OCW 2020: Parametrización y representación gráfica de ...

Material de estudio

OCW 2020: Parametrización y

representación gráfica de superficies

construidas

Tema 3. Parametrización de superficies

planas y cilíndricas

Equipo docente del curso

Martín Yagüe, Luis

Barrallo Calonge, Javier

Soto Merino, Juan Carlos

Lecubarri Alonso, Inmaculada

Departamento de Matemática Aplicada

Escuela de Ingeniería de Bilbao, Edificio II-I (EIB/BIE)

ETS de Arquitectura de Donostia-San Sebastián (ETSASS/DAGET)

OCW2020: Parametrización y representación gráfica de superficies construidas

TEMA 3. PARAMETRIZACIÓN DE SUPERFICIES PLANAS Y CILÍNDRICAS

Introducción

Se aborda ya el objetivo principal del curso que es la parametrización y representación gráfica de

superficies de edificaciones construidas o proyectadas.

Este tema, de forma análoga a los anteriores, se inicia con la definición y diferentes formas de

expresión de una superficie en el espacio tridimensional �3.

A continuación se presentan parametrizaciones de superficies planas y cilíndricas, casos particulares

de las superficies regladas. Su aparente sencillez las convierten en un comienzo adecuado teniendo

en cuenta, además, lo habituales que son en edificación las estructuras que incluyen secciones de

planos y/o cilindros.

Así mismo, se pretende evitar el uso de las ayudas para la representación gráfica que facilitan los

comandos de los diferentes softwares informáticos. Por ello, se realizan parametrizaciones generales

para secciones de superficies que no dependan del programa utilizado y sean fácilmente exportables

a otros entornos informáticos.

Definición de superficie y formas de expresión

Definición

Una superficie en el espacio tridimensional �3, referida a un sistema cartesiano de coordenadas

OXYZ, es toda aplicación continua de la forma:

f : I � �2 � �3

�Λ, Μ� � f �Λ, Μ� � �x �Λ, Μ�, y �Λ, Μ�, z �Λ, Μ��Donde x �Λ, Μ�, y �Λ, Μ�, z �Λ, Μ� son funciones continuas en el intervalo I .

Ejemplo. S1 es una superficie en �3 : S1 Λ � Μ, Λ Μ � 2, 2 Λ2 � Μ2 � 2 Λ 2 Μ Λ, Μ � �

Forma paramétrica

Generalmente, una superficie en �3 viene expresada como:

S x � x �Λ, Μ�y �z �

y �Λ, Μ�z �Λ, Μ�

�Λ, Μ� � I � �2

Esas ecuaciones se conocen como paramétricas y se dice que la superficie viene dada en forma

paramétrica.

Debe hacerse notar que no existe una única forma de parametrizar una superficie.

Ejemplo. Las ecuaciones paramétricas de S1 son:

S1 x � Λ � Μy �z �

Λ Μ � 2

2 Λ2 � Μ2 � 2 Λ 2 Μ�Λ, Μ� � �

1


Forma implícita

Si entre las relaciones x � x �Λ, Μ�, y � y �Λ, Μ�, z � z �Λ, Μ� se eliminan, cuando sea posible, los

parámetros Λ y Μ se obtiene la forma rectangular o cartesiana de la superficie S.

En forma implícita la superficie resulta ser de la forma: S F �x, y, z� � 0

Forma explícita

Despejando, cuando sea posible, en la ecuación implícita una de las incógnitas como función de las

otras dos se obtiene la forma explícita de la superficie:

S z � f �x, y�A partir de la forma explícita puede obtenerse una parametrízación sencilla de la superficie asignando

cada parámetro a una de las variables independientes:

S x � Λy �z �

Μf �Λ, Μ�

�Λ, Μ� � I � �2

Ejemplo. Eliminando los parámetros Λ y Μ se tiene la forma cartesiana de la curva S1:

Eliminatex �� Λ � Μ, y �� Λ � Μ � 2, z �� 2 Λ2 � Μ2 � 2 Λ � 2 Μ, �Λ, Μ�

4 � y2 � z � x

2

� forma implícita: S1 x2 � y2 � z 4 � 0

� forma explícita: S1 z � 4 x2 y2

� nueva parametrización:

S1 x � Λy �z �

Μ4 Λ2 Μ2

�Λ, Μ� � �2

� representación gráfica:

par1 � ContourPlot3Dz� 4 � x2 � y2, �x, �2, 2�, �y, �2, 2�, �z, 0, 4�, Mesh � False, Boxed � True,

AxesLabel� �X, Y, Z�, ContourStyle� Directive�Orange, Opacity�0.6�, Specularity�White, 30��

Figura 1. Sección de la superficie cuando Λ2 � Μ2 � 4 (figura propia)

2


Superficies regladas

Definición

Una superficie reglada es aquella generada por una recta de dirección variable, denominada genera-

triz, que se desplaza sobre una o varias curvas, las directrices.

Toda recta en el espacio es de la forma:

r x �y �

m � z � a

n � z � bm, n, a, b � �

Haciendo que las constantes m, n, a, b � � sean funciones de un parámetro t se obtiene una superfi-

cie formada por rectas:

S x � m �t� � z � a �t�y �z �

n �t� � z �b �t�z

� t, z � �

La tercera ecuación suele omitirse.

Se llaman desarrollables aquellas superficies regladas en las que el plano tangente es el mismo en

todos los puntos de una generatriz cualquiera. En caso contrario, se denominan alabeadas.

En el último tema del curso se retoma la parametrización y representación gráfica de este tipo de

superficies.

Ejemplo. Se considera la superficie formada por las rectas: S x �y �

t � z � t � 1t � z � 2 t

� t, z � �� esas rectas generatrices constituyen una superficie F �x, y, z� � 0 cuya forma implícita se

obtiene eliminando, si es posible, el parámetro t entre ambas ecuaciones:

S F �x, y, z� � z �x y� z y � 2 �x 1� � 0

Eliminate��x� t z � t � 1, y � t z � 2 t�, t�

2 � y � z � y z � x �2 � z�

� asignando valores al parámetro t se obtienen diferentes generatrices de la superficie reglada:

� si t � 0 : g0 x �y �

10

� z � �

� si t � 1 : g1 x �y �

z � 2z � 2

� z � �

g0 � �t z � t � 1, t z � 2 t, z� �. t � 0

�1, 0, z�

g1 � �t z � t � 1, t z � 2 t, z� �. t � 1

�2 � z, 2 � z, z�

� si para un valor determinado del parámetro t se asigna un valor al otro parámetro z se obtiene

un punto de una de las generatrices:

� si t � 0 y z � 0 : P0 � �1, 0, 0� � g0

� si t � 1 y z � 0 : P1 � �2, 2, 0� � g1

p0 � �t z � t � 1, t z � 2 t, z� �. �t � 0, z � 0�

�1, 0, 0�

3


p1 � �t z � t � 1, t z � 2 t, z� �. �t � 1, z � 0�

�2, 2, 0�


sup � ContourPlot3D�2 � y � z � y z� x �2 � z�, �x, �6, 6�, �y, �6, 6�,�z, �4, 4�, AxesLabel � �X, Y, Z�, Mesh � False, ContourStyle� �Opacity�0.80��;

gg0 � ParametricPlot3D�g0, �z, �4, 4�, PlotStyle� �Green, Thickness�0.01��;

gg1 � ParametricPlot3D�g1, �z, �4, 4�, PlotStyle� �Blue, Thickness�0.01��;

gp0 � Show�Graphics3D��PointSize�0.03�, RGBColor�0, 0, 0�, Point�p0��;

gp1 � Show�Graphics3D��PointSize�0.03�, RGBColor�0, 0, 0�, Point�p1��;

Show�sup, gp0, gp1, gg0, gg1, PlotRange� All, AxesLabel� �X, Y, Z��

Figura 2. Sección de la superficie, con generatrices y puntos (figura propia)

Superficies cilíndricas

Una superficie cilíndrica es una superficie reglada desarrollable engendrada por una recta generatriz

que se apoya en una línea directriz C �t� � �x �t�, y �t�, z �t�� t � �, cerrada ó no, y se mantiene

paralela a una dirección (eje) dada por un vector e � ex, ey, ez.La forma paramétrica de una generatriz genérica viene dada por:

S x � x �t� � ex � uy �z �

y �t� � ey � uz �t� � ez � u

� t, u � �

Ejemplo. Se considera la superficie cilíndrica cuyas generatrices son paralelas al vector e� �1, 1, 1�y se apoyan en la circunferencia:

C x � 3 cos �t�y �z �

3 sen �t�0

� t � �0, 2 Π� � �

� ecuaciones paramétricas de cualquier generatriz:

S x � 3 cos �t� � u

y �z �

3 sen �t� � u

u� t, u � �

� eliminando los parámetros t, u se obtiene la ecuación implícita:

S F �x, y, z� � �x z�2 � �y z�2 9 � 0

4


Eliminate��x� 3 Cos�t� � u, y � 3 Sin�t� � u, z � u�, �t, u�� Simplify �� Factor

x2 � y

2 � 9 � 2 x z � 2 y z � 2 z2


� considerando la ecuación implícita del cilindro

cil � ContourPlot3Dx2 � y2 � 9 � 2 �x � y � z� z,

�x, �8, 8�, �y, �8, 8�, �z, �5, 5�, AxesLabel � �X, Y, Z�, Mesh � False,

ContourStyle� �LightBlue, Opacity�0.70�, Specularity�White, 20��, BoxRatios � Automatic;

� directriz y generatriz cuando t � 0

cir � ParametricPlot3D��3 Cos�t�, 3 Sin�t�, 0�, �t, 0, 2 Π�,PlotStyle � �Red, Thickness�0.010��, PlotPoints� 100, BoxRatios� Automatic�;

gen � ParametricPlot3D��3 � u, u, u�, �u, �5, 5�, PlotStyle � �Green, Thickness�0.01��, PlotPoints� 80�;

Show�cil, cir, gen, PlotRange � All, AxesLabel� �X, Y, Z��

Figura 3. Cilindro, directriz y una generatriz (figura propia)

Superficies planas

Son casos particulares de las superficies cilíndricas ya que son superficies regladas desarrollables

engendradas por una recta generatriz que se apoya en una línea recta C y se mantiene paralela a

una dirección (eje) dada por un vector e � ex, ey, ez.Ejemplo. Se considera la superficie reglada cuyas generatrices son paralelas al vector e� �1, 1, 1� y

se apoyan en la recta:

C x � t

y �z �

t

0� t � �

� ecuaciones paramétricas de cualquier generatriz:

S x � t � u

y �z �

t � u

u� t, u � �

� eliminando los parámetros t, u se obtiene la ecuación implícita del plano:

S F �x, y, z� � x y � 0

Eliminate��x� t � u, y � t � u, z� u�, �t, u��

y � x

5



� directriz y generatriz cuando t � 0

dir � ParametricPlot3D��t, t, 0�, �t, �2, 2�,PlotStyle � �Red, Thickness�0.010��, PlotPoints� 100, BoxRatios� Automatic�;

gen � ParametricPlot3D��u, u, u�, �u, 0, 2�, PlotStyle� �Green, Thickness�0.01��, PlotPoints� 80�;

� considerando las ecuaciones paramétricas del plano

plan � ParametricPlot3D��t � a, t � a, a�, �t, �2, 2�, �a, 0, 2�, Mesh � False, Boxed � True,

AxesLabel � �X, Y, Z�, PlotStyle � Directive�LightBlue, Opacity�0.6�, Specularity�White, 30��;

Show�plan, dir, gen, PlotRange � All, AxesLabel� �X, Y, Z��

Figura 4. Plano, directriz y una generatriz (figura propia)

Parametrización de secciones planas

Preámbulo

Se presenta, mediante ejemplos explicativos, la forma que se propone de parametrizar secciones

planas rectangulares, con forma de triángulo rectángulo y delimitadas por curvas cerradas.

Se entienden esas secciones como cerramientos o cubiertas de alguna estructura edificada.

Como se indicó en la introducción, se realizarán parametrizaciones generales para secciones de

superficies que no dependan del programa utilizado.

Además, debe tenerse en cuenta que las medidas y especificaciones de las secciones ya están recogi-

das en los planos. Por tanto, se trata de simplificar lo más posible la resolución de los ejercicios

planteados con lo que se considerarán sistemas de referencia adecuados para conseguirlo.

Secciones rectangulares

Se quiere acotar una sección rectangular del plano Π F �x, y, z� � 0 � z � f �x, y�.Se asignan los dos parámetros de la superficie plana a las dos variables independientes y la tercera,

por tanto, se expresa como función de ambos.

El rango de valores de ambos parámetros es el que permite dimensionar el rectángulo.

Ejemplo. Parametrización y representación gráfica de una sección plana rectangular de 10 metros de

longitud y 6 metros de altura.

� se supone el rectángulo dispuesto, por ejemplo, sobre el plano coordenado y � 0

� se asignan los dos parámetros de la superficie plana a las coordenadas x y z

�x � t, y � 0, z � u�;

� el rango de valores de ambos parámetros es el que permite dimensionar el rectángulo

6


S x � t

y �z �

0u

t � �0, 10�u � �0, 6�

� representación gráfica

rectang � ParametricPlot3D��x, y, z�, �t, 0, 10�, �u, 0, 6�,Mesh � True, Boxed � True, Ticks � ��0, 10�, �0�, �0, 6��, AxesLabel� �X, Y, Z�,PlotStyle � Directive�Orange, Opacity�0.7�, Specularity�White, 30��

Figura 5. Sección rectangular vertical 10m�6m en y � 0 (figura propia)

Secciones con forma de triángulo rectángulo

Se parametrizan los segmentos de recta que delimitan el área triangular considerada.

Se introduce el segundo parámetro, con variación en el intervalo �0, 1�, multiplicando de forma que

se obtiene una recta de pendiente variable que cubre el dominio triangular entre la hipotenusa y el

cateto opuesto.

Ejemplo. Parametrización y representación gráfica de una sección plana con forma de triángulo

rectangular de 10 metros de longitud y 5 metros de altura.

� suponiendo el triángulo dispuesto en el plano coordenado x � 3 y con la base, b, en z � 0

� de esta forma, los catetos y la hipotenusa vienen dados por los siguientes segmentos derecta

b z � 0x � 3

y � �0, 10� c y � 10

x � 3z � �0, 5� h z � y

2x � 3

y � �0, 10�

� estructura triangular especificada

b � ParametricPlot3D��3, t, 0�, �t, 0, 10�,PlotStyle � �Red, Thickness�0.010��, PlotPoints� 100, BoxRatios� Automatic�;

c � ParametricPlot3D��3, 10, t�, �t, 0, 5�,PlotStyle � �Red, Thickness�0.010��, PlotPoints� 100, BoxRatios� Automatic�;

h � ParametricPlot3D��3, t, t�2�, �t, 0, 10�,PlotStyle � �Red, Thickness�0.010��, PlotPoints� 100, BoxRatios� Automatic�;

triang � Show�b, c, h, Ticks � ��3�, �0, 10�, �0, 5��, PlotRange � All, AxesLabel � �X, Y, Z��

3X

0

10

Y

0

5

Z

Figura 6. Esquema de la sección triangular de base 10m y altura 5m en x � 3 (figura propia)

7


� debe plantearse una parametrización que cubra todo el dominio limitado entre esas líneas

S x �y �

3t

z � u � t2

t � �0, 10�u � �0, 1�

� la introducción del parámetro u � �0, 1� multiplicando la coordenada z (función del

parámetro t) permite cubrir todo el dominio encerrado entre los tres segmentos de recta

que delimitan el triángulo

�x � 3, y � t, z � u�t�2�;

� cuando t � �0, 10�, la siguiente figura muestra la forma en que un segmento móvil de

recta recorre la sección plana planteada desde z � 0 �si u � 0� hasta z � t2 �si u � 1�

3X

0

10

Y

0

5

Z

u�0

u�1

u�0.5

Figura 7. Explicación gráfica del efecto en el incremento del parámetro u (figura propia)

� de igual forma resulta muy ilustrativo el mallado que traza el programa al representargráficamente la sección


sectriang � ParametricPlot3D��x, y, z�, �t, 0, 10�, �u, 0, 1�,Mesh � True, Boxed � True, Ticks � ��3�, �0, 10�, �0, 5��, AxesLabel � �X, Y, Z�,PlotStyle � Directive�Orange, Opacity�0.7�, Specularity�White, 30��;

Show�triang, sectriang, PlotRange � All, AxesLabel� �X, Y, Z��

Figura 8. Sección triangular de base 10m y altura 5m en x � 3 (figura propia)

� suponiendo el triángulo dispuesto en el plano coordenado x � y y con la base, b, en z � 0

� se asignan los dos parámetros de la superficie plana a las coordenadas x y z

S x �y �

t

t

z � u � t

2

t � 0, 50 u � �0, 1�

8


x � t, y � t, z � u�t

2

;

sectriang2 � ParametricPlot3D�x, y, z�, t, 0, 50 , �u, 0, 1�,Mesh � True, Boxed � True, Ticks � ��7�, �0, 7�, �0, 5��, AxesLabel� �X, Y, Z�,PlotStyle� Directive�Orange, Opacity�0.7�, Specularity�White, 30��

Figura 9. Sección triangular de base 10m y altura 5m en x � y (figura propia)

Secciones limitadas por una curva cerrada

Se parametriza la línea cerrada que delimita la sección considerada.

Se introduce el segundo parámetro, con variación en el intervalo �0, 1�, multiplicando de forma que

se obtiene una curva variable que cubre el dominio entre el centro y la curva dada.

Ejemplo. Parametrización y representación gráfica de una sección plana elíptica cuyos semiejes

miden 3 metros y 2 metros y que se encuentra situada en el plano z � 7

Clear�"Global`�"�

� la elipse se supone centrada en el punto P � �0, 0, 7� y sus semiejes son a � 3 y b � 2

C x � 3 cos �t�y �z �

2 sen �t�7

� t � �0, 2 Π� � �

elip � ParametricPlot3D��3 Cos�t�, 2 Sin�t�, 7�,�t, 0, 2 Pi�, PlotRange� �6.5, 7.5�, PlotStyle � �Red, Thickness�0.010��,Ticks � ��3, 0, 3�, ��2, 0, 2�, �0, 7��, PlotPoints� 100, BoxRatios � Automatic�

�3

0

3

�2

0

2

7

Figura 10. Elipse en z � 7 centrada en P � �0, 0, 7� y semiejes a � 3 y b � 2 (figura propia)

� debe plantearse una parametrización que cubra todo el dominio limitado por la curva cerrada

S x � 3 u � cos �t�y �z �

2 u � sen �t�7

t � �0, 2 Π�u � �0, 1�

9


� la introducción del parámetro u � �0, 1� multiplicando a las coordenadas x, y (funciones del

parámetro t) permite cubrir todo el dominio encerrado por la curva

�x � 3 u�Cos�t�, y � 2 u�Sin�t�, z � 7�;

� cuando t � �0, 2 Π�, la siguiente figura muestra la forma en que una elipse de semiejes

variables centrada en P � �0, 0, 7� recorre la sección plana planteada desde el centro de la

elipse �si u � 0� hasta la elipse dada �si u � 1�

�3

0

3X

�2

0

2

Y

7Z

u�0

u�0.5

u�1

Figura 11. Explicación gráfica del efecto en el incremento del parámetro u (figura propia)

� de igual forma resulta muy ilustrativo el mallado que traza el programa al representargráficamente la sección


secelip � ParametricPlot3D��x, y, z�, �t, 0, 2 Pi�, �u, 0, 1�,Mesh � True, Boxed � True, Ticks � ��3�, �0, 10�, �0, 5��, AxesLabel � �X, Y, Z�,PlotStyle � Directive�Orange, Opacity�0.7�, Specularity�White, 30��;

Show�elip, secelip, PlotRange � �6, 8�, AxesLabel� �X, Y, Z��

Figura 12. Sección plana elíptica en z � 7 centrada en P � �0, 0, 7� y semiejes 3m y 2m (figura propia)

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