1. QA371 R 293 1998 GRANVILLE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 0233007122 2. Temas que trata la obra: Resumen de frmulas Variables, funciones y lmites Derivacin Reglas para derivar funciones algebraicas Aplicaciones de la derivada Derivadas sucesivas de una funcin. Aplicaciones Derivacin de funciones trascendentes. Aplicaciones Aplicaciones a las ecuaciones paramtricas y polares y al clculo de las races de una ecuacin Diferenciales l. Curvatura. Radio de curvatura. Crculo de curvatura Teorema del valor medio y sus aplicaciones Integracin de formas elementales ordinarias Constante de integracin Integral definida La integracin como suma Artificios de integracin Frmulas de reduccin. Uso de la tabla de integrales Centros de gravedad. Presin de lquidos Trabajo. Valor medio Series Desarrollo de funciones en serie de potencias Ecuaciones diferenciales ordinarias Funciones hiperblicas Derivadas parciales Aplicaciones de las derivadas parciales Integrales mltiples Curvas importantes Tabla de integrales { , http://carlos2524.jimdo.com/ 3. , CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL http://carlos2524.jimdo.com/ 4. SIR ISAAC NEWTON http://carlos2524.jimdo.com/ 5. , CALCULO DIFERENCIAL EINTEGRAL WllLlAM ANTHONY GRANVlllE Doctor en Filosofa. Doctor en Leyes Ex Presidente del Colegio de Gettisburg Edicin revisada por: PERCEY F. SMITH WllLlAM RAYMOND lONG lEY Doctores en Filosofa y Profesores de Matemticas de la Universidad de Yale LIMUSA http://carlos2524.jimdo.com/ 6. Granville. William Anthony Clculo diferencial e integral = Elements of differential and integral calculus / William Anthony Granville. -- Mxico: Limusa, 2009. 704 p. : il. ; 23 x 15.5 cm. ISBN-13: 978-968-18-1178-5 Rstica. 1. Clculo diferencial 2. Clculo integral 1. Byngton, Steven, tr. 11. Romero Jurez, Antonio, colab. Dewey: 515.33 122/ G765c Le: QA303 VERSiN AUTORIZADA EN ESPAOL DE LA OBRA PUBLICADA EN INGLS CON EL TTULO: ELEMENTS OF DIFFERENTIALAND INTEGRAL CALCULUS JOHN WILEY & SONS, INC. C OLABORADOR EN LA TRADUCCiN: STEVEN T. BYNGTON REVISiN: ANTONIO ROMERO JUREZ PROFESOR EN LA UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA DE MXICO. LA PRESENTACiN Y DISPOSICiN EN CONJUNTO DE CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL SON PROPIEDAD DEL EDITOR. NINGUNA PARTE DE ESTA OBRA PUEDE SER REPRODUCIDA O TRANSMITIDA, MEDIANTE NINGN SISTEMA o MTODO, ELECTRNICO O MECNICO (INCLUYENDO EL FOTOCOPIADO, LA GRABACiN O CUALQUIER SISTEMA DE RECUPERACiN Y ALMACENAMIENTO DE INFORMACiN), SIN CONSENTIMIENTO POR ESCRITO DEL EDITOR. DERECHOS RESERVADOS: 2009, EDITORIAL LlMUSA, S.A. DE C.v. GRUPO NORIEGA EDITORES BALDERAS 95, MXICO, D .F. C.P. 06040 ~ 51300700 r2J 5512 2903 )iiii limusa@noriega.com.mx 'T"' www.nonega.com.mx CANIEM NM. 121 HECHO EN MXICO ISBN-13: 978-968-18-1178-5 45.1 http://carlos2524.jimdo.com/ 7. PROLOGO Esta obra es, en sus lneas generales, una edicin revisada y aumentada del texto debido al profesor Grall'ille. Los nicos cambios introducidos se reducen a pequefios detalles en las demostraciones, a la revisin de los problemas - afiadiendo algunos de aplicacin a la Economa y otros adicionales al final de cada captulo para alumnos ms aventajados- y a la redaccin de un captulo sobre Funciones hiperb6- licas, junto con algunos pjelllplos de aplicacin de las eoorrlenadas ciln- dricas en las integrales dobles. El captulo a11adido ha sido p,.;crito siguiendo el Illtodo del libro, procurando quP fOl'llle un todo armnico con pI resto de la obra. Lai::l soluciones de la mayor parte de 10i::l problemaf' i-'P dan en pi texto. Algunas soluciones f'e Ollliten de intento para a,costulllbl'ar al estudiante a tener confianza en s mismo. El trabajo de los autores de esta edicin.se ver ampliamente COI1l- pensado si tiene la misma acogida que tUYO la primpra edicin de la obra de Granville. PERCEY F. SMITH VILLIAM R. LONGLEY http://carlos2524.jimdo.com/ 8. http://carlos2524.jimdo.com/ 9. INDICE CALCULO DIFERENCIAL CAPITULO 1 Resumen de frmulas Frmulas de Algebra y de Geometra elementales, 3. Frmulas de Trigo - nometra plana, 4. Frmulas de Geometra analtca plana, 6. Frmulas de Geometra analtica del espacio, 8. Alfabeto griego, 10. CAPITULO 11 Variables, funciones y lmites Variables y constantes , 11. Intervalo de una variable, 11. Variacin con- tinua, 12 . Funciones, 12. Variables independientes y dependientes, 12. No- tacin de funciones. 13. La divisin por cero, excluda , 13 . Grfica de una funcin: continuidad, 15. Lmite de una variable, 16. Lmite de una fun- cin , 16. Teoremas sobre lmites, 17. Funcones contnuas y discontinuas. 17 . Infinito , 19. Infinitsimos, 22.. Teoremas relativos a infinitsimos y lmi- tes , 23. CAPITULO III Derivacin Introduccin, 25. Incrementos , 25. Comparacin de incrementos 26. Derivada de una funcin de una variable, 27. Smbolos para representar las derivadas, 28, Funciones derivables, 30. Reg la general para la derivacin, 30. Interpretacin geomtr ica de la derivada, 32. CAPITULO IV Reglas para deri v ar funciones alge bracas Importancia de la regla general. 36. Derivada de una constante. 37. Deri- vada de una variable con respecto a, si mIsma, 38. Derivada de una suma, 38. Derivada del producto de una constante por una funcin, 39. . Derivada del http://carlos2524.jimdo.com/ 10. VIII INDICE producto de dos funciones. 39. Derivada del producto de n funciones. siendo n un nmero fijo. 40. Derivada de la potencia de una funcin. siendo el exponente constante. 41 . D eri vada de un cociente. 41. Derivada de una fun- cin de funcin. 46. Relacin entre las deri vadas de las funciones inver- sas . 47. Funciones implicitas . 49. Derivacin de funciones implcitas. 49 . CAPITULO V Aplicaciones de la derivada Direccin de un;l curva . 52. Ecuaciones de la tangente y la normal: longi- tudes d e la subtangente y la subnormal, 54. Valores mximo y mnimo de una funcin: introdu cc i n . 58. Funciones crecientes y decrecientes. 62. Mximos y mnimos de una funcin; definiciones. 64. Primer mtodo para calcular los rr.ximos y minimos de una funcin. Regla gua en las aplicaones. 66. Mximos o mnimos cuando f' (x) se vuelve infinita y f (x) es continua. 68. Problemas sobre m O), 669. Otras formas algebraicas , 670. For- mas exponenciales y logartmicas, 671. Formas trigonomtricas, 672. Formas de reduccin para integrales trigonomtricas , 674. Funciones trigonomtricas inversas, 675. Funciones hiperblicas , 676. INDI CE ALFABETICO . . .... 679 http://carlos2524.jimdo.com/ 17. GUILLERMO LEIBNIZ http://carlos2524.jimdo.com/ 18. http://carlos2524.jimdo.com/ 19. http://carlos2524.jimdo.com/ 20. http://carlos2524.jimdo.com/ 21. CAPITULO PRIMERO RESUMEN DE FORMULAS 1. Frmulas de Algebra y de Geometra elementales. Para como- didad del estudiante, en los Artculos 1 a 4 damos un resumen de f()rmulas elementales. Empezaremos por las relativas al Algebra. (1) Resolucin de la ecuacin de segundo grado AX2 + Ex + C = O. 1. Factorizando: Se descompone AX2 + Bx + C en factores, se iguala cada factor a cero y se resuelven las ecuaciones que resultan, con respecto a x. 2. Completando el cuadrado: Se transpone C al segundo miem- bro, se divide la ecuacin por el coeficiente de x2 , se aade a ambos miembros el cuadrado de la mitad del coeficiente de x y Re extrae la raz cuadrada. ;~ . Empleando la frmula x= -B v B2 - 4 AC 2A Carcter de las races. La expresin B2 - 4 AC, que aparece en la frmula debajo del signo radical, se llama discriminante de la ecuacin. Las dos races son reales y desiguales, reales e iguales, o imaginarias, segn que el discriminante sea positivo, cero o negativo. (2) Logaritmos. log ab = log a + log b . a log b = log a - log b . log a" = n log a. ."/- 1 log v a = - log a. n log 1 = O. loga a = 1. http://carlos2524.jimdo.com/ 22. 4 CALCULO DIFERENCIAL (3) Frmula del binomio de Newton (siendo n un nmero entero positivo) . n(n -1) (a + b)" = a" + nan-1b + a,,-2 b2+ I~ +n ( n-ti (n - 2) a,,-3 b3 + + n(n -1) (n - 2) ... (n - r + 2) an-J'+1br-1 + Ir - 1 (4) Factoral de un nmero, n!=I~=1234 ... (n-l)n. En las siguientes frmulas de la Geometra elemental, r o R repre- senta el radio, a la altura, B el rea de la base y s el lado o altura inclinada. (5) Crculo. Longitud de la circunferencia = 2n:r. Area = n:r2 (6) Sector circular. Area = Yz r2 a, siendo a = ngulo central del sector, medido en radianes . (7) Prisma. Volumen = Ba. (8) Pirmide. Volumen = HBa. (9) Cilindro circular recto. Volumen= n:r2 a. Area lateral = 2 n:ra. Area total = 2 n:r(r + a). (10) Cono circular recto. Volumen =}~ m2 a. Area lateral = nrs . Area total = n:r(r + s). (11) Esfera. Volumen = j( n:r3. Area = 4 n:r2. (12) Tronco de conocircular recto. Volumen = % n:a(R2 +1'2+Rr) . Area lateral = ns (R + r) . 2. Frmulas de Trigonometra plana. Son de uso frecuente mu- chas de las siguietes frmulas. (1) Medida de ngulos. Hay dos mtodos generalmente usados para medir ngulos; es decir, hay dos sistemas de unidades angulares. Medida en grados. En este sistema el ngulo unidad es %60 de una revolucin completa y se llama grado. Medida circular. En est sistema el ngulo unidad es el que sub- tiende un arco de longitud igual al radio del arco, y se llama radin. La ecuacin que da la relacin entre los dos ngulos unidad es 180 grados = ](radianes (n: = 3,14159 ... ) , RESUMEN DE F' de donde: 1 grado = ~= O 01 180 ' 1 radin = 180 = 57 2' n: ' De dicha definicin tenemos N mero de radianes en un ngnl Estas ecuaciones permiten pasar de (2) Relaciones entre las funciones 1 ctg x = --' sec x = - tg x ' c sen x e T,g x = --' ctg x = - cos x ' s sen" x + cos" X = 1; 1 + tg2 X = (3) Frmulas para reducir ngulo: Angulo Seno Coseno Tangente -x - sen x cos x - tg x 900 -x cos x sen x ctg x 90+ x cos x - sen x - ctg x 180- x se n x - cos x - tg x 180+ x - sen x - cos x tg x 2700 -x - cos x - sen x ctg x 270+ x - cos x se n x - ctg x 360_ x - sen x cos x - tg x (4) Funciones trigonomtricas de sen (x+ y) = sen z COE sen (x - y) = sen x cos cos (x + y) = cosz cos cos (x - y) = cos x cos tg (x + )= tg x + tg Y ti Y. l-tgxtgy' (5) Funciones trigonomtricas de ~n2x=2~nxoosx;oos2x=oo~ x /1- C.os x z !1 sen 2= j 2 ; cos'2= j- sen2 x ;:;Yz - Yz cos 2 x i co http://carlos2524.jimdo.com/ 23. un nmero entero 1l-r+lbl'-1 + .... tal, r o R repre- el lado o altura nr , Area = n:r2 ngulo central del ea lateral= 2 xra . rea lateral = nrs , so frecuente mu- eralmente usados .dades angulares. dad es 7~60 de una ad es el que sub- se llama radin. ngulos unidad es . .) , RESUMEN DE FORMULAS de donde: 1 grado = I~O= 0,0174 radianes : 1 radin = 180 = 57 ,29 grados Jt De dicha definicin tenemos N ' d d' , l arco correspondiente umero e ra wnes en un anqu. u = radio Estas ecuaciones permiten pasar de una medida a la otra. (2) Relaciones entre las funciones trigonomtricas. 1 1 1 ctg x = --' sec x = --' csc x = -- . tg x ' cos x ' sen z ' sen x cos z T.gX = --' ctg x = -- . cos x ' sen x sen" z + cos" X = 1; 1 + tg2 X = sec" x; 1+ ctg" X = ese" x. (3) Frmulas para reducir ngulos. I Anzulo Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante -x - sen x eos x - tg x - etg x see x -ese x 900 -x eos x sen x etg x tg x ese x see x 90+ x cos x - sen x - etg x - tg x - ese x see x 180- x sen x - eos x - tg x - etg X - see x ese x 1800 +x - sen x - eos x tg x etg x - see x - ese x 270- x - eos x - sen x etg x tg x - ese x - see x 270+ x - eos x sen x - etg x - tg x ese x - sec x 360- x - sen x eos x - tg x -etg x sec x - cs~ .A i (4) Funciones trigonomtricas de (x + yJ y (x - y). sen (x + y) = sen z cos y + cos x sen y . sen (x - y) = sen x cos y - cos x sen y. cos (x + y) = cos x cos y - sen x sen y. cos (z - y) = cos x cos y + sen x sen y. tg (x + )= tg x + tg Y . t (x _ ) = tg x - tg Y y, l-tgxtgy g. y l+tgxtgy' (5) Funciones trigonomtricas de 2 x y de Y2 x. 2tg x sen 2 x = 2 sen x cos x; cos 2 x = cos" X - sen2 x; tg 2 x = 1-tg2 X . x /1 - c.osx x /1 + cos x t z /1 - cos x sen 2= 'j 2 ; cos 2= 'j 2 ; g 2= 'j 1+ cos x' sen" x = Y2 - Y2 cos 2 x i cos? X = ~:!+ .Y:! 00S 2 x . 5 http://carlos2524.jimdo.com/ 24. 6 CALCULO DIFERENCIAL (6) Transformacin de sumas y diferencias de senos y cosenos en productos. sen x + sen y = 2 sen ~ (x + y) cos ~ (x - y) . sen x - sen y = 2 cos ~ (x + y) sen Yz (x - y). cos x + cos y = 2 cos Yz (x + y) cos Yz (x - yj. cos x - cos y = - 2 lOen Yz (x + y) sen Yz (x - y). (7) Relaciones en un tringulo cualquiera. Ley de los senos. Ley de los cosenos. Frmulas para el rea. a b e sen A = sen B = sen C . a2 = b2 + c2 - 2 be cos A . K = Yz be sen A . K = Yz a2 sen B sen C sen (B+C) K = ,/ ses - a) (s - b) (s - e) , siendo s = Yz (a + b + e). 3. Frmulas de Geometra ana!Hica plana. Las frmulas ms importantes son las siguientes: (l) Distancia entre dos puntos Pl (Xl, yd y P2{X2, Y2). d = y' (Xl - X2)2+ (y - Y2)2 . Pendiente de Pl P2 . m = Jll - y2 Xl - X2 Coordenadas del punto medio. x = Yz (Xl + X2), y = Yz (Yl + Y2) . (2) Angulo de dos rectas en funcin de sus pendientes. tg () = ml - m2 . 1 +ml m2 (Si las rectas son paralelas es ml = m2; si las rectas son perpen- diculares es ml m2 = - 1 . ) (3) Ecuaciones de la lnea recta. En funcin de uno de sus puntos y de la pendiente. y - yl = m (x - Xl) En funcin de la pendiente y de la ordenada en el origen. y=mx+b. http://carlos2524.jimdo.com/ 25. RESUMEN DE FORMULAS En funcin de dos de sus puntos . y - YI X -Xl En funcin de los segmentos que determina s()/Yre los ejes (4) Distancia del punto PI(XJ, y} a la recta Ax + By + e = o. d = AXl + BYI + C . VA2+ B2 7 (5) Relacior. cos () , y = sen (), = V x2+ y2 , (6) Ecuacin de la circunferencia. Centro (h, k). (7) Ecuaciones de la parbola. Con vrtice en el origen. y2 = 2 px, foco (Y2 P., O) . x2 = 2 py, foco (O, Y2 p) . Con vrtice en (h, k) . () = are tg]L X (y - k)2 = 2 p (x - h), eje y = k . (X - h)2 = 2p(y-k), ejex = h. Con eje en el eje de las y. y = AX2 + c. (8) Ecuaciones de otras curvas. Elipse con centro en el on'gen y focos en el eje de las x . X2 y2 ~+b2 = 1. (a>b). Hiprbola con centro en el origen y focos en el eje de las x . Hiprbola equiltera con centro en el origen y los ejes de coordenada~ como asntotas . xy = C. Vase tambin el Capitulo XXVI http://carlos2524.jimdo.com/ 26. 8 CALCULO DIFERENCIAL 4. Frmulas de Geometra analtica del espacio. He aqu algunas de las frmulas ms importantes. (1) Distancia entre PI (Xl, gl, Zl) y P'1 (X2, g2, Z2). d = V (Xl - X2)2 + (YI - Y2) 2 + (Zl - Z2)2 . (2) Lnea recta. Cosenos directores: co~ u, cos (:, cos y. N lImeros directores: a, b, c. Entonces cos (( cos [1 cos y -a- = --b- = -c-- cos2 a + cos2 (3 + cos2 y = l. acos a = - , , / a2 + b2 + c2 b cos ~ = , ,/ a2 + b2 +,.2 c cos y = --:=~=== V a2 + b2 + c2 Para la recta que une los puntos (Xl, yl, Zl ) y (X2, y2, Z2), se tiene: cos a X2 - Xl (3) Angulo de dos rectas. cos ~ y2 - yl ros y Z2 - ZI Cosenos directores: cos a, cos ~, cos y; cos a', cos W, cos y' . Nilleros directores: a, b, c; a', b' , c'. Si 8 = ngulo de las dos rectas, se tiene: eos 8 = cos a cos a' + cos ~ cos W+ cos y cos y' , aa' + bb' + cc'cos 8 = ----;-==~~~..:....:...:=====:=====. V a2 + b2 + c2 V a/2 + b'2 + C /2 Rectas paralelas . Rectas perpendiculares. aa' + bb' + cc' = O. (4) Ecuaciones de la recta que pasa por el punto (Xl, gl, Zl), y sus nmeros directores son a, b, c. x - Xl Y - Yl Z - Zl ---a-=--b--= --c- http://carlos2524.jimdo.com/ 27. RESUMEN DE FORMULAS 9 (5) Ecuacin del plano. En el plano Ax + By + Cz +D = O, los cueficientes A, B, C sun los nmeros directores de la recta perpen- dicular al plano. Ecuacin de un plano que pasa por el punto (Xl, Yl, z) y es per- pendicular a la recta que tiene los nmeros directores A, B, c. A (x - x) + B (y - Yl) + C(z - z) = O. (6) Angulo de dos planos. Ecuaciones: Ax + By + Cz + 1J = O. A'x + B'y + C'z + D' = O. Nmeros directores de la recta de interseccin: BC'- CB', CA'-AC', AB'- BA'. ~i () es el ngulo de los dos planos, se tiene: cos () = --;-==~A=A='=+~B:..:B=-:-='=+===,C=,C='====- ..../ A2 + B2 + C2 V A,2 + B,2 + C/2 . (7) Coordenadas cilndricas. La distancia z (fig. 1) de un punto p (x, y, z) al plano XY y las coordenadas polares (Q, ()), de que forma OP con el eje de las z y el ngulo () que forma la proyeccin de OP sobre el plano XY con el eje de las x, se llaman coordenadas esfricas de P. El ngulo cf> se llama http://carlos2524.jimdo.com/ 28. 10 CALCULO DIFERENCIAL la colatitud y (j la longitud. Las coordenadas esfricas de P se escriben (1-, cf>, 8). Si x, y, z son las coordenadas rectangulares de P, entonces, de las definiciones y de la figura, tenemos: x = r sen cf> eos 8 , y = r sen cf> sen 8 , 8 = are tg JL, x z = r cos , ~---c V x2 + y2 cf> = arc tg . z 5. Alfabeto griego. CAPITU LETRAS NOMBRES LETRAS NOMBHES LETRAS NOMBRES A a Alfa I lota l' Ro /1 (i Beta J{ Kapa " rr SigrnaK r r Gama A , Lambda t :- Tau Ll o Delta M p. Mi o mu r u Ipsilon E Epsilon N ~ Ni o nu 1/1 l' Fi Z t Dseta o zeta E , Xi X 1. Ji o ki H YJ Eta O o Omieron '1' ~" Psi e o Teta H t: Pi !! w Omega VARIABLES, FUNCII 6. Variables y constantes. Un se le puede asignar, durante el CUT nmero ilimitado de valores. Las va las ltimas letras del alfabeto Una cantidad que durante el curs se llama constante. Constantes numricas o absolutas valores en todos los problemas, corr Constantes arbitrarias, o parmetro asignar valores numricos, y que d esos valores asignados. Usualmente letras del alfabeto. As. en la ecuacin de la recta, ~+JL. a b x y y son las coordenadas variables d lnea, mientras que a y b son las cons la abscisa en el origen y la ordenada E que son valores definidos para cada rE El valor numrico (o absoluto) de u de su valor algebraico , se representa 1 smbolo Ia I se lee "valor numrico d 7. Intervalo de una variable. A a una porcin del sistema de nmeros gir nuestra variable de manera que to didos entre a y b. Tambin puede SE http://carlos2524.jimdo.com/ 29. AL sfricas de P se escriben res de P, entonces, de z = r cos cf> ; ---vi x2 + y2 cp = arc t.g . z LETRAS NOMBRES r Ro " rr Sigma r :- Tau r u Ipsilon p l' Fi X 1 Ji o ki 'r ~" Psi ~l w Omega CAPITULO II VARIABLES, FUNCIONES y LIMITES 6. Variables y constantes. Una variable es una cantidad a la que se le puede asignar, durante el curso de un proceso de anlisis, un nmero ilimitado de valores. Las variables se designan usualmente por las ltimas letras del alfabeto Una cantidad que durante el curso de un proceso tiene un valor fijo se llama constante. Constantes numricas o absolutas son las que conservan los mismos valores en todos los problemas, como 2, 5, "";7, cr , etc. Constantes arbitrarias, o parmetros, son aquellas a las que se pueden asignar valores numricos, y que durante todo el proceso conservan esos valores asignados. Usualmente se representan por las primeras letras del alfabeto. As. en la ecuacin de la recta, x y -+-= 1 a b ' x y y son las coordenadas variables de un punto que se mueve sobre la lnea , mientras que a y b son las constantes arbitrarias que representan la abscisa en el origen y la ordenada en el origen, las cuales se supone que son valores definidos para cada recta. El valor numrico (o absoluto) de una constante a, para diferenciarlo de su valor algebraico , se representa por 1al. As, 1- 21= 2 = 121. El smbolo 1 a I se lee "valor numrico de a" o "valor absoluto de a' , . 7. Intervalo de una variable. A menudo nos limitamos solamente a una porcin del sistema de nmeros. Por ejemplo, podemos restru- gir nuestra variable de manera que tome nicamente valores compren- didos entre a y b. Tambin puede ser que a y b sean incluidos o que http://carlos2524.jimdo.com/ 30. 12 CALCULO DIFERENCIAL uno () ambos sean excludos. Emplearemos el smbolo [a, b], siendo a menor que b, para representar los nmeros a y b y todos los nme- ros comprendidos entre ellos, a menos que se diga explcitamente otra cosa . Este smbolo [a, b] se lee "intervalo de a a b' , . 8. Variacin continua,. Se dice que una variable a vara de una manera continua en un intervalo [a, b] cuando x aumenta desde el valor a hasta el valor b, de tal manera que toma todos los valores o--------- (x) , J' (x), etc. Durante todo el curso de un proceso, un mismo smbolo de funcio- nalidad indicar una misma ley de dependencia entre una funcin y su variable. En los casos ms simples, esta ley expresa la ejecucin de un conjunto de operaciones analticas con la variable . Por consiguiente, en un caso de esta clase el mismo smbolo de funcin indicar la misma operacin, o conjunto de operaciones, aplicadas a diferentes valores de la variable. As, por ejemplo, si f(x) = X2 - 9 x + 14, entonces, f (?I) = y2 - 9 Y + 14 ; f(b+1)= (b+1) 2- 9(b + 1)+14=b2 -7b + G f( O) = 02 - 9 0 + 14 = 14, f( - 1) = (_1)2 - 9 ( - 1) + 14 = 24, f(3) =32 - 9. 3 + 14= - 4 . 12. La divisin por cero, excluida. El cociente de dos nmeros a y b es un nmero x tal que a = bx. Evidentemente, con esta defini- cin la divisin por cero queda excluda. En efecto, si b = O, Y recor- dando que cero tomado cualquier nmero de veces como sumando es siempre igual a cero, se ve que x no existe, a menos que a = O. Si a = O, entonces x puede ser cualquier nmero. Por lo tanto, las expresiones que se presentan en una de las formas a O O' O I carecen de sentido por no ser posible la divisin por cero. http://carlos2524.jimdo.com/ 32. 14 CALC ULO DIFERENCIAL Debe tenerse cuidado de no dividir inadvertidamente por cero. La siguiente paradoja es un ejemplo . Supongamos que a = b. ab = a2 Entonces, evidentemente, Restando b2 , Descomponiendo en factores, Dividiendo por a -/ , ab - b2 = a~ - b~ . h(a- b) = (a+b) (a- /; ) . b=a+b. Pero, a = b; luego, o ~ea que b = 2 b, 1 = 2 . El resultado absurdo proviene de haber dividido por a - b = O. PROBLEMAS 1. Dado f (x) = x a - 5 X2 - 4 x +20, d emostrar qu e f ( I )=12, f(5)=0, ( 0) = - 2(3), (7)=5( -1 ). 2 . S i {(x)=4-2 x2+x, calcular (O), f( I ), f( - I), (2), (-2) 3 . Si F (e) = sen 2 e + cos e, hallar F (O), F ( Yz n), F (n). 4. Dado f (x) = x 3 - 5 X2 - 4 x +20, demostrar que f(t+I)=t3 - 2r 2 -11 t+ 12. 5. Dado f (y) = y2 - 2 y + 6, demostrar 'q U C f (y + h) = y2 - 2 y + 6 +2 (y - 1) h + !-J2. n. 0 .1(z);;' 4=, demostrar que >(z + 1) - >(z) = 3 >(z) . 10. 9. Si > (x) = al', demostrar que> ( y ) > (z) = > (y + z). 1 - x Dado> (x) = log - - , demostra r que 11. I+ x >('1)+>(z) = >('1+Z). 1+ lJZ D ado f ~ x) = se n x. d emostrar que f(x + 2h)-f(x) =2cos (x +h ) senh. S UGESTION . Utili za r las frmu las (6) del Articulo 2 . http://carlos2524.jimdo.com/ 33. VARIABLES . FUNCIONES Y LIMITES 15 13. Grfia de una funcin; continuidad. Consideremos la funcin x2 y hagamos (1) Y = Xl. Esta relacin da un valor de y para cada valor de x; es decir, (1) define unvocamente a y para todos los valores de la variable inde- pendiente. El lugar geomtrico de (1) es una parbola (fig. 4) Y se llama la grfica de la funcin X2. Si x vara continuamente (Art. 8) desde x = a hasta x = b, entonces y variar continuamente desde y = a2 ha"ta y = b2 , Y el punto P (x, y) se mover continuamente, a lo largo de la curva, desde el punto (a, a2 ) hasta (b, b2 ). Adems, a y b pueden admitir todos los valores. En este caso decimos que , 'In. funcin X2 es continua para todos los valores de x". Fig.4 Fig. 5 1 Consideremos ahora la funcin Hagamos x (2) 1 Y = -X' EflL p.cuacn da un valor de y para cada valor de x, con p.xcep- ci{m de x = O (Art.. 12) ; para x = O la funcin no est definida. La grfica (fig. 5), que es el lugar geomtrico de (2), es una hipr- bola equiltera. Si x aumenta continuamente en cualquier intervalo la, bl que no incluya x = O, entonces y decrecer continuamente dp.sde ~ hasta ~ , y el punto P (x, y) describir la curva entre los puntos correspondientes ( a, ~), (b, ~ ). En este caso decimos quc "la funcin 1- es continua para todos los valores de x con excep- x cin de x = O' '. No existe en la grfica un punto correspondiente a x = O. Estos ejemplos ilustran el concepto de continuidad de una funcin. Una definicin se dar en el Artculo 17. http://carlos2524.jimdo.com/ 34. 16 CALCULO DIFERENCIAL 14. Lmite de una variable. La nocin de una variable que se aproxima a un limite se encuentra, en la Geometra elemental, al establecer o deducir la frmula que da el rea del crculo. Se considera el rea de un polgono regular inscrito con un nmero n cualquiera de lados, y se supone, despus, que n crece infinitamente. El rea variable tiende as haca un limite, y este lmite se define como rea del crculo . En este caso, la variable v (rea) aumenta indefinida- mente, y la diferencia a - v (siendo a el rea del crculo) va disminu- yendo hasta que, finalmente, llega a ser menor que cualquier nmero positivo escogido de antemano, sin importar lo pequeo que ste se haya elegido. El concepto de lmite se precisa mediante la siguiente DEFINICIN. Se dice que la variable v tiende a la constante l como lmite, cuando los valores sucesivos de v son tales que el valor num- rico de la diferencia v - l puede llegar a ser, finalmente, menor que cualquier nmero positivo predeterminado tan pequeo como se quiera. La relacin as definida se escribe lim v = l. Por conveniencia, nos serviremos de la notacin v -7 l, que se leer "v tiende hacia el lmite l" o, ms brevemente, "v tiende al". (Algunos autores usan la notacin v-:"l . ) EJEMPLO. Si u toma la sucesin infinita de valores es evidente que u -72 al crecer n . es decir . lim u = 2. Si sobre una lnea recta, como en el Artculo 8, se seala el punto L que corresponde al limite l, y se coloca a ambos lados de L la longitud E, sin importar lo pequeo que ste sea, entonces se observar que los puntos determinados por v caern todos, finalmente, dentro del seg- mento que corresponde al intervalo [l - E. l + E ] . 15. Lmite de una funcin. En las aplicaciones de la definicin de lmite, se presentan usualmente casos como el siguiente: se tiene una variable v y una funcin dada z de v, y se supone que la variable v recibe valores tales que v -7 l. Tenemos que examinar entonces los valores de la variable dependiente z e investigar, particularmente, si z tiende tambin a un limite. Si efectivamente existe una constante a tal que lm z = a, entonces se expresa est.a relacin escribiendo lmz=a, V-71 y se leer: "el lmite de z. cuando v tiende a l, es a . ' , http://carlos2524.jimdo.com/ 35. VARIABLES . FUNC IONES Y LIMITES 17 16. Teoremas sobre lmites. En el clculo del lmite de una fun- cin tienen aplicacin los teoremas siguientes. Las demostraciones se darn en el Artculo 20 . Supongamos que u, v y w sean funciones de una variable x y que lm u = A, lm v = B, lm w = c. ",~a ", ~a x~a Entonees son ciertas las siguientes relaciones. (1) (2) (3) lm (u + v- w) = A + B - C. x~a lm (uvw) = ABC. x~a 1 , u A . B 1m - = -, SI no es cero. x~a V B En breves palabras: el lmite de una suma algebraica, de un producto o de un cociente es igual, respectivamente, a la suma algebraica, al pro- ducto o al cociente de los lmites respectivos, con tal de que, en el ltimo caso, el lmite del divisor no sea cero. Si c es una constante (independiente de x) y B no es cero, de lo anterior se deduce: (4 ) Hm (u + c) = A + c, lm cu = cA , lm ~ = ~. x~a x ~a x~" V B Consideremos algunos ejemplos. 1. Demostrar q ue lim (x2 +4 x) = 12. x~2 Demostracin. La f uncin dada es la suma de X2 y 4 x. En primer lugar hallaremos los li mites de estas dos funciones. Seg n (2). Seg n (4). lim X2 = 4. p uesto q ue xc = xx. x~2 lim 4x=4 lim x = 8. :t ~ 2 x~2 Luego. seg n (1). el limite bu scado es 4 + 8 = 12. 2. "Demostrar q ue lim Z2 - 9 = _ 2.. z~2 z +2 4 Demostracin. Co nside rando el numerador. lim (Z2 - 9) = - 5. segn 2~2 (2) Y (4). E n cuanto al denominador . li m (z + 2) = 4. Luego. de (3). 2~~ tenemos el resultado buscado. 17. Funciones continuas y discontinuas. En el ejemplo 1 del Artculo 16 , donde se demostr que lm (X2 +4 x) 12, x-;'2 http://carlos2524.jimdo.com/ 36. 18 CALCULO DIFERENCIAL observamos que la solucin es el valor de la funcin para x = 2 ; es decir, el valor lmite de la funcin cuando x tiende a 2 es igual al valor de la funcin para x = 2. En este caso decimcs que la funcin es continua para x = 2. La definicin general es la siguiente: DEFINICIN. Se dice que una funcin f(x) es continua para x = a si el lmite de la funcin, cuando x tiende a a, es igual al valor de la funcin para x = a. En smbolos, si lm (x) = (a), X-7a entonces f (x) es continua para x = a. Se dice que la funcin es discontinua para x = a si no se satisface esta condicin. Llamamos la atencin de los dos casos siguientes, que se presentan frecuentemente. CASO l. Como ejemplo sencillo de una funcin que es continua para un valor particular de la variable, consideremos la. funcin X2 - 4 f(x) = - -o x - 2 Para x = 1, f ex) = fe 1) = 3. Adems, si x tiende al, la fun- cin f(x) tiende a. 3 como lmite (Art. 16). Luego la funcin es continua para x = 1 . CASO n. La definicin de funcin continua supone que la funcin est definida para x = a . Sin embargo, si este no es el caso, a veces es posible asignar a la funcin tal valor para x = a que la condicin de continuidad se satisfaga. En estos casos se aplica el siguiente teorema: Teorema. Si f (x) no est definida para x = a, pero lm (x) = B, X-7 a entonces fex) ser-continua para x = a, si se toma como valor de f ( x) para x = a el valor B. As, por ejemplo, la funcin X2 - 4 x-2 no est definida para x = 2 (puesto que entonces habra divisin por cero ) . Pero para todo otro valor de x x~ - 4 x_2=x-l-2; http://carlos2524.jimdo.com/ 37. y luego, VARIABLES, FUNCIONES Y LIMITE S lm (x + 2) = 4; : es lna fllllcin c;)ntinll:t 6..1" ----;.u (vase el Art. 70), tenemos: -dd~ = f I ( x) = Im tg 1> = tg :- , X 6 :1: ----7 0 CUAR'!'O PASO. = pendiente de la tangente en P . As hemos establecido el importante teorema siguiente : Teorema. El valor de la derivada en cualqer punto de na crva. es 1gual a la pend1ente de la tangente a la curva en wuel punto . http://carlos2524.jimdo.com/ 52. 14 CALCULO DIFERENCIAL [ Este problema de la t.angente llev a Leibnitz * al descubrimiento del Clculo diferencial. 6. Hallar el punto de la cur tangente es de 45. EJ ElvIPLO. Hallar las pendientes de las tangentes a la parbola y = x2 (fig. 7) en el vrtice y en el punto de a bscisa x = Yz . 7. En la curva y = ;(3 + ) paralela a la recta y = 4 x . Solucin. Derivando segn la regla general (Arr. 27) resulta: (2) dy = 2 x = pendiente de la tangente en cualquier dx punto (x, y) de la curva. Para hallar la pendiente de la tangente en el vrtice, bastar sustituir x = O en (2), obteniendo: E n cada uno de los tres sig u ier seccin del par de curvas dado; 1 a cada curva, y el ngulo forma seccin (vase (2) del Artculo o x dy = O. dx 8. y=l-x2, Sol. y = x2 - 1, 9. Y = x2, X - Y + 2 = O. Fig. 7 11. Hallar el ngulo de las C1 de interseccin (3, 3). Luego la pendiente de la tangente en el vrtice es cero; es decir, la tangente es paralela al eje de las x , y en este caso coincide con l. Para hallar la pendiente de la tangente en el punto P, de ahscisa x = Yz ' bastar s u st it u ir x = Yz en (2). Se obtiene: dy = l : dx ' es de cir , la tangente en el punto P forma con el eje de las x un a n g ul o de 45". PROBLEMAS Aplicando las derivadas hallar la pendiente y la inclinacin de la tangente a cada una de las curvas siguientes en el punto cuya absc isa se indica. Verificar el res u l t ad o r ra z.an do la curva y la tangente, 1. Y x2 - 2, s ie n do x .. 1. 2. lJ 2x - Yz x2, s ie n do x 3. 3. 4 siendo 2.y - x-l x = 4. Id = 3 + 3 x - x3 siendo x = - J. 5. Y = x3 - 3 x2, siendo x = 1. So!' 2; 63" 26'. Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646-1716) naci en Le ipz ig . Su gran talento se manifest con investigaciones originales en varios ramos de la Ciencia y de la Filosofa, Fu el primero que public sus descubrimientos de Clculo infinitesimal en un breve ensayo que apareci en la revista Acta Eru d i t or um . de Leipzig. en 1684. Se sabe, no obstan te, que ya existan manuscritos de Ne w to n sobre las" fluxiones", y algunos hi si or i.idores creen que Leibnitz recibi las nuevas ideas de aqullos. Actualmente se cree, a lo que parece, que Ne w to n y Leibnitz inventaron el Clculo inf in ite si mal independientemente el uno del otro. La notacin que hoy se usa es la que Le ibn itz introdujo. http://carlos2524.jimdo.com/ 53. DERIVACION 3 5 6. Hallar el p un to de la cu rva y = ' x - X 2 en el que la inclinaci n de la tan gente es de 45. S ol . (2, 6) . 7. En la curva y = x 3 + x hallar los puntos en los que la tangente es paralela a la recta y = 4 x. Sol . (1. 2) . (-1. -2) . E n cada uno de los tres siguientes problemas hallar: a) los puntos de intei. seccin del par de curvas dado; b) la pendiente y la inclinacin de la tallgente a cada curva, y el ngulo formado por las tangentes. en cada punto de inter- seccin (vase (2) del Artculo 3) . 8. y=l-x2 , y = X2 - 1. 9. Y = X2. X - !J + 2 = O. Sol. Angulo de interseccin arc tg % 10. !J = x 3 - 3 x. 2 x +!J "" O. 53 8'. 11. Hallar el ngulo de las curvas 9!J - x 3 y !J - 6 +8 x - x 3 en el punto de interseccin (3, 3). Sol. 21 27'. http://carlos2524.jimdo.com/ 54. CAPITULO IV REGLAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS 29. Importancia de la regla general. La regla general para derivacin, dada en el Artculo 27, es fundamental, puesto que se deduce directamente de la definicin de derivada, y es muy impor- tante que el lector se familiarice completamente con ella. Sin embargo, el procedimiento de aplicar la regla en la resolucin de problemas es largo o difcil; por con>iguiente, se han deducido de la regla general, a fin de facilitar la tarea, reglas especiales para derivar ciert.as formas normales que se presentan con frecuencia. Es cmodo expresar estas reglas especiales por medio de frmulas, de las cuales se da a continuacin una lista . El lector no slo debe aprender de memoria cada frmula cuando se ha deducido, sino tam- bin poder enunciar en palabras la regla cOlTespondiente . En estas frmulas 1l, v, w representan funciones derivables de x. 1 II III IV v FHMULAS DE 1)b~RJVAC16N de = O dx . d:r = 1 dx . d du do dw - (u +v - w) = -, +- - -.dx dx dx dx d dv -(ev) = e-. dx dx d dv du - (uv) = u - +v-o dx dx dx http://carlos2524.jimdo.com/ 55. REG LAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS 37 VI VIa VII VIIa VIII IX d dv _(vn) = mi'-l -. dx dx d dx (xn) = nXn- l. du dv vdx -- ud; V 2 du ~ (~) = d;. dy dy dv - - - .- siendo y funcin de v. dx - dv dx' dy 1 - - - siendo y funcin de x.dx - dx' dy 30. Derivada de una constante. Si se sabe que una funcin tiene el mismo valor para cada valor de la variable independiente, esta funcin es constante, y podemos representarla por y = c . Cuando x toma un incremento .1x, el valor de la funcin no se altera j es decir, .1y = O, Y Ay = O .1x . Pero , .1y dy hm --=-= o. 1"' -70 I1x dx I :. ~~ = o. La derivada de una constante es cero. Este resultado se prev fcilmente. En efecto, la grfica de la ecuacin y = c es una recta paralela a OX j luego su pendiente es cero . Y como la pendiente es el valor de la derivada (Art. 28) resulta que la derivada es cero. http://carlos2524.jimdo.com/ 56. 38 CALCULO DIFERENCIAL 31. Derivada de una variable con respecto a s misma. Sea y = x. Siguiendo la regla genera.! (Art. 27), tenemos: PRIMER PASO. SEGUNDO PASO. TERCER PASO. CUARTO PASO. 11 y + f'..y = x + f'..x . f'..y = f'..x . f'..y =Al. o;; dy -= 1dx . dx = 1. dx La derivada de una variable con respecto a s misma es la unidad. Este resultado se prev fcilmente. En efecto, la pendiente de la recta y = x es la unidad. 32. Derivada de una suma. Sea 1! = u + v - -w . Segn la regla general: PRIMER PASO. SEGUNDO PASO. y + f'..y = u + f'..u + v + f'..v - It' - f'..w. f'..y = f'..u + f'..v - f'..w. TERCElt PASO. f'..y = f'..u+ f'..v _ f'..U) f'..x I1x f'..x f'..x Ahora bien (A;-t. 24) , lm f'..u = du lm f'..v = dv lm f'..1Jj = dw 6.>:-)0 f'..x dx' 6 :1:--70 f'..x dx' 6X--70 f'..x dx . Luego, segn (1) del Artculo 16 , CUARTO PASO. dy = du +dv_ dy; . dx dx dx dJ; III d . du dv dw -(u+v-- w) = -+---.dx dx dx dx http://carlos2524.jimdo.com/ 57. REGLAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS 39 Una demostracin semejante es vlida para la suma algebraica de cualquier nmero de funciones. La derivada de la suma algebraica. de un n"lmero finito n de funciones es 1:gual a la suma algebraica de las derivadas de las funciones. 33. Derivada del producto de una constante por una funcin. Sea y = cv . Segn la regla general: PRIMER PASO SEGUNDO PASO TERCER PASO y + f1y = e (v + f1v) = cv + c/).v. f1y = cf1v f1,!/ f1v - =c - f1x /).x De donde, segn (4) del Artculo 16, CUARTO PASO IV d dv - (ev) = e-. dx dx La derivada del producto de una constante por una funcin es 1gual al producto de la constante por la derivada de la funcin . 34. Derivada del producto de dos funciones. Sea y = uv. Segn la regla general: PRIMER PASO y + f1y = (u + f1u) (v + f1v) . Efectuando la multiplicacin: SEGUNDO PASO. TERCER PASO. ?J +l1y = uv + uf1v +vf1u + f1uf1v. f1y = uf1v + vf1u + f1uf1v . i1y /10 f1u /).V -=u-+v-+/).u-. /).x /).x /).x /).x http://carlos2524.jimdo.com/ 58. 40 CALCULO DIFERENCIAL Aplicandn (2) Y (4) del Artculo 16, notando que lm l1u = O, 6X-7 0 I1v y que, por tant.o, el lmite del producto l1u I1x es cero, tenemo,;: CUARTO PASO. v dy = u dv +udu . dx dx d.l: d dv du -(uv) = u- + v-o dx dx dx T,a derivada di! un JHvdwto de dus funciones es igual al producto de la primera funcin por la derivuda de la segunda, ms el producto de {n segunda por ln dr!1'1'vadn de la prirnem . 35. Derivadadel producto de n funciones, siendo n un nmero fijo. Si se dividen am bos miembros de la fnl'mula V por x2) = !!...- (ax 4) - ~ (bX2) dx dx dx dx segn II! = a~ (x4 ) - ,~ (X2) dx dx seg n IV = 4 ax 3 - 2 bx. Segn VI a 3. Y = x% + 5. Solucin. dy = !!...- (x%) +_~ (5) dx dx dx . segn JII = %x Va . Segn VI a y * Mientras el estudiante aprende a derivar. debe recibir leccin oral de derivacin de funciones sencillas. http://carlos2524.jimdo.com/ 61. REGLAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS 43 segn IIr Seg n IV y vr a 5. y=(x2-3)~. Solucin. dy = 5 (x 2 -- 3) 4~(.X2 -)) dx dx segun VI l () = X2 - 3 y 11 = 5. J =5(x2 -3)4.2x= IOx (x 2 - 3)4 Es posible desarrollar esta funcin segn la frmula del hinomi0 de Newtoll l (3 ). Art. 11 y entonces aplicar III. etc .. pero el procedimiento aqui dado es preferible. 6. 1} = Va2 - x2 Solucin. dy =.!!... (a2 _ x2)Yo=.l (a2_ xZ ) -Yo .!!... (a Z -x2) dx dx 2 dx segn VI [() = a2 - X2 y n = l1z .1 =..!...(a2 - x 2)-Yo(-2x) =- x 2 V a2 - X2 7. y = (3 x2 +2) vi 1 +5 X2. Solucin. dI} = (3 x2+2)~ ( 1 +5 x 2 )v, + ( 1 +5 X2)Y, ~ (3 x2+2) dx dx dx segn V ..!... (1 + 5 X2) -Yo .!!... (l +'5 X2) + 2 dx + (1 + 5 x2) Y, 6 x segn VI. etc. (1 +5 x 2)-y, 5 x+6x(1 +5 x 2) y, 5x(3x2+2) ./ 5 . 45x3 +16x = V 1 + 5 X2 + 6 x v 1 + X2 = V l + 5 X2 . a2 + X2 y = . V a2 - X2 Solucin. (a 2 - X2) y, ~ (a 2 +X2) - (a 2 + x2) .!!... (a 2 - X2) y, dy = . dx dx dx a2 - X2 2 x (a 2 - x2) +x (a 2 +X2) (a 2 - X2) % segn VII [Multiplicando numerado r y denominador por (a 2 - x2L 1 3 a2x - x 3 (a2 - X2) % http://carlos2524.jimdo.com/ 62. 44 CALCULO DIFERENCIAL REGLAS PARA DER 28. y=(a+~y 29. y = X/ II +b x . ~O. s = t V a2 +t2 Comprobar cada una de las s ig u ie n t es derivadas. 10. s. (4 +3 x - 2 x3) = 3- 6 x2 dx 11. ~ (at -- 5 b(3) =5 at" - 15 bt>. dt :z(~ - z7 7 ) = Z - Z6. 31. a - x y=--. a+x a2 + x2 y=---. a2 - x2 12. 32. 15. ~vv=~elud x 2vudx' :x(~ - ;) = - ~ +~. ~(2t%-3 t%) =.2t~-2 t-~. dt 3 ~ (2 x% +4 x-X) = 2. x-X - x-X. d x 2 33. V~2 y= x 13. 14. 34. y= . . V a2 - x2 x 16. 35. r = 02V3=40., 17. 36. 18. s: ( a + bx + cx 2 ) = C _ .z . d x X x" 37. 19. V-:; 2 y=------. 2 V-:; dy __ 1__ I_ d x - _ /- + _/- .4vx xvx 38. s ~ H/2 + 3 t. "j2-3t 20. a + bt + ct2 s = ve d s a b 3 cve-=---+--+---. dt 2 t Ve 2 ve 2 39. lj = .y-:-; . 21. Y = I/-;; + _a_o vax dy a_ u dx - 2,/ax 2 xV-ax 40. Y = ~ V {/~- x2 (/ 24. F (x ) = ~ 4 - 9 x. de 1 dO = - V 1- 2O' F'(t) = -18 t(2 - 3 t2)2. 3 Hallar la derivada de cada UI 22. e=v~_ 23. F(t) = (2-3t2)3. 42. f (x) = V2x + ~3 F' (x) = 43. 2-x y = J ~- 2.2 . y= . V a2 - x2 dy x dx = 31 (a2 _ X2) 12 x 25. 44. 26. F (O) = (2 - 5 O) %. F'(O) = 3 y = . . V a - hx V~ s = 27. - 2/' (2 - 5 IJ) 15 dy=2b(a_~). dx x2 x 45. 46. http://carlos2524.jimdo.com/ 63. REGLAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS 45 28. y=(a+~t rjy = -?J>.(a + ~)2.d x x3 x2 29. y = x/ ({ + b x . d Y 2 a + 3 'X dX=2v/a+'-;; 30. s = / V a2 + /2. lis a2+2/2 di = V a2 + {2 d u 2 a d~ = - (a +;)2 31. a - x. y=-;+x a2 + x2 y = a2 - x2 dy _ 4 a2 x dx- (a2-x2)~ 32. 33. V~2 y= x ti Y u2 "d.; = - x2V ~2 + x2 dy a2 - = 3/' d x (a2 _ X2) /2 d r 6 (1 - 10 (12 liH - li 3 - 4 () dy _ d x - e 34. y = V a2 - x2 x 35. r = 02 V 3 - 4 O. ._ .. 1I -ex 36. y=j~' 1 a 2 + x 2 y = j a2 - x2 (l+ex)VI-e2x2 40. y = .!2- V {/2 - x2 (/ is : 2a2 x d.x - _ ---- . (a2 - x2) V {/4 - x" d s 4 'T:" (2+3/)% (2 -3/)%' e/y = E... dx y d!J _ /)2.' ~,:~- - lI2~1 ~ . - d u _ _ Y e/x - -:;. 37. 3R. .:.. H/2 + 3 t s-j2_3/ +3 ,VI 2 ::9 . lj -e- ...;-=-;; . ax 41. ti = (a% _.. Y lIalJla. funcin d.: f;~nr:i,n . Por ej(~fltplo, si y 2/, Y = 1 - v~ entonces y es una funcin de funcin. Eliminando v podemos expre- sar y directamente como funcin de x, pero, en genera!, este mtodo dy no es el mejor cuando deseamos hallar dx' Si y = f (v) y v = 4> (x), decimos que y es funcin de x por intermedio de v. Entonces, si damo~ a x un incremento ~x, obten- dremos para v un incremento ~v y para y un incremento correspon- diente L1y. Teniendo esto en cuenta, apliquemos la regla general de derivacin sirnultrieamente a las dos funcione:;; y = f(v) y ; = cp(x). http://carlos2524.jimdo.com/ 65. REGLAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS 47 PlUM';lt PASO. v+l1y=f(v+l1v) SEGUNDO PASO. y+l1y=f(v+l1v) y =f(v) ara el valor v+l1v=1> (X+I1X) . V+I1V= > (X+I1X) V = > (X)o/ . 540. 72' %. %. %. l1y=f(v+l1v) - f(v) l1y _f(v+l1v)-f(v) I1v - I1v I1v= > (X+I1X)-> (X) I1v > (X+I1X)-> (X) I1x- I1x TERCER PASO. Los miembros de la izquierda expresan la razn del incremento de cada funcin al incremento de la variable correspondiente, y los miembros de la derecha expresan las mismas razones en otra forma. Antes de pasar al lmite, formemos el producto de las dos razones. tomando las formas de la izquierda. Resulta: o. 20. (B) ~~ = f'(v). >'(x). = 3. l1y I1v . l1y -. - que e$ Igual a 'x. I1v I1x' , .. L = l. l1y = l1y . l1.u !1:r !1/! 11. x . = J. ( 'l' AttT') l' A~u. litnitr: . SI' obtiene : Cuando ~;: ---70, igua Imen te 11.r-7(). Paliando al dy dy dv dx = dv' dx ' tece que y da como . En este uncin de (A) Segn (2), A rt , !ti Esta igualdad puede tambin escribirse en la forma: Si y = f (v) y v = > (x) , tu derioada de y ('un respecto a x es 'igual al producto de la derivada de y con. respecto a v por la derivada de v cori respecto a x , os expre- te mtodo 39. Relacin entre las derivadas de las funciones inversas. Sea una funcin V llana como funcin de x segn la ecuacin y=f(x). de x por x, obten- orrespon- eneral de .A menudo es posible, en el caso de las funciones que se consideran en e:-;I e libro, resolver la ecuacin con respecto a x y hallar x=>(y); es decir, poclemos tambin considerar V como la variable indepeu- diente y x como la dependiente En este caso se dice que f(x) y > (y) http://carlos2524.jimdo.com/ 66. 48 CALCULO DIFER ENCIAL son funciones inversas. Cuando deseamos distinguir la una de la otra , es usual llamar funcin directa la que se di al principio, y funcn 'inversa a la segunda. As, en los ejemplos que siguen, si los segundos llliemul'Os en la primera columna se Loman como laRfunciones directas ) entonces los miembros correspondientes en la segllnda serin respeeti-- varncnf.e las funciones /;nversas. y = X2 + 1, y = aX , x= , / y-l. x = log" y. y= scnx, x = arc sen y. Ahora derivemos las funciones inversas y = f(x) y x = 1> (y) SI- multneamente segn la regla general. PHIMr,m PASO. y+~y= f(x+~x) SEGUNDO PASO. y+!y= f(x+~x) Tlc ltC~~R PASO. y = f(x) ~y= f(x+~x) - f(x) ~y f(x+~x)-f(x) ~x ~x x+ ~x=1> (y+Ay). x+!x= 1> (y-t,1y) x =1> (y) ~x =1> (y + ~y) - 1> (y). ~x _ 1>(y+ ~y) - 1>(y) ~y- ~y Multiplicando e:-;Las ra zo,nes , Lomando las formas de la izquierda, tenemos: l1y I1x - -=1 11~: l1y , ~y =- I1x ~x ' Ay CUARTO PAS. Cuando Ax-;'O, entonces, en general, tamhin [).y -;.O. Pasando al lmite, (e) (n) dy 1 dx = dx' dy 1 f'(x) = cf>/{y) segn (3), Art. Hi La derivada de la funcin inversa es igual al1'ecproco de la derivada de la funcin directa. http://carlos2524.jimdo.com/ 67. REGLAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS 49 40. Funciones implcitas. Cuando se da una relacin entre x y y por medio de una ecuacin no resuelta para y, entonces y se llama funcin implcita de x. Por ejemplo, la ecuacin (1 ) X2 - 4 Y = O define y como funcin implcita de x . Es claro que por medio de esta ecuacin x se define igualmente como funcin implcita de y. A veces es posible resolver la ecuacin que define una funcin impl- cita con respecto a una de las variables, obteniendo as una funcin explcita. As, por ejemplo, la ecuacin (1) puede resolverse con res- pecto a y, obtenindose 1 Y = -x2 , 4 donde aparece y como funcin explcita de x. En un caso dado, sin embargo I puede ocurrir que semejante resolucin sea imposible I o demasiado complicada para una aplicacin cmoda. 41. Derivacin de funciones implcitas. Cuando y se define como funcin implcita de x I puede no ser conveniente (como hemos dicho en el artculo anterior) el resolver la ecuacin para obtener y como funcin explcita de x, o x como funcin explcita de y. Entonces para calcular la derivada seguimos la siguiente regla: Derivar la ecuacin, trmino a trmino, considerando y corno funcin de X, y de la ecuacin resultante despejar ~~ . La justificacin de este mtodo se dar en el Artculo 231. En la derivada pueden sustituirse solamente los valores correspondientes de x y y que satisfacen a la ecuacin dada. Apliquemos esta regla en hallar ~; en la funcin Tendremos: d d d d - (ax6) +.- (2 X3y ) - - (y7:x;) = - (10); dx dx dx dx dy dI} 6 ax" + 2 xa - + 6 x2y - y7 - 7 xy6 ~ = O. dx dx ) (2 x3 - 7 xl;) dy = y7 - 6 ax .- 6 xly ; dx http://carlos2524.jimdo.com/ 68. 50 CALCULO DIfERENCIAL REGLAS PARA DER desneu de dyY espejan O dx' resulta: dy _ yl - 6 ax5 - 6 :J.;~y dx - 2 x3 - 7 xl El estudiante debe notar que, en general, el resultado contendr tanto u T como a y. 25. Demostrar que las par tan en ngulo recto. 26. Demostrar que las cir x2 -- y2 -1- 2 x -1- y = 10 son t 27. Bajo qu ngulo co rt: PROBLEMAS 28. Si f (x) y

(x) puede dibujarse construy a la izquierda 90 alrededor del Hallar dy para cada una de las funciones siguientes: dx PROBL 2. y = V 2 u - u2, U = x3 - X. d,y _ d x - 1. El vrtice de la parbo de la parbola es un extremo parbola y la elipse se cortan er 1. (3 x2 - 1) . 3. a - u b -- X 1I=~-- . b -- x d Y = ~4.,-::..ab=--__ d x (,,-I-lI)2 (b--X)2 2. Se traza un crculo de c o rt a en ngulo recto a la elipsey._-- a -1- (1 4. lI=VI-x2. ".J! e/x 3. Se une un punto cuale que estas rectas forman con la 5. 15 x 15 Y -1- 5 y" -1- 3 y". (~!!.= __ --=l__ d x 1 + y2 + y' 4. Demostrar que . recta f.. x = Vy -I--Y;;. dy 6 y% --- = --,-;--. il x 3 y ...I;-- 2 13. x" -1- 3 x2y -1- y~ = ('''. H. .v +- 2V--'::Y + y = (/. 15. x2 -1- aV---;';y -1- y2 = b>. 16. x4+4x3'l+y4=20. 17. ax3 - 3 b2xy -- cy3 = 1. 18. ~-I-~~ = 6. n ic am e n te si se vc r if ica que t. 'l. y2 = 2 p x . 8. x2 + y2 = ('2. 9. b2 x2 -1- a2y2 = a21>2. 10. V~+ Vy = V~. 2' 2/ 2/ 11. xl3 + yl3 = a/3 . 12. x3 - 3 axy + y3 = O. 5. Hallar la ecuacin de la cualquiera. Demostrar que la > dividida en la razn m por el n 6. Si k es la pe n dren .e de demostrar que su ecuacin es y de los puntos de interseccin d ecuacin x2 -1- y2 = a2 - b2. Hallar la pendiente de cada una de las siguientes curvas en el punto dado. 19. x2 + xy -1- 2 y2 = 28; (2, 3) . Sol. - );:1. 20. x3 - 3 x q? -1- y3 = 1 ; (2, -1) . ~t. 21. V2x + ../'3Y = 5; (2, 3) . 22. x2-2Vxy- 'l2 = 52 ; (8, 2) . 23. x3 - ax q + 3 Cl9:!. = 3 a3 ; (a, a) . 21, x2 - x'V xy - 2 'l2 = (,; (4, 1) . http://carlos2524.jimdo.com/ 69. REGLAS PARA D ERIVAR FU N CIONE S ALGEBRA ICAS 5 1 25. Demostrar que las parabolas y2 = 2 p x + p2 Y y 2 = p2 - 2 px se cor'- tan en ngulo recto. 26. Demostrar que las circu nferencias X2 + y 2 - 12 x - 6 y + 25 = O y X2 + y2 + 2 x + y = 10 son tangentes en el punto (2, 1). 27. Bajoqu ngulo corta la recta y =2x alacurvax2 -x y+2 y2=28? 28. Si f (x) y '" (y) son funciones in ve rs as, demostrar que la grfica de '" (x) puede dibujarse construyendo la grfica de -f (x) y haciendo girar sta a la izquierda 90 alrededor del origen. PROBLEMAS ADICIONALES 1. El vrtice de la parbola y2 = 2 px es el centro de una elipse. El foco de la parbola es un extremo de uno de los ejes principales de la elipse, y la parbola y la elipse se cortan en ngulo recto. Hallar la ecuacin de la elipse. Sol. 4X2+2y2=p2. 2. Se tra za un circulo de centro (2 a . O) con un radio tal que el crculo COrla en ngulo recto a la elipse 1> 2 x 2 + a2 y 2 a2 b 2 Hallar el radio. Sol. 3 . Se un e un punto cualquiera P de una elip se con los focos. Demostrar que es tas rectas fo rman con la nor mal a la curva en P ngul os ag udos iguales. 4. D emost ra r qu e l.1 re cta Bx + Ay = AH es tangente a la elipse ni ca mente si se verifica que IF,, 2 + .tP'2 = A2/F. 5 . Hallar la Hitacin de la tangente a la curva xmyll = um+1l en un punto cua lquiera. Demostrar que la parte de tangente comprendida entre los ejes queda di vidida en la ra z n m por el p unto de contacto. n Sol. mYI (x - XI) + nx (y -YI) = o. 6. Si k es la pendlerLe de una tangente a la hiprbola b2 x2 - a2 y2 = u 2b 2., demostrar que su ecuacin es y = kx V a2 k 2 - b 2 , y que el lugar geomtrico de los puntos de interseccin de las tangentes perpendiculares est dado por la ecuacin X2 + y2 = a 2 - b2. http://carlos2524.jimdo.com/ 70. CAPITULO V APLICACIONES DE LA DERIVADA 42. Direccin de una curva. Se ha demostrado en el Articulo 28 que si y = f(x) es la ecuacin de una curva (fig. 8), entonces :~ = pendiente de la tangente a la curva en P (x, y). y B x A F ig .8 Fig.9 La direccin de una curva en cualquier punto se define como la direccin de la tangente a la curva en este punto. Sea T = inclinacin dE' la tangente. Entonces la pendiente = tg T, Y :: = tg T = pendiente de la curva en cualquier punto P (x, y). En los puntos como D, F, H, donde la direccin de la curva es paralela al eje de las x y la tangente es horizontal, se tiene dy T = O; luego dx = O. http://carlos2524.jimdo.com/ 71. APLICACIONES DE LA DERIVADA 53 En los puntos como A, B, G, donde la direccin de la curva es perpendicular al eje de las x y la tangente es vertical, se t.iene 7" = 90 ; luego ~~ se hace infinita. EJ EM PLO 1. x 3 Dada la curva y = - - X2 + 2 (fig. 9). hallar: 3 a) La inclinacin. cuando x = l. b ) El ngulo. cuando x = 3. c) Los puntos donde la direccin de la curva es paralela a OX. d) Los puntos donde T = 45. e) Los puntos donde la direccin de la curva es paralela a la recta 2:< - 3 Y = 6 (recta AB). Solucin. D erivando . dy = X2 - 2 x = tg " dx a) Cuando x = 1. tg' = 1 - 2 = - 1; luego" = 135. b) Cuando x = 3. tg T = 9 - 6 = 3; luego. = 71 34'. c) Cuando .=0. tg.=O: luego x2 -2x=0. Resolviendo esta ec uacin. obtenemos x = O 2. Sustituyendo estos valores en la ecu,lcin 2 de la curva. hallamos y = 2 cuando x = O. y = 3" cuando x = 2. Por tanto . las tangentes en e(o. 2) y D(2 . +) son paralelas al eje OX. d ) Cu.lno T = 45" . tg e = l. luego :