Cointegracion 1

Prueba de Raíz UnitariaTest de Dickey Fuller

• Con el fin de determinar las propiedades de estacionariedad de las series se pueden utilizar distintos procedimientos: el Test de Dickey Fuller (DF), el Test de Dickey Fuller Aumentado (ADF)

• Si partimos del modelo Xt = ρXt-1 + ut

• Donde -1≤ρ ≤ 1• Si ρ=1 estamos en el caso de raíz unitaria• El test de Dickey-Fuller (DF) se basa en la

siguiente regresión:∀ ∆Xt = δXt-1 + ut

• Donde δ = (ρ−1)

• La hipótesis testeada es H0: Xt no es I(0), contra H1: Xt es I(0).

• Ho se rechaza si el estimador de δ es negativo y significativamente diferente de cero.

• Si δ= 0 , entonces

∀ ∆Xt = ut

• Entonces las primeras diferencias son estacionarias

• Pero la serie no es estacionaria (ρ=1)

• Se estima la regresión y se hace un test sobre la significación del δ

• La H0 es δ=0

• La prueba DF se estima en diferentes formas

• Random walk

• Random walk con drift

• Random walk con drift y tendencia

Ejemplo: GDP – USA 70-91 Null Hypothesis: GDP has a unit root Exogenous: None Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=0)

t-Statistic Prob.*

Augmented Dickey-Fuller test statistic 5.798077 1.0000

Test critical values: 1% level -2.591813 5% level -1.944574 10% level -1.614315

*MacKinnon (1996) one-sided p-values.

Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(GDP) Method: Least Squares Date: 05/30/07 Time: 15:42 Sample (adjusted): 1970Q2 1991Q4 Included observations: 87 after adjustments

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

GDP(-1) 0.005765 0.000994 5.798077 0.0000

R-squared -0.015192 Mean dependent var 22.93333 Adjusted R-squared -0.015192 S.D. dependent var 35.93448 S.E. of regression 36.20640 Akaike info criterion 10.02778 Sum squared resid 112737.7 Schwarz criterion 10.05612 Log likelihood -435.2083 Durbin-Watson stat 1.340574

• En el modelo RW el estimador de delta es positivo (se descarta porque la serie seria explosiva)

• En los otros dos modelos no se rechaza la H0

• La serie GDP es no estacionaria: tiene raíz unitaria

Null Hypothesis: GDP has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=0)

t-Statistic Prob.*

Augmented Dickey-Fuller test statistic -0.219165 0.9310





GDP(-1) -0.001368 0.006242 -0.219165 0.8270 C 28.20542 24.36532 1.157605 0.2503

R-squared 0.000565 Mean dependent var 22.93333 Adjusted R-squared -0.011193 S.D. dependent var 35.93448 S.E. of regression 36.13503 Akaike info criterion 10.03512 Sum squared resid 110987.9 Schwarz criterion 10.09181 Log likelihood -434.5278 F-statistic 0.048033 Durbin-Watson stat 1.351998 Prob(F-statistic) 0.827047

Null Hypothesis: GDP has a unit root Exogenous: Constant, Linear Trend Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=0)

t-Statistic Prob.*

Augmented Dickey-Fuller test statistic -1.625296 0.7750





GDP(-1) -0.060317 0.037111 -1.625296 0.1078 C 190.3837 103.5257 1.838999 0.0694

@TREND(1970Q1) 1.477641 0.917244 1.610958 0.1109

R-squared 0.030517 Mean dependent var 22.93333 Adjusted R-squared 0.007434 S.D. dependent var 35.93448 S.E. of regression 35.80066 Akaike info criterion 10.02768 Sum squared resid 107661.7 Schwarz criterion 10.11272 Log likelihood -433.2042 F-statistic 1.322060 Durbin-Watson stat 1.314680 Prob(F-statistic) 0.272075

• Una forma complementaria de diagnóstico es el exámen gráfico y de los correlogramas

• El correlograma muestral ilustra la razón entre la covarianza al rezago k y la varianza muestral con respecto al rezago k

• Las autocorrelaciones de una serie ruido blanco oscilan alrededor de cero

• En el caso de RW los coeficientes son altos y descienden muy lentamente

• El estadístico Q de Ljung-Box prueba la hipótesis conjunta de que todos los coeficientes de autocorrelación son cero

• Se distribuye como una χ2 con m grados de libertad (m=longitud del rezago)

2800

3200

3600

4000

4400

4800

5200

70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90

GDP

Date: 05/30/07 Time: 15:52 Sample: 1970Q1 1991Q4 Included observations: 88

Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob

. |*******| . |*******| 1 0.969 0.969 85.462 0.000 . |*******| .*| . | 2 0.935 -0.058 166.02 0.000 . |*******| . | . | 3 0.901 -0.020 241.72 0.000 . |*******| . | . | 4 0.866 -0.045 312.39 0.000 . |****** | . | . | 5 0.830 -0.024 378.10 0.000 . |****** | .*| . | 6 0.791 -0.062 438.57 0.000 . |****** | . | . | 7 0.752 -0.029 493.85 0.000 . |***** | . | . | 8 0.713 -0.024 544.11 0.000 . |***** | . | . | 9 0.675 0.009 589.77 0.000 . |***** | . | . | 10 0.638 -0.010 631.12 0.000 . |***** | . | . | 11 0.601 -0.020 668.33 0.000 . |**** | . | . | 12 0.565 -0.012 701.65 0.000 . |**** | . | . | 13 0.532 0.020 731.56 0.000 . |**** | . | . | 14 0.500 -0.012 758.29 0.000 . |**** | . | . | 15 0.468 -0.021 782.02 0.000 . |*** | . | . | 16 0.437 -0.001 803.03 0.000 . |*** | . | . | 17 0.405 -0.041 821.35 0.000 . |*** | . | . | 18 0.375 -0.005 837.24 0.000 . |*** | . | . | 19 0.344 -0.038 850.79 0.000 . |** | . | . | 20 0.313 -0.017 862.17 0.000 . |** | .*| . | 21 0.279 -0.066 871.39 0.000 . |** | . | . | 22 0.246 -0.019 878.65 0.000 . |** | . | . | 23 0.214 -0.008 884.22 0.000 . |*. | . | . | 24 0.182 -0.018 888.31 0.000 . |*. | . | . | 25 0.153 0.017 891.25 0.000 . |*. | . | . | 26 0.123 -0.024 893.19 0.000 . |*. | . | . | 27 0.095 -0.007 894.38 0.000 . |*. | . | . | 28 0.068 -0.012 894.99 0.000 . | . | . | . | 29 0.043 -0.007 895.24 0.000 . | . | . | . | 30 0.019 -0.005 895.29 0.000 . | . | . | . | 31 -0.003 -0.002 895.29 0.000 . | . | . | . | 32 -0.026 -0.028 895.38 0.000 . | . | . | . | 33 -0.046 0.007 895.69 0.000 .*| . | . | . | 34 -0.061 0.047 896.24 0.000 .*| . | . | . | 35 -0.075 0.004 897.08 0.000 .*| . | . | . | 36 -0.085 0.037 898.18 0.000

El test de Dickey Fuller Aumentado(ADF)

• En el DF se supone que el ut no está autocorrelacionado

• El ADF contempla esta posibilidad

• Se adiciona al DF los valores rezagados de la variable dependiente

• La Ho es idéntica al DF

∆Xt = β1 + β2 t + δXt-1 + Στi=1 γi ∆Xt-i + ut

Cointegración: introducción

• Regresión de una serie de tiempo con raíz unitaria sobre otra serie de tiempo con raíz unitaria

• Puede llevar a “regresión espuria”.• Dos series no estacionarias no correlacionadas

pueden tener una relación que aparece significativa en una regresión

• Esto puede persistir aun en muestras grandes• Gran R2 y bajo DW (R2 >DW)• Si se diferencian las series la correlación

(espuria) desaparece•

• Sin embargo puede que dos series I(1) resulten en una combinación lineal I(0)

• La combinación lineal puede cancelar las tendencias estocásticas y resulta en una serie estacionaria

• En estos casos las series están cointegradas• En términos económicos dos varibables serán

cointegradas si existe una relación de largo plazo o de equilibrio entre ambas

• Si los residuos son estacionarios la metodología tradicional de OLS es aplicable

• Ejemplo:• Gasto en consumo personal contra

Ingreso disponible• PCEt = β1 + β2PDIt + ut

• Se puede expresar• ut = PCEt - β1 − β2PDIt

• Se somete el ut estimado a un test de raíz unitaria

• Si es I(0) la regresión de consumo contra ingreso sería cointegrada

• Existe una relación de equilibrio o largo plazo

• Ver archivo COINT_EJ_1

Mecanismo de Corrección de Errores y Cointegración

• Si hay una relación de LP puede que en el CP haya desequilibrios

• El ut puede ser pensado como el “error de equilibrio”

• Se puede utilizar para vincular el comportamiento del consumo en el CP con su valor de LP

• El MCE corrige el desequilibrio

• Consideremos el modelo∀ ∆PCEt = α0 + α1∆PDIt + α2ut-1 + εt

• El cambio en consumo depende del cambio en ingreso y tambien del termino de error de equilibrio

• Si este es distinto de cero entonces el modelo no está en equilibrio

• Si el cambio en ingreso es cero y el ut-1 es positivo , entonces el consumo es demasiado alto

• Se espera que alfa 2 sea negativa, entonces el cambio en el consumo será negativo para restaurar el equilibrio

• Si el ∆PCE está por encima de de su valor de equilibrio comenzará a disminuir en el siguiente período para corregir el error de equilibrio (MCE)

• En el caso del ejemplo la estimación de la ecuación MCE muestra que el error de equilibrio es cero lo que sugiere que el consumo se ajusta a los cambios en el ingreso en el mismo período.

• Los coeficientes de la ecuación de MCE se pueden interpretar como de corto plazo

• Ejemplo 2 (coint_ej_2.wf1)

• Cointegración de tasas de bonos del tesoro a 3 y 6 meses

• Se puede esperar que las tasas estén cointegradas, de otra manera , si hay diferencias sistemáticas los operadores aprovecharían cualquier discrepancia entre corto y largo plazo

• 1. Analizar si las dos series son estacionarias

• 2. Analizar el orden de integración• 3. Regresar la relación de LP tasas a 6

meses contra 3 meses (no implica causalidad)

• 4. Analizar si los residuales son estacionarioas

• 5. Estimar el MCE

Cointegracion 1

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