b.

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En este caso n=-7, a=3 y b=2. La pendiente es, pues, m = 2/3 y la ecuación

4. Casos particulares: a. Si la pendiente es cero, la ecuación es y = n y la función es constante

b. Si la recta es vertical la ecuación es x = k y no es una función. Decimos que en este caso la pendiente es infinita.

3. Ecuación de la recta Forma punto-pendiente La ecuación y = mx + n que hemos visto se denomina forma explícita de la ecuación de la recta, y nos permite hallar dicha ecuación cuando conocemos la pendiente y la ordenada en el origen.

Cuando sólo conocemos la pendiente, m, y las coordenadas de otro de los puntos de la

recta, (xo,yo), su ecuación es y - yo = m (x - xo) Esta ecuación recibe el nombre

de forma puntopendiente de la ecuación de la recta. En la secuencia siguiente se explica cómo se obtiene.

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5. Halla la ecuación de la recta que pasa por P (-8,-5) y de pendiente m = 2/7 La ecuación en forma punto-pendiente

En forma explicita

Recta que pasa por dos puntos

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Sean P(xo,yo) y Q(x1,y1) dos puntos del plano. La ecuación de la recta que pasa por estos puntos es

Esta ecuación recibe el nombre de forma continua de la ecuación de la recta. En la secuencia adjunta se explica cómo se obtiene.

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EJERCICIOS resueltos 6. Halla la ecuación de la recta que pasa por P(5,-9) y Q(6,8). Pasa a forma explícita y determina la pendiente y la ordenada en el origen.

7. Halla la ecuación de la recta que pasa por P(7,4) y Q(-3,-1). Pasa a forma explícita

y determina la pendiente y la ordenada en el origen.

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Forma general o implícita La manera más habitual de representar rectas es la forma general o implícita:

Ax + By + C = 0 donde A, B y C son números cualesquiera (al menos A ó B deben ser diferentes de cero). Si B=0 se trata de una recta vertical de ecuación x=-C/A. Si B no es cero la pendiente es -A/B. En las escenas se muestran representaciones de rectas en forma general y el paso de otras formas a general.

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8. Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,-7) y cuya pendiente es –2/3. Después pasa a forma general.

Solución: En forma punto pendiente la ecuación es

Quitando denominadores y paréntesis queda 3y + 21 = -2x + 2. Pasando todo al primer miembro queda 2x + 3y + 19 = 0. También sería válido el resultado con todos los signos cambiados: -2x - 3y - 19 = 0

9. Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (-4,-2) y de pendiente 0. Después pasa a forma general. Solución: La ecuación en la forma punto pendiente ya es la ecuación general: y + 2 = 0

10. Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(2,-2) y Q(-8,3). Luego pasa a forma general.

Solución: En forma continua la ecuación es

Quitando denominadores queda: -10y – 20 = 5x – 10. Pasando todo al primer miembro: -5x – 10y – 10 = 0. Así bastaría, pero como todos los términos son múltiplos de 5 podemos simplificar: -x – 2y – 2 = 0. También es válido cambiar todos los términos de signo: x + 2y + 2 = 0.

11. Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(5,-2) y Q(3,-2). Luego pasa a forma general.

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Solución: Como los puntos P y Q tienen igual ordenada, se trata de la recta horizontal y = - 2, o en forma general: y + 2 = 0.

12. Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(6,5) y Q(6,-2). Luego pasa a forma general.

Solución: Como los puntos P y Q tienen igual abscisa, se trata de la recta vertical x = 6. En forma general queda x – 6 = 0.

13. Representa gráficamente la recta cuya ecuación general es x + y – 5 = 0. Solución: Despejamos la y para obtener la forma explícita: y = - x + 5. Por tanto, la pendiente es –1 y la ordenada en el origen es 5. Es decir, la recta pasa por el punto (0,5). Calculamos otro punto dando, por ejemplo, el valor 5 a x. Entonces y = - 5 + 5 = 0. La recta pasa también por el punto (5,0). Dibujamos los puntos y unimos con la regla:

4. Posición relativa de dos rectas Análisis en forma explícita

Dadas dos rectas y = m1x + n1 y = m2x + n2 Si m1 ≠ m2 las rectas se cortan en

un punto cuyas coordenadas se obtienen resolviendo el sistema. Se dice que las rectas

son secantes. Si m1 = m2 las rectas son paralelas. Si, además, n1=n2 las rectas son coincidentes.

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Análisis en forma general Dadas dos rectas

A1x + B1y+ C1 = 0

A2x + B2y+ C2 = 0

Si A1B2 ≠ A2B1 son secantes. Al igual que antes las coordenadas del punto de corte se obtienen resolviendo el sistema.

Si A1B2 = A2B1 las rectas son paralelas

EJERCICIOS resueltos 14. Determina la posición relativa de las rectas y = - 4x + 1, y = 4x. En caso de que sean secantes, determina las coordenadas del punto de corte. Solución: la pendiente de la primera recta es m1 = - 4 y la de la segunda es m2 = 4. Como las pendientes son distintas las rectas son secantes. Hallamos ahora el punto de corte resolviendo el sistema:

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15.Determina la posición relativa de las rectas y = - 2x + 3, y = -2x - 2. En caso de

que sean secantes, determina las coordenadas del punto de corte. Solución: La pendiente de ambas rectas es –2 y la ordenada en el origen es diferente, por tanto son dos rectas paralelas.

16. Determina la posición relativa de las rectas x – 3y – 1 = 0, 4x + y + 1 = 0. En caso de que sean secantes, determina las coordenadas del punto de corte. Solución: Como están en forma general debemos comprobar si los coeficientes respectivos de x e y son proporcionales: A1=1, B1=-3, A2=4, B2=1, entonces A1·B2 = 1 y A2·B1 = -12. Son diferentes, por lo tanto las rectas son secantes. Vamos a hallar las coordenadas del punto de corte. Hay varias maneras de hacerlo, una de ellas es despejar y en ambas ecuaciones (pasar a forma explícita) y repetir lo hecho en el ejercicio 15 más arriba:

Ahora sustituimos el valor obtenido para x en cualquiera de las dos ecuaciones:

Por lo tanto, las coordenadas del punto de corte son P=

Vamos a comprobar que el resultado es correcto sustituyendo los dos valores en ambas ecuaciones y viendo que en ambos casos las igualdades se verifican:

17. Determina la posición relativa de las rectas 2x – 5y – 1 = 0, -4x + 10y + 1 = 0. En caso de que sean secantes, determina las coordenadas del punto de corte. Solución: Como están en forma general debemos comprobar si los coeficientes respectivos de x e y son proporcionales: A1=2, B1=-5, A2=-4, B2=10, entonces A1·B2 = 20 y A2·B1 = 20. Son iguales, por lo tanto las rectas son paralelas.

5. Aplicaciones Problemas simples Las funciones lineales describen fenómenos en los que intervienen magnitudes directamente proporcionales.

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La representación gráfica será una recta cuya pendiente nos informa de la rapidez de la variación de una magnitud con respecto a la otra y la ordenada en el origen nos informa sobre las condiciones iniciales.

En las imágenes de la derecha tienes un par de ejemplos de cómo obtener la ecuación (de una función lineal o afín) a partir de dos puntos conocidos o a partir de un punto y la pendiente y, a partir de ellas, hacer predicciones y cálculos de situaciones desconocidas. En la descripción de fenómenos reales es frecuente que las magnitudes que se relacionan vengan dadas por números de tamaños muy diferentes, por lo que al representarlas gráficamente habrá que escoger unas escalas adecuadas en los ejes correspondientes.

Problemas combinados Donde realmente resulta interesante la aplicación de funciones lineales es en el estudio de varias funciones de manera simultánea de forma que podamos compararlas con facilidad. Debajo tienes un ejemplo ilustrativo:

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Para practicar 1. Representa gráficamente las rectas de ecuaciones y=2x/5 y 5x+y+5=0.

2. Halla la ecuación de la recta de la imagen:

3. Calcula la forma general de la ecuación de la recta que pasa por el punto P (3,-2) y

cuya pendiente es m=-2.

4. Calcula la forma general de la ecuación de la recta que pasa por los puntos P (3,-2) y Q (-2,-1).

5. Determina la pendiente y la ordenada en el origen de la recta de ecuación 3x+2y-2=0.

6. Determina la posición relativa de las rectas y=3x-2 e y=-2x-2. Si se cortan halla también las

coordenadas del punto de corte.

7. Averigua si los puntos A(-2,-4), B(0,-2) y C(3,1) están alineados.

8. Halla la ecuación de la recta paralela a y=3x-4 que pasa por el punto (-3,-10)

9. Halla la ecuación de la función que describe la siguiente frase: “Un móvil está a 3 km de mi y se acerca a

2 km/h”.

10. Halla la ecuación de la función que describe la siguiente frase: “Un móvil está a mi lado durante 1 hora y

luego se aleja a 2 km/h”.

Recuerda lo más importante Funciones lineales Son las funciones que relacionan magnitudes directamente proporcionales y su

ecuación es de la forma y = mx Su representación gráfica es siempre una línea recta

que pasa por el origen. La pendiente, m, es la constante de proporcionalidad. Funciones afines

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Relacionan magnitudes directamente proporcionales sometidas a alguna condición

inicial. Tienen la forma y = mx+n Su gráfica es una recta de pendiente m que pasa

por el punto (0,n) (n es la ordenada en el origen).

Ecuación de la recta • Forma explícita: y = mx + n

• Forma punto-pendiente: si se conoce la pendiente, m, y las coordenadas de un punto

(xo,yo) la ecuación es: y - yo = m·(x - xo)

• Recta por dos puntos: si se conocen las coordenadas de dos puntos P(xo,yo), Q(x1,y1)

la ecuación es

. Forma general: Simplificando cualquiera de las ecuaciones anteriores se obtiene:

Ax + By + C = 0 la pendiente es m=-A/B si B#0 Posición relativa de dos rectas r1: y=m1+n1; r2: y=m2+n2 si m1 = m2 son paralelas en caso contrario son secantes. r1:A1x+B1y+C1=0 r2:A2x+B2y+C2=0 si A1B2 = A2B1 son paralelas en caso contrario son secantes. Si son secantes las coordenadas del punto de corte se hallan resolviendo el sistema.

Autoevaluación 1. Escribe la pendiente y la ordenada en el origen de la recta de la imagen.

2. Calcula la ordenada en el origen de la recta que pasa por el punto (-4,-1) y cuya pendiente es –3.

3. Calcula la ordenada en el origen de la recta de ecuación –3x – 3y + 2 = 0

4. Calcula la pendiente de la misma recta de antes.

5. Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos P(-5,-4) y Q(-4,-2).

6. Determina la posición relativa de las rectas de ecuaciones y = -3x – 5 e y = 2x – 2.

7. Determina la posición relativa de las rectas de ecuaciones 4x – 3y + 5 = 0 -8x + 6y + 1 = 0.

8. Halla las coordenadas del punto de corte de las rectas de ecuaciones y = -x + 5 e y = 2x – 7.

9. Averigua si los puntos A(-3,-1), B(0,-1) y C(6,-4) están alineados.

10. Halla la ecuación de la recta paralela a y = - x + 5 que pasa por el punto (4,-2).

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VECTOR Definición de vector

Un vector fijo es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo).

Módulo del vector

Es la longitud del segmento AB , se representa por .

Dirección del vector Es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.

Sentido del vector El que va del origen A al extremo B.

Dos puntos A y B determinan dos vectores fijos y , con sentido distinto, que se llaman vectores opuestos. Un vector fijo es nulo cuando el origen y su extremo coinciden.

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Vector de posición de un punto en el plano de coordenadas

El vector que une el origen de coordenadas O con un punto P se llama vector de posición del punto P.

Coordenadas o componentes de un vector en el plano

Si las coordenadas de A y B son:

Las coordenadas o componentes del vector son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen .

Ejemplos Hallar las componentes de un vector cuyos extremos son:

Un vector tiene de componentes (5, −2). Hallar las coordenadas de A si se conoce el extremo B(12, −3).

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Vectores equipolentes

Dos vectores son equipolentes cuando tienen igualmódulo, dirección y sentido .

Si y son vectores equipolentes , el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo . Ejemplo Calcula las coordenadas de C para que el cuadrilátero de vértices: A(-3, -4), B(2, -3), D(3, 0) y C; sea un paralelogramo.

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Vector libre

El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre. Cada vector fijo es un

representante del vector libre.

Módulo de un vector El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.

El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector

nulotiene módulo cero . Cálculo del módulo conociendo sus componentes

Ejemplo

Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos

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Ejemplo

Distancia entre dos puntos La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos dichos puntos.

Ejemplo

Vector unitario Los vectores unitarios tienen de módulo la unidad.

Normalizar un vector Normalizar un vector consite en obtener otro vector unitario , de la misma

dirección ysentido que el vector dado.

Para normalizar un vector se divide éste por su módulo.

Ejemplo

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Si es un vector de componentes (3, 4), hallar un vector unitario de su misma dirección y sentido.

Suma de vectores

Para sumar dos vectores libres y se escogen como representantes dos vectores tales

que el extremode uno coincida con el origen del otro vector.

Regla del paralelogramo

Se toman como representantes dos vectores con elorigen en común , se trazan rectas

paralelas a losvectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.

Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.

Propiedades de la suma de vectores Asociativa

+ ( + ) = ( + ) +

Conmutativa

+ = +

Elemento neutro

+ =

Elemento opuesto

+ (− ) =

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Resta de vectores

Para restar dos vectores libres y se suma con el opuesto de .

Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.

Ejemplo

PRODUCTO DE VECTORES

El producto de un número k por un vector es otro vector:

De igual dirección que el vector .

Del mismo sentido que el vector si k es positivo.

De sentido contrario del vector si k es negativo.

De módulo

Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector.

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Ejemplo

Propiedades del producto de un número por un vector Asociativa

k · (k' · ) = (k · k') · Distributiva respecto a la suma de vectores

k · ( + ) = k · + k · Distributiva respecto a los escalares

(k + k') · = k · + k' · Elemento neutro

1 · =

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Vectores. Ejercicios

1Dado el vector = (2, -1), determinar dos vectores equipolentes a , , sabiendo que A(1, -3) y D(2, 0).

2Calcula el valor de k sabiendo que el módulo del vector = (k, 3) es 5.

3Si es un vector de componentes (3,4), hallar un vector unitario de su misma dirección y sentido.

4Dados los vértices de un triángulo A(1, 2), B(-3, 4) y C(-1, 3), hallar las coordenadas del baricentro.

5 Hallar las coordenadas del punto C, sabiendo que B(2, -2) es el punto medio de AC, A(-3, 1).

6 Averiguar si están alineados los puntos: A(-2, -3), B(1, 0) y C(6, 5).

7Calcula las coordenadas de D para que el cuadrilátero de vértices: A(-1, -2), B(4, -1), C(5, 2) y D; sea un paralelogramo.

8 Las coordenadas de los extremos del segmento AB son: A (2, -1) y B(8, -4). Hallar las coordenadas del punto C que divide al segmento AB en dos partes tales que AC es la mitad de CB.

9Si el segmento AB de extremos A(1,3), B(7, 5), se divide en cuatro partes iguales, ¿cuáles son las coordenadas de los puntos de división?

10Hallar el simétrico del punto A(4, -2) respecto de M(2, 6).

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Estadística Definición de Estadística La Estadística trata del recuento, ordenación y clasificación de los datos obtenidos por las observaciones, para poder hacer comparaciones y sacar conclusiones. Un estudio estadístico consta de las siguientes fases: Recogida de datos. Organización y representación de datos. Análisis de datos. Obtención de conclusiones.

Conceptos de Estadística Población Una población es el conjunto de todos los elementos a los que se somete a un estudio estadístico.

Individuo Un individuo o unidad estadística es cada uno de los elementos que componen la población.

Muestra Una muestra es un conjunto representativo de la población de referencia, el número de individuos de una muestra es menor que el de la población.

Muestreo El muestreo es la reunión de datos que se desea estudiar, obtenidos de una proporción reducida y representativa de la población.

Valor Un valor es cada uno de los distintos resultados que se pueden obtener en un estudio estadístico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos dos valores: cara y cruz.

Dato Un dato es cada uno de los valores que se ha obtenido al realizar un estudio estadístico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos 5 datos: cara, cara, cruz, cara, cruz.

Definición de variable Una variable estadística es cada una de las características o cualidades que poseen los individuos de una población .

Tipos de variable estadísticas

Variable cualitativa Las variables cualitativas se refieren a características o

cualidades que no pueden ser medidas con números . Podemos distinguir dos tipos:

Variable cualitativa nominal Una variable cualitativa nominal presenta modalidades no

numéricas que no admiten un criterio de orden . Por ejemplo:

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El estado civil, con las siguientes modalidades: soltero, casado, separado, divorciado y viudo.

Variable cualitativa ordinal o variable cuasicuantitativa Una variable cualitativa ordinal presenta modalidades no númericas , en las que existe un orden. Por ejemplo: La nota en un examen: suspenso, aprobado, notable, sobresaliente. Puesto conseguido en una prueba deportiva: 1º, 2º, 3º, ... Medallas de una prueba deportiva: oro, plata, bronce.

Variable cuantitativa Una variable cuantitativa es la que se expresa mediante un número, por tanto se pueden realizar operaciones aritméticas con ella. Podemos distinguir dos tipos:

Variable discreta Una variable discreta es aquella que toma valores aislados , es decir no admitevalores intermedios entre dos valores específicos. Por ejemplo: El número de hermanos de 5 amigos: 2, 1, 0, 1, 3.

Variable continua Una variable continua es aquella que puede tomar valores comprendidos entre dos

números . Por ejemplo: La altura de los 5 amigos: 1.73, 1.82, 1.77, 1.69, 1.75. En la práctica medimos la altura con dos decimales, pero también se podría dar con tres decimales.

Distribución de frecuencias La distribución de frecuencias o tabla de frecuencias es una ordenación en forma

detabla de los datos estadísticos , asignando a cada dato su frecuencia

correspondiente .

Tipos de frecuencias Frecuencia absoluta

La frecuencia absoluta es el número de veces que aparece un

determinado valor en un estudio estadístico.

Se representa por fi.

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La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos, que se

representa por N .

Para indicar resumidamente estas sumas se utiliza la letra griega Σ (sigma mayúscula) que se lee suma o sumatoria.

Frecuencia relativa La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta de un

determinado valor y el número total de datos .

Se puede expresar en tantos por ciento y se representa por n i.

La suma de las frecuencias relativas es igual a 1.

Frecuencia acumulada La frecuencia acumulada es la suma de las frecuencias absolutas de todos

losvalores inferiores o iguales al valor considerado.

Se representa por Fi.

Frecuencia relativa acumulada La frecuencia relativa acumulada es el cociente entre la frecuencia

acumulada de un determinado valor y el número total de datos . Se puede expresar en tantos por ciento. Ejemplo Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas máximas: 32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29. En la primera columna de la tabla colocamos la variable ordenada de menor a mayor, en la segunda hacemos el recuento y en la tercera anotamos la frecuencia absoluta.

xi Recuento fi Fi ni Ni

27 I 1 1 0.032 0.032

28 II 2 3 0.065 0.097

29

6 9 0.194 0.290

30

7 16 0.226 0.516

31

8 24 0.258 0.774

32 III 3 27 0.097 0.871

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33 III 3 30 0.097 0.968

34 I 1 31 0.032 1

31 1

Este tipo de tablas de frecuencias se utiliza con variables discretas .

Distribución de frecuencias agrupadas La distribución de frecuencias agrupadas o tabla con datos agrupados se emplea

si las variables toman un número grande de valores o la variable es continua .

Se agrupan los valores en intervalos que tengan la misma amplitud denominados clases. A cada clase se le asigna su frecuencia correspondiente .

Límites de la clase Cada clase está delimitada por el límite inferior de la clase y el límite superior de

la clase .

Amplitud de la clase La amplitud de la clase es la diferencia entre el límite superior e inferior de

laclase .

Marca de clase La marca de clase es el punto medio de cada intervalo y es el valor que representa a todo el intervalo para el cálculo de algunos parámetros .

Construcción de una tabla de datos agrupados 3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 43, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44, 31, 26, 20, 11, 13, 22, 27, 47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13. 1º Se localizan los valores menor y mayor de la distribución. En este caso son 3 y 48. 2º Se restan y se busca un número entero un poco mayor que la diferencia y que sea divisible por el número de intervalos queramos establecer. Es conveniente que el número de intervalos oscile entre 6 y 15. En este caso, 48 - 3 = 45, incrementamos el número hasta 50 : 5 = 10 intervalos. Se forman los intervalos teniendo presente que el límite inferior de una clase pertenece al intervalo, pero el límite superior no pertenece intervalo, se cuenta en el siguiente intervalo.

ci fi Fi ni Ni

[0, 5) 2.5 1 1 0.025 0.025

[5, 10) 7.5 1 2 0.025 0.050

[10, 15) 12.5 3 5 0.075 0.125

[15, 20) 17.5 3 8 0.075 0.200

[20, 25) 22.5 3 11 0.075 0.275

37


[25, 30) 27.5 6 17 0.150 0.425

[30, 35) 32.5 7 24 0.175 0.600

[35, 40) 37.5 10 34 0.250 0.850

[40, 45) 42.5 4 38 0.100 0.950

[45, 50) 47.5 2 40 0.050 1

40 1

Diagrama de barras Un diagrama de barras se utiliza para de presentar datos cualitativos o datos

cuantitativos de tipo discreto .

Se representan sobre unos ejes de coordenadas, en el eje de abscisas se colocan losvalores de la

variable , y sobre el eje de ordenadas las frecuencias absolutas o relativas o

acumuladas .

Los datos se representan mediante barras de una altura proporcional a la frecuencia . Ejemplo Un estudio hecho al conjunto de los 20 alumnos de una clase para determinar su grupo sanguíneo ha dado el siguiente resultado:

Grupo sanguíneo

fi

A 6

B 4

AB 1

0 9

20

Polígonos de frecuencia Un polígono de frecuencias se forma uniendo los extremos de las barras mediantesegmentos.

También se puede realizar trazando los puntos que representan las frecuencias y uniéndolos

mediante segmentos . Ejemplo Las temperaturas en un día de otoño de una ciudad han sufrido las siguientes variaciones:

38


Hora Temperatura

6 7º

9 12°

12 14°

15 11°

18 12°

21 10°

24 8°

Diagrama de barras Un diagrama de barras se utiliza para de presentar datos cualitativos o datos

cuantitativos de tipo discreto .

Se representan sobre unos ejes de coordenadas, en el eje de abscisas se colocan losvalores de la

variable , y sobre el eje de ordenadas las frecuencias absolutas o relativas o

acumuladas . Los datos se representan mediante barras de una altura proporcional a la frecuencia . Ejemplo Un estudio hecho al conjunto de los 20 alumnos de una clase para determinar su grupo sanguíneo ha dado el siguiente resultado:

Grupo sanguíneo

fi

A 6

B 4

AB 1

0 9

20

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Polígonos de frecuencia Un polígono de frecuencias se forma uniendo los extremos de

las barras mediantesegmentos .

También se puede realizar trazando los puntos que representan las frecuencias y uniéndolos mediante segmentos . Ejemplo Las temperaturas en un día de otoño de una ciudad han sufrido las siguientes variaciones:

Hora Temperatura

6 7º

9 12°

12 14°

15 11°

18 12°

21 10°

24 8°

Diagrama de sectores

Un diagrama de sectores se puede utilizar para todo tipo de variables , pero se usa

frecuentemente para las variables cualitativas .

Los datos se representan en un círculo , de modo que el ángulo de

cada sector esproporcional a la frecuencia absoluta correspondiente.

El diagrama circular se construye con la ayuda de un transportador de ángulos. Ejemplo En una clase de 30 alumnos, 12 juegan a baloncesto, 3 practican la natación, 9 juegan al fútbol y el resto no practica ningún deporte.

40


Alumnos Ángulo

Baloncesto 12 144°

Natación 3 36°

Fútbol 9 108°

Sin deporte 6 72°

Total 30 360°

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Ejercicios y problemas resueltos de Estadística 1. Indica que variables son cualitativas y cuales cuantitativas: 1 Comida Favorita. 2 Profesión que te gusta. 3 Número de goles marcados por tu equipo favorito en la última temporada. 4 Número de alumnos de tu Instituto. 5 El color de los ojos de tus compañeros de clase. 6 Coeficiente intelectual de tus compañeros de clase. 2. De las siguientes variables indica cuáles son discretas y cuales continuas. 1 Número de acciones vendidas cada día en la Bolsa. 2Temperaturas registradas cada hora en un observatorio. 3 Período de duración de un automóvil. 4 El diámetro de las ruedas de varios coches. 5 Número de hijos de 50 familias. 6 Censo anual de los españoles. 3. Clasificar las siguientes variables en cualitativas y cuantitativas discretas ocontinuas. 1 La nacionalidad de una persona. 2 Número de litros de agua contenidos en un depósito. 3 Número de libros en un estante de librería. 4 Suma de puntos tenidos en el lanzamiento de un par de dados. 5 La profesión de una persona. 6 El área de las distintas baldosas de un edificio. 4. Las puntuaciones obtenidas por un grupo en una prueba han sido: 15, 20, 15, 18, 22, 13, 13, 16, 15, 19, 18, 15, 16, 20, 16, 15, 18, 16, 14, 13. Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el polígono de frecuencias. 5. El número de estrellas de los hoteles de una ciudad viene dado por la siguiente serie: 3, 3, 4, 3, 4, 3, 1, 3, 4, 3, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 4, 1. Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el diagrama de barras. 6. Las calificaciones de 50 alumnos en Matemáticas han sido las siguientes: 5, 2, 4, 9, 7, 4, 5, 6, 5, 7, 7, 5, 5, 2, 10, 5, 6, 5, 4, 5, 8, 8, 4, 0, 8, 4, 8, 6, 6, 3, 6, 7, 6, 6, 7, 6, 7, 3, 5, 6, 9, 6, 1, 4, 6, 3, 5, 5, 6, 7.

42


Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el diagrama de barras. 7. Los pesos de los 65 empleados de una fábrica vienen dados por la siguiente tabla:

Peso [50, 60) [60, 70) [70, 80) [80,90) [90, 100) [100, 110) [110, 120)

fi 8 10 16 14 10 5 2

1 Construir la tabla de frecuencias. 2 Representar el histograma y el polígono de frecuencias. 8. Los 40 alumnos de una clase han obtenido las siguientes puntuaciones, sobre 50, en un examen de Física. 3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 23, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44, 31, 26, 20, 11, 13, 22, 27, 47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13. 1 Construir la tabla de frecuencias. 2 Dibujar el histograma y el polígono de frecuencias.

Colegio Fiscal a Distancia Tecnico Modulo de Matematicas 1 Curso

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