CÁLCULO VECTORIAL

TEMA 6

CURVAS PARAMÉTRICAS

En estas notas estudiaremos el objeto matemático llamado curva. Éste es un término quehemos oído muchas veces, seguramente, pues se trata de un objeto geométrico muy útilpara describir muchos fenómenos físicos. Podemos pensar, por ejemplo, en una defini-ción vaga de curva como una línea que podemos dibujar sobre el papel, y sin levantar el lápiz.Ahora, uno puede tener cierta vena artística y dibujar este trazo de manera suave, es de-cir, que la curva en el papel no presente roturas o picos. Esto último es más cercano a loque queremos como concepto de curva en este curso de cálculo vectorial. Esto no es deextrañar porque sabemos que, matemáticamente hablando, la suavidad tiene que ver conel concepto de diferencial.

Para nosotros una curva será simplemente un campo vectorial que va de un intervalo aRn (normalmente con n = 2 o n = 3). Dentro de todos los campos que podemos imaginarcon este dominio y rango, nos interesarán aquéllos de clase C1 y con diferencial no nuloen cualquier valor del intervalo dominio. Este tipo de curvas se conocen como regulares,y a pesar de ser un concepto muy simple (al menos es su presentación), tiene una seriede aplicaciones físicas muy llamativas. Por ejemplo, se puede modelar el movimientode una partícula en el plano o el espacio mediante una curva regular, que da la posiciónde dicha partícula en cada instante de tiempo. La velocidad instantánea y aceleraciónde esta párticula se pueden obtener diferenciando una y dos veces, respectivamente, a lacurva regular que describe su posición. Además de conceptos asociados a cinemática, lascurvas regulares son piezas fundamentales en el modelado de otros fenómenos físicos enel campo de la mecánica, como por ejemplo el trabajo realizado por una fuerza sobre unobjeto a lo largo de una trayectoria (que se expresa como una integral de línea sobre lacurva que describe tal trayectoria).

1

6.1 Curvas paramétricas

Comenzamos presentando los conceptos de curva paramétrica y curva regular, acom-pañados de varios ejemplos.

Definición 6.1.1. Un camino, curva paramétrica o trayectoria es un campo vectorial α : I ⊆R→ Rn, donde I = [a, b] es un intervalo.1 Una curva paramétrica α es:

• Continua si el campo vectorial α : I → Rn es continuo en I .• Diferenciable si el campo vectorial α : I → Rn es diferenciable en I .• De clase C1 si el campo vectorial α : I → Rn es de clase C1 en I .• Regular si α es de clase C1 y si α′(t) 6= 0 para todo t ∈ I .

La variable t se conoce como parámetro de α, y a la expresión que define α(t) se le conoce comoparametrización. La traza de α es el conjunto de puntos de Rn dado por {α(t) : t ∈ I}.

Dada una curva regular α : I → Rn, el vector α′(t) se denomina vector tangente o vector develocidad instantánea (en términos físicos). La rapidez instantánea se define como el escalar||α′(t)||. Si α es dos veces diferenciable, entonces el vector α′′(t) se denomina vector de acele-ración instantánea.

Figura 6.1: Representación gráfica de una curva regular en R3.

Observación 6.1.2.

1. Una curva paramétrica α : I → Rn puede escribirse como

α(t) = (α1(t), α2(t), . . . , αn(t)).

Entonces, α es continua, diferenciable o de clase C1 si, y solo si, cada función αk lo es.

1También se puede permitir I = (−∞, b], I = [a,+∞) o I = (−∞,∞).

2

2. En caso de ser α diferenciable, el vector de velocidad y la rapidez vienen dados por

α′(t) = (α′1(t), α′2(t), . . . , α′n(t)) y ||α′(t)|| =√

(α′1(t))2 + (α′2(t))2 + · · ·+ (α′n(t))2.

En caso de ser α dos veces diferenciable, tenemos también el vector de aceleración:

α′′(t) = (α′′1(t), α′′2(t), . . . , α′′n(t)).

Vamos a definir a continuación otros atributos de las curvas, con un sentido más geomé-trico que físico.

Definición 6.1.3. Una curva C se dice que es:

1. Simple si admite una parametrización de clase C1 e inyectiva.2. Cerrada si admite una parametrización α : [a, b]→ Rn de clase C1 tal que α(a) = α(b).3. Cerrada simple si admite una parametrización α : [a, b] → Rn de clase C1, inyectiva en

[a, b), y tal que α(a) = α(b).

Ejemplo 6.1.4.

1. Rectas: Dados un punto (x0, y0, z0) en el espacio y un vector (v1, v2, v3) de dirección, larecta tangente que pasa por (x0, y0, z0) y de dirección (v1, v2, v3) es una curva paramétrica,con parametrización α : R→ R3 dada por

α(t) = t(v1, v2, v3) + (x0, y0, z0) = (tv1 + x0, tv2 + y0, tv3 + z0).

Esta curva es claramente diferenciable y de clase C1, y su velocidad instantánea viene dadapor α′(t) = (v1, v2, v3). Luego, α también es una curva regular, pues todo vector de direc-ción es diferente de 0. Además, α es claramente simple y no cerrada.

2. Circunferencia unitaria: Para la circunferencia unitaria S1 en el plano R2 (es decir, decentro (0, 0) y radio 1), podemos dar la parametrización α : [0, 2π]→ R2 definida por

α(t) = (cos(t), sin(t)).

Ésta es una curva regular cerrada simple. Primero, las componentes de α son claramentefunciones de clase C1. Además, α es inyectiva en [0, 2π) por propiedades de las funcionesseno y coseno. También es fácil notar que α(0) = α(2π). El vector de velocidad instantáneaestá dado por α′(t) = (− sin(t), cos(t)), que es distinto de 0 para todo t ∈ [0, 2π].

Una parametrización dada para una curva no tiene por qué ser única. Para S1 tambiénpodemos dar la parametrización β : [0, π]→ R2 definida por

β(t) = (cos(2t), sin(2t)).

3

Ambas parametrizaciones tienen la misma traza, a saber, S1. La diferencia es que β recorreS1 al doble de rapidez que α. Note que para todo punto (x, y) ∈ S1 cuyo ángulo con el eje Xpositivo es θ, se tiene que (x, y) = α(θ) = β(θ/2).

Figura 6.2: Representación gráfica de S1 con la parametrización α.

3. Hélice: La curva α : R→ R3 dada por

α(s) = (a cos(s), a sin(s), bs),

con a, b ∈ R − {0}, se denomina hélice contenida en el cilindro x2 + y2 = a2. Ésta esuna curva de clase C1, no cerrada, simple, con vector de velocidad instantánea α′(s) =(−a sin(s), a cos(s), b) no nulo para cualquier s ∈ R (por lo cual la curva es regular).

Figura 6.3: Representación gráfica de la hélice con parametrización α.

4. Cúspide: Sea α : R → R2 la curva dada por α(t) = (t3, t2). La traza de α está dada por elconjunto de puntos (x, y) tales que y3−x2 = 0. Para esta curva, se tiene α′(0) = (0, 0), porlo que no es regular. Note que no puede definirse un vector tangente a α en (0, 0). Por otrolado, la curva es simple, no cerrada, y de clase C1.

4

Figura 6.4: Representación gráfica de la cúspide con parametrización α.

5. Lazo: Sea α : R → R2 la curva dada por α(t) = (t3 − 4t, t2 − 4). Note que α(−2) =α(2) = (0, 0). Esta curva es regular, no cerrada y no simple. Para ver la regularidad, noteque α′(t) = (3t2 − 4, 2t), por lo que α′(t) = (0, 0) si, y solo si, 3t2 = 4 y t = 0, lo cual esuna contradicción.

Figura 6.5: Representación gráfica del lazo con parametrización α.

Las curvas regulares serán el tipo de curvas que nos enfocaremos en estudiar. El hechode que una curva con parametrización α : I → Rn sea regular, nos permite definir encada punto de la misma la recta tangente a la curva y que pasa por dicho punto. En otraspalabras, para toda curva regularα se puede construir un campo vectorial llamado campotangente sobre α. En efecto, si α′(t0) 6= 0 para t0 ∈ I , se define la recta tangente Lα(t0)

sobre cada punto α(t0), parametrizada por

Lα(t0)(s) = s ·α′(t0) +α(t0), con s ∈ R.

La importancia de poder definir el campo tangente sobre una curva tiene que ver con elestudio de sus propiedades locales. A partir de este momento, empezaremos el estudio dereparametrizaciones de curvas regulares, para luego poder entender cómo reparametrizar

5

una curva por longitud de arco, es decir, hallar una parametrización cuya rapidez sea cons-tantemente igual a 1. Si trabajamos con una curva regular parametrizada por longitud dearco, podemos definir conceptos como la curvatura, la cual mide qué tanto se pega unacurva a su recta tangente en cada uno de sus puntos. También estudiaremos propiedadeslocales a partir de una terna de vectores conocida como el Triedro de Frenet, del cual elvector tangente forma parte.

Figura 6.6: Campo tangente sobre α.

Definición 6.1.5. Dada una curva C con parametrizaciónα : I → R, se define el versor tangentea C en α(t0), en caso de que exista, como el vector unitario

t(t0) :=α′(t0)

||α′(t0)||.

Toda curva regular tiene versor tangente en cada uno de sus puntos. Este vector t(t0) mide ladirección de la recta tangente Lα(t0)(s).

Ejemplo 6.1.6. Una partícula se mueve en el espacio, a lo largo de una trayectoria C con parametri-zación

α(t) = (et, e−t, cos(πt)),

donde t ≥ 0. En el instante t = 1, la partícula de “libera” de la trayectoria, y sigue su recorrido alo largo de la recta tangente a C en el punto α(1). ¿Qué posición tiene la partícula en t = 3?

Lo primero que hacemos es calcular la tangente a C en el punto α(1) = (e, e−1,−1). En general,tenemos que α′(t) = (et,−e−t,−π sin(πt)), de donde α′(1) = (e,−e−1, 0). Entonces,

Lα(1)(s) = s

(e,−1

e, 0

)+

(e,

1

e,−1

)=

(e(1 + s),

1− se

,−1

).

Note que el instante t = 1 corresponde a s = 0, ya que Lα(1)(0) = α(1). Entonces, la posición dela partícula en t = 3 se calcula mendiante Lα(1)(2) = (3e,−1/e,−1).

6

Otra manera de pensar lo anterior es reparametrizar la recta Lα(1) en función de cómo estamosmidiendo el tiempo, de decir, hallar una parametrización para Tα(1) tal que Tα(1)(1) = α(1). Eneste caso, la reparametrización es fácil de notar:

Tα(1)(t) = (t− 1)

(e,−1

e, 0

)+

(e,

1

e,−1

).

Vemos que Tα(1)(1) = α(1) y que Tα(1)(3) = 2(e,−1/e, 0) + (e, 1/e,−1) = (3e,−1/e,−1).

6.2 Reparametrizaciones

Ya hemos asomado el concepto de reparametrización un par de veces en la sección ante-rior. Por ejemplo, vimos que a la circunferencia unitaria S1 se le puede dar más de unaparametrización. En el último ejemplo, le dimos a la recta tangente a C en el punto α(1)dos parametrizaciones distintas, una mejor que la otra según la función que queramosdarle. En ambos casos, consideradas dos parametrizaciones α y β de una misma curva C,se puede ver que existe una función ϕ : J → I tal que β = α ◦ ϕ.

Muchas veces nos va a interesar, dada una curva con una parametrización, reparametrizar-la por longitud de arco. Para entender cómo hacer esto último en la siguiente sección,veamos primero qué significa formalmente reparametrizar.

Definición 6.2.1. Sea C una curva con parametrización α : I → Rn. Una reparametrizaciónde α es un campo vectorial β : J → Rn tal que β = α ◦ ϕ, donde ϕ : J → I es un difeomorfismode intervalos llamado cambio de parámetros, es decir, ϕ es una función biyectiva derivable coninversa derivable. La reparametrización β se dice creciente o positiva (resp., decreciente onegativa) si ϕ′(s) > 0 (resp., ϕ′(s) < 0) para todo s ∈ J .

Proposición 6.2.2. Sea C una curva con parametrización α : I → Rn, y sea β : J → Rn unareparametrización de α creciente o decreciente. Entonces, α es regular si, y solo si, β es regular.

Demostración: Analicemos solo el caso donde la reparametrización es creciente (el otrocaso es análogo). Se debe probar que α′(t) 6= 0 para todo t ∈ I si, y solo si, β′(s) 6= 0para todo s ∈ J . Como β es una reparamentrización creciente de α, existe un difeomor-fismo ϕ : J → I tal queβ(s) = α(ϕ(s)), para todo s ∈ J , y tal que ϕ′(s) > 0 para todo s ∈ J .

Por un lado, si α′(t) 6= 0 para todo t ∈ I , entonces claramente α′(ϕ(s)) 6= 0 para todos ∈ J . Por otro lado, usando la regla de la cadena, tenemos que

β′(s) = (α(ϕ(s)))′ = α′(ϕ(s)) · ϕ′(s),

donde ϕ′(s) > 0. Entonces, β′(s) 6= 0.

7

Ahora supongamos que β′(s) 6= 0 para todo s ∈ J . Queremos ver que α′(t) 6= 0 paratodo t ∈ I . Usando el difeomorfismo ϕ, podemos notar que β ◦ ϕ−1(t) = α(t). El restode la prueba se sigue como en el párrafo anterior, y teniendo en cuenta que (ϕ−1)′(t) =1/ϕ′(ϕ−1(t)) > 0.

Observación 6.2.3.

1. De la demostración de la proposición anterior, podemos notar que siβ es una reparametrizacióncreciente (resp., decreciente) de α si, y solo si, α es una reparametrización creciente (resp.,decreciente) de β.

2. En la proposición anterior, la condición de que la reparametrización sea creciente o decre-ciente es suficiente para garantizar la regularidad. Sin embargo, dada una curva C, puedeocurrir que C sea traza de dos parametrizaciones, donde una de ellas sea regular y la otra no.

Por ejemplo, consideremos la curva C en R2 dada por la parábola y = x2, junto con lasparametrizaciones α,β : R→ R2 dadas por

α(t) = (t, t2), para t ∈ R,β(s) = (s3, s6), para s ∈ R.

La parametrización α(t) es regular, mientras que β(s) no. En efecto, notamos que α′(t) =(1, 2t) 6= (0, 0) para todo t ∈ R. Sin embargo, β′(s) = (3s2, 6s5) y β′(0) = (0, 0). Podemosnotar además que β es una reparametrización de α, ya que

β(s) = (s3, s6) = (s3, (s3)2) = α(ϕ(s)) donde ϕ(s) = s3.

Para el cambio de parámetro ϕ(s) tenemos que ϕ′(s) = 3s2, y ϕ′(0) = 0. Entonces, ϕ no escreciente ni decreciente.

3. Sea C una curva con parametrización regular α : I → Rn, y con una reparametrizaciónβ : J → Rn. Si β es creciente (y por tanto regular), entonces β preserva la orientación de Cdada por α. Recuerde que tal orientación viene dada por el versor

tα(t) =α′(t)

||α′(t)||.

Por otro lado, como β′(s) = α′(ϕ(s)) · ϕ′(s), se tiene que

tβ(s) =α′(ϕ(s)) · ϕ′(s)||α′(ϕ(s)) · ϕ′(s)||

=α′(ϕ(s)) · ϕ′(s)||α′(ϕ(s))|||ϕ′(s)|

=α′(ϕ(s)) · ϕ′(s)||α′(ϕ(s))||ϕ′(s)

=α′(ϕ(s))

||α′(ϕ(s))||,

de donde tα(ϕ(s)) y tβ(s) tienen el mismo sentido (de hecho, son iguales).

8

Ejemplo 6.2.4.

1. Consideremos de nuevo el ejemplo de la circunferencia unitaria S1, para la que teniamos dosparametrizaciones α : [0, 2π] → R2 y β : [0, π] → R2 dadas por α(t) = (cos(t), sin(t)) yβ(s) = (cos(2s), sin(2s)). Podemos notar que

β(s) = α(ϕ(s)),

donde ϕ : [0, π]→ [0, 2π] es el difeomorfismo dado por ϕ(s) = 2s, y representa un cambio deparámetros creciente, por lo que α y β recorren S1 en el mismo sentido.

2. Del Ejemplo 6.1.6, recordemos que en el puntoα(1) = (e, e−1,−1) tenemos la recta tangentedada por dos parametrizaciones

Lα(1)(s) =

(e(1 + s),

1− se

,−1

)y Tα(1)(t) =

(et,

2− te

,−1

).

Es posible hallar un cambio de parámetros ϕ : R → R tal que Lα(1)(s) = Tα(1)(ϕ(s)). Eneste caso, es fácil notar que ϕ(s) = s+ 1.

3. Cambio de sentido: Dada una curva C con parametrizaciónα : [a, b]→ Rn, la reparametri-zación β : [−b,−a]→ Rn dada por β(s) = α(−s) recorre a C en sentido contrario aα. Noteque β′(s) = −α′(−s)ϕ′(s) = −α′(t), siendo t = −s. Dado s0 ∈ [−b,−a] arbitrario, laigualdad β′(s0) = −α′(t0) significa que, en el puntoα(t0) = β(s0) de C, los vectores β′(s0)y −α′(t0) apuntan en direcciones contrarias.

Dada una curva paramétrica C, queremos hallar de entre todas las parametrizaciones deC aquélla que sea mejor para el estudio de sus propiedades geométricas locales. Estaparametrización será la llamada parametrización de longitud de arco. Bajo ciertas condi-ciones sobre C, se puede probar que tal parametrización mejor existe. Para ser capaces deprobar esto, es necesario primero formalizar algunos conceptos.

Definición 6.2.5. Sean α : I → Rn y β : J → Rn dos parametrizaciones de una curva C. Dire-mos que α y β son equivalentes si una es reparametrización de la otra.

La elección del término anterior no es casualidad. En efecto, se puede probar que larelación de ser equivalentes entre parametrizaciones es una relación de equivalencia. Siβ es reparametrización de α, usaremos la notación α ∼ β.

Proposición 6.2.6. Sea C una curva paramétrica y∼ la relación anterior definida para parametriza-ciones de C. Entonces, ∼ es una relación de equivalencia, es decir, que las siguientes propiedades secumplen:

9

1. ∼ es reflexiva: α ∼ α, para toda parametrización α : I → Rn de C.2. ∼ es simétrica: si α : I → Rn y β : J → Rn son parametrizaciones de Rn tales que α ∼ β,

entones β ∼ α.3. ∼ es transitiva: si α : I → Rn, β : J → Rn y γ : L→ Rn son parametrizaciones de C tales

que α ∼ β y β ∼ γ, entonces α ∼ γ.

Demostración:

1. Es suficiente con darse cuenta que α(t) = α ◦ ϕ(t), donde ϕ : I → I es la identidadsobre I (el cual claramente es un difeomorfismo de intervalos).

2. Supongamos que α ∼ β, es decir, que existe un cambio de parámetros ϕ : J → I talque β(s) = α ◦ ϕ(s), para todo s ∈ J . Al ser ϕ un difeomorfismo de intervalos, esinvertible, derivable y con inversa derivable, por lo que ψ : I → J dado por ψ(t) =ϕ−1(t), para todo t ∈ I , es también un difeomorfismo de intervalos. Además, es claroque α(t) = β ◦ ψ(t). Por lo tanto, β ∼ α.

3. Supongamos que α ∼ β y β ∼ γ, es decir, que existen cambios de pamámetrosϕ : J → I y ψ : L → J tales que β(s) = α ◦ ϕ(s) y γ(l) = β ◦ ψ(l) para todo s ∈ J yl ∈ L, respectivamente. Es claro que ϕ◦ψ : L→ I es un difeomorfismo de intervalos,y que γ(l) = β(ψ(l)) = α(ϕ(ψ(s))) = α ◦ (ϕ ◦ ψ)(l), para todo l ∈ L. Por lo tanto,α ∼ γ.

No todas las parametrizaciones de una curva son equivalentes entre sí. Sin embargo, bajociertas condiciones es posible garantizar la equivalencia entre cualesquiera parametriza-ciones regulares de una curva. Esto está expresado en el siguiente resultado, que dejare-mos sin demostrar.

Proposición 6.2.7. Sea C una curva paramétrica. Las siguientes afirmaciones se cumplen:

1. Si C es simple y regular, es decir, que admite una parametrización inyectiva y regular, en-tonces todas las parametrizaciones regulares de C son inyectivas y equivalentes.

2. Si C es cerrada simple y regular, y siα : [a, b]→ Rn y β : [c, d]→ Rn son parametrizacionesregulares de C, tales que α(a) = α(b), β(c) = β(d), y α|[a,b) y β|[c,d) son inyectivas, en-tonces α ∼ β.

Observación 6.2.8. Si C es una curva como en la proposición anterior, supongamos que α : I →Rn es una parametrización regular de C, que recorre C es un sentido el cual fijamos como positivo.Entonces, como toda parametrización regular β de C es reparametrización de α, se tiene que βrecorre a C en el mismo sentido que α (orientación positiva), o en sentido opuesto a α (orientaciónnegativa). Claro está que tal sentido positivo o negativo depende del sentido fijado a α desde elprincipio. En algunos casos pueden haber convenciones, como por ejemplo cuando se tiene unacurva cerrada simple C en R2. En este caso, suele decirse que una parametrización de C tieneorientación positiva si recorre a C en sentido anti-horario (contrario a las agujas del reloj).

10

6.3 Parametrización por longitud de arco

En esta sección estudiaremos qué significa que una curva esté parametrizada por longi-tud de arco, y demostraremos que bajo ciertas condiciones sobre una curva C, es posibleconstruir tales parametrizaciones para C. La importancia de las parametrizaciones porlongitud de arco la empezaremos a apreciar en las secciones posteriores.

Definición 6.3.1. Sea α : I → Rn una parametrización regular de una curva C. Se dice que αestá parametrizada por longitud de arco si ||α′(t)|| = 1 para todo t ∈ I .

El término anterior resulta algo extraño la primera vez que se lee. ¿Qué tiene que verel concepto de longitud con ||α′(t)|| = 1? Ni siquiera sabemos qué significa longitudal referirnos a una curva. A continuación nos enfocaremos a responder esta pregunta.Primero, debemos definir el concepto de longitud de una curva, para poder entender quétiene que ver con la rapidez instantánea de una parametrización dada.

Sea α : I → Rn una parametrización de clase C1 de una curva C. Consideremos unapartición de I = [a, b] dada por a = t0 < t1 < · · · < tn−1 < tn = b.

Figura 6.7: Aproximando la longitud de una curva.

Denotaremos por l la longitud de α entre α(a) y α(b). Tenemos

l ≈n∑i=1

||α(ti)−α(ti−1)||.

Por el teorema del valor medio para campos vectoriales R→ R3, se tiene que

||α(ti)−α(ti−1)|| ≤ ||α′(ζi)||(ti − ti−1),

para algún ζi ∈ (ti−1, ti) y para cada i. Entonces, para ti−1 y ti suficientemente cercanos,

11

nos queda ||α(ti)−α(ti−1)|| ≈ ||α′(ζi)||(ti − ti−1), y así

l ≈n∑i=1

||α′(ζi)||(ti − ti−1).

Tomando el límite de∑n

i=1 ||α′(ζi)||(ti − ti−1) cuando n→∞, tenemos que la integral

l =

∫ b

a

||α′(t)||dt

define la longitud de arco de α entre α(a) y α(b), la cual denotaremos por Lba(α). Coneste cálculo, se define además la función longitud de arco L : I → [0,+∞) dada por

L(t) =

∫ t

a

||α′(u)||du,

para algún a ∈ I fijo. Si α(t) = (x(t), y(t), z(t)), entonces L(t) viene dada por

L(t) =

∫ t

a

√(x′(u))2 + (y′(u))2 + (z′(u))2du.

La longitud de arco es un invariante geométrico, es decir, no depende de la parametrizaciónescogida para la curva. Formalmente, tenemos el siguiente resultado.

Proposición 6.3.2. Sea C una curva parametrizable con una parametrización α : [a, b] → Rn declase C1, y sea β : [c, d]→ Rn una reparametrización de α de clase C1. Entonces,

Lba(α) = Ldc(β).

Demostración: Sea ϕ : J → I un cambio de parámetros tal que β(s) = α(ϕ(s)), para todos ∈ [c, d]. El resultado se sigue del teorema de cambio de variables para integrales. Enefecto, tenemos que

Ldc(β) =

∫ d

c

||β′(s)||ds =

∫ d

c

||(α(ϕ(s)))′||ds =

∫ d

c

||α′(ϕ(s))ϕ′(s)||ds.

Haciendo t = ϕ(s), se tiene que dt = ϕ′(s)ds, a = ϕ(c) y b = ϕ(d) (aunque también puedeocurrir que a = ϕ(d) y b = ϕ(c), pero este caso se analiza de forma análoga). Entonces:

Ldc(β) =

∫ d

c

||α′(ϕ(s))ϕ′(s)||ds =

∫ b

a

||α′(t)||dt = Lba(α).

En vista del resultado anterior, tenemos la siguiente definición.

12

Definición 6.3.3. Sea C una curva que admite una parametrización α : [a, b] → Rn de clase C1.Se define la longitud de arco de C como el valor

L(C) := Lba(α).

Ejemplo 6.3.4. Consideremos la parametrización del círculo unitario S1 dada por

α(t) = (cos(t), sin(t)),

con t ∈ [0, 2π]. Tenemos α′(t) = (− sin(t), cos(t)), ||α′(t)|| = 1 y por ende

L(S1) =

∫ 2π

0

dt = 2π.

Aunque sabemos que el cálculo anterior no depende de la parametrización tomada para S1, conside-remos también β : [0, π]→ R2 dada por

β(s) = (cos(2s), sin(2s)).

Tenemos que β′(s) = (−2 sin(2s), 2 cos(2s)) y ||β′(s)|| = 2. Luego, Lπ0 (β) =∫ π

02ds = 2π.

Observación 6.3.5. Podemos notar del ejemplo anterior que siα : [a, b]→ Rn es una parametrizaciónde una curva C por longitud de arco, entonces

L(C) = Lba(α) =

∫ b

a

||α′(t)||dt =

∫ b

a

dt = b− a.

En otras palabras, si C es una curva parametrizable por longitud de arco, y α como antes, entonces

L(t) =

∫ t

a

||α′(s)||ds =

∫ t

a

ds = t− a.

Entonces, la función de longitud sobre una curva C parametrizable por longitud de arco es unatraslación de la función identidad.

Teorema 6.3.6. Si C es una curva con parametrización regular α : [a, b] → Rn, entonces existeuna reparametrización β : [0, L(C)]→ Rn de α por longitud de arco.

Demostración: Por definición, L(t) =∫ ta||α′(u)||du. Note que L(t) es estrictamente cre-

ciente porque ||α′(u)|| > 0 para todo s ∈ [a, b], por lo cual L es biyectiva. Más aún, por elTeorema Fundamental del Cálculo, L′(t) = ||α′(t)|| > 0 para todo t ∈ [a, b]. Por lo tanto,L : [a, b]→ [0, L(C)] es un difeomorfismo. Definimos β : [0, L(C)]→ Rn como

β(s) = (α ◦ L−1)(s),

13

para todo s ∈ [0, L(C)], de donde es claro que β es una reparametrización de α. Ahoraveamos que β está parametrizada por longitud de arco:

β′(s) = (α ◦ L−1)′(s) = α′(L−1(s)) · (L−1)′(s) =α′(L−1(s))

L′(L−1(s))=

α′(L−1(s))

||α′(L−1(s))||,

||β′(s)|| =∣∣∣∣∣∣∣∣ α′(L−1(s))

||α′(L−1(s))||

∣∣∣∣∣∣∣∣ =||α′(L−1(s))||||α′(L−1(s))||

= 1.

Ejemplo 6.3.7.

1. Sea C la circunferencia en el plano R2 de centro (0, 0) y radio r > 0, y sea α : [0, 2π] → R2

la parametrizaciónα(t) = (r cos(t), r sin(t)).

Queremos reparametrizar C por longitud de arco, que sabemos que es posible al serα regular.Tenemos que α′(t) = (−r sin(t), r cos(t)) y ||α′(t)|| = r. Luego, la función longitud de arcode C viene dada por

L(t) = rt

para todo t ∈ [0, 2π]. Tenemos además L(C) = 2πr. Entonces, L−1 : [0, 2πr]→ [0, 2π] vienedada por

L−1(s) =s

r.

Tenemos entonces que la reparametrización β : [0, 2πr] → R2 de α por longitud de arcoviene dada por

β(s) = α(L−1(s)) = α(sr

)=(r cos

(sr

), r sin

(sr

)),

para todo s ∈ [0, 2πr]. Se puede verificar que ||β′(s)|| = 1 para comprobar que la reparametrizaciónpor longitud de arco es correcta.

2. Sea C la hélice con parametrización α : R→ R3 dada por

α(t) = (a cos(t), a sin(t), bt)

donde a, b > 0. Sabemos que α es una parametrización regular de C, por lo que es posi-ble reparametrizar por longitud de arco. El problema es cómo aplicamos el procedimientomostrado en la prueba del Teorema 6.3.6 cuando tenemos α cuyo dominio no es un intervaloacotado. Para este caso también se puede definir la función longitud de arco L(t) mediante

L(t) =

∫ t

0

||α′(t)||dt =

∫ t

0

||(−a sin(t), a cos(t), b)||dt =

∫ t

0

√a2 + b2dt = t

√a2 + b2.

14

Entonces, L−1(s) viene dada por

L−1(s) =s√

a2 + b2.

Por lo tanto, la reparametrización de α por longitud de arco, a la que llamamos β : R→ R3,viene dada por

β(s) = α◦L−1(s) = α

(s√

a2 + b2

)=

(a cos

(s√

a2 + b2

), a sin

(s√

a2 + b2

),

bs√a2 + b2

).

Para β(s) es fácil verificar que ||β′(s)|| = 1.

6.4 Teoría local de curvas parametrizadas por longitud dearco

Sabiendo qué significa que una curva esté parametrizada por longitud de arco, estamospreparados para definir una serie de conceptos que nos permiten estudiar cómo se com-porta una curva localmente. Por ejemplo, al ser las curvas objetos geométricos, podemosestudiar alrededor de un punto x0 en una curva C qué tanto se pega C a la recta tangenteque pasa por x0. Esto se puede calcular mediante el concepto de curvatura, que tam-bién nos permite determinar, por ejemplo, si una curva o parte de ella está contenida enuna recta. Siguiendo esta línea, también nos podemos preguntar si una curva está con-tenida dentro de un plano. Para esto necesitaremos el concepto de torsión. La curvaturay torsión de una curva en un punto están además relacionados a una terna de vectoresconocida como el triedro de Frenet, formado por el versor tangente, el versor normal y elversor binormal. A partir de propiedades de este triedro se pueden calcular la curvaturay torsión.

Sea α : I → Rn una curva regular. En el caso que α no satisface ||α′(t)|| ≡ 1, ¿qué mide||α′(t)||? Físicamente, ||α′(t)|| representa la rapidez instantánea de α. ¿Qué mide ||α′′(t)||cuando ||α′(t)|| = 1? ¿Qué tanto se despega α(t) de su vector tangente α′(t)? Pasemos aresponder estas preguntas.

Definición 6.4.1. Sea una curva C parametrizada por longitud de arco por β : J → Rn y de claseC2. Se define la curvatura de C en el punto β(s) como el valor

k(s) := ||β′′(s)|| = ||t′(s)||.

En otras palabras, como

k(s0) =

∣∣∣∣∣∣∣∣ lim∆s→0

t′(∆s+ s0)− t′(s0)

∆s

∣∣∣∣∣∣∣∣ ,15

tenemos que k(s0) mide el cambio de dirección del verson tangente. Si ese cambio es muyrápido lo que ocurre, intuitivamente hablando, es que la curva en el punto β(s0) se de-spega mucho de la recta tangente que pasa por β(s0).

Ejemplo 6.4.2.

1. Consideremos la parametrización β : R → R3 de la recta C en R3 de dirección v y que pasapor x0, donde v es unitario. Entonces,

β(s) = vs+ x0,

con s ∈ R, es una parametrización por longitud de arco. Además, β′(s) = v y β′′(s) = 0.Por lo tanto, las rectas tienen curvatura cero. De hecho, ocurre que cualquier curva concurvatura cero en todos sus puntos tiene que estar contenida en una recta, como probaremosmás adelante.

2. Sea C la circunferencia de centro (0, 0) y radio r, con parametrización β : [0, 2πr]→ R2 porlongitud de arco dada por

β(s) =(r cos

(sr

), r sin

(sr

)),

para todo s ∈ [0, 2πr]. Tenemos que

β′(s) =(− sin

(sr

), cos

(sr

))y β′′(s) =

(−1

rcos(sr

),−1

rsin(sr

)),

de donde k(s) = ||β′′(s)|| =√(−1r· cos

(sr

))2+(−1r· sen

(sr

))2= 1

r.

Por lo tanto, la curvatura de toda circunferencia es el inverso multiplicativo de su radio.Luego, mientras mayor sea el radio de una circunferencia, menor será su curvatura.

Se pueden sacar conclusiones más generales del ejemplo anterior. La primera es el hechode que toda curva con curvatura cero va a estar contenida en una recta.

Proposición 6.4.3. Sea C una curva con parametrización β : J → R3 de clase C2 y por longitudde arco. Entonces, k(s) = 0 para todo s ∈ J si, y solo si, β(J) está contenida en una recta.

Demostración: Primero supongamos que k(s) = 0. Luego, ||β′′(s)|| = 0 para todo s ∈ J .Esto implica que β′′(s) = 0 para todo s ∈ J , de donde β′(s) es un vector constate (yunitario), digamos β′(s) = v para todo s ∈ J . De esto a su vez se tiene que β(s) = sv+x0

para algún x0 ∈ R3. Por lo tanto, β(J) está contenida en la recta de dirección v y que pasapor el punto x0.

16

Ahora supongamos que β(J) está contenida en una recta. Entonces, existe un plano conπ en R3 que pasa por el origen y al que dicha recta es perpendicular. Entonces, si fijamoss0 ∈ J , tenemos que el vector β(s) − β(s0), que tiene la misma dirección de la recta, esperpendicular a cualquier vector en π. Sea {v,u} una base ortonormal de π. Entonces,tenemos que

〈β(s)− β(s0),v〉 = 0 y 〈β(s)− β(s0),u〉 = 0.

Derivando estas relaciones respecto a s vamos a obtener lo siguiente:

0 = 〈β(s)− β(s0),v〉′ = 〈(β(s)− β(s0))′,v〉+ 〈β(s)− β(s0),v′〉 = 〈β′(s),v〉+ 〈β(s),0〉= 〈β′(s),v〉,

0 = 〈β′(s),u〉.

Tenemos entonces que β′(s) es paralelo al vector normal del plano π, a saber v×u. Luego,existe λ(s) ∈ R tal que

β′(s) = λ(s)(v × u).

Para tal λ(s) se tiene que

1 = ||β′(s)|| = |λ(s)|||v × u|| = |λ(s)|,λ(s) = ±1.

Al ser β una parametrización de clase C2, tenemos que λ(s) debe ser continua, por lo queλ(s) = 1 para todo s ∈ J , o λ(s) = −1 para todo s ∈ J . En cualquier caso, λ′(s) = 0, dedonde

β′′(s) = λ′(s)(v × u) = 0,

y así k(s) = ||β′′(s)|| = 0.

La segunda conclusión tiene que ver con curvas contenidas dentro de circunferencias.

Proposición 6.4.4. Sea α : I → Rn una parametrización de clase C2 de una curva C tal que||α(t)|| = c > 0 para todo t ∈ I . Entonces, 〈α′(t),α(t)〉 = 0 para todo t ∈ I . Más aún, si α esuna parametrización por longitud de arco y n = 2, se tiene que

k(t) =1

c.

La proposición dice que si α(I) está contenida en una circunferencia o esfera de radio c,entonces la posición instantánea α(t) es perpendicular a la velocidad instantánea α′(t).

17

Demostración: Como ||α(t)|| = c, tenemos que c2 = ||α(t)||2 = 〈α(t),α(t)〉. Por otro lado,sabemos que

〈α(t),α(t)〉′ = 2〈α′(t),α(t)〉.

Entonces,0 = 〈α′(t),α(t)〉,

para todo t ∈ I .

Supongamos ahora que ||α′(t)|| = 1 para todo t ∈ I . A partir de 0 = 〈α′(t),α(t)〉 se tieneque

0 = 〈α′(t),α(t)〉′ = 〈α′′(t),α(t)〉+ 〈α′(t),α′(t)〉 = 〈α′′(t),α(t)〉+ 1

〈α′′(t),α(t)〉 = −1.

Por otro lado, como ||α′(t)|| = 1, es decir 〈α′(t),α′(t)〉 = 1, se tiene que

0 = 〈α′(t),α′(t)〉′ = 2〈α′′(t),α′(t)〉.

Se tiene entonces que α′′(t) y α′(t) son vectores de R2 perpendiculares entre sí. Además,α(t) también es perpendicular aα′(t), por lo cualα(t) yα′′(t) son colineales. En este caso,tenemos que α(t) y α′′(t) forman entre sí un ángulo θ de 0 o de π radianes, de dondecos(θ) = ±1. Luego,

−1 = 〈α′′(t),α(t)〉 = ||α′′(t)||||α(t)|| cos(θ) = ±ck(t)

1 = ck(t) (debe ocurrir que cos(θ) = 1)

k(t) =1

c.

Sabemos hasta ahora que la curvatura es una magnitud escalar que mide en cada puntode una curva la rapidez de cambio del versor tangente. Además del versor tangente, exis-ten otro par de vectores que también arrojan información local sobre una curva, a saber,el versor normal y el verson binormal. Más aún, a partir de éstos se puede definir otramagnitud escalar conocida como torsión, que mide localmente qué tanto la curva estácontenida en un plano.

Definición 6.4.5. Sea C una curva con parametrización β : J → Rn por longitud de arco y declase C2, tal que k(s) 6= 0 para todo s ∈ J . Se define el versor normal en β(s) como el vectorunitario

n(s) :=β′′(s)

||β′′(s)||=t′(s)

k(s).

18

Así como el versor tangente define un campo tangente t : J → Rn mediante s 7→ t(s),el versor normal también define un campo vectorial n : J → Rn mediante la asignacións 7→ n(s), al que llamamos campo normal. Ambos campos vectoriales son perpendicularesentre sí. En efecto, como 〈t(s), t(s)〉 = 1, al derivar respecto a s tenemos que

0 = 〈t(s), t′(s)〉 = 〈t(s), k(s)n(s)〉 = k(s)〈t(s),n(s)〉.

Como k(s) 6= 0, tenemos que 〈t(s),n(s)〉 = 0 para todo s ∈ J .

Figura 6.8: Campo tangente y campo normal.

Definición 6.4.6. Sea C una curva con parametrización por longitud de arco β : J → R3 de claseC2 y con curvatura no nula. Sobre cada punto β(s), se asocia el plano generado por los vectoresn(s) y t(s), y que pasa por β(s), conocido como plano osculador. Dicho plano tiene ecuaciónparamétrica

πosculador : u · n(s) + v · t(s) + β(s) donde u, v ∈ R.

Figura 6.9: Plano osculador.

19

También se puede definir al plano osculador en β(s) como al plano que pasa por β(s) y es perpen-dicular al vector t(s)×n(s). A este último vector se le conoce como versor binormal, y se denotacomo b(s).

b(s) := t(s)× n(s).

Figura 6.10: Versor binormal.

Note que b(s) es un vector unitario. En efecto,

||b(s)|| = ||t(s)× n(s)|| = ||t(s)|| · ||n(s)|| · | sin(θ)| = 1 · 1 · 1 = 1,

donde θ = π/2 es el ángulo entre t(s) y n(s).

Definición 6.4.7. A la terna de vectores

{t(s),n(s), b(s)}

se le conoce como triedro de Frênet-Serret.

Ejemplo 6.4.8. Sea C = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = r2 y z = 0} la circunferencia de centro(0, 0, 0) y radio r > 0 ubicada en el plano XY . Calculemos el triedro de Frênet-Serret en cualquierpunto P de C para ver qué información arroja. Sabemos que C está parametrizada por longitud dearco mediante β : [0, 2πr]→ R3 dada por

β(s) =(r cos

(sr

), r sin

(sr

), 0).

Digamos que P = β(s) para algún s ∈ [0, 2πr]. Sabemos que

t(s) = β′(s) =(− sin

(sr

), cos

(sr

), 0)

y β′′(s) =

(−1

rcos(sr

),−1

rsin(sr

), 0

),

20

y que k(s) = ||β′′(s)|| = 1/r. Luego, ||β′′(s)|| = 1/r y

n(s) =β′′(s)

||β′′(s)||=

1

1/r

(−1

rcos(sr

),−1

rsin(sr

), 0

)= −

(cos(sr

), sin

(sr

), 0).

Podemos notar fácilmente que t(s) y n(s) son perpendiculares. Para calcular el versor binormal,tenemos

b(s) = t(s)× n(s) =

∣∣∣∣∣∣i j k

− sin(sr

)cos(sr

)0

− cos(sr

)− sin

(sr

)0

∣∣∣∣∣∣ = (0, 0, 1) .

De acá se tiene que el plano osculador en cualquier punto de C es el plano XY , y que C está entera-mente contenida en dicho plano, como era de esperarse. Más adelante veremos que esto quiere decirque la curva C tiene torsión cero.

Si tomamos por ejemplo s = π/2 con r = 2, tenemos que

t(π/2) = (− sin(π/4), cos(π/4), 0) = (−1/√

2, 1/√

2, 0),

n(π/2) = −(cos(π/4), sin(π/4), 0) = (−1/√

2,−1/√

2, 0),

b(π/2) = (0, 0, 1).

Vemos que n(π/2) es paralelo a t(π/2) y apunta al centro de la circunferencia.

Pasemos ahora a definir formalmente el concepto de torsión mencionado en el ejemploanterior.

Proposición 6.4.9. Sea C una curva en R3 parametrizada por longitud de arco β : J → R3, declase C3 y con curvatura no nula en cualquier punto. Entonces, para todo s ∈ J , los vectores b′(s)y n(s) con colineales, es decir, que existe τ(s) ∈ R tal que

b′(s) = −τ(s)n(s).

Al escalar τ(s) se conoce como torsión de β en s.2

Demostración: Sabemos por definición de versor binormal que b(s) = t(s) × n(s). Porpropiedades de la derivada con el producto vectorial, se tiene que

b′(s) = (t(s)× n(s))′ = t′(s)× n(s) + t(s)× n′(s)= k(s)n(s)× n(s) + t(s)× n′(s) = 0 + t(s)× n′(s)= t(s)× n′(s).

2El signo negativo en la igualdad b′(s) = −τ(s)n(s) es simplemente una convención.

21

La igualdad b′(s) = t(s) × n′(s) implica que b′(s) es perpendicular a t(s) y a n′(s). Porotro lado, derivando 〈n(s),n(s)〉 = 1 se puede ver también que n(s) es perpendicular an′(s). Además sabemos que n(s) también es perpendicular a t(s). Tenemos entonces quetanto b′(s) como n(s) son perpendiculares al plano generado por {t(s),n′(s)}, por lo cualb′(s) y n(s) son colineales.

Como b(s) define la dirección del plano osculador en el punto β(s), tenemos que b′(s)mide la variación instantánea de la dirección de dicho plano. Por otro lado, como b′(s) =−τ(s)n(s), se tiene entonces que la torsión τ(s) mide qué tanto se sale la curva del planoosculador. Luego, tiene sentido pensar que si una curva tiene torsión nula, entonces éstayace sobre tal plano. En efecto, esto es lo que ocurre y lo probaremos a continuación.

Proposición 6.4.10. Sea C una curva parametrizada por longitud de arco β : J → R3, de claseC3 y con curvatura no nula. Entonces, τ(s) = 0 para todo s ∈ J si, y solo si, β(J) está contenidaen un plano. En este caso, todos los planos osculadores de C coinciden, y β(J) está contenida endicho plano.

Demostración: Supongamos primero que τ(s) = 0 para todo s ∈ J . Entonces, por laproposición anterior tenemos que b′(s) = 0 para todo s ∈ J , de donde el campo binormalb : J → Rn es un vector constante, llamémosle b0. Sea entonces π el plano con direcciónnormal b0 y que pasa por β(s0) para algún s0 ∈ J . Consideremos también β(s) arbi-trario. Queremos ver que β(s) también está en π. Para esto último, basta con probar queβ(s) − β(s0) es perpendicular a b0, es decir, 〈β(s) − β(s0), b0〉 = 0, o equivalentemente,〈β(s), b0〉 = 〈β(s0), b0〉. Como s es arbitrario, probar lo anterior significa demostrar ques 7→ 〈β(s), b0〉 define una función constante, y al ser ésta claramente una función deri-vable, todo se resume a probar que 〈β(s), b0〉′ = 0. En efecto, tenemos que

〈β(s), b0〉′ = 〈β′(s), b0〉+ 〈β(s), b′0〉 = 〈t(s), b0〉+ 〈β(s),0〉 = 〈t(s), b0〉 = 0.

Ahora supongamos que la traza β(J) está contenido en un plano π con dirección normalu (de normal 1). Si fijamos β(s0) ∈ π, y consideramos β(s) ∈ π, vamos a tener que elvector β(s)− β(s0) es ortogonal a u, es decir,

〈β(s)− β(s0),u〉 = 0.

Derivando esta igualdad respecto a s, obtenemos

〈t(s),u〉 = 〈β′(s),u〉 = 0.

Derivando nuevamente, tenemos

k(s)〈n(s),u〉 = 〈t′(s),u〉 = 0.

22

Como β posee curvatura no nula, se tiene que k(s) 6= 0, y así de la igualdad anterior sededuce que 〈n(s),u〉 = 0. Como t(s) yn(s) son ortogonales a u, y como b(s) = t(s)×n(s),se tiene que b(s) es colineal a u. Como b(s) y u son unitarios, se tiene b(s) = ±u. Por otrolado, el campo binormal b : J → R3 dado por s 7→ b(s) es continuo, ya que β es de claseC3, por lo cual b(s) = u para todo s ∈ J , o b(s) = −u para todo s ∈ J . En cualquier caso,se tiene que b(s) es un vector constante, por lo cual b′(s) = 0. Por otro lado, b′(s) sabemosque es colineal a n(s), y que b′(s) = −τ(s)n(s). Luego,

0 = −τ(s)n(s).

Al ser n(s) un vector no nulo, se tiene finalmente que τ(s) = 0 para todo s ∈ J .

Aunque tenemos elementos para calcular la curvatura y torsión de las curvas que hemospresentado como ejemplos, vamos a presentar primero una serie de resultados que facili-tarán dichos cálculos.

Proposición 6.4.11 (Fórmulas de Frênet-Serret). Sea C una curva en R3 parametrizada porlongitud de arco β : J → R3, de clase C3 y con curvatura no nula en cualquier s ∈ J . Entonces,las siguientes afirmaciones se cumplen para todo s ∈ J :

1. k(s) = −〈t(s),n′(s)〉 = 〈t′(s),n(s)〉.2. τ(s) = 〈b(s),n′(s)〉 = −〈b′(s),n(s)〉.

Demostración: Para la parte 1., simplemente calculamos 〈t(s),n′(s)〉 y −〈t′(s),n(s)〉. Re-cordemos que n(s) = t′(s)/k(s), de donde

〈t′(s),n(s)〉 = 〈k(s)n(s),n(s)〉 = k(s)〈n(s),n(s)〉 = k(s) · 1 = k(s).

Para probar la otra igualdad, simplemente derivamos 〈t(s),n(s)〉 = 0, de donde se obtiene

〈t(s),n′(s)〉 = −〈t′(s),n(s)〉.

La parte 2. es análoga a 1., sabiendo que b(s) ⊥ n(s) y que b′(s) = −τ(s)n(s).

El resultado anterior nos dice que si conocemos el triedro de Frênet-Serret {t(s),n(s), b(s)}de una curva C, entonces somos capaces de calcular la curvatura y torsión a partir de dichotriedro. Recíprocamente, si uno conoce las funciones de curvatura y torsión de C, entonceses posible determinar el triedro de Frênet-Serret resolviendo un sistema de ecuacionesdiferenciales, conocido como las Ecuaciones de Frênet-Serret.

23

Proposición 6.4.12 (Ecuaciones de Frênet-Serret). Sea C una curva en R3 parametrizada porlongitud de arco β : J → R3, de clase C3 y con curvatura no nula en cualquier s ∈ J . Entonces,las siguientes afirmaciones se cumplen para todo s ∈ J :

1. t′(s) = k(s)n(s).2. n′(s) = −k(s)t(s) + τ(s)b(s).3. b′(s) = −τ(s)n(s).

Estas relaciones pueden representarse mediante la siguiente multiplicación de matrices: 0 k(s) 0−k(s) 0 τ(s)

0 −τ(s) 0

· t(s)n(s)b(s)

=

t′(s)n′(s)b′(s)

.

Demostración: Las ecuaciones 1. y 3. vienen de la definición de curvatura y torsión, porlo que solo hace falta probar la ecuación 2. Como n(s) y n′(s) con perpendiculares entresí pues n(s) es unitario, se tiene que n′(s) pertenece al plano de dirección n(s), que a suvez es el plano generado por b(s) y t(s). Luego, existen escalares únicos a, b ∈ R tales que

n′(s) = a · t(s) + b · b(s).

Para calcular estos escalares, usamos el hecho que el triedro de Frênet-Serret es una baseortonormal de R3, junto con las partes 1. y 2.:

−k(s) = 〈t(s),n′(s)〉 = 〈t(s), a · t(s) + b · b(s)〉 = a〈t(s), t(s)〉+ b〈t(s), b(s)〉 = a,

τ(s) = 〈b(s),n′(s)〉 = 〈b(s), a · t(s) + b · b(s)〉 = a〈b(s), t(s)〉+ b〈b(s), b(s)〉 = b.

Ejemplo 6.4.13. Calculemos la curvatura y torsión de la hélice circular

α(t) = (a cos(t), a sin(t), bt) .

Sabemos que α se puede parametrizar por longitud de arco como

β(s) =

(a cos

(s√

a2 + b2

), a sin

(s√

a2 + b2

),

bs√a2 + b2

).

Luego,

β′(s) =1√

a2 + b2

(−a sin

(s√

a2 + b2

), a cos

(s√

a2 + b2

), b

),

β′′(s) = − a

a2 + b2

(cos

(s√

a2 + b2

), sin

(s√

a2 + b2

), 0

).

24

Entonces,k(s) = ||β′′(s)|| = a

a2 + b2.

Ahora calculemos el vector binormal y su derivada:

b(s) = t(s)× n(s) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

−a sin

(s√

a2+b2

)√a2+b2

a cos

(s√

a2+b2

)√a2+b2

b√a2+b2

− cos(

s√a2+b2

)− sin

(s√

a2+b2

)0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

(b√

a2 + b2sin

(s√

a2 + b2

),− b√

a2 + b2cos

(s√

a2 + b2

),

a√a2 + b2

)b′(s) =

(b

a2 + b2cos

(s√

a2 + b2

),

b

a2 + b2sin

(s√

a2 + b2

), 0

)= − b

a2 + b2n(s).

Por lo tanto,

τ(s) =b

a2 + b2.

Escrito en LATEX por Marco A. Pérez.

Material consultado:• Cálculo Vectorial, notas de A. González.• Geometría Diferencial de Curvas y Superficies, notas de M. A. Pérez.

Última actualización: 28 de Septiembre de 2020.

25