CÁLCULO MATEMÁTICO CON APLICACIONES

Luis Manuel Sánchez Ruiz Matilde Pilar Legua Fernández

Cálculo matemático con aplicaciones

EDITORIAL UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE VALÈNCIA

Quinta edición, 2008 Reimpresión, 2016 © Luis Manuel Sánchez Ruiz Matilde Pilar Legua Fernández

© de la presente edición: Editorial Universitat Politècnica de València distribución: Telf. 963 877 012 / www.lalibreria.upv.es / Ref.: 0994_01_05_16 Imprime: Byprint Percom, sl ISBN: 978-84-8363-295-6 Impreso bajo demanda La Editorial UPV autoriza la reproducción, traducción y difusión parcial de la presente publicación con fines científicos, educativos y de investigación que no sean comerciales ni de lucro, siempre que se identifique y se reconozca debidamente a la Editorial UPV, la publicación y los autores. La autorización para reproducir, difundir o traducir el presente estudio, o compilar o crear obras derivadas del mismo en cualquier forma, con fines comerciales/lucrativos o sin ánimo de lucro, deberá solicitarse por escrito al correo [email protected] Impreso en España

Índice General

1 Algunas funciones reales 11.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Funciones inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Logaritmos y exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Funciones trigonométricas inversas . . . . . . . . . . . . 8

1.5 Funciones hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.6 Funciones hiperbólicas inversas . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.8 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2 El Número complejo 272.1 Operaciones y representación . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2 Fórmula de Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3 Raíces de un número complejo . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4 Exponencial compleja y logaritmo . . . . . . . . . . . . . 38



3 Métodos computacionales 453.1 Raíces de ecuaciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1.1 Descomposición factorial de un polinomio . . . . 45

3.1.2 Raíces enteras y fraccionarias . . . . . . . . . . . 51

3.2 Resolución aproximada de ecuaciones . . . . . . . . . . . 56

3.2.1 Método de bisección . . . . . . . . . . . . . . . . 56

i

ii

3.2.2 Método iterativo de punto jo . . . . . . . . . . . 58

3.2.3 Método de regula-falsi o de las cuerdas . . . . . . 61

3.2.4 Método de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . 65

3.3 Descomposición en fracciones simples . . . . . . . . . . . 67



4 Cálculo de primitivas 754.1 Integrales inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.2 Métodos elementales de integración . . . . . . . . . . . . 78

4.3 Integrales racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.4 Integrales irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.4.1 IntegralRR³x,¡ax+bcx+d

¢ p1m1 , . . . ,

¡ax+bcx+d

¢ pnmn

´dx . . . 88

4.4.2 IntegralesRR¡x, ax2 + bx+ c

¢dx . . . . . . . . 90

4.4.3 Integrales binomias . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.5 Funciones trascendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.5.1 Función inversa racional . . . . . . . . . . . . . . 99

4.5.2 Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . 99



5 Integral de nida: aplicaciones 1075.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.2 Función integrable Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.2.1 De nición y propiedades . . . . . . . . . . . . . . 109

5.2.2 Cálculo de la integral de nida . . . . . . . . . . . 116

5.2.3 Aplicación: Trabajos . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.3 Coordenadas polares y paramétricas . . . . . . . . . . . . 120

5.4 Aplicaciones geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.4.1 Cálculo de áreas planas . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.4.2 Volúmenes de revolución . . . . . . . . . . . . . . 128

5.4.3 Otros volúmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

iii

5.4.4 Longitudes de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5.4.5 Áreas de super cies de revolución . . . . . . . . . 141



6 Integración aproximada 1556.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

6.2 Métodos rectangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

6.3 Métodos de Newton-Cotes . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

6.3.1 Fórmula de los trapecios . . . . . . . . . . . . . . 157

6.3.2 Fórmula de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . 159

6.3.3 Fórmula de 3/8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161



7 Integrales impropias 1657.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

7.2 De niciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

7.3 Criterios de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

7.4 Las funciones gamma y beta . . . . . . . . . . . . . . . . 174

7.5 Valor principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

7.6 Aplicación: Estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181



8 Series 1878.1 Series numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

8.1.1 De nición y propiedades . . . . . . . . . . . . . . 187

8.1.2 Series de términos positivos . . . . . . . . . . . . 190

8.1.3 Series de términos cualesquiera . . . . . . . . . . 194

8.2 Sucesiones funcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

8.3 Series funcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

8.4 Series potenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

iv

8.4.1 Intervalo y radio de convergencia . . . . . . . . . 200

8.4.2 Desarrollo en serie de potencias . . . . . . . . . . 204

8.4.3 Aplicación: Cálculo integral . . . . . . . . . . . . 209

8.5 Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

8.5.1 Series trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . 210

8.5.2 Desarrollos en serie de Fourier . . . . . . . . . . . 212



9 Funciones de varias variables 2299.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

9.2 Límites y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

9.2.1 Nociones topológicas . . . . . . . . . . . . . . . . 230

9.2.2 De nición y cálculo de límites . . . . . . . . . . . 232

9.2.3 Límites en dos variables . . . . . . . . . . . . . . 234

9.2.4 Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

9.3 Derivadas parciales y diferenciabilidad . . . . . . . . . . 237

9.3.1 Derivadas direccionales y derivadas parciales . . . 237

9.3.2 Funciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . . 240

9.3.3 Derivadas parciales de orden superior . . . . . . . 246

9.4 Funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

9.5 Aplicación: Estimación de errores . . . . . . . . . . . . . 251

9.6 Reglas de derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

9.6.1 Funciones compuestas . . . . . . . . . . . . . . . 252

9.6.2 Derivadas de funciones implícitas . . . . . . . . . 258

9.6.3 Aplicación: cambios de variable . . . . . . . . . . 262

9.7 Aplicación: Extremos relativos . . . . . . . . . . . . . . . 264

9.7.1 Extremos libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

9.7.2 Extremos condicionados . . . . . . . . . . . . . . 268



10 Integrales paramétricas 283

v

10.1 Derivación bajo el signo integral . . . . . . . . . . . . . . 283

10.2 Integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287



11 Integral curvilínea 29311.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

11.2 Integral de campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . 294

11.3 Aplicaciones de la integral curvilínea . . . . . . . . . . . 297

11.3.1 Longitudes, masas y promedios . . . . . . . . . . 297

11.3.2 Áreas de super cies cilíndricas . . . . . . . . . . . 298

11.4 Integral de campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . 299

11.5 Aplicación: Cálculo de trabajos . . . . . . . . . . . . . . 303

11.6 Nociones de análisis vectorial . . . . . . . . . . . . . . . 305

11.7 Teoría del potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308



12 Integración superior 32312.1 Integral doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

12.1.1 De nición y cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

12.1.2 Cálculo de volúmenes . . . . . . . . . . . . . . . . 330

12.1.3 Áreas y masas planas. Promedios . . . . . . . . . 331

12.1.4 Fórmula de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

12.1.5 Cambios en integrales dobles . . . . . . . . . . . . 335

12.2 Super cies alabeadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

12.2.1 Super cies parametrizadas . . . . . . . . . . . . . 341

12.2.2 Super cies de revolución . . . . . . . . . . . . . . 344

12.2.3 Área de una super cie alabeada . . . . . . . . . . 346

12.3 Integral de super cie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348


12.3.2 Aplicación: Masas y promedios . . . . . . . . . . 349

12.4 Integral triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

vi


12.4.2 Volúmenes, masas y promedios . . . . . . . . . . 354

12.4.3 Cambios en integrales triples . . . . . . . . . . . . 356

12.5 Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362



13 Aplicaciones físicas 37513.1 Centros de gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

13.2 Momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

13.3 Integral de ujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388


13.3.2 Teoremas de Stokes y Ostrogradski . . . . . . . . 395

13.3.3 Aplicaciones de la integral de ujo . . . . . . . . 404



14 Ecuaciones diferenciales 41714.1 Introducción y conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . 417

14.2 Ecuaciones de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . 419

14.2.1 Ecuaciones de variables separables . . . . . . . . . 419

14.2.2 Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 420

14.3 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420

14.3.1 Problemas de mezclas . . . . . . . . . . . . . . . 420

14.3.2 Trayectorias isogonales . . . . . . . . . . . . . . . 422

14.3.3 Algunas ecuaciones de orden superior . . . . . . . 423



15 Anexo Sucesiones 42915.0.1 De nición y propiedades . . . . . . . . . . . . . . 429

15.0.2 Cálculo de límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430

vii

Prólogo

Esta publicación persigue cubrir las necesidades básicas de conoci-mientos de cálculo matemático que tienen los alumnos de Ingeniería. Lapresentación de los temas tratados se hace del modo más simple posiblepero, siguiendo la recomendación de Albert Einstein, se ha procuradono caer en presentarlos más simples de lo que son en realidad. Así setendrá ocasión de encontrar ejemplos que muestran el cuidado que se hade tener en veri car las hipótesis de los resultados que queramos utilizar;de otro modo podemos llegar a conclusiones erróneas.

Se incluye demostraciones de resultados que se consideran formativasal realizar razonamientos lógicos o un análisis crítico. Por otra parte, alo largo de todo el texto, hay una amplia exposición de ejemplos selec-cionados, nalizando cada capítulo con una lista de ejercicios propuestoscuya resolución consolidará los conocimientos adquiridos.

Comenzamos nuestra exposición viendo algunos aspectos relevantesde algunas funciones de variable real y del cuerpo de los números com-plejos, necesarios para poder afrontar el cálculo integral. De las técnicasde integración deseamos resaltar las correspondientes a las integrales ra-cionales ya que otros tipos de integrales, como pueden ser las irracionaleso trigonométricas, usualmente se reducen a resolver una integral racio-nal. La técnica normalmente empleada, así como en otras aplicacionesmatemáticas, de descomponer una fracción propia en suma de fraccio-nes simples, es expuesta previamente junto con algunos métodos para elcálculo de raíces de ecuaciones.

Las aplicaciones de la integral de nida presentadas incluyen el cálculode áreas de regiones planas y de super cies de revolución, longitudes decurvas, volúmenes de algunos sólidos y el trabajo realizado por fuerzascon punto de aplicación desplazado rectilíneamente. Dichas aplicacionesson seguidas de métodos que permiten la evaluación aproximada de lasintegrales de nidas. Las integrales con límites de integración in nitos, yque aparecen con frecuencia en algunas ramas de la Matemática, comopor ejemplo en Estadística, son estudiadas dentro del capítulo dedicadoa las integrales impropias.

Dentro del tema dedicado al estudio de las series, que son una herra-mienta básica en muchas técnicas de aproximación, resaltamos las seriespotenciales y las de Fourier.

viii

A continuación estudiamos las funciones de varias variables las cua-les, además de tener interesantes aplicaciones en el cálculo de valoresextremos, son necesarias para abordar el tema de integrales dependien-tes de un parámetro y realizar operaciones que aparecen con frecuencia,por ejemplo derivar respecto de un parámetro introduciendo la derivaciónbajo el signo integral.

Todos estos contenidos constituyen los primeros fundamentos mate-máticos necesarios a alumnos de ingeniería en cuestiones de cálculo ma-temático. Otras aplicaciones en las que aparezcan super cies alabeadas,sólidos que no sean de revolución, fuerzas cuyos puntos de aplicaciónsiguen curvas alabeadas o ujos de campos vectoriales, por ejemplo, re-quieren otros tipos de integrales: curvilíneas, dobles, triples, de super ciey ujo, que son estudiadas sucesivamente.

Finaliza el texto con una introducción a las técnicas fundamentales deresolución de ecuaciones diferenciales de primer orden. Una ampliacióndel estudio de técnicas de resolución y aplicaciones de las ecuacionesdiferenciales puede encontrarse en nuestro texto Ecuaciones Diferencialesy Transformadas de Laplace con Aplicaciones.

Los autores expresan su reconocimiento al profesor Manuel Legua(1924—99), catedrático desde 1964 a 1989 de la Escuela Universitariade Ingeniería Técnica Industrial de Valencia —transformada en EscuelaTécnica Superior de Ingeniería del Diseño en 2002—, que les transmitióla forma de enfocar la didáctica de las matemáticas destinadas a cubrirlas necesidades de los ingenieros.

Agradecemos las sugerencias recibidas de Jose Antonio Moraño y Do-lors Roselló respecto de la edición anterior y que son incorporadas en di-versos capítulos de este texto. También ha mejorado esta edición graciasa los alumnos que han detectado algunas erratas y que, con sus dudasy querer saber, han señalado los temas en los cuales tenían una mayordi cultad. Esperamos que este texto facilite el trabajo de aprendizaje delos futuros usuarios del cálculo matemático y sus aplicaciones.

Los autores

Capítulo 1

Algunas funciones reales

1.1 Introducción

En este primer capítulo estudiaremos las funciones hiperbólicas y susinversas, previa de nición de dicho concepto y estudio de ciertas propie-dades que poseen éstas. Las funciones hiperbólicas son de gran utilidaden la técnica y el cálculo integral, y están íntimamente relacionadas conel número e cuya de nición recordamos mas adelante y, que si bien pue-de parecer arti ciosa y poco más que un ingenioso invento, no deja deser sorprendente la cantidad de fenómenos de la naturaleza, económicos,cientí cos y técnicos en cuya explicación aparece dicho número y estasfunciones.

También en este primer capítulo repasaremos las derivadas de lasfunciones trigonométricas inversas.

Comenzamos recordando algunas nociones relacionadas con la deri-vada de una función real de variable real que son de utilidad para larepresentación grá ca de las mismas.

Una función f de variable real tiene derivada en x0 R si existe

f 0(x0) = limh 0

f(x0 + h) f(x0)

h,

valor que coincide con la tangente trigonométrica del ángulo que formaOX con la tangente geométrica a la grá ca de f en (x0, f (x0)).

Si f 0(x0)

(> 0 f es creciente en x0.

< 0 f es decreciente en x0.

1

2 Capítulo 1

Si f 0(x0) = 0 y f 0 cambia de signo en x0 pasando de tomar valorespositivos a negativos, entonces f tiene un máximo en x0. Si el cambio designos es el contrario, f tiene un mínimo en x0.

La ecuación de la recta tangente a la grá ca de f en (x0, f (x0)) es

y f (x0) = f0 (x0) (x x0) .

Y la recta normal en (x0, f (x0)) es

y f (x0) =1

f 0 (x0)(x x0)

si f 0(x0) 6= 0, y x = x0 si f 0(x0) = 0.

1.2 Funciones inversas

Se dice que g es una función inversa de f , y se indica denotandog = f 1, si f (g(x)) = x, para cada x del dominio de g, y g (f(x)) = xpara cada x del dominio de f . Por tanto la función inversa de f 1 es f,y el dominio de f 1 coincide con el rango de f .

Ejemplo 1.2.1 Comprobar que f(x) = 5x3 + 2 y g(x) = 3

qx 25son

funciones inversas.

Sol.: Como el rango de cada una de estas dos funciones, R en este caso,coincide con el dominio de la otra, es posible componerlas. De

f (g(x)) = 5

Ã3

rx 2

5

!3+ 2 = x, g (f(x)) =

3

r(5x3 + 2) 2

5= x,

se deduce que f y g son funciones inversas.

No toda función admite función inversa. De hecho, una función fposee función inversa si y sólo si f es inyectiva en su dominio Df . Si fno es inyectiva en Df pero sí en algún subconjunto D Df entonces larestricción de f a D tiene inversa.

El método general de encontrar la función inversa de y = f(x) es:

• Despejar x de esta ecuación, x = g(y).

Algunas funciones reales 3

• Intercambiar las variables x e y, escribiendo y = g(x).

• Tomar como dominio de g el rango de f .

• Comprobar que f(g(x)) = x, g(f(x)) = x.

Ejemplo 1.2.2 Encontrar la función inversa de f(x) = 5x3 + 2.

Sol.: Despejando x de y = 5x3 + 2 nos da

x3 =y 2

5x =

3

ry 2

5.

Intercambiando las variables x e y,

y =3

rx 2

5= g(x).

La comprobación de que efectivamente g = f 1 ha sido realizada en elejercicio anterior.

Ejemplo 1.2.3 Estudiar si la función f(x) = x2 tiene función inversa.

Sol.: La función dada no es inyectiva en R, por lo que considerada lafunción f de nida en toda la recta real, no tiene función inversa.

x 420-2-4

25

20

15

10

5

0

f(x) = x2

Sin embargo f(x) = x2 sí que es inyectiva en ] , 0] y [0,+ [. Encada uno de estos intervalos, siguiendo el método descrito anteriormente,obtenemos como función inversa de f a las funciones g y h de nidas por

g(x) = f 1(x) = x, h(x) = f 1(x) = x.

Dos importantes propiedades de la función inversa son las siguientes.

4 Capítulo 1

Teorema 1.2.4 Las grá cas de funciones inversas f y g son simétricasrespecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Dem.: Hay que probar que el punto (x, y) pertenece a la grá ca de f siy sólo si el punto (y, x) pertenece a la grá ca de g. Si (x, y) pertenece ala grá ca de f , entonces y = f(x) por lo que g(y) = g (f(x)) = x por serg función inversa de f , y el punto (y, x) pertenece a la grá ca de g.

El recíproco es inmediato.

Teorema 1.2.5 Si f es derivable en su dominio y tiene función inversag, entonces la derivada de g viene dada por

g0(x) =1

f 0 (g(x)),

en cada punto x en que f 0 (g(x)) 6= 0.

Dem.: Una prueba formal de este resultado requiere probar previamentela existencia de g0. Suponiendo que esto es cierto, es sencillo deducir lafórmula. Partimos de

f(g(x)) = x,

por ser g función inversa de f , y derivamos en ambos miembros,

f 0 (g(x)) g0(x) = 1.

Si f 0 (g(x)) 6= 0, despejando g0(x) se obtiene la fórmula buscada.En la práctica puede ser útil para aplicar esta fórmula simplemente

recordar que dydx= 1

dxdy

, donde en el primer miembro estamos derivando

respecto de x la función inversa y = g(x), en el segundo la funciónx = f(y) respecto de y, y tener en cuenta que posteriormente se hade sustituir la y del segundo miembro por su valor, g(x).

Ejemplo 1.2.6 Comprobar que la derivada de la función g, inversa def del Ejemplo 1.2.2, es la recíproca de la derivada de f evaluada en g(x).

Sol.: La recíproca de la derivada de f evaluada en g(x) es

1

15 (g(x))2=

1

15³

3

qx 25

´2 .


La derivada de la función inversa coincide con ella ya que

g0(x) =1

3

μx 2

5

¶ 23 1

5.

1.3 Logaritmos y exponenciales

Recordamos ahora que la sucesión½μ1 +

1

n

¶n, n = 1, 2, . . .

¾,

es monótona creciente y acotada superiormente, por lo que converge aun número real, el número e. Es un número real trascendente, lo cualsigni ca que no es raíz de ninguna ecuación algebraica con coe cientesenteros

anxn + an 1x

n 1 + . . .+ a1x+ a0 = 0, n N, ai Z, 0 i n.

Sus primeras cifras son e = 2.718281828459 . . .

La función exponencial

exp(x) = ex, x R,

es positiva, estrictamente creciente, con el eje OX como asíntota cuandox , su derivada es ella misma, ex, y su rango es ]0,+ [.

Para facilitar su comprensión damos su grá ca en escalas diferentes.

x 420-2-4

140

120

100

80

60

40

20

0

y = exx 1.510.50-0.5-1-1.5

4

3

2

1

y = ex

Por ser f(x) = ex biyectiva de R en R+ = ]0,+ [ tiene función inversacon dominio R+ y rango R. Se representa

f 1(x) = lnx

6 Capítulo 1

y se le denomina logaritmo neperiano o natural.Por ser función inversa de ex,

ln ex = x, elnx = x,

y por ello ln 1 = 0. Además es fácil obtener:

ln (x · y) = lnx+ ln y, lnμx

y

¶= lnx ln y, ln (xy) = y lnx.

Su grá ca es la curva simétrica respecto de la bisectriz del primery tercer cuadrante de la grá ca de y = ex. Por tanto es estrictamentecreciente, y tiene al semieje OY 0 como asíntota vertical cuando x 0+.

x 543210-1-2

2

1

0

-1

-2

-3

-4

y = lnx

Su derivada, como función inversa de la exponencial, viene dada por

d

dx(lnx) =

1

elnx=1

x.

Nota 1.3.1 Hemos introducido la función logaritmo a partir de la ex-ponencial. Una introducción rigurosa de esta última es ardua, siendouno de los métodos más sencillos como la función de nida por la serie depotencias

ex =Xn=0

xn

n!, x R.

Pero esto conlleva no poder trabajar con ella hasta que se han estu-diado las series de potencias.


Otra posibilidad es introducir primero la función logaritmo como

lnx =

Z x

1

1

xdx x > 0,

primitiva de 1x, por lo que d

dx(lnx) = 1

x. Si se hace esto, es inmediato que

ln 1 = 0, de niéndose el número e como el real que haceZ e

1

1

xdx = 1,

el cual existe ya que la función lnx así de nida es continua y en el inter-valo [1,+ [ toma todos los valores de [0,+ [.

Entonces la exponencial es la función inversa del logaritmo pero estotrae consigo no poder utilizar las funciones logaritmo y exponencial hastaque se ha estudiado la integral inde nida.

Por tanto, si bien formalmente es más correcto seguir cualquiera deestas dos vías, no consideramos que los bene cios reportados compensenla rémora de no poder utilizar mientras tanto ambas funciones y lassupondremos ya conocidas.

Una vez de nidas las funciones exponencial y logaritmo neperiano, esposible de nir la exponencial de base a para cada a > 0 como

ax = ex·ln a, x R.

x 3210-1-2-3

8

6

4

2

0

y = 2xx 3210-1-2-3

120

100

80

60

40

20

0

y =¡15

¢xY dado a > 0, a 6= 1, se de ne logaritmo en base a, loga, como

la función inversa de ax (log1 no está de nido ya que 1x no tiene fun-ción inversa). Cuando la base a es 10 la función logaritmo se denominalogaritmo decimal.

8 Capítulo 1

Es posible pasar de logaritmos neperianos a decimales y viceversaaplicando que

lnx = log10 xlog10 e

, log10 e = 0.43429448 . . .

log10 x =lnxln 10

, ln 10 = 2.302585093 . . .

Proponemos como ejercicio demostrar la fórmula general según la cualdados a, b, x > 0, a, b 6= 1,

loga x =logb x

logb a.

x 543210-1-20.5

0-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5

y = log10 x

x 543210-1-2

8

6

4

2

0

-2

y = log 12x

1.4 Funciones trigonométricas inversas

Suponemos que se tiene una cierta familiaridad con las funciones trigo-nométricas inversas,

arcsenx, arccosx, arctan x, arcsecx, arccscx, arccotx.

Recordemos, por ejemplo, que

y = arcsenx si x = sen y

y que arcsenx es la función inversa de la función senx en cualquier in-tervalo en que esta última es inyectiva, considerándose de modo usual elintervalo

£2,2

¤.


La siguiente tabla recoge el dominio Df , rango Rf y derivada f 0 decada función trigonométrica inversa. Se incluye también el dominio Df 0de las derivadas.

Funcion f(x) Df Rf f 0 (x) Df 0

arcsenx [ 1, 1]£

2,2

¤11 x2

] 1, 1[

arccosx [ 1, 1] [0, ] 11 x2

] 1, 1[

arctanx R¤

2,2

£1

1+x2R

arccscx R \ ] 1, 1[£

2,2

¤\ {0} 1

|x| x2 1R \ [ 1, 1]

arcsecx R \ ] 1, 1[ [0, ] \©2

ª1

|x| x2 1R \ [ 1, 1]

arccotx R ]0, [ 11+x2

R

1.5 Funciones hiperbólicas

Las funciones hiperbólicas se de nen analíticamente del siguiente modo:

Seno hiperbólico shx = ex e x

2.

Coseno hiperbólico chx = ex+e x

2.

Tangente hiperbólica thx = shxchx

= ex e x

ex+e x .

Cosecante hiperbólica cschx = 1shx

= 2ex e x .

Secante hiperbólica sechx = 1chx

= 2ex+e x .

Cotangente hiperbólica cothx = chxshx

= ex+e x

ex e x .

Algunos valores de estas funciones son fáciles de calcular como porejemplo

sh 0 = 0, ch 0 = 1, th 0 = 0.

Por tanto, las funciones cosecante hiperbólica y cotangente hiperbólicano están de nidas en 0.

Para continuar el estudio de las funciones hiperbólicas, y facilitar surepresentación grá ca, es conveniente calcular sus derivadas.

10 Capítulo 1

Seno hiperbólico

La grá ca de la función shx es sencilla de hallar como semidiferencia delas exponenciales ex y e x.

Además recordemos que una función de una variable real f(x) esimpar si

f( x) = f(x)

para todo x de su dominio, y cuando esto ocurre la representación grá cade la función es simétrica respecto del origen O.

Como la función shx es impar ya que

sh ( x) =e x e ( x)

2=

ex e x

2= shx, x R,

basta hallar su grá ca para valores positivos de x y, por simetría respectode O, obtener su grá ca para los valores negativos de x.

Por otra parte, su derivada es

d

dx(shx) =

d

dx

μex e x

2

¶=ex + e x

2= chx,

que siempre toma valores positivos, por lo que la función shx es estric-tamente creciente. Su pendiente en el origen es ch 0 = 1.

Por tanto, la función sh x tiene por dominio y rango R, es impar yestrictamente creciente.

x 3210-1-2-3

10

5

0

-5

-10

y = shx


Coseno hiperbólico

La grá ca de chx puede hallarse como semisuma de las exponenciales ex

y e x.

Por otra parte recordemos que una función de una variable real f(x)es par si

f( x) = f(x)

para todo x de su dominio. Cuando esto ocurre la grá ca de f es si-métrica respecto del eje de ordenadas OY .

En este caso la función chx es par ya que

ch ( x) =e x + e ( x)

2=ex + e x

2= chx x R.

Por ello basta representarla para valores positivos de x y, por simetríarespecto de OY, obtener la representación para los valores negativos dex. Además,

d

dx(chx) =

d

dx

μex + e x

2

¶=ex e x

2= shx,

que toma valores negativos si x < 0, nulo en x = 0, y positivos si x > 0.

La función ch x tiene por dominio R, rango [1,+ [, es par, decre-ciente para valores negativos de x, creciente para los valores positivos yalcanza en x = 0 el valor mínimo 1.

x 3210-1-2-3

10

8

6

4

2

y = chx

12 Capítulo 1

Tangente hiperbólica

Es fácil obtener la grá ca de la función thx como cociente de las funcionesshx y chx. La función thx tiene por dominio R, rango ] 1, 1[ y esestrictamente creciente.

Su grá ca tiene asíntota horizontal y = 1 por la izquierda, e y = 1por la derecha. Su derivada es

d

dx(thx) = sech2x = 1 th2x.

.

x 420-2-4

1

0.5

0

-0.5

-1

y = thx

Cosecante hiperbólica

La derivada de la cosecante hiperbólica es

d

dx(cschx) = chx csch2x.

La función cschx tiene por dominio y rango R \ {0}, es estrictamentedecreciente en ] , 0[ y en ]0,+ [ , pero no en todo su dominio.

Su grá ca tiene como asintota horizontal y = 0, por la derecha eizquierda, y es asintótica verticalmente con x = 0.

x 3210-1-2-3

6

4

2

0

-2

-4

-6

y = cschx


Secante hiperbólica

La derivada de la secante hiperbólica es

d

dx(sechx) = shx sech2x.

La función sechx tiene por dominio R, rango ]0, 1] y alcanza su valormáximo, 1, en x = 0.

Su grá ca es asintótica a y = 0 por la derecha e izquierda.

x 420-2-4

1

0.8

0.6

0.4

0.2

y = sechx

Cotangente hiperbólica

La derivada de la cotangente hiperbólica es

d

dx(cothx) = csch2x = 1 coth2 x.

La función cothx tiene por dominio R \ {0} y rango R \ [ 1, 1].Su grá ca es asintótica horizontalmente con y = 1 por la derecha, con

y = 1 por la izquierda, y verticalmente en x = 0.

x 420-2-4

3

2

1

0-1

-2

-3

y = cothx

14 Capítulo 1

Fórmulas fundamentales

Se puede observar que algunas de las derivadas de las funciones hiper-bólicas coinciden con sus homólogas trigonométricas y otras di eren enalgún signo. Esto ocurre también con algunas fórmulas fundamentalesde trigonometría.

Así, las fórmulas análogas a

cos2 x+ sen2x = 1, cos2 x sen2x = cos 2x,

vienen incluidas en el siguiente teorema.

Teorema 1.5.1 Para cada x R se veri ca:

ch2x sh2x = 1, ch2x+ sh2x = ch2x.

Dem.: Sumando y restando miembro a miembro las expresiones de chxy shx,

chx+ shx =ex + e x

2+ex e x

2= ex,

chx shx =ex + e x

2

ex e x

2= e x.

Multiplicando las fórmulas anteriores miembro a miembro,

(chx+ shx)(chx shx) = ex · e x = e0 = 1.

Y como suma por diferencia es diferencia de cuadrados, queda la primerafórmula buscada

ch2x sh2x = 1.

Elevando al cuadrado las dos primeras fórmulas obtenidas en la presentedemostración queda,

ch2x+ 2 chx shx+ sh2x = e2x,

ch2x 2 chx shx+ sh2x = e 2x.

Sumando miembro a miembro las expresiones obtenidas y dividiendo pordos ambos términos queda

ch2x+ sh2x =e2x + e 2x

2= ch 2x.


Existen fórmulas similares a las trigonométricas cuando éstas actúansobre una suma o diferencia de argumentos. Dejamos su demostracióncomo sencillo ejercicio a realizar.

Teorema 1.5.2 Para cada x, y R se veri ca:

sh (x± y) = shx ch y ± sh y chx,ch (x± y) = chx ch y ± sh y shx,

th (x± y) =th x± th y1± th x th y .

Corolario 1.5.3 Para cada x R se veri ca:

sh 2x = 2 shx chx, ch 2x = ch2x+ sh2x, th 2x =2 th x

1 + th2x.

1.6 Funciones hiperbólicas inversas

Las funciones inversas de las hiperbólicas se de nen de modo análogo alas inversas de las trigonométricas.

Se dice que y = argshx si x =sh y.

Se dice que y = argchx si x =ch y.

Se dice que y =argthx si x =th y.

Se dice que y =argsechx si x = sech y.

Se dice que y =argcschx si x = csch y.

Se dice que y = argcothx si x = coth y.

Las grá cas se obtienen por simetría, respecto de la bisectriz del pri-mer y tercer cuadrante, de las funciones hiperbólicas directas.

16 Capítulo 1

Argumento seno hiperbólico

x 151050-5-10-15

y

3

2

1

0-1

-2

-3

y = argsh x

La función argsh x tiene por dominio y rango R, es impar y estrictamentecreciente.

Argumento coseno hiperbólico

Las funciones chx y sechx no son inyectivas por lo que deberíamos res-tringir su dominio de modo que lo fuesen. No obstante, representaremossus funciones inversas, argchx y argsechx, tomando dos posibles valoresen cada x 6= 1 ya que eventualmente puede ser útil.

x 86420

y2

1

0

-1

-2

y = argch x

La función argch x tiene por dominio [1,+ [ y rango R.Para cada x ]1,+ [ existen dos posibles valores de argch x, siendo

creciente la rama superior y decreciente la inferior.


Argumento tangente hiperbólica

x 10.50-0.5-1

y

6

4

2

0

-2

-4

-6

y = argth x

La función argthx tiene por dominio ] 1, 1[, rango R y es estrictamentecreciente.

Su grá ca tiene como asíntotas verticales las rectas x = 1 y x = 1.

Argumento cosecante hiperbólica

x 3210-1-2-3

6

4

2

0

-2

-4

-6

y = arg csch x

La función argcschx tiene por dominio y rango R \ {0}, es estrictamentedecreciente en R = ] , 0[ y en R+ = ]0,+ [ pero no en todo sudominio.

Su grá ca es asintótica a los ejes coordenados.

18 Capítulo 1

Argumento secante hiperbólica

x 10.80.60.40.20

y

3

2

1

0

-1

-2

-3

y = arg sech x

La función argsechx tiene por dominio ]0, 1] y su rango es R.Para cada x ]0, 1[ existen dos posibles valores de argsechx, siendo

decreciente la rama superior y creciente la inferior.

Argumento cotangente hiperbólica

x 210-1-2

4

2

0

-2

-4

y = arg coth x

La función argcothx tiene por dominio R \ [ 1, 1] y rango R \ {0}.Su grá ca es asintótica verticalmente a x = 1 por la izquierda, a

x = 1 por la derecha, y horizontalmente al eje OX por ambos lados.

Teorema 1.6.1 Las seis funciones hiperbólicas inversas admiten una ex-presión logarítmica que viene recogida en la tabla siguiente junto con el


dominio de de nición correspondiente.

Funcion f(x) Expresión logarítmica Df

argshx ln¡x+ x2 + 1

¢R

argchx ln¡x± x2 1

¢[1,+ [

argthx 12ln 1+x

1 x] 1, 1[

argcschx ln 1± 1+x2

x

“ + ” en R+

“ ” en Rargsechx ln 1± 1 x2

x]0, 1]

arg cothx 12ln x+1

x 1R \ [ 1, 1]

Dem.: Para deducir la primera fórmula llamamos y = argshx. Entonces

x = sh y =ey e y

2.

Multiplicando por 2ey queda

2xey = (ey)2 1 (ey)2 2xey 1 = 0.

La solución de esta ecuación de segundo grado con incógnita ey es

ey = x± x2 + 1.

En esta expresión se prescinde del signo negativo porque ey > 0 paratodo y R. Tomando logaritmos obtenemos

argshx = ln³x+ x2 + 1

´, x R.

Para deducir la segunda fórmula consideramos y = argchx, es decir

x = ch y =ey + e y

2.

Entonces2xey = (ey)2 + 1 (ey)2 2xey + 1 = 0,

ey = x± x2 1.

Ahora el segundo miembro es positivo para ambos signos para todo x 1,por lo que no debemos desechar ninguna solución como hicimos antes.

20 Capítulo 1

De hecho es lógico que esto ocurra ya que argchx existe para x 1tomando dos valores diferentes para cada x > 1,

argchx = ln³x± x2 1

´, x 1.

Para la tercera expresión, y = argthx si

x = th y =ey e y

ey + e y.

Operando,

xey + xe y = ey e y 1 + x = (ey)2 (1 x) e2y =1 + x

1 x.

Para 1 < x < 1, donde argthx existe, la última operación es correctapues entonces 1 x 6= 0 y el segundo miembro es positivo. Tomandologaritmos y despejando y, obtenemos

2y = ln1 + x

1 xargthx =

1

2ln1 + x

1 x, 1 < x < 1.

Se deja como ejercicio deducir las tres últimas fórmulas.

Nota 1.6.2 Una vez obtenidas las tres primeras expresiones logarítmicasel método más rápido de calcular las tres últimas es aplicar que

argcschx = argsh1

x, argsechx = argch

1

x, arg cothx = argth

1

x.

En efecto, la primera de estas identidades se deduce de

y = argcschx x = csch y =1

sh ysh y =

1

xy = argsh

1

x.

Las otras se deducen de modo análogo. Así, por ejemplo,

argcschx = argsh1

x= ln

Ã1

x+

r1

x2+ 1

!= ln

Ã1

x+

1 + x2

|x|

!

= ln1± 1 + x2

x

(tomar “ + ” x > 0,

tomar “ ” x < 0.


Teorema 1.6.3 Las derivadas y dominio de existencia de las funcioneshiperbólicas inversas son:

Funcion f(x) f 0 (x) Df 0

argshx 1x2+1

Rargchx ±1

x2 1]1,+ [

argthx 11 x2

] 1, 1[

argcschx 1x 1+x2

“ ” en R+

“ + ” en Rargsechx 1

x 1 x2]0, 1[

arg cothx 11 x2

R \ [ 1, 1]

Dem.: Teniendo en cuenta las expresiones logarítmicas de estas funciones,

d

dx(argshx) =

d

dx

³ln(x+ x2 + 1)

´=

1 + xx2+1

x+ x2 + 1=

1

x2 + 1,

d

dx(argchx) =

d

dx

³ln³x± x2 1

´´=

1± xx2 1

x± x2 1

=

x2 1±xx2 1

x± x2 1=

±1x2 1

.

El ±1 se debe a que estamos simultaneando dos cálculos, con los signosque aparecen superiormente y con los que aparecen inferiormente.

Se propone como ejercicio obtener las restantes derivadas.

Nota 1.6.4 En las tres últimas derivadas existe la alternativa de apro-vechar las tres primeras teniendo en cuenta las expresiones dadas al prin-cipio de la Nota 1.6.2.

1.7 Ejercicios resueltos

Ejercicio 1.7.1 Halla la inversa, si existe, de

f(x) =2x

1 + 2x.

22 Capítulo 1

Sol.: La función f es inyectiva en todo su dominio, R, ya que x1, x2 R

f(x1) = f(x2)2x1

1 + 2x1=

2x2

1 + 2x2

2x1 (1 + 2x2) = 2x2 (1 + 2x1) 2x1 = 2x2 x1 = x2.

Por lo tanto f admite función inversa en R. Para su obtención despeja-mos x de y = 2x

1+2x,

y =2x

1 + 2x(1 + 2x) y 2x = 0 2x(y 1) = y

2x =y

1 yx = log2

y

1 y.

Intercambiamos las variables x e y,

y = log2x

1 x.

Luego f 1 (x) = log2x1 x.

Ejercicio 1.7.2 Halla la derivada de la función y = x(1+x)x

.

Sol.: Para derivar funciones del tipo f(x)g(x) se utiliza la derivaciónlogaritmica consistente en tomar previamente logaritmos en la función aderivar. En este caso,

ln y = lnx x ln(1 + x).

Derivando respecto a x ambos miembros,

y0

y=

1

xln(1 + x)

x

x+ 1

y0 =1

(1 + x)x1

(1 + x)x

μx ln(1 + x)

x2

x+ 1

¶.

Ejercicio 1.7.3 Halla los puntos críticos de

f(x) = ln

μcosh

x

x 1

¶.

En cada uno de ellos indica si la función alcanza un máximo, mínimo otiene un punto de in exión.


Sol.: Los puntos críticos de f(x) son aquellos valores de x para los quef 0(x) se anula.

f 0(x) =sinh x

x 1

cosh xx 1

· 1

(x 1)2=

1

(x 1)2tanh

x

x 1.

Como f 0(x) = 0 únicamente para x = 0, éste es el único punto crítico.Derivando nuevamente,

f 00(x) =1

(x 1)4tanh2

x

x 1+

2

(x 1)3tanh

x

x 1+

1

(x 1)4.

Sustituyendo en x = 0, f 00(0) = 1 > 0. Por tanto f alcanza en x = 0 unmínimo.

Ejercicio 1.7.4 Demuestra que

d

dx[loga x] =

loga e

x, x > 0, a > 1.

Sol.: Dados a, b, x > 0 y a, b 6= 1

loga x =logb x

logb a.

Tomando b = e,

loga x =loge x

loge a=

lnx

loge a

loge a =loga a

loga e=

1

loga eloga x = loga e · lnx

Derivando,d

dx[loga x] =

loga e

x.

Ejercicio 1.7.5 Teniendo en cuenta que ddx[loga f(x)] =

f 0(x)f(x)

loga e, ob-tén la derivada de

y = log10 cosh( x3 1).

Sol.:

y0(x) =ddxcosh

¡x3 1

¢cosh

¡x3 1

¢ log10 e =sinh

¡x3 1

¢· 3x2

2 x3 1

cosh¡x3 1

¢ log10 e

=3x2

2 x3 1· 1

ln 10tanh

³x3 1

´.

24 Capítulo 1

1.8 Ejercicios propuestos

1. La carga Q de un condensador sigue la ecuación

Q = K¡1 e 50t

¢, K cte.,

donde t es la variable tiempo. ¿Qué signi cado físico tiene la cons-tante K?¿Tras cuánto tiempo se tendrá que Q

K= 1

2?

2. La presión atmosférica a h metros de altura viene dada por

p(h) = p(0)e 15·10 5h,

donde p(0) es la presión a nivel del mar, 105 pascals. Calcula lapresión a 3000 m, de altitud y averigua a qué altitud la presiónatmosférica es 1/3 de la que hay a nivel del mar.

3. Se dice que un capital C(0) devenga un interés compuesto al rpor uno anual, con intereses devengados mensualmente si, tras mmeses, el capital obtenido es

C(m) = C(0)³1 +

r

12

´m, m N.

Y que devenga un interés continuo al r por uno anual si, tras taños, el capital obtenido es

C(t) = C(0)ert, t R+.

Averigua el tiempo que hemos de mantener un capital invertido aun interés continuo del 8% anual para obtener al nal un capital quetriplique la inversión original. ¿Y si el interés citado es compuestoy se devenga mensualmente?

4. Explica si las funciones siguientes admiten función inversa en losintervalos indicados.

f(x) = |x| , x [ 1, 1] ; g(x) = 2 + x, x [0,+ [ .

En caso a rmativo, encuéntrala. En caso negativo, estudia si exis-ten otros dominios donde sí tengan función inversa.


5. Encuentra la función inversa de

y =x

x2 + 1.

6. Demuestra quelog10 e · ln 10 = 1.

7. Demuestra que dados a, x > 0, a 6= 1,

loga x+ log 1ax = 0.

8. Dado a > 0, a 6= 1, demuestra, a partir de la de nición de ax, qued

dx

¡af(x)

¢= af(x)f 0(x) ln a.

9. Demuestra que el producto de dos funciones pares o impares es pary que el producto o cociente de una función par por una impar esimpar.

10. Demuestra que

arcsenx = arccos 1 x2

arctan x = arcsenx

1 + x2

arcsenx± arcsen y = arcsen³xp1 y2 ± y 1 x2

´arccosx± arccos y = arccos

³xy

p(1 x2) (1 y2)

´arctan x± arctan y = arctan

x± y1 xy

11. Comprueba las fórmulas de derivación,

ddx(thx) = sech2x = 1 th2x, d

dx(cschx) = chx csch2x,

ddx(cothx) = csch2x = 1 coth2x, d

dx(sechx) = shx sech2x.

12. Demuestra las siguientes fórmulas de las funciones hiperbólicas,

shx+ sh y = 2 sh x+y2ch x y

2, argsechx = argch 1

x,

chx+ ch y = 2ch x+y2ch x y

2, argcothx = argth 1

x.

26 Capítulo 1

13. Demuestra que son opuestos entre sí los dos valores dados por laexpresión logarítmica

argchx = ln³x± x2 1

´, x 1.

14. Supongamos que un bote se encuentra a 20 m de distancia delmuelle de un puerto, unido a éste por una cuerda de 20 m delongitud. Comenzamos a caminar a lo largo del muelle arrastrandoel bote por medio de la cuerda, ¿cuánto deberemos andar paraconseguir que el bote se encuentre a 5 m del muelle?

Se recuerda que si identi camos el muelle con el eje OY , la cuerdaes de longitud l y sus extremos se encuentran en el origen de co-ordenadas y (l, 0) en el instante inicial, la curva descrita por estesegundo extremo, al desplazar el primero por eje OY , se denominatractriz y tiene por ecuación

y = l argsechx

ll2 x2.

15. Halla las derivadas de las funciones hiperbólicas inversas utilizandoel método general de derivación de funciones inversas.

Capítulo 2

El Número complejo

2.1 Operaciones y representación

Un número complejo (en forma cartesiana) es un par ordenado denúmeros reales z = (x, y). Al valor de la primera coordenada se le llamaparte real, y a la segunda parte imaginaria de z. Se representa por

x = Re(z), y = Im(z).

El conjunto de todos los números complejos se designa por C y dos núme-ros z1, z2 C son iguales si Re(z1) = Re(z2), Im(z1) = Im(z2).

Así comoR se representa sobre una rec-ta, C se representa en un plano car-tesiano, denominado plano complejo,donde el punto de coordenadas (x, y),representación de z = (x, y) C, sedenomina a jo de z. Al eje de abscisasse le llama eje real, y al de ordenadaseje imaginario. -

6

X

Y

O¡¡¡¡¡¡¡μ

z = (x, y)

A veces se representa a z = (x, y) mediante el vector que une al origenO(0, 0) con su a jo. Cuando se hace esto, se dice que los complejos vienenrepresentados mediante un diagrama de Argand.

De niremos las operaciones suma “+” y producto “·” en C que ledotarán de estructura de cuerpo. Por el Teorema 3.1.1, las ecuacionesalgebraicas siempre tienen solución en él.

27

28 Capítulo 2

Suma de z1 = (x1, y1), z2 = (x2, y2) C viene de nida por

z1 + z2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2).

Esta operación dota a (C,+) de estructura de grupo abeliano puescumple las propiedades siguientes (todas son consecuencia de las propie-dades análogas de (R,+) y solo indicamos la prueba de la primera):- Conmutativa, z1 + z2 = z2 + z1 z1 = (x1, y1), z2 = (x2, y2) C.En efecto, z1 + z2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) =

= (x2 + x1, y2 + y1) = (x2, y2) + (x1, y1) = z2 + z1.

- Asociativa, (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) z1, z2, z3 C.- Elemento neutro, que es el número complejo 0 = (0, 0).

- Elemento opuesto de z = (x, y) C es z = ( x, y).

El elemento opuesto aditivo permite de nir la sustracción, o diferen-cia, de dos complejos z1 y z2 como z1 z2 = z1 + ( z2).

Ejemplo 2.1.1 Calcular la suma y diferencia de z1 = (3, 5), z2 = (4, 3).

Sol.: Aplicando las de niciones dadas, tenemos:

z1 + z2 = (3, 5) + (4, 3) = (3 + 4, 5 + 3) = (7, 8),

z1 z2 = (3, 5) + ( 4, 3) = (3 4, 5 3) = ( 1, 2).

Producto de z1 = (x1, y1), z2 = (x2, y2) C viene de nido por

z1 · z2 = (x1, y1) · (x2, y2) = (x1x2 y1y2, x1y2 + x2y1).

El simbolo “·” del producto suele omitirse. Solo probamos la cuartade las siguientes propiedades, dejando como ejercicio las otras:

- Conmutativa, z1z2 = z2z1 z1 = (x1, y1), z2 = (x2, y2) C.- Asociativa, z1(z2z3) = (z1z2)z3 z1, z2, z3 C.- Elemento neutro, que es el número complejo 1 = (1, 0).

- Elemento inverso para todo complejo z = (x, y) 6= 0. Para comprobarque existe z 1 = (u, v) C tal que z 1z = zz 1 = 1, planteamos

(u, v)(x, y) = (1, 0)ux vy = 1

uy + vx = 0

).

El número complejo 29

Como

¯¯ x y

y x

¯¯ = x2 + y2 6= 0, existe una única solución

u =

¯¯ 1 y

0 x

¯¯

x2+y2= x

x2+y2, v =

¯¯ x 1

y 0

¯¯

x2+y2= y

x2+y2z 1 =

³x

x2+y2, yx2+y2

´ya que (C, ·) conmutativo.El elemento inverso permite de nir la división, o cociente, de dos

complejos z1 y z2, z2 6= 0, comoz1z2= z1z

12 .

Ejemplo 2.1.2 Calcular z1z2 y z1z2con z1 = (3, 5), z2 = (4, 3).

Sol.: Aplicando las de niciones dadas,

z1z2 = (3, 5) · (4, 3) = (12 15, 9 + 20) = ( 3, 29).

Hallando z 12 =

¡4

42+32, 342+32

¢=¡425, 325

¢, obtenemos

z1z2= z1z

12 = (3, 5) ·

¡425, 325

¢=¡12+1525, 9+20

25

¢=¡2725, 1125

¢.

Es sencillo comprobar que la operación producto es distributiva res-pecto a la adición por ambos lados, esto es, para cada z1, z2, z3 C,

z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3, (z1 + z2)z3 = z1z3 + z2z3.

Por tanto (C,+, ·) es un cuerpo conmutativo, con un subcuerpo iso-morfo al cuerpo de los números reales. Esto se debe a que la aplicación

f : (R,+, ·) (C,+, ·)x f(x) = (x, 0)

)es un monomor smo ya que :

a) f(x+ y) = (x+ y, 0) = (x, 0) + (y, 0) = f(x) + f(y).

b) f(xy) = (xy, 0) = (x, 0) · (y, 0) = f(x) · f(y).c) f(x) = f(y) (x, 0) = (y, 0) x = y.

30 Capítulo 2

Como (f(R),+, ·) es un subcuerpo de (C,+, ·) isomorfo a (R,+, ·),identi camos cada x R con el elemento (x, 0) de C quedando justi cadola denominación de eje real a {(x, 0), x R}.Un número complejo (x, y) se dice imaginario si y 6= 0. Si además

x = 0, entonces se dice que es imaginario puro. A (0, 1) se le denominaunidad imaginaria y se representa1 por i. Como (b, 0) · (0, 1) = (0, b),podemos representar un número imaginario (0, b) por bi. Esto permiteatribuir un signi cado algebraico a

z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x+ y i,

como suma de un número real y un imaginario puro. Cuando represente-mos z de este modo decimos que z viene expresado en forma binómica.La forma binómica permite operar en (C,+, ·) con las reglas usuales

del álgebra de polinomios teniendo en cuenta que

(0, 1) · (0, 1) = ( 1, 0),

es decir i · i = i2 = 1.

Ejemplo 2.1.3 Calcular la suma y producto de z1 = (3, 5), z2 = (4, 3).

Sol.: Escribiendo ambos números complejos en forma binómica,

z1 + z2 = (3 + 5i) + (4 + 3i) = 7 + 8i = (7, 8),

z1 · z2 = (3 + 5i)(4 + 3i) = 12 + 9i+ 20i+ 15i2 = ( 3, 29).

Recordamos que una ecuación algebraica de grado n es una expresiónde la forma

anxn + an 1x

n 1 + . . .+ a1x+ a0 = 0, 0 i n.

Los ai son los coe cientes de la ecuación y es sencillo encontrar ejemplosde ecuaciones algebraicas con coe cientes reales que no tienen soluciónreal, por ejemplo

x2 + 1 = 0.

Sin embargo como i2 = 1, la ecuación anterior sí tiene solución enC ya que tanto i como i la satisfacen. Más adelante (Teorema 3.1.1)veremos que toda ecuación algebraica de grado n > 1 con coe cientesreales o complejos tiene solución en C.

1De imaginaria. También se emplea la letra j, especialmente en Electrónica dondese suele representar por i la intensidad.


Ejemplo 2.1.4 Calcular las raíces de la ecuación x2 + x+ 1 = 0.

Sol.: Aplicando la fórmula de las raíces de la ecuación de segundo grado,

x = 1± 1 42

= 12± 3

2i.

Al número complejo x iy se le llama conjugado de z = x+ iy. Serepresenta mediante z o z , y es simétrico de z respecto del eje real. En elúltimo ejemplo las raíces obtenidas han sido dos números complejos con-jugados. Esto ocurre siempre: Si una ecuación algebraica con coe cientesreales tiene por raíz a un determinado número complejo imaginario, en-tonces el conjugado también es raíz. Este hecho, con una mayor precisión,será justi cado en el Teorema 3.1.5.

Es fácil comprobar que zz siempre es real. En efecto si z = x+ iy,

zz = (x+ iy) (x iy) = x2 (iy)2 = x2 ( 1) y2 = x2 + y2.

De nición 2.1.5 Dado un número complejo z = x + iy, el módulo ovalor absoluto de z, es el número real

|z| =px2 + y2.

La distancia entre los números complejos z1 = (x1, y1), z2 = (x2, y2) es

|z1 z2| =q(x1 x2)

2 + (y1 y2)2.

Se observa que mientras en general la proposición z1 < z2 no tienesentido en el cuerpo de los complejos, |z1| < |z2| signi ca que el a jo dez1 está más cerca del origen que el a jo de z2.

Es fácil comprobar que

|z| = |z | , zz = |z|2 .

Esta última propiedad facilita una sencilla prueba de la fórmula parahallar el inverso de z 6= 0, ya que

z = z 1zz = z 1 |z|2 z 1 =z

|z|2.

Y la división de dos complejos z1 y z2 6= 0, se puede hallar multipli-cando numerador y denominador por el conjugado del denominador,

z1z2= z1z

12 = z1

z2|z2|2 =

z1z2z2z2.

32 Capítulo 2

Ejemplo 2.1.6 Calcular el cociente entre 3 + 5i y 2 3i.

Sol.: Multiplicando numerador y denominador por 2 + 3i, obtenemos

3 + 5i

2 3i=

(3 + 5i)( 2 + 3i)

( 2 3i)( 2 + 3i)=

6 + 9i 10i+ 15i2

( 2)2 + 32=

21

13

1

13i.

De nición 2.1.7 Dado un número complejo z = x + iy no nulo, sellama argumento de z al ángulo formado por el semieje positivo deabscisas, y el vector de nido por el origen de coordenadas y el a jo de z.Se representa = arg z.

El argumento puede tomar in nitos valores reales que di eren entresí en múltiplos enteros de 2 . Estos valores se pueden encontrar a partirde la ecuación tan = y

x, es decir

= arctany

x,

teniendo en cuenta el cuadrante en que se encuentra el a jo de z.

Para cada z 6= 0, el valor o determinación principal del argumentode z se denota por Arg z y se de ne como el único valor de arg z tal que

< arg z .

En general, dado 0 R, se de ne determinación 0 del argumento, yse denota por arg

0z, como el único valor de arg z tal que

0 < arg z 0 + .

Es evidente que Arg z = arg0z.

Ejemplo 2.1.8 Calcular el módulo y argumento del número complejo1 + i, indicando el valor de la determinación principal.

Sol.: De las de niciones dadas se tiene,

| 1 + i| =p( 1)2 + 12 = 2,

arg ( 1 + i) = arctan1

1=3

4+ 2k , k Z,

donde se ha tenido en cuenta que el número complejo 1 + i se halla enel segundo cuadrante. Claramente la determinación principal es

Arg ( 1 + i) =3

4.


Ejemplo 2.1.9 Calcular arg6 ( 1 + i), arg7 ( 1 + i) y arg 74( 1 + i).

Sol.: Por el ejercicio anterior ya sabemos que

arg( 1 + i) =3

4+ 2k , k Z.

Para hallar la determinación 6 de arg( 1 + i), buscamos el valor quepertenece al intervalo

]6 , 6 + ] = ]5 , 7 ] .

Dicho valor se obtiene para k = 3, por tanto

arg6 ( 1 + i) =3

4+ 6 =

27

4.

Para hallar la determinación 7 buscamos el valor que pertenece al in-tervalo

]7 , 7 + ] = ]6 , 8 ] ,

resultando que es el mismo que antes,

arg7 ( 1 + i) =3

4+ 6 =

27

4.

La determinación 74corresponde al valor de arg( 1 + i) que pertenece

al intervalo ¸7

4,7

4+

¸=

¸3

4,11

4

¸,

luego

arg 74( 1 + i) =

3

4+ 2 =

11

4.

Conocidos el módulo r y argumento de un número complejo z, laforma polar de representarlo es z = r . Así, por ejemplo,

3 = 30, = , i = 12, 1 + i =

³2´34

.

Recíprocamente, si conocemos el módulo r y argumento de z, suforma binómica y la cartesiana de z, puede obtenerse a partir de

x = r cos , y = r sen .

Sustituyendo en z = x+ iy, nos queda

z = r(cos + i sen ),

que se conoce como la forma trigonométrica del número complejo z.

34 Capítulo 2

Ejemplo 2.1.10 Representar en forma cartesiana, polar y trigonométri-ca los complejos

2 2i, i, 1 + 3i.

Sol.: Previo cálculo del módulo y argumento de los complejos dados,

F. cartesiana F. polar F. trigonométrica

(2, 2) = (2 2)4= 2 2

¡cos¡4

¢+ i sen

¡4

¢¢,

(0, 1) = 12= 1

¡cos¡2

¢+ i sen

¡2

¢¢,

( 1, 3) = 2 23= 2

¡cos¡23

¢+ i sen

¡23

¢¢.

Veamos ahora que expresión toma el producto de dos números com-plejos z y z0 dados en forma trigonométrica,

z · z0 = (r(cos + i sen )) · (r0(cos 0 + i sen 0))= rr0 ((cos cos 0 sen sen 0) + i (sen cos 0 + cos sen 0)) .

Teniendo en cuenta las fórmulas trigonométricas del coseno y seno de lasuma de dos ángulos,

z · z0 = rr0 (cos( + 0) + i sen ( + 0)) .

De aquí deducimos que

|z · z0| = |z| |z0| , arg (z · z0) = arg (z) + arg (z0).

Esto es, el módulo del producto de dos números complejos es el productode módulos, y su argumento la suma de argumentos. En forma polar,

r · r0 0 = (rr0) + 0 .

Análogamente el cociente de z, z0 C, z0 6= 0, en forma trigonométricaviene dado por

z

z0=

r(cos + i sen )

r0(cos 0 + i sen 0)=r

r0(cos + i sen )(cos 0 i sen 0)(cos 0 + i sen 0)(cos 0 i sen 0)

=r

r0(cos cos 0 + sen sen 0) + i( sen cos 0 cos sen 0)

cos2 0 + sen2 0

=r

r0(cos( 0) + i sen ( 0)) .


Por tanto, ¯zz0¯= |z|

|z0| , arg¡zz0¢= arg (z) arg (z0).

Esto es, el módulo del cociente de dos números complejos es el cocientede módulos, y su argumento la diferencia de argumentos,

r

r0 0=³ rr0

´0.

2.2 Fórmula de Moivre

La fórmula de Moivre establece que si

z = r (cos + i sen )

y n es un entero positivo, entonces

zn = (r (cos + i sen ))n = rn (cos(n ) + i sen(n )) ,

que en forma polar queda

(r )n = (rn)n .

Lo demostraremos por inducción completa.

Para n = 1, la fórmula es obvia. Supongámosla cierta para n = h yprobemos que también lo es para n = h+ 1. Es decir, suponemos

zh = rh (cosh + i senh ) .

Entonces, por las propiedades del producto vistas en la sección anterior¯zh+1

¯=

¯z · zh

¯= |z| ·

¯zh¯= r · rh = rh+1,

arg¡zh+1

¢= arg

¡z · zh

¢= arg (z) + arg (zh) = + h = (1 + h) ,

por lo quezh+1 = rh+1 (cos(h+ 1) + i sen(h+ 1) ) .

Esta fórmula puede generalizarse a cualquier entero, teniendo en cuen-ta que si n Z+, entonces n Z y

z n =1

zn=

10(rn)n

=

μ1

rn

¶0 n

=¡r n¢

n

36 Capítulo 2

Por último, manteniendo el convenio de los reales de que un número,distinto de 0, elevado a 0 tome el valor 1, la fórmula de Moivre tambiénse cumple para n = 0 ya que

1 = z0 = (r(cos + i sen ))0 coincide con r0(cos 0 + i sen 0) = 1.

La fórmula de Moivre es particularmente útil para hallar senos ycosenos de múltiplos de .

Ejemplo 2.2.1 Calcular sen (3 ) en función de senos y cosenos de .

Sol.: Por la fórmula de Moivre sabemos que

cos(3 ) + i sen(3 ) = (cos + i sen )3

= cos3 + 3i cos2 sen 3 cos sen2 i sen3

= cos3 3 cos sen2 + i (3 cos2 sen sen3 ),

donde hemos empleado la fórmula del binomio de Newton y tenido encuenta el valor de las potencias de i. Igualando las partes reales entre síy las imaginarias entre sí, se obtienen expresiones de cos(3 ) y sen (3 )en función de senos y cosenos de . Así,

sen (3 ) = 3 cos2 sen sen3 .

2.3 Raíces de un número complejo

Un número complejo w se dice que es raíz n-sima de z C si

wn = z.

Supongamos que z = r y hallemos sus raíces n-simas, que denotaremosn z. Como buscamos los valores w = R tales que

wn = z (R )n = (Rn)n = r .

Por tanto,

Rn = r

n = + 2k

)R = n r

=n+ 2 k

n, k = 0, 1, . . . , n 1

).


En forma polar,

w = n r =¡n r¢n+2 k

n

, k = 0, 1, . . . , n 1.

El módulo de todos los w es n r y sus argumentos di eren en múltiplosde 2

n. Por ello hay exactamente n valores distintos de n z y sus a jos

constituyen los vértices de un polígono regular de n lados centrado en(0, 0), uno de los cuales es ³

np|z|´Arg zn

.

Ejemplo 2.3.1 Encontrar las raíces cuadradas del número i.

Sol.: Los a jos de las raíces son los extremos de un segmento centradoen (0,0) y uno de cuyos extremos es

p|i|Arg i

2= 1

4.

De modo analítico se obtienen escribiendo

i =q12= (1)

2 +2 k

2

, k = 0, 1.

Dando a k estos dos valores obtenemos que las raíces cuadradas de i son

i =

(14= 1(cos

4+ i sen

4) = 2

2+ 2

2i,

1 54= 1(cos 5

4+ i sen 5

4) = 2

222i.

Ejemplo 2.3.2 Encontrar las raíces cuadradas de z = 1 + 3 i.

Sol.: Escribiendo z en forma polar, z = 2 23, se tiene

z =q2 2

3= ( 2) 2

3 +2 k

2

, k = 0, 1.

Dando a k estos dos valores obtenemos que las raíces cuadradas de z sonq1 + 3 i =

(23= 2(cos

3+ i sen

3) = 2

2+ 6

2i,

2 43= 2(cos 4

3+ i sen 4

3) = 2

262i.

38 Capítulo 2

Ejemplo 2.3.3 Resolverz4 16 = 0.

Sol.: La solución de la ecuación dada es

z =416 = 4 160 =

³416´0+2 k4

, k = 0, 1, 2, 3.

Dando a k estos cuatro valores obtenemos cuatro números diferentes, quese corresponden con las raíces cuartas del número complejo 16,

z =

20 = 2 (cos 0 + i sen 0) = 2,

22= 2

¡cos

2+ i sen

2

¢= 2i,

2 = 2 (cos + i sen ) = 2,

2 32= 2

¡cos 3

2+ i sen 3

2

¢= 2i.

Los a jos de las raíces forman los vértices de un cuadrado centradoen (0,0) uno de cuyos vértices es

³4p|16|

´Arg 164

= 20.

2.4 Exponencial compleja y logaritmo

Terminamos de niendo la exponencial compleja de z = x+ yi C,

exp(z) = ez = ex+yi = ex (cos y + i sen y) .

Es decir, la exponencial de z C es un complejo con módulo eRe z y ar-gumento Im z. Observemos que la restricción de la exponencial complejaa R coincide con la exponencial de variable real ya que si

z = x+ 0i R ez = ex.


Nota 2.4.1 Si R se obtiene la fórmula de Euler

ei = cos + i sen .

El producto zei , z C, es un número complejo cuyo a jo es el obtenidoa partir del de z por una rotación de radianes en sentido contrario alas agujas del reloj respecto de (0, 0).

Ejemplo 2.4.2 Calcular la exponencial de los números complejos

2i, i, i,

3

2i,

2i, 2 i.

Sol.: De la de nición dada de exponencial compleja, se tiene:

e 2 i = i, e i = e i = 1,

e32i = e 2

i = i, e2 i = 1.

En este ejemplo observamos cosas que no ocurren en la exponencialreal, que es una función estrictamente creciente y toma todos los valo-res de ]0, [. Ya sabemos que C no es un conjunto ordenado pero laexponencial compleja veri ca que si Re(z1) < Re(z2), entonces

|ez1 | = eRe(z1) < eRe(z2) = |ez2 | .

Además hemos obtenido valores negativos. De hecho, la exponencialcompleja puede tomar cualquier valor complejo salvo 0, y dado un númerocomplejo z 6= 0 es fácil hallar un valor a e in nitos valores b tales queea+bi = z. Los valores a + bi constituyen el logaritmo de z, y vienendados por

ln (z) = ln |z|+ i arg z.Se denomina determinación 0 (resp. principal) de ln (z) al valor obte-nido al tomar la determinación 0 (resp. principal) del argumento. Sedenotan

(ln (z))0= ln |z|+ i arg

0z, Ln z = (ln (z))0 = ln z + iArg z.

Por último, si z es un número complejo de módulo r y argumento, de la representación trigonométrica z = r(cos + i sen ), resulta quez = rei . Cuando representemos z de esta forma, decimos que viene dadoen forma exponencial.

40 Capítulo 2

Ejemplo 2.4.3 Representar en forma exponencial a z y hallar ln z cuan-do z = 1 + i.

Sol.: Como |z| = 2, arg (z) = 34+ 2k , k Z, una representación en

forma exponencial de z, y ln z vienen dados respectivamente por

1 + i = 2 e34i, ln ( 1 + i) = 1

2ln 2 + i

¡34+ 2k , k Z

¢.

2.5 Ejercicios resueltos

Ejercicio 2.5.1 Expresar en forma binómica

z =1

(1 + i)8.

Sol.: Por ser z el cociente de dos números complejos, su módulo es elcociente de los módulos del numerador y denominador y su argumentola diferencia de argumentos, esto es:

|z| = 1

|(1 + i)8| , arg(z) = arg(1) arg(1 + i)8.

Aplicando la fórmula de Moivre

|z| = 1

( 2)8= 2 4, arg(z) = 0 8 ·

4= 2

De donde se deduce:

z = 2 4(cos( 2 ) + i sen( 2 )) = 2 4.

Ejercicio 2.5.2 Representa en forma exponencial el número complejo

z =(1 i)2i

1 + 3 i.

Sol.: Desarrollando el numerador,

z =2 + 2i

1 + 3 i


y teniendo en cuenta que

|2 + 2i| = 8 y arg(2 + 2i) =4¯

1 + 3 i¯= 2 y arg(1 + 3 i) =

3

)|z| = 8

2= 2,

arg(z) =4 3

=12

)

Representamos z en forma exponencial como

z = 2e 12i.

Ejercicio 2.5.3 Resolver en el cuerpo de los números complejos

z5 z4 z3 + z2 + z 1 = 0

Sol.: Por simple inspección observamos que z = 1 es una solución de laecuación dada, así dividiendo por z 1, se tiene

z5 z4 z3 + z2 + z 1 = (z 1)(z4 z2 + 1).

Solo queda por resolver z4 z2 + 1 = 0, ecuación bicuadrada para cuyaresolución hacemos z2 = t,

t2 t+ 1 = 0 t =1± 3i

2.

De aquí, se deduce que las otras soluciones buscadas son los valores ztales que z2 = 1± 3i

2, luego debemos hallar las raíces cuadradas de los

números complejos t1 = 1+ 3i2, t2 =

1 3i2.

t1 =p1 /3 = 1 /3+k , k = 0, 1,

t2 =p1 /3 = 1 /3+k , k = 0, 1.

Expresadas en forma binómica, las raíces de la ecuación son

z = 1, z =1

2± 3

2i, z =

1

2± 3

2i.

Ejercicio 2.5.4 Representar en forma binómica los números complejosdados por e i.

42 Capítulo 2

Sol.: Hallemos primero las raíces cuadradas de i,

i =p1 /2 = 1

4+ 2 k

2, k = 0, 1.

Expresamos en forma binómica los dos complejos obtenidos,

14= cos

³4

´+ i sen

³4

´=

2

2i2

2

14+ = cos

μ3

4

¶+ i sen

μ3

4

¶=

2

2+ i

2

2.

Por la de nición de la exponencial de un número complejo

e i =

(e

22

i 22 = e

22 cos 2

2e

22 sen 2

2i

e22+i 2

2 = e22 cos 2

2+ e

22 sen 2

2i.

Ejercicio 2.5.5 Dado un número complejo z de nimos

sen z =eiz e iz

2i, cos z =

eiz + e iz

2.

Determinar todos los números complejos z tales que cos z = i.

Sol.: Como

cos z = ieiz + e iz

2= i.

Multiplicando por 2eiz,

e2iz 2ieiz + 1 = 0

eiz =2i± 8

2= (1± 2)i iz = ln

³(1± 2)i

´De la de nición de logaritmo,

iz = ln¯(1± 2)i

¯+ i(

2+ 2k ), k Z

z =

((2+ 2k ) i ln(1 + 2), k Z

(2+ 2k ) i ln( 2 1), k Z.

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CÁLCULO MATEMÁTICO CON APLICACIONES

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